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数列专题总复习知识点整理与经典例题讲解高三数学

数列专题复习

一、等差数列的有关概念：

1、等差数列的判断方法：定义法1(n n a a d d +-=为常数）或11(2)n n n n a a a a n +--=-≥。

如设{}n a 是等差数列，求证：以b n =n

a a a n

+++ 21 *n N ∈为通项公式的数列{}

n b 为等差数列。

2、等差数列的通项：1(1)n a a n d =+-或()n m a a n m d =+-。

如(1)等差数列{}n a 中，1030a =，2050a =，则通项n a = （答：210n +）；（2）首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是______（答：

d <≤） 3、等差数列的前n 和：1()2n n n a a S +=

，1(1)

2n n n S na d -=+。如（1）数列 {}n a 中，*

11(2,)2n n a a n n N -=+≥∈，32n a =，前n 项和152

n S =-，

则1a ＝＿，n ＝＿（答：13a =-，10n =）；

（2）已知数列 {}n a 的前n 项和2

12n S n n =-，求数列{||}n a 的前n 项和n T （答：

12(6,)1272(6,)

n n n n n N T n n n n N ?-≤∈?=?-+>∈??）.

4、等差中项：若,,a A b 成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且2

a b

A +=

。提醒：（1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、d 、n 、n

a 及n S ，其中1a 、d 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为…，

2,,,,2a d a d a a d a d --++…（公差为d ）；偶数个数成等差，可设为…，3,,,3a d a d a d a d --++,…（公差为2d ）

5、等差数列的性质：

（1）当公差0d ≠时，等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ；前n 和211(1)()222

n n n d d

S na d n a n -=+

=+-是关于n 的二次

函数且常数项为0.

（2）若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差

0d =，则为常数列。

（3）当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有

2m n p a a a +=.

如（1）等差数列{}n a 中，12318,3,1n n n n S a a a S --=++==，则n ＝____（答：27）； (4) 若{}n a 、{}n b 是等差数列，则{}n ka 、{}n n ka pb + (k 、p 是非零常数)、

*{}(,)p nq a p q N +∈、

232,,n n n n n S S S S S -- ，…也成等差数列，而{}n a

a 成等比数列；若{}n a 是等比数列，且0n a >，则{lg }n a 是等差数列.

如等差数列的前n 项和为25，前2n 项和为100，则它的前3n 和为。（答：

225）

（5）在等差数列{}n a 中，当项数为偶数2n 时，S S nd =偶奇－；项数为奇数21n -时，

S S a -=奇偶中，21(21)n S n a -=-?中（这里a 中即n a ）；()1-n :n S =偶奇：S 。

如（1）在等差数列中，S 11＝22，则6a ＝______（答：2）；

（2）项数为奇数的等差数列{}n a 中，奇数项和为80，偶数项和为75，求此数列的中间项与项数（答：5；31）.

（6）若等差数列{}n a 、{}n b 的前n 和分别为n A 、n B ，且

()n

A f n

B =，则21

(21)(21)(21)n n n n n n a n a A f n b n b B ---===--.如设{n a }与{n b }是两个等差数列，它们的前n 项和分别为n S 和n T ，若

341

3-+=

n n T S n n ，那么=n

n b a ___________（答：6287n n --） (7)“首正”的递减等差数列中，前n 项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增

等差数列中，前n 项和的最小值是所有非正项之和。法一：由不等式组

???

? ?????≥≤???≤≥++000011n n n n a a a a 或确定出前多少项为非负（或非正）；法二：因等差数列前n 项是关于n 的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性*n N ∈。上述两种

方法是运用了哪种数学思想？（函数思想），由此你能求一般数列中的最大或最小项吗？

如（1）等差数列{}n a 中，125a =，917S S =，问此数列前多少项和最大？并求此最大值。（答：前13项和最大，最大值为169）；

（2）若{}n a 是等差数列，首项10,a >200320040a a +>，200320040a a ?<，则使前n 项和

0n S >成立的最大正整数n 是（答：4006）

（3）在等差数列{}n a 中，10110,0a a <>，且1110||a a >，n S 是其前n 项和，则（） A 、1210,S S S 都小于0，1112,S S 都大于0 B 、1219,S S S 都小于0，2021,S S 都大于0 C 、125,S S S 都小于0，67,S S 都大于0

D 、12

20,S S S 都小于0，2122

,S S 都大于0 （答：B ）

(8)如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数. 注意：公共项仅是公共的项，其项数不一定相同，即研究n m a b =.

