(完整版)高等数学-微分方程证明题
高等数学
一、证明题（共 52 小题，）
1、验证32
213
1
t t C C x ++=是方程tx x t ''-'=2
的通解。
2、证明：由参数方程x t t y t t C =+=+++?
??????31321413
3
32()所确定的函数y y x C =(,)是方程
x y xy 3330+'-'=的通解。
3、证明：()x C y C ++=22
2
1（C C 12,为任意常数）是方程102
+''+'=yy y 的通解。
4、证明：y e x x =-2333212sin 是初值问题???
????===++==1d d ,00d d d d 0022x x x y y y x y x y 的解。
5、证明：方程'+=y ky kq x ()的通解是y e
C k q u e u kx
ku x
=+?? ???-?()d 0
，其中 C 为任意常数。 6、验证：x x y y C 4224
2++=（C 为任意常数）是方程()d x xy x 32+++=()d x y y y 230的通解。
7、验证：y x e x x C x =+?? ?
?
??d 是微分方程xy y xe x '-=的通解。 8、验证x t t =-223(sin sin )是初值问题
d d sin d d 2200410302
x
t
x t x x t t t +===-??
???
??==的解。 9、验证x y C x C y C 22
123220++++=（C C C 123,,为任意常数）是微分方程
'''+'-'''=y y y y [()]()13022的解，并指出是否是通解。
10、验证y e t =+-321212是初值问题d d y
t
ty t y t +==???
??=22
1的解。
11、验证x y C 222
+=（C 为任意常数）是方程'=-
y x
y
的通解。 12、验证y e
e t Ce x
t x
x =+?
2
d （C 为任意常数）是方程'-=+y y
e x x 2
的通解。
13、验证x t =-+1010052
()是初始值问题d d x
t x t x t =-+=-???
??=210010
0的解。 14、验证方程''+=y y 0的通解是一族曲线y C x C x C C =+1211cos sin (,为任意常数）。 15、验证
e
t x C C t y
-?
++=12
1
20d (为任意常数）所确定的函数是方程'+=y e
y 12
20的通解。
16、验证y A mx B mx A B =+cos sin (,为常数）是方程
d d 22
2
0y x m y +=的解。 17、验证y e
x =-12
2是初值问题d d ()y
x xy
y e x x ==
??
??
?<=-21
0的解。
18、验证
x
y
y C +=ln 是方程y x y x y d ()d +-=0的通解，并确定积分常数 C ，使积分曲线经过点 (,)02e 。
19、验证x x y y C 3
2
2
4
3++=是方程()d ()d 366402
2
2
3
x xy x x y y y +++=的通解。
20、设y x x x x x n n n =-++++++???++?????????
?
??→∞+lim ()!!()!11231221试证明 y 是初始值问题
d d y
x
x y y x =+=???
??=00
的解。 21、验证：当C >0时，曲线族y C x C
=-2122为方程
d d y x y x y x =++?? ?
??12
在(,)0+∞上的解；而当C <0时，该曲线族是上述方程在(,)-∞0上的解。
22、证明：若u x y 10(,)=和u x y 20(,)=是全微分方程M x y x N x y y (,)d (,)d +=0的两个解，则它们只差一个常数。
23、设y x y x 12(),()是方程'+=y p x y q x ()()的两个互异的解，求证：对于该方程中的任何一个解y x ()，恒等
式
y x y x y x y x C ()()
()()
--=121永远成立，其中 C 为常数。
24、证明：y z x e
a t t
x x
=?()()d 0为方程'=+y a x y b x ()()的解的充分必要条件是，z x ()可微且满足方程
'=-?z b x e
a t t x x ()()d 0
。
25、设y x y x 12(),()是方程'+=y p x y q x ()()的两个解，且y y z 21=，试证明：z Ce q x y x x =+-?
11()
()
d 。
26、验证：U Ce
k kt
--=200(为常数）是方程
d d ()U
t
k U =-20的解。 27、试导出方程M x y x N x y y (,)d (,)d +=0有形如u x y (,)的积分因子的充要条件。 28、试导出方程M x y N x y y
x
(,)(,)
d d +=0有f x y ()22+形式的积分因子的条件，并求解：a x y Cx b x y Cy y 22220+-++-'=()
29、验证y y x C 3
4
530--+=（1）是微分方程'=-y x y 1235
3
2
（2）的解。 30、证明：y Cx C 2
2
2=+是微分方程y y x x y x
y d d d d ?? ?
??
+-=2
20（1）的解。 31、证明：y x x 1=
sin 是微分方程''+'+=y x y y 2
0（1）的解。 32、验证y x
x
=sin 是微分方程xy y x '+=cos （1）的解。
33、试验证y x =+14cos 是微分方程''+=y y 1616的一条过点(,)02且在该点切线平行 x 轴的积分曲线。 34、试验证y e
x x
=-sin 是微分方程''+'+=y y y 220的一条在原点处与直线 y x =相切的积分曲线。
35、试验证y x =+
sh 212是微分方程''-=-y y 21的一条过点(,)01
2
，且在该点处的切线与直线y x =
-1
2
12()垂直的积分曲线。 36、如果上半平面的一条向上凸曲线上任一点处的曲率半径等于该点处法线在曲线与 x 轴间的长度，试证此曲线是半圆周。
37、证明函数组：12
2
,sin ,cos ,t t e t
在任何区间[,]a b 上线性相关。 38、验证：12
2,sin ,cos t t 在任何区间上线性相关。
39、设x t ()和y t ()是区间[,]a b 上的连续函数，证明如果在区间 [,]a b 上有
≠)
()
(t y t x 常数，则 x t ()和 )(t y 在 [,]a b 上线性无关。
40、证明：函数12
1
,,,,t t t
n ???-在任何区间[,]a b 上线性无关。
41、已知x t x t 12(),()是微分方程''+'+=x a t x a t x 120()()的两个解，试证明：x C x t C x t C C =+112212
()()(,为任意常数）也是方程的解。
42、设x t x t 12(),()分别为非齐次方程''+'+=x p t x q t x f t ()()()
()1的两个特解，证明：
x t x t x t ()()()=-12是方程(1)对应的齐次方程：''+'+=x p t x q t x ()()()0
2的解。
43、验证：e e t t
2
2
,-是微分方程''-
'-=x t
x t x 1
402的两个线性无关特解，并求此方程的通解。 44、设x t 1()是非齐次线性方程
''+'+=x t a t x t a t x t f t ()()()()()()
()1211
的解。x t 2()是方程
''+'+=x t a t x t a t x t f t ()()()()()()
()1222
的解。试证明
x x t x t =+12()()
是方程
''+'+=+x t a t x t a t x t f t f t ()()()()()()()
()12123
的解。
45、验证函数组：123,,,e e e t
t
t
在任何区间上线性无关。
46、设x t x t 12(),()在[,]a b 上线性无关，证明：y x t x t y x t x t 112212=+=-()(),()()在 ],[b a 也是线性无关。 47、证明：e te t e t
t
t ,,2
在任何区间上线性无关。
48、设x t t t t 121010
12
()()=-≤≤<≤??
?，
x t t t t 22
01
112
()()=≤≤-<≤???
