中考数学九年级寒假尖子班专题讲义
第一单元：数与式…………………………………………………………………………
第一关：规律探究 (5)
第二关：数与式求值………………………………………………………………
第三关：解方程与不等式（组）…………………………………………………
第四关：方程应用 (12)
第二单元：函数…………………………………………………………………………
第一关：利用图象求解相关题型 (16)
1-1 利用图象求值 (16)
1-2 利用图象判断式子的正误 (1)
1-3 双图象问题 (2)
第二关：函数解析式求法………………………………………………………
第三关：函数与实际问题………………………………………………………
第四关：函数综合………………………………………………………………第三单元：几何…………………………………………………………………………
第一关：三角形…………………………………………………………………
1-1 三角形三线……………………………………………………………
1-2 等腰及直角三角形相关计算与证明……………………………
1-3 全等三角形……………………………………………………………
1-5 解直角三角形 (56)
第二关：四边形 (60)
第三关：圆 (68)
第四单元：专题复习 (77)
专题一：新定义问题 (77)
专题二：动点问题 (88)
专题三：中考作图题 (103)
专题四：阅读理解问题 (108)
一、考点透视
1. 能结合实例理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，会比较有理数的大小.
2. 能借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求实数的相反数与绝对值.
3. 能利用数轴解决与实数有关的问题.
4. 能说出乘方的意义，能运用法则进行实数的混合运算，会用科学记数法表示一个大数.
5. 会求一个数的算术平方根、立方根、会估计一个无理数的大小.
6. 会分析简单问题中的数量关系(含探索规律),并能用代数式表示.
7. 会求代数式的值,知道代数式的值随其中字母取值的变化而变化.
8. 会进行整式的加,减运算,会进行整式乘法运算.
9. 能运用提取公因式法,公式法进行因式分解,体会数学中等值变形的方法. 10. 能正确运用两个乘法公式进行整式运算,并能解释两个公式的几何背景. 11. 了解分式的概念,能求出分式值为零时字母的值,知道分式无意义的条件.
12. 会利用分式的基本性质进行通分与约分,会进行分式加、减、乘、除运算;会进行分式的混合
运算与分式的化简求值.
13. 了解二次根式的概念、性质及其加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关实数的简单四
则运算.
14. 理解合并同类项与合并同类二次根式之间的关系.
15. 能举例说明一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程（组）及其根的概念，会将一元二
次方程化成一般形式.
16. 能正确观察利用一次函数的图象得到相应一元一次方程的近似解, 了解二元一次方程组的
图象解法感受它们的关系.
17. 理解配方法,会用因式分解、配方法、公式法求简单系数的一元二次方程.
第一章 数与式
的解.
19.熟练运用二元一次方程组的两种基本解法:代入法消元法和加减消元法.
20.能将简单问题(数学问题和实际问题)中的数量关系,通过建立方程模型加以解决,并能检验结
果是否合理,体会方程是刻画现实世界一个有效的数学模型.
21.能说出不等式的基本性质,并能运用基本性质进行不等式的变形.
22.熟练掌握一元一次不等式(组)的解法,并会在数轴上正确表示其解集.
23.能根据具体问题问题中的数量关系,列出一元一次不等式(组)解决有关的实际问题,并能根据
问题的实际意义检验结果是否合理.
24.通过具体实例理解一元一次不等式,一元一次程和一次函数的内在联系.
25.能正确求出可化为一元一次方程的分式方程(方程中的分式不超过两个)的根,能结合实例解
释分式方程产生增根的原因,能结合现实情境列分式方程解决简单的实际问题.
二、方法突破
1.实数是整个数学的基石，它涉及的核心概念较多，运算法则较多，因此代数运算是这部分内容的重点，考试一般以填空题、选择题和难度很小的解答出现，形式相对单一，变化较少.重点考查的是学生对实数有关概念、运算法则的掌握情况.复习中应不断提高自己的代数运算能力，做到准、快、巧，练好数学运算的基本功.
解决与实数有关的计算问题时，首先要回忆相关概念和相应的运算法则，正确使用概念和法则进行计算.在完成混合运算问题时.要特别关注运算结果的符号,提高计算的准确性.在解决与数轴有关的问题时,一般采用数形结合的思想方法.
2.这部分内容是代数式的全部，突出对字母的运算技能,一般情况下,试题难度中等偏易,多数以填空和选择题以及以化简求值的形式呈现,用字母表示数的能力、代数运算能力渗透在数学的其他领域之中,因此它是提高数学学习质量的关键.进行整式运算时必须遵循相应的运算法则,正确处理运算符号,求代数式的值一般情况要对所给代数式进行化简,然后再代入字母的值进行计算,对
于特殊结构的代数式,应结合具体问题选择合理的方法进行化简与计算,探索数字规律时,常采用
（1）类比分数四则运算进行分式的四则运算.
