(完整版)信息光学习题答案及解析

信息光学习题答案

第一章 线性系统分析

1.1 简要说明以下系统是否有线性和平移不变性. （1）()();x f dx

d

x g =

（2）()();?=dx x f x g （3）()();x f x g = （4）()()()[];2

?

∞

∞

--=

αααd x h f x g

（5）

()()απξααd j f ?∞

∞

--2exp

解：（1）线性、平移不变； （2）线性、平移不变； （3）非线性、平移不变； （4）线性、平移不变； （5）线性、非平移不变。 1.2 证明)()ex p()(2x comb x j x comb x comb +=??

? ??π

证明：左边＝∑∑∑∞

-∞

=∞-∞=∞-∞=-=???

???-=??? ??-=??? ??n n n n x n x n x x comb )2(2)2(2122δδδ

∑∑∑∑∑∑∞

-∞

=∞

-∞

=∞

-∞=∞

-∞=∞

-∞

=∞

-∞

=--+-=

-+-=-+-=

+=n n

n n n n n n x n x n x jn n x n x x j n x x j x comb x comb )

()

1()()

()exp()()

()exp()()exp()()(δδδπδδπδπ右边

当n 为奇数时，右边＝0，当n 为偶数时，右边＝∑∞

-∞

=-n n x )2(2δ

所以当n 为偶数时，左右两边相等。

1.3 证明)()(sin x comb x =ππδ 证明：根据复合函数形式的δ函数公式

0)(,)

()

()]([1

≠''-=∑

=i n

i i i x h x h x x x h δδ

式中i x 是h(x)=0的根，)(i x h '表示)(x h 在i x x =处的导数。于是

)()

()(sin x comb n x x n =-=∑∞

-∞

=π

δπ

ππδ

1.4 计算图题1.1所示的两函数的一维卷积。

解：设卷积为g(x)。当-1≤x ≤0时，如图题1.1(a)所示， ?

+-+=

-+-=

x

x x d x x g 10

36

12131)1)(1()(ααα

图题1.1

当0 < x ≤1时，如图题1.1(b)所示， ?

+-=

-+-=

1

36

12131)1)(1()(x

x x d x x g ααα 即 ????

?????≤<+-≤≤--+=其它

,010,

612

1

3101,6121

31)(33x x x x x x x g 1.5 计算下列一维卷积。 （1）???

??-*-21)32(x rect x δ （2）??

? ??-*??? ??+2121x rect x rect （3）)()(x rect x comb * 解：（1）??

?

??-=??? ??-*??? ??-=???

??-*-25.22121232121)32(x rect x rect x x rect x δδ

（2）设卷积为g(x)，当x ≤0时，如图题1.2(a)所示， 2)(2

+==

?

+x d x g x α

当0 < x 时，如图题1.2(b)所示

图题1.2

x d x g x

-==?2)(2

α

?????>-<+=0,2

10

,212)(x x

x x

x g

即 ??

? ??∧=22)(x x g （3）1)()(=*x rect x comb

1.6 已知)ex p(2

x π-的傅立叶变换为)ex p(2

πξ-，试求

（1）(

){}?ex p 2

=-?x

（2）(){}

?2/ex p 22

=-?σx

解：设ξππ==z x y , 即 {

}

)ex p()ex p(22πξπ-=-?y

由坐标缩放性质{}??

?

??=

?b a F ab by ax f ηξ,1),( 得 （1）(){}{}

)ex p()ex p(/ex p(ex p 2222

2ξπππππ-=-=-?=-?z y

x

（2）(

){}(){}2

2

2

2

2/ex p 2/ex p πσ

σ

y

x -?=-?

)2ex p(2)2ex p(22222ξπσσππσσπ-=-=z

1.7 计算积分.（1）

()?∞

∞

-=?sin 4

dx x c

（2）

()?

∞

∞

-=?cos sin 2

xdx x c π 解：应用广义巴塞伐定理可得

（1）3

2)1()1()()()(sin )(sin 1

2

1

2

2

2

=

-++=ΛΛ=

????

-∞

∞

-∞

∞-ξξξξξξξd d d dx x c x c （2）????????? ??

-Λ+??? ??+Λ=???∞∞

-∞∞-∞

∞-ξξδξξξδξπd d xdx x c 21)(21)(21cos )(sin 2

2

1212121=????????? ??Λ+??? ??-Λ=

1.8 应用卷积定理求()()()x c x c x f 2sin sin =的傅里叶变换.

解：{}{}{}??

? ??*=

?*?=?2)(21)2(sin )(sin )2(sin )(sin ξξrect rect x c x c x c x c 当2

1

23-<≤-

ξ时，如图题1.3(a)所示， ξξξ+==?+-2

321)(21

1du G

当2

1

21<≤-

ξ时，如图题1.3(b)所示， 121)(2

1

2

1==?+-ξξξdu G

当

2

3

21<≤ξ时，如图题1.3(c)所示， ξξξ-==?-2

3

21)(121du G

2G(ξ)的图形如图题1.3(d)所示，由图可知 ??

? ??∧-??? ??∧=

2/1412/343)(ξξξG

图题1.3

1.9 设()()

x x f β-=exp ，0>β，求 (){}()?∞

∞

-==???dx x f x f

解：{

}??

∞∞

---+-=

-?0

)2ex p()ex p()2ex p()ex p()ex p(dx x j x dx x j x x πξβπξββ

β

πξβββπξββξ2

)2(2)exp()2(20

2

22

2

=

+=

-+==∞

∞

-?dx x

1.10 设线性平移不变系统的原点响应为()()()x step x x h -=ex p ，试计算系统对阶跃函数()x step 的响应.

解：由阶跃函数定义

???<>=0

,

00,1)(x x x step 得

线性平移不变系统的原点响应为

()()()()0,ex p ex p >-=-=x x x step x x h

所以系统对解阶跃函数()x step 的响应为 ?

∞

>--=--=

*=0

0),ex p(1)](ex p[)()()(x x d x x h x step x g αα

1.11 有两个线性平移不变系统，它们的原点脉冲响应分别为()()x c x h sin 1=和

()()x c x h 3sin 2=.试计算各自对输入函数()x x f π2cos =的响应()x g 1和()x g 2.

解：

1.12 已知一平面波的复振幅表达式为

)]432(exp[),,(z y x j A z y x U +-= 试计算其波长λ以及沿z y x ,,方向的空间频率。

解：设平面波的复振幅的表达式可以表示成以下形式

)]cos cos cos (exp[)exp(),,(γβαz y x jk a j a z y x U ++=?=

由题可知，4cos ,3cos ,2cos =-==γβαk k k

又因为1cos cos cos 2

22=++γβα 所以29=

k

波长为 29

22ππλ==

k 沿z y x ,,方向的空间频率为

π

λγζπλ

β

ηπ

λ

α

ξ2

cos ,23cos ,1

cos ==-

==

=

=

1.13 单色平面波的复振幅表达式为 ()???

??????

??+

+

=z y x j A z y x U 143

14

214

1exp ,, 求此波在传播方向的空间频率以及在z y x ,,方向的空间频率. 解：设单色平面波的复振幅的表达式可以表示成以下形式

)]cos cos cos (exp[)exp(),,(γβαz y x jk a r k j a z y x U ++=?= 由题可知，14

3cos ,14

2cos ,14

1cos =

=

=

γβαk k k

又因为1cos cos cos 2

2

2=++γβα 所以1=k 波长为

ππ

λ22==

k

沿z y x ,,方向的空间频率为 14

23cos ,14

1

cos ,14

21cos πλ

γ

ζπλ

β

ηπλ

α

ξ=

=

=

=

==

第三章 光学成像系统的传递函数

3.1 参看图3.1.1，在推导相干成像系统点扩散函数(3.1.5)式时，对于积分号前的相位因子

()

???

?????????

??+≈?

?????+22

20

202002exp 2exp M y x d k j y x d k j i i 试问：（1）物平面上半径多大时，相位因子 ()

??

????

+202002exp y x d k j

相对于它在原点之值正好改变π弧度？

（2）设光瞳函数是一个半径为a 的圆，那么在物平面上相应h 的第一个零点的半径是多少？

（3）由这些结果，设观察是在透镜光轴附近进行，那么a , λ和d o 之间存在什么关系

时可以弃去相位因子

()

??

????+202002exp y x d k j 解：（1）由于原点的相位为零，于是与原点相位差为π的条件是

o o o

o o o o d r d kr y x d k λπ===+,2)(222

2

（2）根据

????∞

∞-∞

∞-?

?????-+--=?

?????-+--=dxdy y y y x x x d j y x P d d dxdy y My y x Mx x d j y x P d d y x y x h o i o i i i o o i o i i i

o i i o o ])~()~[(2exp ),(1])()[(2exp ),(1

),;,(22

λπλλπλ

相干成像系统的点扩散函数是透镜光瞳函数的夫琅禾费衍射图样，其中心位于理想像点

)~,~(o o y x

ρρπλλλπλ)2(1~1])~()~[(2exp ),(1

),;,(12

2222

a aJ d d a r circ B d d dxdy y y x x d j y x P d d y x y x h i

o i o o i o i i i

o i i o o =????????? ??=?

