一元二次方程专题能力培优(含答案).

第2章 一元二次方程 2.1 一元二次方程

专题一 利用一元二次方程的定义确定字母的取值

1.已知2

(3)1m x -+=是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是（ ）

A.m ≠3

B.m ≥3

C.m ≥-2

D. m ≥-2且m ≠3

2. 已知关于x 的方程2

1

(1)(2)10m

m x m x +++--=，问：

（1）m 取何值时，它是一元二次方程并写出这个方程； （2）m 取何值时，它是一元一次方程？

专题二 利用一元二次方程的项的概念求字母的取值

3.关于x 的一元二次方程（m-1）x 2+5x+m 2

-1=0的常数项为0，求m 的值．

4.若一元二次方程2

(24)(36)80a x a x a -+++-=没有一次项，则a 的值为 .

专题三 利用一元二次方程的解的概念求字母、代数式

5.已知关于x 的方程x 2

+bx+a=0的一个根是-a （a≠0），则a-b 值为（ ） A.－1 B.0 C.1 D.2

6.若一元二次方程ax 2

+bx+c=0中，a －b+c=0，则此方程必有一个根为 .

7.已知实数a 是一元二次方程x 2

－2013x+1=0的解，求代数式22

1

20122013

a a a +--的值.

知识要点：

1.只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次），等号两边都是整式的方程，叫做一元二次方程.

2.一元二次方程的一般形式是ax 2+bx+c=0（a ≠0），其中ax 2

是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项.

3.使一元二次方程的两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，又叫一元二次方程的根.

温馨提示：

1.一元二次方程概念中一定要注意二次项系数不为0的条件.

2.一元二次方程的根是两个而不再是一个.

方法技巧：

1.ax k

+bx+c=0是一元一次方程的情况有两种，需要分类讨论.

2.利用一元二次方程的解求字母或者代数式的值时常常用到整体思想，需要同学们认真领

会.

答案： 1. D 解析：30

20

m m -≠??

+≥?，解得m ≥-2且m ≠3

2.解：（1）当212,

10m m ?+=?+≠?

时，它是一元二次方程.解得：m=1．

当m=1时，原方程可化为2x 2

-x-1=0； （2）当20,10

m m -≠??

+=?或者当m+1+（m-2）≠0且m 2

+1=1时，它是一元一次方程.

解得：m=-1，m=0.

故当m=-1或0时，为一元一次方程．

3.解：由题意，得：210,

10.

m m ?-=?-≠? 解得：m=－1．

4.a=-2 解析：由题意得360,

240.a a +=??-≠?

解得a=－2.

5. A 解析：∵关于x 的方程x 2

+bx+a=0的一个根是-a （a≠0），∴a 2

－ab+a=0.∴a （a －b+1）

=0.∵a≠0，∴1-b+a=0.∴a-b=-1．

6.x=－1 解析：比较两个式子

会发现：（1）等号右边相同；（2）等号左边最后一项相同；（3）第一个式子x 2

对应了第二

个式子中的1，第一个式子中的x 对应了第二个式子中的-1.故211

x x ?=?=-?.解得x=－1.

7. 解：∵实数a 是一元二次方程x 2

－2013x+1=0的解，∴a 2

－2013a+1=0. ∴a 2+1=2013a ，a 2

－2013a=－1. ∴

2.2 一元二次方程的解法

专题一利用配方法求字母的取值或者求代数式的极值

1.若方程25x2-（k-1）x+1=0的左边可以写成一个完全平方式；则k的值为（）A．-9或11 B．-7或8 C．-8或9 C．-8或9

2.如果代数式x2+6x+m2是一个完全平方式，则m= .

3.用配方法证明：无论x为何实数，代数式－2x2+4x－5的值恒小于零．

专题二利用△判定一元二次方程根的情况或者判定字母的取值范围

4.已知a，b，c分别是三角形的三边，则方程（a+b）x2+2cx+（a+b）=0的根的情况是（）

A.没有实数根

B.可能有且只有一个实数根

C.有两个相等的实数根

D.有两个不相等的实数根

5.关于x的方程kx2+3x+2=0有实数根，则k的取值范围是（）

6.定义：如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）满足a＋b＋c＝0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知ax2＋bx＋c＝0（a≠0）是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（）

A．a＝c B．a＝b C．b＝c D．a＝b＝c

专题三解绝对值方程和高次方程

7.若方程（x2+y2-5）2=64，则x2+y2= .

8.阅读题例，解答下题：

例：解方程x2－|x－1|－1=0.

解：（1）当x－1≥0，即x≥1时，x2－（x－1）－1=0，∴x2－x=0.

解得：x1=0（不合题设，舍去），x2=1.

（2）当x－1＜0，即x＜1时，x2+（x－1）－1=0，∴x2+x－2=0.

解得x1=1（不合题设，舍去），x2=－2.

综上所述，原方程的解是x=1或x=－2.

依照上例解法，解方程x2+2|x+2|－4=0．

专题四一元二次方程、二次三项式因式分解、不等式组之间的微妙联系

9.探究下表中的奥秘，并完成填空：

10.请先阅读例题的解答过程，然后再解答：

代数第三册在解方程3x （x+2）=5（x+2）时，先将方程变形为3x （x+2）-5（x+2）=0， 这个方程左边可以分解成两个一次因式的积，所以方程变形为（x+2）（3x-5）=0．我们知 道，如果两个因式的积等于0，那么这两个因式中至少有一个等于0；反过来，如果两个 因式有一个等于0，它们的积等于0．因此，解方程（x+2）（3x-5）=0，就相当于解方程 x+2=0或3x-5=0，得到原方程的解为x 1=-2，x 2=

5

3

． 根据上面解一元二次方程的过程，王力推测：a ﹒b ＞0，则有 0,0a b >??>?或者0,

0.

a b

力的推测是否正确？若正确，请你求出不等式

51

023

x x ->-的解集，如果不正确，请说明理

由．

专题五 利用根与系数的关系求字母的取值范围及求代数式的值

11. 设x 1、x 2是一元二次方程x 2+4x －3=0的两个根，2x 1（x 22

+5x 2﹣3）+a =2，则a = ． 12.（2012·怀化）已知x 1、x 2是一元二次方程()0262

=++-a ax x a 的两个实数根，

⑴是否存在实数a ，使－x 1＋x 1x 2=4＋x 2成立？若存在，求出a 的值；若不存在，请你说明理由；

⑵求使（x 1＋1）（x 2＋1）为负整数的实数a 的整数值．

13.(1)教材中我们学习了：若关于x 的一元二次方程ax 2

+bx+c=0的两根为x 1、x 2,x 1+x 2=－b a ,

x 1·x 2=c

a .根据这一性质，我们可以求出已知方程关于x 1、x 2的代数式的值．例如：已知x 1、

x 2为方程x 2

-2x-1=0的两根，则：

（1）x 1+x 2=____，x 1·x 2=____，那么x 12+x 22=( x 1+x 2)2

-2 x 1·x 2=__ __． 请你完成以上的填空．．．．．．．．．

． （2）阅读材料：已知2210,10m m n n --=+-=，且1mn ≠．求1

mn n

+的值． 解：由210n n +-=可知0n ≠．∴21110n n +

-=．∴211

10n n --=. 又210,m m --=且1mn ≠，即1m n ≠．∴1

,m n

是方程210x x --=的两根．

∴11m n +=．∴1

mn n

+=1．

（3）根据阅读材料所提供的的方法及（1）的方法完成下题的解答．

已知222310,320m m n n --=+-=，且1mn ≠．求221

m n

+的值．

知识要点：

1.解一元二次方程的基本思想——降次，解一元二次方程的常用方法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法.

