高中数学必修2圆的方程练习题

第四章 圆与方程

一、选择题

1．圆C 1 : x 2＋y 2＋2x ＋8y －8＝0与圆C 2 : x 2＋y 2－4x ＋4y －2＝0的位置关系是( )． A ．相交

B ．外切

C ．内切

D ．相离

2．两圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0与x 2＋y 2＋4x －4y －1＝0的公共切线有( )． A ．1条

B ．2条

C ．3条

D ．4条

3．若圆C 与圆(x ＋2)2＋(y －1)2＝1关于原点对称，则圆C 的方程是( )． A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y －1)2＝1 C ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝1

D ．(x ＋1)2＋(y －2)2＝1

4．与直线l : y ＝2x ＋3平行，且与圆x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0相切的直线方程是( )． A ．x －y ±5＝0 B ．2x －y ＋5＝0 C ．2x －y －5＝0

D ．2x －y ±5＝0

5．直线x －y ＋4＝0被圆x 2＋y 2＋4x －4y ＋6＝0截得的弦长等于( )． A ．2

B ．2

C ．22

D ．42

6．一圆过圆x 2＋y 2－2x ＝0与直线x ＋2y －3＝0的交点，且圆心在y 轴上，则这个圆的方程是( )．

A ．x 2＋y 2＋4y －6＝0

B ．x 2＋y 2＋4x －6＝0

C ．x 2＋y 2－2y ＝0

D ．x 2＋y 2＋4y ＋6＝0

7．圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0上的点到直线x ＋y －14＝0的最大距离与最小距离的差是( )．

A ．30

B ．18

C ．62

D ．52

8．两圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2和(x －b )2＋(y －a )2＝r 2相切，则( )． A ．(a －b )2＝r 2 B ．(a －b )2＝2r 2 C ．(a ＋b )2＝r 2

D ．(a ＋b )2＝2r 2

9．若直线3x －y ＋c ＝0，向右平移1个单位长度再向下平移1个单位，平移后与圆x 2

＋y 2＝10相切，则c 的值为( )．

A ．14或－6

B ．12或－8

C ．8或－12

D ．6或－14

10．设A (3，3，1)，B (1，0，5)，C (0，1，0)，则AB 的中点M 到点C 的距离|CM | ＝( )．

A ．4

53 B ．

2

53 C ．

2

53

D ．213

二、填空题

11．若直线3x－4y＋12＝0与两坐标轴的交点为A，B，则以线段AB为直径的圆的一般方程为____________________．

12．已知直线x＝a与圆(x－1)2＋y2＝1相切，则a的值是_________．

13．直线x＝0被圆x2＋y2―6x―2y―15＝0所截得的弦长为_________．

14．若A(4，－7，1)，B(6，2，z)，|AB|＝11，则z＝_______________．

15．已知P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，P A，PB是圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的两条切线，A，B是切点，C是圆心，则四边形P ACB面积的最小值为．

三、解答题

16．求下列各圆的标准方程：

(1)圆心在直线y＝0上，且圆过两点A(1，4)，B(3，2)；

(2)圆心在直线2x＋y＝0上，且圆与直线x＋y－1＝0切于点M(2，－1)．

17．棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是AB的中点，F是BB1的中点，G是AB1的中点，试建立适当的坐标系，并确定E，F，G三点的坐标．

18．圆心在直线5x―3y―8＝0上的圆与两坐标轴相切，求此圆的方程．

19．已知圆C :(x－1)2＋(y－2)2＝2，点P坐标为(2，－1)，过点P作圆C的切线，切点为A，B．

(1)求直线P A，PB的方程；

(2)求过P点的圆的切线长；

(3)求直线AB的方程．

20．求与x轴相切，圆心C在直线3x－y＝0上，且截直线x－y＝0得的弦长为27的圆的方程．

参考答案

一、选择题 1．A

解析：C 1的标准方程为(x ＋1)2＋(y ＋4)2＝52，半径r 1＝5；C 2的标准方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝(10)2，半径r 2＝10．圆心距d ＝224 － 2 ＋ 1 ＋ 2)()(＝13．

因为C 2的圆心在C 1内部，且r 1＝5＜r 2＋d ，所以两圆相交． 2．C

解析：因为两圆的标准方程分别为(x －2)2＋(y ＋1)2＝4，(x ＋2)2＋(y －2)2＝9， 所以两圆的圆心距d ＝222 － 1 － ＋ 2 ＋ 2)()(＝5． 因为r 1＝2，r 2＝3，

所以d ＝r 1＋r 2＝5，即两圆外切，故公切线有3条． 3．A

解析：已知圆的圆心是(－2，1)，半径是1，所求圆的方程是(x －2)2＋(y ＋1)2＝1． 4．D

解析：设所求直线方程为y ＝2x ＋b ，即2x －y ＋b ＝0．圆x 2＋y 2―2x ―4y ＋4＝0的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝1．由

2

2

1

＋ 2 ＋ 2 － 2 b ＝1解得b ＝±5．

故所求直线的方程为2x －y ±5＝0． 5．C

解析：因为圆的标准方程为(x ＋2)2＋(y －2)2＝2，显然直线x －y ＋4＝0经过圆心． 所以截得的弦长等于圆的直径长．即弦长等于22． 6．A

解析：如图，设直线与已知圆交于A ，B 两点，所求圆的圆心为C ．

依条件可知过已知圆的圆心与点C 的直线与已知直线垂直． 因为已知圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝1，圆心为(1，0)， 所以过点(1，0)且与已知直线x ＋2y －3＝0垂直的直线方程为y ＝2x －2．令x ＝0，得C (0，－2)．

联立方程x 2＋y 2－2x ＝0与x ＋2y －3＝0可求出交点A (1，1)．故所求圆的半径r ＝|AC |＝223 ＋ 1＝10．

(第6题)

所以所求圆的方程为x 2＋(y ＋2)2＝10，即x 2＋y 2＋4y －6＝0． 7．C

解析：因为圆的标准方程为(x －2)2＋(y －2)2＝(32)2，所以圆心为(2，2)，r ＝32． 设圆心到直线的距离为d ，d ＝

2

10＞r ，

所以最大距离与最小距离的差等于(d ＋r )－(d －r )＝2r ＝62． 8．B

解析：由于两圆半径均为|r |，故两圆的位置关系只能是外切，于是有 (b －a )2＋(a －b )2＝(2r )2． 化简即(a －b )2＝2r 2． 9．A

解析：直线y ＝3x ＋c 向右平移1个单位长度再向下平移1个单位． 平移后的直线方程为y ＝3(x －1)＋c －1，即3x －y ＋c －4＝0． 由直线平移后与圆x 2＋y 2＝10相切，得

2

2

1

＋ 3

4 － ＋ 0 － 0 c ＝10，即|c －4|＝10，

所以c ＝14或－6．

10．C

解析：因为C (0，1，0)，容易求出AB 的中点M ???