?????-+--=??∞

∞-

式中22y x r +=

，而

2

2

2

2~~???

?

?

?-+???? ?

?-=+=i o i i o i d

y y d

x x λληξρ （1） 在点扩散函数的第一个零点处0)2(1=o a J ρπ，此时应有83.32=o a ρπ，即 a

o 61

.0=

ρ (2) 将(2)式代入(1)式，并注意观察点在原点)0(==i i y x ，于是得 a

d r o

o λ61.0=

(3) （3）根据线性系统理论，像面上原点处得场分布，必须是物面上所有点在像面上的点扩散函数对于原点的贡献)0,0;,(o o y x h 。按照上面的分析，如果略去h 第一个零点以外的影响，即只考虑h 的中央亮斑对原点的贡献，那么这个贡献仅仅来自于物平面原点附近

a d r o o /61.0λ=范围内的小区域。当这个小区域内各点的相位因子]2/ex p[2o o d jkr 变化不

大，而降它弃去。假设小区域内相位变化不大于几分之一弧度(例如π/16)就满足以上要求，

则16/,16

2/22

o o o o d r d kr λπ

≤≤

，也即

o d a λ44

.2≥ （4）

例如λ ＝600nm , d o = 600mm ，则光瞳半径a ≥1.46mm ，显然这一条件是极易满足的。

3.2 一个余弦型振幅光栅，复振幅透过率为 ()o o o o x f y x t π2cos 2

1

21,+=

放在图3.1.1所示的成像系统的物面上，用单色平面波倾斜照明，平面波的传播方向在z x o 平面内，与z 轴夹角为θ。透镜焦距为f ,孔径为D 。

（1） 求物体透射光场的频谱；

（2） 使像平面出现条纹的最大θ角等于多少？求此时像面强度分布；

（3） 若θ采用上述极大值，使像面上出现条纹的最大光栅频率是多少？与θ＝0时的截止频率比较，结论如何？

解：（1）斜入射的单色平面波在物平面上产生的场为)sin ,ex p(0θjkx A ，为确定起见设θ> 0，则物平面上的透射光场为

???????????

???? ??

--+????????? ??++??? ??=

=λθπλθπλθπθsin 2exp 21sin 2exp 21sin 2exp 2)

,()sin ,exp(),(o o o o o o o o o o o f x j f x j x j A y x t jkx A y x U 其频谱为

?

?????????????? ??+--+????????? ??+-+??? ??-=

?=λθξδλθξδλθξδηξsin 21sin 21sin 2)}

,({),(o o o o o f f A y x U A 由此可见，相对于垂直入射照明，物频谱沿ξ轴整体平移了sin θ/λ距离。

（2）欲使像面有强度变化，至少要有两个频谱分量通过系统。系统的截至频率

f D c λρ4/=，于是要求

f

D

f f D f D o λλθλλλ

θ

4sin 4,4sin ≤+-≤-≤

由此得

f

D

f D f o 4sin 4≤≤-θλ （1） θ角的最大值为

???

? ??=f D

4arcsin max θ （2） 此时像面上复振幅分布和强度分布为

??

?

???+=-+???? ?

?=

x f A y x I f x j f D x j A y x U o i i i o i i i i i ππλπ2cos 454),()]2ex p(21

1[42ex p 2),(2

（3）照明光束的倾角取最大值时，由(1)式和(2)式可得 f D

f D f o 44≤-

λ 即 f

D

f f

D f o o λλ22max =

≤

或

(3) θ＝0时，系统的截止频率为f D c λρ4/=，因此光栅的最大频率 f

D

f c o λρ2max =

= (4) 比较(3)和(4)式可知，当采用倾角的平面波照明时系统的截止频率提高了一倍，也就提高了系统的极限分辨率，但系统的通带宽度不变。

3.3 光学传递函数在0==ηξ处都等于1，这是为什么？光学传递函数的值可能大于1吗？如果光学系统真的实现了点物成点像，这时的光学传递函数怎样？

解：在

????∞

∞

-∞

∞

--==?i

i

i

i

I

i

i

i

i

i

i

I

I I

dy

dx y x h dy

dx y x j y x h H H ),()],(2exp[),()

0,0()

,(),(ηξπηξηξ （1）

式中，令 ??∞

∞

-=

i

i

i

i

I

i i I i i dy

dx y x h y x h y x h ),()

,(),(

为归一化强度点扩散函数，因此(1)式可写成

??∞

∞

--=

?i

i

i

i

i

i

dy

dx y x j y x h )],(2exp[),(),(ηξπηξ

而 ??∞

∞

-=

=?i

i

i

i

dy

dx y x h ),(1)0,0(

即不考虑系统光能损失时，认定物面上单位强度点源的总光通量将全部弥漫在像面上，着便是归一化点扩散函数的意义。 （2）不能大于1。

（3）对于理想成像，归一化点扩散函数是δ函数，其频谱为常数1，即系统对任何频率的传递都是无损的。

3.4 当非相干成像系统的点扩散函数()i i I y x h ,成点对称时，则其光学传递函数是实函数.

解：由于),(i i I y x h 是实函数并且是中心对称的，即有),(),(i i I i i I y x h y x h *

=，

),(),(i i I i i I y x h y x h --=，应用光学传递函数的定义式

????∞

∞

-∞

∞

--=

=?i

i

i

i

I

i

i

i

i

i

i

I

I I dy

dx y x h dy

dx y x j y x h H H ),()],(2exp[),()

0,0()

,(),(ηξπηξηξ

易于证明),(),(ηξηξ*

?=?，即),(ηξ?为实函数

3.5 非相干成像系统的出瞳是由大量随机分布的小圆孔组成。小圆孔的直径都为2a ，出瞳到像面的距离为d i ，光波长为λ，这种系统可用来实现非相干低通滤波。系统的截止频率近似为多大？

解：用公式0

)

,(),(S S ηξηξ=

?来分析。首先，由于出瞳上的小圆孔是随机排列的，因此无论沿哪个方向移动出瞳计算重叠面积，其结果都一样，即系统的截止频率在任何方向上均相同。其次，作为近似估计，只考虑每个小孔自身的重叠情况，而不计及和其它小孔的重叠。这时N 个小孔的重叠面积除以N 个小孔的总面积，其结果与单个小孔的重叠情况是一样的，即截至频率约为i d a λ/2，由于2a 很小，所以系统实现了低通滤波。

第四章 部分相干理论

4.1 若光波的波长宽度为Δλ，频率宽度为Δν，试证明：

λ

λ?=?v v 。设光波波长为nm nm 8102,8.632-?=?=λλ，试计算它的频宽Δν = ? 若把光谱分布看成是矩形线型，

则相干长度?=c l

证明：因为频率与波长的关系为 λv c =(其中c 为光速)

对上式两边求导得 0=+=dv vd dc λλ 所以

λ

λλλλλ?=???-=??-=v v v v d v dv 因nm nm 8

102,8.632-?=?=λλ

c v v v v c 2

λλλ

λλ?=????

?

???=?=

所以 赫4

105.1?=?v 有因为相干长度 c c ct l = )(100.24m v

c

l c ?=?=

4.2 设迈克耳孙干涉仪所用光源为nm nm 6.589,58921==λλ的钠双线，每一谱线的宽度为0.01nm .

（1）试求光场的复相干度的模；

（2）当移动一臂时，可见到条纹总数大约是多少？ （3）可见度有几个变化周期？每个周期有多少条纹？

解：假设每一根谱线的线型为矩形，光源的归一化功率谱为

??

?

?????? ??-+??? ??-=?

v v v rect v v v rect v v δδδ2121)(? （1）光场的复相干度为

)]2ex p(1)[2ex p()(sin 2

1

)2ex p()(?)(10

τπτπτδτπτγv j v j v c dv v j v ?+=?

=?∞

式中12v v v -=?，复相干度的模为

)cos )(sin )(τπτδτγv v c ?=

由于，故第一个因子是τ的慢变化非周期函数，第二个因子是τ的快变化周期函数。相干时间由第一个因子决定，它的第一个零点出现在v c δτ/1=的地方，τc 即为相干时间，故相干长度

δλ

λ

δλλδτ2

2≈

===v c c l c c (2) 可见到的条纹总数 589301

.05893==

=

δλλλ

c

l N （3）复相干度的模中第二个因子的变化周期 v ?=/1τ，故 可见度的变化周期 601

.06==?=?==δλλδττv v n c 每个周期内的条纹数98260

58930===

n N 4.3 假定气体激光器以N 个等强度的纵模振荡。其归一化功率谱密度可表示为

()()()

()∑---=?+-=?

2

/12

/11?N N n v n v v N

v δ

式中，Δν是纵模间隔，v 为中心频率。为简单起见，假定N 为奇数。

（1）证明复相干度的模为

)

sin()

sin()(τπτπτγv N v N ??=

（2）若N ＝3，且0≤τ≤1/Δv ，画出()τγ与Δν τ的关系曲线。 （1）证明：复相干度函数为

?∞

?

