线段的中点专题

线段的中点练习课

与线段有关的所有知识点清单：

1、线段、射线、直线的定义：

（1）线段：绷紧的琴弦，人行横道线都可以近似的看做线段。线段有两个端点。

（2）射线：将线段向一个方向无限延长就形成了射线。射线有一个端点。

（3）直线：将线段向两个方向无限延长就形成了直线。直线没有端点。

2、线段、射线、直线的区别与联系：

（1）线段有两个端点，射线有一个端点，直线没有端点；

（2）将线段向一个方向无限延长就形成了射线；

（3）将线段向两个方向无限延长就形成了直线。

3、点、直线、射线和线段的表示

在几何里，我们常用字母表示图形。

一个点可以用一个大写字母表示。

一条直线可以用一个小写字母表示或用直线上两个点的大写字母表示。

一条射线可以用一个小写字母表示或用端点和射线上另一点来表示（端点字母写在前面）。

一条线段可以用一个小写字母表示或用它的端点的两个大写字母来表示。

6、线段的中点:

一个点把一条线段分成相等的两条线段，这个点就叫做这条线段的中点。

本节目标：

1、学会线段中点的几何语言；

2、学会用线段中点的几何语言解答简单的有关线段中点的几何问题。

本节重点、难点：

重点：

1、学会线段中点的几何语言；

2、学会用线段中点的几何语言解答简单的有关线段中点的几何问题。

难点：

学会用线段中点的几何语言解答简单的有关线段中点的几何问题。

一、什么是几何语言？

几何语言有三类：“文字语言”、“图形语言”、“符号语言”，几何中的每个知识点都对应 有三种语言，

以线段的中点为例：

“一个点把一条线段分成相等的两条线段，这个点就叫做这条线段的中点。”是这一知识点中的文字语言。

C 对应的图形语言是：右图 A B

符号语言就是：∵点C 是线段AB 的中点 ∴AC=BC=2

1

AB

二、用线段中点的几何语言解答简单的有关线段中点的几何问题

（一）解答题：

在解答几何题目的时候，都是用“图形”来分析题目，“符号语言”来书写解答过程，“文字语言”来解释原因。

典例分析：

如图，C 、D 是线段AB 上的两点，若BC=3㎝，BD=5㎝，且D 是AC 的中点， 求AC 的长

针对练习：

如图，已知线段AB=6cm ，延长线段AB 到点C ，使BC=2AB ，点D 是AC 的中点 （1） 求AC 的长；

（2） 求BD 的长。

（二）证明题

关于证明题，证明方法都是从“求证”问题入手，通过分析，寻求“证据”回到“已知”条件。具体到关于线段的中点的证明题，的证明方法是通过线段的加或减，或者等量代换得到。

典例分析：

已知，线段AC 及点B ，点D 是线段AB 的中点，点E 是线段CB 的中点 （1）如图，点B 是线段AC 上任意一点，求证:DE=

2

1AB

（2）当点B 在线段AB 或者线段BA 的延长线上，其它条件不变，此时上述结论是否依然成立？请选择一种情况画出图形，并说明理由。

针对练习：

1、 如图，点B 是线段AC 的中点，点C 是线段BD 的中点，求证：AB=CD

2、如图，已知点C 是线段AB 的中点，点M 是线段AC 的中点，点N 是线段BC 的中点，求证：AN=BM

全等三角形——倍长与中点有关的线段

全等三角形——倍长与中点有关的线段 -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1

倍长与中点有关的线段 ①②③④ ⑤⑥ ①号模型：倍长中线构造三角形全等； ②号模型：倍长类中线构造三角形全等； ③号模型：出现多个中点，构造三角形中位线 ④号模型：平行线+截线中点构造8字形全等 ⑤号模型：直角三角形斜边中线（等于斜边一半） ⑥号模型：等腰三角形底边中线（三线合一） 倍长中线类 考点说明：凡是出现中线或类似中线的线段，都可以考虑倍长中线，倍长中线的目的是可以旋转等长度的线段，从而达到将条件进行转化的目的。 【例1】已知：ABC ?中，AM是中线．求证： 1 () 2 AM AB AC <+．

M C B A 【练1】在△ABC 中，59AB AC ==，，则BC 边上的中线AD 的长的取值范围是什么 【练2】如图所示，在ABC ?的AB 边上取两点E 、F ，使AE BF =，连接CE 、CF ，求证：AC BC +>EC FC +． F E C B A 【例2】 如图，已知在ABC ?中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，延长 BE 交AC 于F ，AF EF =，求证：AC BE =． F E D C B A 【练1】如图，已知在ABC ?中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且 BE AC =，延长BE 交AC 于F ，求证：AF EF = F E D C B A 【练2】如图，在ABC ?中，AD 交BC 于点D ，点E 是BC 中点，EF AD ∥交CA 的延长线于点F ，交AB 于点G ，若BG CF =，求证：AD 为ABC ?的角平分线．

专题：线段中点的有关计算

教学设计—— 专题：线段中点的有关计算 一、教学目标： 1、通过专题的学习，对典型的题目讲解，使学生熟练掌握线段中点的有关计算； 2、通过题型由易到难的设置，使学生掌握此类题目的解决方法和解题思路，提高分析问题、解决问题的能力。 二、重点难点 重点：线段中点的计算方法,解题思路和常规解法的梳理是难点。二、教学过程： （一）温故知新： 若M是线段AB中点，你可以得到哪些结论？ （二）线段型：一个中点 1、如图,M是线段AB的中点 （1）若AB=10cm，求AM的长；（2）若AM=3cm, 求AB的长. （三）线段型：两个中点 2、如图,C是线段AB的一点M、N分别；是AC、BC的中点 （1）若AB=10cm，AC=6cm，求MN的长； （2）若AB=10cm，求MN的长; （3）若AB=a，那么MN的长呢？ （四）线段延长线型：一个中点

