微积分习题集带参考答案
微积分习题集带参考答案
2（2），求圆的面积为1时，面积变量S 相对于周长l 的变化率。
解 此时S 是l 的函数 πππ4222
l l S =
??
? ??=。于是S 对周长l 的变化率为 π2l dl dS =。 当1=S 时π2=l ，此时π
π
1
2
=
=l dl dS 。
5(2). 设a
x y ||=，在0=x 点可导，求α的取值范围。
解 设a
x x f ||)(=。当0≤α时，0=x 是函数的间断点，此时函数不可导。只讨论0>α。
考虑左导数 ??
?
??>=<∞===---+
→1,0111
,0)0()(lim
1
0αααα
a x x x
x
x f x f ， 考虑右导数 ?????>=-<∞=--=-=----→1
,0111,)()(0)0()(lim
1
0ααααa x x x x x f x f ， 因此该函数当1>α时在0=x 点可导，导数为0.
6. 设???
??≥+-<≤+<-=1
,1)1sin(10,0,1)(x x b x a x x e x f x 。求b a ,使得)(x f 在1,0=x 可导。
解法1 因可导必连续，则 a f x f x ===-
→)0(0)(lim 0，则0=a 。这样在1=x 处)(x f 也连续。
此时 110)0()(lim )0(0=-=--='-→-x e x f x f f x x ，1lim 0)0()(lim )0(00==--='+→+→+x
x
x f x f f x x ，
。 1111)1()(lim
)1(1=--=--='-
→-x x x f x f f x ，b x x b x f x f f x x =--=--='+→+→+1
)
1sin(lim 1)1()(lim )1(11。
若)1('f 存在，则应有b =1。此时1)1('=f 。 解法2 同理可得0=a 。
1lim )'1(lim )0(00==-='-
→-
→-x x x x e e f ，11lim )'(lim )0(00==+='+
→+→+x x a x f ，则1)0('=f 。
11lim )'(lim )1(11==+='-
→-
→-x x a x f ，b x b x b f x x =-=+-='+
→+
→+)1cos(lim ]'1)1sin([lim )1(11。
若)1('f 存在，则应有b =1。此时1)1('=f 。
7. 设)(x f 在点0=x 连续，且11
)(lim
-=-→x
x f x 。 （1）求)0(f ，（2）问)(x f 在点0=x 处是否可导。
解 （1）由连续性可知 []1)0(1)(lim 0
-=-→f x f x 。若01)0(≠-f ，则∞=-→x
x f x 1
)(lim
， 与题设矛盾。必有01)0(=-f ，即1)0(=f 。
（2）10
)
0()(lim 1)(lim
00
-=--=-→→x f x f x x f x x ， 由导数定义可知)(x f 在点0=x 处可导，1)0('-=f 。
8. 设)(x g 在点0=x 连续，求x x g x f 2sin )()(=在0=x 处的导数。 解 由导数的定义)0(22sin )(lim 2sin )(lim 0)0()(lim
)0('000
g x
x
x g x x x g x f x f f x x x ===--=→→→ 注：不能x x g x x g x f 2cos )(22sin )(')('+=，故)0(2)0('g f =。
9. 设1)0(=f ，2)1(=g ，1)0('-=f ，2)0('-=g 。
求 （1）x
x f x x )
(cos lim 0-→， （2）x x f x x 1)(2lim 0-→， （3）1
2
)(lim
1--→x x g x x
解 （1）原极限[][]0
)0()(lim
11
cos lim 1)(1cos lim
000-----==---=→→→x f x f x x x x f x x x x 1)0(')'(cos 0=-==f x x
（2）原极限 0
1
2]1)([2lim 122)(2lim 00--+-=-+-=→→x x f x x f x x x x x x x
12ln 2ln 21)'2(2)0('022lim 20
)0()(lim 000000-=+-=+?=--+?--==→→x x x x x x f x x f x f
（3）原极限1
)
1(2lim 1]2)([lim 12
22)(lim
111
--+--=--+-=→→→x x x x g x x x x x g x x x x 112)'(21)0('1
)
1(2lim 1)0()(lim
111
-=+-=+?=--+?--==→→x x x x g x x x x g x g
10. 设1)0(=f ，1)0('-=f ，求极限 x
x f x --→11
)(ln lim
1
。
解 原极限 1)1()0('1ln lim 0
)0()(lim 1ln 0ln )0()(ln lim 101
=-?=-?--=-?--=→→→f x x
u f u f x x x f x f x u x 。
习3.2
1.
3.求下列函数的导数 （3）x x y 32log =
解 3
ln log 23ln 1log 2)'(log log )'('32
332
32
x
x x x x x x x x x x y +
=?+=+=。 这里用到导数公式a
x x a ln 1
)(log =。 （8）∏=-=
n
k k x y 0
)(
解 此时)()2)(1(n x x x x y -??--= 。由公式''')'(uvw w uv vw u uvw ++=，…… 则 ∑∏=≠=-=
n k n
k
j j j x y 10
)('。
用对数求导法 )ln()1ln(ln ln n x x x y -++-+=
两边求导数
n
x x x y y -++-+=1111' 。 则 ??
? ??-++-+-??--=??? ??-++-+=n x x x n x x x x n x x x y y 1111)()2)(1(1111'
习3.3
1.设()f x 可导，求下列函数的导数 (3))
(11
2
x f y +=
解 ()
()
()
2
2
2
2
2
2
2
)
(1)
(')(2)(')(2)
(11
)]'(1[)
(11
'x f
x f x f x f x f x f
x f x f
y +-
=?+-=++-
=
（5）()
)(1ln 2
x f y +=
解 ()
)
(1)(')(2)(1)(11'2
2
2x f x f x f x f x f y +='++=
2. 求下列函数的导数 （4）ln(234)x
x x y ---=++
解 1
'(234)'(234)
x x x x
x x
y ------=
?++++ 12ln 2(1)3ln 3(1)4ln 4(1)(234)
x x x
x
x x ------??=
??-+?-+?-??++ 2ln 23ln 34ln 4
(234)
x x x x x x ------++=-++
（5）(2
y =
解 ('y ''==
(12)'
x =?-
=
==。
（6）|sin |ln 21
x y x -=+
解 x x x x x x
x y x x cos sin 1
)'1(1
212ln 2)'(sin sin 1
)'1(2ln 2
'1
1
-++?
=-+?=++
x x x cot 1
21
2ln 2
1
-+?
=+。
（7）||ln 22222a x x a a x x y -+--=
解 )'(1)'(21'222
22222
222a x x a x x a a x a x x a x y -+-+?
---?
+-=
)1(1222
2
2
2
22
2
22a
x x a
x x a a
x x x a x -+
-+?
--?
+-=
)(
12
2
222
2
2
2
2
22
2a
x x a x a
x x a a
x x a x -+--+?
--+
-=
2
2
22
2
22
2a
x a a x x a x --
-+
-=
222
2222
22a x a x a x a x -=--+
-=。
解
22'1)'y x x a ??'
=
+=
++?
?
1??=+==
解法一 2
3133
13
2
1231
3
2
12
3132
1
2)2()2()2()2()2()2()2('???
? ??-'
???? ?
?-+--'
???
? ?
?+='
??
??
? ??-+=x x x x x x x x x x y
2
3132
32
32
1
231
3212)2(3)2(31)2()2)(22()2(2
1???
? ??--+--++=--x x x x x x x x x ???
?
??--++-+=2)2(122323
32x x x x x x x x 解法二 对数求导法 )2ln(3
1
)2ln(21ln 32--+=
x x x y )
2(33)2(222'132
2--++=x x x x x y y ，
???
?
??--++-+=
???? ??--++=)2()2(122)2(33)2(222'3223
32322x x x x x x x x x x x x x y y 。 （10）x
x y ??
? ??
-=211
解 ?
????
? ??'??? ??--?--??? ??-='
??? ??-='
???? ??=--x x x x x x x e e y x
x
x x
x 2112111)211ln(211)211ln()
21
1ln()
21
1ln( ??? ??---??? ??-=?????
? ???-?--??? ??