试证明：x t x t 12(),()在[,]02上线性无关。
49、证明：如果函数组x t x t x t n 12(),(),,()???在[,]a b 上有1到n -1阶连续导数，且线性相关，则在[,]a b 上
0)
()1()()1(2)()1(1)()(2
)(1)()
(2)(1),,2,1(≡-???--?
???????????'?
??''?
??=
???t n n x t n x t n x t n
x t x t x t n x t x t x n x x x W
50、若已知微分方程''+'+=x p t x p t x 120()()的一个非零特解为x x t =1()，证明此方程的通解为
x C x t C x t x t e t p t t =+????
?
?-??11211211()()()d ()d
51、验证y e kx y e kx x
x
12==cos ,sin 都是微分方程''-'++=y y k y 2102
()的解，并求此方程的通解，其中k 为非零实常数。
52、证明：若有方程'=-f x f x ()()1，则必有''+=f x f x ()()0，并求解此方程。
高等数学
一、证明题（共 52 小题，）
1、
'=+''=+x C t t x C t 222222,
（4分）
代入方程的左端得
t C t C t t t ()()2222222+-+=
（8分）
又因x C C t t =++
123
13
含有两个任意常数，故x 为方程的通解。
（10分） 2、
对参数方程求导得d d y x t t
=+312
3 （8分）
把它代入方程得恒等式，且y y x C =(,)含有一任意常数C ，故参数方程所确定的函数
y y x C =(,)为通解。
（10分） 方法二
d d ()(),d d ()(),d d x t t t y t t t t y x t t
=-+=-+=+312191213123222332
3 （6分）
代入原方程：
左式=
27127133131033363332
3t t t t t t t t ()()()()
+++-?+?+= （8分）
且所给函数中含有任意常数C ，故它是微分方程x y xy 3
3
30+'-'=的通解。
（10分）
3、
对已知隐函数两边关于x 求导二次得 x C yy ++'=20
（4分）
102+'+''=()y yy
（8分）
且隐函数含有两个任意常数，故它为方程的通解。 （10分）
4、
'=-+--y e x e x x x 33323
2
1
21
2sin cos
（1分）
''=----y e x e x x x 33323
2
1
21
2sin cos
（3分）
代入方程得 ''+'+=y y y 0
（8分）
此外
y y ()()0001
='=
故y e x x =-2333
2
1
2sin 是初始值问题的解。 （10分）
5、
'=-+?? ???+--?y ke
C k q u e u ke q x e kx
ku x
kx kx ()d ()0
（5分）
=-+ky kq x ()
（4分） 所以'+=y ky kq x ()
（8分）
故y e C k q u e u kx ku x
=+?
?
??
?-?
()d 0
是方程的通解。 （10分）
6、
对已知隐函数两边微分得
444403223x x xy x x y y y y d d d d +++=
（5分） 即 ()d ()d x xy x x y y y 3
2
2
3
0+++= （8分） 故已知隐函数为方程的通解。
（10分）
7、
'=+=?y e e x
x C x
x
d
（3分）
xy x e e x x C xe x e x x C xe y x x x
x x '=++?? ???-++?? ??
?=+??d d （7分）
即 xy y xe x
'-= 所以y 是方程的通解。 （10分）
8、 因x t t t t ===-=0
2230(sin sin )
d d (cos cos )x
t
t t t t ===-=-0
0222332
（4分）
d d (sin sin )(sin sin )sin 22
4242934223103x
t x t t t t t +=-++?-=
（8分） 故x t t =-223(sin sin )是初值问题的解。
（10分）
9、
对已知隐函数方程两边关于x 求导得：
x yy C C y +'++'=120
（2分）
上式再对x 求导得
1022+'+''+''=()y yy C y
（1） （4分）
（1）式关于x 求导得
302'''+'''+'''=y y yy C y
（2） （6分）
由（1），（2）消去C 2得
'''+'-'''=y y y y [()]()13022
故知已知函数是微分方程的解，且是通解。
（10分）
10、
y e t t t =-==+=111
321
2
22 （2分） d d ()y t e t t e t t =?-=-?--3223112
2
（6分）
将y y t
,d d 代入原方程，得
-++?? ??
?=--323
2121122te t e t t t
故y 为初始问题的解。
（10分）
11、
对已知隐函数方程两边关于x 求导得
220x yy +'=
即 '=-
y x y
（8分）
此外，x y C 22
2
+=含有任意常数C ，故它是方程的通解。（10分） 12、
'=+?+?
y e
e t e e Ce x
t x
x x x 22
d
（4分） =++y e x x 2
（6分） 即 '-=+y y e x x 2
（8分）
此外，y e e t Ce x
t x x
=+?
2
d 含有一任意常数C ，所以它是方程的通解。
（10分）
13、
d d ()()()x t t t t
=-?-+=?+?+102110021010011005
352 （4分） =-
+2100x
t
（6分）
x
t ==-=-0
5
41010
10
（8分）
所以x t =-+101005
2
()
是初始值问题的解。 （10分）
14、
由于y C x C x =+12cos sin
''=--y C x C x 12cos sin
（8分） 故在(,)-∞+∞上有''+=y y 0 （10分）
15、
对隐函数两边关于x 求导得
e
y
x
y -+=12
210d d （7分）
即
d d y x
e y +=1
220 （10分）
16、
d d sin cos y
x
Am mx Bm mx =-+
d d [cos sin ]22
22
y x
m A mx B mx m y =-+=- （8分）
故 d d 22
20y
x
m y +=
（10分）
17、
当x y
x
xe xy x <=-=-01
22,d d （7分）
y
e e
x x x =--=-==
212
2
21 （9分）
故y e
x =-12
2为初始值问题的解。 （10分）
18、
隐函数两边求微分得
y x x y y y y d d d -+=2
1
0 整理得：
y x y x y d ()d +-=0
故知
x
y
y C +=ln 是方程通解。 （5分）
此外
x
y
y x y e +===ln 02
2
所以过点(,)02
e 的积分曲线为x
y
y +=ln 2。 （10分）
19、
对隐函数两边微分得
366402223x x xy x x y y y y d d d d +++=
（4分）
整理得
()d ()d 366402223x xy x x y y y +++=
（8分） 且隐函数含有任意常数，故为方程的通解。
（10分）
20、
y x x e x ()()=-++1 （4分） '=-+=+y e x y x 1
（8分）
y ()00=
故y 为初始值问题的解。
（10分）
21、 将y C x C =
-2122代入方程左端得：d d y
x
Cx =
代入方程的右端得
y x y x C x Cx C x Cx
++?? ???=-++112122
2222
（6分）
当Cx >0时，两端恒等；当Cx <0时，两端不恒等；所以当C >0时，函数为方程在(,)0+∞上
的解；而当C <0时，则为(,)-∞0上的解。（10分）
22、
证：由题设d (,)d (,)d u M x y x N x y y 1=+
d (,)d (,)d u M x y x N x y y 2=+
（4分） 则 d()u u 120-=
（8分）
u u C 12-=
u u C 12=+
（10分）
23、
证：因y x y x y x (),(),()12都是微分方程的解 即
'+='+='+=???
