高考数学考点归纳之 抛物线

高考数学考点归纳之抛物线

一、基础知识

1．抛物线的定义

平面内与一个定点F和一条定直线l(点F不在直线l上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物

线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线.

2．抛物线的标准方程和几何性质

二、常用结论

与抛物线焦点弦有关的几个常用结论

设AB 是过抛物线y 2＝2px (p ＞0)焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，α为弦AB 的倾斜角．则

(1)x 1x 2＝p 2

4

，y 1y 2＝－p 2.

(2)|AF |＝p 1－cos α，|BF |＝p

1＋cos α.

(3)弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2p

sin 2α.

(4)1|AF |＋1|BF |＝2p

. (5)以弦AB 为直径的圆与准线相切． 考点一 抛物线的定义及应用

[典例] (1)若抛物线y 2＝4x 上一点P 到其焦点F 的距离为2，O 为坐标原点，则△OFP 的面积为( )

A.1

2 B ．1 C.32

D ．2

(2)设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，若B (3,2)，则|PB |＋|PF |的最小值为________． [解析] (1)设P (x P ，y P )，由题可得抛物线焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1. 又点P 到焦点F 的距离为2， ∴由定义知点P 到准线的距离为2. ∴x P ＋1＝2，∴x P ＝1. 代入抛物线方程得|y P |＝2，

∴△OFP 的面积为S ＝12·|OF |·|y P |＝1

2

×1×2＝1.

(2)如图，过点B 作B Q 垂直准线于点Q ，交抛物线于点P 1，则|P 1Q |＝|P 1F |.则有|PB |＋|PF |≥|P 1B |＋|P 1Q |＝|B Q |＝4，即|PB |＋|PF |的最小值为4.

[答案] (1)B (2)4 [变透练清]

1．若抛物线y 2＝2px (p ＞0)上的点A (x 0，2)到其焦点的距离是A 到y 轴距离的3倍，则p 等于( )

A.12 B ．1 C.32

D ．2

解析：选D 由抛物线y 2＝2px 知其准线方程为x ＝－p

2.又点A 到准线的距离等于点A

到焦点的距离，∴3x 0＝x 0＋p 2，∴x 0＝p 4，∴A ????p 4，2.∵点A 在抛物线y 2

＝2px 上，∴p 22＝2.

∵p ＞0，∴p ＝2.故选D.

2.(变条件)若将本例(2)中的B 点坐标改为(3,4)，则|PB |＋|PF |的最小值为________． 解析：由题意可知点(3,4)在抛物线的外部． 因为|PB |＋|PF |的最小值即为B ，F 两点间的距离， 所以|PB |＋|PF |≥|BF |＝22＋42＝4＋16＝25， 即|PB |＋|PF |的最小值为2 5. 答案：25

3．已知抛物线方程为y 2＝4x ，直线l 的方程为x －y ＋5＝0，在抛物线上有一动点P 到y 轴的距离为d 1，到直线l 的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值为________．

解析：由题意知，抛物线的焦点为F (1,0)． 点P 到y 轴的距离d 1＝|PF |－1， 所以d 1＋d 2＝d 2＋|PF |－1.

易知d 2＋|PF |的最小值为点F 到直线l 的距离， 故d 2＋|PF |的最小值为

|1＋5|

12＋(－1)2＝32， 所以d 1＋d 2的最小值为32－1. 答案：32－1

[解题技法] 与抛物线有关的最值问题的解题策略

该类问题一般情况下都与抛物线的定义有关，实现由点到点的距离与点到直线的距离的相互转化．

(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解；

(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为点到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中，垂线段最短”解决．

考点二 抛物线的标准方程及性质

[典例] (1)顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P (－4，－2)的抛物线的标准方程是

() A．y2＝－x B．x2＝－8y

C．y2＝－8x或x2＝－y D．y2＝－x或x2＝－8y

(2)(2018·北京高考)已知直线l过点(1,0)且垂直于x轴，若l被抛物线y2＝4ax截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为________．

[解析](1)(待定系数法)设抛物线为y2＝mx，代入点P(－4，－2)，解得m＝－1，则抛物线方程为y2＝－x；设抛物线为x2＝ny，代入点P(－4，－2)，解得n＝－8，则抛物线方程为x2＝－8y.

