圆的知识点总结归纳
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总结归纳：《 圆》的知识考点 班级 姓名
一、圆的有关概念
1、圆 ??????????????????
?????????????????????????静（集合）动 决定圆的位置， 决定圆的大小。
2、弦、直径 圆内最长的弦是 。
3、弧、半圆 半圆 ，优弧 ，劣弧 。
4、圆心角 ，圆周角 。
5、三角形的外接圆、外心。 →用到：线段的垂直平分线及性质 。
6、三角形的内切圆、内心。 →用到：角的平分线及性质 。 二、圆的有关性质（涉及证明线段相等、角相等，求线、角）
1、圆的对称性 → ??
?中心对称轴对称
对称轴 对称中心
2、垂径定理及其推论
3、弧、弦、圆心角之间的关系定理
4、圆周角定理及推论 →同圆、等圆，同弧、等弧，圆周角
5、切线的性质定理
6、切线长定理 三、判定定理
切线的判定→两种思路：①连半径，证垂直；②作垂直，证半径 四、点、直线、圆与圆的位置关系
1、点与圆的位置关系：
2、直线与圆的位置关系：
3、圆与圆的位置关系： 五、正多边形和圆
1、有关概念：正多边形的中心、半径、中心角及其度数、边心距
中心 半径 中心角 边心距 2、方法思路：构造等腰．．（等边．．）三角形、直角．．三角形，在三角形中求线、角、面积。
六、圆的有关线的长和面积。 1、扇形弧长
扇形弧长L= 扇形周长C= 2、扇形面积、圆锥的侧面积和全面积
r d d C
B
A O
d r d=r
r d r R d r R
d 图3
r
R d
图4r
R
d 图5
r R
d
扇形面积S 扇形=
圆锥侧面积：S=
全面积：S= 注意：求圆心角的方法
3、求面积的方法
直接法→由面积公式直接得到 间接法→即：割补法（和差法）→进行等量代换
七、详细知识点及图解
（一）与圆有关的位置关系 1、点与圆的位置关系:
点在圆内 d
2、直线与圆的位置关系:
直线与圆相离 d>r 无交点 直线与圆相切 有一个交点 直线与圆相交 d 3、圆与圆的位置关系: 外离（图1） 无交点 d>R+r 外切（图2） 有一个交点 相交（图3） 有两个交点 R-r B A B A O B （二）几个重要的性质和定理： 1、垂径定理: 垂径定理：垂直于弦的直径 弦，并且 弦所对的两条弧。 推论1：（1）平分弦 的直径 弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中 2个即可推出其它3个结论。比如如图所示，若有下列5个结论： ①AB 是直径 ②AB ⊥CD ③CE=DE ④ ⑤ 任意先已知其中2个成立，都可以得出其它3个也成立。 2、圆心角定理： 3、圆周角定理: 圆周角定理：同一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的 即：∵∠AOB 和∠ACB 是 所对的圆心角和圆周角 ∴∠AOB=2∠ACB 圆周角定理的推论： 推论1：同弧或等弧所对的圆周角 ；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧 ，所对的弦 。 即：在⊙O 中，∵∠C 、∠D 都是 所对的圆周角 ∴∠C=∠D 推论2：半圆或直径所对的圆周角是 ；反之，圆周角是直角所对的弧是 ，所对的弦是 。 即：在⊙O 中，∵AB 是直径 或∵∠C=90° ∴∠C=90° ∴AB 是直径 推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是 即：在△ABC 中，∵OC=OA=OB ∴△ABC 是直角三角形或∠ACB=90° （注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的 的逆定理。） 4、圆内接四边形: 圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角 （外角等于它的内对角） 即：在⊙O 中，∵四边形ABCD 是内接四边形 ∴∠C+∠BAD=180° B+∠D=180° ∠DAE=∠C P B 5、与切线有关的性质与定理: （1）判定定理：过半径 且 半径的直线是圆的切线 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 即：∵MN ⊥OA 且MN 过半径OA 外端 ∴MN 是⊙O 的切线 （2）性质定理：切线 过切点的半径（如上图） 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点 推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心 (3)切线长定理: 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长 ， 并且这点和圆心的连线 两条切线的夹角。 即：∵PA 、PB 是的两条切线 ∴PA=PB PO 平分∠BPA （三）与圆有关的计算 1、利用垂径定理的计算 方法：如图，连接OC 、OD ，有关计算在Rt △COE 或者Rt △DOE 中进行。 可通过勾股定理直接计算或者设未知数列方程。 2、圆内接正多边形的计算 （1）正三角形 在⊙O 中，△ABC 是正三角形，有关计算在Rt △BOD 中进行，其中∠OBD= 。若OB=1， 则OD= ，AB= 。 （2）正四边形 同理，四边形的有关计算在Rt △OAE 中进行，△OAE 为 三角形。若AB=2， 则AO= ，OE= 。 （3）正六边形 同理，六边形的有关计算在Rt △OAB 中进行，其中∠AOB= 。若AO=2，则OB= 注意：以上有关正多边形的计算最终都是在一些特殊的直角三角形中进行的。 3、扇形周长、面积以及圆锥侧面积的有关计算：记住公式并能活用（顺用逆用） （四）其他的一些知识点： 1、作图： （1）过不在同一直线上的三点作圆：方法：连接任意两点成线段，再作其中垂线，先找到圆心，再作出圆。如果是过四个点呢？ （2）作圆与已知圆相切（内切、外切） （3）利用等分圆周的方法作圆的内接正多边形 2、圆的常见辅助线： （1）作直径；（2）做两条半径，构造等腰三角形； （3）过圆心作弦的垂线（段），平分弦并构造直角