=0

)2exp()(?)(dv v j v τπτγ 得

()

()()()())

2exp(sin sin )2exp()2exp()2exp(1)(2/12/12

/12

/10

τπτ

πτ

πτπτπτπδτγv j v N v N v n j N v j dv v j v n v v N N N n N N n ??=

?-=?+-=∑∑?

---=---=∞

所以复相干度得模为

)

sin()

sin()(τπτπτγv N v N ??=

（2）当N=3时，复相干度的模为 )

sin(3)

3sin()(τπτπτγv v ??=

4.4 在例4.7.1所示的杨氏干涉实验中，若缝光源用两个相距为a ，强度相等的准单色点光源代替，试计算此时的复相干系数。

解：应用范西泰特－策尼克定理得

?

?

? ??

=????????? ??

-+??? ??+??

? ??-????????? ??-+??? ??+=??∞

∞

-∞

∞-z d a d a a I d d z j a a I d λπααδαδααλπαδαδμcos 222exp 22)(00

4.5 利用傍轴条件计算被一准单色点光源照明，距离光源为z 的平面上任意两点P 1和P 2之间的复相干系数μ(P 1 ,P 2) .

解：设光源所在平面的坐标为α ，β；孔平面的坐标为x ,y 。点P 1和P 2的坐标为(x 1 ,y 1)和(x 2 ,y 2)。对于准单色点光源，其强度可表为

),(),(110ββααδβα--=I I 在傍轴近似下，由范西泰特－策尼克定理得

?

?

?????+?-??????--+=--???

????+?---=

????∞

∞

-∞

∞

-)(2exp )(2exp ),()(2exp ),()exp(),(1121212

2221

1

11021βαλπλπβ

αββααδβ

αβαλπββααδ?μy x z j y x y x z j d d I d d y x z j I j P P

因为

1),(21=P P μ,由点光源发出的准单色光是完全相干的，或者说x,y 面上的相干面

积趋于无限大。

第六章 计算全息

6.1 一个二维物函数f ( x, y)，在空域尺寸为10×10mm ，最高空间频率为5线/mm ，为

了制作一张傅里叶变换全息图：

(1) 确定物面抽样点总数.

(2) 若采用罗曼型迂回相位编码方法，计算全息图上抽样单元总数是多少？ (3) 若采用修正离轴参考光编码方法，计算全息图上抽样单元总数是多少？ (4) 两种编码方法在全息图上抽样单元总数有何不同？原因是什么？

解：(1)假定物的空间尺寸和频宽均是有限的。设物面的空间尺寸为Δx,Δy ；频宽为2B x ,2B y .根据抽样定理，抽样间距δx,δy 必须满足δx ≤1/2B x , δy ≤1/2B y 才能使物复原。故抽样点总N(即空间带宽积SW)为

410)52()52(1010)2)(2(=?????==??=???=

SW B B y x y

y y x N y x δδ (2)罗曼计算全息图的编码方法是在每一个抽样单元里用开孔的大小和开孔的位

置来编码物光波在该点的振幅和相位。根据抽样定理，在物面上的抽样单元数应为物面的空间带宽积，即4

10==SW N 。要制作傅里叶变换全息图，为了不丢失信息，空间带宽积应保持不变，故在谱面上的抽样点数仍应为4

10=N .

(3)对于修正离轴参考光的编码方法，为满足离轴的要求，载频α应满足α≥B x 为满足制作全息图的要求，其抽样间隔必须满足δx ≤1/2B x , δy ≤1/2B y 。因此其抽样点数为

410210201010)2)(4(?=???=??=???=

y x B B y x y

y y x N δδ

(4)两种编码方法的抽样点总数为2倍关系，这是因为，在罗曼型编码中，每一抽样单元编码一复数；在修正离轴型编码中，每一抽样单元编码一实数。

修正离轴加偏置量的目的是使全息函数变成实值非负函数，每个抽样单元都是实的非负值，因此不存在位置编码问题，比同时对振幅和相位进行编码的方法简便。但由于加了偏置分量，增加了记录全息图的空间带宽积，因而增加了抽样点数。避免了相位编码是以增加抽样点数为代价的。

6.2 对比光学离轴全息函数和修正型离轴全息函数，说明如何选择载频和制作计算全息图的抽样频率.

解：设物的频宽为)2,2(y x B B

(1)对于频宽α的选择 光学离轴，由图6.2.5(b)可知，x B 3≥α 修正离轴，由图6.2.5(d)可知，x B ≥α 载频的选择是为了保证全息函数在频域中各结构分量不混叠。

(2)对于制作计算全息图时抽样频率的选择 光学离轴全息，由图6.2.5(c)可知：

在x 方向的抽样频率应x B 8≥，即x 方向的抽样间距x B x 8/1≤δ。 在y 方向的抽样频率应y B 4≥，即x 方向的抽样间距y B y 4/1≤δ。

修正离轴全息，由图6.2.5(e)可知：

在x 方向的抽样频率应x B 4≥，即x 方向的抽样间距x B x 4/1≤δ。 在y 方向的抽样频率应y B 2≥，即x 方向的抽样间距y B y 2/1≤δ。

6.3 一种类似傅奇型计算全息图的方法，称为黄氏(Huang)法，这种方法在偏置项中加入物函数本身，所构成的全息函数为

{})],(2cos[1),(2

1

),(y x ax y x A y x h φπ-+=

(1) 画出该全息函数的空间频率结构，说明如何选择载频.

(2) 画出黄氏计算全息图的空间频率结构，说明如何选择抽样载频. 解：把全息函数重写为

)2exp()],(exp[),(4

1

)2exp()],(exp[),(4

1

),(21),(x j y x j y x A x j y x j y x A y x A y x h παφπαφ-+-+=

物函数为 )],(exp[),(),(y x j y x A y x f φ=

并且归一化的，即1),(max =y x A ，参考光波R ＝1。经过处理后的振幅透过率为

+-'+'+

=)2exp()],(exp[),(4

1

),(21),(x j y x j y x A y x A t y x t o παφββ )

2exp(),(4

1

)2exp(),(41),(21)2exp()],(exp[),(4

1

x j y x f x j y x f y x A t x j y x j y x A o παβπαββπαφβ*'+-'+'+=-'

其频谱为

),(4

1

),(41),(21),(),(ηαξβηαξβηξβηξδηξ---''+-''+''+

=F F F t T o (1)设物的带宽为y x B B 2,2，如图题6.3(a)所示。全息函数的空间频谱结构如图题6.3(b)所示，载频x B 2≥α。

(2)黄氏全息图的空间频率结构如图题6.3(c)所示，由此可得出： 在x 方向的抽样频率应x B 6≥，即x 方向的抽样间距x B x 6/1≤δ。 在y 方向的抽样频率应y B 2≥，即x 方向的抽样间距y B y 2/1≤δ。 抽样点数即空间带宽积为y x B xyB y

y

x x SW N 12==

=δδ. 黄氏计算全息图的特点：

(1)占用了更大的空间带宽积(博奇全息图的空间带宽积y x B xyB SW 8 )，不具有降低空间带宽积的优点。

(2)黄氏全息图具有更高的对比度，可以放松对显示器和胶片曝光显影精度的要求。

6.4 罗曼迂回相位编码方法有三种衍射孔径形式，如图题6.1所示.利用复平面上矢量合成的方法解释，在这三种孔径形式中，是如何对振幅和相位进行编码的.

解：对于Ⅰ型和Ⅲ型，是用x

Aδ来编码振幅A(x,y)，用x

dδ来编码相位)

,

(y

x

φ，在复平面上用一个相幅矢量来表示，如图题6.4(a).

对于罗曼Ⅱ型是用两个相同宽度的矩孔来代替Ⅰ，Ⅲ型中的一个矩孔。两矩孔之间的距离x

Aδ是变化的，用这个变化来编码振幅A(x,y)。在复平面上反映为两个矢量夹角的变化。两个矩孔中心距离抽样单元中心的位移量x

dδ用作相位)

,

(y

x

φ的编码。在复平面上两矢量的合成方向即表示了)

,

(y

x

φ的大小，如图题6.4(b)所示。

第八章空间滤波

8.1 利用阿贝成像原理导出相干照明条件下显微镜的最小分辨距离公式，并同非相干照明下的最小分辨距离公式比较。

解：显微镜是用于观察微笑物体的，可

近似看作一个点，物近似位于物镜的前焦点

上。设物镜直径为D，焦距为f，如图8.1

所示。对于相干照明，系统的截止频率由物

镜孔径的最大孔径角θo决定，截止频率为

λ

θ/

sin

o

。从几何上看，近似有

f

D

o

2/

sin≈

θ。截止频率的倒数的倒数即

为分辨距，即

D

f

o

c

λ

θ

λ

δ

2

sin

=

=

对于非相干照明，由几何光学可知其分辨距

为

o

θ

λ

δ

sin

61

.0

=

非相干照明时显微镜的分辨率大约为相干照明时的两倍。

8.2 在4f系统输入平面放置40mm-1的光栅，入射光波长632.8nm。为了使频谱面上至少能够获得±5级衍射斑，并且相邻衍射斑间距不小于2mm，求透镜的焦距和直径。

解：设光栅宽度比较大，可近似看成无穷，设周期为d，透光部分为a，则其透过率函数可表为

()

?