3、如图,C是线段AB延长线上的一点，M是AC的中点，若AB=6cm，BC=4cm, 求BM的长； 变式：如果M是BC的中点,求AM的长。 （五）线段延长线型：两个中点 4、如图,C是线段AB延长线一点，M、N分别是AC、BC的中点（1）若AB=10cm，BC=4cm，求MN的长 （2）若AB=10cm，求MN的长; （3）若AB=a，那么MN的长呢？ （六）归纳总结 知识方面： AB是线段，C是线段AB的一点 线段型：一个中点： 线段型：两个中点 AB是线段，C是线段AB延长线上的一点 线段延长线型：一个中点 线段延长线型：两个中点 数学思想：转化的思想 教师寄语：数学充满着生命力，细心观察，善于思考，积极探索，你一定会有更大的发现！祝同学们学习进步！

线段中点角平分线类比学习

一、线段中点 1、线段中点：把一条线段分成相等两部分的点叫线段的中点. C A B 结合图形写出它的符号语言 (1) ∵ ＿＿______＿____＿_＿___＿_ 反之 （2)∵_＿____＿_________＿＿＿＿_＿_＿_＿_ ∴ __＿＿__________＿＿__＿＿_____ ∴＿＿___＿_____＿__＿______＿________ 2．如图，点C 在线段A Ｂ上，A Ｃ ＝ 8 cm,CB = ６ ｃｍ，点M 、N 分别是ＡC 、ＢC 的中点。 (1)求线段MN 的长; A B C M N （2)若C 为线段AB 上任一点，满足AC + CB ＝ a c ｍ,其它条件不变，你能猜想MN 的长度吗? A B C M N 二角平分线 3、角平分线 1（1) ∵OB 是∠AOC 的平分线 ∴ ＿____＿_＿＿______＿＿_＿_＿＿＿_ 反之 (2）∵∠ＡOB ＝∠ ＿=＿ (∠AOC =2∠AOB ＝2∠ __） ∴_＿_________＿_＿_______＿_____＿_＿__＿__＿________ 4、 如图，已知点A 、O 、Ｂ在同一直线上,OC 平分∠A ＯD ，∠BO Ｄ＝50°,求∠AOC 的度数。 O A C B

５、如图所示，OB 是∠AOC 的平分线,OD 是∠COE 的平分线。 (1)如果∠A ＯＢ＝50°,∠DOE=35°，那么∠B ＯD 是多少度？ (2)如果∠ＡＯE=1６0°,∠ＣOD=４０°,那么∠ＡOB 是多少度? ６、如图，点Ｏ在直线AB 上，OE 、OF 分别是AOC ∠和BOC ∠的平分线.求EOF ∠的度数? 7、如图，AB=16cm ， Ｃ是AB 上的一点,且ＡC=10cm, Ｄ是ＡＣ的中点，E 是ＢC 的中点，求线段DE 的长． 8.如图，AB=16ｃm ， C 是ＡB 上的一点，D 是AC 的中点，E 是ＢＣ的中点，求线段DE 的长. D C O A B E O A B C F E B A B A

数学人教版七年级上册与线段中点有关的计算(课堂活动)

与线段中点有关的计算 一、复习引入 上节课我们已经学习了线段的中点，现在，请大家从以下两个方向回顾理解线段的中点1、由形到数，2、由数到形（抽学生回答），很好！ 请看第二题，有关线段的和差计算 学生思考 老师分析：本题没有图，那就需要在读题的时候理解画出草图AM=2，请问M点应该在哪里呢？ 学生回答：A点左右都可以，应该分类讨论 老师：非常好！ 能够正确表示线段的和差并正确计算线段的和差是解决线段问题的基础，接下来，将通过简单计算来看一看大家对线段和差的理解！ 二、互动抢答 好啦！有了以上的基础，本堂课重点来解决与线段中点有关的计算 三、典例精析 请看例题 （读题示范）老师读题并板书图形，并在图形上标出已知条件 学生思考 抽学生口述，老师板书 通过XX同学的解题过程可以看出，求MB是将MB用MC+BC来表示的，也即是将MB用其他线段的和来表示的。 那请大家思考，能够用其他线段的差来表示MB吗？请求用这种方法求出MB的长度！抽学生口述，老师板书

总结：通过例题可以看出，要求一条线段的长，不仅可以用其他线段的和来表示，而且可以用其他线段的差来表示。究竟用和还是差表示，当然要看详尽的题啦！ 现在，请大家练习：变式1 老师读题 学生独立思考完成（完成后举手示意） （老师批阅做得好的，并选一个展示） 已经评阅了的下座位评阅本组 汇报情况 本题是已知AC，BC的长度，根据中点定义，分别求出MC，NC的长度，进而求出MN的长度。 若只已知AB的长度，AB=14cm，你又能求出MN的长度嘛？ （学生口述分析，老师引领） 非常好，那如果将条件更一般化，你能求出MN的长度吗？ 请看【变式2】 学生思考 抽学生板书 老师评价，过程清撤，非常好 请大家思考，本题除了用MC+NC来表示MN，求出MN的长度。能用线段差来表示嘛？学生回答：可以，MN=AB-AM-NB 总结：变式1，2中点C是在AB上，那如果，点C不在AB上，（出示变式3）而在AB的延长线上，你们求出中点之间的距离嘛？