??3 ，23 ，2， 所以|CM |＝22

2

0 － 3 ＋ 1 －23 ＋ 0 － 2)()(??

?

??＝

253． 二、填空题

11．x 2＋y 2＋4x －3y ＝0．

解析：令y ＝0，得x ＝－4，所以直线与x 轴的交点A (－4，0)． 令x ＝0，得y ＝3，所以直线与y 轴的交点B (0，3)． 所以AB 的中点，即圆心为??? ?

?

23 2， －． 因为|AB |＝2

2

3 ＋ 4＝5，所以所求圆的方程为(x ＋2)2

＋2

23 － ??? ?

?

y ＝425．

即x 2＋y 2＋4x －3y ＝0． 12．0或2．

解析：画图可知，当垂直于x 轴的直线x ＝a 经过点(0，0)和(2，0)时与圆相切，

所以a 的值是0或2．

13．8．

解析：令圆方程中x ＝0，所以y 2―2y ―15＝0．解得y ＝5，或y ＝－3． 所以圆与直线x ＝0的交点为(0，5)或(0，－3)．

所以直线x ＝0被圆x 2＋y 2―6x ―2y ―15＝0所截得的弦长等于5－(－3)＝8． 14．7或－5．

解析：由2221 － ＋ 7 ＋ 2 ＋ 4 － 6)()()(z ＝11得(z －1)2

＝36．所以z ＝7，或－5．

15．22． 解析：如图，S

四边形

P ACB ＝2S △P AC ＝

2

1

|P A |·|CA |·2＝|P A |，又|P A |＝12－||PC ，故求|P A |最小值，只需求|PC |最小值，另|PC |最小值即C 到直线3x ＋4y ＋8＝0的距离，为

2

2

4

3843＋|＋＋|＝3．

于是S 四边形P ACB 最小值为132－＝22． 三、解答题

16．解：(1)由已知设所求圆的方程为(x －a )2＋y 2＝r 2，于是依题意，得 ??

?

??．＝＋)(，＝＋)(2222 4 － 3 16 － 1r a r a 解得?????．，－20 ＝ 1 ＝ 2r a 故所求圆的方程为(x ＋1)2＋y 2＝20．

(2)因为圆与直线x ＋y －1＝0切于点M (2，－1)，

所以圆心必在过点M (2，－1)且垂直于x ＋y －1＝0的直线l 上． 则l 的方程为y ＋1＝x －2，即y ＝x －3． 由?????．＝＋，－＝023 y x x y 解得?????．

－ ＝，

＝2 1 y x 即圆心为O 1(1，－2)，半径r ＝222 ＋ 1 － ＋ 1 － 2)()(＝2． 故所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝2．

17．解：以D 为坐标原点，分别以射线DA ，DC ，DD 1的方向为正方向，以线段DA ，DC ，DD 1的长为单位长，建立空间直角坐标系Dxyz ，E 点在平面xDy 中，且EA ＝

2

1

． (第15题)

所以点E 的坐标为??

? ??0 ，21 ，

1， 又B 和B 1点的坐标分别为(1，1，0)，(1，1，1)，

所以点F 的坐标为??? ??21 ，1 ，1，同理可得G 点的坐标为??? ?

?21 21 1，，．

18．解：设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， 因为圆与两坐标轴相切，

所以圆心满足|a |＝|b |，即a －b ＝0，或a ＋b ＝0． 又圆心在直线5x ―3y ―8＝0上，

所以5a ―3b ―8＝0．由方程组?????，＝－，＝－－00835b a b a 或?????，＝＋，

＝－－00835b a b a

解得?????，＝，44b a ＝或?????．

＝－，

11＝b a 所以圆心坐标为(4，4)，(1，－1)．

故所求圆的方程为(x －4)2＋(y －4)2＝16，或(x －1)2＋(y ＋1)2＝1．

19．解：(1)设过P 点圆的切线方程为y ＋1＝k (x －2)，即kx ―y ―2k ―1＝0． 因为圆心(1，2)到直线的距离为2，

1

＋ 3 － － 2

k k ＝2， 解得k ＝7，或k ＝－1．

故所求的切线方程为7x ―y ―15＝0，或x ＋y －1＝0．

(2)在Rt △PCA 中，因为|PC |＝222 － 1 － ＋ 1 － 2)()(＝10，|CA |＝2， 所以|P A |2＝|PC |2－|CA |2＝8．所以过点P 的圆的切线长为22．

(3)容易求出k PC ＝－3，所以k AB ＝3

1．

如图，由CA 2

＝CD ·PC ，可求出CD ＝PC CA 2＝10

2

．

设直线AB 的方程为y ＝31

x ＋b ，即x －3y ＋3b ＝0．

由

102＝2

3 ＋ 1 3 ＋ 6 － 1 b 解得b ＝1或b ＝37(舍)．

所以直线AB 的方程为x －3y ＋3＝0．

(3)也可以用联立圆方程与直线方程的方法求解．

20．解：因为圆心C 在直线3x －y ＝0上，设圆心坐标为(a ，3a )，

(第19题)

圆心(a ，3a )到直线x －y ＝0的距离为d ＝2

2 － a ．

又圆与x 轴相切，所以半径r ＝3|a |， 设圆的方程为(x －a )2＋(y －3a )2＝9a 2， 设弦AB 的中点为M ，则|AM |＝7． 在Rt △AMC 中，由勾股定理，得

2

2 2 － ???

?