2.一元二次方程的根的判别式△=b-4ac 与一元二次方程ax 2

+bx+c=0（a ≠0）的根的关系： 当△>0时，一元二次方程有两个不相等的实数解； 当△=0时，一元二次方程有两个相等的实数解； △<0时，一元二次方程没有实数解.

3.一元二次方程ax 2

+bx+c=0（a ≠0）的两根x 1、x 2与系数a 、b 、c 之间存在着如下关系： x 1+x 2=﹣，x 1?x 2=.

温馨提示： 1.x 2+6x+m 2

是一个完全平方式，易误以为m=3.

2.若一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两根x 1、x 2有双层含义：（1）ax 12

+bx 1+c=0，ax 22

+bx 2+c=0；（2）x 1+x 2=﹣，x 1?x 2=.

方法技巧：

1.求二次三项式ax 2+bx+c 极值的基本步骤：（1）将ax 2+bx+c 化为a （x+h ）2

+k ；（2）当a>0，

k>0时，a （x+h ）2+k ≥k ；当a<0，k<0时，a （x+h ）2

+k ≤k.

2.若一元二次方程ax 2+bx +c =0的两个根为x 1．x 2，则ax 2

+bx +c =a （x ﹣x 1）（x ﹣x 2）． 3.解绝对值方程的基本思路是将绝对值符号去掉，所以要讨论绝对值符号内的式子与0的大小关系.

4.解高次方程的基本思想是将高次方程将次转化为关于某个式子的一元二次方程求解.

5.利用根与系数求解时，常常用到整体思想.

答案： 1.A 解析：根据题意知，-（k-1）=±2×5×1，∴k-1=±10，即k-1=10或k-1=-10，得k=11或k=-9．

2. ±3 解析：据题意得，m 2

=9，∴m=±3．

3.证明：－2x 2+4x －5=－2（x 2－2x ）－5=－2（x 2－2x+1）－5+2=－2（x －1）2

－3.

∵（x －1）2≥0，∴－2（x －1）2≤0，∴－2（x －1）2

－3＜0.

∴无论x 为何实数，代数式－2x 2

+4x-5的值恒小于零．

4.A 解析：△=（2c ）2

﹣4（a +b ）（a +b ）=4（a +b +c ）（c ﹣a ﹣b ）.

根据三角形三边关系，得c ﹣a ﹣b ＜0，a +b +c ＞0．∴△＜0．∴该方程没有实数根．

5.A 解析：当kx 2

+3x+1=0为一元一次方程方程时，必有实数根，此时k=0； 当kx 2+3x+1=0为一元二次方程且有实数根时，如果有实数根，则2

03420

k k ≠?

?

-??≥?.解得98k ≤且k ≠0.综上所述98

k ≤.

6.A 解析：∵一元二次方程ax 2

＋bx ＋c ＝0（a ≠0）有两个相等的实数根，∴△＝b 2

－4ac

＝0，又a ＋b ＋c ＝0，即b ＝－a －c ，代入b 2－4ac ＝0得（－a －c ）2

－4ac ＝0，化简得（a

－c ）2

＝0，所以a ＝c ．

7.13 解析：由题意得x 2+y 2-5=±8.解得x 2+y 2=13或者x 2+y 2

=－3（舍去）.

8.解：①当x+2≥0，即x≥－2时，x 2+2（x+2）－4=0，∴x 2

+2x=0.解得x 1=0，x 2=－2；

②当x+2＜0，即x ＜-2时，x 2－2（x+2）－4=0，∴x 2

－2x －8=0. 解得x 1=4（不合题设，舍去），x 2=－2（不合题设，舍去）． 综上所述，原方程的解是x=0或x=－2． 9.4

1-

，﹣3；41

，3．

发现的一般结论为：若一元二次方程ax 2

+bx +c =0的两个根为x 1．x 2，则

ax 2

+bx +c =a （x ﹣x 1）（x ﹣x 2）．

11.8 解析：∵x 1x 2＝－3，x 22

+4x 2－3=0，

∴2x 1(x 22+5x 2－3)+a =2转化为2x 1(x 22

+4x 2－3+ x 2)+a =2. ∴2x 1x 2+a =2.∴2×(－3)+a ＝2.解得a ＝8.

12.解：（1）根据题意，得△=（2a ）2

－4×a （a －6）=24a ≥0．∴a ≥0． 又∵a －6≠0，∴a ≠6．

由根与系数关系得：x 1＋x 2=－

62-a a ，x 1x 2=6

-a a

. 由－x 1＋x 1x 2=4＋x 2 得x 1＋x 2 ＋4=x 1x 2.∴－62-a a ＋4 =6

-a a

，解得a =24．

经检验a =24是方程－62-a a ＋4 =6

-a a

的解．

（2）原式=x 1＋x 2 ＋x 1x 2 ＋1=－62-a a ＋6-a a ＋1=a

-66

为负整数，

∴6－a 为－1或－2，－3，－6.解得a =7或8，9，12．

13.解：（1）2，－1， 6．

（3）由n 2

+3n-2=0可知n ≠0,∴1+3n －2n 2=0.∴2n 2－ 3n －1=0.

又2m 2

-3m-1=0,且mn ≠1，即m ≠1n ．

∴m 、1n

是方程2x 2

-3x-1=0的两根．

∴m+1n = 32,m ·1n =－12,∴m 2

+ 1n 2=(m+ 1n )2-2m ·1n =( 32)2-2·(－12)= 134

.

2.3 一元二次方程的应用

专题一、利用一元二次方程解决面积问题

1.在高度为

2.8m的一面墙上，准备开凿一个矩形窗户．现用9.5m长的铝合金条制成如图所示的窗框．问：窗户的宽和高各是多少时，其透光面积为3m2（铝合金条的宽度忽略不计）．

2.如图：要设计一幅宽20cm，长30cm的矩形图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为2：3，如果要使所有彩条所占面积为原矩形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？

3. 数学的学习贵在举一反三，触类旁通.仔细观察图形，认真思考，解决下面的问题：（1）在长为a m，宽为b m的一块草坪上修了一条1m宽的笔直小路（如图（1）），则余下草

m；

坪的面积可表示为2

（2）现为了增加美感，设计师把这条小路改为宽恒为1m的弯曲小路（如图（2）），则此时

m；

余下草坪的面积为2

（3）聪明的鲁鲁结合上面的问题编写了一道应用题，你能解决吗？相信自己哦！

（如图（3）），在长为50m，宽为30m的一块草坪上修了一条宽为xm的笔直小路和一条长恒

m．求小路的宽x.

为xm的弯曲小路（如图3），此时余下草坪的面积为14212

专题二、利用一元二次方程解决变化率问题

4.据报道，我省农作物秸杆的资源巨大，但合理利用量十分有限，2012年的利用率只有30%，大部分秸杆被直接焚烧了，假定我省每年产出的农作物秸杆总量不变，且合理利用量的增长

5.某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？

6.（2012·广元）某中心城市有一楼盘，开发商准备以每平方米7000元的价格出售，由于国家出台了有关调控房地产的政策，开发商经过两次下调销售价后，决定以每平方米5670 元的价格销售．

（1）求平均每次下调的百分率；

（2）房产销售经理向开放商建议：先公布下调5%，再下调15%，这样更有吸引力．请问房产销售经理的方案对购房者是否更优惠？为什么？

专题三、利用一元二次方程解决市场经济问题

7.（2012·济宁）一学校为了绿化校园环境，向某园林公司购买了一批树苗，园林公司规定：如果购买树苗不超过60棵，每棵售价为120元；如果购买树苗超过60棵，每增加1棵，所出售的这批树苗每棵售价均降低0.5元，但每棵树苗最低售价不得少于100元．该校最终

向园林公司支付树苗款8800元．请问该校共购买了多少棵树苗？

8.（2012·南京）某汽车销售公司6月份销售某厂家的汽车，在一定范围内，每部汽车的售价与销售量有如下关系：若当月仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为27万元,每多售出1 部，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/部；月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售10部以内（含10部），每部返利0.5万元；销售量在10部以上，每部返利1万元.