七年级复习专题之：线段中点与角平分线的类比学习(学案免费)公开课

复习专题之：线段中点与角平分线的类比学习(学案) 【学习目标】 1、在已有知识基础上，进一步理解线段中点与角平分线的应用。 2、会进行知识的横向迁移,总结解题规律与经验。 3、通过类比迁移有效沟通知识间的联系，突破教学难点,提高解决问题 的能力。 【学习重点】 通过同类型题目的对比,能够在具体的解题中体会线段中点与角平分线之间的区别与联系。 【学习难点】通过类比习题之间的异同，学会进行知识间的迁移，并能够总结出解题方法和规律。 【学法指导】类比迁移、分类讨论、归纳总结思想的综合应用。 【学习过程】 【环节一】线段的中点及角平分线知识回顾 线段中点:把一条线段分成____的两部分的点,叫这条线段的中点． ? 结合图形写出它的符号语言（１)由__＿__＿_＿＿___＿_＿____＿___ 得①：ＡC＝BC(等） ②：ＡB= = (倍) ③:ＡC=AB= (份）反之,由①、②、③之一 可得： （1)若已知AC=3，求BC,则用哪一种表示方法:___＿__＿＿_＿___．（2）若已知AC＝３，求AＢ,则用哪一种表示方法：＿___________＿．?(3）若已知AB=6，求AＣ，则用哪一种表示方法：______＿_____＿. 角平分线:从一个角的＿___引出一条射线,把这个角分成____的两个角的射线，叫这个角的角平分线． 结合图形写出它的符号语言（1）由OB是∠AOC的平分线 得①：∠AＯB＝∠ＢOC（等) ②：∠AOC= = (倍） ③:∠AOＢ=∠BOＣ= (份） 反之，由①、②、③之一 可得: （1）若已知∠BＯC=3５°,求 ∠AOB，则用哪一种表示方 法:______＿__.?（2)若已知 O A C B

全等三角形——倍长与中点有关的线段

倍长与中点有关的线段 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ①号模型：倍长中线构造三角形全等； ②号模型：倍长类中线构造三角形全等； ③号模型：出现多个中点，构造三角形中位线 ④号模型：平行线+截线中点构造8字形全等 ⑤号模型：直角三角形斜边中线（等于斜边一半） ⑥号模型：等腰三角形底边中线（三线合一） 倍长中线类 ?考点说明：凡是出现中线或类似中线的线段，都可以考虑倍长中线，倍长中线的目的是可以旋转等长度的线段，从而达到将条件进行转化的目的。 【例1 】 已知：ABC ?中，AM 是中线．求证：1 ()2 AM AB AC <+． M C B A

【练1】在△ABC 中，59AB AC ==， ，则BC 边上的中线AD 的长的取值范围是什么？ 【练2】如图所示，在ABC ?的AB 边上取两点E 、F ，使AE BF =，连接CE 、CF ，求证：AC BC +>EC FC +． 【例2】 如图，已知在ABC ?中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，延长BE 交AC 于F ，AF EF =，求证：AC BE =． 【练1】如图，已知在ABC ?中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE AC =， 延长BE 交AC 于F ，求证：AF EF = 【练2】如图，在ABC ?中，AD 交BC 于点D ，点E 是BC 中点，EF AD ∥交CA 的延长线于点F ，交AB 于点G ，若BG CF =，求证：AD 为ABC ?的角平分线． 【练3】如图所示，已知ABC ?中，AD 平分BAC ∠，E 、F 分别在BD 、AD 上．DE CD =，EF AC =求证：EF ∥AB F E C B A F E D C B A F E D C B A G F E D C B A

与中点有关的引辅助线方法

与中点有关的辅助线作法 一、有中线时可倍长中线，构造全等三角形或平行四边形． 例1．已知：如图，AD 为ABC ?中线，求证：AD AC AB 2>+. 类题1．已知：如图，AD 为ABC ?的中线，AE=EF.求证：BF=AC. 二、有以线段中点为端点的线段时，常加倍此线段，构造全等三角形或平行四边形. 例2．已知：如图，在ABC ?中，?=∠90C ，M 为AB 中点，P 、Q 分别在AC 、BC 上，且QM PM ⊥于 M.求证：222BQ AP PQ +=. C C M

类题2．已知：ABC ?的边BC 的中点为N ，过A 的任一直线BD AD ⊥于D ，AD CE ⊥于E.求证：NE=ND. 三、有中点时，可连结中位线． 例3．如图，ABC ?中，D 、E 分别为AB 、AC 上点，且BD=CE ，M 、N 为BE 、CD 中点，连MN 交AB 、AC 于P 、Q ，求证：AP=AQ ． 类题3．已知：如图，E 、F 分别为四边形ABCD 的对角线中点，AB>CD.求证：()CD AB EF ->2 1. A D P B C Q E M N A D F E B C

类题4．如图，ABC ?中，AD 是高，CE 为中线，CE DG ⊥，G 为垂足，DC=BE.求证：（1）G 是CE 的中点；（2）BCE B ∠=∠2. 四、有底边中点，连中线，利用等腰三角形“三线合一”性质证题 例4．已知：如图，在ABC Rt ?中，?=∠90BAC ，AB=AC ，D 为BC 边中点，P 为BC 上一点，AB PF ⊥于F ，AC PE ⊥于E.求证：DF=DE. 类题5．已知：如图，矩形ABCD ，E 为CB 延长线上一点，且AC=CE ，F 为AE 中点，求证：FD BF ⊥.

线段中点与角平分线的类比学习(学生版)

课题：线段中点与角平分线的类比学习(学案) 【环节一】线段的中点及角平分线知识回顾 线段中点：把一条线段分成__________ 的两部分 的点叫线段的中点. 射线，把这个角分成________ 的两个角，则这 条射线叫做这个角的角平分线。 结合图形写出它的符号语言 (1 )???__________________________ ??AC=BC= ______ 或2AC= _______ =AB 反之??? ___________________________ 反之?▲OB = Z ______ =___ 或Z AOC =2 / AOB =2 / _____ ) (1)若已知AC=3，求BC,则用哪一种表 示方法：________________ . (2)若已知AC=3，求AB，则用哪一种表 示方法：________________ . (3)若已知AB=6，求AC,则用哪一种表 示 方法：________________ (1 )若已知 / BOC=35 °，求 / AOB，则 用哪一种表示方法：_________________ . (2)若已知 / BOC=35 °，求 / AOC，则 用哪一种表示方法：_________________ . (3)若已知 / AOB=70 °，求 / BOC，则 用哪一种表示方法：_________________ . 角平分线：从一个角的_________ 引出的一条 A 结合图形写出它的符号语言 (1) '-OB是ZAOC的平分线