??y x p x y x q x y x p x y x q x y x p x y x q x ()()()()()()()()()()()()()()
()
1231
12
2
()():()()()[()()]()():()()()[()()]120
320
112121-'-'+-=-'-'+-=y x y x p x y x y x y x y x p x y x y x
则
y x y x C e y x y x C e
p x x p x x
()()()()()d ()d -=-=-?-?11212
故 y x y x y x y x C ()()
()()
--=121
（10分）
另证：y x y x 21()()-适合()()()y y y y p x 21210-'+-=，即它是齐次方程'+=y p x ()0的解
（4分）
故原方程的通解为
y x y C y y ()()=+-121 （8分）
即 y x y x y x y x C ()()
()()
--=121
（10分）
24、
证明：（1）如果y z x e a t t
x x
=?()()d 0是方程的解，则有
'=+y a x b x ()()
'+=+???z x e
z x e
a x a x z x e
b x a t t
a t t
a t t
x x
x x
x x
()()()()()()()d ()d ()d 000
整理得：
'=-?z b x e
a t t
x x
()()d 0 （5分）
（2）如果'=-?z b x e
a t t
x x
()()d 0，则
z x b x e x y z x e
b x e
x e
a t t a t t
a t t
a t t
x x
x x
x x x x
()()d ()()d ()d ()d ()d ()d ===???-??-??0000
求导得：'=+y a x y b x ()() 说明y z x e a t t
x x
=?()()d 0是方程的解。 （10分）
25、
证明：因为y y z 21=是方程的解，故有
()()'++'=y py z z y q x 111
又因为y 1是方程的解，所以'+=y p x y q x 11()()，上式化为
q x z z y q x ()()+'=1
（6分）
这是一个变量可分离微分方程：y z
x
q x z 11d d ()()=+ 所以：
d ()
d ln()()
d z z q x y x z q x y x C -+=--+=-+?
111
1
1 所以 z Ce
q x y x =+-?
()
d 1
1
（10分）
26、
d d U
t
kCe kt -=0 （1） （2分）
由U Ce kt
--=200解得
Ce U kt =-()20
（7分）
将代入式（1）得
d d ()U
t
k U =-20 （10分）
27、
一般，u x y (,)是积分因子的充要条件是
N
u x M u
y u M y N x ????????-=-?????
? 若u x y u x y (,)()=+，记z x y =+，则u x y u z ()()+=
??????u x u z z x u z u y u z
=?=?=d d d d d d （4分）
因而有
()
d d N M u
z u M y
N x -=-?? ??????? ()d d u u M y N x N M z =-?? ??
?-????
（8分）
即 u z C N M M y
N x z ()exp d =--?? ????
??
?
???1???? 故得u x y ()+为积分因子的充要条件为
()?????M y
N x N M x y -?? ?
??-=+()
（10分）
28、 （1）
[][]
????y f x y M x y x
f x y N x y ()(,)()(,)2222+=+ 即
'=-?? ???-f f N x
M y yM x y xN x y ????2((,)(,)) （2分）
记z x y =+2
2
，上式变为
d ()()((,)(,))f z f z N x M y yM x y xN x y =-?? ??
?-????2 （4分）
故若?????N x
M y yM x y xN x y x y -?? ???-=+222
((,)(,))()时，方程有形式f x y ()22+的积分因子
（6分）
（2）可以求得方程的积分因子为：f x y x y
()2
2
2
2
1+=
+
以
12
2
x y
+乘方程两边得全微分方程
a Cx x y x
b Cy x y y -+?? ????+-+?? ????=22220d d
求得通解为：
ax by C x y C +-+=22
（10分）
29、
对函数y y x C 34
530--+=两边关于x 求导得
3512023y y y x '-'-=
（6分）
'=-y x y 1235
3
故由y y x C 3
4
530--+=确定的函数y y x =()是方程的解。（10分） 30、
证法一：由y Cx C 2
2
2=+得：yy C '=代回原式
y yy x y y 2222='+'
即 yy xy y '+'-=2
20
故y Cx C 2
2
2=+是微分方程yy xy y '+'-=2
20的解。 证法二：将y Cx C 2
2
2=+两边关于x 求导得
22y
y
x
C d d =
（2分）
从而解得C y y
x
=d d
y y y x x y y x 22
2=?? ???+?? ??
?d d d d
（6分）
当y ≠0时，则有
y y x x y x
y d d d d ?? ?
??+-=2
20 （9分）
此外，y =0显然满足方程（1），故
y Cx C 222=+
是方程（1）的解。
（10分）
31、 证法一：'=
-y x x x
x
cos sin 2，即xy y x '+=cos （3分） 再对x 求导：xy y x ''+'=-2sin （6分） 即 ''+
'-=y x
y y 2
（8分）
故y x x =sin 是''+'+=y x
y y 2
0的解 （10分）
证法二：'=
-y x x x
x 12
cos sin
''=
--y x x x x x 123
22()sin cos （3分）
将y y y 111,,'''代入方程的左端得
()sin cos cos sin sin 220232
--+-+=x x x x x x x x x
x
x 故y x
x
1=sin 是方程的解。 （10分）
32、
'=
-=-
y x x x x x x x
x cos sin cos sin 22
1 （5分） xy x x
x
x y '=-=-cos sin cos
故y x x
=sin 适合xy y x '+=cos （10分）
33、
因为''=-y x 164cos 代入微分方程有
''+=-++=y y x x 16164161416cos (cos )
即y x =+14cos 是所给微分方程的解
（4分）
又因为 y y x y ()cos ,sin ,()01024400=+='=-'=
故曲线y x =+14cos 过点(,)02，且在该点有水平切线，所以结论成立。
（10分）
34、
因为y e
x x
=-sin ，于是'=-''=---y e x x y e x x x (cos sin ),cos 2，代入微分方程得
''+'+=-+-+=---y y y e x e x x e x x x x 222220cos (cos sin )sin
故y e
x x
=-sin 是所给微分方程的解。
（4分）
又因为y e y e x x x
x ()sin ,()(cos sin )
0000100
=='=-=--=
直线y x =的斜率为1，故曲线y e x x
=-sin 过原点且与直线y x =相切，结论成立。
（10分）
35、
因为y x =+sh 21
2
，于是''=y x 22sh ，代入微分方程左端得 ''-=-+=-y y x x 222221
2
1sh (sh )
故y x =+sh 21
2
是所给微分方程的解。 （4分）
又因为：y y x x ()sh ,()ch 00121