(1)若该公司当月售出3部汽车，则每部汽车的进价为万元.

(2)如果汽车的售价为28万元/部，该公司计划当月盈利12万元，那么需要售出多少部汽车？（盈利=销售利润+返利）

专题四、利用一元二次方程解决生活中的其他问题

9. (1)经过凸n边形(n＞3)其中一个顶点

．．．．．．的对角线有条.

(2)一个凸多边形共有14条对角线,它是几边形？

(3)是否存在有21条对角线的凸多边形？如果存在,它是几边形？如果不存在,说明得出

结论的道理.

10.如图每个正方形是由边长为1的小正方形组成．

（2）在边长为n（n≥1）的正方形中，设红色小正方形的个数为P1，白色小正方形的个数为P2，问是否存在偶数n，使P2=5P1？若存在，请写出n的值；若不存在，请说明理由．

知识要点：

列方程解决实际问题的常见类型：面积问题，增长率问题、经济问题、疾病传播问题、生活中的其他问题.

温馨提示：

1.若设每次的平均增长(或降低)率为x，增长(或降低)前的数量为a，则第一次增长(或降低)后的数量为a(1±x)，第二次增长(或降低)后的数量为a(1±x)2．

2.面积(体积)问题属于几何图形的应用题，解决问题的关键是将不规则图形分割或组合、平移成规则图形，找出未知量与已知量的内在联系，根据面积(体积)公式列出一元二次方程．

3.列方程解决实际问题时，方程的解必须使实际问题有意义，因此要注意检验结果的合理性. 方法技巧：

1. 变化率问题中常用a （1±x ）n

=b ，其中a 是起始量，b 是终止量，n 是变出次数，x 是变 化率.变化率问题用直接开平方法求解简单.

2.解决面积问题常常用到平移的方法，利用平移前后图形面积不变建立等量关系.

答案：

1.解：设高为x 米，则宽为

9.50.523x --米.由题意，得9.50.5233

x

x --?=.

解得121.5,3x x == (舍去,高度为2.8m 的一面墙上). 当x=1.5时，宽

9.50.529.50.53233

x ----==.

答：高为1.5米,宽为2米.

2.解：设横、竖彩条的宽度分别为2xcm 、3xcm ，由题意，得 （20－6x ）（30－4x ）=（1－错误！未找到引用源。）×20×30.整理，得6x 2－65x ＋50＝0. 解，得x 1＝错误！未找到引用源。，x 2＝10（不合题意，舍去）.∴2x ＝错误！未找到引用源。，3x ＝错误！未找到引用源。.

答：每个横、竖彩条的宽度分别为错误！未找到引用源。cm ，错误！未找到引用源。cm ． 3.解：(1)(1)a b -（或ab a -）；(2) (1)a b -（或ab a -）；

(3)将笔直的小路平移到草坪的左边，则余下部分的长为(50-x)m,将弯曲的小路的两侧重合，则余下部分的宽为（30-x ）m,由题意得：

(50-x)（30-x ）=1421. 解得 x 1=1， x 2=79（舍去）. 答：小路的宽为1m.

4.解：设我省每年产出的农作物秸杆总量为a ，合理利用量的增长率是x ，由题意，得

30%a （1+x ）2

=60%a.∴x 1≈0.41，x 2≈-2.41（不合题意舍去）．∴x≈0.41． 答：每年的增长率约为41%．

5.解：设每轮感染中平均每一台电脑会感染x 台电脑，依题意，得

1＋x ＋(1＋x )x ＝81.整理得(1＋x )2

＝81. ∴x 1＝8，x 2＝ －10（舍去）.

∴(1＋x )3＝(1＋8)3

＝729＞700． 答：每轮感染中平均每一台电脑会感染8台电脑，3轮感染后，被感染的电脑会超过700台． 6.解：（1）设平均每次下调%p ，则有5670%)1(70002

=-p .∴81.0%)1(2

=-p . ∵1—p%>0，∴1—p%=0.9. p%=0.1=10%.答：平均每次下调10%；

（2）先下调5%，再下调15%，这样最后单价为7000元×(1—5%)×(1—15%）=5652.5元. ∴ 销售经理的方案对购房者更优惠一些．

7.解：因为60棵树苗售价为120元×60＝7200元<8800元，所以该校购买树苗超过60棵． 设该校共购买了x 棵树苗，由题意，得()1200.5608800x x --=???? . 解得12220,80x x ==．

当1220x =时，()1200.52206040100--=<，∴1220x =不合题意，舍去； 当280x =时，()1200.58060110100--=>，∴280x =.

∴80x =.

答：该校共购买了80棵树苗． 8.解：(1)27－0.3=26.7；

（2）设需要销售出x 部汽车可盈利12万元.

①当销售10部以内（含10部）时，依题可得﹝28－27+0.1（x －1）﹞x+0.5x=12. 解得6)(2021=-=x x ，不合题意，舍去.当销售6部汽车时，当月可盈利12万元. ②当销售10部以上时，依题可得﹝28－27+0.1（x －1）﹞x+x=12. 解得24,521-==x x ，均不合题意，应舍去. 答：当销售6部汽车时，当月可盈利12万元.

9.解:（1）n －3；(2)设这个凸多边形是n 边形,由题意,得

(3)

142

n n -=. 解得127,4n n ==- (不合题意,舍去).答:这个凸多边形是七边形. (3)不存在.

理由:假设存在n 边形有21条对角线. 由题意,得

(3)

212

n n -=. 解得31772n ±=.因为多边形的边数为正整数，但3177

2

±不是正整数，故不合题意.所

以不存在有18条对角线的凸多边形.

10.解：（1）1，5，9，13（奇数）2n －1；4，8，12，16（偶数）2n ． （2）由（1）可知n 为偶数时P 1=2n ．∴P 2=n 2－2n. 根据题意得n 2－2n=5×2n ，n 2－12n=0，解得n=12，n=0（舍去）． ∴存在偶数n=12使得P 2=5P 12．

一元二次方程综合培优难度大含参考复习资料

一元二次方程提高题 1、已知0200052 =--x x ，则 ()()2 1 122 3-+---x x x 的值是 . 2、已知0120042=+-a a ，则_________1 2004 4007222=++ -a a a . 3、若1≠ab ，且07200552=++a a ，05200572=++b b ，则_________=b a . 4、已知方程043222=-+-a ax x 没有实数根，则代数式_____21682=-++-a a a . 5、已知x x y -+=62，则y 的最大值为 . 6、已知0=++c b a ，2=abc ，0φc ，则（ ） A 、0πab B 、2-≤+b a C 、3-≤+b a D 、4-≤+b a 7、已知8=-b a ，0162=++c ab ，则________=++c b a . 8、已知012=-+m m ，则________2006223=-+m m . 9、已知4=-b a ，042=++c ab ，则________=+b a . 10、若方程02=-+q px x 的二根为1x ，2x ，且11φx ，03φ++q p ，则2x ( ) A 、小于1 B 、等于1 C 、大于1 D 、不能确定 11、已知α是方程041 2 =-+x x 的一个根，则α αα--331的值为 . 12、若132=-x x ，则=+--+200872129234x x x x （ ） A 、2011 B 、2010 C 、2009 D 、2008 13、方程22323=--+x x 的解为 . 14、已知06222=+-y x x ，则x y x 222++的最大值是（ ） A 、14 B 、15 C 、16 D 、18 15、方程m x x =+-2||22恰有3个实根，则=m （ ） A 、1 B 、1.5 C 、2 D 、2.5 16、方程97 33 322=-+- +x x x x 的全体实数根之积为（ ） A 、60 B 、60- C 、10 D 、10- 17、关于x 的一元二次方程0522=--a x x （a 为常数）的两根之比3:2:21=x x ，则=-12x x （ ）