自我总结: 【环节二】图形语言与符号语言的规范复习 1?中点过程训练 ???点N是线段BP的中点如图所示，已知线段AB=80cm，M为AB 的中点，P 在MB上，N为PB中点， NB=14cm，求MP 的长. I I I 丨I A MP N B 解：如图， ???点M是线段AB的中点??NB=14 ??PB=2 X 14=28 = 40-28 =12 即MP的长为12 cm . ??AB=80 2.角平分线过程训练 .如图，已知/ AOB=90 ，/AOC=40

新人教版七年级数学上册：中点及角平分线(讲义及答案)

中点及角平分线（讲义） 知识点睛 1.线段上的点把线段分成相等的两条线段，则这个点叫做线段的________． 2.如图，若点C为线段AB的中点，则中点的六种表示是 ____________________________________________________ ___________________________________________________． 3.从一个角的顶点引出一条______，把这个角分成两个相等的角，这条_______叫做 这个角的平分线． 4.如图，若OC为∠AOB的平分线，则角平分线的六种表示是 ___________________________________________________ __________________________________________________． 精讲精练 1.已知：如图，线段AB=10 cm，点C是线段AB的中点，求AC的长．

2.已知：如图，点C是线段AB的中点，AC=4 cm，求AB的长． 3.已知：如图，线段AB=10 cm，AD=6 cm，点C是线段AD的中点，求BC的长．

4.如图，线段AB=4，点O是线段AB上一点，点C，D分别是线段OA，OB的中点， 求CD的长． 5.已知：如图，∠AOB=70°，OC平分∠AOB，求∠AOC的度数．

6.如图，已知OC平分∠AOB，OD平分∠AOC，且∠COD=25°，求∠AOB的度数． 7.如图，∠AOB=90°，∠AOC=50°，OM平分∠BOC，ON平分∠AOC，求∠MON的 度数．

线段的中点专题教学内容

线段的中点专题

线段的中点练习课 与线段有关的所有知识点清单： 1线段、射线、直线的定义： （1）线段：绷紧的琴弦，人行横道线都可以近似的看做线段。线段有两个端点。 （2）射线：将线段向一个方向无限延长就形成了射线。射线有一个端点。 （3）直线：将线段向两个方向无限延长就形成了直线。直线没有端点。 2、线段、射线、直线的区别与联系： （1 ）线段有两个端点，射线有一个端点，直线没有端点； （2）将线段向一个方向无限延长就形成了射线; （3）将线段向两个方向无限延长就形成了直线。 3、点、直线、射线和线段的表示 在几何里，我们常用字母表示图形。 一个点可以用一个大写字母表示。 一条直线可以用一个小写字母表示或用直线上两个点的大写字母表示。 一条射线可以用一个小写字母表示或用端点和射线上另一点来表示（端点字母写在前面）。 一条线段可以用一个小写字母表示或用它的端点的两个大写字母来表示。 4、一条直线上有n个点，则在这条直线上一共有n（n 1） 条线段，一共有2n条射线。 2 平面内的n条直线相交，最多也只有n（n 1） 个交点。 2 5、线段的性质： （1）线段公理：两点之间的所有连线中，线段最短（两点之间，线段最短）。 （2）两点之间的距离：两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离。 （3）线段的中点到两端点的距离相等。 （4）线段的大小关系和它们的长度的大小关系是一致的。 6、线段的中点： 一个点把一条线段分成相等的两条线段，这个点就叫做这条线段的中点。本节目标：

1、学会线段中点的几何语言； 2、学会用线段中点的几何语言解答简单的有关线段中点的几何问题。 本节重点、难点： 重点： 1、学会线段中点的几何语言； 2、学会用线段中点的几何语言解答简单的有关线段中点的几何问题。难点： 学会用线段中点的几何语言解答简单的有关线段中点的几何问题。 一、什么是几何语言？ 几何语言有三类：文字语言” 图形语言” 符号语言”几何中的每个知识点都对应有三种语言， 以线段的中点为例： 一个点把一条线段分成相等的两条线段，这个点就叫做这条线段的中点。”是这 一知识点中的文字语言。 C 对应的图形语言是：右图 A ----------------------------------- B 符号语言就疋： ???点C是线段AB 的中点 1??? AC=BC= AB 二、用线段中点的几何语言解答简单的有关线段中点的几何问题 （一）解答题： 在解答几何题目的时候，都是用图形”来分析题目，符号语言”来书写解答过程，文字语言”来解释原因。

线段的中点专题

线段的中点练习课 与线段有关的所有知识点清单： 1、线段、射线、直线的定义： （1）线段：绷紧的琴弦，人行横道线都可以近似的看做线段。线段有两个端点。（2）射线：将线段向一个方向无限延长就形成了射线。射线有一个端点。 （3）直线：将线段向两个方向无限延长就形成了直线。直线没有端点。 2、线段、射线、直线的区别与联系： （1）线段有两个端点，射线有一个端点，直线没有端点； （2）将线段向一个方向无限延长就形成了射线； （3）将线段向两个方向无限延长就形成了直线。 3、点、直线、射线和线段的表示 在几何里，我们常用字母表示图形。 一个点可以用一个大写字母表示。 一条直线可以用一个小写字母表示或用直线上两个点的大写字母表示。 一条射线可以用一个小写字母表示或用端点和射线上另一点来表示（端点字母写在前面）。 6、线段的中点: 一个点把一条线段分成相等的两条线段，这个点就叫做这条线段的中点。 本节目标： 1、学会线段中点的几何语言； 2、学会用线段中点的几何语言解答简单的有关线段中点的几何问题。 本节重点、难点： 重点： 1、学会线段中点的几何语言；

2、 学会用线段中点的几何语言解答简单的有关线段中点的几何问题。 难点： 学会用线段中点的几何语言解答简单的有关线段中点的几何问题。 一、什么是几何语言？ 几何语言有三类：“文字语言”、“图形语言”、“符号语言”，几何中的每个知识点都对应 有三种语言， 以线段的中点为例： “一个点把一条线段分成相等的两条线段，这个点就叫做这条线段的中点。”是这一知识点中的文字语言。 C 对应的图形语言是：右图 A B 符号语言就是：∵点C 是线段AB 的中点 ∴AC=BC=2 1 AB 二、用线段中点的几何语言解答简单的有关线段中点的几何问题 （一）解答题： 在解答几何题目的时候，都是用“图形”来分析题目，“符号语言”来书写解答过程，“文字语言”来解释原因。 典例分析： 如图，C 、D 是线段AB 上的两点，若BC=3㎝，BD=5㎝，且D 是AC 的中点， 求AC 的长