-=121)211ln(211212111)211ln(2112x x x x x x x x x
x
（《全解》有误） （1）若()f x 在(,)-∞+∞内可导，求α的取值范围；
（2）若()f x 在(,)-∞+∞内连续可导（即'()f x 连续），求α的取值范围。
解 （1）显然左导数(0)0f -'=。右导数 000
1
sin
()(0)
1(0)lim lim lim sin 0
x x x x f x f x f x x x x
αα+
-1+→→→-'===-，
只有在α>1时才有极限值0. 则此时有导数(0)0f +'=。
于是当α>1时，()f x 处处可导，且211sin cos ,0
'()0,0x x x f x x x
x ααα-1
-??->=??≤?。 （2）显然'()f x 在0x =/时连续（初等函数）。在0x =处，0011lim '()lim sin cos x x f x x x x x ααα++
-1
-2→→??
=- ??
?
。只有在α>2时，这个极限存在且为0.
4.已知2
y x a =+与ln(12)y b x =+在1x =点相切，求,a b 的值。
（若两条曲线在点00(,)x y 相交，且在这个交点处两条曲线的切线相同，则称两曲线在该点相切） 解 在1x =处两曲线切线的斜率分别为
()()
21
1
22x x x a x =='
+==，()1
1
22ln(12)123
x x b b b x x ==??
'
+==
?+??
。
相切时应有2233
b
b =
?=。 根据相切的定义，在1x =处应有2
1ln(121)a b +=+?，则1ln3a b +=。于是3ln31a =-。
5. 设)(x f 在),(+∞-∞上可导。证明 （1）若)(x f 是奇函数，则)('x f 是偶函数； （2）若)(x f 是偶函数，则)('x f 是奇函数；
（3）若)(x f 是周期函数，则)('x f 也是周期函数且周期不变。
证 （1）若)(x f 是奇函数，)()(x f x f -=-。左边求导数)(')')((')]'([x f x x f x f --=--=-， 右边求导数)(')]'([x f x f -=-，于是)(')('x f x f -=--，即)(')('x f x f =-。故)('x f 是偶函数。 （2）若)(x f 是偶函数，)()(x f x f =-。左边求导数)(')')((')]'([x f x x f x f --=--=-， 右边求导数)(')]'([x f x f =，于是)(')('x f x f =--，即)(')('x f x f -=-。故)('x f 是奇函数。 （3）若)(x f 以T 为周期，)()(x f T x f =+。左边求导数)(')')((')]'([T x f T x T x f T x f +=++=+， 右边求导数)(')]'([x f x f =，于是)(')('x f T x f =+。故)('x f 以T 为周期。
6. 设)(x f y =的反函数为)(y x ?=，
利用复合函数求导数的法则证明：若)(x f y =可导且0)('≠x f ，则)
('1
)('x f y =
?。 解 此时())(x f x ?=，两边对x 求导可得())(')('1x f x f ?=，于是())
('1)('x f x f =?，即)('1
)('x f y =?。
7. 设)(x y y =是由方程xy
e y x -=++)sin(1所确定的隐函数，求'y 及该函数在点)0,0(处的法线方程。 解 方程两端对x 求导 )'()'1)(cos(xy y e
y y x xy
+-=++-。 则 (
)xy
xy
ye
y x xe
y x y ---+-=++)cos()cos('，因此 xy
xy xe
y x ye y x y --++++-=)cos()cos('。 该函数所确定的曲线在原点的切线斜率为 1')0,0(-=y 。因此法线在该点的斜率为1=k 。 由点斜式可知法线的方程为x y =。
8. 设()y y x =是由方程22
ln(2)x y x y +=-所确定的隐函数。 （1）求曲线()y y x =与直线y x =-的交点坐标00(,)x y ； （2）求曲线()y y x =在交点处的切线方程。
解 （1）解方程组22
ln(2)x y x y y x
?+=-?=-?。
第二个方程代入第一个方程ln(2)0,21x y x y +=?+=。可得出交点(1,1)-。
（2）隐函数求导
1
(12')22'2y x yy x y
?+=-+，将交点坐标代入 1(12')22'y y ?+=--，
则13'|4x y =-=-。切线为3
1(1)4
y x -=-+，4310y x ?+-=。
习3.4
4. 求下列函数的微分
（4）2
(cos )y f x =，()f u 可微
解法1 2
2
2
2
2
'(cos )(cos )'(cos )(sin )()dy f x d x f x x d x ==?-
2222'(cos )sin 2d 2'(cos )sin d f x x x x xf x x x =-?=-。
解法2. 因2
2
2
2
2
2
2
''(cos )(cos )''(cos )(sin )()'2'(cos )sin y f x x f x x x xf x x =?=?-=-，
则 2
2
d 'd 2'(cos )sin d y y x xf x x x ==-。
6. 给定方程?????+=-=)
sin 1()
cos 1(t e y t e x t t ，求dx dy 以及dy dx 。
解 ()()
t
t t
t dt t e t e dt t e t e dx dy t t t t sin cos 1cos sin 1sin )cos 1(cos )sin 1(+-++=
+-++= ()()
t
t t
t dt t e t e dt t e t e dy dx t
t t t cos sin 1sin cos 1cos )sin 1(sin )cos 1(+++-=+++-=
9. 找原函数)(x f （1） )(tan x df xdx =
解 )sin (ln )(sin sin 1
cos sin 1sin cos x d x d x
xdx x dx x x =?=?==
。 因此C x x f +=sin ln )(。
习3.5
1. 设x
xe x f 2)(-=，求使得0)("=x f 的点。
解 x x
xe e
x f 222)('---=，)1(4422)("2222-=+--=----x e xe e e x f x x x x 。 令0)1(4)("2=-=-x e
x f x
，因042>-x e ，则只有01=-x 。使得0)("=x f 的点为1=x 。
2. 设2
()ln f x x x =+，求出使得"()0f x >的x 的取值范围。 解 函数的定义域是0x >。1'()2f x x x =+，21"()2f x x =-。令21
20x ->
，则x >。
4. 设)(x y y =是由方程y x e
y
x 22++=+所确定的隐函数，求)1,1(|"-y 及y d 2。
解 在方程两端求导数 '21)'1(y y e
y
x +=++，可得 y x y x e e y ++-=-1)2('。 于是 2
1'--=++y x y
x e e y 。再求二阶导数，注意',y y 都是x 的函数
2
2)2()
'1()1()2)('1()2()'2)(1()2()'1("-+---+-=------=++++++++++y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x e y e e e y e e e e e e y ()
3
222)
2()2()21()2()211()2()1()2()'1(y x y x y x y x y
x y x y x y x y
x y x y x y x y x e e e e e e e e e e e e y e +++++++++++++-=---=---+=----+= 1|")1,1(=-y ，2
3
2
2
)
2("dx e e dx y y d y x y x ++-==。
2. 设x x x f ln )(2
+=，求使得0)(">x f 的x 的取值范围。
解 ),0(+∞=f D 。x
x x f 1
2)('+=，2221212)("x x x x f -=-=。
当21
2
>
x 时0)(">x f ，此时2
1>x 。
4. 设)(x y y =是由y x e
y
x 22++=+所确定的隐函数，求)1,1(|"-y 和y d 2。
解 方程两端对x 求导 '21)'1(y y e
y
x +=++，解得2
1'--=++y x y
x e e y 。则0|')1,1(=-y 。
再求导 2
)2()
1)('1()2)('1("--+--+-=+++++y x y x y x y x y x e e y e e y e y 。
则
1)1(0
11)1(11|"2
)1,1(=-??--??-=
-y 。
y d 2省略。
5. 设)(t f 二阶可导，0)("≠t f 。求参数方程 ???=-=)
(')(')(2
t f t y t tf t f x 的导数dx dy
。 解 ()()()
()dt
t tf t f t f dt
t f t t tf t tf t f d t f t d dx dy )(")(')(')(")('2)(')()('22---=
-= ()
())
(")
('2)(")(")('2)(")(")('222
t f t f t t tf t f t t tf dt t tf dt t f t t tf -
=--=--=
8. 证明ax n n ax e a n ax xe
1)
()()
(-+=。
解法一 用数学归纳法。1=n 时，ax ax ax ax
e a ax axe e xe 11)1()'(-+=+=，结论成立。
假定结论对于k n =成立，即ax k k ax e a k ax xe 1)
()()
(-+=。
当1+=k n 时，则 ()()
ax k ax k ax k k ax k ax ae a k ax e a a e a k ax xe xe
?++?='
+='=---+111)()