??a ＋(7)2＝(3|a |)2． 解得a ＝±1，r 2＝9．

故所求的圆的方程是(x －1)2＋(y －3)2＝9，或(x ＋1)2＋(y ＋3)2＝9．

(第20题)

高一数学圆的方程、直线与圆位置关系典型例题

高一数学圆的方程典型例题 类型一：圆的方程 例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系． 分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P 与圆的位置关系，只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内． 解法一：（待定系数法） 设圆的标准方程为2 2 2 )()(r b y a x =-+-．∵圆心在0=y 上，故0=b ．∴圆的方程为 222)(r y a x =+-．又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点． ∴?????=+-=+-2 22 24)3(16)1(r a r a 解之得：1-=a ，202 =r ．所以所求圆的方程为20)1(22=++y x ． 解法二：（直接求出圆心坐标和半径） 因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点，所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上，又因为 13 12 4-=--= AB k ，故l 的斜率为1，又AB 的中点为)3,2(，故AB 的垂直平分线l 的方程为：23-=-x y 即01=+-y x ． 又知圆心在直线0=y 上，故圆心坐标为)0,1(-C ∴半径204)11(2 2=++==AC r ． 故所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x ．又点)4,2(P 到圆心)0,1(-C 的距离为 r PC d >=++==254)12(22．∴点P 在圆外． 例2 求半径为4，与圆04242 2 =---+y x y x 相切，且和直线0=y 相切的圆的方程． 解：则题意，设所求圆的方程为圆2 22)()(r b y a x C =-+-： ． 圆C 与直线0=y 相切，且半径为4，则圆心C 的坐标为)4,(1a C 或)4,(2-a C ． 又已知圆04242 2 =---+y x y x 的圆心A 的坐标为)1,2(，半径为3． 若两圆相切，则734=+=CA 或134=-=CA ． (1)当)4,(1a C 时，2 2 2 7)14()2(=-+-a ，或2 2 2 1)14()2(=-+-a (无解)，故可得 1022±=a ．∴所求圆方程为2224)4()1022(=-+--y x ，或2224)4()1022(=-++-y x ．

高一数学必修2圆方程与直线与圆、圆与圆关系

-- 圆方程与直线与圆、圆与圆关系 一、圆的标准方程 1.圆的定义 (1）条件:平面内到定点的距离等于定长的点的__集合__＿． (2)结论：定点是_圆心__＿＿,定长是___半径__. 2.圆的标准方程 (1）圆心为A （a,b ）,半径长为r 的圆的标准方程为 . (2）圆心在原点,半径长为ｒ的圆的标准方程为 2．点与圆的位置关系 圆C :(x -a )２ ＋(ｙ-ｂ）2=ｒ2(r ＞0），其圆心为(a ,b )，半径为r ，点P (x 0，y 0）,设d =｜PC ｜=错误!. 位置关系 d 与ｒ 的大小 图示 点P 的坐标的特点 点在圆外 ｄ__>__r (x ０-a )2＋(y 0－b )2>r ２ 点在圆上 d ＿_=__r (x 0-ａ)2＋(ｙ0-b ）2=r 2 点在圆内 d __<__ｒ (x ０－a )2+(y ０-b )２ <ｒ2 题型一：圆的标准方程 例1.写出下列各圆的方程： (1)圆心在原点,半径是３； (2)圆心在点C （3,4)处，半径是5； (3）经过点P （5,1)，圆心在点C （８，－３)处 题型二：点与圆的位置关系的判断 例2． 已知两点Ｐ1(3,8)和P 2(５，4)，求以线段P １P 2为直径的圆的方程,并判断点Ｍ(5,3）,N (3, ４）,Ｐ（３,5)是在此圆上，在圆内,还是在圆外？ 变式：若原点在圆(x -1)2+(y ＋2)2=m 的内部，则实数m 的取值范围是( ) A ．m >5 Ｂ．m ＜5 C ．－2＜ｍ＜２ Ｄ.０＜m ＜2 题型三：圆标准方程的求解 例3.求下列条件所决定的圆的方程: （1)已知圆 C 过两点 A (5,１)，B (1,3),圆心在 x 轴上； (x －a )2＋(y －b )2＝r 2 x 2+y 2=r 2

高中数学圆方程典型例题

高中数学圆的方程典型例题 类型一：圆的方程 例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系． 分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P 与圆的位置关系，只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆． 解法一：（待定系数法） 设圆的标准方程为2 22)()(r b y a x =-+-． ∵圆心在0=y 上，故0=b ． ∴圆的方程为222)(r y a x =+-． 又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点． ∴?????=+-=+-22224)3(16)1(r a r a 解之得：1-=a ，202 =r ． 所以所求圆的方程为20)1(2 2=++y x ． 解法二：（直接求出圆心坐标和半径） 因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点，所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上，又因为13 124-=--=AB k ，故l 的斜率为1，又AB 的中点为)3,2(，故AB 的垂直平分线l 的方程为：23-=-x y 即01=+-y x ． 又知圆心在直线0=y 上，故圆心坐标为)0,1(-C ∴半径204)11(2 2=++==AC r ． 故所求圆的方程为20)1(22=++y x ． 又点)4,2(P 到圆心)0,1(-C 的距离为 r PC d >=++==254)12(22． ∴点P 在圆外． 说明：本题利用两种方法求解了圆的方程，都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量，然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系，若将点换成直线又该如何来判定直线与圆的位置关系呢？

圆的方程经典题目带答案

圆的方程经典题目 1．求满足下列条件的圆的方程 （1）过点A(5,2)和B(3,-2)，且圆心在直线32-=x y 上;（2）圆心在835=-y x 上，且与两坐标轴相切;（3）过ABC ?的三个顶点)5,5()2,2()5,1(C B A 、、---;（4）与y 轴相切，圆心在直线03=-y x 上，且直线 x y =截圆所得弦长为72；（5）过原点，与直线1:=x l 相切，与圆1)2()1(:2 2 =-+-y x C 相外切；（6）以C(1,1)为圆心，截直线2-=x y 所得弦长为22;（7）过直线042:=++y x l 和圆0142:2 2 =+-++y x y x C 的交点，且面积最小的圆的方程. （8）已知圆满足①截y 轴所得弦长为2；②被x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为1:3③圆心到直线02:=-y x l 的距离为52.0，求该圆的方程. （9）求经过)3,1()2,4(-B A 两点且在两坐标轴上的四个截距之和是2的圆的方程 2、已知方程0916)41(2)3(24222=++-++-+m y m x m y x 表示一个圆（1）求实数m 的取值范围 （2）求该圆半径r 的取值范围（3）求面积最大的圆的方程（4）求圆心的轨迹方程 1. 已知圆252 2 =+y x , 求下列相应值