?

? ??*??? ??=-*???

??=??? ??-=∑∑d x comb d a x rect md x a x rect a md x rect x f m m

1)(111δ

其频谱为

{}∑∑??

?

??-=

??? ?

?

-==??

?

?????? ???????

????? ???=?=m m d m d ma c d a d m a c d a d comb a c a d x comb d a x rect x f F ξδξδξξξξ)(sin )(sin )()(sin 1)()(`111

即谱点的位置由d m f x //2==λξ决定，即m 级衍射在后焦面上的位置由下式确定： d f m x /λ= 相邻衍射斑之间的间距 d f x /λ=? 由此得焦距f 为 )(7910632840

/27

mm xd

f =?=

?=

-λ

物透明片位于透镜的前焦面，谱面为后焦面，谱面上的±5级衍射斑对应于能通过透镜的最大空间频率应满足 d

D 52

/1sin =

=

=

λ

λλ

θ

ξ 于是求得透镜直径

)(201010

mm x d

f

D =?==λ

8.3 观察相位型物体的所谓中心暗场方法，是在成像透镜的后焦面上放一个细小的不透明光阑以阻挡非衍射的光。假定通过物体的相位延迟<<1弧度，求所观察到的像强度(用物体的相位延迟表示出来)。

解：相位物体的透过率为

),(1)],(ex p[),(111111y x j y x j y x t φφ+≈=

其频谱为 {}),(),(),(1),(11ηξηξδφηξΦ+=+?

=j y x j T 若在谱平面上放置细小的不透明光阑作为空间滤波器，滤掉零频背景分量，则透过的频谱为 ),(),(ηξηξΦ=j T

M

再经过一次傅里叶变换(在反演坐标系)得 ),(),(3333y x j y x t M

φ=

强度分布为

因此在像面上得到了正比于物体相位平方分布的光强分布，实现了将相位转换为强度分布的目的。不过光强不是相位的线性函数，这给分析带来困难。

8.4 当策尼克相衬显微镜的相移点还有部分吸收，其强度透射率等于α (0< α <1)时，求观察到的像强度表示式。

解：相位物体的频谱为

现在用一个滤波器使零频减弱，同时使高频产生一个±π/2的相移，即滤波器的透过率表达式为

??

?==±=其它

的小范围内

在,

10,

),(ηξαηξj H

于是 ),(),(),(),(),(ηξηξαδηξηξηξΦ+±==j j T H T

M

像的复振幅分布为 ),(),(3333y x j j y x t M

φα+±=

像强度分布为

)

,(2),(),(2)

,(),(),(3323323322

3323333y x y x y x y x y x j j y x I αφαφαφαφαφα±≈+±=+=+±=

像强度分布与相位分布成线性关系，易于分析。

8.5 用CRT(阴极射线管)记录一帧图像透明片，设扫描点之间的间隔为0.2mm ，图像最高空间频率为10mm -1。如欲完全去掉离散扫描点，得到一帧连续灰阶图像，空间滤波器的形状和尺寸应当如何设计？输出图像的分辨率如何(设傅立叶变换物镜的焦距f ＝1000mm ,λ=632.8nm)。

解：扫描点的表达式为

()∑∑--=m

n

ny y mx x

y x f 0101

11,),(δ

其频谱为

∑∑∑∑∑∑--=

--=+-=m

n

m

n

m

n

y n f y x m f x y x y

n x m y x ny mx j F ),(

1)/,/(1)]

(2exp[),(0

2020

00

0000λλδηξδηξπηξ

在上式的化简中应用了公式

∑∑∞-∞=∞

-∞

=???

??-=±n n a n x a nax j δπ1)2ex p(

由此可见，点状结构的频谱仍然是点状结构，但点与点之间的距离不同。扫描点频谱出现的

位置为

202,y n f y x m f x ==λλ 点状结构是高频，所以采用低通滤波将其滤掉。低通滤波器圆孔半径为

)(164.32

.01000

106328702mm x f

x r =??===-λ

能传递的最高空间频率为 mm x x f f f r /151

1sin 0

0==?==

=

λλλλ

θ

ξ 即高于5 1/mm 的空间频率将被滤掉，故输出图像的分辨率为5 1/mm 。

8.6 某一相干处理系统的输入孔径为30m m ×30mm 的方形，头一个变换透镜的焦距为100mm ，波长是632.8nm 。假定频率平面模片结构的精细程度可与输入频谱相比较，问此模片在焦平面上的定位必须精确到何种程度？

解：考虑到系统孔径有限，一般用几何光学近似，引入光瞳函数P(x,y), 根据题意其表达式为

??

?

????? ??=3030),(y rect x rect y x P

设系统的输入面位于透镜的前焦面，物透明片的复振幅分布为),(11y x f ，它的频谱分布为),(ηξF ，透镜后焦面上的场分布

)]

(2exp[)30(sin )30(sin ),(9003030),(),(221111y x j c c F C y rect x rect y x f C U f ηξπηξηξηξ+*'=??

?

?

????? ????? ???'= 式中f y f x ληλξ/,/22==。由f U 的表达式可见，频谱面上能分辨的细节由)30(sin ξc )30(sin ηc 决定。

取一个方向来看，将sinc 函数由最大降为零的宽度取为最小分辨单元，即要求满足1/301302=?=?f x λξ或，于是有

m mm f

x μλ1.2)(101.230

10010632830372=?=??==?-- 因为频谱平面模片也有同样细节，所以对准误差最大也不允许超过它的一半，约1μm.

第九章 相干光学处理

9.1 参看图9.1.1，在这种图像相减方法的编码过程中，如果使用的光栅透光部分和不

透光部分间距分别为a 和b ，并且a ≠b 。试证明图像和的信息与图像差的信息分别受到光栅偶数倍频与光栅奇数倍频的调制。

信息光学复习重要知识点

1.常用的非初等函数：矩形函数、Sinc函数、三角形函数、符号函数、阶跃函数、圆柱函 数。 2.δ函数的定义：a.类似普通函数定义b.序列极限形式定义c.广义函数形式定义 δ函数的性质：a.筛选性质 b.坐标缩放性质 c.可分离变量性 d.与普通函数乘积性质 4.卷积，性质：线性性质、交换律、平移不变性、结合律、坐标缩放性质 5.互相关，两个函数f(x,y）和g(x,y)的互相关定义为含参变量的无穷积分 6.惠更斯-菲涅尔原理：光场中任意给定曲面上的诸面元可以看作是子波源，如果这些子 波源是相干的，则在波继续传播的空间上任意一点处的光振动都可看作是子波源各自发出的子波在该点相干叠加的结果。 7.基尔霍夫理论：在空域中光的传播，把孔径平面上的光场看作点源的集合，观察平面上 的场分布则等于他们所发出的带有不同权重的因子的球面子波的相干叠加。 8.角谱理论：孔径平面和观察平面上的光场分布都可以分别看成是许多不同方向传播的单 色平面波分量的线性组合。 9.点扩散函数：面元的光振动为单位脉冲即δ函数时，这个像场分布函数叫做~。 10.菲涅尔衍射成立的充分条件： 传递函数： 11.泰伯效应：当用单色平面波垂直照明一个具有周期性透过率函数的图片时，发现在该透 明片后的某些距离上出现该周期函数的现象，这种不用透镜就可以对周期物体成像的现象称为~。 12.夫琅禾费衍射： 13.衍射受限系统：不考虑系统的几何像差，仅仅考虑系统的衍射限制。 14.单色信号的复表示：去掉实信号的负频成分，加倍实信号的正频成分。 多色信号的复表示： 16.如果两点处的光扰动相同，两点间的互相干函数将变成自相干函数。 18.光学全息：利用干涉原理，将物体发出的特定光波以干涉条纹的形式记录下来，使物光 波前的全部信息都储存在记录介质中，做记录的干涉条纹图样被称为“全息图”，当用光波照射全息图时，由于衍射原理能能重现出原始物光波，从而形成与原物体逼真的三维像，这个波前记录和重现的过程成为~ 19.+1级波（虚像），-1级波（实像），±1级波（赝像） 20.从物光与参考光的位置是否同轴考虑：同轴全息、离轴全息。 从记录时物体与全息图片的相对位置分类：菲涅尔全息图、像面全息图、傅里叶变换全息图。 从记录介质的厚度考虑：平面全息图、体积全息图。 21.菲涅尔全息图：记录平面位于物体衍射光场的菲涅尔衍射区，物光由物体直接照到底片 上 傅里叶全息图：物体或图像频谱的全息记录。