1()()()()
( ax k ax k ax k e a k ax e a k ax e a 1)1()1()(-+++=++=
由属性归纳法原理可知结论成立。 解法二 用高阶导数的莱布尼兹公式 )()
2()1()()
("2
)1(')(n n n n n uv v u n n v nu v u uv ++-+
+=-- 。 令ax
e
u =，则ax k k e a u
=)
(。令x v =，则)2(,0,1')(≥==k v v k 。
ax n ax n ax n n ax n ax n ax e a n ax e na x e a e n x e xe 11)1()()()(001)()()(---+=+=+++?+= 。
习3.6
1. 是某商品的需求价格函数为r p
k
Q =
，其中k 和r 是正的常数。证明需求价格弹性r E p =||。
解 r krp p k p Q Q
p E r r
p -=-?==
--)('1，则r E p =||。
2.假设某产品的成本C 关于产量q 的弹性定义为dq
dC C q E q C ?=,。 证明AC
MC
E q C =
,，其中AC MC ,分别表示边际成本和平均成本。 证 AC MC q
C dq
dC
E q
C ==,。
3. 将旅店的租房价格从每天75元提高到每天80元，会使出租量从每天100套降到每天90套。 （1）求房租为每天75元时的需求价格弹性。
（2）求房租为每天75元和80元时旅店的总收益。 （3）问该旅店是否应该提价。
解（1）由弹性的定义（P81）p Q Q p E p p ???=→?0lim
。因此p
Q Q p E p ???≈，这里,100,75==Q p
57580=-=?p ，1010090-=-=?Q 。则5.15
10
10075-=-?≈
p E 。 （2）收益pQ p R =)(，7500010075)75(=?=R ，72009080)80(=?=R 。 （3）不应该提价。
习题三
1. 设)(),(x x ββαα==在1x 的某去心邻域内满足 （1）)()(,)(0x x x x βαβ≠≠
（2）存在常数0>M ，使得|)()(||)(|0x x M x x αββ-≤- （3）0)(lim )(lim 1
1
x x x x x x x ==→→βα
证明 若)(x f 在0x 可导，则 )(')
()()]
([)]([lim
01
x f x x x f x f x x =--→αβαβ。
并求极限 )('1
)]
1([])1(2[lim
0001
x f x x x f x x f x =----+-→
证 因)(x f 在0x 可导，则在该点必可微。由可微的定义可知
)(),())((')()]([)(0000000x x o x x f x f x x f f →-+-+=-+=βββββ， )(),())((')()]([)(0000000x x o x x f x f x x f f →-+-+=-+=ααααα，
两式相减可得
)()())((')()(000x o x o x f f f -+-+-=-αβαβαβ，
α
βαβαβαβ--+-+=--)()()(')
()(000x o x o x f f f
只需证明1x x →时
0)
()(00→--+-α
βαβx o x o 即可。
α
βααααββββαβαβ--?--+--?--=--+-0
0000000)()()()(x x x o x x x o x o x o
因
,||||0M M x =--≤--αβαβαββ M x x +≤--+-≤--1|
|||||00αβββααβα
则
α
βααββ----0
0,x x 都有界。 显然 0)(lim )(lim
00001
1
=--=--→→x x o x x o x x x x ααββ， 于是 0)
()(lim
001=--+-→α
βαβx o x o x x 。
故 )(')
()()]
([)]([lim 01
x f x x x f x f x x =--→αβαβ。
2. 设)(x f ，)(x g 在点0x 可导，且)(')('),()(0000x g x f x g x f ==。若函数)(x h 在0x 的某一邻域内满足
)()()(x g x h x f ≤≤。证明：)(x h 在点0x 可导并且)(')(')('000x g x h x f ==。
证 此时必有)()()(000x g x h x f ==。因此)()()()()()(000x g x g x h x h x f x f -≤-≤- 如果0x x >，则
00000)
()()()()()(x x x g x g x x x h x h x x x f x f --≤--≤--。当+→0x x 时，由夹逼准则可得到
)(x h 在点0x 右导数存在并且)()()(000x g x h x f ++
+'='=' 如果0x x <，则
00000)
()()()()()(x x x g x g x x x h x h x x x f x f --≥--≥--。当-→0x x 时，由夹逼准则可得到
)(x h 在点0x 左导数存在并且)()()(000x g x h x f --
-'='='。 因此)(x h 在点0x 可导并且)(')(')('000x g x h x f ==。
3. 设)(),(x g x f 的定义域为R ，且它们在点0x 可导，证明??
?>≤=0
),(),()(x x x g x x x f x h 在点0x 可导的充要条件是
)(')('),()(0000x g x f x g x f ==。
证 由于)(),(x g x f 在点0x 可导，则它们在点0x 必连续。
必要性。若)(x h 在点0x 可导，则函数在该点必连续，从而左连续且右连续 即 )()(lim )(lim )()(00000x g x g x f x f x h x x x x ====+
→-
→。
此时)(x h 在点0x 的左右导数都存在且相等。
)()
()(lim )()(lim )(00
000000x g x x x g x g x x x h x h x h x x x x +
+→+→+
'=--=--='， )()
()(lim )()(lim )(0000000
0x f x x x f x f x x x h x h x h x x x x +→-→-
'=--=--='。
因此)(')(')('000x g x f x h ==。
充分性。若 )(')('),()(0000x g x f x g x f ==。由上面的推导反推回去可知)(x h 可导。
4. 设)()2)(1()(n x x x x x f +++= ，求)()
(x f n 。
解 )(x f 是一个1+n 次多项式，将它按照降幂排列展开， 则有 x n x n x
x f n n !)21()(1
++++++=+ ，
逐项求n 阶导数后可得 )2
()!1(00!2)1()!1()()
(n
x n n n n x n x f n ++=+++?++
+= 。
6. (1)求曲线)2,0(,sin cos 33π∈????
?==t t
a y t
a x 在点))(),((t y t x 处的切线)(t L 。 （2）证明)(t L 在坐标轴上的截距的平方和等于2
a 。
解 （1）切线的斜率为
t tdt
t a tdt
t a dx dy tan sin cos 3cos sin 322-=-=。 切线)(t L 为 ))((tan )(t x x t t y y --=-，即)cos (cos sin sin 33
t a x t
t
t a y --=- （2）将)(t L 变为截距式的直线方程 )cos (cos sin sin 33
t a x t
t
t a y --
=-
t a t a t t a x t t y sin sin cos sin cos sin 32=+=+
，进而1sin cos =+t
a y
t a x 显然截距的平方和为2
a 。
微积分习题集带参考答案
一、填空题（每小题4分，本题共20分） ⒈函数x x x f -++=
4)
2ln(1
)(的定义域是]4,1()1,2(-?--．
⒉若24sin lim
0=→kx
x
x ，则=k 2 ．
⒊曲线x
y e =在点)1,0(处的切线方程是1+=x y ． ⒋
=+?e 12
d )1ln(d d x x x
．
⒌微分方程1)0(,=='y y y 的特解为x
y e =．
6函数24)2(2
-+=+x x x f ，则=)(x f 62
-x ．
7.当→x 0时，x
x x f 1
sin
)(=为无穷小量. 8.若y = x (x – 1)(x – 2)(x – 3)，则y '(1) = 2-． 9.
=+-?
-x x x d )135(1
1
32．
10.微分方程1)0(,=='y y y 的特解为x
y e =.
11.函数x x x f 2)1(2
+=+，则=)(x f 12
-x ．
1⒉=∞
→x
x x 1
sin
lim 1 ． 1⒊曲线x y =
在点)1,1(处的切线方程是2
121+=
x y ． 1⒋若
?+=c x x x f 2sin d )(，则=')(x f in2x 4s -．
1⒌微分方程x y xy
y cos 4)(7)
5(3
=+''的阶数为 5 ．
16.函数74)2(2
++=+x x x f ，则=)(x f 32
+x ．
17.若函数???=≠+=0,
,2)(2x k x x x f ,在0=x 处连续，则=k 2 ．
18.函数2
)1(2+=x y 的单调增加区间是).1[∞+-．
19.
=
?
∞
-dx e x 0
22
1． 20.微分方程x y xy y sin 4)(5)
4(3
=+''的阶数为 4 ．
21.设函数54)2(2
++=+x x x f ，则)(x f 12
+x ．
22.设函数???
??=-≠+=0,
10,2sin )(x x k x
x x f 在x = 0处连续，则k =1-． 23.曲线1e )(+=x
x f 在)2,0(点的斜率是 1 ． 24.
=+-?
-x x x d )235(1
1
3 4 ．
25.微分方程0)(4
2
=+'+'''y y y x 的阶数是 3 ． 26.函数)
2ln(1
)(-=
x x f 的定义域是 答案：2>x 且3≠x .