(2)由题知直线l的方程为x＝1，

则直线与抛物线的交点为(1，±2a)(a>0)．

又直线被抛物线截得的线段长为4，

所以4a＝4，即a＝1.

所以抛物线的焦点坐标为(1,0)．

[答案](1)D(2)(1,0)

[解题技法]

1．求抛物线标准方程的方法及注意点

(1)方法

求抛物线的标准方程的主要方法是定义法和待定系数法．若题目已给出抛物线的方程(含有未知数p)，那么只需求出p即可；若题目未给出抛物线的方程，对于焦点在x轴上的抛物线的标准方程可统一设为y2＝ax(a≠0)，a的正负由题设来定；焦点在y轴上的抛物线的标准方程可设为x2＝ay(a≠0)，这样就减少了不必要的讨论．

(2)注意点

①当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种；

②要掌握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系；

③要注意参数p的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题．

2．抛物线性质的应用技巧

(1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线时，关键是将抛物线方程化成标准方程．

(2)要结合图形分析，灵活运用平面图形的性质简化运算．

[题组训练]

1．(2019·哈尔滨模拟)过点F(40,3)且和直线y＋3＝0相切的动圆圆心的轨迹方程为() A．y2＝12x B．y2＝－12x

C．x2＝－12y D．x2＝12y

解析：选D由抛物线的定义知，过点F(0,3)且和直线y＋3＝0相切的动圆圆心的轨迹是以点F(0,3)为焦点，直线y＝－3为准线的抛物线，故其方程为x2＝12y.

2．若双曲线C ：2x 2－y 2＝m (m ＞0)与抛物线y 2＝16x 的准线交于A ，B 两点，且|AB |＝43，则m 的值是________．

解析：y 2＝16x 的准线l ：x ＝－4，

因为C 与抛物线y 2＝16x 的准线l ：x ＝－4交于A ，B 两点，|AB |＝43， 设A 在x 轴上方，

所以A (－4,23)，B (－4，－23)，

将A 点坐标代入双曲线方程得2×(－4)2－(23)2＝m ， 所以m ＝20. 答案：20

3．已知抛物线x 2＝2py (p ＞0)的焦点为F ，点P 为抛物线上的动点，点M 为其准线上的动点，若△FPM 为边长是4的等边三角形，则此抛物线的方程为________________．

解析：由△FPM 为等边三角形，得|PM |＝|PF |，由抛物线的定义得PM 垂直于抛物线的准线，设P ????m ，m 2

2p ，则点M ????m ，－p 2，因为焦点F ???

?0，p

2，△FPM 是等边三角形，所以???

m 22p ＋p

2

＝4，

???

?p 2＋p 22＋m 2＝4，解得?????

m 2＝12，

p ＝2，

因此抛物线方程为x 2＝4y .

答案：x 2＝4y

考点三 直线与抛物线的综合问题

考法(一) 直线与抛物线的交点问题

[典例] (2019·武汉部分学校调研)已知抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)和定点M (0,1)，设过点M 的动直线交抛物线C 于A ，B 两点，抛物线C 在A ，B 处的切线的交点为N .若N 在以AB 为直径的圆上，则p 的值为________．

[解析] 设直线AB ：y ＝kx ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 将直线AB 的方程代入抛物线C 的方程得x 2－2pkx －2p ＝0， 则x 1＋x 2＝2pk ，x 1x 2＝－2p . 由x 2＝2py 得y ′＝x

p

，

则A ，B 处的切线斜率的乘积为x 1x 2p 2＝－2

p ，

∵点N 在以AB 为直径的圆上，∴AN ⊥BN ， ∴－2

p ＝－1，∴p ＝2.

[答案] 2

[解题技法] 直线与抛物线交点问题的解题思路

(1)求交点问题，通常解直线方程与抛物线方程组成的方程组． (2)与交点相关的问题通常借助根与系数的关系或用向量法解决．

考法(二) 抛物线的焦点弦问题

[典例] (2018·全国卷Ⅱ)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 且斜率为k (k >0)的直线l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝8.

(1)求l 的方程；

(2)求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程． 解：(1)由题意得F (1,0)，l 的方程为y ＝k (x －1)(k >0)． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，

由?????

y ＝k (x －1)，y 2＝4x

得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0. Δ＝16k 2＋16>0，故

x 1＋x 2＝2k 2＋4

k

2.

所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＝4k 2＋4

k 2.