信息光学重点解答题

（1）()?? ? ? ?-=?? ? ??-?? ? ? ?-=?? ? ??--2 5.22 121*232121*32x rect x rect x x rect x δδ （2）()()1*=x rect x comb （3）??? ??+21x rect *?? ? ??-21x rect 设卷积为()x g ，当0≤x 时，()x g =220+=?+x d x α，当0>x 时，()x g =x d x -=?22α ()?????>-<+=0,2 10 ,212x x x x x g 即 ()?? ? ??Λ=22x x g （4）已知()2 ex p x π-的傅里叶变换为()2 ex p πξ-，求 (){}()222 ex p ex p ξππ-=-x (){}() 2 2222 2ex p 22/ex p ξσππσ-=-x （5）单位振幅的单色平面波垂直入射到一半径为a 的圆形孔径上，试求菲涅耳衍射图样在轴上的强度分布 解：孔径平面撒谎能够的透射场为()??? ? ??+=a y x circ y x U 2020000,由菲涅耳公式，当0==y x 时，得到轴上点的复振幅分布为 ()()0020 202 020 2exp exp ;0,0dy dx z y x jk a y x circ z j jkz z U ??? ? ??+??? ? ? ?+=??∞∞-λ ()rdr z r jk d z j jkz a ?????? ??=02202exp exp π θλ()??? ? ?????? ??-=z a z a jk jkz j λπ2sin 4exp exp 222 ()??? ? ??=z a z I λπ2sin 4;0,022 (6)焦距 mm f 500=，直径mm D 50=的透镜将波长nm 8.632=λ的激光束聚焦，激光束的截面mm D 201=。试求透镜焦点处的光强是激 光束光强的多少倍？ 解：设入射激光束的复振幅为0A ，强度为200A I =，通过透镜后的出射光场为，将此式代入菲涅耳衍射公式，并令0==y x 得焦点处的复振幅 和光强为 ()()()4exp 2/exp ;0,02100012 020 0D z j jkz A dy dx D y x circ z j jkz A f U πλλ=??? ? ? ?+=??∞∞- ()6 02120 104;0,0?≈??? ? ??=I f D A f I λπ （14）彩虹全息照相系统中使用狭缝的作用是什么?为什么彩虹全息图的色模糊主要发生在狭缝垂直的方向上？ 在彩虹全息照相中使用狭缝的目的是为了能在白光照明下再现准单色像。在普通全息照相中，若用白光照明全息图再现时，不同波长的光同时进入人眼，我们将同时观察到相互错位的不同颜色的再现像，造成再现像的模糊，即色模糊。在彩虹全息照相中，由于狭缝起了分色作用，再现过程中不同波长的光对应不同的水平狭缝位置，通过某一狭缝位置只能看到某一准单色的像，从而避免了色模糊。 在彩虹全息照相中，为了便于双眼观察，参考平面波的选择总是使全息图的光栅结构主要沿水平方向，因而色散沿竖直方向。狭缝沿水平方向放置，这样色散方向与狭缝垂直，即色模糊主要发生在与狭缝垂直的方向上，这样做的结果便于人眼上下移动选择不同颜色的准单色像

信息光学技术第五章习题

第五章 习题解答 5．1两束夹角为 θ = 450的平面波在记录平面上产生干涉，已知光波波长为632.8nm ，求对称情况下（两平面波的入射角相等）该平面上记录的全息光栅的空间频率。 答：已知：θ = 450，λ= 632.8nm ，根据平面波相干原理，干涉条纹的空间分布满足关系式 2 d sin （θ/2）= λ 其中d 是干涉条纹间隔。由于两平面波相对于全息干板是对称入射的，故记录 在干板上的全息光栅空间频率为 f x = （1/d ）= （1/λ）·2 sin （θ/2）= 1209.5 l /mm 故全息光栅的空间频率为1209.5 l /mm 。 5．2 如图5.33所示，点光源A （0，-40，-150）和B （0，30，-100）发出的球面波在记录平面上产生干涉： x z 图5.33 （5.2题图） （1） 写出两个球面波在记录平面上复振幅分布的表达式； 答：设：点源A 、B 发出的球面波在记录平面上的复振幅分布分别为U A 和U B ， 则有 ()[{]}2 2--22 )()()/(e x p e x p A A A A A A y y x x z jk jkz a U += ()[{]}22--22)()()/(exp exp B B B B B B y y x x z jk jkz a U += 其中: x A = x B = 0, y A = -40, z A = -150, y B = 30, z B = -100; a A 、a B 分别是球面波的振幅；k 为波数。 （2） 写出干涉条纹强度分布的表达式； I = |U A +U B |2 = U A ·U A * + U B ·U B * +U A *·U B + U A ·U B *

求动点的轨迹方程方法例题习题答案

求动点的轨迹方程（例题，习题与答案） 在中学数学教学和高考数学考试中，求动点轨迹的方程和曲线的方程是一个难 点和重点内容（求轨迹方程和求曲线方程的区别主要在于：求轨迹方程时，题目中 没有直接告知轨迹的形状类型；而求曲线的方程时，题目中明确告知动点轨迹的形 状类型）。求动点轨迹方程的常用方法有：直接法、定义法、相关点法、参数法与 交轨法等；求曲线的方程常用“待定系数法”。 求动点轨迹的常用方法 动点P 的轨迹方程是指点P 的坐标（x, y ）满足的关系式。 1. 直接法 （1）依题意，列出动点满足的几何等量关系； （2）将几何等量关系转化为点的坐标满足的代数方程。 例题 已知直角坐标平面上点Q （2，0）和圆C ：122=+y x ，动点M 到圆C 的切线长等与MQ ，求动点M 的轨迹方程，说明它表示什么曲线． 解：设动点M(x,y)，直线MN 切圆C 于N 。 依题意：MN MQ =，即22MN MQ = 而222NO MO MN -=,所以 (x-2)2+y 2=x 2+y 2-1 化简得：x=45 。动点M 的轨迹是一条直线。 2. 定义法 分析图形的几何性质得出动点所满足的几何条件，由动点满足的几何条件可以判断出动点 的轨迹满足圆（或椭圆、双曲线、抛物线）的定义。依题意求出曲线的相关参数，进一步写出 轨迹方程。 例题：动圆M 过定点P （－4，0），且与圆C ：082 2=-+x y x 相切，求动圆圆心M 的轨迹 方程。 解：设M(x,y)，动圆Ｍ的半径为r 。 若圆M 与圆C 相外切，则有 ∣M C ∣=r ＋4 若圆M 与圆C 相内切，则有 ∣M C ∣=r-4 而∣M P ∣=r, 所以 ∣M C ∣-∣M P ∣=±4 动点M 到两定点P(-4,0),C(4,0)的距离差的绝对值为4，所以动点M 的轨迹为双曲线。其中a=2, c=4。 动点的轨迹方程为： 3. 相关点法 若动点P(x ，y)随已知曲线上的点Q(x 0，y 0)的变动而变动，且x 0、y 0可用x 、y 表示，则 将Q 点坐标表达式代入已知曲线方程，即得点P 的轨迹方程。这种方法称为相关点法。

信息光学习题答案

信息光学习题答案 第一章 线性系统分析 1.1 简要说明以下系统是否有线性和平移不变性. （1）()();x f dx d x g = （2）()();?=dx x f x g （3）()();x f x g = （4）()()()[];2 ? ∞ ∞ --= αααd x h f x g （5） ()()απξααd j f ?∞ ∞ --2exp 解：（1）线性、平移不变； （2）线性、平移不变； （3）非线性、平移不变； （4）线性、平移不变； （5）线性、非平移不变。 1.2 证明)()ex p()(2x comb x j x comb x comb +=?? ? ??π 证明：左边＝∑∑∑∞ -∞ =∞-∞=∞-∞=-=??? ???-=??? ??-=??? ??n n n n x n x n x x comb )2(2)2(2122δδδ ∑∑∑∑∑∑∞ -∞ =∞ -∞ =∞ -∞=∞ -∞=∞ -∞ =∞ -∞ =--+-= -+-=-+-= +=n n n n n n n n x n x n x jn n x n x x j n x x j x comb x comb ) () 1()() ()exp()() ()exp()()exp()()(δδδπδδπδπ右边 当n 为奇数时，右边＝0，当n 为偶数时，右边＝∑∞ -∞ =-n n x )2(2δ 所以当n 为偶数时，左右两边相等。 1.3 证明)()(sin x comb x =ππδ 证明：根据复合函数形式的δ函数公式 0)(,) () ()]([1 ≠''-= ∑ =i n i i i x h x h x x x h δδ 式中i x 是h(x)=0的根，)(i x h '表示)(x h 在i x x =处的导数。于是 )() ()(sin x comb n x x n =-=∑∞ -∞ =π δπ ππδ

动点例题解析及答案

初中数学动点问题及练习题附参考答案 所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题. 关键:动中求静. 数学思想：分类思想函数思想方程思想数形结合思想转化思想 注重对几何图形运动变化能力的考查。 从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。选择基本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，考查学生的自主探究能力，促进培养学生解决问题的能力．图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程。在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。 二期课改后数学卷中的数学压轴性题正逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验探究等方向发展．这些压轴题题型繁多、题意创新，目的是考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等．从数学思想的层面上讲：（1）运动观点；（2）方程思想；（3）数形结合思想；（4）分类思想；（5）转化思想等．研究历年来各区的压轴性试题，就能找到今年中考数学试题的热点的形成和命题的动向，它有利于我们教师在教学中研究对策，把握方向．只的这样，才能更好的培养学生解题素养，在素质教育的背景下更明确地体现课程标准的导向．本文拟就压轴题的题型背景和区分度测量点的存在性和区分度小题处理手法提出自己的观点． 专题一：建立动点问题的函数解析式 函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.那么,我们怎样建立这种函数解析式呢?下面结合中考试题举例分析. 一、应用勾股定理建立函数解析式。 二、应用比例式建立函数解析式。 三、应用求图形面积的方法建立函数关系式。 专题二：动态几何型压轴题 动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。 一、以动态几何为主线的压轴题。 （一）点动问题。（二）线动问题。（三）面动问题。 二、解决动态几何问题的常见方法有: 1、特殊探路，一般推证。 2、动手实践，操作确认。 3、建立联系，计算说明。