（2）分式运算时一般行将分式的分子、分母进行因式分解,以简化运算过程.
（3）二次根式被开方数的取值范围及简单的二次根式化简运算.
3．方程的思想与方法贯穿于初中数学内容的始终,它与实数运算、代数式的变形、函数等内容紧密相关.以方程为解决问题的工具的试题有一定的综合性.解方程的基本思想是转化，而转化的依据是等式的基本性质.要正确解一元一次方程，二元一次方程组的一般步骤，并能根据题目的特点灵法运用.一般地,解一元二次方程时,应该根据方程的特点灵活地选择不同的解法.另外,利用函数图象,结合数形结合,也是我们对方程的解进行估算的好方法.将分式方程转化为整式方程的方法一般有两种:其一是去分母,其二是换元.基本思想是”转化”
一元一次不等(组)是研究两个常量之间不等关系的重要数学模型,在近年的中考试题中,关于一元一次不等式(组)的常见题型有:填空题、选择题、解答题以及综合题等题型,其中容易题占较大比例,以函数为载体、分析解决简单的实际问题这两类有一定难.
把不等式(组)的解集在数轴上直观地表示出来,比在数轴上表示数又前进了一步,可以形象、直观地看到不等式(组)有无数多个解,并易于确定不等式(组)的解集,这体现了数形结合的思想方法.解不等式(组)的应用题时,将应用题里关于”已知量”、”未知量”之间的关系用明确的不等关系表示出来,并关注应用题中字母所表示的实际意义.应加强一元一次不等式、一元一次方程、一次
函数等内容之间的联系,形成自己的知识结构,使数学思维综合化,提高分析、解决问题的能力.
规律探究
n（n≥1）表示出来．
练习1.1.用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放：
（1）第5个图形有多少黑色棋子？
（2）第几个图形有2013颗黑色棋子？请说明理由．
观察下列等式：
n表示大于等于1的自然数，用关于n的等式表示
．
图2
图1
16
9
4
1
10
6
3
他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数;类似地，称图2中的1，4，9，16，…，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是( )
A．15 B．25 C．55 D．1225
练习2. 在同一平面内的n条直线两两相交，最多共有28个交点，则n=．
例题3．按如图所示的程序计算：若开始输入的x值为﹣2，则最后输出的结果是（）
A．352 B．160 C．112 D．198
练习3.1．按下面的程序计算：
若输入n=100，输出结果是501；若输入n=25，输出结果是631，若开始输入的n值为正整数，最后输出的结果为656，则开始输入的n值可能有（）
A．1种B．2种C．3种D．4种
练习3.2．已知f（x）=1+1
x ，其中f（a）表示当x=a时代数式的值，如f（1）=1+
1
1
，f（2
=1+1
2
，f（a）=1+1
a
，则f（1）?f（2）?f（3）…?f（50）=（）
A．50 B．51 C．2
51
D．
51
2
例题4.按一定规律排列的一列数依次为：4
5，1
2
，4
11
，2
7
，…，按此规律，这列数中的第10
个数与第16个数的积是．
练习7．若分式229
23
x x x -+-的值为0，则（ ）
A ．x =±3
B ．x =3
C ．x =-3
D ．x 取任意值
例题8. 当a 为何整数时，代数式42
1
a a -+的值是整数，并求出这个整数值．
练习8. 当整数x = 时，分式89
21
x x +-的值是整数.
例题9. 已知：115x y +=，求2322x xy y x xy y
-+++的值．
练习9.1若2310a a -+=，则代数式221a a +
的值为__________，441
a a
-的值为__________．
练习9.2. 已知：234
x y z
==，求22223xy yz xz x y z +-++的值．
练习9.3. 已知a 、b 、c 为实数，且111345ab bc ca a b b c c a ===+++，，，那么abc
ab bc ca
++的值是多少？
例题10. 先化简
÷428m m -+·22
m m -+，再选择一个你喜欢的数代入m 求值.
