2017-2018北京市海淀区高三数学一模理科试题及答案
2017-2018北京市海淀区高三数学一模理科试题及答案
海淀区高三年级第二学期期中练习
数学(理)参考答案与评分标准2018.4 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题
列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
注：第12、14题第一空均为3分，第二空均为2分。
三、解答题共6小题，共80分。解答题应写出解答步骤。
15. （本题满分13分）
（Ⅰ）
2()cos 2cos 16666
f ππππ
=+-
2
1
21222??=?+?- ? ???
2
= ··································· 3分
（Ⅱ）
()2cos 2f x x x
=
+ 2sin(2)
6
x π
=+
因为函数sin y x =的单调递增区间为2,22
2k k π
πππ?
?
-+
???
?
（k ∈Z ），
令
2222
6
2
k x k π
π
π
ππ-
≤+
≤+
（k ∈Z ），
解得 3
6
k x k π
π
ππ-
≤≤+
（k ∈Z ），
故()f x 的单调递增区间为[,]
36
k k π
π
ππ-
+（k ∈Z ） 13分
16. （本题满分13分）
（Ⅰ）设事件A ：从上表12个月中，随机取出1个月，该月甲地空气月平均相对湿度有利于病毒繁殖和传播. 用i
A 表示事件抽取的月份为第i 月，则
123456789101112{,,,,,,,,,,,}A A A A A A A A A A A A Ω=共12个基本事件，
26891011{,,,,,}
A A A A A A A =共6个基本事件，
所以，
61()122
P A =
=. ·························· 4分
（Ⅱ）在第一季度和第二季度的6个月中，甲、乙两地空气月平均相对湿度都有利于病毒繁殖和传播的月份只有2月和6月，故X 所有可能的取值为0，1，2.
2
42662
(0)155
C P X C ====
，
1124268
(1)15
C C P X C ===
，
2
2261
(2)15
C P X C ===
随机变量X 的分布列为
（Ⅲ）M 的最大值为58%，最小值为54%. ······ 13分
17.（本题满分14分） （Ⅰ）方法1：
O
P
C
A
B
设AC 的中点为O ，连接BO ，PO . 由题意
PA PB PC ===1PO =，1AO BO CO ===
因为 在PAC ?中，PA PC =，O 为AC 的中点
所以
PO AC
⊥，
因为 在POB ?中，1PO =，1OB =
，PB =所以 PO OB
⊥
因为 AC OB O
=，,AC OB ?平面ABC
所以 PO ⊥平面ABC
因为
PO ?
平面PAC ·
·························· 4分 所以 平面PAC ⊥平面ABC 方法2：
O
P
C
A
设AC 的中点为O ，连接BO ，PO . 因为 在PAC ?中，PA PC =，O 为AC 的中点 所以 PO AC
⊥，
因为 PA PB PC
==，PO PO PO ==，AO BO CO ==
所以
POA
?≌POB ?≌POC ?
所以
90POA POB POC ∠=∠=∠=?
所以PO OB
⊥
因为AC OB O =，,AC OB?平面ABC
所以PO⊥平面ABC
因为PO?平面PAC···························4分所以平面PAC⊥平面ABC
方法3：
O P
C
A B
Q
设AC的中点为O，连接PO，因为在PAC
?中，PA PC
=，所以PO AC
⊥
设AB的中点Q，连接PQ，OQ及OB.
因为在OAB
?中，OA OB
=，Q为AB的中点
所以OQ AB
⊥.
因为在PAB
?中，PA PB
=，Q为AB的中点
所以PQ AB
⊥.
因为PQ OQ Q=，,PQ OQ?平面OPQ
所以AB⊥平面OPQ
因为 OP ?
平面OPQ 所以 OP AB
⊥
因为 AB AC A
=，,AB AC ?平面ABC
所以 PO ⊥平面ABC
因为
PO ?
平面PAC ·
·························· 4分 所以 平面PAC ⊥平面ABC
（Ⅱ）由PO ⊥平面ABC ，OB AC ⊥，如图建立空间直角坐标系，则
(0,0,0)O ，(1,0,0)C ，(0,1,0)B ，(1,0,0)A -，(0,0,1)P
由OB ⊥平面APC ，故平面APC 的法向量为(0,1,0)OB = 由(1,1,0)BC =-，(1,0,1)PC =-
设平面PBC 的法向量为(,,)n x y z =，则 由
BC PC ??=?