动点问题中的最值、最短路径问题(解析版)

专题01 动点问题中的最值、最短路径问题 动点问题是初中数学阶段的难点，它贯穿于整个初中数学，自数轴起始，至几何图形的存在性、几何 图形的长度及面积的最值，函数的综合类题目，无不包含其中. 其中尤以几何图形的长度及面积的最值、最短路径问题的求解最为繁琐且灵活多变，而其中又有一些 技巧性很强的数学思想（转化思想），本专题以几个基本的知识点为经，以历年来中考真题为纬，由浅入深探讨此类题目的求解技巧及方法. 一、基础知识点综述 1. 两点之间，线段最短； 2. 垂线段最短； 3. 若A 、B 是平面直角坐标系内两定点，P 是某直线上一动点，当P 、A 、B 在一条直线上时，PA PB 最大，最大值为线段AB 的长（如下图所示）； （1）单动点模型 作图方法：作已知点关于动点所在直线的对称点，连接成线段与动点所在直线的交点即为所求点的位 置. 如下图所示，P 是x 轴上一动点，求PA +PB 的最小值的作图.

（2）双动点模型 P 是∠AOB 内一点，M 、N 分别是边OA 、OB 上动点，求作△PMN 周长最小值. 作图方法：作已知点P 关于动点所在直线OA 、OB 的对称点P ’、P ’’，连接P ’P ’’与动点所在直线的交点 M 、N 即为所求. O B P P' P''M N 5. 二次函数的最大（小）值 ()2 y a x h k =-+，当a >0时，y 有最小值k ；当a <0时，y 有最大值k . 二、主要思想方法 利用勾股定理、三角函数、相似性质等转化为以上基本图形解答. （详见精品例题解析） 三、精品例题解析 例1. （2019·凉山州）如图，正方形ABCD 中，AB =12，AE =3，点P 在BC 上运动（不与B 、C 重合），过点P 作PQ ⊥EP ，交CD 于点Q ，则CQ 的最大值为 例2. （2019·凉山州）如图，已知A 、B 两点的坐标分别为（8,0），（0,8）. 点C 、F 分别是直线x =－5 和x 轴上的动点，CF =10，点D 是线段CF 的中点，连接AD 交y 轴于点E ，当△ABE 面积取最小值时，tan ∠BAD =（ ）

(整理)信息光学导论第二章.

第二章 信息光学的数学基础 ◆引言 在这一节，我们将以简明的格式，全面地罗列傅里叶变换和卷积、相关及其主要性质，着重从光学眼光看待那些公式和数学定理，给出相应的光学显示或光学模拟，这有助于生动地理解、掌握傅里叶变换和卷积、相关，其意义就不仅仅限于光学领域了。 2.1傅里叶变换 ◆傅里叶级数 首先．让我们回忆周期函数的傅里叶级数展开式， 这里，)(x g 称为原函数，n G 称为博里叶系数或频谱值，它是傅里叶分量n f x i e 2π的 幅值． ◆频谱的概念 频谱的概念，广义上讲就是求一个函数的傅立叶级数或一个函数的傅立叶变换。因此，傅立叶分析也称频谱分析。频谱分为振幅型频谱和相位型频谱。相位型频谱用的较少，通常提到的频谱大都指振幅型频谱。 为了更深刻的理解不同形式的频谱概念，以实例来进一步说明。对于光栅我们可以用透过率函数)(x g 来描述,一维透射光栅的透过率函数是一矩形波函数。为了讨论问题方便, 设光栅狭缝总数N 无限大 . )(x g 是周期性函数 则： 上式表明，图中表示的矩形波可以分解为不同频率的简谐波,这些简谐波的频率为 ), ()(md x g x g +=) ,2,1,( ±±=m ++-+=)52cos(52)32cos(32)2cos(221)(000x p x f x f x g ππππππ

这里f 称为空间频率. 0f 是f 的基频.。周期性函数的频谱都是分立的谱,各谱线的频率为基频整数倍.在f =0处有直流分量. 透过率函数也可用复数傅里叶级数表示: 再回到光栅装置.由光栅方程, 在近轴条件下 因此透镜后焦面上频率为 当单色光波入射到待分析的图象上时,通过夫琅和费衍射,一定空间频率的信息就被一定特定方向的平面衍射波输送出来. 这些衍射波在近场彼此交织在一起,到了远场它们彼此分开,从而达到分频的目的. 故傅立叶变换能达到分频的目的。 ◆傅里叶变换 在现实世界中，不存在严格意义下的周期函数，非周期变化是更为普遍的现象．从数学眼光看，非周期函数可看作周期∞→d 的函数．据此，可将上述傅里叶级数求和式过渡到积分表达式．结果如下， 上式(*******)称为傅里叶变换，下式******)称为博里叶逆变换．对于二维情形，傅里叶变换和逆变换的积分式为 简单地表示为 ,5 ,3,1, d d d f =x f i n x f i x f i x f i x p i x f i x f i n e G e e e e e e x g 25252323222 )(51)(31)(121)(000000ππππππππ ππ∑ =++++-++=--- ,sin λθn d =) ,2,1,0( ±±=n ,sin 0λλθnf d n f x =='≈λ f x nf f '==0

光学期中测试

《光学》期中测试 一、单项选择题. (3×10=30分) 1． 如图，S 1、S 2 是两个相干光源，它们到P 点的距离分别 为r 1 和r 2 ，路径S 1P 垂直穿过一块厚度为t 2 ，折射率 为n 1的介质板，路径S 2P 垂直穿过厚度为t 2折射率为n 2 的另一介质板，其余部分可看作真空，这两条路径的 光程差等于 [ B ] （A ）（r 2+n 2t 2）－(r 1+n 1t 1)； （B ）[r 2+(n 2－1)t 2－[r 1+(n 1－1)t 1 ]； （C ）(r 2－n 2t 2)－(r 1－n 1t 1)； （D ）n 2t 2－n 1t 1。 2． 如图所示，折射率为n 2 、厚度为e 的透明介质薄膜的上方和下方 的透明介质的折射率分别为n 1和n 3 。已知n 1< n 2 < n 3 λ束①与②的光程差是 [ A ] （A ）2 n 2e ； （B ） 2 n 2e - ? λ ； （C ） 2 n 2e - λ ； （D ） 2 n 2e - ? n 2 λ。 3．用白光源进行杨氏双缝干涉实验，若用一个纯红色的滤光片遮盖一条缝，用一个纯蓝色滤光片 遮盖另一条缝，则 [ D ] （A ）纹的宽度将发生改变； （B ）产生红色和蓝色的两套彩色干涉条纹； （C ）干涉条纹的亮度将发生变化； （D ）不产生干涉条纹。 4． 把一平凸透镜放在平玻璃上，构成牛顿环装置当平凸透镜慢慢的向上平移时， 由反射光形成的牛顿环 [ B ] （A ） 向中心收缩，条纹间隔变小； （B ） 向中心收缩，环心呈明暗交替变化； （C ） 向外扩张，环心呈明暗交替变化； （D ） 向外扩张，条纹间隔变大。 5．在单缝夫琅和费衍射装置中，将单缝宽度b 稍稍变宽，同时使单缝沿y 轴正方向作为微小位移， 则屏幕上的中央衍射条纹将 [ C ] （A ） 变窄，同时向上移； （B ） 变窄，同时向下移； （C ） 变窄，不移动； （D ） 变宽，同时向上移； （E ） 变宽，不移动。 S S ① 3

信息光学课后作业

1．在如图所示相干成像系统中，物体的复振幅透过率为 1 (,){1cos[2()]} 2 a b t x y f x f y π=++为了使像面能得到它的像，问(1)若采用圆形光阑，直径应大于多少？(2)若采用 矩形光阑，各边边长应大于多少？ 解:物体的频谱为 (,){(,})y T t x ξη=F 111 (,)(,)(,) 244 a b a b f f f f δξηδξηδξη=+??+++物体有三个频谱分量,在频谱面上的位置分别是(0,0),(,)a b f f 和(,)a b f f ??。要使像面上得到物体的像,则必须要求这三个频率分量都通过系统,即系统的截止频率要大于这三个频率分量中的任何一个分量的频率。(1)若采用圆形光阑，假设光阑直径为D,系统的截止频率2c D f ξλ= 根据上面的分析,要使像面上得到物体的像,必须要求c ξ> 即要求2D f λ>(2)若采用矩形光阑，假设其大小为a b ×,则系统的截止频率22cx cy a f b f ξλξλ?=?? ? ?=??根据上面的分析,要使像面上得到物体的像,必须要求cx a cy b f f ξξ=??? =??即要求 22a b a ff b ff λλ=?? =?