27.函数24)
2ln(1
)(x x x f -++=
的定义域是 ．答案：]2,1()1,2(-?--
28.函数74)2(2
++=+x x x f ，则=)(x f ． 答案：3)(2
+=x x f
29.若函数??
???
≥<+=0,0
,13sin )(x k x x
x x f 在0=x 处连续，则=k ．答案：1=k 30.函数x x x f 2)1(2
-=-，则=)(x f ．答案：1)(2
-=x x f
31.函数1
3
22+--=x x x y 的间断点是 ．答案：1-=x
32.=∞→x
x x 1
sin lim ．答案：1
33.若2sin 4sin lim
0=→kx
x
x ，则=k ．答案：2=k 34.曲线1)(+=
x x f 在)2,1(点的切斜率是 答案：
2
1 35.曲线x
x f e )(=在)1,0(点的切线方程是 ．答案：e x y +=
36.已知x
x x f 3)(3
+=，则)3(f '= ．答案：3ln 33)(2
x
x x f +='， )3(f '=27（)3ln 1+ 37.已知x x f ln )(=，则)(x f ''= ．答案：x x f 1)(=
'，)(x f ''=21x
-
38.若x
x x f -=e )(，则='')0(f
．答案：x
x x x f --+-=''e e 2)(，='')0(f 2-
39.函数
的单调增加区间是 ．答案：),1(+∞
40.函数1)(2
+=ax x f 在区间),0(∞+内单调增加，则a 应满足 ． 答案：0>a 二、单项选择题（每小题4分，本题共20分） ⒈设函数x x y sin =，则该函数是（ A ）．
A ．偶函数
B ．奇函数
C ．非奇非偶函数
D ．既奇又偶函数
⒉当=k （ C ）时，函数?
??=≠+=0,0,2)(2x k x x x f ，在0=x 处连续.
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3 ⒊下列结论中（ C ）正确．
A ．)(x f 在0x x =处连续，则一定在0x 处可微.
B ．函数的极值点一定发生在其驻点上.
C ．)(x f 在0x x =处不连续，则一定在0x 处不可导.
D ．函数的极值点一定发生在不可导点上.
⒋下列等式中正确的是（ D ）．
A . )cos d(d sin x x x = B. )1
d(d ln x
x x = C. )d(d x
x
a x a = D.
)d(2d 1x x x
=
⒌微分方程x y y x y sin 4)(5
3='''+''的阶数为（ B ） A. 2； B. 3； C. 4； D. 5 6.数)
1ln(1
)(-=
x x f 的定义域是（ C ）．
A ．),1(+∞
B ．),1()1,0(+∞?
C ．),2()2,1(+∞?
D ．),2()2,0(+∞? 7.曲线1e
2+=x
y 在2=x 处切线的斜率是（D ）．
A ．2
B ．2
e C ．4
e D ．4
2e 8.下列结论正确的有（ B ）． A ．若f '(x 0) = 0，则x 0必是f (x )的极值点
B ．x 0是f (x )的极值点，且f '(x 0)存在，则必有f '(x 0) = 0
C ．x 0是f (x )的极值点，则x 0必是f (x )的驻点
D ．使)(x f '不存在的点x 0，一定是f (x )的极值点 9.下列无穷积分收敛的是（A ）． A ．
?
∞
+-0
2d e
x x
B ．
?
∞
+1
d 1x x
C ．
?
∞
+1
d 1
x x
D ． ?∞+0d in x x s
10.微分方程x y x y y ln cos )(2)
4(3
=+''的阶数为（D
4
6lim 222----→x x x x 45
23lim )2)(2()2)(3(lim 22=--=+-+-=-→-→x x x x x x x x ）． A. 1； B. 2； C. 3； D. 4
11.设函数x x y sin 2
=，则该函数是（ D ）．
A ．非奇非偶函数
B ．既奇又偶函数
C ．偶函数
D ．奇函数 12.当0→x 时，下列变量中为无穷小量的是（ C ）. A ．
x 1 B ．x x sin C ．)1ln(x + D ．2x
x 13.下列函数在指定区间
上单调减少的是（ B ）．
A ．x cos
B ．x -5
C ．2
x D ． x
2
1⒋ 设
c x
x
x x f +=
?ln d )(，则=)(x f （ C ）． A. x ln ln B. x x ln C. 2
ln 1x
x - D. x 2
ln 1⒌下列微分方程中，（A ）是线性微分方程． A ．x y y x y x
ln e sin ='-'' B ．x
xy y y e 2=+'
C ．y y x y e ='+''
D ． y y yx '=+ln 2
16.设函数x x y sin =，则该函数是（B ）．
A ．奇函数
B ．偶函数
C ．非奇非偶函数
D ．既奇又偶函数 17.当+∞→x 时，下列变量为无穷小量的是（ A ）.
A ．
x
x
sin B ．)1ln(x + C ．x x 1sin D ． x x +1
18.若函数f (x )在点x 0处可导，则( D )是错误的．
A ．函数f (x )在点x 0处有定义
B ．函数f (x )在点x 0处连续
C ．函数f (x )在点x 0处可微
D ．A x f x x =→)(lim 0
，但)(0x f A ≠
19.若)0()(>+
=x x x x f ，则='?x x f d )(（ C ）.
A. c x x ++23
2
2
3 B. c x x ++2
C. c x x ++
D. c x x ++23
23
2
21
20.下列微分方程中为可分离变量方程的是（B ）
A.
)(ln d d y x x y ?=； B. x y x y
+=e d d ； C. y x x y e e d d +=； D. )ln(d d y x x
y +=
21.函数x x y ln 4
1
+-=的定义域为（D ）
． A ．0>x B ．4≠x C ．0>x 且1≠x D ．0>x 且4≠x
22.曲线x x f ln )(=在e =x 对应点处的切线方程是（ C ）．
A. x y e 1=
B. 1e 1-=x y
C. 1e 1+=x y
D. 1e e
1
+-=x y 23.下列等式中正确的是（D ）．
A . )cos d(d sin x x x = B. )1
d(d ln x
x x = C. )d(d x
x
a x a = D. )d(2d 1x x x
=
24.下列等式成立的是（A ）． A ．
)(d )(d d
x f x x f x
=? B ．)(d )(x f x x f ='? C ．)(d )(d x f x x f =? D ．)()(d x f x f =? 25.下列微分方程中为可分离变量方程的是（B ） A.
y x x y +=d d ； B. y xy x y +=d d ； C. x xy x y sin d d +=； D. )(d d x y x x
y += 26.设函数2
e e x x y +=-，则该函数是（B ）．
A ．奇函数
B ．偶函数
C ．非奇非偶函数
D ．既奇又偶函数
27.下列函数中为奇函数是（ C ）．
A ．x x sin
B ．2
e e x x +- C ．)1ln(2x x ++ D ．2x x +
28.函数)5ln(4
+++=
x x x
y 的定义域为（ D ）． A ．5->x B ．4-≠x C ．5->x 且0≠x D ．5->x 且4-≠x
29.设1)1(2
-=+x x f ，则=)(x f （C ）
A ．)1(+x x
B ．2
x C ．)2(-x x D ．)1)(2(-+x x
30.当=k （D ）时，函数???=≠+=0,
,2)(x k x e x f x 在0=x 处连续.
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
31.当=k （B ）时，函数???=≠+=0,
,1)(2x k x x x f ，在0=x 处连续.
A ．0
B ．1
C ．2
D ．1- 32.函数2
33
)(2+--=
x x x x f 的间断点是（A ）
A ．2,1==x x
B ．3=x
C ．3,2,1===x x x
D ．无间断点
33.若x x f x
cos e
)(-=，则)0(f '=（ C ）．
A. 2
B. 1
C. -1
D. -2
34.设，则（ B ）． A ．
B ．
C ．
D ．
35.设)(x f y =是可微函数，则=)2(cos d x f （D ）． A ．x x f d )2(cos 2' B ．x x x f d22sin )2(cos ' C ．x x x f d 2sin )2(cos 2' D ．x x x f d22sin )2(cos '-
36.若3sin )(a x x f +=，其中a 是常数，则='')(x f （C ）．
A ．2
3cos a x + B ．a x 6sin + C ．x sin - D ．x cos
37.函数2
)1(+=x y 在区间)2,2(-是（ D ）
A ．单调增加
B ．单调减少
C ．先增后减
D ．先减后增 38.满足方程0)(='x f 的点一定是函数)(x f y =的（C ）. A ．极值点 B ．最值点 C ．驻点 D ． 间断点 39.下列结论中（ Ａ ）不正确． A ．)(x f 在0x x =处连续，则一定在0x 处可微. B ．)(x f 在0x x =处不连续，则一定在0x 处不可导. C ．可导函数的极值点一定发生在其驻点上.