由题设知4k 2＋4

k 2＝8，解得k ＝1或k ＝－1(舍去)．

因此l 的方程为y ＝x －1.

(2)由(1)得AB 的中点坐标为(3,2)，

所以AB 的垂直平分线方程为y －2＝－(x －3)， 即y ＝－x ＋5.

设所求圆的圆心坐标为(x 0，y 0)， 则?????

y 0＝－x 0＋5，(x 0＋1)2

＝

(y 0－x 0＋1)2

2＋16. 解得????? x 0＝3，y 0＝2或?????

x 0＝11，

y 0＝－6.

因此所求圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝16或(x －11)2＋(y ＋6)2＝144.

[解题技法]

解决抛物线的弦及弦中点问题的常用方法

(1)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点．若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．

(2)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法．

[提醒] 涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解．

[题组训练]

1．(2018·全国卷Ⅰ)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点(－2,0)且斜率为2

3的直线与C

交于M ，N 两点，则FM ―→·FN ―→

＝( )

A ．5

B ．6

C ．7

D ．8

解析：选D 由题意知直线MN 的方程为y ＝2

3(x ＋2)，

联立?????

y ＝23(x ＋2)，y 2＝4x ，

解得????? x ＝1，y ＝2或?????

x ＝4，

y ＝4. 不妨设M (1,2)，N (4,4)． 又∵抛物线焦点为F (1,0)， ∴FM ―→＝(0,2)，FN ―→

＝(3,4)． ∴FM ―→·FN ―→

＝0×3＋2×4＝8.

2．已知抛物线y 2＝16x 的焦点为F ，过F 作一条直线交抛物线于A ，B 两点，若|AF |＝6，则|BF |＝________.

解析：不妨设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(A 在B 上方)，根据焦半径公式|AF |＝x 1＋p

2＝x 1＋4＝

6，所以x 1＝2，y 1＝42，所以直线AB 的斜率为k ＝42

2－4＝－22，所以直线方程为y ＝－

22(x －4)，与抛物线方程联立得x 2－10x ＋16＝0，即(x －2)(x －8)＝0，所以x 2＝8，故|BF |＝8＋4＝12.

答案：12

[课时跟踪检测]

A 级

1．(2018·永州三模)已知抛物线y ＝px 2(其中p 为常数)过点A (1,3)，则抛物线的焦点到准

线的距离等于( )

A.9

2 B.32 C.118

D.16

解析：选D 由抛物线y ＝px 2(其中p 为常数)过点A (1,3)，可得p ＝3，则抛物线的标准方程为x 2＝13y ，则抛物线的焦点到准线的距离等于1

6

.故选D.

2．过点P (－2,3)的抛物线的标准方程是( ) A ．y 2＝－92x 或x 2＝4

3y

B ．y 2＝92x 或x 2＝4

3y

C ．y 2＝92x 或x 2＝－4

3y

D ．y 2＝－92x 或x 2＝－4

3

y

解析：选A 设抛物线的标准方程为y 2＝kx 或x 2＝my ，代入点P (－2,3)，解得k ＝－9

2，

m ＝43，所以y 2＝－92x 或x 2＝43

y .

3．(2019·龙岩质检)若直线AB 与抛物线y 2＝4x 交于A ，B 两点，且AB ⊥x 轴，|AB |＝42，则抛物线的焦点到直线AB 的距离为( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．5

解析：选A 由|AB |＝42及AB ⊥x 轴，不妨设点A 的纵坐标为22，代入y 2＝4x 得点A 的横坐标为2，从而直线AB 的方程为x ＝2.又y 2＝4x 的焦点为(1,0)，所以抛物线的焦点到直线AB 的距离为2－1＝1，故选A.

4．(2018·齐齐哈尔八中三模)已知抛物线C ：y ＝x 2

8的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，

且|AF |＝2y 0，则x 0＝( )

A ．2

B ．±2

C ．4

D ．±4

解析：选D 由y ＝x 2

8，得抛物线的准线为y ＝－2，由抛物线的几何意义可知，|AF |＝

2y 0＝2＋y 0，得y 0＝2，所以x 0＝±4，故选D.