2．物体的复振幅透过率可以用矩形波表示,它的的基频是50mm -1。通过圆形光瞳的透镜成像。透镜焦距为10cm,物距为20cm,照明波长为0。6um 。为了使像面出现条纹,在相干照明和非相干照明的条件下,分别确定透镜的最小直径应为多少？ 解:要使像面上出现条纹,则必须至少使矩形波的基频成分通过系统,而矩形波的基频分量的频率为50mm -1,因此要求系统的截止频率至少要大于这个基频值。 已知透镜焦距为f =10cm,物距d =20cm,则根据透镜成像关系 111i f d d =+可确定像距i d ,带入上述数值,有20cm i d =。(1)对于相干照明系统,系统截止频率为2c i D d ξλ= 式中,D为透镜直径,λ=0。6um 。根据以上分析可知,要使像面上出现条纹,则要求 50cm 10012mm 2i i D D d d λλ>?>=(2)对于非相干照明系统,系统截止频率为nc i D d ξλ= 式中,D为透镜直径,λ=0。6um 。根据以上分析可知,要使像面上出现条纹,则要求 50cm 506mm i i D D d d λλ>?>=

圆的动点问题--经典习题及答案

圆的动点问题 25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分） 已知：在Rt ABC △中，∠ACB =90°，BC =6，AC =8，过点A 作直线MN ⊥AC ，点E 是直线 MN 上的一个动点， （1）如图1，如果点E 是射线AM 上的一个动点(不与点A 重合)，联结CE 交AB 于点P ．若 AE 为x ，AP 为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域； (2) 在射线AM 上是否存在一点E ，使以点E 、A 、P 组成的三角形与△ABC 相似，若存在求 AE 的长，若不存在，请说明理由； （3）如图2，过点B 作BD ⊥MN ，垂足为D ，以点C 为圆心，若以AC 为半径的⊙C 与以ED 为半径的⊙E 相切，求⊙E 的半径． A B C P E M 第25题图1 D A B C M 第25题图2 N

25．（本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题2分，第（3）小题6分） 在半径为4的⊙O 中，点C 是以AB 为直径的半圆的中点，OD ⊥AC ，垂足为D ，点E 是射线AB 上的任意一点，DF //AB ，DF 与CE 相交于点F ，设EF =x ，DF =y ． （1） 如图1，当点E 在射线OB 上时，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数定义域； （2） 如图2，当点F 在⊙O 上时，求线段DF 的长； （3） 如果以点E 为圆心、EF 为半径的圆与⊙O 相切，求线段DF 的长． A B E F C D O A B E F C D O

25．如图，在半径为5的⊙O中，点A、B在⊙O上，∠AOB=90°，点C是弧AB上的一个动点，AC与OB的延长线相交于点D，设AC=x，BD=y． （1）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域； （2）如果⊙O1与⊙O相交于点A、C，且⊙O1与⊙O的圆心距为2，当BD=OB时，求⊙O1 的半径； （3）是否存在点C，使得△DCB∽△DOC？如果存在，请证明；如果不存在，请简要说明理由．

信息光学公式整理1

信息光学公式 1·矩形函数 ? ??? ? ≤-=??? ??-其它 , 021,10 0a x x a x x rect F { a sinc(a x ) } = rect(f /a ) F ?? ? ??Λ= b f b 1 (bx)}{sinc 2 2·inc s 函数 ()()a x x a x x a 0 00sin x x sinc --= ??? ??-ππ 3·三角形函数 ? ????≤-=??? ??Λ其它 , 0,1a x a x a x 4·符号函数 ()?? ? ??<-=>=0,10,00, 1sgn x x x x 5·阶跃函数 ()? ??<>=0,00 ,1x x x step 6·圆柱函数 ?? ???<+=???? ??+其它 ,0, 12 22 2a y x a y x circ 极坐标内 ?? ?><=??? ??a r o a r a r , ,1circ 7·δ函数的定义 普通函数形式的定义 ()()????? ?? =? ? ?==∞≠≠=∞ ∞ -?? 1 ,0,0,0, 0,dxdy y x y x y x y x δδ 广义函数形式的定义 ()()()0,0,,φφδ=∞ ∞ -?? dxdy y x y x 其中()y x ,φ在原点处连续 δ函数的性质 设函数()y x f ,在()00,y x 点出连续，则有 筛选性质 ()()()y x f dxdy y y x x y x f ,,,00=--∞ ∞ -?? δ 坐标缩放性质 ()()y x ab by ax ,1,δδ= 可变性 ()()()y x y x δδδ=, 8·梳状函数性质 ()()()∑∑∞ -∞ =∞∞ -=-= m nx j m x x πδ2exp comb ()∑∞ ∞ -?-?=??? ???x m x x x x δcomb ()∑∞ -∞=?? ? ?? ?-?=?m x m x x δ1 xx comb ()()ξcomb x comb ??→←? ()ξx comb x x comb ????→←?? ? ????x ()()()y x comb comb y x,comb = 9·傅里叶变换 ()()(){}dxdy y x j y x f F ηξπηξ+-=∞ ∞-?? 2exp ,, ()()()[]ηξηξπηξd d y x j F y x f += ∞ ∞ -?? 2exp ,, 10·阶跃函数step(x)的傅里叶变换 (){}(){}()? ?????-= +=??πξξδj 21x sgn 12 1 x step 11·卷积的定义 ()()()()()x h x f d x h f x g *=-= ?∞ ∞ -α αα 定义()x f 和()x h 的二维卷积： ()()()()()y x h y x f d d y x h f y x g ,*,,,,=--= ??∞ ∞ -β αβαβα 卷积的几个重要性质： 线性性质： {) ,(),(),(),(),()},(),(y x g y x bh y x g y x af y x g y x bh y x af *+*=*+卷积符合交换律： ,(),(),(),(y x f y x h y x h y x f *=* 卷积符合结合律： [][] ),(),(),(),(),(),(y x g y x h y x f y x g y x h y x f **=**卷积的坐标缩放：若),(),(),(y x g y x h y x f =*，则

激光物理学

第一章激光的基本概念 §1.1时间相干性和空间相干性 １．相干时间 ２．相干面积 ３．相干体积 §1.2光波模式和光子状态 １．光波模式 ２．光子及其状态 §1.３光与物质的相互作用 １．光与物质相互作用的三过程(自发辐射受激吸收受激辐射)２．爱因斯坦系数间的关系 ３．光子简并度 ４．激光器与起振条件 第二章腔模理论的一般问题 §2.1变换矩阵 １．变换矩阵的基本性质 ２．变换矩阵各元素的意义 §2.2腔的稳定性问题 １．稳定性条件 ２．等效方法 §2.3腔的本征模式 §2.4腔的损耗 1. 平均单程损耗因子 2．光子在腔内平均寿命 3．无源谐振腔的品质因数Q 4．本征振荡模式带宽 第三章稳定球面腔 §3.1共焦腔的振荡模 §3.2光斑尺寸和等价共焦腔 §3.3衍射损耗及横模选择 §3.4谐振频率，模体积和远场发散角第四章高斯光束 §4.1 厄米高斯光束和拉盖尔高斯光束§4.2 高斯光束的q参数 第五章非稳定腔 §5.1 非稳定腔的谐振模 §5.2 几何放大率和功率损耗率 §5.3 单端输出虚共焦腔的设计 第六章电磁场和物质相互作用 §6.1 线性函数 1. 定义 2.自然加宽和碰撞加宽N 3. 多普勒加宽

4. 综合加宽 §6.2 速率方程组 1.三能级系统 2.四能级系统 第七章增益饱和与光放大 §7.1 发射截面和吸收截面 §7.2 小信号增益系数 §7.3 均匀加宽工作物质的增益饱和 1. 反转集居数的饱和 2. 均匀加宽大信号增益系数 §7.4 非均匀加宽工作物质的增益饱和 1. 加宽大信号增益系数 2. 强光作用下弱光的增益系数 第八章激光振荡理论 §8.1激光器的振荡阈值,阈值反转集居数密度 §8.2连续激光器或长脉冲激光器的阈值泵浦功率§8.3多模激光器 §8.4 频率牵引 第九章激光的半经典理论 §9.1处理方法 §9.2 密度矩阵 1.定义 2.性质 §9.3 集居数运动方程迭代解 1. 静止原子的单模理论 2. 运动原子的单模理论 3. 静止原子的多模理论 4. 环形激光器 5. 塞曼激光器 第十章激光的量子理论 §10.1 辐射场的量子化 §10.2 相干态 §10.3 相干态的几个性质 §10.4 约化密度矩阵 §10.5 原子和辐射场的相干作用 §10.6 主方程 §10.7 振荡阈值和增益饱和 §10.8 光子统计 §10.9 内禀线宽 §10.10 激光场的光强涨落 第十一章相干光学瞬态效应 §11.1 二能级系统和辐射场相互作用 §11.2 相干瞬态光学过程 §11.3 相干双光子过程