?=?n n 得：
00
x y x z -=??
-=?
令1x =，得1y =，1z =，即(1,1,1)n =
cos ,||||3n OB n OB n OB ?<>=
==
?
由二面角A PC B --是锐二面角， 所以二面角
A PC B
-- ········ 9分
（Ⅲ）设BN BP μ=，01μ≤≤，则
(1,1,0)(1,0,1)(1,1,)BM BC CM BC CP λλλλ=+=+=-+-=--
(1,1,0)(0,1,1)(1,1,)
AN AB BN AB BP μμμμ=+=+=+-=-
令0BM AN ?=
得(1)1(1)(1)0λμλμ-?+-?-+?= 即1111λ
μλλ
=
=-
++，μ是关于λ的单调递增函数，
当12
[,]33
λ∈时，12[,]45
μ∈， 所以12
[,]45
BN BP ∈ ·································· 14分
18.
（本题满分13分）
（Ⅰ）当0
a =时，
ln ()x
f x x
=
故
22
1
ln 1ln '()x x
x x f x x x ?--==
令'()0f x >，得0x < 故()f x 的单调递增区间为(0,)e ··········· 4分 （Ⅱ）方法1：2 2 ln 1ln '()()()x a a x x x x f x x a x a +-+-==++ 令 ()1ln a g x x x =+ - 则22 1'()0a x a g x x x x +=- -=-< 由 ()0a g = >e e ， 11 1 1()1(1)( 1)0 a a a a g a a e e +++=+ -+=?- 故存在 10(,) a x +∈e e ，0 ()0g x = 故当0 (0,)x x ∈时，()0g x >；当0 (,)x x ∈+∞时，()0g x < 故02 ()f x = e 故 0002 01ln 0ln 1 a x x x x a ?+-=??? ?=?+?e ，解得 2 02x a ?=??=??e e ················· 13分 故a 的值为2 e . （Ⅱ）方法2： ()f x 的最大值为 2 1 e 的充要条件为对任意的(0,)x ∈+∞， 2 ln 1 x x a ≤+e 且存在 0(0,) x ∈+∞，使得 02 0ln 1 x x a =+e ，等价于 对任意的(0,)x ∈+∞，2 ln a x x ≥-e 且存在 0(0,) x ∈+∞，使得 200 ln a x x ≥-e ， 等价于2 ()ln g x x x =-e 的最大值为a . 2 '()1 g x x =-e ， 令'()0g x =，得2 x =e . 故()g x 的最大值为22 222 ()ln g =- =e e e e e ，即2a =e . 13分 （19）（本小题14分） （Ⅰ）由题意2222241 1a b a b c c e a ?+=???-=?? ?==?? ， 解得：a =b =c = 故椭圆C 的标准方程为22 182 x y += ········· 5分 （Ⅱ）假设直线TP 或TQ 的斜率不存在，则P 点或Q 点的坐标为(2，－1)，直线l 的方程为11(2)2y x +=-，即1 22 y x =-. 联立方程 22 182122 x y y x ?+=??? ?=-??，得2 440 x x -+=， 此时，直线l 与椭圆C 相切，不合题意. 故直线TP 和TQ 的斜率存在. 方法1： 设1 1 (,)P x y ，2 2 (,)Q x y ，则 直线111 :1(2)2 y TP y x x --= --， 直线221 :1(2)2 y TQ y x x --= -- 故 112||21 x OM y -=- -， 222 ||21 x ON y -=- - 由直线 1:2 OT y x = ，设直线 1:2 PQ y x t = +（0t ≠） 联立方程，22 22182224012 x y x tx t y x t ?+=???++-=? ?=+?? 当 ?>时， 122x x t +=-， 21224 x x t ?=- ||||OM ON +121222 4( )11 x x y y --=-+-- 12122 2 4( ) 1 1 112 2x x x t x t --=-+ +-+- 121221212(2)()4(1)411 (1)()(1)42 x x t x x t x x t x x t +-+--=- +-++- 22224(2)(2)4(1)411 (24)(1)(2)(1)42t t t t t t t t -+----=- -+-?-+- 4 = ······················· 14分 方法2： 设1 1 (,)P x y ，2 2 (,)Q x y ，直线TP 和TQ 的斜率分别为1 k 和2 k 由 1 :2 OT y x = ，设直线 1:2 PQ y x t = +（0t ≠） 联立方程，22 22182224012 x y x tx t y x t ?+=???++-=? ?=+?? 当 ?>时， 122x x t +=-， 21224 x x t ?