5．(2019·湖北五校联考)直线l 过抛物线y 2＝－2px (p ＞0)的焦点，且与该抛物线交于A ，B 两点，若线段AB 的长是8，AB 的中点到y 轴的距离是2，则此抛物线的方程是( )

A ．y 2＝－12x

B ．y 2＝－8x

C ．y 2＝－6x

D ．y 2＝－4x

解析：选B 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，根据抛物线的定义可知|AB |＝－(x 1＋x 2)＋p ＝8.又AB 的中点到y 轴的距离为2，∴－x 1＋x 2

2＝2，∴x 1＋x 2＝－4，∴p ＝4，∴所求抛物线的

方程为y 2＝－8x .故选B.

6．已知点A (0,2)，抛物线C 1：y 2＝ax (a ＞0)的焦点为F ，射线F A 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N .若|FM |∶|MN |＝1∶5，则a 的值为( )

A.14

B.12 C ．1

D ．4

解析：选D 依题意，点F 的坐标为????

a 4，0，设点M 在准线上的射影为K ，由抛物线的定义知|MF |＝|MK |，|KM |∶|MN |＝1∶5，则|KN |∶|KM |＝2∶1.∵k FN ＝

0－2a 4

－0＝－8a ，k FN ＝－|KN ||KM |＝－2，∴8

a ＝2，解得a ＝4.

7．抛物线x 2＝－10y 的焦点在直线2mx ＋my ＋1＝0上，则m ＝________. 解析：抛物线的焦点为????0，－52，代入直线方程2mx ＋my ＋1＝0，可得m ＝25. 答案：2

5

8．(2019·沈阳质检)已知正三角形AOB (O 为坐标原点)的顶点A ，B 在抛物线y 2＝3x 上，则△AOB 的边长是________．

解析：如图，设△AOB 的边长为a ，则A ????32a ，1

2a ，∵点A 在抛

物线y 2＝3x 上，∴14a 2＝3×3

2

a ，∴a ＝6 3.

答案：63

9．(2018·广州一模)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 与双曲线

x 23

－y 2

＝1的右焦点重合，若A 为抛物线在第一象限上的一点，且|AF |＝3，则直线AF 的斜率为________．

解析：∵双曲线x 23－y 2

＝1的右焦点为(2,0)，∴抛物线方程为y 2＝8x ，∵|AF |＝3，∴x A

＋2＝3，得x A ＝1，代入抛物线方程可得y A ＝±2 2.∵点A 在第一象限，∴A (1,22)，

∴直线AF 的斜率为22

1－2

＝－2 2.

答案：－22

10．已知抛物线y 2＝4x ，过焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，过A ，B 分别作y 轴的垂线，垂足分别为C ，D ，则|AC |＋|BD |的最小值为________．

解析：由题意知F (1,0)，|AC |＋|BD |＝|AF |＋|FB |－2＝|AB |－2，即|AC |＋|BD |取得最小值时当且仅当|AB |取得最小值．依抛物线定义知当|AB |为通径，即|AB |＝2p ＝4时为最小值，所以|AC |＋|BD |的最小值为2.

答案：2

11．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5，过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M .

(1)求抛物线的方程；

(2)若过M 作MN ⊥F A ，垂足为N ，求点N 的坐标． 解：(1)抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线为x ＝－p

2，

于是4＋p

2＝5，∴p ＝2.

∴抛物线方程为y 2＝4x . (2)∵点A 的坐标是(4,4)， 由题意得B (0,4)，M (0,2)． 又∵F (1,0)，∴k F A ＝4

3，

∵MN ⊥F A ，∴k MN ＝－3

4.

∴F A 的方程为y ＝4

3(x －1)，①

MN 的方程为y －2＝－3

4x ，②

联立①②，解得x ＝85，y ＝4

5，

∴点N 的坐标为????

85，45.

12．已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，抛物线C 与直线l 1：y ＝－x 的一个交点的横坐标为8.

(1)求抛物线C 的方程；

(2)不过原点的直线l 2与l 1垂直，且与抛物线交于不同的两点A ，B ，若线段AB 的中点为P ，且|OP |＝|PB |，求△F AB 的面积．

解：(1)易知直线与抛物线的交点坐标为(8，－8)， ∴(－8)2＝2p ×8，∴2p ＝8，

∴抛物线C 的方程为y 2＝8x .

(2)直线l 2与l 1垂直，故可设直线l 2：x ＝y ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且直线l 2与x 轴的交点为M .

由?