D ．函数的极值点可能发生在不可导点上. 40.下列函数在指定区间
上单调增加的是（B
）．
A ．x sin
B ．x
e C ．2
x D ．x -3
三、计算题（本题共44分，每小题11分）
⒈计算极限2
38
6lim 222+-+-→x x x x x ．
原式21
4
lim )1)(2()2)(4(lim
22-=--=----=→→x x x x x x x x
⒉设x x y 3
cos ln +=，求y d .
)sin (cos 31
2x x x y -+=
' x x x x
y d )cos sin 31(d 2
-=
⒊计算不定积分x x d )12(10?
-
x x d )12(10
?
-= c x x x +-=--?11
10)12(22
1)12(d )12(21 ⒋计算定积分
x x d ln 2
e 1
?
x x d ln 2
e 1
?
-
=2
1ln e x x 1e 1e e 2d 222e 1
2
+=+-=?
x x
x
5.计算极限4
6
lim 222----→x x x x ．
6.设x x y 3
cos 5sin +=，求y d .
)sin (cos 35cos 52x x x y -+=' x x x 2cos sin 35cos 5-=
x x x x y d )cos sin 35cos 5(d 2
-=
7.计算不定积分?
+-x x
x
x x d sin 33 ?+-x x x x x d sin 33= c x x x +--cos 3
2ln 32
3
8.计算定积分
?
π
d sin 2
x x x
?
π
d sin 2x x x
2sin 212d cos 21cos 210
00πππ
ππ
=+=+-=?x x x x x
微积分试题及答案(5)
微积分试题及答案 一、填空题(每小题2分，共20分) 1. =∞→2 arctan lim x x x . 2. 设函数??? ??=<<-=0 , 10 )21()(1 x k x ,x x f x 在0=x 处连续，则=k 。 3. 若x x f 2e )(-=，则=')(ln x f 。 4. 设2sin x y =，则=)0() 7(y 。 5. 函数2 x y =在点0x 处的函数改变量与微分之差=-?y y d 。 6. 若)(x f 在[]b a ,上连续, 则=?x a x x f x d )(d d ; =? b x x x f x 2d )(d d . 7. 设函数)3)(2)(1()(---=x x x x f ，则方程0)(='x f 有 个实根。 8. 曲线x x y -=e 的拐点是 。 9. 曲线)1ln(+=x y 的铅垂渐近线是 。 10. 若 C x x x f x ++=? 2d )(，则=)(x f 。 二、单项选择（每小题2分，共10分） 1. 设x x f ln )(=，2)(+=x x g 则)]([x g f 的定义域是（ ） （A ）()+∞-,2 （B ）[)+∞-,2 （C ）()2,-∞- （D ）(]2,-∞- 2. 当0→x 时，下列变量中与x 相比为高阶无穷小的是（ ） （A ）x sin （B ）2 x x + （C ）3x （D ）x cos 1- 3. 函数)(x f 在],[b a 上连续是)(x f 在],[b a 上取得最大值和最小值的（ ） （A ）必要条件 （B ）充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）无关条件 4. 设函数)(x f 在]0[a ， 上二次可微，且0)()(>'-''x f x f x ，则x x f ) ('在区间)0(a ，内是（ ） （A ）不增的 （B ）不减的 （C ）单调增加的 （D ）单调减少的 5. 若 C x x x f +=?2d )(，则=-?x x xf d )1(2 。 （A ）C x +-2 2)1(2 （B ）C x +--2 2)1(2
大一高等数学期末考试试卷及答案详解
大一高等数学期末考试试卷 一、选择题（共12分） 1. （3分）若2,0, (),0x e x f x a x x ?<=?+>?为连续函数,则a 的值为( ). (A)1 (B)2 (C)3 (D)-1 2. （3分）已知(3)2,f '=则0 (3)(3) lim 2h f h f h →--的值为（ ）. (A)1 (B)3 (C)-1 (D) 12 3. （3分）定积分22 π π-?的值为（ ）. (A)0 (B)-2 (C)1 (D)2 4. （3分）若()f x 在0x x =处不连续,则()f x 在该点处( ). (A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限 二、填空题（共12分） 1．（3分） 平面上过点(0,1)，且在任意一点(,)x y 处的切线斜率为23x 的曲线方程为 . 2. （3分） 1 241 (sin )x x x dx -+=? . 3. （3分） 20 1 lim sin x x x →= . 4. （3分） 3223y x x =-的极大值为 . 三、计算题（共42分） 1. （6分）求2 ln(15) lim .sin 3x x x x →+ 2. （6分）设2 ,1 y x =+求.y ' 3. （6分）求不定积分2ln(1).x x dx +?
4. （6分）求3 (1),f x dx -? 其中,1,()1cos 1, 1.x x x f x x e x ?≤? =+??+>? 5. （6分）设函数()y f x =由方程0 cos 0y x t e dt tdt +=??所确定,求.dy 6. （6分）设2()sin ,f x dx x C =+?求(23).f x dx +? 7. （6分）求极限3lim 1.2n n n →∞ ? ?+ ??? 四、解答题（共28分） 1. （7分）设(ln )1,f x x '=+且(0)1,f =求().f x 2. （7分）求由曲线cos 22y x x π π??=-≤≤ ???与x 轴所围成图形绕着x 轴 旋转一周所得旋转体的体积. 3. （7分）求曲线3232419y x x x =-+-在拐点处的切线方程. 4. （7 分）求函数y x =+[5,1]-上的最小值和最大值. 五、证明题(6分) 设()f x ''在区间[,]a b 上连续,证明 1()[()()]()()().22b b a a b a f x dx f a f b x a x b f x dx -''=++--? ? 标准答案 一、 1 B; 2 C; 3 D; 4 A. 二、 1 31;y x =+ 2 2 ;3 3 0; 4 0. 三、 1 解 原式205lim 3x x x x →?= 5分 5 3 = 1分 2 解 22ln ln ln(1),12 x y x x ==-++ 2分
大一上学期微积分期末试卷及答案
1 1?设f(x) 2cosx,g(x) (l)sinx在区间(0, —)内( 2 2 A f (x)是增函数，g (x)是减函数 Bf (x)是减函数，g(x)是增函数 C二者都是增函数 D二者都是减函数2、x 0时，e2x cosx与sinx相比是() A高阶无穷小E低阶无穷小C等价无穷小 1 3、x = 0 是函数y = (1 -sinx)书勺() A连续点E可去间断点C跳跃间断点 4、下列数列有极限并且极限为1的选项为( ) n 1 n A X n ( 1) B X n sin - n 2 1 1 C X n n (a 1) D X n cos— a n 5、若f "(x)在X。处取得最大值，则必有() A f /(X。)o Bf /(X。)o Cf /(X。)0且f''( X o) 5、 若 则a,b 的值分别为： X 1 X + 2x-3 2 1 In x 1 ; 2 y x 3 2x 2; 3 y log^x 1 -,(0,1), R ; 4(0,0) x lim 5解：原式=x 1 (x 1)( x m ) ~~1)( x 7 b lim 3) x 7, a 1、 2、 、判断题 无穷多个无穷小的和是无穷小( lim 沁在区间(， X 0 X 是连续函数() 3、 f"(x 0)=0—定为f(x)的拐点 () 4、 若f(X)在X o 处取得极值，则必有 f(x)在X o 处连续不可导( 5、 f (x) 0,1 f '(x) 0令 A f'(0), f '(1),C f (1) f (0),则必有 A>B>C( 1~5 FFFFT 二、计算题 1用洛必达法则求极限 1 2 ~ lim x e x x 0 1 e 解：原式=lim x 0 1 x x 2 lim e x 2 ( 2x x 0 2x 3 3 4 k 2 若 f(x) (x 10),求f”(0) 3) 1 lim e x x 0 3 3 2 2 f '(x) 4(x 10) 3x 12x (x 3 3 2 3 2 2 f ''(x) 24x (x 10) 12x 3 (x 10) 3x 24x f ''(x) 0 10)3 3 .. .3 3 4 , 3 (x 10) 108 x (x 10)2 4 r t I 八］ 2 3 求极限 lim(cos x)x x 0 1.4定积分与微积分基本定理练习题及答案 1.(2011·一中月考)求曲线y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( ) A ．S ＝??01(x2－x)dx B ．S ＝??01(x －x2)dx C ．S ＝??01(y2－y)dy D ．S ＝??01(y －y)dy [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数． [解读] 两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x ≥x2，故函数y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积S ＝??0 1(x －x2)dx. 2．(2010·日照模考)a ＝??02xdx ，b ＝??02exdx ，c ＝??02sinxdx ，则a 、b 、c 的大小关系是 ( ) A ．