2
216168m m m -++
例题5.某汽车销售公司经销某品牌A款汽车，随着汽车的普及，其价格也在不断下降．今年5月份A款汽车的售价比去年同期每辆降价1万元，如果卖出相同数量的A款汽车，去年销售额为100万元，今年销售额只有90万元．
（1）今年5月份A款汽车每辆售价多少万元？
（2）为了增加收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的B款汽车，已知A款汽车每辆进价为7.5万元，B款汽车每辆进价为6万元，公司预计用不多于105万元且不少于99万元的资金购进这两款汽车共15辆，有几种进货方案？
（3）如果B款汽车每辆售价为8万元，为打开B款汽车的销路，公司决定每售出一辆B款汽车，返还顾客现金a万元，要使（2）中所有的方案获利相同，a值应是多少？此时，哪种方案
对公司更有利？
⑴若该专卖店同时购进甲、乙两种服装共200件，恰好用去32400元，求购进甲、乙两种服装各多少件？
⑵该专卖店为使甲、乙两种服装共200件的总利润（利润=售价-进价）不少于26700元，且不超过26800元，则该专卖店有几种进货方案？
⑶在⑵的条件下，专卖店准备在5月1日当天对甲种服装进行优惠促销活动，决定对甲种服装
每件优惠a（0＜a＜20）元出售，乙种服装价格不变.那么该专卖店要获得最大利润应如何进货？
一、考点透视
1. 能结合事例说明在一个变化过程中常量、变量的实际意义，感受两个变量之间相互依存的关
系；能用文字，表格，图象和公式表示具体问题中的函数关系。 2. 能根据函数表达式或具体问题确定函数自变量的值求相应的函数值。
3. 能根据具体情境确定一次函数的表达式。会画一次函数的图象，并能结合图象和表达式说出
其性质。
4.体会一次函数与一次方程（组）、不等式（组）之间的关系，并能解决简单的问题
5.能根据已知条件利用待定系数法确定反比例函数的表达式
6.会正确画出反比例函数的图象，结合图象或表达式（k >0,k <0）说出其性质，并能运用其性质解决简单的实际问题
7.能结合反比例函数图象计算简单图形的面积
8.结合具体情境体会二次函数的意义，了解二次函数的有关概念 9.会用描点法画出二次函数的图象，能结合图象说出二次函数的性质 10.能根据公式求二次函数的顶点和对称轴，并能解决简单的最值问题
二、方法突破
1.解决与函数有关的问题时，一般采用数形结合的方法，即图象上点的坐标与它的实际意义或几何意义的相互转化与结合。对于具体问题应读懂图象，理解图象，能从中获取必要的信息。
2.利用反比例函数特有的性质，计算有关图形（有时要对图形进行适当的分割）的面积，在使用性质时要特别注意图形的面积是一个正数，而系数k 可能是负数，还要记准确三角形的面积公式，不要忘记
。
3.会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解
4.会通过对现实情境的分析，确定二次函数的表达式，解决简单的实际问题
第二单元 函数
a,b,c（特
x代入解析式求出y的值，或利用
2
4
4
ac b
y
a
-
=计算。
M,N两点(或纵坐标相等时)，则线段MN的垂
的符号时，常用不等式的性质解决，得用对称轴的正0，a，b异号。
(),
P a b和(),
Q c d，则()()
a c d
b
c d
---的值为
和B(6，0)两点，求不等式组0＜kx+b＜1
3
x的解集．
练习1.2. 如图，直线y =x 轴、y 轴分别交于Ａ、Ｂ两点，若把AO B ?沿直线AB 翻
折， 点0落在点C 处，则点C 的坐标是 .
练习1.3. 在平面直角坐标系中，已知点A （- 4 ，0）、B (2 , 0),若点C 在一次函数1
22
y x =-+的
图象上，且ABC ?为直角三角形，则满足条件的点C 有_____个.
例题2.如图，直线x =t （t ＞0）与反5y x b =-+比例函数2y x
=
，1
y x =-,的图象分别交于B 、C
两点，A 为y 轴上的任意一点，则△ABC 的面积为__________.
练习2.1 如图，点A 是反比例函数2(0)y x x =>的图象上任意一点，
AB ∥x 轴交反比例函数3y x
=-的图象于点B ，以AB 为边作□ABCD ，其中C 、D 在x 轴上，则S □ABCD 为（ ） A ．2 B . 3 C . 4 D . 5
练习2.2. 已知点（-1，1y ），（2，2y ），（3，3y ）在反比例函数21
k y x
--=的图像上，下列结论中正确的是（ ）
A . 1y >2y >3y
B . 1y >3y >2y
C . 3y >1y >2y
D . 2y >3y >1y
练习2.3. 如图，y =kx 和k
y x
=
相交于A ，B 两点，则3x 1y 2-2x 2y 1=_____________.
练习2.4．如图，直线y =mx 与双曲线k
y x
=
交于A 、B 两点，过点A 作AM ⊥x 轴，垂足为M ，连结BM ，若S △ABM =4，则k 的值是（ ） A ．1
B ．m -2
C ．2
D ．4
练习2.5. 如图，正比例函数11y k x =与反比例函数2
2k y x
=
相交于A 、B 点，已知点A 的坐标为（4，
n ），BD ⊥x 轴于点D ，且S △BDO =4。过点A 的一次函数33y k x b =+与反比例函数的图像交于另一
点C ，与x 轴交于点E （5，0）。 （1）求正比例函数23y x =-、反比例函数(3)
k k y x
+=和一次函数3k ≠的解析式；
（2）结合图像，求出当3k ≠-时x 的取值范围。