（1）过)4,3(-的切线方程（2）过)7,5(的切线方程、切线长；切点弦方程、切点弦长 （3）以)2,1(为中点的弦的方程 （4）过)2,1(的弦的中点轨迹方程 （5）斜率为3的弦的中点的轨迹方程 2. 已知圆 062 2 =+-++m y x y x 与直线032=-+y x 相交于Q P 、两点，O 为坐标原点，若OQ OP ⊥，求实数m 的值． 3、已知直线b x y l +=:与曲线21:x y C -=有两个公共点，求b 的取值范围 4、一束光线通过点)18,25(M 射到x 轴上，被反射到圆25)7(:2 2 =-+y x C 上.求： （1）通过圆心的反射线方程，（2）在x 轴上反射点A 的活动范围. 5、圆03422 2 =-+++y x y x 上到直线0=++m y x 的距离为2的点的个数情况 已知两圆01010:2 2 1=--+y x y x O 和04026:2 2 2=--++y x y x O （1）判断两圆的位置关系 （2）求它们的公共弦所在的方程 （3）求公共弦长 （4）求公共弦为直径的圆的方程． 题型五、最值问题 思路1：几何意义 思路2：参数方程 思路3、换元法 思路4、函数思想 1. 实数y x ,满足012462 2 =+--+y x y x （1）求 x y 的最小值 （2）求2 2y x ++32-y 的最值；（3）求y x 2-的最值（4）|143|-+y x 的最值 2. 圆25)2()1(:2 2=-+-y x C 与)(047)1()12(:R m m y m x m l ∈=--+++．（1）证明：不论m 取什么实数直线l 与圆C 恒相交（2）求直线l 被圆C 截得最短弦长及此时的直线方程 3、平面上有A （1,0），B （-1,0）两点，已知圆的方程为()()2 2 2342x y -+-=.⑴在圆上求一点1P 使△AB 1P 面积最大并求出此面积;⑵求使2 2 AP BP +取得最小值时的点P 的坐标. 4、已知P 是0843:=++y x l 上的动点，PB PA ,是圆01222 2 =+--+y x y x 的两条切线，A 、B 是切点， C 是圆心，那么四边形PACB 的面积的最小值为 5、已知圆的方程为0862 2=--+y x y x .设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为_________ 6、已知圆的方程为0862 2=--+y x y x .设该圆过点（3，5）的互相垂直的弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为_________

高中数学必修2圆的方程练习题

第四章 圆与方程 一、选择题 1．圆C 1 : x 2＋y 2＋2x ＋8y －8＝0与圆C 2 : x 2＋y 2－4x ＋4y －2＝0的位置关系是( )． A ．相交 B ．外切 C ．内切 D ．相离 2．两圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0与x 2＋y 2＋4x －4y －1＝0的公共切线有( )． A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条 3．若圆C 与圆(x ＋2)2＋(y －1)2＝1关于原点对称，则圆C 的方程是( )． A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y －1)2＝1 - C ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝1 D ．(x ＋1)2＋(y －2)2＝1 4．与直线l : y ＝2x ＋3平行，且与圆x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0相切的直线方程是( )． A ．x －y ±5＝0 B ．2x －y ＋5＝0 C ．2x －y －5＝0 D ．2x －y ±5＝0 5．直线x －y ＋4＝0被圆x 2＋y 2＋4x －4y ＋6＝0截得的弦长等于( )． A ．2 B ．2 C ．22 D ．42 6．一圆过圆x 2＋y 2－2x ＝0与直线x ＋2y －3＝0的交点，且圆心在y 轴上，则这个圆的方程是( )． A ．x 2＋y 2＋4y －6＝0 B ．x 2＋y 2＋4x －6＝0 ! C ．x 2＋y 2－2y ＝0 D ．x 2＋y 2＋4y ＋6＝0 7．圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0上的点到直线x ＋y －14＝0的最大距离与最小距离的差是 ( )． A ．30 B ．18 C ．62 D ．52 8．两圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2和(x －b )2＋(y －a )2＝r 2相切，则( )． A ．(a －b )2＝r 2 B ．(a －b )2＝2r 2 C ．(a ＋b )2＝r 2 D ．(a ＋b )2＝2r 2 9．若直线3x －y ＋c ＝0，向右平移1个单位长度再向下平移1个单位，平移后与圆x 2 ＋y 2＝10相切，则c 的值为( )． A ．14或－6 B ．12或－8 C ．8或－12 D ．6或－14 ' 10．设A (3，3，1)，B (1，0，5)，C (0，1，0)，则AB 的中点M 到点C 的距离|CM | ＝( )． A ．4 53 B ． 2 53 C ． 2 53 D ．213

高一数学圆的方程经典例题

典型例题一 例1 圆9)3()3(22=-+-y x 上到直线01143=-+y x 的距离为1的点有几个？ 分析：借助图形直观求解．或先求出直线1l 、2l 的方程，从代数计算中寻找解答． 解法一：圆9)3()3(22=-+-y x 的圆心为)3,3(1O ，半径3=r ． 设圆心1O 到直线01143=-+y x 的距离为d ，则324 311 34332 2 <=+-?+?= d ． 如图，在圆心1O 同侧，与直线01143=-+y x 平行且距离为1的直线1l 与圆有两个交点，这两个交点符合题意． 又123=-=-d r ． ∴与直线01143=-+y x 平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意． ∴符合题意的点共有3个． 解法二：符合题意的点是平行于直线01143=-+y x ，且与之距离为1的直线和圆的交点． 设所求直线为043=++m y x ，则14 3112 2 =++= m d ， ∴511±=+m ，即6-=m ，或16-=m ，也即 06431=-+y x l ：，或016432=-+y x l ：． 设圆9)3()3(2 2 1=-+-y x O ： 的圆心到直线1l 、2l 的距离为1d 、2d ，则 34 36 343322 1=+-?+?=d ，14 316 34332 2 2=+-?+?= d ． ∴1l 与1O 相切，与圆1O 有一个公共点；2l 与圆1O 相交，与圆1O 有两个公共点．即符合题意的点共3个． 说明：对于本题，若不留心，则易发生以下误解：