最新七年级复习专题之：线段中点与角平分线的类比学习(学案免费)公开课

复习专题之：线段中点与角平分线的类比学习（学案） 【学习目标】 1、 在已有知识基础上，进一步理解线段中点与角平分线的应用。 2、 会进行知识的横向迁移，总结解题规律与经验。 3、 通过类比迁移有效沟通知识间的联系，突破教学难点，提高解决问 题的能力。 【学习重点】 通过同类型题目的对比，能够在具体的解题中体会线段中点与角平分线之间的区别与联系。 【学习难点】通过类比习题之间的异同，学会进行知识间的迁移，并能够总结出解题方法和规律。 【学法指导】类比迁移、分类讨论、归纳总结思想的综合应用。 【学习过程】 【环节一】线段的中点及角平分线知识回顾 线段中点：把一条线段分成____的两部分的点，叫这条线段的中点． 结合图形写出它的符号语言 （1）由_______________________ 得①：AC=BC （等） ②：AB= = (倍) ③：AC=AB= （份） 反之，由①、②、③之一 可得： （1）若已知AC=3，求BC ，则用哪一种表示方法：_____________． （2）若已知AC=3，求AB ，则用哪一种表示方法：_____________． （3）若已知AB=6，求AC ，则用哪一种表示方法：_____________. 角平分线:从一个角的____引出一条射线，把这个角分成____的两个角的射线，叫这个角的角平分线. 结合图形写出它的符号语言 （1） 由OB 是∠AOC 的平分线 得①：∠AOB=∠BOC （等） ②：∠AOC= = (倍) ③：∠AOB=∠BOC= （份） 反之，由①、②、③之一 可得： （1）若已知∠BOC=35°，求∠AOB，则用哪一种表示方法：_________． （2）若已知∠BOC=35°，求∠AOC，则用哪一种表示方法：_________． （3）若已知∠AO C =70°，求∠BOC，则用哪一种表示方法：_________.O A C B

专训1 巧用线段中点的有关计算

专训1 巧用线段中点的有关计算 名师点金：利用线段的中点可以得到线段相等或有倍数关系的等式来辅助计算，由相等的线段去判断中点时，点必须在线段上才能成立． 线段中点问题 类型1 与线段中点有关的计算 1．如图，点C 在线段AB 上，AC ＝8 cm ，CB ＝6 cm ，点M ，N 分别是AC ，BC 的中点． (1)求线段MN 的长． (2)若C 为线段AB 上任一点，满足AC ＋CB ＝a cm ，其他条件不变，你能猜想MN 的长度吗？并说明理由． (第1题) 类型2 与线段中点有关的说明题 2．画线段MN ＝2 cm ，在线段MN 上取一点Q ，使MQ ＝NQ ；延长线段MN 到点A ， 使AN ＝12 MN ；延长线段NM 到点B ，使BN ＝3BM. (1)求线段BM 的长； (2)求线段AN 的长； (3)试说明点Q 是哪些线段的中点．

线段分点问题 类型1与线段分点有关的计算(设参法) 3．如图，B，C两点把线段AD分成2∶4∶3三部分，M是AD的中点，CD＝6 cm，求线段MC的长． (第3题) 类型2线段分点与方程的结合 4．A，B两点在数轴上的位置如图所示，O为原点，现A，B两点分别以1个单位长度/秒、4个单位长度/秒的速度同时向左运动．【导学号：11972070】 (1)几秒后，原点恰好在A，B两点正中间？ (2)几秒后，恰好有OA∶OB＝1∶2? (第4题)

答案 1．解：(1)因为点M ，N 分别是AC ，BC 的中点， 所以CM ＝12AC ＝12×8＝4(cm )，CN ＝12BC ＝12 ×6＝3(cm )， 所以MN ＝CM ＋CN ＝4＋3＝7(cm )； (2)MN ＝12 a cm .理由如下： 同(1)可得CM ＝12AC ，CN ＝12 BC ， 所以MN ＝CM ＋CN ＝12AC ＋12BC ＝12(AC ＋BC)＝12 a cm . 点拨：(1)根据“点M ，N 分别是AC ，BC 的中点”，先求出MC 、CN 的长度，再利用MN ＝CM ＋CN 即可求出MN 的长度；(2)与(1)同理，先用AC 、BC 表示出MC 、CN ，MN 的长度就等于AC 与BC 长度和的一半． 2．解：如图： (第2题) (1)因为BN ＝3BM ，所以BM ＝12 MN. 因为MN ＝2 cm ，所以BM ＝12 ×2＝1(cm )． (2)因为AN ＝12 MN ，MN ＝2 cm ，所以AN ＝1 cm . (3)因为MN ＝2 cm ，MQ ＝NQ ，所以MQ ＝NQ ＝1 cm . 所以BQ ＝BM ＋MQ ＝1＋1＝2(cm )， AQ ＝AN ＋NQ ＝2 cm .所以BQ ＝QA. 所以Q 是MN 的中点，也是AB 的中点． 3．解：设AB ＝2k cm ，则BC ＝4k cm ，CD ＝3k cm ，AD ＝2k ＋4k ＋3k ＝9k(cm )．因为 CD ＝6 cm ，即3k ＝6，所以k ＝2，则AD ＝18 cm .又因为M 是AD 的中点，所以MD ＝12 AD ＝12 ×18＝9(cm )．所以MC ＝MD －CD ＝9－6＝3(cm )． 4．解：(1)设x 秒后，原点恰好在A ，B 两点正中间．依题意得x ＋3＝12－4x ，解得x ＝1.8. 答：1.8秒后，原点恰好在A ，B 两点正中间． (2)设t 秒后，恰好有OA ∶OB ＝1∶2. ①B 与A 相遇前：12－4t ＝2(t ＋3)，即t ＝1； ②B 与A 相遇后：4t －12＝2(t ＋3)，即t ＝9. 答：1秒或9秒后，恰好有OA ∶OB ＝1∶2.