a 微积分期末试卷 选择题（6×２） cos sin 1.()2 ,()()22 ()()B ()()D x x f x g x f x g x f x g x C π ==1设在区间（0，）内（ ）。 Ａ是增函数，是减函数是减函数，是增函数二者都是增函数二者都是减函数 2x 1 n n n n 20cos sin 1n A X (1) B X sin 21C X (1) x n e x x n a D a π→-=--== >、x 时，与相比是（ ） Ａ高阶无穷小 Ｂ低阶无穷小 Ｃ等价无穷小 Ｄ同阶但不等价无价小 ３、ｘ=０是函数ｙ=（１-sinx)的（ ） Ａ连续点 Ｂ可去间断点 Ｃ跳跃间断点 Ｄ无穷型间断点４、下列数列有极限并且极限为１的选项为（ ）n 1 X cos n = 2 00000001() 5"()() ()()0''( )<0 D ''()'()0 6x f x X X o B X o C X X X X y xe =<===、若在处取得最大值，则必有（ ）Ａf ＇f ＇f ＇且f f 不存在或f 、曲线（ ） Ａ仅有水平渐近线 Ｂ仅有铅直渐近线 Ｃ既有铅直又有水平渐近线 Ｄ既有铅直渐近线 1~6 DDBDBD 一、填空题 1d 12lim 2,,x d x ax b a b →++=ｘ ｘ２ ２１ １、（ ）＝ ｘ+1 、求过点（２，０）的一条直线，使它与曲线ｙ＝ 相切。这条直线方程为： ｘ ２ ３、函数ｙ＝的反函数及其定义域与值域分别是： ２＋１４、ｙ拐点为：ｘ５、若则的值分别为： ｘ＋2x-3 1 In 1x + ; 2 322y x x =-; 3 2 log ,(0,1),1x y R x =-; 4(0,0) 5解：原式=11 (1)() 1m lim lim 2 (1)(3) 3 4 77,6 x x x x m x m x x x m b a →→-+++== =-++∴=∴=-= 二、判断题 1、 无穷多个无穷小的和是无穷小（ ） 2、 0 sin lim x x x →-∞+∞在区间（，）是连续函数（） 3、 0f"(x ）=0一定为f(x)的拐点（） 4、 若f(X)在0x 处取得极值，则必有f(x)在0x 处连续不可导（ ） 5、 设 函数ｆ(x)在 [] 0,1上二阶可导且 ' ()0A ' B ' (f x f f C f f <===-令（），则必有 1~5 FFFFT 三、计算题 1用洛必达法则求极限2 1 2 lim x x x e → 解：原式=2 2 2 1 1 1 3 3 2 (2)lim lim lim 12x x x x x x e e x e x x --→→→-===+∞- 2 若3 4 ()(10),''(0)f x x f =+求 解：3 3 2 2 3 3 3 3 2 3 2 2 3 3 4 3 2 '()4(10)312(10) ''()24(10)123(10)324(10)108(10)''()0 f x x x x x f x x x x x x x x x x f x =+?=+=?++??+?=?+++∴= 3 2 4 lim (cos )x x x →求极限 微积分试卷及答案 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】 2009 — 2010 学年第 2 学期 课程名称 微积分B 试卷类型 期末A 考试形式 闭卷 考试时间 100 分钟 命 题 人 2010 年 6 月10日 使用班级 教研室主任 年 月 日 教学院长 年 月 日 姓 名 班 级 学 号 一、填充题（共5小题，每题3分，共计15分） 1.2 ln()d x x x =? . 2.cos d d x x =? . 3. 31 2d x x --= ? . 4.函数2 2 x y z e +=的全微分d z = . 5.微分方程ln d ln d 0y x x x y y +=的通解为 . 二、选择题（共5小题，每题3分，共计15分） 1.设()1x f e x '=+，则()f x = ( ). (A) 1ln x C ++ (B) ln x x C + (C) 2 2x x C ++ (D) ln x x x C -+ 2.设 2 d 11x k x +∞=+? ，则k = ( ). (A) 2π (B) 22π (C) 2 (D) 2 4π 3.设()z f ax by =+，其中f 可导，则（ ）. (A) z z a b x y ??=?? (B) z z x y ??= ?? (C) z z b a x y ??=?? (D) z z x y ??=- ?? 4.设点00(,)x y 使00(,)0x f x y '=且00(,)0 y f x y '=成立，则（ ） (A) 00(,)x y 是(,)f x y 的极值点 (B) 00(,)x y 是(,)f x y 的最小值点 (C) 00(,)x y 是(,)f x y 的最大值点 (D) 00(,)x y 可能是(,)f x y 的极值点 5.下列各级数绝对收敛的是（ ）． (A) 211(1)n n n ∞ =-∑ (B) 1 (1)n n ∞ =-∑ (C) 1 3(1)2n n n n ∞ =-∑ (D) 11(1)n n n ∞=-∑ 三、计算（共2小题，每题5分，共计10分） 1.2d x x e x ? 2.4 ? 四、计算（共3小题，每题6分，共计18分） 微积分试题及答案 5、ln 2111x y y x +-=求曲线 ，在点（， ）的法线方程是__________ 三、判断题（每题2分） 1、2 21x y x =+函数是有界函数 ( ) 2、 有界函数是收敛数列的充分不必要条件 ( ) 3、lim ββαα=∞若，就说是比低阶的无穷小( )4可导函数的极值点未必是它的驻点 ( ) 5、曲线上凹弧与凸弧的分界点称为拐点 ( ) 四、计算题（每题6分）1、1sin x y x =求函数 的导数 2、 21()arctan ln(12f x x x x dy =-+已知），求 3、2326x xy y y x y -+="已知，确定是的函数，求 4、20tan sin lim sin x x x x x →-求 5、31)x x +计算（ 6、21 0lim(cos )x x x + →计算 五、应用题 1、设某企业在生产一种商品x 件时的总收益为2 )100R x x x =-（，总成本函数为2 ()20050C x x x =++，问政府对每件商品征收货物税为多少时，在企业获得利润最大的情况下，总税额最大？（8分） 2、描绘函数21 y x x =+的图形（12分） 六、证明题（每题6分） 1、用极限的定义证明：设01lim (),lim ()x x f x A f A x + →+∞→==则 2、证明方程10,1x xe =在区间（）内有且仅有一个实数 一、 选择题 1、C 2、C 3、A 4、B 5、D 6、B 二、填空题 1、0x = 2、6,7a b ==- 3、18 4、3 5、20x y +-= 三、判断题 1、√ 2、× 3、√ 4、× 5、× 四、计算题 1、 1sin 1sin 1sin ln 1sin ln 22))1111cos ()ln sin 1111(cos ln sin )x x x x x x y x e e x x x x x x x x x x x '='='??=-+??? ?=-+（（ 2、 22()112(arctan )121arctan dy f x dx x x x dx x x xdx ='=+-++= 3、 解： 2222)2)22230 2323(23)(23(22)(26) (23x y xy y y x y y x y y x y x y yy y x y --'+'=-∴'=--'----'∴''=- 微积分期末试卷 一、选择题（6×２） cos sin 1.()2,()()22 ()()B ()()D x x f x g x f x g x f x g x C π ==1设在区间（0，）内（ ）。 Ａ是增函数，是减函数是减函数，是增函数二者都是增函数二者都是减函数 2x 1 n n n n 20cos sin 1n A X (1) B X sin 21C X (1) x n e x x n a D a π →-=--==>、x 时，与相比是（ ） Ａ高阶无穷小 Ｂ低阶无穷小 Ｃ等价无穷小 Ｄ同阶但不等价无价小３、ｘ=０是函数ｙ=（１-sinx)的（ ） Ａ连续点 Ｂ可去间断点 Ｃ跳跃间断点 Ｄ无穷型间断点４、下列数列有极限并且极限为１的选项为（ ）n 1 X cos n = 2 00000001 () 5"()() ()()0''( )<0 D ''()'()06x f x X X o B X o C X X X X y xe =<===、若在处取得最大值，则必有（ ）Ａf ＇f ＇f ＇且f f 不存在或f 、曲线（ ） Ａ仅有水平渐近线 Ｂ仅有铅直渐近线Ｃ既有铅直又有水平渐近线 Ｄ既有铅直渐近线 二、填空题 1 d 1 2lim 2,,x d x ax b a b →++=ｘｘ２ ２１１、（ ）＝ｘ+1 、求过点（２，０）的一条直线，使它与曲线ｙ＝相切。这条直线方程为： ｘ ２ ３、函数ｙ＝的反函数及其定义域与值域分别是： ２＋１ ｘ５、若则的值分别为： ｘ＋2x-3 三、判断题 1、 无穷多个无穷小的和是无穷小（ ） 2、 0sin lim x x x →-∞+∞在区间（，）是连续函数（） 3、 0f"(x ）=0一定为f(x)的拐点（） 4、 若f(X)在0x 处取得极值，则必有f(x)在0x 处连续不可导（ ） 5、 设 函 数 ｆ (x) 在 [] 0,1上二阶可导且 '()0A '0B '(1),(1)(0),A>B>C( )f x f f C f f <===-令（），则必有 四、计算题 1用洛必达法则求极限2 1 2 lim x x x e → 2 若34()(10),''(0)f x x f =+求 3 2 4 lim(cos )x x x →求极限 4 (3y x =-求 5 3tan xdx ? 五、证明题。 1、 证明方程3 10x x +-=有且仅有一正实根。 