设圆心1O 到直线01143=-+y x 的距离为d ，则324 311 34332 2 <=+-?+?=d ． ∴圆1O 到01143=-+y x 距离为1的点有两个． 显然，上述误解中的d 是圆心到直线01143=-+y x 的距离，r d <，只能说明此直线与圆有两个交点，而不能说明圆上有两点到此直线的距离为1． 到一条直线的距离等于定值的点，在与此直线距离为这个定值的两条平行直线上，因此题中所求的点就是这两条平行直线与圆的公共点．求直线与圆的公共点个数，一般根据圆与直线的位置关系来判断，即根据圆心与直线的距离和半径的大小比较来判断． 典型例题三 例3 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系． 分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P 与圆的位置关系，只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内． 解法一：（待定系数法） 设圆的标准方程为222)()(r b y a x =-+-． ∵圆心在0=y 上，故0=b ． ∴圆的方程为222)(r y a x =+-． 又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点． ∴?????=+-=+-2 22 24)3(16)1(r a r a 解之得：1-=a ，202 =r ． 所以所求圆的方程为20)1(2 2=++y x ． 解法二：（直接求出圆心坐标和半径） 因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点，所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上，又因为 13 124-=--= AB k ，故l 的斜率为1，又AB 的中点为)3,2(，故AB 的垂直平分线l 的方程为： 23-=-x y 即01=+-y x ． 又知圆心在直线0=y 上，故圆心坐标为)0,1(-C

高中数学圆的方程教案新人教版必修2

第四章圆与方程 本章教材分析 上一章,学生已经学习了直线与方程,知道在直角坐标系中,直线可以用方程表示,通过方程,可以研究直线间的位置关系、直线与直线的交点坐标、点到直线的距离等问题,对数形结合的思想方法有了初步体验.本章将在上章学习了直线与方程的基础上,学习在平面直角坐标系中建立圆的代数方程,运用代数方法研究点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系,了解空间直角坐标系,以便为今后的坐标法研究空间的几何对象奠定基础,这些知识是进一步学习圆锥曲线方程、导数和微积分的基础,在这个过程中进一步体会数形结合的思想,形成用代数方法解决几何问题的能力. 通过方程,研究直线与圆、圆与圆的位置关系是本章的重点内容之一,坐标法不仅是研究几何问题的重要方法,而且是一种广泛应用于其他领域的重要数学方法,通过坐标系把点和坐标、曲线和方程联系起来,实现了形和数的统一,因此在教学过程中,要始终贯穿坐标法这一重要思想,不怕反复.用坐标法解决几何问题时,先用坐标和方程表示相应的几何元素:点、直线、圆;然后对坐标和方程进行代数运算;最后把运算结果“翻译”成相应的几何结论.这就是坐标法解决几何问题的三步曲.坐标法还可以与平面几何中的综合方法、向量方法建立联系,同时可以推广到空间,解决立体几何问题. 本章教学时间约需9课时,具体分配如下(仅供参考):

§4.1 圆的方程 §4.1.1 圆的标准方程一、教材分析

在初中曾经学习过圆的有关知识,本节内容是在初中所学知识及前几节内容的基础上,进一步运用解析法研究圆的方程,它与其他图形的位置关系及其应用.同时,由于圆也是特殊的圆锥曲线,因此,学习了圆的方程,就为后面学习其他圆锥曲线的方程奠定了基础.也就是说,本节内容在教材体系中起到承上启下的作用,具有重要的地位,在许多实际问题中也有着广泛的应用.由于“圆的方程”一节内容的基础性和应用的广泛性,对圆的标准方程要求层次是“掌握”,为了激发学生的主体意识,教学生学会学习和学会创造,同时培养学生的应用意识,本节内容可采用“引导探究”型教学模式进行教学设计,所谓“引导探究”是教师把教学内容设计为若干问题,从而引导学生进行探究的课堂教学模式,教师在教学过程中,主要着眼于“引”,启发学生“探”,把“引”和“探”有机的结合起来.教师的每项教学措施,都是给学生创造一种思维情境,一种动脑、动手、动口并主动参与的学习机会,激发学生的求知欲,促使学生解决问题. 二、教学目标 1．知识与技能 （1）掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程. （2）会用待定系数法求圆的标准方程. 2．过程与方法 进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，通过圆的标准方程解决实际问题的学习，注意培养学生观察问题发现问题和解决问题的能力. 3．情感态度与价值观 通过运用圆的知识解决实际问题的学习，从而激发学生学习数学的热情和兴趣. 三、教学重点与难点 教学重点：圆的标准方程的推导过程和圆的标准方程特点的明确. 教学难点:会根据不同的已知条件,利用待定系数法求圆的标准方程. 四、课时安排

高中理科椭圆的典型例题

典型例题一 例1 椭圆的一个顶点为()02， A ，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程． 分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置． 解：（1）当()02， A 为长轴端点时，2=a ，1=b ， 椭圆的标准方程为：11 42 2=+ y x ； （2）当()02， A 为短轴端点时，2=b ，4=a ， 椭圆的标准方程为：116 42 2=+ y x ； 说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况． 典型例题二 例2 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率． 解：3 1 222??=c a c ∴223a c =， ∴3 331-= e ． 说明：求椭圆的离心率问题，通常有两种处理方法，一是求a ，求c ，再求比．二是列含a 和c 的齐次方程，再化含e 的方程，解方程即可． 典型例题三 例3 已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆与直线01=-+y x 交于A 、B 两点，M 为AB 中点， OM 的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程． 解：由题意，设椭圆方程为1222 =+y a x ，

由?????=+=-+1012 22y a x y x ，得()0212 22=-+x a x a ， ∴222112a a x x x M +=+=，211 1a x y M M +=-=， 41 12=== a x y k M M OM ，∴42=a ， ∴14 22 =+y x 为所求． 说明：（1）此题求椭圆方程采用的是待定系数法；（2）直线与曲线的综合问题，经常要借用根与系数的关系，来解决弦长、弦中点、弦斜率问题． 典型例题四 例4椭圆19252 2=+y x 上不同三点()11y x A ，，?? ? ??594，B ，()22y x C ，与焦点()04，F 的距离成等差数列． （1）求证821=+x x ； （2）若线段AC 的垂直平分线与x 轴的交点为T ，求直线BT 的斜率k ． 证明：（1）由椭圆方程知5=a ，3=b ，4=c ． 由圆锥曲线的统一定义知： a c x c a AF = -12 ，∴115 4 5x ex a AF -=-=． 同理2545x CF -=．∵BF CF AF 2=+，且5 9 =BF ， ∴51854554521=??? ??-+??? ? ? -x x ，即821=+x x ． （2）因为线段AC 的中点为??? ??+2421y y ，，所以它的垂直平分线方程为 ()422 12 121---= +- x y y x x y y y ． 又∵点T 在x 轴上，设其坐标为()00，x ，代入上式，得() 212 2 21024x x y y x --=-