复习专题之线段中点与角平分线的类比学习

复习专题之：线段中点与角平分线的类比学习 一、目标展示 1、 在已有知识基础上，进一步理解线段中点与角平分线的应用。 2、 会进行知识的横向迁移，总结解题规律与经验。 3、 通过类比迁移有效沟通知识间的联系，突破教学难点，提高解决问 题的能力。 二、自主学习1 线段的中点及角平分线知识回顾 线段中点：把一条线段分成____的两部分的点，叫这条线段的中点． 结合图形写出它的符号语言 （1）∵____________________ ∴①：AC=BC （等） ②：AB= = (倍) ③：AC=AB= （份） 反之，∵①、②、③之一 ∴ 角平分线:从一个角的____引出一条射线，把这个角分成____的两个角的射线，叫这个角的角平分线. 结合图形写出它的符号语言 （1） ∵OB 是∠AOC 的平分线 ∴①：∠AOB=∠BOC （等） ②：∠AOC= = (倍) ③：∠AOB=∠BOC= （份） 反之，∵①、②、③之一 ∴ 自主学习 2 （图形语言与符号语言规范复习） 1.中点解题规范训练 如图所示，已知线段AB=80cm ，M 为AB 的中点，P 在MB 上，N 为 PB 中点，NB=14cm ，求MP 的长． 解：如图 ∵点M 是线段AB 的中点 O A C B

∴_______________ 又∵ AB=80 ∴___________________ ∵点N是线段BP的中点 ∴________________ ∵NB=14 ∴PB=2×14=28 ∴MP=MB-PB =40-28=12 即MP的长为12 cm 2.角平分线解题规范训练 如图所示，已知∠AOB=84°,∠AOC=40°OM平分∠AOB，求∠MOC 的度数． 解：如图 ∵OM平分∠AOB ∴∠AOM=_________ 又∵∠AOB=84° ∴∠AOM=______ = __ _ ∵∠AOC=40° ∴∠MOC= - =42°-400 =2° ∴∠MOC的度数为2° 三、合作探究 合作探究1：线段中点与角平分线判定的类比 例1.如果点C在线段AB上,则下列等式: ①AC=CB;②AC=1/2AB; ③AB-AC=BC; ④AB=2AC; 能说明点C是线段AB中点的有( ) A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④ 类比迁移1：若点D为∠BAC内的一点,则下列等式: ①∠BAD=1/2∠BAC; ②∠BAD=∠BAC-∠CAD; ③∠BAC=1/2∠BAC+∠BAD; ④∠DAC=∠BAC-∠BAD; 能说明射线AD是∠BAC平分线的有( ) A.① B.①②③ C.①③ D.①②③④

线段中点练习题

1.如图所示,AC＝_____＋_____＝______－______；若AB＝BC＝CD,那么图中有______个点是线段的中点. ? 2、如图，CB=4cm,DB=7cm，点D为 ?AC的中点，则AB的长为多少？ ? ? ? 3. 在直线上顺次取A、B、C三点，使得AB=5㎝，BC=3㎝，如果O是线段AC的中点，那么线段OB的长度是多少？ ? ? ? 4、如图，CB=5cm,DB=9cm，点D为 ?AC的中点，则AB的长为多少？ ? 5、如图，已知点C是线段AB上一点，AC=6，BC=4，点M是AC的中点,点N是CB的中点，则线段MN的长度是多少？ 6、已知B、C、D是线段AE上的点，如果AB = BC = CE，D是CE的中点，BD = 6，则AE是多少？

7、如图，已知线段AB=6，延长线段AB 到C ，使BC ＝2AB ，点D 是AC 的中点. 求：（1）AC 的长；（2）BD 的长. 8．如下图已知线段AD =16cm ，线段AC =BD =10cm ，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，则EF 长为多少？ 9、在数轴上有两个点A 和B ，A 在原点左侧到原点的距离为6，B 在原点右侧到原点的距离为4，M ，N 分别是线段AO 和BO 的中点，写出A 和B 表示的数；求线段MN 的长度。 10.如图，延长线段AB 到C ，使BC=3AB,点D 是线段BC 的中点，如果CD=3㎝，那么线段AC 的长度是多少? 11. 已知M 是线段AB 所在直线上任一点，且C 为AM 的中点， D 为BM 中点, 若AB=10, 求CD 的长. F E B C D A B

专项训练1 巧用线段中点的有关计算

专项训练1巧用线段中点的有关计算 方法指导：利用线段的中点可以得到线段相等或有倍数关系的等式来辅助计算，由相等的线段去判断中点时，点必须在线段上才能成立． 线段中点问题 类型1与线段中点有关的计算 1．如图，点C在线段AB上，AC＝8 cm，CB＝6 cm，点M，N分别是线段AC，BC的中点． (1)求线段MN的长． (2)若C为线段AB上任一点，满足AC＋CB＝a cm，其他条件不变，你能猜想MN的长度吗？并说明理由． (第1题) 类型2与线段中点有关的说明题 2．画线段MN＝3 cm，在线段MN上取一点Q，使MQ＝NQ；延长线段MN到点A，使AN＝1 2MN；延长线段NM到点B，使BN＝3BM. (1)求线段BM的长； (2)求线段AN的长； (3)试说明点Q是哪些线段的中点．

线段分点问题 类型1与线段分点有关的计算(设参法) 3．如图，B，C两点把线段AD分成2∶4∶3的三部分，M是线段AD的中点，CD＝6 cm，求线段MC的长． (第3题) 类型2线段分点与方程的结合 4．A，B两点在数轴上的位置如图所示，O为原点，A，B两点分别以1个单位长度/s，4个单位长度/s的速度同时向左运动． (1)几秒后，原点恰好在A，B两点正中间？ (2)几秒后，恰好有OA∶OB＝1∶2? (第4题)

