高等数学公式大全
+ f (t )dt ，其中 f (t )连续，则 dx = f (x ) dy （1） y = +∏ ( ) f (t )dt ，其中 ∏ (x ) ，∏ (x )可导，f (t ) （2）y = x
公 式 2 ． lim 1 + lim
(1 + v )v = e 1 ?
1 ? =
e ； u lim
1 + ? = e ； n u ( )
x x n
当 x ? 0 时， e = 1 + x + + ? + + 0 x x x 5
+ + ? + ( 1) x x 4
+ ? + ( 1)
x x 3 + ? + ( 1) n +1 x ( )
x x 5 + ? + ( 1) n +1 x x ， e x 1 ~ x ， ln (1 + x ) ~ x ，
整数），则 lim x n = A 存在，且 A ε m f 2(x ) g 2(x )
f (x )
g (x )
整数），则 lim x n = A 存在，且 A δ M f 2(x ) g 2(x )
f (x )
g (x ) 2 2 （
考研数学知识点-高等数学
一. 函数的概念
1．用变上、下限积分表示的函数
公式 1． lim
x 0 sin x
x = 1
连续，
x
0 ∏ 2 ( x ) 1
1 2 v 0
1
n n u
则
dy
dx
= f [∏ 2 (x )]∏ 2 (x ) f [∏1 (x )]∏1 (x )
4．用无穷小重要性质和等价无穷小代换
5．用泰勒公式（比用等价无穷小更深刻）（数学一和 2．两个无穷小的比较
数学二）
设 lim f (x ) = 0 ， lim g (x ) = 0 ，且 lim
f (x )
g (x )
= l
x n （1） l = 0 ，称 f (x ) 是比 g (x ) 高阶的无穷小，记以
f (x ) = 0[
g (x )] ，称 g (x ) 是比 f (x ) 低阶的无穷
sin x = x
3
3! 5!
n
x 2 n +1
(2n + 1)!
+ 0(x 2 n +1
)
小。
（2） l ? 0 ，称 f (x ) 与 g (x ) 是同阶无穷小。
cos x = 1 2 2! 4!
n
x 2 n
(2n )!
+ 0(x 2n
)
（ 3） l = 1 ，称 f (x ) 与 g (x ) 是等价无穷小，记以
ln (1 + x ) = x 2
2 3 n
n
+ 0(x n ) f (x ) ~ g (x )
3．常见的等价无穷小 当 x ? 0 时
sin x ~ x ， tan x ~ x ，arcsin x ~ x ，arctan x ~ x
3 2 n +1 arctan x = x + 0 x 2n +1 3 5 2n + 1
(1+ x ) ? =1+?x + ?(? 1) x 2
+? + ?(? 1)? [? (n 1)] x n
+ 0(x n
)
2! n !
1 cos x ~ 1
2 2
6．洛必达法则
(1 + x ) ?
1 ~ ?x
法则 1．（
型）设（1）lim f (x ) = 0 ，lim g (x ) = 0 二．求极限的方法
1．利用极限的四则运算和幂指数运算法则 2．两个准则
准则 1．单调有界数列极限一定存在
（1）若 x n +1 δ x n （ n 为正整数）又 x n ε m （ n 为正 n
（2）若
x n +1 ε x n （ n 为正整数）又 x n δ M （ n 为正
n
准则 2．（夹逼定理）设 g (x ) δ f (x ) δ h (x )
（2） x 变化过程中， f 2(x ) ， g 2(x ) 皆存在
（3）
lim = A （或 ）
则
lim = A （或 ） （注：如果
lim 不存在且不是无穷大量情形，则
不能得出
lim 不存在且不是无穷大量情形）
若 lim g (x ) = A ， lim h (x ) = A ，则 lim f (x ) = A 法则 2．
型）设（1）lim f (x ) = ，lim g (x ) = 3．两个重要公式
（2） x 变化过程中， f 2(x ) ， g 2(x ) 皆存在
f 2(x )
g 2(x )
f (x )
g (x )
k ? =k 1 f ?? n ?? = +0 f (x )dx
1
(x )2 = ? x
( ) = ? x
（? 实常数）d x
（3）
lim = A （或 ）
则 lim = A （或 ）
7．利用导数定义求极限 值，如果对于区间 [a , b ]
上的任一点 x ，总有 f (x ) δ M ，
则称
M 为函数 f (x ) 在 [a , b ]上的最大值。同样可以定义最
小值 m 。
定理 3．（介值定理）如果函数 f (x ) 在闭区间 [a , b ]
上
基本公式： lim
x 0
f (x 0 + x ) f (x 0 )
x
= f 2(x 0 ) [如果
连续，且其最大值和最小值分别为 M 和 m ，则对于介于 m
和
M 之间的任何实数 c ，在 [a , b ]上至少存在一个 ? ，使
存在]
8．利用定积分定义求极限
得
f (? ) = c
基本公式 1 lim
n n n
[如果存在]
推论：如果函数 f (x ) 在闭区间 [a , b ]
上连续，且 f (a )
三．函数的间断点的分类
函数的间断点分为两类：
（1）第一类间断点 设
x 0 是函数 y = f (x )的间断点。如果 f (x ) 在间断点
x 0 处的左、右极限都存在，则称 x 0 是 f (x ) 的第一类间断
与 f (b )异号，则在 (a , b )内至少存在一个点 ? ，使得
f (? ) = 0
这个推论也称为零点定理 五．导数与微分计算
1．导数与微分表
点。
第一类间断点包括可去间断点和跳跃间断点。
(c )2 = 0 d (c ) = 0
?
? 1 ?
1
dx （? 实常数）
（2）第二类间断点 第一类间断点以外的其他间断点统称为第二类间断
(sin x )2 = cos x
d sin x = cos xdx
点。
常见的第二类间断点有无穷间断点和振荡间断点。
(cos x )2 = sin x (tan x )2 = sec 2 x
d cos x = sin xdx
d tan x = sec 2 xdx 四．闭区间上连续函数的性质
在闭区间 [a , b ]
上连续的函数 f (x ) ，有以下几个基本
性质。这些性质以后都要用到。
定理 1．（有界定理）如果函数 f (x ) 在闭区间 [a , b ]
上 (cot x )2 = csc 2 x (sec x )2 = sec x tan x
(csc x )2 = csc x cot x
d cot x = csc 2 xdx
d sec x = sec x tan xdx
d csc x = csc x cot xdx
连续，则 f (x ) 必在 [a , b ]
上有界。
定理 2．（最大值和最小值定理）如果函数 f (x ) 在闭 (log a x )2 =
d log a x =
1
x ln a dx
x ln a
(a > 0, a ? 1)
(a > 0, a ? 1) 区间 [a , b ]
上连续，则在这个区间上一定存在最大值 M 和 (ln x )2 = 1
x
d ln x = 1 x
dx 最小值 m 。
其中最大值 M 和最小值 m 的定义如下： 定义 设 f (x 0 ) = M 是区间 [a , b ]上某点 x 0 处的函数
(a x )2 = a x ln a (a > 0, a ? 1) da x = a x ln adx (a > 0, a ? 1)
(e )2 = e
de x = e dx (arccos x )2 = (arctan x )2 = (arc cot x )2 = 1 2
[l n (x + )]
= x + a
d arccos x = d arctan x = 1 + x 2 darc cot x = 1 + x 2
≤ dx ∞? ⊕ = ? 22(t )∏ 2(t ) ? 2(t )∏ 22(t ) dx ∞? = ≤ d d =
x + a [l n (x + )]
= x a
x a 2
g 2(y )=(2(x )?0)=
f 2[
g ( y )]
f 2(x ) ≤ f 2(x )? ⊕ 1 d [
g 2( y )]
[ f 2(x )]
? f (x )/ f 2(x )g (x ) f (x )g 2(x ) = = f 2[∏ (x )]∏ 2(x ) 关 于 幂 指 函 数 y =
[ f (x )]
≤ ?
x
x
x
? 2(t )存在，且 ∏ 2(t ) ? 0 ，则
(arcsin x )2 =
1 1 x
2
d arcsin x =
1
1 x
2
dx
dy
dx
=
? 2(t ) ∏ 2(t )
(∏ 2(t ) ? 0)
2 2
1 1 x
2 1 1 + x 2
1 + x 2
1 x
2 + a 2 1 1
dx 1 x 2
dx 1 dx 二阶导数
? dy / ? dy /
d y 1 dx 2 dx dt dx [∏ 2(t )]3
dt
5．反函数求导法则
设 y = f (x ) 的 反 函 数 x = g ( y ) ， 两 者 皆 可 导 ， 且
d ln (x + x 2 + a 2 )
= 2 1 2
dx
f 2(x ) ? 0
2 2 2
d ln (x + x 2 a 2 )
=
2．四则运算法则
1 x
2 a 2
1
2
dx
则
二阶导数 g 22( y ) = =
1 1
[ f (x ) ± g (x )]2 = f 2(x ) ± g 2(x ) [ f (x ) ⊕ g (x )]2 = f 2(x )g (x ) + f (x )g 2(x )
=
f 22(x )
3
=
f 22[
g ( y )]
{ f 2[g ( y )]}
3
( f 2(x ) ? 0)
2 ' g (x ) ∞ = g 2 (x ) 3．复合函数运算法则
(g (x ) ? 0)
6．隐函数运算法则
设 y = y (x ) 是由方程 F (x , y ) = 0 所确定，求 y 2 的方 设 y = f (u )，u = ∏ (x ) ，如果 ∏ (x ) 在 x 处可导，f (u )
在对应点 u 处可导，则复合函数 y = f
[∏ (x )]在 x 处可导，
且有
法如下：
把 F (x , y ) = 0 两边的各项对 x 求导，把 y 看作中间变
量，用复合函数求导公式计算，然后再解出 y 2 的表达式（允
dy dx dy du
du dx
许出现 y 变量）
对应地 dy = f 2(u )du = f 2
[∏ (x )]∏ 2(x )dx
由于公式 dy = f 2(u )du 不管 u 是自变量或中间变量
都成立。因此称为一阶微分形式不变性。
4．由参数方程确定函数的运算法则
7．对数求导法则
先对所给函数式的两边取对数，然后再用隐函数求导 方法得出导数
y 2 。
对数求导法主要用于： ①幂指函数求导数
②多个函数连乘除或开方求导数 设 x = ∏ (t )，y = ? (t ) 确定函数 y = y (x ) ，其中 ∏ 2(t )，
g ( x )
常用的一种方法
= f 2(? ) （2） y = a (a > 0, a ? 1)
y (n ) = sin x + n ?
y (n ) = cos x + n ?