二、等比数列的有关概念：

1、等比数列的判断方法：定义法

(n n

a q q a +=为常数），其中0,0n q a ≠≠或11

n n n n a a

a a +-=(2)n ≥。如（1）一个等比数列{n a }共有21n +项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，则1n a +为____（答：5

）；（2）数列{}n a 中，n S =41n a -+1 (2n ≥)且1a =1，若n n n a a b 21-=+ ，求证：数列｛n b ｝是等比数列。

2、等比数列的通项：11n n a a q -=或n m n m a a q -=。

如等比数列{}n a 中，166n a a +=，21128n a a -=，前n 项和n S ＝126，求n 和q .（答：

6n =，1

q =

或2） 3、等比数列的前n 和：当1q =时，1n S na =；当1q ≠时，1(1)1n n a q S q -=-11n a a q

-=-。

如（1）等比数列中，q ＝2，S 99=77，求9963a a a +++ （答：44）；

（2）

)(101

∑∑==n n

k k n

的值为__________（答：2046）；

特别提醒：等比数列前n 项和公式有两种形式，为此在求等比数列前n 项和时，首先

要判断公比q 是否为1，再由q 的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比q 是否为1时，要对q 分1q =和1q ≠两种情形讨论求解。

4、等比中项：若,,a A b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等比中项。提醒：不是任何

两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个。如已知两个正数

,()a b a b ≠的等差中项为A ，等比中项为B ，则A 与B 的大小关系为______（答：A ＞B ）

提醒：（1）等比数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、q 、n 、n a 及

n S ，其中1a 、q 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，

即知3求2；（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等比，可设为…，

2,,,,a a a aq aq q q ...（公比为q ）；但偶数个数成等比时，不能设为 (33)

,,,aq aq q

a q a ，…，因公比不一定为正数，只有公比为正时才可如此设，且公比为2

q 。如有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和为12，求此四个数。（答：15，,9，3,1或0,4，8,16）

5.等比数列的性质：

（1）当m n p q +=+时，则有m n p q a a a a =，特别地，当2m n p +=时，则有

2m n p a a a =.

如（1）在等比数列{}n a 中，3847124,512a a a a +==-，公比q 是整数，则10a =___（答：512）；

（2）各项均为正数的等比数列{}n a 中，若569a a ?=，则3132310log log log a a a +++=

（答：10）。

(2) 若{}n a 是等比数列，则{||}n a 、*

{}(,)p nq a p q N +∈、{}n ka 成等比数列；若

{}{}n n a b 、成等比数列，则{}n n a b 、{}n n

b 成等比数列；若{}n a 是等比数列，且公比1q ≠-，

则数列232,,n n n n n S S S S S -- ，…也是等比数列。当1q =-，且n 为偶数时，数列

232,,n n n n n S S S S S -- ，…是常数数列0，它不是等比数列.

如（1）已知0a >且1a ≠，设数列{}n x 满足1log 1log a n a n x x +=+(*)n N ∈，且

12100100x x x +++=，则101102200x x x ++

+= . （答：100100a ）

；（2）在等比数列}{n a 中，n S 为其前n 项和，若140,1330101030=+=S S S S ，则20

S 的值为______（答：40）

(3)若10,1a q >>，则{}n a 为递增数列；若10,1a q <>, 则{}n a 为递减数列；若

10,01a q ><< ，则{}n a 为递减数列；若10,01a q <<<, 则{}n a 为递增数列；若0q <，

则{}n a 为摆动数列；若1q =，则{}n a 为常数列.

(4) 当1q ≠时，b aq q

q q a S n n n +=-+--=

1111，这里0a b +=，但0,0a b ≠≠，是等比数列前n 项和公式的一个特征，据此很容易根据n S ，判断数列{}n a 是否为等比数列。

如若{}n a 是等比数列，且3n n S r =+，则r ＝（答：－1）

(5) m n

m n m n n m S S q S S q S +=+=+.如设等比数列}{n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，

若12,,n n n S S S ++成等差数列，则q 的值为_____（答：－2）

(6) 在等比数列{}n a 中，当项数为偶数2n 时，S qS =偶奇；项数为奇数21n -时，

1S a qS =+奇偶.