参考答案 1．解：(1)因为点M ，N 分别是线段AC ，BC 的中点， 所以CM ＝12AC ＝12×8＝4(cm )，CN ＝12BC ＝12 ×6＝3(cm )． 所以MN ＝CM ＋CN ＝4＋3＝7(cm )． (2)MN ＝12 a cm . 理由如下： 同(1)可得CM ＝12AC ，CN ＝12 BC ， 所以MN ＝CM ＋CN ＝12AC ＋12BC ＝12(AC ＋BC)＝12 a cm . 2．解：如图． (第2题) (1)因为BN ＝3BM ，所以BM ＝12 MN. 因为MN ＝3 cm ， 所以BM ＝12 ×3＝1.5(cm )． (2)因为AN ＝12 MN ，MN ＝3 cm ， 所以AN ＝1.5 cm . (3)因为MN ＝3 cm ，MQ ＝NQ ， 所以MQ ＝NQ ＝1.5 cm . 所以BQ ＝BM ＋MQ ＝1.5＋1.5＝3(cm )， AQ ＝AN ＋NQ ＝3 cm . 所以BQ ＝QA. 所以点Q 是线段MN 的中点，也是线段AB 的中点． 3．解：设AB ＝2k cm ，则BC ＝4k cm ，CD ＝3k cm ，AD ＝2k ＋4k ＋3k ＝9k(cm )． 因为CD ＝6 cm ，即3k ＝6， 所以k ＝2. 所以AD ＝18 cm . 又因为M 是线段AD 的中点，

(完整版)线段的垂直平分线与角平分线讲义

线段的垂直平分线与角平分线(1) 知识要点详解 1、线段垂直平分线的性质 （1）垂直平分线性质定理： 定理的数学表示： 定理的作用：证明两条线段相等 （2）线段关于它的垂直平分线对称. 经典例题： 例1 如图1，在△ABC 中，BC ＝8cm ，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交边AC 于点E ，△BCE 的周长等于18cm ，则AC 的长等于（ ） A ．6cm B ．8cm C ．10cm D ．12cm 针对性练习： 已知：1、如图，AB=AC=14cm,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交 AC 于点E ，如果△EBC 的周长是24cm ，那么BC= 2、如图，AB=AC=14cm,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点 ，如果BC=8cm ，那么△EBC 的周长是 3、如图，AB=AC,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ， 如果∠A=28度，那么∠EBC 是 m 图1 D A B C E B D A

2、线段垂直平分线性质定理的逆定理 （1）线段垂直平分线的逆定理： 定理的数学表示： 定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分上. 例2.如图，已知：在ABC ?中，?=∠90C ，?=∠30A ，BD 平分ABC ∠交AC 于D .求证：D 在AB 的垂直平分线上. 针对性练习： 已知：在△ABC 中，ON 是AB 的垂直平分线,OA=OC 求证：点O 在BC 的垂直平分线 例3、如图8，已知AD 是△ABC 的BC 边上的高，且∠C ＝2∠B ， 求证：BD ＝AC ＋CD. 证明： 例4．如图，已知：AD 平分BAC ∠，EF 垂直平分AD ，交BC 延长线于F ，连结AF 。求证：CAF B ∠=∠。 m 图2 D A B C C D A A C O N

与中点有关的辅助线作法例析

与中点有关的辅助线作法例析 安徽省利辛县教育局督导室夏飞 线段的中点是几何图形中的一个特殊点．在解决与中点有关的问题时，如果能适当地添加辅助线、巧妙地利用中点，则是处理中点问题的关键．但由于含有中点条件问题的辅助线的作法灵活，不少同学难以掌握。下面就针对中点问题举例谈谈几种添加辅助线的方法． 一、遇到中点找中点 这种方法常用于解决三角形和梯形的有关问题，主要是连接两个中点作中位线，并利用其性质．因此，在三角形中，已知三角形两边中点，连结两个中点，即可构造三角形的中位线；在梯形中，已知梯形两腰中点，连结两个中点，即可构造梯形的中位线． 例1：如图1，，E、F分别为BC、AD的中点，射线BA、EF交于点G，射线CD、EF交于点H．求证：． 分析：连接AC，并取其中点P，构造△PEF，证明，再利用中位线的性质即可得证． 证明：连接AC，取AC的中点P，连接PE、PF． ∵E为BC的中点，∴PE∥AB，， 同理PF∥CD，． ∵，∴，，

由PE∥AB ，得， 由PF∥CD，得． 说明：已知三角形一边的中点或梯形一腰的中点，常过中点作中位线． 二、遇到中点作中线 这种方法常用于解决直角三角形或等腰三角形的有关问题，主要是运用直角三角形斜边上的中线或等腰三角形底边上的中线性质．因此，遇到直角三角形斜边上的中点或等腰三角形底边上的中点，应联想到作中线． 例2：如图2，△ABC中，，AD为高，E为BC的中点，求证：． 分析：在△ABC中，出现了Rt△ADC和Rt△ADB这两个直角三角形；又因为E为BC 的中点，即题目中有中点与直角三角形的条件．按照“遇到中点找中点”的方法，可取Rt △ADC斜边AC的中点F（或AB的中点），连接EF，即得△ABC的中位线；再依据“遇到中点作中线”的方法，连接DF，即得到Rt△ADC斜边AC上的中线，然后只要证明 即可． 证明：取AC的中点F，连接EF、DF． ∵E、F分别为BC、AC的中点，∴EF∥AB，． ∵AD是高，∴△ADC是直角三角形．

线段中点与角平分线专题训练

线段中点与角平分线 1.如图，直线AB 、CD 、EF 都经过点O ，且AB ⊥CD ，∠COE=35°，求 ∠DOF 、∠BOF 的度数． 2.如图，OA 丄OB ，OC 丄OD ，OE 为∠BOD 的平分线，∠BOE=17°18′，求∠AOC 的度数。 3.把一副三角尺如图所示拼在一起。⑴写出图中A ∠、B ∠、BCE ∠、D ∠、 AED ∠的度数；⑵用“<”将上述各角连接起来。 4.如图，直线AB 与CD 相交于点O ，CD OE ⊥，AB OF ⊥， 65=∠DOF ，求BOE ∠与AOC ∠的度数。 5.如图，污水处理厂要把处理过的水引入排水沟PQ ，应如何铺设排水 管道，才能用料最省？试画出铺设管道的路线，并说明理由． 6.如图，已知OE 、OD 分别平分∠AOB 和∠BOC ，若∠AOB =90°，∠EOD =70°，求∠BOC 的度数。