2
02220=+='===
直线y x =
-1212()的斜率为-=-
221
2
，且过点(,)012，故曲线y x =+sh 212过点(,)012且在该点处与直线y x =-1
2
12()垂直，结论成立。
（10分）
36、
设曲线方程为y y x =()，由已知y y ≥''≤00,，曲线上任一点M x y (,)处的法线方程为
Y y y X x =-
'
-1
() 法线与x 轴的交点为(,)yy x '+0，由已知得方程
-+'''
='+()()/123222y y yy y
即 yy y ''=-+'()12
（4分）
令P y ='，代入上式求解得
'=±
-y y
C y 1
122 （7分）
分离变量后积分得
±-=+C y x C 1222
即(),x C y C y ++=≥22
2
12
所以曲线为上半圆周。
（10分）
37、
因11110022?+-?+-?+?≡()sin ()cos t t e t ，故函数组：12
2
,sin ,cos ,t t e t
在任何区间
[,]a b 上线性相关。
（10分）
38、
取C C C 123111=-==,,，则得 （5分）
()sin cos -?+?+?≡1111022t t
故函数组12
2
,sin ,cos t t 在任何区间上线性相关。 （10分） 39、
反证：设x t ()和y t ()在[,]a b 上线性相关，则存在不全为零的C 1和C 2，使
C x C y t t a b 120()()([,])+≡∈。
（4分）
不妨设C 10≠，于是有
x t y t C C C ()()=-==2
1
常数 （8分）
矛盾，故x t ()和y t ()在[,]a b 上线性无关。 （10分） 40、
证明：假设函数12
1
,,,,t t t
n ???-在某区间[,]a b 上线性相关，根据定义存在一组不全为0的数
k k k n 12,,,???，使得对[,]a b 上任何t ，均有
k k t k t k t n n 123210+++???+=-
（5分）
但这是不可能的，因为
k k t k t k t n n 123210+++???+=-
为n -1次方程，只有n -1个根，所以它不能恒为零。 故函数组12
1
,,,,t t t n ???-在任何区间[,]a b 上线性无关。
（10分）
41、
x C x t C x t x C x t C x t =+'='+'11221122()()
()()
''=''+''x C x t C x t 1122()()
（3分）
代入原方程得
''+'+=''+'++''+'+x t a t x t a t x t x t a t x t a t x t x t a t x t a t x t ()()()()()
[()()()()()][()()()()()]
121112121222
=0
（8分） 所以x C x t C x t =+1122()()是原方程的解。
（10分）
42、
由题设''+'+=x p t x q t x f t 1113()()()()
''+'+=x p t x q t x f t 2224()()()
()
（4分）
(3)－(4)得：
()()()()()x x p t x x q t x x 1212120-''+-'+-=
（8分）
即 x x x =-12是齐次方程（2）的解。
（10分）
43、 因为
()
()
e t
e t e t t t 2
22142"
-'
- =+-?-=241
240222222e t e t
te t e t t t t
（2分）
2
22
241"t e t t e t t e --'??
? ??--??? ??- =-+-?--=--241
240222222e t e t
te t e t t t t ()
（4分）
故e e t t
22
,-是方程的解，且
e e
e t t t 2
2
2
2-=≠常数
（7分）
于是e e t t
2
2
,-是方程线性无关的解（构成基本解组），故方程的通解为
x C e C e
t t =+-1222
其中C C 12,为任意常数。
（10分）
44、
因为)(2),(1t x t x 分别为方程（1）和方程（2）的解 所以
''+'+≡'x t a t x t a t x t f t 1112111()()()()()()()
''+'+≡'x t a t x t a t x t f t 2122222()()()()()()() （5分）
()()12'+'得
()()())
(2)(1)(2)(1)(2)(2)(1)(1)(2)(1t f t f t x t x t a t x t x t a t x t x +='++'++"+
即x x t x t =+12()()是方程（3）的解。 （10分）
45、
令k k e k e
k e t
t
t 1232430+++≡
（1） （2分）
（1）两边关于t 求导，并除以e t 得
k k e k e t t 2342230++≡
（2） （5分）
（2）两边关于t 求导，并除以e t 得
26034k k e t +≡
（3）
对（3）重复上面做法得
604k ≡，即k 40=
以k 40=依次代入(3)(2)(1)，依次得到
k k k 1230===
（8分）
这说明仅当k k k k 12340====时，（1）式成立，故函数组123,,,e e e t
t
t
在任何区间上线性无关。
（10分）
46、
假设在[,]a b 恒有
k y k y 11220+≡
（2分）
即 ()()()()k k x t k k x t 1211220++-≡ 因为x t x t 12(),()在[,]a b 上线性无关，上式仅当
k k k k 12120
+=-=??
? （7分）
时才成立，而上方程组仅有零解：k k 120== （9分） 因此证得：y y 12,在[,]a b 上线性无关。
（10分）
47、
令 C e C te C t e t
t
t
1232
0++≡ （2分） 即 C C t C t 1232
1++≡()
（4分）
而一元二次方程（1）最多只有两个实根，因此除非C C C 1230===，否则在任何区间上（1）不成立。故证得函数组在任何区间上线性无关。
（10分） 48、
令 k x t k x t t 1122002()()[,]+≡∈
（2分）
即 k t t 121001(),-≡≤≤ （5分）
k t t 221012(),
-≡<≤
（8分）
因此得k k 120==，故知x t x t 12(),()在[0，2]上线性无关。（10分） 49、
由题设，存在一组不全为0的常数C C C n 12,,,???，使得在[,]a b 上恒有
C x t C x t C x t n n 11220
1()()()()++???+≡
（2分）
（1）式两边关于求一阶，二阶，…，()n -1阶导数得
C x t C x t C x t n n 11220
2'+'+???+'≡()()()()
…………………
C x t C x t C x t n n n n n n 11122110
()()()()()()()---++???+≡
（7分）
由(1),(2),…,(n)组成以C C C n 12,,,???为未知数的n 阶线性齐次方程组，依题意有非零解，故知道它的系数行列式为0，即W x x x n (,,,)120???=。（10分）
50、 证：设
高等数学第七章微分方程习题
