不等式的基本性质及解法教学提纲
教学过程
一、新课导入
初中,我们学习了一元一次不等式(组);已经掌握了不等式(组)的基本性质及解法.从本节开始,我们将在过去已有知识的基础上进一步明确不等式的有关概念,学习其他几种不等式的解法.
二、复习预习
1.不等式的定义.
2.不等式的基本性质.
3.不等式的基本定理及推论.
4.一元二次不等式解法.
5.分式不等式解法.
6.高次不等式解法.
7.无理不等式解法.
8.指对数不等式解法.
三、知识讲解
考点1 不等式的定义及比较大小
1. 不等式的定义：用不等号连接两个解析式所得的式子，叫做不等式．
说明：（1）不等号的种类：＞、＜、≥（≮）、≤（≯）、≠．
（2）解析式是指：代数式和超越式（包括指数式、对数式和三角式等）
（3）不等式研究的范围是实数集R．
2．判断两个实数大小的充要条件
对于任意两个实数a、b，在a＞b，a= b，a＜b三种关系中有且仅有一种成立．判断两个实数大小的充要条件是：a
>b
b
a
?
>
-
b
a
=b
a
?
=
-
a
b
a < - ? 考点2 不等式的基本性质 定理1 如果a>b，那么b 定理2 如果a>b，且b>c，那么a>c．(传递性) 即a>b，b>c?a>c 定理3 如果a>b，那么a+c>b+c． 即a>b?a+c>b+c 推论如果a>b，且c>d，那么a+c>b+d．(相加法则) 即a>b， c>d?a+c>b+d． 定理4 如果a>b，且c>0，那么ac>bc； 如果a>b，且c<0，那么ac 推论1 如果a>b >0，且c>d>0，那么ac>bd ．(相乘法则) 推论2 若0,(1)n n a b a b n N n >>>∈>则且 定理5 若0,1)a b n N n >>>∈>且 考点3 一元二次不等式c bx ax ++2 >0(a ≠0) 任何一个一元二次不等式,最后都可化为: c bx ax ++2>0或c bx ax ++2<0(a >0)的形式,一元二次不等式的解集与其相应的一元二次方程的根及二次函数的图象有关: (1)若判别式Δ=b 2-4ac >0,设方程c bx ax ++2=0的二根为x 1,x 2(x 1 ①a >0时,其解集为{x |x ②a <0时,其解集为{x |x 1 (2)若Δ=0,则有: ①a >0时,其解集为{x |x ≠- a b ,x ∈R }； ②a <0时,其解集为?. (3)若Δ<0,则有: ①a>0时,其解集为R；②a<0时,其解集为?. 2<0(a≠0)的解集. 类似地,可以讨论c + bx ax+ 考点4 绝对值不等式的解法 不等式|x| 1|x| . 2|x|>a(a>0)的解集为:{x|x>a或x<-a},几何表示为: . 考点5 分式不等式解法 (1)) ()(x g x f >0?f (x )g(x )>0； (2) )()(x g x f <0?f (x )g(x )<0； (3))()(x g x f ≥0?? ??≠≥0)(0)()(x g x g x f ； (4) )()(x g x f ≤0????≠≤0)(0)()(x g x g x f 根轴法：奇穿偶不穿 ?? ???>????≥≥?>)()(0)(0)()()(x g x f x g x f x g x f 定义域型 ???<≥?? ???>≥≥?>0)(0)()]([)(0)(0)()()(2x g x f x g x f x g x f x g x f 或型 ?? ???<>≥?<2)]([)(0)(0)()()(x g x f x g x f x g x f 型 考点8 指对数不等式 指数不等式：转化为代数不等式 ()()()()()(1)()();(01)()()(0,0)()lg lg f x g x f x g x f x a a a f x g x a a a f x g x a b a b f x a b >>?>><>>??> 对数不等式：转化为代数不等式 ()0()0log ()log ()(1)()0; log ()log ()(01)()0()()()()a a a a f x f x f x g x a g x f x g x a g x f x g x f x g x >>????>>?>><????> 四、例题精析 考点1 不等式的定义及比较大小 例1 已知x≠0，比较（x2＋1）2与x4＋x2＋1的大小. 【规范解答】 由题意可知： （x2＋1）2－（x4＋x2＋1） ＝（x4＋2x2＋1）－（x4＋x2＋1） ＝x4＋2x2＋1－x4－x2－1 ＝x2 ∵x≠0 ∴x2＞0 ∴（x2＋1）2－（x4＋x2＋1）＞0 ∴（x2＋1）2＞x4＋x2＋1 【总结与反思】此题属于两个代数式比较大小，但是其中的x有一定的限制，应该在对差值正负判断时引起注意，对于限制条件的应用经常被学生所忽略.本题知识点：乘法公式，去括号法则，合并同类项. 例2 比较a4-b4与4a3(a-b)的大小． 【规范解答】 a 4- b 4 - 4a 3(a-b) =(a-b)(a+b)(a 2+b 2) -4a 3(a-b) = (a-b)(a 3+ a 2b+ab 2+b 3-4a 3 ) ＝(a-b)[(a 2b-a 3)+(ab 3-a 3)+(b 3-a 3)] = - (a-b)2(3a 3+2ab+b 2) =- (a-b)20323322≤????????+???? ??+b b a (当且仅当d ＝b 时取等号) ∴a 4-b 4≥4a 3(a-b) 【总结与反思】“变形”是解题的关键，是最重一步因式分解、配方、凑成若干个平方和等是“变形”的常用方法. x 例3 已知x>y，且y≠0，比较 与1的大小． y 【规范解答】 y y x y x -=-1 ∵x>y ，∴x-y>0 当y<0时，y y x -<0，即y x <1 当y>0时， y y x ->0，即y x 【总结与反思】变形的目的是为了判定符号，此题定号时，要根据字母取值范围，进行分类讨论. 考点2 不等式的基本性质 例4 已和a ＞b ＞c ＞d ＞0，且d c b a ，求证：a ＋d ＞b ＋c