[u (x )v (x )](n ) =
C nk u (k ) (x )v (n k ) (x )
(x ) = v (x )
(0 )
y = e g ( x ) ln f ( x ) 这样就可以直接用复合函数运算法则进行。 （1）在闭区间 [a , b ]
上连续；
8．可微与可导的关系
f (x ) 在 x 0 处可微 ? f (x ) 在 x 0 处可导。 9．求 n 阶导数（ n ε 2 ，正整数）
先求出 y 2, y 22,? , 总结出规律性，然后写出 y
用归纳法证明。
有一些常用的初等函数的 n 阶导数公式
，最后
（2）在开区间 (a , b )内可导；
则存在 ?
(a , b )，使得
f (b ) f (a )
b a
或写成 f (b ) f (a ) = f 2(? )(b a )
(a < ? < b )
（1） y = e
x
y (n ) = e x
有时也写成
f (x 0 + x ) f (x 0 ) = f 2(x 0 + ? x ) ⊕ x
x
y (n ) = a x (ln a ) n
(0 < ? < 1)
（3） y = sin x
（4） y = cos x
2 ?
2 ?
这里
x 0 相当 a 或 b 都可以， x 可正可负。
推论 1．若 f (x ) 在 (a , b )内可导，且 f 2(x ) α 0 ，则 f (x )
在 (a , b )内为常数。
(5) y = ln x
y (n ) = ( 1) 1
(n 1)! x n
推 论 2 ． 若 f (x ) ， g (x ) 在 (a , b ) 内 皆 可 导 ， 且
两个函数乘积的 n 阶导数有莱布尼兹公式
n k =0
f 2(x ) α
g 2(x )，则在 (a , b )内 f (x ) = g (x ) + c ，其中 c 为
一个常数。
三．柯西中值定理（数学四不要）
其 中 C nk =
n !
k !(n k )!
，
u (0 ) (x ) = u (x ) ，
设函数 f (x ) 和 g (x ) 满足： v
假设 u (x )和 v (x ) 都是 n 阶可导。
微分中值定理 （1）在闭区间
[a , b ] 上皆连续；
（2）在开区间 (a , b )内皆可导；且 g 2(x ) ? 0
则存在 ?
(a , b )使得
一．罗尔定理
设函数 f (x ) 满足
f (b ) f (a )
g (b ) g (a )
=
f 2(? )
g 2(? )
(a < ? < b )
（1）在闭区间 [a , b ]
上连续；
（2）在开区间 (a , b )内可导；
（3） f (a ) = f (b )
则存在 ?
(a , b )，使得 f 2(? ) = 0
二．拉格朗日中值定理
（注：柯西中值定理为拉格朗日中值定理的推广，特 殊情形 g (x ) = x 时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定
理。）
四．泰勒定理（泰勒公式）（数学一和数学二）
定理 1．（皮亚诺余项的 n 阶泰勒公式） 设 f (x ) 在 x 0 处有 n 阶导数，则有公式
设函数 f (x ) 满足
R n (x ) = 0 ?? x x 0 (x x )n
e , sin x , cos x , ln (1 + x ) 和 (1 + x ) （? 为实常数）等的 n
2(x x 0 ) + f x 0 (x x 0 )2 + ? + f x 0 (x x 0 )n + R n (x ) n (x ? x 0
)
的一个极小值，称
x 0 为函数 f (x ) 的一个极小值点。
其中 R n (x ) = 0[
(x x 0 )
n
]
(x ? x 0
) 称为皮亚诺
函数的极大值与极小值统称极值。极大值点与极小值 点统称极值点。
余项。
lim 0 ?
前面求极限方法中用泰勒公式就是这种情形，根据不 同情形取适当的 n ，所以对常用的初等函数如
x ?
阶泰勒公式都要熟记。
定理 2（拉格朗日余项的 n 阶泰勒公式） 设 f (x ) 在包含 x 0 的区间 (a , b )内有 n + 1阶导数，在
[a , b ]上有 n 阶连续导数，则对 x [a , b ]，有公式
2．必要条件（可导情形）
设函数 f (x ) 在 x 0 处可导，且 x 0 为 f (x ) 的一个极值
点，则
f 2(x 0 ) = 0 。
我们称 x 满足
f 2(x 0 ) = 0 的 x 0 为 f (x ) 的驻点可导函
数的极值点一定是驻点，反之不然。
极值点只能是驻点或不可导点，所以只要从这两种点 中进一步去判断。
3．第一充分条件
f (x ) = f (x 0 ) +
f 2(x 0 )
1!
(n )
2! n ! 设 f (x ) 在 x 0 处连续，在 0 < x x 0 < ? 内可导，
间）
其中 R n (x ) = f (n +1) (? )
(n + 1)!
(x x 0 )n +1 ，（ ? 在 x 0 与 x 之 f 2(x 0 ) 不存在，或 f 2(x 0 ) = 0 。
1? 如果在 (x 0 ? , x 0 ) 内的任一点 x 处，有
称为拉格朗日余项。
上面展开式称为以 x 0 为中心的 n 阶泰勒公式。当
x 0 = 0 时，也称为 n 阶麦克劳林公式。如果 lim R n (x ) = 0 ，那么泰勒公式就转化为泰勒级
数，这在后面无穷级数中再讨论。
导数的应用： 一．基本知识
1．定义
设函数 f (x ) 在 (a , b )内有定义， x 0 是 (a , b )内的某一 点，则 如果点 x 0 存在一个邻域，使得对此邻域内的任一点
x (x ? x 0 ) ，总有 f (x ) < f (x 0 )，则称 f (x 0 ) 为函数 f (x ) 的一个极大值，称 x 0 为函数 f (x ) 的一个极大值点；
如果点 x 0 存在一个邻域，使得对此邻域内的任一点
x (x ? x 0 ) ，总有 f (x ) > f (x 0 )，则称 f (x 0 ) 为函数 f (x )
f 2(x ) > 0 ，而在 (x 0 , x 0 + ? ) 内的任一点 x 处，有 f 2(x ) < 0 ，则 f (x 0 ) 为极大值， x 0 为极大值点； 2? 如果在 (x 0 ? , x 0 ) 内的任一点 x 处，有
f 2(x ) < 0 ，而在 (x 0 , x 0 + ? ) 内的任一点 x 处，有
f 2(x ) > 0 ，则 f (x 0 ) 为极小值， x 0 为极小值点； 3? 如果在 (x 0 ? , x 0 ) 内与 (x 0 , x 0 + ? ) 内的任一点 x 处， f 2(x ) 的符号相同，那么 f (x 0 ) 不是极值， x 0 不是
极值点。 4．第二充分条件 设函数 f (x ) 在 x 0 处有二阶导数，且 f 2(x 0 ) = 0 ， f 22(x 0 ) ? 0 ，则
当 f 22(x 0 ) < 0 时， f (x 0 ) 为极大值， x 0 为极大值点。
当 f 22(x 0 ) > 0 时， f (x 0 ) 为极小值， x 0 为极小值点。
[ f (x 1 ) + f (x 2 )] ?? f ?? x 1 2x ?? < 1 [ f (x 1 ) + f (x 2 )] ?? x + x ? 1 + f (x ) x
f (x ) x
= a ? 0 ， lim [ f (x ) ax ] = b = a ? 0 ， lim [ f (x ) ax ] = b 为点 M (x , y ) 处
[1 + ( y 2) ]
k + 1． x dx =
x a + x a
二．函数的最大值和最小值
1．求函数 f (x ) 在 [a , b ]
上的最大值和最小值的方法
首 先 ， 求 出 f (x ) 在 (a , b ) 内 所 有 驻 点 和 不 可 导 点
x 1 ,? , x k ，其次计算 f (x 1 ),? , f (x k ), f (a ), f (b )。
最后，比较
f (x 1 ),? , f (x k ), f (a ), f (b )，
其中最大者就是 f (x ) 在 [a , b ]
上的最大值 M ；其中最
小者就是 f (x ) 在 [a , b ]
上的最小值 m 。
2．最大（小）值的应用问题
首先要列出应用问题中的目标函数及其考虑的区间，
然后再求出目标函数在区间内的最大（小）值。
三．凹凸性与拐点
1．凹凸的定义
设 f (x ) 在区间 I 上连续，若对任意不同的两点 x 1 , x 2 ，
恒有
y = f (x )在 (a , b )内是凸的。
求曲线 y = f (x )的拐点的方法步骤是：
第一步：求出二阶导数 f 22(x )；
第二步：求出使二阶导数等于零或二阶导数不存在的
点 x 1、 x 2 、…、
x k ；
第三步：对于以上的连续点，检验各点两边二阶导数 的符号，如果符号不同，该点就是拐点的横坐标；
第四步：求出拐点的纵坐标。
四．渐近线的求法
1．垂直渐近线 若
lim f (x ) = 或 lim f (x ) =
则 x = a 为曲线 y = f (x )的一条垂直渐近线。
2．水平渐近线
若 lim f (x ) = b ，或 lim f (x ) = b
x + x
则
y = b 是曲线 y = f (x )的一条水平渐近线。
f ? 1 2 ? > 2 ? 2 ? ? 2 ? 2 ?