人教培优一元二次方程辅导专题训练附答案

一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．已知关于x 的方程230x x a ++=①的两个实数根的倒数和等于3，且关于x 的方程 2 (1)320k x x a -+-=②有实数根，又k 为正整数，求代数式221 6 k k k -+-的值． 【答案】0. 【解析】 【分析】 由于关于x 的方程x 2+3x +a =0的两个实数根的倒数和等于3，利用根与系数的关系可以得到关于a 的方程求出a ，又由于关于x 的方程（k -1）x 2+3x -2a =0有实数根，分两种情况讨论，该方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程，又k 为正整数，利用判别式可以求出k ，最后代入所求代数式计算即可求解． 【详解】 解：设方程①的两个实数根分别为x 1、x 2 则12123940x x x x a a +-?? ??-≥? ＝＝＝ ， 由条件，知12 1212 11x x x x x x ++==3， 即 33a -=，且94a ≤， 故a ＝－1， 则方程②为(k -1)x 2+3x +2=0， Ⅰ.当k -1=0时，k =1,x =23-，则221 06 k k k -=+-. Ⅱ.当k -1≠0时，?=9-8（k -1）=17-6-8k ≥0，则17 8 k ≤ ， 又k 是正整数，且k≠1，则k =2，但使221 6k k k -+-无意义. 综上，代数式221 6 k k k -+-的值为0 【点睛】 本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系，在解方程时一定要注意所求k 的值与方程判别式的关系．要注意该方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程， 2．图1是李晨在一次课外活动中所做的问题研究：他用硬纸片做了两个三角形，分别为△ABC 和△DEF ，其中∠B=90°，∠A=45°，BC= ，∠F=90°，∠EDF=30°， EF=2．将△DEF 的斜边DE 与△ABC 的斜边AC 重合在一起，并将△DEF 沿AC 方向移动．在移动过程中，

数学 一元二次方程的专项 培优易错试卷练习题附答案

一、一元二次方程真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．阅读下列材料 计算：（1﹣﹣）×（+）﹣（1﹣﹣）（+），令+＝t，则： 原式＝（1﹣t）（t+）﹣（1﹣t﹣）t＝t+﹣t2﹣+t2＝ 在上面的问题中，用一个字母代表式子中的某一部分，能达到简化计算的目的，这种思想方法叫做“换元法”，请用“换元法”解决下列问题： （1）计算：（1﹣﹣）×（+）﹣（1﹣﹣）×（+） （2）因式分解：（a2﹣5a+3）（a2﹣5a+7）+4 （3）解方程：（x2+4x+1）（x2+4x+3）＝3 【答案】（1）；（2）（a2﹣5a+5）2；（3）x1＝0，x2＝﹣4，x3＝x4＝﹣2 【解析】 【分析】 （1）仿照材料内容，令+＝t代入原式计算． （2）观察式子找相同部分进行换元，令a2﹣5a＝t代入原式进行因式分解，最后要记得把t换为a． （3）观察式子找相同部分进行换元，令x2+4x＝t代入原方程，即得到关于t的一元二次方程，得到t的两个解后要代回去求出4个x的解． 【详解】 （1）令+＝t，则： 原式＝（1﹣t）（t+）﹣（1﹣t﹣）t＝t+﹣t2﹣﹣t+t2+＝ （2）令a2﹣5a＝t，则： 原式＝（t+3）（t+7）+4＝t2+7t+3t+21+4＝t2+10t+25＝（t+5）2＝（a2﹣5a+5）2 （3）令x2+4x＝t，则原方程转化为： （t+1）（t+3）＝3 t2+4t+3＝3 t（t+4）＝0 ∴t1＝0，t2＝﹣4 当x2+4x＝0时， x（x+4）＝0

解得：x1＝0，x2＝﹣4 当x2+4x＝﹣4时， x2+4x+4＝0 （x+2）2＝0 解得：x3＝x4＝﹣2 【点睛】 本题考查用换元法进行整式的运算，因式分解，解一元二次方程．利用换元法一般可达到降次效果，从而简便运算． 2．如图，在△ABC中，AB＝6cm，BC＝7cm，∠ABC＝30°，点P从A点出发，以1cm/s的速度向B点移动，点Q从B点出发，以2cm/s的速度向C点移动．如果P、Q两点同时出发，经过几秒后△PBQ的面积等于4cm2？ 【答案】经过2秒后△PBQ的面积等于4cm2． 【解析】 【分析】 作出辅助线，过点Q作QE⊥PB于E，即可得出S△PQB=1 2 ×PB×QE，有P、Q点的移动速 度，设时间为t秒时，可以得出PB、QE关于t的表达式，代入面积公式，即可得出答案．【详解】 解： 如图， 过点Q作QE⊥PB于E，则∠QEB＝90°． ∵∠ABC＝30°， ∴2QE＝QB． ∴S△PQB＝1 2 ?PB?QE． 设经过t秒后△PBQ的面积等于4cm2， 则PB＝6﹣t，QB＝2t，QE＝t． 根据题意，1 2 ?（6﹣t）?t＝4． t2﹣6t+8＝0． t2＝2，t2＝4． 当t＝4时，2t＝8，8＞7，不合题意舍去，取t＝2．

一元二次方程提高培优题

1 一元二次方程提高题 一、选择题 1．已知a 是方程x 2 +x ﹣1=0的一个根，则 的值为（ ） A ． B ． C ．﹣1 D ．1 2．一元二次方程(2)2x x x -=-的根是（ ） =1 =0 =1和x=2 =-1和x=2 3．为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价，对某种原价为289元的药品进行连续两次降价后为256元，设平均每次降价的百分率为x ，则下面所列方程正确的是（ ） A ． 289（1﹣x ）2=256 B ． 256（1﹣x ）2 =289 C ． 289（1﹣2x ）=256 D ． 256（1﹣2x ）=289 4．岑溪市重点打造的天龙顶山地公园在20XX 年12月27日试业了．在此之前，公园派出小曾等人到某旅游景区考察，了解到该景区三月份共接待游客20万人次，五月份共接待游客50万人次．小曾想知道景区每月游客的平均增长率x 的值，应该用下列哪一个方程来求出（ ） A ．20（1+x ）2=50 B ．20（1﹣x ）2=50 C ．50（1+x ）2 =20 D ．50（1 ﹣x ）2 =20 5．某校九年级学生毕业时,每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念,全班共送了2070张相片,如果全班有x 名学生,根据题意,列出方程为（ ） A ．(1)2070x x -= B ．(1)2070x x += C ．2(1)2070x x += D ． (1) 2070x x x -= 6．若关于x 的方程x 2 ﹣4x+m=0没有实数根，则实数m 的取值范围是 A ．m ＜﹣4 B ．m ＞﹣4 C ．m ＜4 D ．m ＞4 7．已知实数a ，b 分别满足22a 6a 40b 6b 40-+=-+=，，且a≠b，则 b a a b +的值是【 】 A ．7 B ．－7 C ．11 D ．－11 8．已知关于x 的方程()2kx 1k x 10+--=，下列说法正确的是 A.当k 0=时，方程无解 B.当k 1=时，方程有一个实数解 C.当k 1=-时，方程有两个相等的实数解 D.当k 0≠时，方程总有两个不相等的实数解 9．若22 4x Mxy y -+是一个完全平方式，那么M 的值是（ ） A. 2 B. ±2 C. 4 D.±4 二、填空题 10．已知方程x 2 +（1﹣ ）x ﹣=0的两个根x 1和x 2，则x 12+x 22 = 11．已知m 和n 是方程2x 2 －5x －3＝0的两个根，则 1m ＋1 n ＝________． 12．若将方程2 67x x +=，化为()2 16x m +=，则m ＝________. 13．已知（x 2 ＋y 2 ）（x 2 －1＋y 2 ）－12=0，则x 2 ＋y 2 的值是_________? 14．某种药品原价为60元/盒，经过连续两次降价后售价为元/盒．设平均每次降价的百分率为x ，则根据题意，可列方程为 ． 15a 4+b 10--=，且一元二次方程2kx ax b 0++=有实数根，则k 的取值范围是 . 三、计算题 16．解方程：（x+3）2 ﹣x （x+3）=0． 按要求解方程：