第七章 微分方程与差分方程 习题7－1（A ） 1． 说出下列微分方程的阶数： ;02)()1(2=+'-'x y y y x ;0)2(2=+'+'''y y x y x .0)32()67()3(=++-dy y x dx y x 2． 下列函数是否为该微分方程的解： x e x y y y y 2; 02)1(==+'-'' )(2; 0)()2(2为任意常数C x x C y xdy dx y x -==++ ),(cos sin ; 0) 3(212122 2为任意常数C C ax C ax C y y a dx y d +==+ )(ln ; 02)()4(2xy y y y y y x y x xy =='-'+'+''+ 3． 在下列各题中，确定函数关系式中所含的参数，写出符合初始条件的函数： ;5, )1(0 22==-=x y C y x ;1,0,)()2(0 221=' =+===x x x y y e x C C y . 0,1, )(sin )3(21='=-===ππx x y y C x C y 4． 写出下列条件确定的曲线所满足的微分方程： 点横坐标的平方。 处的切线的斜率等于该曲线在点),()1(y x 轴平分。被，且线段轴的交点为处的法线与曲线上点y PQ Q x y x P ),()2( 习题7－1（B ） 1．在下列各题中，对各已知曲线族（其中 C 1, C 2, C 3 都是任意常数）求出相应的微分方程： ; 1)()1(22=+-y C x . )2(21x x e C e C xy -+= 2．用微分方程表示下列物理问题： 平方成反比。温度的成正比，与的变化率与气压对于温度某种气体的气压P T P )1( 。 速度成反比（比例系数同时阻力与， 成正比（比例系数与时间用在它上面的一个力的质点作直线运动，作一质量为)))2(11k k t m 习题7－2（A ） 1．求下列微分方程的通解： ;0ln )1(=-'y y y x ;0553)2(2='-+y x x ; )()3(2y y a y x y '+='-'
(完整版)高等数学微分方程试题
第十二章 微分方程 §12-1 微分方程的基本概念 一、判断题 1.y=ce x 2(c 的任意常数)是y '=2x 的特解。 ( ) 2.y=(y '')3是二阶微分方程。 ( ) 3.微分方程的通解包含了所有特解。 ( ) 4.若微分方程的解中含有任意常数，则这个解称为通解。 （ ） 5.微分方程的通解中任意常数的个数等于微分方程的阶数。 （ ） 二、填空题 1. 微分方程.(7x-6y)dx+dy=0的阶数是 。 2. 函数y=3sinx-4cosx 微分方程的解。 3. 积分曲线y=(c 1+c 2x)e x 2中满足y x=0=0, y ' x=0=1的曲线是 。 三、选择题 1．下列方程中 是常微分方程 （A ）、x 2+y 2=a 2 (B)、 y+0)(arctan =x e dx d (C)、22x a ??+22y a ??=0 （D ） 、y ''=x 2+y 2 2.下列方程中 是二阶微分方程 （A ）（y ''）+x 2y '+x 2=0 (B) (y ') 2+3x 2y=x 3 (C) y '''+3y ''+y=0 (D)y '-y 2=sinx 3.微分方程2 2dx y d +w 2 y=0的通解是 其中c.c 1.c 2均为任意常数 （A ）y=ccoswx (B)y=c sinwx (C)y=c 1coswx+c 2sinwx (D)y=c coswx+c sinwx 4. C 是任意常数，则微分方程y '=3 23y 的一个特解是 （A ）y-=(x+2)3 (B)y=x 3+1 (C) y=(x+c)3 (D)y=c(x+1)3 四、试求以下述函数为通解的微分方程。 1．2 2 C Cx y +=（其中C 为任意常数） 2.x x e C e C y 3221+=（其中21,C C 为任意常数） 五、质量为m 的物体自液面上方高为h 处由静止开始自由落下，已知物体在液体中受的阻力与运动的速度成正比。用微分方程表示物体，在液体中运动速度与时间的关系并写出初始条件。
高数公式大全(全)
高数公式大全 1.基本积分表： 三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x += =+-=+=， ， ， 一些初等函数： 两个重要极限： ? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 ππx x arthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x x x x x x x -+=-+±=++=+-==+= -=----11ln 21)1ln(1ln(:2 :2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim 0==+=∞→→e x x x x x x
高等数学 微分方程
第十二章 微分方程 § 1 微分方程的基本概念 1、由方程x 2-xy+y 2=C 所确定的函数是方程（ ）的解。 A. (x-2y)y '=2-xy '=2x-y C.(x-2)dx=(2-xy)dy D.(x-2y)dx=(2x-y)dy 2、曲线族y=Cx+C 2 (C 为任意常数) 所满足的微分方程 （ ） 4.微分方程y '=y x 21-写成以 y 为自变量，x 为函数的形式为（ ） A.y x 21dx dy -= B.y x 21dy dx -= '=2x-y D. y '=2x-y §2 可分离变量的微分方程 1.方程P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0是（ ） A.可分离变量的微分方程 一阶微分方程的对称形式， C.不是微分方程 D.不能变成 ) y ,x (P ) y ,x (Q dy dx -= 2、方程xy '-ylny=0的通解为（ ） A y=e x B. y=Ce x cx D.y=e x +C 3、方程满足初始条件：y '=e 2x-y , y|x=0=0的特解为（ ） A. e y =e 2x +1 2 1 e ln x 2+= C. y=lne 2x +1-ln2 D. e y =21e 2x +C 4、已知y=y(x)在任一点x 处的增量α+?+=?x x 1y y 2 ，且当?x →0时，α是?x 高阶无穷小，y(0)=π,则y(1)=( ) A. 2π B. π C. 4 e π 4e ππ 5、求特解 cosx sinydy=cosy sinxdx ， y|x=0=4 π 解：分离变量为tanydy=tanxdx ，即-ln(cosy)=-ln(cosx)-lnC ，cosy=ccosx 代入初始条件：y|x=0= 4π 得：2 2C =特解为：2cosy=cosx 6、求微分方程()2 y x cos y x 2 1cos dx dy +=-+满足y(0)=π的特解。
高等数学微分方程试题及答案.docx
第九章常微分方程一．变量可分离方程及其推广 1．变量可分离的方程 （ 1）方程形式：dy P x Q y Q y0通解 dy P x dx C dx Q y （注：在微分方程求解中，习惯地把不定积分只求出它的一个原函数，而任意常数另外再加） （ 2）方程形式：M1x N1 y dx M 2x N 2y dy0 通解M 1x dx N 2 y dy C M 2 x 0, N 1 y 0 M 2x N 1y 2．变量可分离方程的推广形式 dy f y （ 1）齐次方程 x dx 令y u ，则 dy u x du f u f du dx c ln | x | c x dx dx u u x 二．一阶线性方程及其推广 1．一阶线性齐次方程 dy P x y0 它也是变量可分离方程，通解y Ce P x dx ，（c为任意常数）dx 2．一阶线性非齐次方程 精品文档令 z y1把原方程化为dz1P x z 1Q x 再按照一阶线性 dx 非齐次方程求解。 dy1可化为 dx P y x Q y y x 以为自变量，．方程： P y x dy dx Q y 为未知函数再按照一阶线性非齐次方程求解。 三、可降阶的高阶微分方程 方程类型解法及解的表达式 通解 y n C 2 x n 2C n 1 x C n y n f f x dx C1 x n 1 x n次 令 y p ，则 y p ，原方程 y f x, y f x, p ——一阶方程，设其解为p g x, C1 p， 即y g x, C1，则原方程的通解为y g x, C1dx C2。 令 y p ，把p看作y的函数，则 y dp dp dy p dp dx dy dx dy y f 把 y， y 的表达式代入原方程，得 dp1 f y, p—一阶方程， y, y dy p dy dx P x y Q x用常数变易法可求出通解公式设其解为 p g y, C 1 , 即 dy g y, C1，则原方程的通解为 dx 令 y C x e P x dx代入方程求出 C x 则得ye P x dx Q x e P x dx dx C 3．伯努利方程 dy Q x y0,1 P x y dx dy x C2。 g y, C1