则称 f (x ) 在 I 上是凸（凹）的。
3．斜渐近线
若 lim x + 或 lim x x + x 在几何上，曲线 y = f (x )上任意两点的割线在曲线下
（上）面，则 y = f (x )是凸（凹）的。
如果曲线 y = f (x )有切线的话，每一点的切线都在曲
线之上（下）则 y = f (x )是凸（凹）的。
2．拐点的定义
曲线上凹与凸的分界点，称为曲线的拐点。 3．凹凸性的判别和拐点的求法 设函数 f (x ) 在 (a , b )内具有二阶导数 f 22(x )，
如果在 (a , b )内的每一点 x ，恒有 f 22(x ) > 0 ，则曲线
则
y = ax + b 是曲线 y = f (x )的一条斜渐近线。
五．曲率（数学一和数学二）
设 曲 线 y = f (x ) ， 它 在 点 M (x , y ) 处 的 曲 率
k = 3 ，若 k ? 0 ，则称 R = 2 2
的曲率半径，在 M 点的法线上，凹向这一边取一点 D ，
使 MD = R ，则称 D 为曲率中心，以 D 为圆心， R 为半
径的圆周称为曲率圆。
不定积分
一．基本积分公式
y = f (x )在 (a , b )内是凹的；
如果在 (a , b )内的每一点 x ，恒有 f 22(x ) < 0 ，则曲线
?
x ? +1 ? + 1
+ C
(? ? 1，实常数)
+ x dx = ln x + C
+ 3． a dx = + + f (ax + b )d (ax + b )
f (ax + b )dx = + + ( ) （2） f ax + b x na + + + 6． sec xdx =
+ cos + + f (ln x )d (ln x ) f (ln x ) = 7． + + csc 2 xdx = dx = cot x + C + + + f ?? x ?? x = + f ? ?d ? ? x ? ? x ? + f ( x ) + f (
x )d ( x
)
= 2 + + f (a )a + f (a )(a ) + + + f (e )e
dx = + f (e )(e x )
+ +
a x
15． + 2 2 = + a =
x 16． = arcsin + C
+ C + C
a x + f (cos x )sin xdx = + f (cos x )d (cos x )
+ f (t a n x )s ec x dx = + f (t a n x )d (t a n x ) （9） + f (c ot x )c sc x dx =
+ f (c ot x )d (c ot x )
（10） + f (sec x )sec x tan xdx = + f (sec x )d (sec x )
+
= ln x + x 2 ± a 2 + C
x ± a
dx = + f (arcsin x )d (arcsin x )
+
+ f (u )du = F (u ) + C ，又 ∏ (x ) 可导，则
+ f [∏ (x )]∏ 2(x )dx = + f [∏ (x )]d ∏ (x )
+ f (u )du
dx =
+ f (arccos x )d (arccos x )
dx = + f (arctan x )d (arctan x ) dx = + f (arc cot x )d (arc cot x )
d 考研数学知识点-高等数学
2．
1
是非常熟练地凑出微分。
常用的几种凑微分形式：
x 1 ln a
a x + C (a > 0, a ? 1)
（1）
1
a +e x
dx = e x + C
(a ? 0)
4． cos xdx = sin x + C
n
dx = 1 f (ax n + b )(ax n + b )
5．
sin xdx = cos x + C
(a ? 0, n ? 0)
2
1 2
x
dx = tan x + C
（3） dx x 1
sin 2 x
8．
tan x sec xdx = sec x + C 9．
cot x csc xdx = csc x + C （4）
（5）
10． tan xdx = ln cos x + C
（6） x x dx = 1 ln a
x x
11．
cot xdx = ln sin x + C (a > 0, a ? 1)
12． sec xdx = ln sec x + tan x + C x
x
x
13．
csc xdx = ln csc x cot x + C
（7）
+ f (sin x )cos xdx = + f (sin x )d (sin x )
14．
dx 2 2
dx a +
x
dx
2 2
x
a
1 x
arctan a a 1 a + x ln 2a (a > 0)
(a > 0)
(a > 0)
（8）
（11） 2
2
dx 17．
2 2
二．换元积分法和分部积分法
(a > 0)
（12）
（13）
+ f (csc x )csc x cot xdx = + f (csc x )d (csc x )
f (arcsin x ) 1 x 2 1．第一换元积分法（凑微分法） 设
令u = ∏ (x )
= F (u ) + C = F [∏ (x )] + C
（14）
（15）
（16）
f (arccos x ) 1 x 2
f (arctan x )
1 + x
2 f (arc cot x )
1 + x
2 这里要求读者对常用的微分公式要“倒背如流”，也就
f ? arctan ?
1 + x
f ? arctan ?d ? arctan ?
n x +x +a +
x + a
x +a d
n x +x +a n x +x a +
x a
x a d n x +x a +
+
+
[ ]
（1）
P n (x )e ， P n (x )sin ax ， P n (x )cos ax 情形，
由 e 构成的代数式的根式，例如 ae + b 等。
只要令根式 g (x ) = t ，解出 x = ∏ (t ) 已经不再有根
Ax + B x + C (A ? 0) ，
第二类：被积函数含有
，
时 ， 先 化 为
（17）
+
（
2 2
18
)]dx = + f [ln (x +
2
))
(a > 0)
（
2 2
2
2
19
)]dx = + f [ln (x +
2
）
))
(a > 0)
（20）
f 2(x )
f (x )
dx = ln f (x ) + C
( f (x ) ? 0)
2．第二换元积分法
设 u (x )， v (x ) 均有连续的导数，则
设 x = ∏ (t ) 可 导 ， 且 ∏ 2(t ) ? 0
，
若
+ u (x )dv (x ) = u (x )v (x ) + v (x )du (x )
+ f [∏ (t )]∏ 2(t )dt = G (t ) + C ，
或
u (x )v 2(x )dx = u (x )v (x ) u 2(x )v (x )dx
+ 则
f (x )dx 令x = ∏ (t )
使用分部积分法时被积函数中谁看作 u (x ) 谁看作
f [∏ (t )]∏ 2(t )dt = G (t ) + C = G ∏ 1 (x ) + C v 2(x ) 有一定规律。
其中 t = ∏
1
(x )为 x = ∏ (t )的反函数。
ax
第二换元积分法绝大多数用于根式的被积函数，通过 换元把根式去掉，其常见的变量替换分为两大类：
P n (x )为 n 次多项式， a 为常数，要进行 n 次分部积分法，
第一类：被积函数是 x 与 n ax + b 或 x 与 n
ax + b cx + d
或
每次均取 e
u (x )。
ax ，
sin ax ， cos ax 为 v 2(x ) ；多项式部分为
x x
n
式，那么就作这种变量替换 x = ∏ (t )即可。
2
（2）
P n (x )ln x ， P n (x )arcsin x ， P n (x )arctan x 情
形 ， P n (x ) 为 n 次 多 项 式 取 P n (x ) 为 v 2(x ) ， 而 ln x ，
arcsin x ， arctan x 为 u (x )，用分部积分法一次，被积函
数的形式发生变化，再考虑其它方法。
如果仍令 Ax 2 + Bx + C = t 解出 x = ∏ (t )仍是根号，那
（3）e ax
sin bx ，e ax cos bx 情形，进行二次分部积分 么这样变量替换不行，要作特殊处理，将 A > 0 时先化为
2
法后要移项，合并。 （4）比较复杂的被积函数使用分部积分法，要用凑微
+ f (t )dt
+ + f (
x )dx f (x )dx = + f (x )dx = 0
+ f (t )dt 在
+ [k f (x ) + k f (x )]dx = k + f (x )dx + k + f (x )dx a a a （4） f (x )dx = f (x )dx + + f (x )dx （ c 也可以在 [a , b ] + + 推广形式：设 F (x ) =
+∏ ( ) f (t )dt ，∏ (x ),∏ (x )可导，
x
+ + g (x )dx f (x )dx δ m (b a ) δ + f (x )dx δ M (b a ) + +
f (x ) dx f (x )dx δ （7）设 a < b ，则 +
f (x )dx = F (x ) a = F (b ) F (a ) + f (x )dx = f (? )(b a )
1 b a +a
+ f (x )dx = 0 （ f 奇函数）
+ + f (x )dx （ f 偶函数） f (x )dx = 2 + +? f [∏ (t )]∏ 2(t )dt
f (x )dx =
+ f (x )dx = + f (x )dx
+ u (x )v 2(x )dx = u (x )v (x )
+ u 2(x )v (x )dx + f (t )dt ，
+ u (x )dv (x ) = u (x )v (x )
+ v (x )du (x )
（ 2 2 分法，使尽量多的因子和 dx 凑成
x [a , b ]称为变上限积分的函数
一．定积分的概念与性质 1．定积分的性质
定理：1）若 f (x ) 在 [a , b ]
上可积，则 F (x ) =
x
a
（1）
a b
b a
在 [a , b ]
上连续
（2）
a
a （2）若 f (x ) 在 [a ,
b ]
上连续，则 F (x ) =
x
a （ 3 ）
b b b
1 1
2 2 1 1 2 2
b c b
a a
c 之外）
（5）设 a δ b ， f (x ) δ g (x ) (a δ x δ b )，则
b b
a a
（6）设 a < b ， m δ f (x ) δ M (a δ x δ b )，则
b
a
b b
a a
[a , b ]上可导，且 F 2(x ) = f (x )
∏ 2 ( x ) 1 2
1
f (x ) 连续，
则 F 2(x ) = f
[∏ 2 (x )]∏ 2 (x ) f [∏ 1 (x )]∏1 (x )
2．牛顿一莱布尼兹公式
设 f (x ) 在 [a , b ]上可积，F (x )为 f (x ) 在 [a , b ]
上任意
一个原函数，
b
b
则有
a
（8）定积分中值定理
设 f (x ) 在 [a , b ]上连续，则存在 （注：若 f (x ) 在 [a , b ]
上连续，可以很容易地用上面
? [a , b ]，使
b
a
变上限积分的方法来证明；若 f (x ) 在 [a , b ]
上可积，牛顿
一莱布尼兹公式仍成立，但证明方法就很复杂）
定义：我们称
b
f (x )dx 为 f (x ) 在 [a , b ]上的积 三．定积分的换元积分法和分部积分法 1．定积分的换元积分法
分平均值
（9）奇偶函数的积分性质
a
a 设 f (x ) 在 [a ,
b ]
上连续，若变量替换 x = ∏ (t )满足
（1） ∏ 2(t )在 [? , ? ]（或
[? ,? ]）上连续；
a a
a 0
（ 2 ） ∏ (? ) = a ， ∏ (? ) = b ， 且 当 ? δ t δ
? 时，
（10）周期函数的积分性质 设 f (x ) 以 T 为周期， a 为常数，则
a δ ∏ (t ) δ
b ，则 a
b ?
a +T
a
T
2．定积分的分部积分法 设 u 2(x ), v 2(x )在 [a , b ]
上连续，则
二．基本定理 1．变上限积分的函数
b
a
b a
b a 定义：设 f (x ) 在 [a , b ]
上可积，则 F (x ) =
x
a
或
b
a b a
b
a
S 1 =
+ [y 2 (x ) y 1 (x )]dx
+ [x ( y ) x ( y )]dy
c + 1 + [y 2(x )] dx
而 dS = 1 + [y 2(x )]
dx 也称为弧微分
r (? )d ? 2 +? +? r
2 (? ) r 1 (? ) d ?
+? [r 2(? )] + [r 2(? )] d ?
弧长 S =
? y = y (t )
+? [x 2(t )] + [
y 2(t )]
dt
? y = ? (t )
V = + S (z )dz S = + + ? (t )∏ 2(t )dt ydx =
定积分的应用 一．平面图形的面积
1．直角坐标系
模型 I b
a 其中 y 2 (x ) ε y 1 (x )， x [a , b
]
二．平面曲线的弧长（数学一和数学二）
模型 II S 2 =
d
2 1
1．直角坐标系
其中 x 2 ( y ) ε x 1 ( y )， y [c , d ]
设光滑曲线 y = y (x ) ， (a δ x δ b ) [也即 y (x ) 有
连续的导数]
弧长 S =
b
a
2
2
2．构坐标系
2．构坐标系 设光滑曲线 r = r (? )， (? δ ? δ ? ) [ r (? )在 [? , ? ]上
模型 I S 1 =
模型 II S 2 =
1 ? 2
1 ?