信息光学习题答案1

第一章 习题解答 1.1 已知不变线性系统的输入为 ()()x x g com b = 系统的传递函数? ? ? ??b f Λ。若b 取（1） 50=.b （2）51=.b ，求系统的输出()x g '。并画出输出函数及其频谱的图形。 答：（1）()(){}1==x x g δF 图形从略， （2）()()()()()x s co f f δf δx g x x x πδ23 2+1=? ??? ?? 1+3 1+1-31+=F 图形从略。 若限带函数()y x,f 的傅里叶变换在长度L 为宽度W 的矩形之外恒为零， （1）如果L a 1< ，W b 1<，试证明 ()()y x f y x f b x a x ab ,,sinc sinc =*?? ? ????? ??1 证明： (){}(){}(){}()()(){}(){}()y x,f b x sinc a x sinc ab bf af rect y x f y x,f bf af rect y x f W f L f rect y x f y x,f y x y x y x *?? ? ????? ??1==∴=???? ??=,,F F ,,F ,,F F 1- （2）如果L a 1> ， W b 1 >，还能得出以上结论吗 答：不能。因为这时(){}(){}()y x y x bf af rect y x f W f L f rect y x f ,,F ,,F ≠??? ? ??。 1.3 对一个空间不变线性系统，脉冲响应为 ()()()y x y x h δ77=sinc , 试用频域方法对下面每一个输入()y x f i ,，求其输出()y x g i ,。（必要时，可取合理近似） （1）()x y x f π4=1cos , 答： ()(){}(){}{}{}()(){}{} {}{}{}x cos x cos f rect x cos y 7x sin x cos y x h y x f y x g x πππδπ4=4=??? ? ????? ??74=74==1-1 -1-11-1F F F F F F F ,F ,F F ,

中考动点问题专题 教师讲义带答案

中考动点型问题专题 一、中考专题诠释 所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题. “动点型问题”题型繁多、题意创新，考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等，是近几年中考题的热点和难点。 二、解题策略和解法精讲 解决动点问题的关键是“动中求静”. 从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。在动点的运动过程中观察图形的变化情况，理解图形在不同位置的情况，做好计算推理的过程。在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。 三、中考考点精讲 考点一：建立动点问题的函数解析式（或函数图像） 函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.例1 （2015?兰州）如图，动点P从点A出发，沿线段AB运动至点B后，立即按原路返回，点P在运动过程中速度不变，则以点B为圆心，线段BP长为半

径的圆的面积S与点P的运动时间t的函数图象大致为（） A．B．C．D． 思路分析：分析动点P的运动过程，采用定量分析手段，求出S与t的函数关系式，根据关系式可以得出结论． 解：不妨设线段AB长度为1个单位，点P的运动速度为1个单位，则： （1）当点P在A→B段运动时，PB=1-t，S=π（1-t）2（0≤t＜1）； （2）当点P在B→A段运动时，PB=t-1，S=π（t-1）2（1≤t≤2）． 综上，整个运动过程中，S与t的函数关系式为：S=π（t-1）2（0≤t≤2）， 这是一个二次函数，其图象为开口向上的一段抛物线．结合题中各选项，只有B 符合要求． 故选B． 点评：本题结合动点问题考查了二次函数的图象．解题过程中求出了函数关系式，这是定量的分析方法，适用于本题，如果仅仅用定性分析方法则难以作出正确选择． 对应训练 1．（2015?白银）如图，⊙O的圆心在定角∠α（0°＜α＜180°）的角平分线上运动，且⊙O与∠α的两边相切，图中阴影部分的面积S关于⊙O的半径r（r＞0）变化的函数图象大致是（） A．B．C．D．

信息光学参考答案

名词解释 单色平面波 波函数E 取余弦或正弦形式，对应的光波等相面为平面，且等相面上个点的扰动大小时刻相等的光波称为单色平面波。 光学全息 利用光的干涉原理将物体发出的特定光波以干涉条纹形式记录下来，使物光波前的全部信息都贮存在记录介质中形成全息图，当用适当光波照射全息图时，由于光的衍射原理能重现原始物光波，从而形成与原物相同的三维像的过程称为光学全息。 色模糊 由于波长不同而产生的像的扩展的现象叫做像的色模糊。 范西泰特—策尼克定理 指研究一种由准单色（空间）非相干光源照明而产生的光场的互强度，特别指研究干涉条纹可冗度。 11222(,) exp()2(,;,)(,)exp ()()j J x y x y I j x y d d z z ψπαβαβαβλλ+∞-∞?? = -?+??????? 其中 22 2222221121[()()]()x y x y z z ππψρρλλ= +--=- 12ρρ分别是点11(,)x y 和点22(,)x y 离光轴的距离 基元全息图 指单一物点发出的光波与参考光波干涉所形成的全息图。 彩虹全息 只利用纪录时在光路的适当位置加一个夹缝，使再现的同时再现狭缝像，观察再现像将受到狭缝再现像的调制，当用白光照明再现时，对不同颜色的光波，狭缝和物体的再现像位于不同颜色的像，犹如彩虹一样的全息图。 判断 1.衍射受限系统是一个低通滤波器。 2.物 000(,)x y μ通过衍射受限系统后的像分布(,)i i i x y μ是000(,)x y μ的理想像和点扩散 (,)i i h x y 的卷积。 3.我们把(,)H ξη称为衍射受限系统的想干传递函数。 4.定义：()()f x h x 为一维函数，则无穷积分 ()()()()() g x f h x d f x h x ααα+∞ -∞ =-=*? 5.二维卷积 (,) (,)(,)(,)(,)(,) g x y f h x y d d f x y h x y αβαβαβ+∞-∞= --=*?? 6.1,()()() ,x x x x x a rect rect a a a a a o ?-≤?*==Λ???其他 7.透镜作用 成像；傅里叶变换；相位因子。

动点例题解析及标准答案

动点例题解析及答案

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初中数学动点问题及练习题附参考答案 所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题. 关键:动中求静. 数学思想：分类思想函数思想方程思想数形结合思想转化思想 注重对几何图形运动变化能力的考查。 从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。选择基本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，考查学生的自主探究能力，促进培养学生解决问题的能力．图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程。在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。 二期课改后数学卷中的数学压轴性题正逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验探究等方向发展．这些压轴题题型繁多、题意创新，目的是考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等．从数学思想的层面上讲：（1）运动观点；（2）方程思想；（3）数形结合思想；（4）分类思想；（5）转化思想等．研究历年来各区的压轴性试题，就能找到今年中考数学试题的热点的形成和命题的动向，它有利于我们教师在教学中研究对策，把握方向．只的这样，才能更好的培养学生解题素养，在素质教育的背景下更明确地体现课程标准的导向．本文拟就压轴题的题型背景和区分度测量点的存在性和区分度小题处理手法提出自己的观点． 专题一：建立动点问题的函数解析式 函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.那么,我们怎样建立这种函数解析式呢?下面结合中考试题举例分析. 一、应用勾股定理建立函数解析式。 二、应用比例式建立函数解析式。 三、应用求图形面积的方法建立函数关系式。 专题二：动态几何型压轴题 动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。 一、以动态几何为主线的压轴题。 （一）点动问题。（二）线动问题。（三）面动问题。 二、解决动态几何问题的常见方法有: 1、特殊探路，一般推证。 2、动手实践，操作确认。 3、建立联系，计算说明。

信息光学习题答案

信息光学习题答案 信息光学习题答案第一章线性系统分析简要说明以下系统是否有线性和平移不变性. g?x??df?x?;g?x???f?x?dx; dx?g?x??f?x?; g?x??????f????h?x????d?; 2???f???exp??j2????d? 解：线性、平移不变；线性、平移不变；非线性、平移不变；线性、平移不变；线性、非平移不变。证明comb(x)exp(j?x)?comb(x) ???comb????x? ?x??1?证明：左边＝comb???????n?????(x?2n)??2??(x?2n) ?2?n????2?n????2?n??????x??2?右边?comb(x)?comb(x)exp(j?x)?? ?n?????(x?n)??exp(j?x)?(x?n)n?????n???? ??(x?n)??exp(jn?)?(x?n)n???? n?????(x?n)??(?1)n???n?(x?n)?当n为奇数时，右边＝0，当n为偶数时，右边＝

2所以当n为偶数时，左右两边相等。n?????(x?2n) (x) 证明??(sin?x)?comb证明：根据复合函数形式的δ函数公式?[h(x)]??i?1n?(x?xi)h?(xi ),h?(xi)?0 式中xi是h(x)=0的根，h?(xi)表示h(x)在x?xi处的导数。于是??(sin?x)??n?????(x?n)???co mb(x) 1 计算图题所示的两函数的一维卷积。解：设卷积为g(x)。当-1≤x≤0时，如图题(a)所示，g(x)??1?x0(1??)(1?x??)d??111?x?x3 326 图题当0 2??2?2??2?2?2?x?2设卷积为g(x)，当x≤0时，如图题(a)所示，g(x)??0d??x?2 当0 2 图题g(x)??d??2?x x2?x?1?2,x?0 g(x)?2?x?1?,x?0?2即g(x)?2??? ?x??2?(x)?rect(x)?1已知exp(??x2)的傅立叶变换为exp(???2)，试求?exp?x2???exp?x2/2?2