高等数学微分方程练习题
(一)微分方程的基本概念 微分方程:含未知函数的导数或微分的方程,称为微分方程、 微分方程的阶:微分方程所含未知函数的最高阶导数或微分的阶数称为微分方程的阶数、 1、不就是一阶微分方程. A、正确 B、不正确 2、不就是一阶微分方程. A、正确 B、不正确 一阶线性微分方程:未知函数及其导数都就是一次的微分方程d ()() d y P x y Q x x +=称为一阶 线性微分方程、 微分方程的解:如果一个函数代入微分方程后,方程两边恒等,则称此函数为微分方程的解、通解:如果微分方程的解中所含独立任意常数C的个数等于微分方程的阶数,则此解称为微分方程的通解、 特解:在通解中根据附加条件确定任意常数C的值而得到的解,称为特解、 1、就是微分方程的解. A、正确 B、不正确 2、就是微分方程的解. A、正确 B、不正确 3、就是微分方程的通解. A、正确 B、不正确 4、微分方程的通解就是( ). A、 B、 C、 D、
(二)变量可分离的微分方程:()()dy f x g y dx = 一阶变量可分离的微分方程的解法就是: (1)分离变量:1221()()()()g y f x dy dx g y f x =;(2)两边积分:1221()()()()g y f x dy dx g y f x =?? 左边对y 积分,右边对x 积分,即可得微分方程通解、 1、微分方程 的通解就是( ). A 、 B 、 C 、 D 、 2、微分方程的通解就是( ). A 、 B 、 C 、 D 、 3、微分方程的通解就是( ). A 、 B 、 C 、 D 、 4、微分方程 的通解就是( ). A 、 B 、 C 、 D 、 5、微分方程 的通解就是( ). A 、 B 、 C 、 D 、 6、微分方程的通解( ). A 、 B 、 C 、 D 、 7、微分方程 的通解就是( ). A 、 B 、 C 、 D 、 8、 x y dy e dx -=就是可分离变量的微分方程. A 、正确 B 、不正确
高等数学第九章微分方程试题及答案
第九章 常微分方程 一．变量可分离方程及其推广 1．变量可分离的方程 （1）方程形式： ()()()()0≠=y Q y Q x P dx dy 通解() ()? ?+=C dx x P y Q dy （注：在微分方程求解中，习惯地把不定积分只求出它的一个原函数，而任意 常数另外再加） （2）方程形式：()()()()02211=+dy y N x M dx y N x M 通解()()()() C dy y N y N dx x M x M =+??1221 ()()()0,012≠≠y N x M 2．变量可分离方程的推广形式 （1）齐次方程 ?? ? ??=x y f dx dy 令 u x y =， 则()u f dx du x u dx dy =+= ()c x c x dx u u f du +=+=-?? ||ln 二．一阶线性方程及其推广 1．一阶线性齐次方程 ()0=+y x P dx dy 它也是变量可分离方程，通解()?-=dx x P Ce y ，（c 为任意常数） 2．一阶线性非齐次方程 ()()x Q y x P dx dy =+ 用常数变易法可求出通解公式 令()()?-=dx x P e x C y 代入方程求出()x C 则得 ()()()[] ?+=??-C dx e x Q e y dx x P dx x P 3．伯努利方程 ()()()1,0≠=+ααy x Q y x P dx dy 令α-=1y z 把原方程化为()()()()x Q z x P dx dz αα-=-+11 再按照一阶线性非齐次方程求解。 4．方程： ()()x y P y Q dx dy -=1可化为()()y Q x y P dy dx =+ 以y 为自变量，x 为未知函数 再按照一阶线性非齐次方程求解。 三、可降阶的高阶微分方程
第五章 高等数学(理专) 微分方程试题库1
第五章 微分方程 试题库一 1.填空题 (1) 微分方程0),,,()4(='y y y x F 是 阶微分方程. (2)通过点)1,1(处，且在任意一点),(y x P 处的切线斜率为x 的曲线方程为 . (3) 微分方程054=-'-''y y y 的特征方程为 . (4) 微分方程03='-''y y 的通解为 . (5) 微分方程09=-''y y 的通解为 . (6) 微分方程y x x y -=e d d 的通解为 . (7) 微分方程054=-'+''y y y 的通解为 . (8) 微分方程20yy x '+=的通解为 . (9)微分方程560y y y '''-+=的特征方程为 . (10) 微分方程440y y y '''-+=的通解为 . 2．选择题 (1) 微分方程0))(,,,(24='''y y y x F 的通解中含有的相互独立的任意常数的个数是（ ）. A.1； B.2； C.3； D.4. (2) 下列微分方程中是可分离变量的微分方程的是（ ）. A.y xy x y +=d d ； B. y x y xy sin e d d =； C. 2d d y xy x y +=； D. 22d d y x x y +=. (3) 下列微分方程中是一阶线性非齐次微分方程的是（ ）. A. 2d d y xy x y +=； B.x xy y =+''； C.x xy y =+'； D. 02=+'xy y . (4) 微分方程x y e =''的通解为（ ）. A. x y e =； B. C y x +=e ； C. Cx y x +=e ； D. 21e C x C y x ++=.
高数 第七章题库 微分方程
第十二章 微分方程答案 一、 选择题 1．下列不是全微分方程的是 C 1 A.2()(2)0x y dx x y dy ++-= B.2 (3)(4)0y x dx y x dy ---= C.3 2 2 2 3(23)2(2)0x xy dx x y y dy +++= D.2 2 2(1)0x x x ye dx e dy -+= 2. 若3y 是二阶非齐次线性方程(1):()()()y P x y Q x f x '''++=的一个特解，12,y y 是对应的 齐次线性方程(2)的两个线性无关的特解，那么下列说法错误的是（123,,c c c 为任意常数） C 2 A.1122c y c y +是(2)的通解 B. 113c y y +是(1)的解 C. 112233c y c y c y ++是(1)的通解 D. 23y y +是(1)的解 3．下列是方程xdx ydy += 的积分因子的是 D 2 A.2 2x y + B. 221x y + 4．方程32 2321x x d y d y e e dx dx ++=的通解应包含得独立常数的个数为 （ B ）. 1 (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 0 5．已知方程'()0y p x y +=的一个特解cos 2y x =，则该方程满足初始特解(0)2y =的特解为（ C ）. 2 (A) cos 22y x =+ (B) cos 21y x =+ (C) 2cos 2y x = (D) 2cos y x = 6．方程32232 1x x d y d y e e dx dx ++=的通解应包含得独立常数的个数为 （ B ）. 1 (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 0 7．设线性无关的函数123,,y y y 都是微分方程''()'()()y p x y q x y f x ++=的解，则该方程的通解为 （ D ）. 2 (A) 11223y c y c y y =++ (B) 1122123()y c y c y c c y =+-+ (C) 1122123(1)y c y c y c c y =+--- (D) 1122123(1)y c y c y c c y =++-- 8．设方程''2'3()y y y f x --=有特解*y ，则其通解为（ B ）. 1