2 2
2
有连续导数]
2 2
3．参数方程所表曲线的弧长
?x = x (t )
(? δ t δ ? ) [ x (t ) ， y (t ) 在 设光滑曲线 C ?
[? , ? ]上有连续的导数]
3．参数形式表出的曲线所围成的面积
曲线 C 的弧长 S =
2 2
三．特殊的空间图形的体积（一般体积要用二重积分） ?x = ∏ (t ) 的 参 数 方 程 ，
(? δ t δ ? ) ∏ (? ) = a ， ? (? ) = b ， ∏ (t ) 在 [? , ? ] （ 或 [? ,? ]）上有连续导数，且 ∏ 2(t )不变号，? (t ) ε 0 且连续，
则曲边梯形面积（曲线 C 与直线 x = a , x = b 和 x 轴所围
成） b ? a ?
1．已知平行截面面积的立体体积
设空间一个立体由一个曲面和垂直于 z 轴两平面
z = c 和 z = d 所围成， z 轴每一点 z (c δ z δ d )且垂直于
z 轴的立体截面的面积 S (z )为已知的连续函数，则立体体
积
d
c
2．绕坐标轴旋转的旋转体的体积
（1）平面图形由曲线 y = y (x ) (ε 0)与直线 x = a ，
x = b 和 x 轴围成
绕 x 轴旋转一周的体积
V x = ? + y 2 (x )dx
V x = 2 + yx ( y )dy
V y = 2 + xy (x )dx
设平面曲线
C = ) 位于 x 轴上方，它绕 x 轴一周所
V y = ? + x 2 ( y )dy
1．设 AB 的方程为 y = y (x ) (a δ x δ b ) + Q ( y ) = + P (x )dx +
C
+ y (x )
1 + [y 2(x )] dx 2．设 AB 的极坐标方程为 r = r (? )， (? δ ? δ
+? r (? )sin ? [r 2(? )] + [r 2(? )] d ?
+ M (x ) dx + + N ( y ) dy = C 3 ． 设 AB 的 参 数 方 程 为 x = x (t ) ， y = y (t ) ，
+? y (t ) [x 2(t )] + [
y 2(t )]
dt
= u ， = f ? ?
= P (x )Q ( y )
+ f (u ) u = +
b
a d
c 绕 y 轴旋转一周的体积
b
a
四．绕坐标轴旋转的旋转曲面的面积（数学一和数学
二）
（2）平面图形由曲线 x = x ( y ) (ε 0)与直线 y = c ，
y = d 和 y 轴围成
绕 y 轴旋转一周的体积
d
c 绕 x 轴旋转一周的体积
AB
得旋转曲面的面积为 S 。
)
通解
dy
（注：在微分方程求解中，习惯地把不定积分只求出 则 S = 2
b
a
2
它的一个原函数，而任意常数另外再加）
（ 2 ） 方 程 形 式 ：
)
? )
M 1 (x )N 1 ( y )dx + M 2 (x )N 2 ( y )dy = 0
则 S = 2
2 2 通解
M 1 (x ) N 2 ( y )
2 1
)
(M 2 (x ) ? 0, N 1 ( y ) ? 0)
2．变量可分离方程的推广形式
(? δ t δ ? )
则 S = 2
2 2
（1）齐次方程
y
令 x
dy
dx y ? x ? 常微分方程
二．变量可分离方程及其推广
则 dy dx = u + x du
dx = f (u ) 1．变量可分离的方程 dy （1）方程形式：
dx
(Q ( y ) ? 0)
du dx
x + c = ln | x | +c
= f (ax + by + c )(a ? 0, b ? 0)
+ P (x )y = Q (x ) + a + bf (u ) = + dx = x + c
?
= f ?? 1 1 1 a 2 x + b 2 y + c 2
① 当 =
? 0 情 形 ， 先 求 出
[+ Q (x )e
则得 y = e
dx + C
+ P (x )y = Q (x )y ? (? ? 0,1) 令 z = y ?a 2 2 2 = 0
x + b y + c + (1 ? )P (x )z = (1 ? )Q (x ) =
= f ?? 1 1 ?? = a 1 + b 1 + b a 2 2
+ P ( y )x = Q ( y ) = = ? = f ??
?
= a 1 + b 1 f ?? du dy u + c 1
?u + c 2 ?
+ P (x )y = 0
（1） xdx + ydy = d ??
? ； （2） xdx ydy = d ??
? ；
dy （2） dx
令
ax + by + c = u ， 2．一阶线性非齐次方程
dy
dx
用常数变易法可求出通解公式
则
du
dx
= a + bf (u ) 令 y = C (x )e
+ P ( x )dx
du
（3）
dx
?a 1 x + b 1 y + c 1 = 0 ?
的解 (? , ? )
dz
把原方程化为
dx
再按照一阶线性非齐次方程求解。
令 u = x
? ， v = y ? 4．方程：
dy 1 dx Q ( y ) P ( y )x
则
dv du
a u +
b v ?
a 2u +
b 2v ?
f ?
v ?
u ? 属于齐次 v ? u ?
dx 可化为
dy
以 y 为自变量， x 为未知函数 方程情形
再按照一阶线性非齐次方程求解。
②当 =
a 1 a 2
b 1 b 2
= 0 情形，
四．全微分方程及其推广（数学一） 1．全微分方程
令
a 2 a 1
b 2 b 1
P (x , y )dx + Q (x , y )dy = 0 ，满足
Q x P
y
则
dy dx a 1 x + b 1 y + c 1
?(a 1 x + b 1 y ) + c 2
通解： u (x , y ) = C ，
其中 u (x , y ) 满足 du (x , y ) = P (x , y )dx + Q (x , y )dy
令 u = a 1 x + b 1 y ，
则 = a 1 + b 1
dx dx
属于变量可分离方程情形。
三．一阶线性方程及其推广
求 u (x , y ) 的常用方法。
第一种：凑全微分法
P (x , y )dx + Q (x , y )dy = ? = du (x , y )
把常见的一些二元函数的全微分公式要倒背如流，就
很有帮助。
1．一阶线性齐次方程
dy dx
x 2 + y 2
2
它也是变量可分离方程，通解公式 y = Ce
（ c 为任意常数）
+ P ( x )dx
，
x 2 y 2
2
12
Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月
x + y
= d ' ln x 2 + y 2 ∞ ；
x y (
= d ' ln x 2 y 2
)/∞ ；
u (x , y ) = u (x 0 0 ) + + ( x 0 0 ) x
= d ? ? ；
= u (x 0 0 ) + + P (x , y 0 )dx + + Q (x , y )dy = d ?? ?? ；
（8）
y ? y
= d ?? arctan ；
y ?? x + y
（9）
= d ? arctan
；
x + y
= d ?? ln x + y ?? x y
2 = P (x , y )得
[+ P (x , y )dx ]+ C 2( y )，
得 Q (x , y ) =
=
x + y = d ?? ln
x + y ? x y ?? (x ) + y
= d ?? 2 x + y ? ；
= d ?? x d x y d y 11 2 2 ? (x ) 2 x y ? y ( ) = d ? arctan x
2 + y 2 ? ； ( ) 1 + x + y ( ) = d ? arctan x
2 y 2 ? ； ( )
1 + x
2 y 2 [R Q ] [R P ]
（3） ydx + xdy = d (xy ) ；
（4）
（5）
ydx + xdy xy
xdx + ydy 2 2
= d (ln xy ) ；
? 1 /
≤ 2 ?
（6）
xdx ydy 2 2
? 1
≤ 2
?
, y ( x , y )
, y
P (x , y )dx + Q (x , y )dy
（7）
xdy ydx 2 y ? x ? , y
第三种：不定积分法
x y
x 0 y 0 （10）
（12）
xdy ydx
2 2
1
2
；
设 P (x , y )dx + Q (x , y )dy = 0 不是全微分方程。
（13） xdx + ydy 2 2 2
1 1
2 2
不满足 Q x P y
（14） ? ；
2 2 2
xdx + ydy ? 1 ? （15）
2 2 2
xdx ydy ? 1 ?