一元二次方程综合培优(难度大-含参考答案)

一元二次方程拓展提高题 1、已知0200052 =--x x ，则 ()()2 1 122 3-+---x x x 的值是 . 2、已知0120042=+-a a ，则_________1 2004 400722 2=++ -a a a . 3、若1≠ab ，且07200552=++a a ，05200572=++b b ，则_________=b a . 4、已知方程043222=-+-a ax x 没有实数根，则代数式_____21682=-++-a a a . 5、已知x x y -+=62，则y 的最大值为 . 6、已知0=++c b a ，2=abc ，0 c ，则（ ） A 、0 ab B 、2-≤+b a C 、3-≤+b a D 、4-≤+b a % 7、已知8=-b a ，0162=++c ab ，则________=++c b a . 8、已知012=-+m m ，则________2006223=-+m m . 9、已知4=-b a ，042=++c ab ，则________=+b a . 10、若方程02=-+q px x 的二根为1x ，2x ，且11 x ，03 ++q p ，则2x ( ) A 、小于1 B 、等于1 C 、大于1 D 、不能确定 11、已知α是方程041 2 =-+x x 的一个根，则α αα--331的值为 . 12、若132=-x x ，则=+--+200872129234x x x x （ ） A 、2011 B 、2010 C 、2009 D 、2008 { 13、方程22323=--+x x 的解为 . 14、已知06222=+-y x x ，则x y x 222++的最大值是（ ） A 、14 B 、15 C 、16 D 、18 15、方程m x x =+-2||22恰有3个实根，则=m （ ） A 、1 B 、 C 、2 D 、 16、方程97 33 322=-+- +x x x x 的全体实数根之积为（ ） A 、60 B 、60- C 、10 D 、10- 17、关于x 的一元二次方程0522=--a x x （a 为常数）的两根之比3:2:21=x x ，则=-12x x （ ）

初三数学培优——一元二次方程应用题

一元二次方程应用题 数字问题 1 两个数的和为8，积为9.75，求这两个数。 2两个连续偶数的积是168,则这两个偶数是__________. 3 .一个两位数，个位数字与十位数字之和为5，把个位数字与十位数字对调，所得的两位数与原来的两位数的乘积为736，求原来的两位数。 增长（降低）率问题 1，（2009年江苏省）某县2008年农民人均年收入为7 800元，计划到2010年，农民人均年收入达到9 100元．设人均年收入的平均增长率为x，则可列方程． 2.（莱芜）某公司在2009年的盈利额为200万元，预计2011年的盈利额将达到242万元，若每 年比上一年盈利额增长的百分率相同，那么该公司在2010年的盈利额为____万元． 3，（2010年兰州）上海世博会的某纪念品原价168元，连续两次降价a%后售价为128元. 下列所列方程中正确的是 A． 128 ) % 1( 1682= +a B．128 ) % 1( 1682= -a C． 128 ) % 2 1( 168= -a D．128 ) % 1( 1682= -a 4．（2009山西省太原市）某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由 3200元降到了2500元．设平均每月降价的百分率为x，根据题意列出的方程是． 5，(2010台州市)某种商品原价是120元，经两次降价后的价格是100元，求平均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率为x，可列方程为____________ ． 6，某木器厂今年一月份生产课桌500张，因管理不善，2月份的产量减少了10%，从3月份起加强 了管理，产量逐月上升，4月份的产量达到了648张，求工厂3月份和4月份的平均增长率。 7，某城市按该市的“九五”国民经济发展规划要求，1997年的社会总产值要比1995年增长21%，求平均每年增长的百分率.

一元二次方程培优试卷

一元二次方程培优检测卷 一、选择题（每题2分，共20分） 1．对于任意实数k ，关于x 的方程x 2－2(k +1)x －k 2+2k －1=0的根的情况为 ( ) A ．有两个相等的实数根 B ．没有实数根 C ．有两个不相等的实数根 D ．无法确定 2．如果一元二次方程x 2＋(m ＋1)x ＋m ＝0的两个根互为相反数，那么有 ( ) A ．m ＝0 B ．m ＝－1 C ．m ＝1 D ．以上结论都不对 3．方程x 2＋3x －1＝0的两个根的符号为 ( ) A ．同号 B ．异号 C ．两根都为正 D ．不能确定 4．把边长为1的正方形木板截去四个角，做成正八边形的台面，设台面边长为x ，可列出方程 ( ) A ．（1－x)2＝x 2 B ． 14 （1－x)2＝x 2 C ．(1－x)2＝2x 2 D ．以上结论都不正确 5．已知方程x 2＋bx ＋a ＝0的一个根是－a ，则下列代数式的值恒为常数的是 ( ) A ．b B ．a C ．a ＋b D ．a －b 6．设a 2＋1＝3a ，b 2＋1＝3b 且a ≠b ，则代数式11a b +的值为 ( ) A ．5 B ．3 C ．9 D ．11 7．若关于x 的一元二次方程2210kx x --=有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是（ ） A ．1k >- B ．1k <且0k ≠ C ． 1k ≥-且0k ≠ D ． 1k >-且0k ≠ 8．下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ） A ．2310x x -+= B ．2 10x += C ．2210x x -+= D ．2230x x ++= 9．某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为x ，那么x 满足的方程是（ ） A ． 50（1+x 2）=196 B ． 50+50（1+x 2）=196 C ． 50+50（1+x ）+50（1+x 2）=196 D ． 50+50（1+x ）+50（1+2x ）=196 10．我们知道，一元二次方程21x =-没有实数根，即不存在一个实数的平方等于1-. 若我们规定一个新数“i ”,使其满足21i =-（即方程21x =-有一个根为i ）。并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于

一元二次方程专题能力培优含答案

第2章 一元二次方程 2.1 一元二次方程 专题一 利用一元二次方程的定义确定字母的取值 1.已知2 (3)1m x -+=是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是（ ） A.m ≠3 B.m ≥3 C.m ≥-2 D. m ≥-2且m ≠3 2. 已知关于x 的方程2 1 (1)(2)10m m x m x +++--=，问： （1）m 取何值时，它是一元二次方程并写出这个方程； （2）m 取何值时，它是一元一次方程？ 专题二 利用一元二次方程的项的概念求字母的取值 3.关于x 的一元二次方程（m-1）x 2+5x+m 2 -1=0的常数项为0，求m 的值． 4.若一元二次方程2 (24)(36)80a x a x a -+++-=没有一次项，则a 的值为 . 专题三 利用一元二次方程的解的概念求字母、代数式 5.已知关于x 的方程x 2 +bx+a=0的一个根是-a （a≠0），则a-b 值为（ ） A.－1 B.0 C.1 D.2 6.若一元二次方程ax 2 +bx+c=0中，a －b+c=0，则此方程必有一个根为 . 7.已知实数a 是一元二次方程x 2 －2013x+1=0的解，求代数式22 1 20122013 a a a +--的值. 知识要点： 1.只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次），等号两边都是整式的方程，叫做一元二次方程. 2.一元二次方程的一般形式是ax 2+bx+c=0（a ≠0），其中ax 2 是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项. 3.使一元二次方程的两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，又叫一元二次方程的根. 温馨提示： 1.一元二次方程概念中一定要注意二次项系数不为0的条件. 2.一元二次方程的根是两个而不再是一个. 方法技巧： 1.ax k +bx+c=0是一元一次方程的情况有两种，需要分类讨论. 2.利用一元二次方程的解求字母或者代数式的值时常常用到整体思想，需要同学们认真领