(完整版)高等数学第七章微分方程试题及答案
第七章 常微分方程 一．变量可分离方程及其推广 1．变量可分离的方程 （1）方程形式： ()()()()0≠=y Q y Q x P dx dy 通解() ()? ?+=C dx x P y Q dy （注：在微分方程求解中，习惯地把不定积分只求出它的一个原函数，而任意常数另外再加） （2）方程形式：()()()()02211=+dy y N x M dx y N x M 通解()()()() C dy y N y N dx x M x M =+??1221 ()()()0,012≠≠y N x M 2．变量可分离方程的推广形式 （1）齐次方程 ?? ? ??=x y f dx dy 令 u x y =， 则()u f dx du x u dx dy =+= ()c x c x dx u u f du +=+=-?? ||ln 二．一阶线性方程及其推广 1．一阶线性齐次方程 ()0=+y x P dx dy 它也是变量可分离方程， 通解()?-=dx x P Ce y ，（c 为任意常数） 2．一阶线性非齐次方程 ()()x Q y x P dx dy =+ 用常数变易法可求出通解公式 令()()?-=dx x P e x C y 代入方程求出()x C 则得 ()()()[] ?+=??-C dx e x Q e y dx x P dx x P 3．伯努利方程 ()()()1,0≠=+ααy x Q y x P dx dy 令α -=1y z 把原方程化为()()()()x Q z x P dx dz αα-=-+11 再按照一阶线性 非齐次方程求解。 4．方程： ()()x y P y Q dx dy -=1可化为()()y Q x y P dy dx =+ 以y 为自变量，x 为未知函数 再按照一阶线性非齐次方程求解。
高等数学——微分方程
第八章 常微分方程 一、本章学习要求与内容提要 （一）基本要求 1．了解微分方程和微分方程的阶、解、通解、初始条件与特解等概念. 2．掌握可分离变量的微分方程和一阶线性微分方程的解法. 3．了解二阶线性微分方程解的结构. 4．掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法. 5．会求自由项为x m x P λe )(或x x P x m βαcos e )(，x x P x m βαsin e )(时的二阶常系数非 齐次线性微分方程的解. 6. 知道特殊的高阶微分方程（)()(x f y n =，),(y x f y '=''，),(y y f y '=''）的降阶法. 7．会用微分方程解决一些简单的实际问题. 重点 微分方程的通解与特解等概念，一阶微分方程的分离变量法，一阶线性微分方程的常数变易法，二阶线性微分方程的解的结构，二阶常系数非齐次线性微分方程的待定系数法。 难点 一阶微分方程的分离变量法，一阶线性微分方程的常数变易法，二阶常系数非齐次线性微分方程的待定系数法，高阶微分方程的降阶法，用微分方程解决一些简单的实际问题. （二）内容提要 ⒈ 微分方程的基本概念 ⑴ 微分方程的定义 ①凡是含有未知函数的导数（或微分）的方程，称为微分方程. ②未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程，未知函数是多元函数的微分方程称为偏微分方程.本书只讨论常微分方程，简称微分方程. ⑵ 微分方程的阶、解与通解 微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数，称为微分方程的阶.如果把函数 )(x f y =代入微分方程后，能使方程成为恒等式,则称该函数为该微分方程的解.若微分方 程的解中含有任意常数，且独立的任意常数的个数与方程的阶数相同，则称这样的解为微分方程的通解. ⑶ 初始条件与特解 用未知函数及其各阶导数在某个特定点的值作为确定通解中任意常数的条件，称为初始条件.满足初始条件的微分方程的解称为该微分方程的特解. ⑷ 独立的任意常数 ①线性相关与线性无关 设)(),(21x y x y 是定义在区间),(b a 内的函数，若存在两个不全为零的数21,k k ，使得对于区间),(b a 内的任一x ，恒有 0)()(2211=+x y k x y k
高等数学微分方程试题汇编
第十二章微分方程 §2-1 微分方程的基本概念 一、 判断题 1. y=ce 2x （c 的任意常数）是y ' =2x 的特解。 （ ） 2. y=（ y ）3是二阶微分方程。 （ ） 3. 微分方程的通解包含了所有特解。 （ ） 4. 若微分方程的解中含有任意常数，则这个解称为通解。 （ ） 5. 微分方程的通解中任意常数的个数等于微分方程的阶数。 （ ） 二、 填空题 微分方程.(7x-6y)dx+dy=0的阶数是 _______________ 。 2. 函数y=3sinx-4cosx ___________ 微分方程的解。 3. 积分曲线y=(c 1 +c 2x)e 2x 中满足 y x=o =O, y" x=o =1的曲线是 _________________ 。 三、选择题 1. _________________ 下列方程中 是常微分方程 _2 _2 2 2 2 d arctan x 3 '3 2 2 (A )、x+y =a (B)、 y+——(e ) = 0 (C)、—2 +— =0 ( D )、y =x +y dx ex cy 2. _______________ 下列方程中 是二阶微分方程 2 y 2 i-2 2 3 2 (A ) ( y ) +x +x =0 (B) ( y ) +3x y=x (C) y +3 y +y=0 (D) y -y =sinx (A ) y=ccoswx (B)y=c sinwx (C)y=c i coswx+c 2sinwx (D)y=c coswx+c sinwx 2 4. C 是任意常数，则微分方程 y =3y 3的一个特解是 ______________ 3 3 3 3 (A ) y-=(x+2) (B)y=x +1 (C) y=(x+c) (D)y=c(x+1) 四、试求以下述函数为通解的微分方程。 2 2 2x 3x 1. y =Cx C (其中C 为任意常数) 2.y =C i e C 2e (其中C-C ?为任意常数) 五、质量为 m 的物体自液面上方高为 h 处由静止开始自由落下，已知物体在液体中受的阻 力与运 3.微分方程 穿+w2y =0的通解是 ______ 中c.c i.c 2均为任意常数
高等数学微分方程练习题
高等数学微分方程练习 题 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
（一）微分方程的基本概念 微分方程：含未知函数的导数或微分的方程，称为微分方程. 微分方程的阶：微分方程所含未知函数的最高阶导数或微分的阶数称为微分方程的阶数. 1.不是一阶微分方程． A.正确 B.不正确 2.不是一阶微分方程． A.正确 B.不正确 一阶线性微分方程：未知函数及其导数都是一次的微分方程d ()() d y P x y Q x x += 称为一阶线性微分方程. 微分方程的解：如果一个函数代入微分方程后，方程两边恒等，则称此函数为微分方程的解. 通解：如果微分方程的解中所含独立任意常数C的个数等于微分方程的阶数，则此解称为微分方程的通解. 特解：在通解中根据附加条件确定任意常数C的值而得到的解，称为特解. 1.是微分方程的解． A.正确 B.不正确 2.是微分方程的解． A.正确 B.不正确 3.是微分方程的通解． A.正确 B.不正确
4.微分方程 的通解是（ ）． A. B. C. D. （二）变量可分离的微分方程：()()dy f x g y dx = 一阶变量可分离的微分方程的解法是： （1）分离变量：1221()()()() g y f x dy dx g y f x =；（2）两边积分：1221()()()()g y f x dy dx g y f x =?? 左边对y 积分，右边对x 积分，即可得微分方程通解. 1.微分方程 的通解是（ ）． A. B. C. D. 2.微分方程 的通解是（ ）． A. B. C. D. 3.微分方程的通解是（ ）． A. B. C. D. 4.微分方程的通解是（ ）．