（16）
2
第二种：特殊路径积分法（因为积分与路径无关）
13
但是存在 R (x , y )
使 得 R (x , y )P (x , y )dx + R (x , y )Q (x , y )dy = 0 为 全
微分方程，
也即满足 =
x y
则 R (x , y )称为约当因子，
按全微分方程解法仍可求出
R (x , y )P (x , y )dx + R (x , y )Q (x , y )dy = du (x , y )
通解 u (x , y ) = C 。
这种情形，求约当因子是关键。 特殊的高阶微分方程
Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月
特征方程 ? + p ? + q = 0
（1）当 = p 4q > 0 ，特征方程有两个不同的
一．可降阶的高阶微分方程
二．线性微分方程解的性质与结构
我们讨论二阶线性微分方程解的性质与结构，其结 论很容易地推广到更高阶的线性微分方程。
二阶齐次线性方程
任意常数）仍为同方程的解，特别地，当 y 1 (x ) ? ?y 2 (x )
（ ? 为常数），也即 y 1 (x )与 y 2 (x )线性无关时，则方程的
通解为 y = C 1 y 1 (x ) + C 2 y 2 (x )
2．若 y 1 (x )，y 2 (x )为二阶非齐次线性方程的两个特
解，则 y 1 (x ) y 2 (x )为对应的二阶齐次线性方程的一个
特解。
3．若 y (x )为二阶非齐次线性方程的一个特解，而
y (x )为对应的二阶齐次线性方程的任意特解，则 y (x ) + y (x )为此二阶非齐次线性方程的一个特解。
4．若 y 为二阶非齐次线性方程的一个特解，而
C 1 y 1 (x ) + C 2 y 2 (x )为对应的二阶齐次线性方程的通解
（ C 1， C 2 为独立的任意常数）则
y = y (x ) + C 1 y 1 (x ) + C 2 y 2 (x )是此二阶非齐次线性方程
的通解。
5．设 y 1 (x )与 y 2 (x )分别是
y 22 + p (x )y 2 + q (x )y = f 1 (x )与
y 22 + p (x )y 2 + q (x )y = f 2 (x )的特解，则
y 1 (x ) + y 2 (x )是
y 22 + p (x )y 2 + q (x )y = f 1 (x ) + f 2 (x )的特解。
三．二阶和某些高阶常系数齐次线性方程 1．二阶常系数齐次线性方程
y 22 + py 2 + qy = 0
y 22 + p (x )y 2 + q (x )y = 0
二阶非齐次线性方程
（1）
其中 p ， q 为常数，
2
y 22 + p (x )y 2 + q (x )y = f (x )
（2）
式
特征方程根的三种不同情形对应方程通解的三种形
1．若 y 1 (x )， y 2 (x )为二阶齐次线性方程的两个特
解，则它们的线性组合 C 1 y 1 (x ) + C 2 y 2 (x )（ C 1，C 2 为
实根 ?1 ， ? 2
2
（2）当 = p 4q = 0 ，特征方程有二重根 （3）当 = p 4q < 0 ，特征方程有共轭复根
(C 1 cos ? x + C 2 sin ? x )
则方程的通解为
y = e
（3）若 0 是特征方程的重根，则令 y = x R n (x )
2．
f (x ) = P n (x )e 其中 P n (x )为 n 次多项式，? 为
则方程通解 y = C 1e + C 2 e + ? + C n e
则方程通解中含有
C 1 2 x + ? + C k x
+ C （1）若? 不是特征根，则令 y = R n (x )e （2）若? 是特征方程单根，则令
y = xR n (x )e
（3）若? 是特征方程的重根，则令 y = x R n (x )e
[(
e C 1 +C 2x +? +C k x
)cos ? x +(D + D x +? + D x )sin ? x ]
其中 R n (x ) = a 0 x + a 1 x 考研数学知识点-高等数学
则方程的通解为 y = C 1e
?x
+ C 2 e ?2
x
通解： y = y + C 1 y 1 (x ) + C 2 y 2 (x )
?1 = ? 2
2
其中 C 1 y 1 (x ) + C 2 y 2 (x )为对应二阶常系数齐次线性
方程的通解上面已经讨论。所以关键要讨论二阶常系数非 齐次线性方程的一个特解 y 如何求？
则方程的通解为 y = (C 1 + C 2 x )e
?1x
我们根据 f (x ) 的形式，先确定特解 y 的形式，其中
2
? ± i ? ，
?x 2． n 阶常系数齐次线性方程
y (n ) + p 1 y (n 1) + p 2 y (n 2 ) + ? + p n 1 y 2 + p n y = 0
其中
p i (i = 1,2,? , n ) 为常数。
相应的特征方程
n 1 n 2
特征根与方程通解的关系同二阶情形很类似。
（1）若特征方程有 n 个不同的实根 ? 1, ?2 ,? , ?n
?1x ?2 x ?n x
（2）若 ?0 为特征方程的 k 重实根 (k δ n ) k 1 ?0 x
（ 3 ） 若 ? ± i ? 为 特 征 方 程 的 k 重 共 轭 复 根 (2k δ n )
则方程通解中含有
包含一些待定的系数，然后代入方程确定这些系数就得到 特解 y ，常见的 f (x ) 的形式和相对应地 y 的形式如下：
1．
f (x ) = P n (x )，其中 P n (x )为 n 次多项式
（ 1 ） 若 0 不 是 特 征 根 ， 则 令
y = R n (x ) = a 0 x n + a 1 x n 1 + ? + a n 1 x + a n
其中
a i (i = 0,1,2,? , n )为待定系数。
（2）若 0 是特征方程的单根，则令
y = xR n (x ) 2
?x
实常数
?x
?x
2 ?x
3 ．
f (x ) = P n (x )e ?x sin ? x 或
f (x ) = P n (x )e ?x cos ? x
其中
P n (x )为 n 次多项式，? , ? 皆为实常数
?x
k 1 1 2 k
k 1 （ 1 ） 若 ? ± i ? 不 是 特 征 根 ， 则 令
y = e ?x [R n (x )cos ? x + T n (x )sin ? x ]
由此可见，常系数齐次线性方程的通解完全被其特 征方程的根所决定，但是三次及三次以上代数方程的根
n
n 1 + ? + a n 1 x + a n
不一定容易求得，因此只能讨论某些容易求特征方程的 根所对应的高阶常系数齐次线性方程的通解。
四．二阶常系数非齐次线性方程 a i (i = 0,1,? , n )为待定系数
T n (x ) = b 0 x n + b 1 x n 1 + ? + b n 1 x + b n
方程： y 22 + py 2 + qy = f (x )
其中 p , q 为常数
b i (i = 0,1,? , n )为待定系数
[R n (x)cos ? x + T n (x)sin ? x] y = xe 3．数量积。a ⊕ b = a b ⊕ cos ? ) ??
+ ? + p n 1 xy2 + p n y = 0，
+ p1 x 其中 ?? ) ??为向量a, b间夹角
x = e代入方程，变为t是自变量，y是未知函数的微
= ⊕ = e t =
a ?
b = a b sin ? a), b ??
d y dx
= e
dt d ? dy ? t d ?
= e 2t
d y
dt
d y
2
dy ?
dt ??
d y dx
d y
=
dt
cos∏ =
cos∏=
a +a22 +a32 ⊕ b12 +b22 +b32
1 1
2
3 3
（2）若? ± i?是特征根，则令
?x
五．欧拉方程（数学一）
x y y
其中p i (i = 1,2,? , n)为常数称为n阶欧拉方程。令t
分方程，一定是常系数齐次线性微分方程。
注意下面变换公式：
?
a, b
= a1b1 + a 2b2 + a3b3 ?
a, b
a ⊕ b为数量也称点乘。
a ⊕
b 0表示向量a在向量b上的投影，即
a ⊕
b 0 = Pr j b a
4．向量积a ? b也称为叉乘。
dy dx dy dt
dt dx
dy1 dy
dt x dt
，x
dy
dx
dy
dt
， ?
?
2
dx dt ? dx ?
dt ?
t dy ?
dt ?
2
e 2t
dy
dt
a ? b的方向按右手法则垂直于a, b所在平面，且
i j k
= 1
x2
2
dt
，
a ?
b = a1
b1
a 2
b2
a3
b3
x 2 2
2
2
2
dy
dt
a ? b是向量，a ?
b = b ? a。a ? b等于以a, b为
邻边的平行四边形的面积。
向量代数与空间解析几何
三．向量的运算
5．混合积：定义 (a, b, c) = (a ? b) ⊕ c，坐标公式
a = a1i + a 2 j + a3 k = {a1 , a 2 , a3}
b = b1i + b2 j + b3 k = {b1 , b2 , b3 } (a, b, c) =
a1
b1
c1
a 2
b2
c2
a3
b3
c3
c = c1i + c2 j + c3 k = {c1 , c2 , c3 } 几何意义 (a, b, c)表示以a, b, c为棱的平行大面体
的体积。
四．两向量间的关系
设a = {a1 , a 2 , a3}, b = {b1 , b2 , b3 } 1．加法。a + b = {a1 + b1 , a 2 + b2 , a3 + b3 }
减法。a b = {a1 b1 , a 2 b2 , a3 b3 }
2．数乘。 ?? = {?a1 , ?a 2 , ?a3}（ ?是常数）
向量的加、减和数乘运算统称线性运算。
关系
a, b间夹
角 (∏ )
a与b垂
直
向量表示
a ⊕ b
a b
a ⊕
b = 0
向量坐标表示
ab +a2b +ab
2
1
a1b1 + a 2b2 + b3b3 = 0
= = 3 ? A 2 2 2 2 = 0
x + B y + C z + D A + B 12 + C 12 ⊕ A 22 + B 22 + C 22
? B 1 C 1 ? D 1 ? D 2 ?? = = = 设 直 线
L 的 一 般 式 方 程 为
a 与
b 平
行
a ?
b = 0
a 1
b 1
为
二．平面及其方程
1．法（线）向量，法（线）方向数。
与平面 ? 垂直的非零向量，称为平面 ? 的法向量， 通常记成 n 。法向量 {m , n , p }的坐标称为法（线）方向 数。对于给定的平面 ? ，它的法向量有无穷多个，但它 所指的方向只有两个。
k 1 ( A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 ) + k 2 (A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 ) = 0
，其中 (k 1 , k 2 ) ? (0,0)。
6．有关平面的问题 两平面为
1 : A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 2．点法式方程 已知平面 ? 过 M (x 0 , y 0 , z 0 )点，
2 : A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0
其法向量 n = {A , B , C }，则平面 ? 的方程为
A (x x 0 ) +
B ( y y 0 ) +
C (z z 0 ) = 0
1 与 ?
2 间
夹角 (∏ )
cos ∏ = 2
1
A 1 A 2 +
B 1 B 2 +
C 1C 2
或
n ⊕ (r r 0 ) = 0
垂直条件
A 1 A 2 +
B 1 B 2 +
C 1C 2 = 0
其中
r 0 = {x 0 , y 0 , z 0 }, r = {x , y , z }
3．一般式方程
Ax + By + Cz + D = 0
其中
A ,
B ,
C 不全为零。 x , y , z 前的系数表示 ? 的
平行条件
重合条件
A 1
A 2 A 1 A 2
= = ? B 2 C 2 ? B 1 C 1
B 2
C 2
D 1
D 2
法线方向数， n = {A , B , C }是 ? 的法向量。
特别情形：
Ax + By + Cz = 0 ，表示通过原点的平面。
设 平 面 ? 的 方 程 为 Ax + By + Cz + D = 0 ， 而 点
M (x 1 , y 1 , z 1 )为平面 ? 外的一点，则 M 到平面 ? 的距离
d ：
Ax + By + D = 0 ，平行于 z 轴的平面。
d = Ax 1 + By 1 + Cz 1 + D
A 2 +
B 2 +
C 2
Ax + D = 0 ，平行 yOz 平面的平面。
x = 0 表示 yOz 平面。
4．三点式方程
设 A (x 1 , y 1 , z 1 ) ， B (x 2 , y 2 , z 2 ) ， C (x 3 , y 3 , z 3 ) 三
三．直线及其方程
1．方向向量、方向数
与直线平行的非零向量 S ，称为直线 L 的方向向量， 方向向量的坐标称为方向数。
2．直线的标准方程（对称式方程）。
点不在一条直线上，则通过
A ,
B ,
C 的平面方程为
x x 0
l = y y 0
m = z z 0
n
x x 1 x 2 x 1 x 3 x 1
y y 1 y 2 y 1 y 3 y 1
z z 1 z 2 z 1 = 0 z 3 z 1
其中 (x 0 , y 0 , z 0 )为直线上的点， l , m , n 为直线的方
向数。
3．参数式方程
5．平面束
? y = y 0 + mt x x 0 y y 0 z z 0A + B + C 2 ⊕ l 2 + m 2 + n 2
= = ?