一元二次方程综合培优

一元二次方程拓展提高题 1、已知0200052 =--x x ，则 ()()2 1 122 3-+---x x x 的值是 . 2、已知0120042=+-a a ，则_________1 2004 4007222=++ -a a a . 3、若1≠ab ，且07200552=++a a ，05200572=++b b ，则_________=b a . 4、已知方程043222=-+-a ax x 没有实数根，则代数式_____21682=-++-a a a . 5、已知x x y -+=62，则y 的最大值为 . 6、已知0=++c b a ，2=abc ，0 c ，则（ ） A 、0 ab B 、2-≤+b a C 、3-≤+b a D 、4-≤+b a 7、已知8=-b a ，0162=++c ab ，则________=++c b a . 8、已知012=-+m m ，则________2006223=-+m m . 9、已知4=-b a ，042=++c ab ，则________=+b a . 10、若方程02=-+q px x 的二根为1x ，2x ，且11 x ，03 ++q p ，则2x ( ) A 、小于1 B 、等于1 C 、大于1 D 、不能确定 11、已知α是方程041 2 =-+x x 的一个根，则α αα--331的值为 . 12、若132=-x x ，则=+--+200872129234x x x x （ ） A 、2011 B 、2010 C 、2009 D 、2008 13、方程22323=--+x x 的解为 . 14、已知06222=+-y x x ，则x y x 222++的最大值是（ ） A 、14 B 、15 C 、16 D 、18 15、方程m x x =+-2||22恰有3个实根，则=m （ ） A 、1 B 、1.5 C 、2 D 、2.5 16、方程97 33 322=-+- +x x x x 的全体实数根之积为（ ） A 、60 B 、60- C 、10 D 、10- 17、关于x 的一元二次方程0522=--a x x （a 为常数）的两根之比3:2:21=x x ，则=-12x x （ ）

第22章 一元二次方程单元培优试卷A3打印版

一元二次方程单元培优测试卷 姓名____________ 时间: 90分钟 满分:120分 总分____________ 注意事项: 试卷编号:202008051733 1. 请在试卷规定时间内作答. 2. 请注意答题规范,书写规范. 3. 请用0.5毫米黑色水笔把答案直接答在试卷上. 一、选择题（每小题3分,共30分） 1. 若0=+-c b a ,则关于x 的一元二次方程02 =++c bx ax 必有一根为 【 】 （A ）0 （B ）1 （C ）1- （D ）2 2. 若关于x 的方程()22412+=-+-a x x a 中不含常数项,则a 的值是 【 】 （A ）1 （B ）3- （C ）3± （D ）1- 3. 用配方法解方程0982=+-x x ,变形后的结果正确的是 【 】 （A ）()742 =-x （B ）()742 -=-x （C ）()2542 =-x （D ）()2542 -=-x 4. 方程03522 =--x x 的两根是 【 】 （A ）2115±=x （B ）4295±=x （C ）2295±-=x （D ）4 29 5±-=x 5. 方程()()5221-=-+x x x 的根的情况是 【 】 （A ）有两个相等的实数根 （B ）有两个不相等的实数根 （C ）有一个实数根 （D ）无实数根 6. 对于任意实数x ,代数式1062 +-x x 的值是一个 【 】 （A ）非负数 （B ）正数 （C ）负数 （D ）整数 7. 若关于x 的一元二次方程0122=+-x mx 有两个实数根,则实数m 的取 值范围是 【 】 （A ）m ≤1 （B ）m ≤1- （C ）m ≤1且0≠m （D ）m ≥1-且0≠m 8. 一个等腰三角形的底边长是6,腰长是一元二次方程01582=+-x x 的一个根,则此三角形的周长是 【 】 （A ）16 （B ）12 （C ）14 （D ）12或16 9. 某商场销售一批运动休闲衫,平均每天可售出20件,每件盈利45元.为了扩大销售,增加盈利,商场决定采取适当的降价措施.经调查发现,每件休闲衫每降价1元,商场平均每天可多售出4件.若商场销售该批休闲衫平均每天盈利2 100元,每件休闲衫应降价多少元?设每件休闲衫降价x 元,根据题意,可列方程为 【 】 （A ）()()210042045=-+x x （B ）()()210042045=--x x （C ）()()210020445=+-x x （D ）()()210042045=+-x x 10. 定义:如果一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 满足0=++c b a ,那么我们称这个方程为“和谐”方程;如果一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 满足0=+-c b a ,那么我们称这个方程为“美好”方程.如果一个一元二次方程既是“和谐”方程又是“美好”方程,则下列结论正确的是 【 】 （A ）方程有两个相等的实数根 （B ）方程有一根等于0 （C ）方程两根之和等于0 （D ）方程两根之积等于0 二、填空题（每小题3分,共15分） 11. 一元二次方程()112-=-x x x 的解为_____________. 12. 若m 是关于x 的方程01322=--x x 的一个根,则 =+-7962m m __________. 13. 已知等腰三角形的两边长恰好是关于x 方程01892=+-x x 的解,则此等腰三角形的周长是__________. 14. 代数式522-+x x 的最小值是__________. 15. 元旦晚会,全班同学互赠贺卡,若每两个同学都相互赠送一张贺卡,小明 统计全班共送了1560张贺卡,那么全班有多少人?设全班有x 人,则根据题意可列方程为__________________. 三、解答题（共75分） 16.解方程:（每小题5分,共10分） （1）01662=-+x x ; （2）01422=-+-x x . 17.（9分）小明同学解一元二次方程0162=--x x 的过程如下: 解:162=-x x ,① 1962=+-x x ,② ()132=-x ,③ 13±=-x ,④ 2,421==x x .⑤ （1）小明解方程的方法是【 】 （A ）直接开平方法 （B ）因式分解法 （C ）配方法 （D ）公式法 他的求解过程从第__________步开始出现错误; （2）解这个方程.

一元二次方程培优题(易错题和难题)

一元二次方程培优题 1.解方程3(25)2(25)x x x +=+ 2.已知2是关于x 的方程2230x mx m -+=的一个根，并且这个方程的两个根恰等腰三角形ABC 的两条 边长，求三角形ABC 的周长。 3.已知关于x 的方程2 (1)4120a x x a ---+=的一个根为3x =， （1）求a 的值及方程的另一个解 （2）如果一个三角形的三条边长都 是这个方程的根，求三角形ABC 的周长。 4.已知x 1, x 2是关于x 的一元二次方程x 2-2(m +1)x +m 2+5=0的两实数根，等腰三角形ABC 的一边长为7，若x 1, x 2恰好是?ABC 另外两边的长，求这个三角形的周长。 5.已知a,b,c ,是三角形的三条边长，且关于x 的方程23())()04 b c x a c x a c +---=有两个相等的实数根，试判断三角形的形状。

6.若k >1,关于x 的方程222(41)210x k x k -++-=的根的情况是( 写出计算过程 ) A.根和一个负根 B.有两个正根 C.有两个负根 D.没有实数根 解: 7.已知m 是一元二次方程2910x x -+=的解,求221871 m m m -++的值. 8.已知关于x 的一元 二次方程2 (3)10.x m x m ++++= （1）求证:无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根。 （2）若12,x x 是原方程的两根，且12x x -=m 的值，并求出此时方程的两根。 9.如果方程20x px q ++=的两个根是1x ，2x ，那么12x x p +=-，12x x q =，请根据以上结论，解决下列 问题： （1）已知关于x 的方程20(0)x mx n x ++=≠，求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程 两根的倒数。 （2）已知a 、b 满足21550a a --=，21550b b --=，求a b b a +的值。 （3）已知a 、b 、c 满足0a b c ++=，16abc =，求正数c 最小值。