2、arcsin arccos 1x 12 x x π +=-≤≤证明（） 六、应用题 1、 描绘下列函数的图形 21y x x =+ 《高数》试卷1（上） 一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ B ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ()2g x x = （C ）()f x x = 和 ()()2 g x x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数()()sin 42 0ln 10x x f x x a x ?+-≠? =+?? =? 在0x =处连续，则a =（ B ）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ A ）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ C ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4 y x =的（ D ）. （A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（ C ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ C ）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 8． x x dx e e -+?的结果是（ A ）. （A ）arctan x e C + （B ）arctan x e C -+ （C ）x x e e C --+ （ D ）ln()x x e e C -++ 9．下列定积分为零的是（ A ）. 微积分期末测试题及答 案 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT 一 单项选择题(每小题3分,共15分) 1.设lim ()x a f x k →=,那么点x =a 是f (x )的( ). ①连续点 ②可去间断点 ③跳跃间断点 ④以上结论都不对 2.设f (x )在点x =a 处可导,那么0()(2)lim h f a h f a h h →+--=( ). ①3()f a ' ②2()f a ' ③()f a ' ④1()3f a ' 3.设函数f (x )的定义域为[-1,1],则复合函数f (sinx )的定义域为( ). ①(-1,1) ②,22ππ??-???? ③(0,+∞) ④(-∞,+∞) 4.设2 ()()lim 1()x a f x f a x a →-=-,那么f (x )在a 处( ). ①导数存在,但()0f a '≠ ②取得极大值 ③取得极小值 ④导数不存在 5.已知0lim ()0x x f x →=及( ),则0 lim ()()0x x f x g x →=. ①g (x )为任意函数时 ②当g (x )为有界函数时 ③仅当0lim ()0x x g x →=时 ④仅当0 lim ()x x g x →存在时 二 填空题(每小题5分,共15分) sin lim sin x x x x x →∞-=+. 31lim(1)x x x +→∞+=. 3.()f x =那么左导数(0)f -'=____________,右导数(0)f +'=____________. 三 计算题(1-4题各5分,5-6题各10分,共40分) 1.111lim()ln 1 x x x →-- 2.t t x e y te ?=?=? ,求22d y dx 3.ln(y x =,求dy 和22d y dx . 4.由方程0x y e xy +-=确定隐函数y =f (x ) ,求 dy dx . 5.设111 1,11n n n x x x x --==+ +,求lim n x x →∞. 高等数学试题及答案文件排版存档编号：[UYTR-OUPT28-KBNTL98-UYNN208] 《 高等数学 》 一.选择题 1. 当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的 （ ） A)、x y = B)、x y sin = C)、x y cos 1-= D)、1-=x e y 2. 函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（ ） A)、必要条件 B)、充分条件 C)、充要条件 D)、无关条件 3. 下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（ ）. A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、(( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4. 下列各式正确的是（ ） A ）、2ln 2x x x dx C =+? B ）、sin cos tdt t C =-+? C ）、2arctan 1dx dx x x =+? D ）、211 ()dx C x x -=-+? 5. 下列等式不正确的是（ ）. A ）、()()x f dx x f dx d b a =??????? B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=??????? C ）、()()x f dx x f dx d x a =??????? D ）、()()x F dt t F dx d x a '=????? ?'? 6. 0 ln(1)lim x x t dt x →+=?（ ） A ）、0 B ）、1 C ）、2 D ）、4 7. 设bx x f sin )(=，则=''?dx x f x )(（ ） A ）、C bx bx x +-sin cos B ）、C bx bx x +-cos cos 定积分与微积分基本定理练习题及答案 1.(2011·宁夏银川一中月考)求曲线y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( ) A ．S ＝??01(x2－x)dx B ．S ＝??01(x －x2)dx C ．S ＝??01(y2－y)dy D ．S ＝??01(y －y)dy [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数． [解读] 两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x≥x2，故函数y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积S ＝??0 1(x －x2)dx. 2．(2010·山东日照模考)a ＝??02xdx ，b ＝??02exdx ，c ＝??02sinxdx ，则a 、b 、c 的大小关系 是( ) A ．a 《高数》习题1（上） 一．选择题 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ( )g x =（C ）()f x x = 和 ( )2 g x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? - + ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 10．设()f x 为连续函数，则()10 2f x dx '?等于（ ）. （A ）()()20f f - （B ）()()11102f f -????（C ）()()1 202f f -??? ?（D ）()()10f f - 二．填空题 1．设函数()21 00x e x f x x a x -?-≠? =??=? 在0x =处连续，则a = . 2．已知曲线()y f x =在2x =处的切线的倾斜角为5 6 π，则()2f '=. 3． ()21ln dx x x = +?. 三．计算 1．求极限 ①21lim x x x x →∞+?? ??? ②() 20sin 1 lim x x x x x e →-- 2．求曲线()ln y x y =+所确定的隐函数的导数x y '. 3．求不定积分x xe dx -? 一、填空题(每小题3分,共15分) 1、已知2 )(x e x f =,x x f -=1)]([?,且0)(≥x ?,则=)(x ? . 答案：)1ln(x - 王丽君 解：x e u f u -==1)(2 ,)1ln(2x u -=,)1ln(x u -=. 2、已知a 为常数,1)12 ( lim 2=+-+∞→ax x x x ,则=a . 答案：1 孙仁斌 解：a x b a x ax x x x x x x x -=+-+=+-+==∞→∞→∞→1)11(lim )11( 1lim 1lim 022. 3、已知2)1(='f ,则=+-+→x x f x f x ) 1()31(lim . 答案：4 俞诗秋 解：4)] 1()1([)]1()31([lim 0=-+--+→x f x f f x f x 4、函数)4)(3)(2)(1()(----=x x x x x f 的拐点数为 . 答案：2 俞诗秋 解：)(x f '有3个零点321,,ξξξ:4321321<<<<<<ξξξ, )(x f ''有2个零点21,ηη:4132211<<<<<<ξηξηξ, ))((12)(21ηη--=''x x x f ,显然)(x f ''符号是：＋,－,＋,故有2个拐点. 5、=? x x dx 22cos sin . 答案：C x x +-cot tan 张军好 解：C x x x dx x dx dx x x x x x x dx +-=+=+=????cot tan sin cos cos sin sin cos cos sin 22222222 . 二、选择题(每小题3分,共15分) 答案： 1、 2、 3、 4、 5、 。 1、设)(x f 为偶函数,)(x ?为奇函数,且)]([x f ?有意义,则)]([x f ?