? A 2 2 2 2 = 0 x + B y + C z + D = = 1 gradf (x 0 , y 0 ) = ?? f (x 0 , y 0 ) f (x 0 , y 0 ) ? ? x y ?
? x = x 0 + lt ?
? z = z 0 + nt s = {l , m , n }, t 为参变量。
4．两点式
Ax + By + Cz + D = 0
直线 L 的方程为：
= =
l m n
设 A (x 1 , y 1 , z 1 ) ， B (x 2 , y 2 , z 2 ) 为不同的两点，则 L 与 ? 间夹角 （? ）
sin ? =
2 2 Al + Bm + Cn
通过
A 和
B 的直线方程为
x x 1 x 2 x 1
= y y 1 y 2 y 1
=
z z 1
z 2 z 1
L 与 ? 垂直条件
L 与 ? 平行条件 l m n
A B C
Al + Bm + Cn = 0 5．一般式方程（作为两平面的交线）：
? A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 ， 方 向 向 量
L 与 ? 重合条件
多元函数微分学
Al + Bm + Cn = 0
L 上有一点在 ? 上 S = {A 1 , B 1 , C 1}? {A 2 , B 2 , C 2 }
6．有关直线的问题 两直线为
多元函数的偏导数与全微分 四．方向导数与梯度（数学一）
1．平面情形
L 1 :
L 2 :
x x 1
l 1
x x 2
l 2
=
=
y y 1
m 1 y y 2 m 2
=
=
z z 1
n 1 z z 2 n 2
z = (x , y ) 在 平 面 上 过 点 P 0 (x 0 , y 0 ) 沿 方 向
l = (cos ? , cos ? ) 的方向导数
L 1 与 L 2 间 夹 角 (? )
cos ? =
l 1l 2 + m 1m 2 + n 1n 2 l 12 + m 12 + n 12 ⊕ l 22 + m 22 + n 22
f l (x 0 , y 0 )
= lim
t ?0
f (x 0 + t cos ? , y 0 + t cos ? ) f (x 0 , y 0 )
t
垂直条件
l 1l 2 + m 1m 2 + n 1n 2 = 0
z = f (x , y )在点 P 0 (x 0 , y 0 )处的梯度为
平行条件
l 1 l 2
m 1 n m 2 n 2
?
, 而方向导数与梯度的关系为
四．平面与直线相互关系
f l (x 0 , y 0 )
= [gradf (x 0 , y 0 )]⊕ l
= gradf (x 0 , y 0 ) cos l (gradf (x 0 , y 0 ), l )
多元函数微分法
一．复合函数微分法——锁链公式
模型 1． z = f (u , v )， u = u (x , y ) ， v = v (x , y )
平面 ? 的方程为：
⊕ ⊕ F 2 F x 2
F 2F 2
F y 2 F y 2
?? x = f x z 2 ⊕ x ? u z
? u z = f y z 2 ⊕ ? 2 ? f y (x , y ) = 0
= f x 2 + f y 2 ⊕ y 2(x ) + f z 2 ⊕ z 2(x ) ? x = f u 2 ⊕ x + f v 2 ⊕ x = f u 2 + f v 2 ? y
y y = f u 2 + f v 2
? z
z z ? F = F (x 1 ,? , x n , ?1 ,? , ?m ) = f (x 1 ,? , x n ) + ?i i (x 1 ,? , x n )
F 2 F z 2 ? 22 ?
考研数学知识点-高等数学
z x z u u x + z v v x ； z y z u u y + z v
v y
（2）确定 x = x ( y , z )则 x y = F y 2 F x 2 ； x z = z
（3）确定
模型 2． u = f (x , y , z )， z = z (x , y )
y = y (z , x )则
= z ； =
x
z x
多元函数的极值和最值
? 2 + f ? y y
2 + f
一．求 z = f (x , y )的极值
? f x 2(x , y ) = 0 第 一 步
(x k
, y k
) (k = 1,2,? , l )
求 出 驻 点
第 二
步
令
模型 3． u = f (x , y , z )， y = y (x ) ， z = z (x )
du
dx
模型 4．w = f (u , v )，u = u (x , y , z ) ，v = v (x , y , z )
? w u v ? ? w u v
? ? w u v ? 2
若
k
< 0 则 f (x k , y k )不是极值
若
k
= 0 则不能确定（需从极值定义出发
讨论）
若
k
> 0 则 f (x k , y k )是极值
进一步 若
f xx (
x k , y k ) > 0 则 f (x k , y k )为极小值
若
f xx 22 (x k , y k ) < 0 则 f (x k , y k )为极大值
二．求多元 (n ε 2) 函数条件极值的拉格朗日乘子法
求
u = f (x 1 ,? , x n )的极值
?∏1 (x 1 ,? , x n ) = 0 ?
约束条件 ? ?∏ m (x 1 ,? , x n ) = 0
(m < n )
还有其它模型可以类似处理 二．隐函数微分法 设 F (x , y , z ) = 0 作
m i =1
∏
（1）确定 z = z (x , y ) 则
z x
= x ； z
y
= F y 2 F z 2
? ? ?F ?21 = ∏1 1 ,? , x n ) = 0
(x ? ? ??F ?2m
= ∏ m (x 1 ,? , x n ) = 0
f (x , y )dx
= + +
( 求出 x 1
,? , x
n
++ ++ f (x , y )dxdy
= + +
++ ++ f (? cos ? ,? sin ? )? d ? d ? f (? cos ? , ? sin ? )? d ?
= + + d ? ++ ++ f (x , y )dxdy
2
考研数学知识点-高等数学
?F x 21 = 0 ? ?F x n = 0 ?
?
d ? 2 ( y )
dy c 关于二重积分的计算主要根据模型 I 或模型
II 把二
重积分化为累次积分从而进行计算，对于比较复杂的区域
D ，如果既不符合模型 I 中关于 D 的要求，又不符合模
型 II 中关于 D 的要求，那么就需要把 D 分解成一些小区 域，使得每一个小区域能够符合模型 I 或模型 II 中关于
区域的要求，利用二重积分性质，把大区域上二重积分等 (k
) (k
)
)(k = 1,2,? , l ) 是有可能的条件 于这些小区域上二重积分之和，而每个小区域上的二重积 分则可以化为累次积分进行计算。
极值点，一般再由实际问题的含义确定其充分性。这种 方法的关键是解方程组的有关技巧。 多元函数积分学
二．在直角坐标系中化二重积分为累次积分以及交换积 分顺序问题
模型 I ：设有界闭区域
D =
{(x , y ) a δ x δ b ,∏1
(x ) δ y δ ∏ 2
(x )}
在直角坐标系中，两种不同顺序的累次积分的互相转 化是一种很重要的手段，具体做法是先把给定的累次积分 反过来化为二重积分，求出它的积分区域 D ，然后根据 D
再把二重积分化为另外一种顺序的累次积分。
三．在极坐标系中化二重积分为累次积分
在极坐标系中一般只考虑一种顺序的累次积分，也即 先固定? 对 ? 进行积分，然后再对? 进行积分，由于区域
D 的不同类型，也有几种常用的模型。
模型：设有界闭区域
D = {(? ,? )? δ ? δ ? ,∏1 (? ) δ ? δ ∏ 2 (? )} 其中 ∏1 (x ) ，∏ 2 (x )在 [a , b ]上连续，f (x , y ) 在 D 上
连续。
则
f (x , y )d ? = 其中 ∏1 (? )， ∏ 2 (? )在 [? , ? ]
上连续，
a
模型
II ：设有界闭区域
D =
{(x , y ) c δ y δ d ,? 1
( y ) δ x δ ? 2
( y )}
f (x , y )d ? = ? ∏ 2 (? )
? ∏1
(? )
模 型
I
：
设 有
界 闭 区 域
D =
{(? ,? ) 0 δ ? δ 2 ,∏1
(? ) δ ? δ ∏ 2
(? )}
其中? 1 ( y )，? 2 ( y ) 在 [c , d ]
上连续， f (x , y ) 在 D
上连续。
则
f (x , y )d ? =
其中 ∏1 (? ),∏ 2 (? )在 [0,2 ]
上连续，
高等数学常用公式大全
高数常用公式 平方立方： 22222222 332233223223332233222(1)()()(2)2()(3)2()(4)()()(5)()()(6)33()(7)33()(8)222(a b a b a b a ab b a b a ab b a b a b a b a ab b a b a b a ab b a a b ab b a b a a b ab b a b a b c ab bc ca -=+-++=+-+=-+=+-+-=-+++++=+-+-=-+++++= 21221)(9)()(),(2) n n n n n n a b c a b a b a a b ab b n ----++-=-++++≥ 三角函数公式大全 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1 -cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1 cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2- Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3 π -a) 半角公式 sin( 2A )=2cos 1A - cos( 2A )=2cos 1A + tan( 2A )=A A cos 1cos 1+- cot(2A )=A A cos 1cos 1-+ tan( 2 A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 和差化积 sina+sinb=2sin 2b a +cos 2b a - sina-sinb=2cos 2b a +sin 2b a - cosa+cosb = 2cos 2b a +cos 2b a - cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2 b a -
大一高数公式
高等数学公式 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 一些初等函数： 两个重要极限： 三角函数公式： a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π
[实用参考]大学数学公式总结大全
导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分：
一些初等函数： 两个重要极限： 三角函数公式： ·诱导公式： ·和差角公式：·和差化积公式： 2 sin 2sin 2cos cos 2cos 2cos 2cos cos 2sin 2cos 2sin sin 2cos 2sin 2sin sin β αβαβαβ αβαβαβ αβαβαβ αβ αβα-+=--+=+-+=--+=+α ββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±?= ±?±= ±=±±=±1 )(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin(
·倍角公式： ·半角公式： ·正弦定理：·余弦定理： ·反三角函数性质： 高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz）公式：中值定理与导数应用： 曲率： 定积分的近似计算： 定积分应用相关公式： 空间解析几何和向量代数： 多元函数微分法及应用 微分法在几何上的应用： 方向导数与梯度： 多元函数的极值及其求法： 重积分及其应用： 柱面坐标和球面坐标： 曲线积分： 曲面积分： 高斯公式：
斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系：常数项级数： 级数审敛法： 绝对收敛与条件收敛： 幂级数： 函数展开成幂级数： 一些函数展开成幂级数： 欧拉公式： 三角级数： 傅立叶级数： 周期为的周期函数的傅立叶级数： 微分方程的相关概念： 阳光怡茗工作室https://www.sodocs.net/doc/7116471196.html, 一阶线性微分方程： 全微分方程： 二阶微分方程： 二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：
高等数学一常用公式表