=- 12k k +12121122 y y x x --= + -- 121211112222x t x t x x +-+-=+-- 121212(2)()4(1) (2)(2) x x t x x t x x +-+--= -- 21224(2)(2)4(1)(2)(2) t t t t x x -+----= -- = 故直线TP 和直线TQ 的斜率和为零 故TMN TNM ∠=∠ 故TM TN = 故T 在线段MN 的中垂线上，即MN 的中点横坐标为2 故||||4OM ON += · ····························· 14分 20. （本题满分13分） （Ⅰ）A 是“N -数表 ”，其“N -值”为3，B 不是“N -数表”. ······················································· 3分 （Ⅱ）假设,i j a 和',' i j a 均是数表A 的“N -值”， ① 若'i i =，则,,1,2,',1',2',',' max{,,...,}max{,,...,}i j i i i n i i i n i j a a a a a a a a ===； ② 若'j j =，则,1,2,,1,'2,','',' min{,,...,}min{,,...,}i j j j n j j j n j i j a a a a a a a a === ； ③ 若'i i ≠，'j j ≠，则一方面 ,,1,2,,'1,'2,','',' max{,,...,}min{,,...,}i j i i i n i j j j n j i j a a a a a a a a a =>>=， 另一方面 ','',1',2',',1,2,,,max{,,...,}min{,,...,}i j i i i n i j j j n j i j a a a a a a a a a =>>=； 矛盾. 即若数表A 是“N -数表”，则其“N -值”是唯一 的. · ··················································· 8分 （Ⅲ）方法1： 对任意的由1，2，3，…，361组成的19行19列的数表 ,1919 ()i j A a ?=. 定义数表,1919 () j i B b ?=如下，将数表A 的第i 行，第j 列的元 素写在数表B 的第j 行，第i 列，即 ,,j i i j b a =（其中119i ≤≤，119j ≤≤） 显然有： ① 数表B 是由1，2，3，…，361组成的19行19列的数表 ② 数表B 的第j 行的元素，即为数表A 的第j 列的元素 ③ 数表B 的第i 列的元素，即为数表A 的第i 行的元素 ④ 若数表A 中，,i j a 是第i 行中的最大值，也是第j 列 中的最小值 则数表B 中，,j i b 是第i 列中的最大值，也是第j 行 中的最小值. 定义数表,1919 () j i C c ?=如下，其与数表B 对应位置的元素的 和为362，即 ,,362j i j i c b =-（其中119i ≤≤，119j ≤≤） 显然有 ① 数表C 是由1，2，3，…，361组成的19行19列的数 表 ② 若数表B 中，,j i b 是第i 列中的最大值，也是第j 列 中的最小值 则数表C 中，,j i c 是第i 列中的最小值，也是第j 列 中的最大值 特别地，对由1，2，3，…，361组成的19行19列的数表 ,1919 ()i j A a ?= ① 数表C 是由1，2，3，…，361组成的19行19列的数 表 ② 若数表A 中，,i j a 是第i 行中的最大值，也是第j 列 中的最小值 则数表C 中，,j i c 是第i 列中的最小值，也是第j 列 中的最大值 即对任意的19 A ∈Ω，其“N -值”为,i j a （其中119i ≤≤，119j ≤≤）， 则19 C ∈Ω，且其“N -值”为,,,362362j i j i i j c b a =-=-. 记()C T A =，则()T C A =，即数表A 与数表()C T A =的“N -值”之和为362， 故可按照上述方式对19 Ω中的数表两两配对，使得每 对数表的 “N -值”之和为362， 故X 的数学期望()181E X =. ···················· 13分 方法2： X 所有可能的取值为19,20,21,...,341,342,343. 记 19 Ω中使得 X k =的数表 A 的个数记作 k n ， 19,20,21,...,341,342,343k =，则 218182 136119[(18)!] k k k n C C --=???. 则 218182 362361119[(18)!]k k k k n C C n ---=???=，则 343 343 343 36219 19 19 343 343 343 19 19 19 (362) ()k k k k k k k k k k k k n k n k n k E X n n n -======???-= = = ∑∑∑∑∑∑， 故343 343 1919 343 343 19 19 (362) 2()362 k k k k k k k k n k n k E X n n ====??-=+=∑∑∑∑，()181E X =. · ·· 13分