2020-2021学年高三数学一轮复习知识点专题3-1 导数的概念及运算、定积分
专题3.1 导数的概念及运算、定积分
【考情分析】
1.了解导数概念的实际背景；
2.通过函数图象直观理解导数的几何意义；
3.能根据导数的定义求函数y ＝c (c 为常数)，y ＝x ，y ＝1
x
，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 的导数；
4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单复合函数(仅限于形如y ＝f (ax ＋b )的复合函数)的导数；
5.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念，几何意义；
6.了解微积分基本定理的含义。 【重点知识梳理】 知识点1．导数的概念
(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数：函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率li m
Δx →0 Δy
Δx
＝li m
Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′（x ）＝x 0，即f ′(x 0)＝li m
Δx →0 Δy
Δx ＝li m Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)
Δx
。
【特别提醒】函数y ＝f (x )的导数f ′(x )反映了函数f (x )的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f ′(x )|反映了变化的快慢，|f ′(x )|越大，曲线在这点处的切线越“陡”。
(2)导数的几何意义：函数f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点P (x 0，y 0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)。
【特别提醒】曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线是指P 为切点，斜率为k ＝f ′(x 0)的切线，是唯一的一条切线。
(3)函数f (x )的导函数：称函数f ′(x )＝li m
Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x )
Δx
为f (x )的导函数。
(4)f ′(x )是一个函数，f ′(x 0)是函数f ′(x )在x 0处的函数值(常数)，[f ′(x 0)]′＝0。 知识点2．基本初等函数的导数公式
知识点3.导数的运算法则 若f ′(x )，g ′(x )存在，则有： (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)??
??
??f （x ）g （x ）′＝f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）]2(g (x )≠0).
知识点4．复合函数的导数
复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积。
知识点5.定积分的概念与几何意义 (1)定积分的定义
如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间上任取一点ξi (i ＝1，2，…，n )，作和式∑n i ＝1f (ξi )Δx ＝∑n i ＝1 b －a
n f (ξi )，当n →∞时，上述和式无限接近于某个常
数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作??a b f (x )d x ，即??a
b f (x )d x ＝
在??a
b f (x )d x 中，a ，b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，函数f (x )叫做被积
函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式.
(2)定积分的几何意义
知识点6.定积分的性质
(1)??a b kf (x )d x ＝k ??a
b f (x )d x (k 为常数).
(2)??a b [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝??a b f 1(x )d x ±??a
b f 2(x )d x .
(3)??a
b f (x )d x ＝??a
c f (x )
d x ＋??c
b f (x )d x (其中a ＜
c ＜b ).
知识点7.微积分基本定理
一般地，如果f (x )是在区间[a ，b ]上的连续函数，且F ′(x )＝f (x )，那么??a
b f (x )d x ＝F (b )－F (a ).这个结论叫
做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式.可以把F (b )－F (a )记为F (x )???b a ，即??a
b f (x )d x ＝F (x )???b
a ＝F (
b )－F (a ).
【特别提醒】
函数f (x )在闭区间[－a ，a ]上连续，则有 (1)若f (x )为偶函数，则??－a a f (x )d x ＝2??0
a f (x )d x .
(2)若f (x )为奇函数，则??－a
a f (x )d x ＝0. 【典型题分析】
高频考点一 导数的运算
【例1】 (2018·天津卷)已知函数f (x )＝e x ln x ，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(1)的值为________. 【解析】由题意得f ′(x )＝e x ln x ＋e x ·1
x ，则f ′(1)＝e.
【答案】e 【方法技巧】
(1)求函数的导数要准确地把函数分解为基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数． (2)在求导过程中，要仔细分析函数解析式的结构特征，紧扣法则，记准公式，避免运算错误． 【变式探究】（2020·广东省佛山市一中模拟）已知f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则f ′(0)＝ . －4 [∵f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)， ∴f ′(1)＝2＋2f ′(1)， ∴f ′(1)＝－2，
∴f ′(0)＝2f ′(1)＝2×(－2)＝－4.]
高频考点二 求切线方程
例2. （2020·新课标Ⅰ）函数43()2f x x x =-的图像在点(1
(1))f ，处的切线方程为（ ） A. 21y x =-- B. 21y x =-+ C. 23y x =- D. 21y x =+
【答案】B 【解析】
()432f x x x =-，()3246f x x x '∴=-，()11f ∴=-，()12f '=-，
因此，所求切线的方程为()121y x +=--，即21y x =-+.