(完整版)高中数学必修2圆与方程典型例题(可编辑修改word版)

标准方程(x - a )2 + (y - b )2 = r 2 ，圆心 (a , b )，半径为 r 11 11 11 11 0 0 第二节：圆与圆的方程典型例题 一、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。二、圆的方程 （1） ； 点 M (x , y ) 与圆(x - a )2 + ( y - b )2 = r 2 的位置关系： 当(x - a )2 + ( y - b )2 > r 2 ，点在圆外 当(x - a )2 + ( y - b )2 = r 2 ，点在圆上 当(x - a )2 + ( y - b )2 < r 2 ，点在圆内 （2） 一般方程 x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 当 D 2 + E 2 - 4F > 0 时，方程表示圆，此时圆心为?- D E ? ，半径为r = 当 D 2 + E 2 - 4F = 0 时，表示一个点； 当 D 2 + E 2 - 4F < 0 时，方程不表示任何图形。 ,- ? ? 2 2 ? 2 （3） 求圆方程的方法： 一般都采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程， 需求出 a ，b ，r ；若利用一般方程，需要求出 D ，E ，F ； 另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。 例 1 已知方程 x 2 + y 2 - 2(m - 1)x - 2(2m + 3) y + 5m 2 + 10m + 6 = 0 . （1） 此方程表示的图形是否一定是一个圆？请说明理由； （2） 若方程表示的图形是是一个圆，当 m 变化时，它的圆心和半径有什么规律？请说明理由. 答案：(1)方程表示的图形是一个圆；（2）圆心在直线 y =2x +5 上，半径为 2. 练习： 1．方程 x 2 + y 2 + 2x - 4 y - 6 = 0 表示的图形是（ ） Ａ．以(1，- 2) 为圆心， 为半径的圆 Ｂ．以(1，2) 为圆心， 为半径的圆 Ｃ．以(-1，- 2) 为圆心， 为半径的圆 Ｄ．以(-1，2) 为圆心， 为半径的圆 2．过点 A (1，－1)，B (－1，1)且圆心在直线 x ＋y －2＝0 上的圆的方程是( )． A ．(x －3)2＋(y ＋1)2＝4 B ．(x ＋3)2＋(y －1)2＝4 C ．(x －1)2＋(y －1)2＝4 D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4 3．点(1，1) 在圆(x - a )2 + ( y + a )2 = 4 的内部，则 a 的取值范围是（ ） Ａ． -1 < a < 1 Ｂ． 0 < a < 1 Ｃ． a < -1 或 a > 1 Ｄ． a = ±1 4．若 x 2 + y 2 + ( -1)x + 2y + = 0 表示圆，则的取值范围是 5. 若圆 C 的圆心坐标为(2，－3)，且圆 C 经过点 M (5，－7)，则圆 C 的半径为 . 6. 圆心在直线 y ＝x 上且与 x 轴相切于点(1，0)的圆的方程为 ． 7. 以点 C (－2，3)为圆心且与 y 轴相切的圆的方程是 ． 1 D 2 + E 2 - 4F

高一数学必修二《圆与方程》知识点整理

《圆与方程》知识点整理 一、标准方程()() 222 x a y b r -+-= 1.求标准方程的方法——关键是求出圆心(),a b和半径r ①待定系数：往往已知圆上三点坐标，例如教材 119 P例2 ②利用平面几何性质 往往涉及到直线与圆的位置关系，特别是：相切和相交 相切：利用到圆心与切点的连线垂直直线 相交：利用到点到直线的距离公式及垂径定理 二、一般方程 () 2222 040 x y Dx Ey F D E F ++++=+-> 1.220 Ax By Cxy Dx Ey F +++++=表示圆方程则 22 22 00 00 40 40 A B A B C C D E AF D E F A A A ? ? =≠=≠ ? ? ?? =?= ?? ??+-> ? ???? ?+-?> ? ? ????? ? 2.求圆的一般方程一般可采用待定系数法： 3.2240 D E F +->常可用来求有关参数的范围 三、圆系方程： 四、参数方程： 五、点与圆的位置关系 1.判断方法：点到圆心的距离d与半径r的大小关系 d r ?点在圆外 2.涉及最值： （1）圆外一点B，圆上一动点P，讨论PB的最值 min PB BN BC r ==- max PB BM BC r ==+ （2）圆内一点A，圆上一动点P，讨论PA的最值 m i n P A A N r A C ==- max PA AM r AC ==+ 思考：过此A点作最短的弦？（此弦垂直AC）

六、直线与圆的位置关系 1.判断方法（d 为圆心到直线的距离） （1）相离?没有公共点?0d r ? （2）相切?只有一个公共点?0d r ?=?= （3）相交?有两个公共点?0d r ?>?< 这一知识点可以出如此题型：告诉你直线与圆相交让你求有关参数的范围. 2.直线与圆相切 （1）知识要点 ①基本图形 ②主要元素：切点坐标、切线方程、切线长等 问题：直线l 与圆C 相切意味着什么？ 圆心C 到直线l 的距离恰好等于半径r （2）常见题型——求过定点的切线方程 ①切线条数 点在圆外——两条；点在圆上——一条；点在圆内——无 ②求切线方程的方法及注意点．．． i ）点在圆外 如定点()00,P x y ，圆：()()222x a y b r -+-=，[()()22 200x a y b r -+->] 第一步：设切线l 方程()00y y k x x -=- 第二步：通过d r =k ?，从而得到切线方程 特别注意：以上解题步骤仅对k 存在有效，当k 不存在时，应补上——千万不要漏了！ 如：过点()1,1P 作圆22 46120x y x y +--+=的切线，求切线方程. 答案：3410x y -+=和1x = ii ）点在圆上 1） 若点()00x y ，在圆222x y r +=上，则切线方程为200x x y y r += 会在选择题及填空题中运用，但一定要看清题目. 2） 若点()00x y ，在圆()()22 2x a y b r -+-=上，则切线方程为 ()()()()200x a x a y b y b r --+--= 碰到一般方程则可先将一般方程标准化，然后运用上述结果. 由上述分析，我们知道：过一定点求某圆的切线方程，非常重要的第一步就是——判断点与圆的位置关系，得出切线的条数. ③求切线长：利用基本图形，222AP CP r AP =-?= 3.直线与圆相交 （1）求弦长及弦长的应用问题 垂径定理．．．．及勾股定理——常用