(7)如果数列{}n a 既成等差数列又成等比数列，那么数列{}n a 是非零常数数列，故常数数列{}n a 仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件。

如设数列{}n a 的前n 项和为n S （N ∈n ），关于数列{}n a 有下列三个命题：①若

)(1

N ∈=+n a a n n ，则{}n a 既是等差数列又是等比数列；②若()R ∈+=b a n b n a S n 、

2，则{}n a 是等差数列；③若()n

n S 11--=，则{}n a 是等比数列。这些命题中，真命题的序号是（答：②③）

三、数列通项公式的求法

一、公式法

①???≥-==-)2()111n S S n S a n n

n （；

②{}n a 等差、等比数列{}n a 公式.

例已知数列{}n a 满足1232n

n n a a +=+?，12a =，求数列{}n a 的通项公式。

评注：本题解题的关键是把递推关系式1232n

n n a a +=+?转化为

222

n n n n a a ++-=，说明数列{}2n n a 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出31(1)22

n n a n =+-，进而求出数列{}n a 的通项公式。

二、累加法

例已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。

评注：本题解题的关键是把递推关系式121n n a a n +=++转化为121n n a a n +-=+，进而求出11232211()()()()n n n n a a a a a a a a a ----+-+

+-+-+，即得数列{}n a 的通项公式。

例已知数列{}n a 满足112313n

n n a a a +=+?+=，，求数列{}n a 的通项公式。

评注：本题解题的关键是把递推关系式1231n n n a a +=+?+转化为1231n

n n a a +-=?+，

进而求出11232211()()()()n n n n n a a a a a a a a a a ---=-+-++-+-+，即得数列{}n a 的通

项公式。三、累乘法

例已知数列{}n a 满足112(1)53n

n n a n a a +=+?=，，求数列{}n a 的通项公式。

评注：本题解题的关键是把递推关系12(1)5n

n n a n a +=+?转化为

2(1)5n n n

a n a +=+，进而求出

112

n n n n a a a a a a a a a ---???

??，即得数列{}n a 的通项公式。四、取倒数法

例已知数列{n a }中，其中,11=a ，且当n ≥2时，1

211

--n n n a a a ，求通项公式n a 。

解将1211+=

--n n n a a a 两边取倒数得：

2111=--n n a a ，这说明}1

a 是一个等差数列，首项是

111=a ，公差为2，所以122)1(11-=?-+=n n a n ，即1

21-=n a n . 五、待定系数法

例已知数列{}n a 满足112356n

n n a a a +=+?=，，求数列{}n a 的通项公式。

评注：本题解题的关键是把递推关系式1235n n n a a +=+?转化为1152(5)n n

n n a a ++-=-，从而可知数列{5}n n a -是等比数列，进而求出数列{5}n

n a -的通项公式，最后再求出数列

{}n a 的通项公式。

例已知数列{}n a 满足1135241n

n n a a a +=+?+=，，求数列{}n a 的通项公式。

评注：本题解题的关键是把递推关系式13524n

n n a a +=+?+转化为

115223(522)n n n n a a +++?+=+?+，从而可知数列{522}n n a +?+是等比数列，进而求

出数列{522}n

n a +?+的通项公式，最后再求数列{}n a 的通项公式。

六、对数变换法

例已知数列{}n a 满足5

123n n n a a +=??，17a =，求数列{}n a 的通项公式。

评注：本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式5

123n n n a a +=??转化为

1lg3lg3lg 2lg3lg3lg 2

lg (1)5(lg )41644164n n a n a n ++

+++=+++，从而可知数列lg3lg3lg 2{lg }4164n a n +++是等比数列，进而求出数列lg3lg3lg 2

{lg }4164n a n +++的通项

公式，最后再求出数列{}n a 的通项公式。七、迭代法

例已知数列{}n a 满足3(1)2115n

n n n

a a

a ++==，，求数列{}n a 的通项公式。

评注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。即先将等式3(1)21n

n n n

a a ++=

两边取常用对数得1lg 3(1)2lg n

n n a n a +=+??，即

lg 3(1)2lg n n n

a n a +=+，再由累乘法可推知(1)12

3!21

32112

lg lg lg lg lg lg lg5lg lg lg lg n n n n n n n n n a a a a a a a a a a --??---=??

