北京中考数学29题新定义综合练习

寒假作业之新定义

1．在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）（x≥0）的每一个整数点，给出如下定义：如果P也是整数点，则称点'P为点P的“整根点”．

例如：点（25，36）的“整根点”为点（5，6）.

（1）点A（4，8），B（0，16），C（25，－9）的整根点是否存在，若存在请写出整根点的坐标；

（2）如果点M对应的整根点'

M的坐标为（2，3），则点M的坐标；

（3）在坐标系内有一开口朝下的二次函数24(0

y ax x a

=+≠），如果在第一象限内的二次函数图像内部（不在图像上），若存在整根点的点只有三个

请求出实数a的取值范围.

2..如图，对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和线段AB ，给出如下定义：如果线段AB 上存在

两个点M ，N ，使得∠MPN =30°，那么称点P 为线段AB 的伴随点．

（1）已知点A （-1，0），B （1，0）及D （1，-1），E ??

? ??-32

5

, ，F （0，

32+）， ①在点D ，E ，F 中，线段AB 的伴随点是_________；

②作直线AF ，若直线AF 上的点P （m ，n ）是线段AB 的伴随点，求m 的取值范围； （2）平面内有一个腰长为1的等腰直角三角形，若该三角形边上的任意一点都是某条线段

a 的伴随点，请直接写出这条线段a 的长度的范围．

3. 若抛物线L ：()02≠++=abc c b a c bx ax y 是常数，且，，与直线l 都经过y 轴上的同一点，且抛物线L 的顶点在直线l 上，则称此抛物线L 与直线l 具有“一带一路”关系，并且将直线l 叫做抛物线L 的“路线”，抛物线L 叫做直线l 的“带线”.

(1) 若“路线”l 的表达式为42-=x y ，它的“带线”L 的顶点在反比例函数x

y 6=(x ＜0)的图象

上，求“带线”L 的表达式；

(2)如果抛物线122-+-=m mx mx y 与直线1+=nx y 具有“一带一路”关系，求m ,n 的值； (3)设(2) 中的“带线”L 与它的“路线”l 在 y 轴上的交点为A . 已知点P 为“带线”L 上的点，当以点P 为圆心的圆与“路线”l 相切于点A 时，求出点P 的坐标.

备用图

4．在平面直角坐标系xOy中，定义点P（x,y）的变换点为P′(x+y, x-y)．

(1)如图1，如果⊙O的半径为22，

①请你判断M (2,0)，N (-2,-1)两个点的变换点与⊙O的位置关系；

②若点P在直线y=x+2上，点P的变换点P′在⊙O的内，求点P横坐标的取值范围.

(2)如图2，如果⊙O的半径为1,且P的变换点P’在直线y=-2x+6上，求点P与⊙O上任意一点距离的最小值．

5.在平面直角坐标系xOy 中，点P 的坐标为()11,x y ，点Q 的坐标为()22,x y ，且12x x ≠，12y y ≠，若,P Q 为某个菱形的两个相对顶点，且该菱形的一边与x 轴平行，则称该菱形为点,P Q 的“相关菱形”，下图为点,P Q 的“相关菱形”的示意图．

（1）已知点A 的坐标为()0,1，点B 的坐标为()3,4，且点,A B 的“相关菱形”为正方形，则此“相关菱形”的周长为__________；

（2）若点C 的坐标为(3，点D 在直线3y =且,C D 的“相关菱形”有一个内角为60，求点D 的坐标；

（3）⊙O 3M 的坐标为33m ? ??

（其中0m >）

，若在⊙O 上存在一点N ，使得点,M N 的“相关菱形”有一个内角为60，直接写出m 的取值范围．

6.阅读材料：

①直线l 外一点P 到直线l 的垂线段的长度，叫做点P 到直线l 的距离，记作d （P ，l ） ②两条平行线1l ，2l ，直线上1l 任意一点到直线2l 的距离，叫做这两条平行线1l ，2l 之间的距离，记住d （1l ，2l ）；

③若直线1l ，2l 相交，则定义d （1l ，2l ）=0 ④对于同一条直线l ，我们定义d （l ，l ）=0。

对于两点1P ，2P 和两条直线1l ，2l ，定义两点1P ，2P 的“1l ，2l —相关距离”如下：d （1P ，

2P 1l ，2l ）=d （1P ，1l ）+d （1l ，2l ）+d （2P ，2l ）设1P （4，0），2P （0，3），1:l y x =，2:l y =，3:l y kx =，'4:l y k x =，解决以下问题：（1）d （1P ，2P 1l ，1l ）=____________，d （1P ，2P 1l ，2l ）=_______________

（2）①若k >0，则当d （1P ，2P 3l ，3l ）最大时，k =_________；

②若k <0，试确定k 的值使得d （1P ，2P 3l ，3l ）最大。

（3）若'0k k >>，且，3l ，4l 的夹角是30°，直接写出d （1P ，2P 3l ，4l ）的最大值________。

7.平面上有两条直线A B、CD相交于点O，且∠BOD=150°（如图），现按如下要求规定此平面上点的“距离坐标”：

①点O的“距离坐标”为（0，0）；

②在直线CD上，且到直线AB的距离为p（p＞0）的点的“距离坐标”为（p，0）；在直线AB 上，且到直线CD的距离为q（q＞0）的点的“距离坐标”为（0，q）；

③到直线AB、CD的距离分别为p，q（p＞0，q＞0）的点的“距离坐标”为（p，q）．

设M为此平面上的点，其“距离坐标”为（m，n），根据上述对点的“距离坐标”的规定，解决下列问题：

（1）画出图形（保留画图痕迹）：

①满足m=1，且n=0的点M的集合；

②满足m=n的点M的集合；

（2）若点M在过点O且与直线CD垂直的直线l上，求m与n所满足的关系式．（说明：图中OI长为一个单位长）

8．阅读：我们约定，在平面直角坐标系中，经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角平分线的直线，叫该点的“特征线”．例如，点M（1，3）的特征线有：x=1，y=3，y=x+2，y=﹣x+4．例如，点M（1，3）的特征线有：x=1，y=3，y=x+2，y=﹣x+4．

问题与探究：如图，在平面直角坐标系中有正方形OABC，点B在第一象限，A、C分别在x轴和y轴上，抛物线经过B、C两点，顶点D在正方形内部．（1）直接写出点D（m，n）所有的特征线；

（2）若点D有一条特征线是y=x+1，求此抛物线的解析式；

（3）点P是AB边上除点A外的任意一点，连接OP，将△OAP沿着OP折叠，点A落在点A′的位置，当点A′在平行于坐标轴的D点的特征线上时，满足（2）中条件的抛物线向下平移多少距离，其顶点落在OP上？