常用公式表（一） 1。乘法公式 ()()22212a b a ab b +=++ ()()2 2222a b a ab b -=-+ ()()()223a b a b a b -=+- ()()()33224a b a b a ab b +=+-+ ()()()33225a b a b a ab b -=-++ 2、指数公式： ()()0 110a a =≠ ()12p p a a -= ()3m n a = ()4m n m n a a a += ()5m m n m n n a a a a a -÷= = ()() 6n m m n a a = ()() 7n n n ab a b = ()8n n n a a b b ?? = ??? ()2 9a = (10a = () 1 111a a -= (1 2 12a = 3、指数与对数关系： （1）若N a b =，则 N b a log = （2）若N b =10 ，则N b lg = （3）若N e b =，则N b ln = 4、对数公式： （1） b a b a =log , ln b e b = (2)log 10,ln 10a == （3）N a aN =log ，ln N e N = ()ln 4log ln a N N a = （5）a b b e a ln = （6）N M MN ln ln ln += ()7ln ln ln M M N N =- （8） M n M n ln ln = ()1 9ln ln M n = 5、三角恒等式： （1）22sin cos 1α α+= （2）2 2 1tan sec αα += （3）221cot csc αα+= () sin 4tan cos αα α = () cos 5cot sin αα α = ()1 6cot tan α α = ()17csc sin α α = ()18sec cos αα = 6.倍角公式： （1）α ααcos sin 22sin = ()2 2tan 2tan 21tan αα α = - （3）α αααα2 2 2 2 sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-= 7.半角公式（降幂公式）： ()2 1cos 1sin 22 α α -= ()2 1cos 2cos 2 2 α α += ()1cos sin 3tan 2 sin 1cos α ααα α -= = +
大学高数公式(考前必备)
大学高等数学公式 考前必备 平方关系： sin^2(α)+cos^2(α)=1 tan^2(α)+1=sec^2(α) cot^2(α)+1=csc^2(α) 积的关系： sinα=tanα*cosα cosα=cotα*sinα tanα=sinα*secα cotα=cosα*cscα secα=tanα*cscα cscα=secα*cotα 倒数关系： tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 直角三角形ABC中, 角A的正弦值就等于角A的对边比斜边, 余弦等于角A的邻边比斜边 正切等于对边比邻边, 两角和与差的三角函数： cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) 三角和的三角函数： sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ
tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα) 辅助角公式： Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中 sint=B/(A^2+B^2)^(1/2) cost=A/(A^2+B^2)^(1/2) tant=B/A Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B 倍角公式： sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα) cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α) tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)] 三倍角公式 sin(3α)=3sinα-4sin^3(α) cos(3α)=4cos^3(α)-3cosα 半角公式： sin(α/2)=±√((1-cosα)/2) cos(α/2)=±√((1+cosα)/2) tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα 降幂公式 sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2 cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2 tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α)) 万能公式： sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)] cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)] tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)] 积化和差公式： sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)] cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)] cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)] sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]
高等数学积分公式大全
常 用 积 分 公 式 （一）含有ax b +的积分(0a ≠) 1．d x ax b +? ＝ 1ln ax b C a ++ 2．()d ax b x μ+?＝1 1() (1) ax b C a μμ++++（1μ≠-） 3．d x x ax b +?＝ 2 1(ln )ax b b ax b C a +-++ 4．2 d x x ax b +? ＝ 22 311()2()ln 2ax b b ax b b ax b C a ??+-++++???? 5．d () x x ax b +? ＝1ln ax b C b x +-+ 6．2 d () x x ax b +? ＝2 1ln a ax b C bx b x +- ++ 7．2 d () x x ax b +? ＝2 1(ln )b ax b C a ax b ++ ++ 8．2 2 d () x x ax b +? ＝ 2 3 1(2ln )b ax b b ax b C a ax b +-+- ++ 9．2 d () x x ax b +? ＝ 2 11ln () ax b C b ax b b x +- ++ 的积分 10．x ? ＝ C 11．x ?＝2 2(3215ax b C a -+ 12．x x ?＝ 2 2 2 3 2(15128105a x abx b C a -+ 13．x ? ＝ 2 2(23ax b C a -+
14 ．2 x ? ＝ 222 3 2(34815a x abx b C a -+ 15 ．? (0) (0) C b C b ?+>?的积分 22．2 d x ax b +? ＝(0) (0) C b C b ? +>? ? ?+< 23．2 d x x ax b +? ＝ 2 1 ln 2ax b C a ++
高等数学-第一章-1-5-作业答案
第49页 习题1-5 1 计算下列极限 （1）225 lim 3 x x x →+- 将2x =代入到25 3x x +-中，由于解析式有意义，因此 222525 lim 9323x x x →++==--- （2 ）2231 x x x -+ 将x =223 1 x x -+中，解析式有意义，因此 ()22 2 233 01 1 x x x --= =++ （3）22121 lim 1 x x x x →-+- 将1x =代入到解析式中，分子为0，分母为0，因此该极限为 型，因式分解，可得 ()()()()()2 221111121 0lim lim lim 011112 x x x x x x x x x x x →→→---+====-+-+ （4）322042lim 32x x x x x x →-++ 将0x =代入到解析式中，分子为0，分母为0. 因此该极限为 型，因式分解，可得 ()()()() 22322000421421421lim lim lim 3232322x x x x x x x x x x x x x x x x →→→-+-+-+===+++ （5）()2 2 lim h x h x h →+- 将0h =代入到解析式中，分子为0，分母为0. 因此该极限为 型，因式分解，可得 ()()()2 2 2lim lim lim 22h h h x h x x h h x h x h h →→→+-+==+=
（6）211lim 2x x x →∞ ??- + ??? 由于lim 22x →∞ =，1lim 0x x →∞??- = ???，22lim 0x x →∞?? = ??? 因此由极限四则运算法则可知 221112lim 2lim 2lim lim 2002x x x x x x x x →∞ →∞→∞→∞?????? - +=+-+=++= ? ? ??????? （7）221 lim 21 x x x x →∞--- 当x →∞时，分子→∞，分母→∞，因此该极限为∞ ∞ 型，分子分母同时除以x 的最高次项，也就是2 x ，再利用极限四则运算法则，可知： 2 2 2 2221 1 1lim1lim 1101lim lim 1111 212002 2lim 2lim lim x x x x x x x x x x x x x x x x →∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞- ---====-------- （8）242lim 31 x x x x x →∞+-+ 当x →∞时，分子→∞，分母→∞，因此该极限为∞ ∞ 型，分子分母同时除以x 的最高次项，也就是4 x ，再利用极限四则运算法则，可知： 2 2323422424 1111lim lim 00lim lim 0113131100 13lim1lim lim x x x x x x x x x x x x x x x x x x x →∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞++++====-+-+-+-+ （9）22468 lim 54 x x x x x →-+-+ 4x =代入到解析式中，分子为0，分母为0. 因此该极限为 型，因式分解，可得 ()()()()2244424682422 lim lim lim 54141413 x x x x x x x x x x x x x →→→---+--====-+---- （10）211lim 12x x x →∞ ???? + - ???????
高数知识点公式大全
高等数学公式 平方关系： sin^2(α)+cos^2(α)=1 tan^2(α)+1=sec^2(α) cot^2(α)+1=csc^2(α) 积的关系： sinα=tanα*cosα cosα=cotα*sinα tanα=sinα*secα cotα=cosα*cscα secα=tanα*cscα cscα=secα*cotα 倒数关系： tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 直角三角形ABC中, 角A的正弦值就等于角A的对边比斜边, 余弦等于角A的邻边比斜边 正切等于对边比邻边, 两角和与差的三角函数： cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) 三角和的三角函数： sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα) 辅助角公式： Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中
大学高数三角函数公式大全
三角函数 1. 与（0°≤ ＜ 360°）终边相同的角的集合（角与角的终边重合）： 终边在 x 轴上的角的集合： 终边在 y 轴上的角的集合： 终边在坐标轴上的角的集合： 终边在 y = x 轴上的角的集合： 终边在轴上的角的集合： 若角与角的终边关于 x 轴对称，则角与角的关系： 若角与角的终边关于 y 轴对称，则角与角的关系： 若角与角的终边在一条直线上，则角与角的关系： 角与角的终边互相垂直，则角与角的关系： 2. 角度与弧度的互换关系： 360°=2 180°= 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′ 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零 . 、弧度与角度互换公式： 1rad ＝°≈ 57.30 ° =57 ° 18 ˊ． 1 °＝≈ 0.01745 （ rad ） 3 、弧长公式：. 扇形面积公式：
4 、三角函数： 设 是一个任意角，在 的终边上任取（异 于原点的）一点 P （ x,y ） P 与原点的距离为 r ，则 ； ； ； ； ； . . 5 、三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦） 6 、三角函数线 正弦线： MP; 余弦线： OM; 正切线： AT. 7. 三角函数的定义域： 三角函数 定义域 sin x cos x tan x cot x sec x csc x r o x y a 的终边 P （x,y )正切、余切 余弦、正割 正弦、余割
8 、同角三角函数的基本关系式： 9 、诱导公式： “奇变偶不变，符号看象限” 三角函数的公式：（一）基本关系 公式组二 公式组三 公式组四 (3) 若 o
大学高数常用公式大全
高等数学公式 导数公式： 基本积分表： a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(2 2 = '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '
三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x += =+-=+=， ， ， 一些初等函数： 两个重要极限： ? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 ππx x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x x x x x x x ++=+-==+= -= ----1ln(:2 :2:22） 双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim 0==+=∞→→e x x x x x x