???=，从而1(1)3!2

n n n n n a --??=。

八、数学归纳法

例已知数列{}n a 满足11

228(1)8

(21)(23)9

n n n a a a n n ++=+

=++，，求数列{}n a 的通项公式。解：由122

8(1)(21)(23)n n n a a n n ++=+

++及189

a =，得。。。。。。由此可猜测22(21)1

(21)n n a n +-=+，往下用数学归纳法证明这个结论。

（1）当1n =时，212

(211)18

(211)9

a ?+-==?+，所以等式成立。（2）假设当n k =时等式成立，即22

(21)1

(21)k k a k +-=+，则当1n k =+时，

122

8(1)

(21)(23)k k k a a k

k ++=+

++。。。。。。

由此可知，当1n k =+时等式也成立。

根据（1），（2）可知，等式对任何*

n N ∈都成立。九、换元法

例已知数列{}n a 满足111

(14116

n n a a a +=

+=，，求数列{}n a 的通项公式。

解：令n b =2

1(1)24

n n a b =- 故2111(1)24n n a b ++=

-，代入11(1416

n n a a +=+得。。。。。。即22

14(3)n n b b +=+ 因为0n b =≥，故10n b +=≥则123n n b b +=+，即113

n n b b +=

+，

可化为11

3(3)2

n n b b +-=

-，所以{3}n b -

是以13332b -==为首项，以2

为公比的等比数列，因此1

21132()

()2

2n n n b ---==，则21()32n n b -=+

()32

n -=+，得 2111

()()3423

n n n a =++。

十、构造等差、等比数列法

① q pa a n n +=+1；②n

n n q pa a +=+1；③)(1n f pa a n n +=+；④n n n a q a p a ?+?=++12.

例已知数列{}n a 中，32,111+==+n n a a a ，求数列{}n a 的通项公式.

【解析】∴)3(231+=++n n a a ∴.322431

1-=??=++-n n n n a a

【反思归纳】递推关系形如“q pa a n n +=+1” 适用于待定系数法或特征根法： ①令)(1λλ-=-+n n a p a ；

② 在q pa a n n +=+1中令p

x x a a n n -=

?==+11，∴)(1x a p x a n n -=-+； ③由q pa a n n +=+1得q pa a n n +=-1，∴)(11-+-=-n n n n a a p a a .

例已知数列{}n a 中，n

n n a a a 32,111+==+，求数列{}n a 的通项公式. 【解析】 n

n n a a 321+=+，∴

n n n n a a )23(2211+=-+，令n n n b a =-1

∴112211)()()(b b b b b b b b n n n n n +-++-+-=--- 2)2

(2-?=n ∴n n n a 23-=

【反思归纳】递推关系形如“n

n n q pa a +=+1”通过适当变形可转化为： “q pa a n n +=+1”或“n

n n n f a a )(1+=+求解.

十一、不动点法

例已知数列{}n a 满足1172

223

n n n a a a a +-=

=+，，求数列{}n a 的通项公式。

解：令7223x x x -=

+，得2

2420x x -+=，则1x =是函数31()47

x f x x -=+的不动点。

因为17255

112323

n n n n n a a a a a +---=

-=++，所以

2111

()()3423

n n n a =++。

n b ，使得所给递推关系式转化

113

n n b b +=+形式，

从而可知数列{3}n b -为等比数列，进而求出数列{3}n b -的通项公式，最后再求出数列{}n a 的通项公式。

四、数列求和的基本方法和技巧

一、利用常用求和公式求和 1、等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2

)

1(2)(11-+=+=

2、等比数列求和公式：?????≠--=--==)

1(11)1()1(111

q q q a a q q a q na S n n

前n 个正整数的和 2

)

1(321+=

++++n n n 前n 个正整数的平方和 6)

12)(1(3212222++=

++++n n n n

前n 个正整数的立方和 2

3333]2

)1([321+=++++n n n

公式法求和注意事项（1）弄准求和项数n 的值；（2）等比数列公比q 未知时，运用前n 项和公式要分类。

例已知3

log 1log 23-=

x ，求???++???+++n

x x x x 32的前n 项和. 例设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1

)32()(++=

n n

S n S n f 的最大值.

