厦门大学数学分析
厦门大学2005年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题
（一）数学分析
1 判断题
(1) 函数()f x 在某点0x 连续的充分必要条件为:对任何收敛到0x 的数列{}n x ,数列{()}n f x 均收敛.
(2)设函数()f x 定义在(,)a b 上,则()f x 在0(,)x a b ∈处连续的充要条件为
00
00
lim ()lim ()m M δδδδ→+→-=
其中0000(,)(,)()inf (),()sup ()x x x x x x m f x M f x δδδδδδ∈-+∈-+==. (3)设f 是n 次多项式,则,a x R ?∈都有
2'
"()
()()()()()()()().2!!
n n x a x a f x f a x a f a f a f a n --=+-+++L
(4)设()f x 在(,)a b 上导数处处存在,[,](,)c d a b ??,由中值定理,(,)c d ξξ?=使得
'()()()()f d f c f d c ξ-=-.则(,)c d ξξ=是关于,((,))c d c d a b <∈的连续函数.
(5)当函数()f x 在[,]a b 上R -可积时,1()lim ().n b
a
n k b a k f x dx f n n
→∞=-=∑?
2.设
0115
1,(),1,2,,2n n n
x x x n x +==
+=L 证明lim n n x →∞
存在,并求lim n n x →∞
.
3.证明:若函数()f x 在区间[0,]l 上连续及当0l ξ≤≤时222
()0,x y z ξ-++≠
则函数
(,,)l
u x y z ξ=?
满足拉普拉斯方程2222220.u u u
x y z ???++=???
4.设1
()n
n n f x a x
∞
==
∑的收敛半径是∞,令1
()n
k
n k k f x a x
==
∑,证明(())n f f x 在任何有限区间
[,]a b 上都一致收敛于(()).f f x
5.设函数()f x 在[,]a b 上R -可积,证明存在[,]a b 上的多项式数列()(1,2,)n x n ?=L 使得
lim ()().b b
n n a
a
x dx f x dx ?→∞
=??
6.计算
2212C
XdY YdX
I X Y π
-=
+?? 其中,,X ax by Y cx dy C =+=+为包围原点的简单封闭曲线(0).ad cb -≠
（二）实变函数
1. (1)叙述Lusin(鲁金)定理(可测函数与连续函数的关系定理)
(2)应用(1):设1,p ≤<∞Ω是n
R 中的有界开集,()f x 满足|()|.p
f x dx Ω
<∞?
试证明
0ε?>都存在一个连续函数()x ?使得|()()|.p f x x dx ?εΩ
-
2.(1) 叙述Fatou 定理
(2) 设()i f x 在Ω上几乎处处收敛于()f x ,且0ε?>存在N ,当,j k N >时,{()}j f x 满足
|()()|.p j k f x f x dx εΩ
-
j
f x f x dx εΩ
-
(2)设
21(1),(1)()0,(1)x n C e
x x x η--??<=??≥?
其中2
1111
(
).x
n x C e
-
--≤=?
令1()(),n x
x δηηδδ
=
Ω是n R 中开集.如果u 是一个可积函数,并在Ω的一个紧子集K 外恒为0.试证明当0δ>充分小时,函数
()()()(),u x u y x y dy u x δδδηηΩ
=-=??
对任意的多重指标1(,,)(0,1,,)n i i n αααα=≥=L L 有
(())()().D u x D u x ααδδηη?=?
这里1
1n n
D x x α
α
αα?
=??L ,其中12.n αααα=+++L 本题可只考虑一维情形. （三）常微分方程A 卷
1.(1)写出齐次线性微分方程组
dY
AY dx
=的Wronski 行列式.
(2)将n 阶齐次线性微分方程
()(1)'110n n n n y p y p y p y --+++=L
化成线性微分方程组的形式,并由此定义n 阶齐次线性微分方程的n 个解1,,n y y L 的Wronski 行列式().W x
(3)证明对(,)a b 的任一点0x x =皆有
10()0()()x
x p t dt
W x W x e
-
?=
(4)已知二阶齐次方程
'''()()0,y p x y q x y ++=
的一个非零特解1y ,应用本题(1)(2)(3)的结论求出与1y 线性无关的另一个特解.
2.设12(,)(,,)x t x x t =表示欧式坐标而且12(,)(,)(,)u x t u u x t =是定义在2
1
R R ?上的向量值函数,(,),(,)P x t B x t 都是标量函数满足
2(1)0.t P u P P P B γγ+?+-+=
试化它为常微分方程并解之.这里P ?表变量P 的剃度.