第20题图A B C D E 第23题图7.如图，∠AOB 是平角，∠AOC=80°，∠COE=50°，OD 平分∠AOC ； (1)求∠DOE 的度数；(2)OE 是∠BOC 的平分线吗？为什么？ 8.如图，已知∠AOB= 21∠BOC ， ∠COD=∠AOD=3∠AOB ，求∠AOB 和∠COD 的度数。 9.线段AB=14 cm ，C 是AB 上一点，且AC=9 cm ，O 为AB 中点，求线段OC 的长度。 10.如图，M 是线段AC 的中点，N 是线段BC 的中点．(1)如果AC=8 cm ，BC=6 cm ，求MN 的长． (2)如果AM=5 cm ，CN=2 cm ，求线段AB 的长． 11.如图，点C 为AB 上一点，AC ＝12 cm ，CB ＝ 32AC ，D 、E 分别为AC 、AB 的中点，求DE 的长。 12.如图，点D 是AB 的中点，点E 是BC 的中点，BE= 5 1 AC=2 cm ，求线段DE 的长。 A C B E D

全等三角形——倍长与中点有关的线段资料

倍长与中点有关的线段 ①②③④ ⑤⑥ ①号模型：倍长中线构造三角形全等； ②号模型：倍长类中线构造三角形全等； ③号模型：出现多个中点，构造三角形中位线 ④号模型：平行线+截线中点构造8字形全等 ⑤号模型：直角三角形斜边中线（等于斜边一半） ⑥号模型：等腰三角形底边中线（三线合一） 倍长中线类 ?考点说明：凡是出现中线或类似中线的线段，都可以考虑倍长中线，倍长中线的目的是可以旋转等长度的线段，从而达到将条件进行转化的目的。 【例1】已知：ABC ?中，AM是中线．求证： 1 () 2 AM AB AC <+．

M C B 【练1】在△ABC 中，59AB AC ==，，则BC 边上的中线AD 的长的取值范围是什么？ 【练2】如图所示，在ABC ?的AB 边上取两点E 、F ，使AE BF =，连接CE 、CF ，求证：AC BC +>EC FC +． F E C B A 【例2】 如图，已知在ABC ?中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，延长BE 交AC 于F ，AF EF =，求证：AC BE =． F E D C B A 【练1】如图，已知在ABC ?中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE AC =， 延长BE 交AC 于F ，求证：AF EF =

F E D B A 【练2】如图，在ABC ?中，AD 交BC 于点D ，点E 是BC 中点，EF AD ∥交CA 的延长线于点F ，交AB 于点G ，若BG CF =，求证：AD 为ABC ?的角平分线． G F E D C B A 【练3】如图所示，已知ABC ?中，AD 平分BAC ∠，E 、F 分别在BD 、AD 上．DE CD =，EF AC =求证：EF ∥AB F A C D E B 【例3】 已知AM 为ABC ?的中线，AMB ∠，AMC ∠的平分线分别交AB 于E 、交AC 于 F ．求证：BE CF EF +>． F E M C B A 【练1】在Rt ABC ?中，F 是斜边AB 的中点，D 、E 分别在边CA 、CB 上，满足90DFE ∠=?．若3AD =，4BE =，则线段DE 的长度为_________．

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倍长与中点有关的线段 %1号模型：倍长类中线构造三角形全等； %1号模型：出现多个中点，构造三角形中位线 %1号模型：平行线+截线中点构造8字形全等 %1号模型：直角三角形斜边中线（等于斜边一半） %1号模型：等腰三角形底边中线（三线合一）倍长中线类 膏?考点说明：凡是出现中线或类似中线的线段，都可以考虑倍长中线，倍长中线的目的是可以旋转等长度的线段，从而达到将条件进行转化的目的。 【例1】己知：AABC中，W 是中线.求证：+

【练1】在△ABC中，人B = 5,AC = 9,则BC边上的中线AO的长的取值范围是什么？ 【练2】如图所示，在AABC的A3边上取两点E、F ,使AE=BF,连接CE、CF ,求证：AC + BC> EC + FC . 【例2】如图，已知在*BC中，人。是BC边上的中线，E是4。上一点，延长BE交AC 于F, AF = EF,求证：AC = BE. 【练1】如图，已知在AABC中，AD是边上的中线，《是AQ上一点，且BE=AC, 延长BE交AC 于F,求证：AF = EF 【练2】如图，在\ABC中，AD交BC于点、D,点《是BC中点，砰〃AD交CA的延长线于点F,交业于点G,若BG = CF ,求证：AQ为AABC的角平分线. 【练3】如图所示，已知\ABC中，人。平分ABAC , E、尸分别在6￡>、4。上.DE = CD , EF

= AC求证：EF // AB

【练1】在 RtAABC中，F是斜边的中点，D、E分别在边CA、ZDFE = 90° .若AZ) = 3, BE = 4,则线段庞的长度为. 上，满足 【例3】已知AM % \ABC的中线，ZAMB, ZAMC的平分线分别交AB于E、交AC于F .求证：BE + CF > EF . 【练2】在M8C中，点D为BC的中点，点M、N分别为仙、AC ±的点，且MD2ND . (1)若4 = 9()。，以线段醐、MN、CN为边能否构成一个三角形？若能，该三角形是 锐角三角形、直角三角形或饨角三角形？ (2)如果BM2 +CN2 =DM2 + DN2f求证AD2 =-i(AB2 + AC2). 【例4】如图所示，在*BC中，AB = AC,延长AB到。，使BD , E为AB的中点, 连接CE、CD ,求证CD = 2EC . A