∴ 1

)32()(++=

n n

S n S n f ＝＝

n 64341+

+＝

)8(12+-

n 50

1≤

∴ 当

n ，即n ＝8时，501)(max =n f

二、错位相减法求和

这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列. 求和时一般在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比

q ；

然后再将得到的新和式和原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和。

例：（2009全国卷Ⅰ理）在数列{}n a 中，1111

1,(1)2

n n n n a a a n ++==++

（I ）设n n a

b n

=，求数列{}n b 的通项公式（II ）求数列{}n a 的前n 项和n S

分析：（I ）由已知有1112n n n a a n n +=++11

n n n b b +∴-=

利用累差迭加即可求出数列{}n b 的通项公式: 1122

n n b -=-(*

n N ∈)

（II ）由（I ）知122n n n

a n -=-,∴n S =11(2)2n k k k k -=-∑111(2)2n n

k k k k k -===-∑∑

而

(2)(1)n

k k n n ==+∑,又1

k k k

-=∑

是一个典型的错位相减法模型，易得

111242

k n k k n --=+=-∑ ∴n S =(1)n n +1

242n n -++- 三、

倒序相加法求和

这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +.

例求证：n n n n n n

n C n C C C 2)1()12(53210+=++???+++ 证明：设n

n n n n n C n C C C S )12(53210++???+++=

113)12()12(n n n n n n n C C C n C n S ++???+-++=- ∴ n n n S 2)1(?+=

四、分组法求和

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可. [例7] 求数列的前n 项和：231

,,71,41,

1112-+???+++-n a a a n ，… 解：设)231

()71()41()11(12-++???++++++=-n a a a S n n

)23741()1

111(12-+???+++++???+++=-n a

a a S n n

当a ＝1时，2)13(n n n S n -+

=＝2)13(n

n + 当1≠a 时，2)13(1111n n a

a S n

n -+--=＝2)13(11n n a a a n -+--- 例：（2010全国卷2文）（18）（本小题满分12分）已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，且1212112(

)a a a a +=+，345345

111

64()a a a a a a ++=++ （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设2

1()n n n

b a a =+

，求数列{}n b 的前n 项和n T 。五、裂项法求和

这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：

（1）)()1(n f n f a n -+= （2）

n n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+ （3）1

1)1(1+-=+=n n n n a n （4）)121121(211)12)(12()2(2+--+=+-=

n n n n n a n （5）])

2)(1(1

)1(1[21)2)(1(1++-+=+-=n n n n n n n a n

(6)

n n n n n n n S n n n n n n n n n a 2

)1(1

1,2)1(12121)1()1(221)1(21+-=+-?=?+-+=?++=

-则例求数列

???++???++,1

21,

11n n 的前n 项和.

n n n n a n -+=++=

111

则 1

212

11+++???+++

n n S n ＝11-+n

例在数列{a n }中，1

1211++

???++++=

n n

n n a n ，又12+?=n n n a a b ，求数列{b n }的前n 项的和.

解： ∵ 211211n n n n n a n =++???++++=

∴ )11

1(82122+-=+?=n n n n b n

)]111()4131()3121()211[(8+-+???+-+-+-=n n S n ＝

8+n n

六、合并法求和

针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求S n .

例数列{a n }：n n n a a a a a a -====++12321,2,3,1，求S 2002.

解：设S 2002＝2002321a a a a +???+++

2,3,1,2,3,1665646362616-=-=-====++++++k k k k k k a a a a a a

∵ 0665646362616=+++++++++++k k k k k k a a a a a a

S 2002＝2002321a a a a +???+++ ＝46362616+++++++k k k k a a a a ＝5

例在各项均为正数的等比数列中，若103231365log log log ,9a a a a a +???++=求的值.

解：设1032313log log log a a a S n +???++=

由等比数列的性质 q p n m a a a a q p n m =?+=+

)log (log )log (log )log (log 6353932310313a a a a a a S n ++???++++= ＝10

七、利用数列的通项求和

先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n 项和，是一个重要的方法.

例求

1111111111个n ???+???+++之和. 解：由于)110(9199999111111

-=????=???k

k k

个个 ∴

1111111111个n ???+???+++ ＝＝9110)110(1091n n ---?

＝)91010(81

1n n --+

数列专题总复习知识点整理与经典例题讲解高三数学

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