初三数学一元二次方程教案综合培优练习

一元二次方程 知识点一、一元二次方程的定义 1、方程的等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且含未知数的项的最高次数是2，这样的方程叫做一元二次方程． 注：一元二次方程的定义包括三个要素： ①只含一个未知数． ②未知数的最高次数是2． ③整式方程． 例1：判断下列方程是否是一元二次方程，为什么？ （1）() ()22123a x x x a x a -+-=+； （2）() ()22221m x m x x x m ++=+-． 【变式一】求下列各题m 的值或取值范围 （1）方程()22510m x x +++=是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是________． （2）若方程()1 131m m x x +-+=是关于x 的一元二次方程，则m 的值是________． （3）m =__________时，关于x 的方程2 ((3)43m m x m x m -+=+是一元二次方程． 【变式二】关于x 的方程1 (1)320a a x x +--+=是一元二次方程，则（ ） A ．1a ≠± B ．1a = C ．1a =- D ．1a =± 2、一元二次方程的一般形式 一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式：()200ax bx c a ++=≠ 这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中2ax 是二次项，a （0a ≠）是二次项系数；bx 是一次项，b （b 为任意实数）是一次项系数；c （c 为任意实数）是常数项． 注：一元二次方程的一般形式中，0a ≠的条件十分重要，一般地，如果题目中明确说明“关于x 的一元二次方程”，都需要检验一下二次项系数是否为0． 知识点&例题

一元二次方程培优专题讲义(最新整理)

数学培优专题讲义：一元二次方程 一.知识的拓广延伸及相关史料 1．一元二次方程几种解法之间的关系解一元二次方程有下列几种常用方法:（1）配方法:如，经配方得 2670x x ++=，再直接用开平方法； 2(3)2x +=（2）公式法；（3）因式分解法。 这三种方法并不是孤立的，直接开平方法，实际也是因式分解法，解方程，只2670x x ++=要变形为 即可，或原方程 22(3)0x +-=经配方化为，再求解时， 2670x x ++=2(3)2x +=还是归到用平方差公式的因式分解法，所以配方法归为用因式分解法的手段。公式法在推导公式过程中用的是配方法和直接开平方法，因此，它还是归到因式分解法，所不同的是，公式法用一元二次方程的系数来表示根，因而可以作为公式。由此可见，对因式分解法应予以足够的重视。因式分解法还可推广到高次方程。 2．我国古代的一元二次方程 提起代数，人们自然就把它和方程联系起来。事实上，过去代数的中心问题就是对方程的研究。我国古代对代数的研究，特别是对方程解法的研究有着优良的传统，并取得了重要成果。 下面是我国南宋数学家杨辉在1275年提出的一个问题:”直田积（矩形面积）八百六十四步(平方步),只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少一十二步）,问阔及长各几步？”答:”阔二十四步,长三十六步.” 这里,我们不谈杨辉的解法,只用已学过的知识解决上面的问题. 上面的问题选自杨辉所著的《田亩比类乘除算法》。原题另一个提法是:“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步?”这个问题同样可以类似求解. 3. 掌握数学思想方法，以不变应万变。 本章内容蕴涵了丰富的数学方法，主要有转化思想、类比思想、降次法、配方法等。 （1）转化思想 我们知道，解方程的过程就是不断地通过变形把原方程转化为与它等价的最简单方程的过程。因此，转化思想就是解方程过程中思维活动的主导思想。在本章，转化无所不在，无处不有， 可以说这是本章的精髓和特色之一，其表现主要有以下方面： ①未知转化为已知，这是解方程的基本思路: ②一元二次方程转化为一元一次方程，这是通过将原方程降次达到的: ③特殊转化为一般，一般转化为特殊。例如，通过用配方法解数字系数的一元二次方程归纳出用配方法解一般形式2670x x ++=的一元二次方程的方法，进而得出20ax bx c ++=一元二次方程的求根公式，而用公式法又可以解各种具体的一元二次方程，推导出一元二次方程根与系数的关系。又如，通过设未知数，找出等量关系，列方程，把实际问题转化为解方程问题，等等。 掌握转化思想并举一反三，还可以解决很多其他方程问题，如高次方程转化为一元一次或一元二次方程，分式方程转化为整式方程，无理方程转化为有理方程，二元二次方程组转化为二元一次方程组，总之，本章学习的关键之一是学会如何”转化”. 练习: ;222 1 1.510a x x a a -+=+ 是方程的一根,求的值 2421032. a x a ?--=--是方程x 的一根,求a 的值 2 2 42 3101 x x x x x --=-+、若，求的值。 （2）类比思想 本章多次运用类比找出新旧知识的联系,在新旧知识间进行对比,以利于更快更好地掌握新知识. 如用配方法解一元二次方程时,可类比平方根的概念和意义,列一元二次方程解应用题,可类比列一元一次方程解应用题的思路和一般步骤. 类比思想是联系新旧知识的纽带，有利于帮助我们开阔思路，研究解题途径和方法，有利于掌握新知识、巩固旧知识，学习时应特别重视。

九年级数学一元二次方程组的专项培优练习题(含答案)

九年级数学一元二次方程组的专项培优练习题(含答案) 一、一元二次方程 1．使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点．例如，对于函数1y x =-，令y=0，可得x=1，我们就说1是函数1y x =-的零点． 己知函数2 22(3)y x mx m =--+(m m 为常数)． （1）当m =0时，求该函数的零点； （2）证明：无论m 取何值，该函数总有两个零点； （3）设函数的两个零点分别为1x 和2x ，且 12111 4 x x +=-，此时函数图象与x 轴的交点分 别为A 、B(点A 在点B 左侧)，点M 在直线10y x =-上，当MA+MB 最小时，求直线AM 的函数解析式． 【答案】（1）当m =0时，该函数的零点为6和6-． （2）见解析, （3）AM 的解析式为1 12 y x =--． 【解析】 【分析】 （1）根据题中给出的函数的零点的定义，将m=0代入y=x 2-2mx-2（m+3），然后令y=0即可解得函数的零点； （2）令y=0，函数变为一元二次方程，要想证明方程有两个解，只需证明△＞0即可； （3）根据题中条件求出函数解析式进而求得A 、B 两点坐标，个、作点B 关于直线y=x-10的对称点B′，连接AB′，求出点B′的坐标即可求得当MA+MB 最小时，直线AM 的函数解析式 【详解】 （1）当m =0时，该函数的零点为6和6-． （2）令y=0，得△= ∴无论m 取何值，方程 总有两个不相等的实数根． 即无论m 取何值，该函数总有两个零点． （3）依题意有， 由 解得 ．

∴函数的解析式为． 令y=0，解得 ∴A( )，B(4,0) 作点B 关于直线10y x =-的对称点B’，连结AB’， 则AB’与直线10y x =-的交点就是满足条件的M 点． 易求得直线10y x =-与x 轴、y 轴的交点分别为C （10,0），D （0,10）． 连结CB’，则∠BCD=45° ∴BC=CB’=6，∠B’CD=∠BCD=45° ∴∠BCB’=90° 即B’（106-，） 设直线AB’的解析式为y kx b =+，则 20{106k b k b -+=+=-，解得112 k b =-=-， ∴直线AB’的解析式为1 12 y x =--， 即AM 的解析式为1 12 y x =- -． 2．李明准备进行如下操作实验，把一根长40 cm 的铁丝剪成两段，并把每段首尾相连各围成一个正方形． (1)要使这两个正方形的面积之和等于58 cm 2，李明应该怎么剪这根铁丝？ (2)李明认为这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm 2，你认为他的说法正确吗？请说明理由． 【答案】 (1) 李明应该把铁丝剪成12 cm 和28 cm 的两段；(2) 李明的说法正确，理由见解析. 【解析】 试题分析：（1）设剪成的较短的这段为xcm ，较长的这段就为（40﹣x ）cm ．就可以表示出这两个正方形的面积，根据两个正方形的面积之和等于58cm 2建立方程求出其解即可； （2）设剪成的较短的这段为mcm ，较长的这段就为（40﹣m ）cm ．就可以表示出这两个正方形的面积，根据两个正方形的面积之和等于48cm 2建立方程，如果方程有解就说明李明的说法错误，否则正确． 试题解析：设其中一段的长度为cm ，两个正方形面积之和为cm 2，则 ， （其中 ），当 时， ，解这个方程，得 ，，∴应将之剪成12cm 和28cm 的两段；