高等数学公式(一元
高等数学公式篇
·平方关系： sin^2(α)+cos^2(α)=1 tan^2(α)+1=sec^2(α) cot^2(α)+1=csc^2(α) ·积的关系： sinα=tanα*cosα cosα=cotα*sinα tanα=sinα*secα cotα=cosα*cscα secα=tanα*cscα cscα=secα*cotα ·倒数关系： tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 直角三角形ABC中, 角A的正弦值就等于角A的对边比斜边, 余弦等于角A的邻边比斜边 正切等于对边比邻边, ·三角函数恒等变形公式 ·两角和与差的三角函数： cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) ·三角和的三角函数： sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα) ·辅助角公式： Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中 sint=B/(A^2+B^2)^(1/2) cost=A/(A^2+B^2)^(1/2) tant=B/A Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B
高等数学积分公式大全
创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者： 凤呜大王* 常 用 积 分 公 式 （一）含有ax b +的积分(0a ≠) 1． d x ax b +?＝1 ln ax b C a ++ 2．()d ax b x μ +? ＝ 11 ()(1) ax b C a μμ++++（1μ≠-） 3． d x x ax b +?＝21 (ln )ax b b ax b C a +-++ 4．2d x x ax b +? ＝22311()2()ln 2ax b b ax b b ax b C a ?? +-++++???? 5． d ()x x ax b +?＝1ln ax b C b x +-+ 6． 2 d () x x ax b +? ＝21ln a ax b C bx b x +-++ 7． 2 d ()x x ax b +?＝21(ln )b ax b C a ax b ++++ 8．22 d ()x x ax b +?＝2 31(2ln )b ax b b ax b C a ax b +-+-++
9． 2 d () x x ax b +? ＝211ln ()ax b C b ax b b x +-++ 的积分 10 ． x ? C + 11 ．x ? ＝2 2 (3215ax b C a - 12 ．x x ? ＝2223 2(15128105a x abx b C a -++ 13 ． x ? ＝22 (23ax b C a - 14 ． 2x ? ＝222 3 2(34815a x abx b C a -++ 15 ．? (0) (0) C b C b ?+>< 16 ． ? ＝2a bx b -- 17 ． x ? ＝b ?18． 2d x x ? ＝2a + （三）含有2 2 x a ±的积分 19． 22d x x a +?=1arctan x C a a +
大一高等数学公式(精华整理的)
高等数学公式 1导数公式： 2基本积分表： 3三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π
小学到大学所有数学公式
小学到大学所有数学公式.txt真正的好朋友并不是在一起有说不完的话题，而是在一起就算不说话也不会觉得尴尬。你在看别人的同时，你也是别人眼中的风景。要走好明天的路，必须记住昨天走过的路，思索今天正在走着的路。1、每份数×份数＝总数总数÷每份数＝份数总数÷份数＝每份数 2、 1倍数×倍数＝几倍数几倍数÷1倍数＝倍数几倍数÷倍数＝1倍数 3、速度×时间＝路程路程÷速度＝时间路程÷时间＝速度 4、单价×数量＝总价总价÷单价＝数量总价÷数量＝单价 5、工作效率×工作时间＝工作总量工作总量÷工作效率＝工作时间工作总量÷工作时间＝工作效率 6、加数＋加数＝和和－一个加数＝另一个加数 7、被减数－减数＝差被减数－差＝减数差＋减数＝被减数 8、因数×因数＝积积÷一个因数＝另一个因数 9、被除数÷除数＝商被除数÷商＝除数商×除数＝被除数 小学数学图形计算公式 1 、正方形 C周长 S面积 a边长周长＝边长×4 C=4a 面积=边长×边长 S=a×a 2 、正方体 V:体积 a:棱长表面积=棱长×棱长×6 S表=a×a×6 体积=棱长×棱长×棱长V=a×a×a 3 、长方形 C周长 S面积 a边长 周长=(长+宽)×2 C=2(a+b) 面积=长×宽 S=ab 4 、长方体 V:体积 s:面积 a:长 b: 宽 h:高 (1)表面积(长×宽+长×高+宽×高)×2 S=2(ab+ah+bh) (2)体积=长×宽×高 V=abh 5 三角形 s面积 a底 h高 面积=底×高÷2 s=ah÷2 三角形高=面积×2÷底 三角形底=面积×2÷高 6 平行四边形 s面积 a底 h高 面积=底×高 s=ah 7 梯形 s面积 a上底 b下底 h高 面积=(上底+下底)×高÷2 s=(a+b)× h÷2 8 圆形
高等数学常用积分公式查询表
导数公式： 基本积分表： 1．d x ax b +?＝1ln ax b C a ++ 2．()d ax b x μ+?＝11()(1) ax b C a μμ++++（1μ≠-） 3．d x x ax b +?＝21(ln )ax b b ax b C a +-++ 5．d ()x x ax b +?＝1ln ax b C b x +-+ 6．2d ()x x ax b +?＝21ln a ax b C bx b x +-++ 10 ．x C 19．22d x x a +?=1arctan x C a a + 21．22d x x a -?=1ln 2x a C a x a -++ 23．2d x x ax b +?＝21ln 2ax b C a ++ 24．2 2d x x ax b +?＝2d x b x a a ax b -+? a x x a a a x x x x x x x x x x a x x ln 1)(log ln )(cot csc )(csc tan sec )(sec csc )(cot sec )(tan 22='='?-='?='-='='222211)cot (11)(arctan 11)(arccos 11)(arcsin x x arc x x x x x x +-='+='--='-='
31． 1arsh x C a +＝ln(x C + 32． ＝C + 33． x ＝C 34． x ＝C + 35．2 x ＝2ln(2a x C -++ 39． x 2 ln(2a x C +++ 43．x a C + 44．2d x x ?＝ln(x C +++ 47． x ＝C 53．x 2 ln 2 a x C 57．x ＝arccos a a C x + 59． arcsin x C a + 61． x ＝C
高数公式大全
大学数学公式 常用导数公式： 常用积分表： 三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1 )(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π
大学高数公式大全
高等数学公式导数公式: (tgx)’ =sec x (ctgx)' = -CSC x (secx) '=secx tgx (cscx) ‘ = -cscx ctgx (a v vi vii viii ix x r = a x l na (log a xr — xl na (arcsin x)，= . 1 2 J1-X2 1 (arccos x)'= —一’ V1—x2 1 (arctgx)'= __2 1 +x (arcctgx)，= -— 1 + x 基本积分表: Jtanxdx = -In cos^C Jcotxdx=ln sinx +C Jsecxdx= In secx+tgx +C Jcscxdx = In |cscx -ctg* +C dx J _2 a +x 「dx J 巴 =fsec xdx =tgx +C ' cos x 、 dx 2 J ——=fcsc xdx = -ctgx + C 'sin X ‘ fsecx tgxdx = secx + C J cscx ctgxdx =-cscx+C x fa x d^-^ +C In a f shxdx = chx + C 2 2 x -a dx —2 2 a -x dx I n 2 =Jsin n xdx = Jcos n xdx = jJ x2 +a2dx f J x2 -a2dx jV a2-x2dx 1 x =— arctg — a 丄In 2a 丄In 2a a g +( X +a 匕 +C a -x x = arcsi n- +C a Jchxdx = shx + C
三角函数的有理式积分: □1 I nd n __________ 2 , _________ =—V x^a^ — In(x + V x2+ a2) +C 2 2 __________ 2 L X I 2 2 a.『 =—v x -a ........... 2 2 ________ 2 2 -x2+ "^arcsin- + C 2 -一In X + V x2 -a2+C 2u sin X = ---------- 7c os x=Wy, dx 2du = 2 1 +u
Aokhig常用数学公式大全
生活需要游戏，但不能游戏人生；生活需要歌舞，但不需醉生梦死；生活需要艺术，但不能投机取巧；生活需要勇气，但不能鲁莽蛮干；生活需要重复，但不能重蹈覆辙。 -----无名 常用数学公式大全 1、每份数×份数＝总数总数÷每份数＝份数总数÷份数＝每份数 2、1倍数×倍数＝几倍数几倍数÷1倍数＝倍数几倍数÷倍数＝1倍数 3、速度×时间＝路程路程÷速度＝时间路程÷时间＝速度 4、单价×数量＝总价总价÷单价＝数量总价÷数量＝单价 5、工作效率×工作时间＝工作总量工作总量÷工作效率＝工作时间工作总量÷工作时间＝工作效率 6、加数＋加数＝和和－一个加数＝另一个加数 7、被减数－减数＝差被减数－差＝减数差＋减数＝被减数 8、因数×因数＝积积÷一个因数＝另一个因数 9、被除数÷除数＝商被除数÷商＝除数商×除数＝被除数 小学数学图形计算公式 1、正方形C周长S面积a边长周长＝边长×4C=4a面积=边长×边长S=a×a 2、正方体V:体积a:棱长表面积=棱长×棱长×6S表=a×a×6体积=棱长×棱长×棱长V=a×a×a 3、长方形 C周长S面积a边长
周长=(长+宽)×2 C=2(a+b) 面积=长×宽 S=ab 4、长方体 V:体积s:面积a:长b:宽h:高 (1)表面积(长×宽+长×高+宽×高)×2 S=2(ab+ah+bh) (2)体积=长×宽×高 V=abh 5三角形 s面积a底h高 面积=底×高÷2 s=ah÷2 三角形高=面积×2÷底 三角形底=面积×2÷高 6平行四边形 s面积a底h高 面积=底×高 s=ah 7梯形 s面积a上底b下底h高
面积=(上底+下底)×高÷2 s=(a+b)×h÷2 8圆形 S面积C周长∏d=直径r=半径 (1)周长=直径×∏=2×∏×半径 C=∏d=2∏r (2)面积=半径×半径×∏ 9圆柱体 v:体积h:高s;底面积r:底面半径c:底面周长 (1)侧面积=底面周长×高 (2)表面积=侧面积+底面积×2 (3)体积=底面积×高 （4）体积＝侧面积÷2×半径 10圆锥体 v:体积h:高s;底面积r:底面半径 体积=底面积×高÷3 总数÷总份数＝平均数 和差问题的公式 (和＋差)÷2＝大数 (和－差)÷2＝小数 和倍问题 和÷(倍数－1)＝小数
高数公式大全
高等数学公式汇总 第一章 一元函数的极限与连续 1、一些初等函数公式： sin()sin cos cos sin cos()cos cos sin sin tan tan tan()1tan tan cot cot 1 cot()cot cot ()()sh sh ch ch sh ch ch ch sh sh αβαβαβαβαβαβ αβ αβαβαβαββα αβαβαβαβαβαβ ±=±±=±±= ??±= ±±=±±=±m m m 和差角公式： sin sin 2sin cos 22sin sin 2cos sin 22cos cos 2cos cos 22cos cos 2sin sin 22 αβ αβ αβαβαβ αβαβαβ αβαβαβ αβ+-+=+--=+-+=+--=和差化积公式： 1 sin cos [sin()sin()] 21 cos sin [sin()sin()]21 cos cos [cos()cos()] 21 sin sin [cos()cos()] 2 αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ=++-=+--=++-=+--积化和差公式： 2222222 222sin 22sin cos cos 22cos 1 12sin cos sin 2tan tan 21tan cot 1 cot 22cot 22212 21sh sh ch ch sh ch ch sh αααααααααααααα αααααααα ==-=-=-= --= ==+= =-=+ 倍角公式：22222222sin cos 1;tan 1sec ;cot 1csc ;1 sin 2 cos 2 1cos sin tan 2 sin 1cos 1cos sin cot 2 sin 1cos x x x x ch x sh x ααααααα ααααα αα +=+=+=-===-===++=== -半角公式：