高中数学圆的方程典型例题及详细解答

新课标高中数学圆的方程典型例题 类型一：圆的方程 例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系． 分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P 与圆的位置关系，只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内． 解法一：（待定系数法） 设圆的标准方程为2 2 2 )()(r b y a x =-+-． ∵圆心在0=y 上，故0=b ． ∴圆的方程为2 2 2 )(r y a x =+-． 又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点． ∴?????=+-=+-2 22 24)3(16)1(r a r a 解之得：1-=a ，202 =r ． 所以所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x ． 解法二：（直接求出圆心坐标和半径） 因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点，所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上，又因为 13 12 4-=--= AB k ，故l 的斜率为1，又AB 的中点为)3,2(，故AB 的垂直平分线l 的方程为：23-=-x y 即01=+-y x ． 又知圆心在直线0=y 上，故圆心坐标为)0,1(-C ∴半径204)11(2 2= ++==AC r ． 故所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x ． 又点)4,2(P 到圆心)0,1(-C 的距离为 r PC d >=++==254)12(22． ∴点P 在圆外． 说明：本题利用两种方法求解了圆的方程，都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量，然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系，若将点换成直线又该如何来判定直线与圆的位置关系呢？

必修二圆的方程

圆的方程 ()() 2 2 2x a y b r -+-= 1.求标准方程的方法——关键是求出圆心(),a b 和半径r ①待定系数：往往已知圆上三点坐标，例如教材119P 例2 往往涉及到直线与圆的位置关系，特别是：相切和相交 相切：利用到圆心与切点的连线垂直直线 相交：利用到点到直线的距离公式及垂径定理 2.特殊位置的圆的标准方程设法（无需记，关键能理解） 条件 方程形式 圆心在原点 ()222 0x y r r +=≠ 过原点 ()()()2 2 2 2 2 20x a y b a b a b -+-=++≠ 圆心在x 轴上 ()()2 2 2 0x a y r r -+=≠ 圆心在y 轴上 ()()2 2 2 0x y b r r +-=≠ 圆心在x 轴上且过原点 ()()2 2 2 0x a y a a -+=≠ 圆心在y 轴上且过原点 ()()2 2 2 0x y b b b +-=≠ 与x 轴相切 ()()()2 2 2 0x a y b b b -+-=≠ 与y 轴相切 ()()()2 2 2 0x a y b a a -+-=≠ 与两坐标轴都相切 ()()()2 2 2 0x a y b a a b -+-==≠ 二、一般方程 ()2222040x y Dx Ey F D E F ++++=+-> 1.求圆的一般方程一般可采用待定系数法：如教材122P 例r 4 2.2 2 40D E F +->常可用来求相关参数的范围 三、点与圆的位置关系 1.判断方法：点到圆心的距离d 与半径r 的大小关系 d r ?点在圆外 2.涉及最值： （1）圆外一点B ，圆上一动点P ，讨论PB 的最值

高中数学圆的方程典型题型归纳总结

高中数学圆的方程典型题型归纳总结 类型一：巧用圆系求圆的过程 在解析几何中，符合特定条件的某些圆构成一个圆系，一个圆系所具有的共同形式的方程称为圆系方程。常用的圆系方程有如下几种： ⑴以为圆心的同心圆系方程 ⑵过直线与圆的交点的圆系方程 ⑶过两圆和圆的交点的圆系方程 此圆系方程中不包含圆，直接应用该圆系方程，必须检验圆是否满足题意，谨防漏解。 当时，得到两圆公共弦所在直线方程 例1：已知圆与直线相交于两点，为坐标原点，若，求实数的值。 分析：此题最易想到设出，由得到，利用设而不求的思想，联立方程，由根与系数关系得出关于的方程，最后验证得解。倘若充分挖掘本题的几何关系，不难得出在以为直径的圆上。而刚好为直线与圆的交点，选取过直线与圆交点的圆系方程，可极大地简化运算过程。

解：过直线与圆的交点的圆系方程为： ，即 ………………….① 依题意，在以为直径的圆上，则圆心（）显然在直线上，则 ，解之可得 又满足方程①，则故 例2：求过两圆和的交点且面积最小的圆的方程。 解：圆和的公共弦方程为 ，即 过直线与圆的交点的圆系方程为 ，即 依题意，欲使所求圆面积最小，只需圆半径最小，则两圆的公共弦必为所求圆的直径，圆心 必在公共弦所在直线上。即，则代回圆系方程得所求圆方程 例3:求证：m为任意实数时，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5恒过一定点P，并求P点坐标。分析：不论m为何实数时，直线恒过定点，因此，这个定点就一定是直线系中任意两直线的交点。

解：由原方程得 m(x ＋2y －1)－(x ＋y －5)＝0，① 即 ?? ?-==???=-+=-+4y 9 x 05y x 01y 2x 解得， ∴直线过定点P （9，－4） 注：方程①可看作经过两直线交点的直线系。 例4已知圆C ：（x －1）2＋（y －2）2＝25，直线l ：（2m +1）x +（m +1）y －7m －4=0（m ∈R ）. （1）证明：不论m 取什么实数，直线l 与圆恒交于两点； （2）求直线被圆C 截得的弦长最小时l 的方程. 剖析：直线过定点，而该定点在圆内，此题便可解得. （1）证明：l 的方程（x +y －4）+m （2x +y －7）=0. 2x +y －7=0， x =3， x +y －4=0， y =1， 即l 恒过定点A （3，1）. ∵圆心C （1，2），｜AC ｜＝5＜5（半径）， ∴点A 在圆C 内，从而直线l 恒与圆C 相交于两点. （2）解：弦长最小时，l ⊥AC ，由k AC ＝－2 1 ， ∴l 的方程为2x －y －5=0. 评述：若定点A 在圆外，要使直线与圆相交则需要什么条件呢？ 思考讨论 类型二：直线与圆的位置关系 ∵m ∈R ，∴ 得