【举一反三】【2019·全国Ⅰ卷】曲线2
3()e x
y x x =+在点(0)0，处的切线方程为____________． 【解析】2
2
3(21)e 3()e 3(31)e ,x
x
x
y x x x x x '=+++=++ 所以切线的斜率0|3x k y ='==，
则曲线2
3()e x
y x x =+在点(0,0)处的切线方程为3y x =，即30x y -=． 【答案】30x y -= 【方法技巧】
(1)已知切点A (x 0，f (x 0))求斜率k ，即求该点处的导数值：k ＝f ′(x 0)．
(2)若求过点P (x 0，y 0)的切线方程，可设切点为(x 1，y 1)，由?
????
y 1＝f (x 1)，
y 0－y 1＝f ′(x 1)(x 0－x 1)求解即可．
(3)处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上．
高频考点三 求参数的值
例3.【2019·全国Ⅲ卷】已知曲线e ln x
y a x x =+在点（1，a e ）处的切线方程为y =2x +b ，则（ ） A ．e 1a b ==-， B ．a=e ，b =1 C ．1e 1a b -==，
D ．1e a -=，1b =-
【答案】D
【解析】∵y ′＝a e x ＋ln x ＋1，∴y ′|x ＝1＝a e ＋1， ∴2＝a e ＋1，∴a ＝e －
1.∴切点为(1,1)， 将(1,1)代入y ＝2x ＋b ，得1＝2＋b ，
∴b ＝－1，故选D.
【变式探究】（2020·吉林省通化市第一中学模拟）已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋7
2(m ＜0)，直线l 与
函数f (x )，g (x )的图象都相切，与f (x )图象的切点为(1，f (1))，则m ＝ .
【答案】－2
【解析】∵f ′(x )＝1
x ，∴直线l 的斜率k ＝f ′(1)＝1.
又f (1)＝0，∴切线l 的方程为y ＝x －1. g ′(x )＝x ＋m ，
设直线l 与g (x )的图象的切点为(x 0，y 0)，
则有x 0＋m ＝1，y 0＝x 0－1，y 0＝12x 20＋mx 0
＋7
2，m ＜0， ∴m ＝－2.
高频考点四 导数与函数图象
例4. （2020·山西忻州一中模拟）已知函数y ＝f (x )的图象是下列四个图象之一，且其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则该函数的图象是( )
【答案】B
【解析】由y ＝f ′(x )的图象是先上升后下降可知，函数y ＝f (x )图象的切线的斜率先增大后减小，故选B. 【变式探究】（2020·浙江省衢州第一中学模拟）已知y ＝f (x )是可导函数，如图，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝ .
【答案】0
【解析】由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，∴f ′(3)＝－1
3.
∵g (x )＝xf (x )，∴g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )， ∴g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)， 又由题图可知f (3)＝1，
∴g ′(3)＝1＋3×???
?－13＝0. 高频考点五 定积分的计算
例5. （2020·江苏省仪征中学模拟）计算??1
2???
?x ＋1
x d x 的值为( ) A.3
4 B.3
2＋ln 2 C.5
2
＋ln 2 D ．3＋ln 2
【答案】B
【解析】??1
2???
?x ＋1x d x ＝????12x 2＋ln x |21＝2＋ln 2－12＝32＋ln 2.故选B.] 【方法技巧】
(1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差． (2)把定积分变形为求被积函数为上述函数的定积分． (3)分别用求导公式的逆运算找到一个相应的原函数．
(4)利用微积分基本定理求出各个定积分的值，然后求其代数和．
【变式探究】（2020·安徽省阜阳市第一中学模拟）??0
π(sin x －cos x )d x ＝________．
【答案】2
【解析】??0
π(sin x －cos x )d x ＝(－cos x －sin x )|π0
＝1＋1＝2 高频考点六 定积分的几何意义
例6. （2020·福建省晋江市第一中学模拟）若??－2
m －x 2－2x d x ＝π
4
，则m ＝________．
【答案】－1
【解析】根据定积分的几何意义??－2
m
－x 2－2x d x 表示圆(x ＋1)2＋y 2＝1和直线x ＝－2，x ＝m 和y ＝0
围成的图形的面积，又??－2
m
－x 2－2x d x ＝π
4
为四分之一圆的面积，结合图形知m ＝－1.
【变式探究】（2020·山东省淄博市第八中学模拟）曲线y ＝－x ＋2，y ＝x 与x 轴所围成的面积为
________．
【答案】7
6
【解析】
如图所示，由y ＝x 及y ＝－x ＋2可得交点横坐标为x ＝1.由定积分的几何意义可知，由y ＝x ，y ＝－
x ＋2及x 轴所围成的封闭图形的面积为??0
1
x d x ＋?
?1
2(－x ＋2)d x ＝23x 3
2|10＋????2x －x 22|21＝76.