是 (A) 偶函数； (B) 奇函数； (C) 非奇非偶函数； (D) 可能奇函数也可能偶函数. 答案：A 王丽君 2、0=x 是函数??? ??=≠-=.0 ,0 ,0 ,cos 1)(2x x x x x f 的 (A) 跳跃间断点； (B) 连续点； (C) 振荡间断点； (D) 可去间断点. 答案：D 俞诗秋 浙江大学2007-2008学年春季学期 《微积分Ⅱ》课程期末考试试卷 一 、填空题（每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上） 1.点M （1,－1, 2）到平面2210x y z -+-=的距离d = . 2.已知2a = ,3b = ,3a b ?= ,则a b += . 3.设(,)f u v 可微，(,)y x z f x y =,则dz = . 4.设()f x 在[0，1]上连续，且()f x ＞0, a 与b 为常数.()}{,01,01D x y x y = ≤≤≤≤,则 ()() ()() D af x bf y d f x f y σ++?? = . 5.设(,)f x y 为连续函数，交换二次积分次序 2220 (,)x x dx f x y dy -=? ? . 二 、选择题（每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题 目要求的，把所选字母填入题后的括号内） 6.直线l 1: 155 121x y z --+==-与直线l 2:623 x y y z -=??+=?的夹角为 （A ） 2π . （B ）3π . （C ）4π . （D ）6 π . [ ] 7.设(,)f x y 为连续函数，极坐标系中的二次积分 cos 2 0d (cos ,sin )d f r r r r π θθθθ? ? 可以写成直角坐标中的二次积分为 （A ）100(,)dy f x y dx ?? （B ）1 00(,)dy f x y dx ?? （C ） 10 (,)dx f x y dy ? ? （D ）10 (,)dx f x y dy ?? [ ] 8.设1, 02 ()122, 12 x x f x x x ? ≤≤??=??-≤?? ()S x 为()f x 的以2为周期的余弦级数，则5()2S -= （A ） 12. （B ）12-. （C ）34. （D ）3 4 -. [ ] ＜ 一 单项选择题(每小题3分,共15分) 1.设lim ()x a f x k →=,那么点x =a 是f (x )的( ). ①连续点 ②可去间断点 ③跳跃间断点 ④以上结论都不对 2.设f (x )在点x =a 处可导,那么0 ()(2) lim h f a h f a h h →+--=( ). ①3()f a ' ②2()f a ' ③()f a ' ④ 1()3f a ' 3.设函数f (x )的定义域为[-1,1],则复合函数f (sinx )的定义域为( ). ①(-1,1) ②, 2 2π π? ? - ???? ③(0,+∞) ④(-∞,+∞) 4.设2 ()()lim 1() x a f x f a x a →-=-,那么f (x )在a 处( ). ①导数存在,但()0f a '≠ ②取得极大值 ③取得极小值 ④导数不存在 5.已知0 lim ()0x x f x →=及( ),则0 lim ()()0x x f x g x →=. ①g (x )为任意函数时 ②当g (x )为有界函数时 ③仅当0 lim ()0x x g x →=时 ④仅当0 lim ()x x g x →存在时 二 填空题(每小题5分,共15分) 1.sin lim sin x x x x x →∞ -=+____________. 2.3 1lim (1) x x x +→∞ + =____________. 3.()f x = 那么左导数(0)f -'=____________,右导数(0)f +'=____________. 三 计算题(1-4题各5分,5-6题各10分,共40分) 1.1 11lim ( )ln 1 x x x →- - 2.t t x e y te ?=?=?,求2 2d y d x 3.ln (y x =+,求dy 和 2 2 d y d x . 4.由方程0x y e x y +-=确定隐函数y = f (x ) ,求d y d x . 5.设111 1,11n n n x x x x --==+ +,求lim n x x →∞ . 第五章 一元函数积分学 例1：求不定积分sin3xdx ? 解：被积函数sin3x 是一个复合函数，它是由()sin f u u =和()3u x x ?==复合而成，因此，为了利用第一换元积分公式，我们将sin3x 变形为'1 sin 3sin 3(3)3x x x = ，故有 ' 111 sin 3sin 3(3)sin 3(3)3(cos )333 xdx x x dx xd x x u u C ===-+??? 1 3cos33 u x x C =-+ 例2：求不定积分 (0)a > 解：为了消去根式，利用三解恒等式2 2 sin cos 1t t +=，可令sin ()2 2 x a t t π π =- << ，则 cos a t ==，cos dx a dt =，因此，由第二换元积分法，所以积分 化为 2221cos 2cos cos cos 2 t a t a tdt a tdt a dt +=?==??? 2222cos 2(2)sin 22424a a a a dt td t t t C =+=++?? 2 (sin cos )2 a t t t C =++ 由于sin ()2 2 x a t t π π =- << ，所以sin x t a = ，arcsin(/)t x a =，利用直角三角形直接写 出cos t a == 邻边斜边，于是21arcsin(/)22a x a C =+ 例3：求不定积分sin x xdx ? 分析：如果被积函数()sin f x x x =中没有x 或sinx ，那么这个积分很容易计算出来，所以可以考虑用分部积分求此不定积分，如果令u=x ，那么利用分部积分公式就可以消去x （因为' 1u =） 解令,sin u x dv xdx ==，则du dx =，cos v x =-. 于是sin (cos )(cos )cos sin x xdx udv uv vdu x x x dx x x x C ==-=---=-++???? 。熟悉分部积分公式以后，没有必要明确的引入符号,u v ，而可以像下面那样先凑微分，然后直接用分部积分公式计算： sin cos (cos cos )cos sin x xdx xd x x x xdx x x x C =-=--=-++??? 微积分试题 (A 卷) 一. 填空题 (每空2分,共20分) 1. 已知,)(lim 1A x f x =+ →则对于0>?ε，总存在δ>0，使得当 时，恒有│?(x )─A│< ε。 2. 已知22 35 lim 2=-++∞→n bn an n ，则a = ，b = 。 3. 若当0x x →时，α与β 是等价无穷小量，则=-→β β α0 lim x x 。 4. 若f (x )在点x = a 处连续，则=→)(lim x f a x 。 5. )ln(arcsin )(x x f =的连续区间是 。 6. 设函数y =?(x )在x 0点可导，则=-+→h x f h x f h ) ()3(lim 000 ______________。 7. 曲线y = x 2＋2x －5上点M 处的切线斜率为6，则点M 的坐标为 。 8. ='? ))((dx x f x d 。 9. 设总收益函数和总成本函数分别为2 224Q Q R -=，52 +=Q C ，则当利润最大时产 量Q 是 。 二. 单项选择题 (每小题2分,共18分) 1. 若数列{x n }在a 的ε 邻域（a -ε,a +ε）内有无穷多个点，则（ ）。 (A) 数列{x n }必有极限，但不一定等于a (B) 数列{x n }极限存在，且一定等于a (C) 数列{x n }的极限不一定存在 (D) 数列{x n }的极限一定不存在 2. 设1 1 )(-=x arctg x f 则1=x 为函数)(x f 的（ ）。 (A) 可去间断点 (B) 跳跃间断点 (C) 无穷型间断点 (D) 连续点 3. =+ -∞ →1 3)11(lim x x x （ ） 。 (A) 1 (B) ∞ (C) 2e (D) 3e 4. 对需求函数5 p e Q -=，需求价格弹性5 p E d - =。当价格=p （ ）时，需求量减少的幅度小于价格提高的幅度。 (A) 3 (B) 5 (C) 6 (D) 10 5. 假设)(),(0)(lim , 0)(lim 0 x g x f x g x f x x x x ''==→→；在点0x 的某邻域内(0x 可以除外) 存在，又a 是常数，则下列结论正确的是（ ）。 (A) 若a x g x f x x =→) ()(lim 或∞，则a x g x f x x =''→)() (lim 0或∞ (B) 若a x g x f x x =''→)()(lim 0或∞，则a x g x f x x =→) () (lim 0或∞ (C) 若) ()(lim x g x f x x ''→不存在，则)() (lim 0x g x f x x →不存在 (D) 以上都不对 6. 曲线2 2 3 )(a bx ax x x f +++=的拐点个数是（ ） 。 (A) 0 (B)1 (C) 2 (D) 3 7. 曲线2 ) 2(1 4--= x x y （ ）。 (A) 只有水平渐近线； (B) 只有垂直渐近线； (C) 没有渐近线； (D) 既有水平渐近线， 又有垂直渐近线 8. 假设)(x f 连续，其导函数图形如右图所示，则)(x f 具有 (A) 两个极大值一个极小值 (B) 两个极小值一个极大值 (C) 两个极大值两个极小值 (D) 三个极大值一个极小值 9. 若?(x )的导函数是2 -x ，则?(x )有一个原函数为 ( ) 。 x定积分及微积分基本定理练习题及答案
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