《椭圆》方程典型例题20例(含标准答案)

《椭圆》方程典型例题20例 典型例题一 例1 椭圆的一个顶点为()02，A ， 其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程． 分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置． 解：（1）当()02，A 为长轴端点时，2=a ，1=b ， 椭圆的标准方程为：11 42 2=+ y x ； （2）当()02，A 为短轴端点时，2=b ，4=a ， 椭圆的标准方程为：116 42 2=+ y x ； 说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况． 典型例题二 例2 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率． 解：3 1 222??=c a c ∴223a c =， ∴3 331- = e ． 说明：求椭圆的离心率问题，通常有两种处理方法，一是求a ，求c ，再求比．二是列含a 和c 的齐次方程，再化含e 的方程，解方程即可． 典型例题三 例3 已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆与直线01=-+y x 交于A 、B 两点， M 为AB 中点，OM 的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程． 解：由题意，设椭圆方程为1222 =+y a x ， 由?????=+=-+1012 22y a x y x ，得()021222=-+x a x a ， ∴22 2112a a x x x M +=+=，2111a x y M M +=-=，

4 1 12=== a x y k M M OM ，∴42=a ， ∴14 22 =+y x 为所求． 说明：（1）此题求椭圆方程采用的是待定系数法；（2）直线与曲线的综合问题，经常要借用根与系数的关系，来解决弦长、弦中点、弦斜率问题． 典型例题四 例4椭圆19252 2=+y x 上不同三点()11y x A ，，?? ? ??594，B ，()22y x C ，与焦点()04，F 的 距离成等差数列． （1）求证821=+x x ； （2）若线段AC 的垂直平分线与x 轴的交点为T ，求直线BT 的斜率k ． 证明：（1）由椭圆方程知5=a ，3=b ，4=c ． 由圆锥曲线的统一定义知： a c x c a AF =-12 ， ∴ 115 4 5x ex a AF -=-=． 同理 25 4 5x CF - =． ∵ BF CF AF 2=+，且5 9= BF ， ∴ 51854554521=??? ??-+??? ? ? -x x ， 即 821=+x x ． （2）因为线段AC 的中点为??? ? ?+2421y y ，，所以它的垂直平分线方程为 ()422 12 121---= +- x y y x x y y y ． 又∵点T 在x 轴上，设其坐标为()00，x ，代入上式，得 () 2122 21024x x y y x --=-

圆方程知识点总结典型例题

圆与方程 1. 圆的标准方程：以点),(b a C 为圆心，r 为半径的圆的标准方程是222)()(r b y a x =-+-. 特例：圆心在坐标原点，半径为r 的圆的方程是：222r y x =+. 2. 点与圆的位置关系： (1). 设点到圆心的距离为d ，圆半径为r ： a.点在圆内 d ＜r ； b.点在圆上 d=r ； c.点在圆外 d ＞r (2). 给定点),(00y x M 及圆222)()(:r b y a x C =-+-. ①M 在圆C 内22020)()(r b y a x <-+-? ②M 在圆C 上22020)()r b y a x =-+-? （ ③M 在圆C 外22020)()(r b y a x >-+-? （3）涉及最值： ① 圆外一点B ，圆上一动点P ，讨论PB 的最值 min PB BN BC r ==- max PB BM BC r ==+ ② 圆内一点A ，圆上一动点P ，讨论PA 的最值 min PA AN r AC ==- max PA AM r AC ==+ 思考：过此A 点作最短的弦（此弦垂直AC ） 3. 圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x .

(1) 当042 2 >-+F E D 时，方程表示一个圆，其中圆心??? ??--2,2 E D C ，半径2 422F E D r -+= . (2) 当0422=-+F E D 时，方程表示一个点??? ??-- 2,2 E D . (3) 当0422<-+ F E D 时，方程不表示任何图形. 注：方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的充要条件是：0=B 且0≠=C A 且 0422φAF E D -+. 4. 直线与圆的位置关系： 直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+- 圆心到直线的距离2 2 B A C Bb Aa d +++= 1）无交点直线与圆相离??>r d ； 2）只有一个交点直线与圆相切??=r d ； 3）有两个交点直线与圆相交???时，直线与圆有2个交点，，直线与圆相交； （2）当0=?时，直线与圆只有1个交点，直线与圆相切； （3）当0

最新高中数学-必修二-圆与方程-经典例题--整理

习题精选精讲圆标准方程 已知圆心),(b a C 和半径r ，即得圆的标准方程222)()(r b y a x =-+-；已知圆的标准方程222)()(r b y a x =-+-，即得圆心),(b a C 和半径r ，进而可解得与圆有关的任何问题. 一、求圆的方程 例1 以点)1,2(-为圆心且与直线0543=+-y x 相切的圆的方程为( ) (A)3)1()2(22=++-y x (B)3)1()2(22=-++y x (C)9)1()2(22=++-y x (D)9)1()2(22=-++y x 二、位置关系问题 例2 直线1=+y x 与圆0222=-+ay y x )0(>a 没有公共点，则a 的取值范围是( ) (A))12,0(- (B))12,12(+- (C))12,12(+-- (D))12,0(+ 三、切线问题 例3 (06重庆卷理) 过坐标原点且与圆02 52422=++-+y x y x 相切的直线方程为( ) (A)x y 3-=或x y 31= (B)x y 3=或x y 3 1-= (C)x y 3-=或x y 31-= (D)x y 3=或x y 31= 四、弦长问题 例4设直线03=+-y ax 与圆4)2()1(22=-+-y x 相交于B A 、两点，且弦AB 的长为32，则=a . 五、夹角问题 例5 从圆012222=+-+-y y x x 外一点)2,3(P 向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为( ) (A)21 (B)5 3 (C)23 (D) 0 六、圆心角问题 例6 过点)2,1(的直线l 将圆4)2(22=+-y x 分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l 的斜率=k . 七、最值问题 例7 圆0104422=---+y x y x 上的点到直线14-+y x 0=的最大距离与最小距离的差是( ) (A) 30 (B) 18 (C)26 (D)25 八、综合问题 例8 若圆0104422=---+y x y x 上至少有三个不同的点到直线0:=+by ax l 的距离为22，则直线l 的倾斜角的取值范围是( ) (A)]4,12[ π π (B)]125,12[ππ (C)]3,6[ππ (D)]2,0[π