????

y 2＝8x ，x ＝y ＋m ，得y 2－8y －8m ＝0， Δ＝64＋32m ＞0，∴m ＞－2. y 1＋y 2＝8，y 1y 2＝－8m ，

∴x 1x 2＝y 21y 2

2

64

＝m 2.

由题意可知OA ⊥OB ，即x 1x 2＋y 1y 2＝m 2－8m ＝0， ∴m ＝8或m ＝0(舍去)，∴直线l 2：x ＝y ＋8，M (8,0)．

故S △F AB ＝S △FMB ＋S △FMA ＝1

2·|FM |·|y 1－y 2|＝3(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝24 5.

B 级

1．设抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，准线为l ，M ∈C ，以M 为圆心的圆M 与准线l 相切于点Q ，Q 点的纵坐标为3p ，E (5,0)是圆M 与x 轴不同于F 的另一个交点，则p ＝( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

解析：选B 如图，抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点F ????

p 2，0，由Q 点的纵坐标为3p 知M 点的纵坐标为3p ，则M 点的横坐标x ＝3p 2，

即M ????3p 2，3p .由题意知点M 是线段EF 的垂直平分线上的点，3p 2＝5－p

22＋p

2

，解得p ＝2.故选B. 2．(2018·全国卷Ⅲ)已知点M (－1,1)和抛物线C ：y 2＝4x ，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若∠AMB ＝90°，则k ＝________.

解析：法一：设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，

则?

????

y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，∴y 21－y 2

2＝4(x 1－x 2)， ∴k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2

.

设AB 中点M ′(x 0，y 0)，抛物线的焦点为F ，分别过点A ，B 作准线x ＝－1的垂线，垂足为A ′，B ′，

则|MM ′|＝12|AB |＝1

2(|AF |＋|BF |)

＝1

2(|AA ′|＋|BB ′|)． ∵M ′(x 0，y 0)为AB 的中点，

∴M 为A ′B ′的中点，∴MM ′平行于x 轴， ∴y 1＋y 2＝2，∴k ＝2.

法二：由题意知，抛物线的焦点坐标为F (1,0)， 设直线方程为y ＝k (x －1)， 直线方程与y 2＝4x 联立，消去y ， 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1x 2＝1，x 1＋x 2＝2k 2＋4

k

2.

由M (－1,1)，得AM ―→

＝(－1－x 1,1－y 1)，

BM ―→

＝(－1－x 2,1－y 2)．

由∠AMB ＝90°，得AM ―→·BM ―→

＝0， ∴(x 1＋1)(x 2＋1)＋(y 1－1)(y 2－1)＝0， ∴x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋1＋y 1y 2－(y 1＋y 2)＋1＝0.

又y 1y 2＝k (x 1－1)·k (x 2－1)＝k 2[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2－2)， ∴1＋2k 2＋4k 2＋1＋k 2

????1－2k 2＋4k 2＋1－k

????2k 2＋4k 2－2＋1＝0， 整理得4k 2－4

k ＋1＝0，解得k ＝2.

答案：2

3．(2019·洛阳模拟)已知抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)，过焦点F 的直线交C 于A ，B 两点，D 是抛物线的准线l 与y 轴的交点．

(1)若AB ∥l ，且△ABD 的面积为1，求抛物线的方程；

(2)设M 为AB 的中点，过M 作l 的垂线，垂足为N .证明：直线AN 与抛物线相切． 解：(1)∵AB ∥l ，∴|FD |＝p ，|AB |＝2p . ∴S △ABD ＝p 2，∴p ＝1， 故抛物线C 的方程为x 2＝2y .

(2)设直线AB 的方程为y ＝kx ＋p

2，

由?

????

y ＝kx ＋p 2，

x 2＝2py 得x 2－2kpx －p 2＝0. ∴x 1＋x 2＝2kp ，x 1x 2＝－p 2. 其中A ????x 1，x 2

12p ，B ????x 2，x 2

2

2p . ∴M ????kp ，k 2p ＋p 2，N ?

???kp ，－p 2. ∴k AN ＝x 212p ＋p 2x 1－kp ＝x 21

2p ＋p 2x 1－

x 1＋x 22＝x 21＋p 22p x 1－x 22＝x 21－x 1x 22p x 1－x 2

2

＝x 1

p .

又x 2＝2py ，∴y ′＝x

p

.

∴抛物线x 2＝2py 在点A 处的切线斜率k ＝x 1

p .

∴直线AN 与抛物线相切．