第一讲一元二次方程培优专题含答案

第一讲一元二次方程培优专题（含答案） 一．选择题（共14小题） 1．（2016?包头）若关于x的方程x2+（m+1）x+=0的一个实数根的倒数恰是它本身，则m的值是（） A．﹣B．C．﹣或D．1 2．（2016?乐山）若t为实数，关于x的方程x2﹣4x+t﹣2=0的两个非负实数根为a、b，则代数式（a2﹣1）（b2﹣1）的最小值是（） A．﹣15 B．﹣16 C．15 D．16 3．（2016?河北）a，b，c为常数，且（a﹣c）2＞a2+c2，则关于x的方程ax2+bx+c=0根的情况是（） A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根 C．无实数根D．有一根为0 4．（2016?黄冈校级自主招生）设x1，x2是方程x2+x﹣4=0的两个实数根，则x13﹣5x22+10=（） A．﹣29 B．﹣19 C．﹣15 D．﹣9 5．（2016?岱岳区一模）我们知道，一元二次方程x2=﹣1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于﹣1．若我们规定一个新数：“i“，使其满足i2=﹣1（即方程x2=﹣1有一个根为i），并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，于是有i1=i，i2=﹣1，i3=i2?i=（﹣1）?i=﹣i，i4=（i2）2=（﹣1）2=1．从而对任意正整数n，我们可得到i4n+1=i4n?i=（i4）n?i=i，同理可得i4n+2=﹣1，i4n+3=﹣i，i4n=1，那么，i+i2+i3+i4+…+i2012+i2013的值为（） A．0 B．1 C．﹣1 D．i

6．（2015?株洲）有两个一元二次方程M：ax2+bx+c=0；N：cx2+bx+a=0，其中a?c≠0，a≠c．下列四个结论中，错误的是（） A．如果方程M有两个相等的实数根，那么方程N也有两个相等的实数根B．如果方程M的两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同 C．如果5是方程M的一个根，那么是方程N的一个根 D．如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x=1 7．（2015?南充）关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同样也有两个整数根且乘积为正，给出三个结论：①这两个方程的根都负根；②（m﹣1）2+（n﹣1）2≥2；③﹣1≤2m ﹣2n≤1，其中正确结论的个数是（） A．0个B．1个C．2个D．3个 8．（2013?呼和浩特）已知α，β是关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2=0的两个不相等的实数根，且满足+=﹣1，则m的值是（） A．3 B．1 C．3或﹣1 D．﹣3或1 9．（2013?船山区校级自主招生）若m、n（m＜n）是关于x的方程1﹣（x﹣a）（x﹣b）=0的两根，且a＜b，则a、b、m、n的大小关系是（） A．m＜a＜b＜n B．a＜m＜n＜b C．a＜m＜b＜n D．m＜a＜n＜b 10．（2013?涟水县校级一模）已知方程x2﹣4x+2=0的两根是x1，x2，则代数式 的值是（） A．2011 B．2012 C．2013 D．2014 11．（2012?富顺县校级模拟）已知方程a3﹣5a2+3a=0三个根分别为a1，a2，a3，则计算a1（a2+a3）+a2（a1+a3）+a3（a1+a2）的值（） A．﹣5 B．6 C．﹣6 D．3

九年级数学一元二次方程组的专项培优练习题附答案.docx

九年级数学一元二次方程组的专项培优练习题附答案 一、一元二次方程 1．随着经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展，家用汽车已越来越多地进入普通家 庭，汽车消费成为新亮点．抽样调查显示，截止2008 年底全市汽车拥有量为14.4 万辆．已知 2006 年底全市汽车拥有量为10 万辆． （1）求 2006 年底至 2008 年底我市汽车拥有量的年平均增长率； （2）为保护城市环境，要求我市到2010 年底汽车拥有量不超过15.464 万辆，据估计从2008 年底起，此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10%，那么每年新增汽车数 量最多不超过多少辆？（假定每年新增汽车数量相同） 【答案】详见解析 【解析】 试题分析：（ 1）主要考查增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（ 1+增长率）解决问题； （2）参照增长率问题的一般规律，表示出 2010 年的汽车拥有量，然后根据关键语列出不等式 来判断正确的解． 试题解析：（ 1）设年平均增长率为 x，根据题意得： 10（ 1+x）2=14.4， 解得 x=﹣2.2（不合题意舍去）x=0.2， 答：年平均增长率为20%； （2）设每年新增汽车数量最多不超过y 万辆，根据题意得： 2009年底汽车数量为14.4 × 90%+y， 2010年底汽车数量为（14.4 × 90%+y）× 90%+y， ∴（ 14.4 ×90%+y）×90%+y≤15.464， ∴y≤2． 答：每年新增汽车数量最多不超过 2 万辆． 考点：一元二次方程—增长率的问题 2．阅读下列材料 计算：（ 1﹣﹣）×（+）﹣（1﹣﹣）（+），令+＝t，则： 原式＝（ 1﹣ t ）（ t+ ）﹣（ 1﹣ t﹣）t＝t+﹣t2﹣+t 2＝ 在上面的问题中，用一个字母代表式子中的某一部分，能达到简化计算的目的，这种思想 方法叫做“换元法”，请用“换元法”解决下列问题： （1）计算：（ 1﹣﹣）×（+）﹣（1﹣﹣）×（ +）

一元二次方程综合测试题培优

一元二次方程培优训练 一部分 1.已知方程3ax 2-bx-1=0和ax 2+2bx-5=0,有共同的根-1, 则a= , b= . 2．关于x 的方程03)3(12=+---x x m m 是一元二次方程，则=m ； 3.设b a ,是一个直角三角形两条直角边的长，且12)1)((2222=+++b a b a ，则这个直角 三角形的斜边长为 ； 4. 当_______=x 时，代数式2 1212--x x 的值为0 5. 已知：21=-m ，则关于x 的二次方程04)5()1(2=++-+x m x m 的解 是 ； 6． 方程x x =+2)32(的解是 ； 7.若一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有一个根为1,则a+b+c= ;若有一个根为-1,则b 与a 、c 之间的关系为 ;若有一个根为零,则c= . 8.某食品连续两次涨价10%后价格是a 元,那么原价是_______ ___. 9.长方形铁片四角各截去一个边长为5cm 的正方形, 而后折起来做一个没盖的盒子,铁片的长是宽的2倍,作成的盒子容积为 1. 5 立方分米, 则铁片的长等于________,宽等于________. 10、2690y y +-+=则xy= 11、写出以4，-5为根且二次项的系数为1的一元二次方程是 12、在一条线段上取n 个点，这n 个点连同线段的两个端点一共有（n+2）个点，若以这（n+2）个点中任意两点为端点的线段共有45条，则n= 13、方程0322=+x x 的根是 。 14、如果()4122++-x m x 是一个完全平方公式，则=m 。 15、已知两个数的差等于4，积等于45，则这两个数为 和 。 16、当____=m 时，关于x 的方程() ()021122=--+-x m x m 为一元二次方程。 17．（x －3）2=1的根是 ．