高等数学基础班常微分方程
第六章 常微分方程 常微分方程是高等数学中理论性和应用性都较强的一部分，是描述客观规律的一种重要方法，是处理物理、力学、几何等应用问题的一个重要工具，微分和积分的知识是研究微分方程的基础。微分方程作为考试的重点内容，每年研究生考试均会考到。特别是微分方程的应用问题，既是重点，也是难点，在复习时必须有所突破。 【大纲内容】常微分方程的基本概念；变量可分离的方程；齐次方程；一阶线性方程；伯努利（Bernoulli ）方程；全微分方程；可用简单的变量代换求解的某些微分方程；可降阶的高阶微分方程；线性微分方程解的性质及解的结构定理；二阶常系数齐次线性微分方程；高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程；简单的二阶常系数非齐次线性微分方程；欧拉（Euler ）方程；微分方程的简单应用。 【大纲要求】要理解微分方程的有关概念，如阶、解、通解、特解、定解条件等，掌握几类方程的解法：如变量可分离方程，齐次方程，一阶线性微分方程，伯努利方程，可降阶方程等。理解线性微分方程解的性质和解的结构，掌握求解常系数齐次线性方程的方法，掌握求解某些自由项的常系数非齐次线性方程的待定系数法。了解欧拉方程的概念，会求简单的欧拉方程。会用微分方程处理物理、力学、几何中的简单问题。 【考点分析】本章包括三个重点内容： 1．常见的一阶、二阶微分方程求通解或特解。求解常微分方程重要的是判断方程为哪种类型，并记住解法的推导过程。 2．微分方程的应用问题，这是一个难点，也是重点。利用微分方程解决实际问题时，若是几何问题，要根据问题的几何特性建立微分方程。若是物理问题，要根据某些物理定律建立微分方程，也有些问题要利用微元法建立微分方程。 3．数学三要求掌握一阶常系数线性差分方程的求解方法，了解差分与差分方程及其通解与特解等概念，会用差分方程求解简单的经济应用问题。 【考点一】形如()()y f x g y '=的一阶微分方程称为变量可分离微分方程。可分离变量的微分方程的解题程序： 当()0,()()()() dy g y y f x g y f x dx g y '≠=?=时，然后左、右两端积分 (),()dy f x dx C g y =+? ?上式即为变量可分离微分方程的通解。其中，C 为任意常数，1()() dy g y g y ?表示函数的一个原函数，()f x dx ?表示函数()f x 的一个原函数. 【例1】若连续函数()f x 满足关系式()20ln 22x t f x f dt ??=+ ????，则()f x 等于 （ ） （A ）ln 2.x e （B ）2ln 2.x e （C ）ln 2.x e +（D ）2ln 2.x e + 【例2】已知曲线()()10,,,2y f x x y ? ?=- ??? 过点且其上任一点处的切线斜率为
高等数学题库第06章(常微分方程)
第6章 常微分方程 习题一 一、填空题： 1、 微分方程1sin 2=+''-'''x y y 的阶数为__________。 2、 设某微分方程的通解为()x e x c c y 221+=，且00==x y ，10='=x y 则 ___________1=c ，_____________2=c 。 3、 通解为x ce y =（c 为任意常数）的微分方程是___________。 4、 满足条件()()=+?dx x f x f x 02的微分方程是__________。 5、 y y x 4='得通解为__________。 6、 1+=y dx dy 的满足初始条件()10=y 的特解为__________。 7、 设()n c c c x y y ???=,,,21是微分方程12=+'-'''y y x y 的通解，则任意常数的个数__________=n 。 8、 设曲线()x y y =上任意一点()y x ,的切线垂直于该点与原点的连线，则曲线所满足的微 分方程为___________ 。 二、求下列微分方程满足初始条件的特解： 1、y y x y ln sin ='，e y x ==2π 2、()0sin 1cos =-+-ydy e ydx x ，40π==x y 3、y x e y -='2，00==x y 4、xdx y xdy y sin cos cos sin =，40π ==x y 三、求下列微分方程得通解： 1、122 2+='y y y x 2、2211y y x -='- 3、0ln =-'y y y x 4、 by ax e dx dy += 5、022=---'x y y y x 6、x y y dx dy x ln = 四、验证函数x e c x c y 21+=是微分方程()01=-'+''-y y x y x 的通解，并求满足初始条件1,100='-===x x y y 的特解。 五、验证函数2 2x x y -=是微分方程x y y x =-''22的解。
高数知识汇总之微分方程.docx
第六章微分方程 6.1 微分方程的基本概念 微分方程： 含有未知函数的导数（或微分）的等式称为微分方程。 微分方程的阶： 微分方程中，所含未知函数的导数的最高阶数称为微分方程的阶。 微分方程的通解： 如果微分方程的解这中含有任意常数，且任意个不相关的常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解称为微分方程的通解。 微分方程的特解： 在通解中给予任意常数以确定的值而得到的解，称为特解。 初始条件： 用于确定通解中的任意常数而得到特解的条件称为初始条件。 积分曲线： 微分方程的特解的图形是一条曲线，叫做微分方程的积分曲线。 6.2 一阶微分方程的求解方法 6.2.1分离变量法 可分离变量的微分方程： 形如dy f ( x) g ( y) 的微分方程，称为可分离变量的微分方程。dx 特点： 等式右边可以分解成两个函数之积，其中一个是只含有x 的函数，另一个是只含有y 的函数．解法： 当 g( y)0 时，把dy f ( x) g( y) 分离变量为dy f ( x)dx, ( g ( y) 0) 对上式两边积dx g( y) 分，得通解为 dy f ( x)dx C g( y) （这里我们把积分常数 C 明确写出来，而把dy ， f ( x)dx 分别理解为 1 和f (x)的g( y)g( y) 一个确定的原函数。） 6.2.2齐次方程和可化为齐次方程的一阶方程不考。 6.2.3一阶线性微分方程 一阶线性微分方程： 如果一阶微分方程 F (x, y, y ) 0 可以写为 y p( x) y q( x) 则称之为一阶线性微分方程，
其中 p(x) 、 q(x) 为连续函数．当q( x)0 时，此方程为dy 0 ，称它为对应于 p(x) y dx 非齐次线性方程的齐次线性微分方程；当 q(x)0 时，称为非齐次线性微分方程。 解法： 用常数变易法可得其通解为： p( x) dx p( x) dx c) y e( q(x)e dx （注：其中每个积分，不再加任意常数C。）6.4可降阶的二阶微分方程 6.4.1不显含未知函数y 的二阶方程：y f ( x, y ) 解法： 令 y p p( x) ，则 y dp dp ，方程变为 dx dx yp( x)dx ，即得通解。 6.4.2不显含自变量 x 的二阶方程 : y f ( y, y )解法： 令 y= p = p( y) ，则y dp p ，方程变为p dp dy dy 解。f ( x, p) f ( y, p) ，解之得p ,再积分得 ，解之得p ,再积分得通 6.5二阶线性微分方程 6.5.1二阶线性微分方程的解的结构 二阶线性微分方程： 形如y p(x) y q( x) y f(x) 的方程,称为二阶线性微分方程。若 f ( x) 0，称之为二阶齐次线性微分方程；若 f ( x)0 ，称之为二阶非齐次线性微分方程。 齐次线性方程解的叠加原理： 如果函数 y1, y2是齐次方程y p( x) y q(x) y 0 的两个解,则y C1 y1C2 y2也是方程 y p(x) y q( x) y0的解 ,其中C ,C均为任意常数。 12 齐次线性方程的通解结构： 如果函数 y1 ( x) , y2 (x) 是齐次方程y p(x) y q(x)y 0的两个线性无关解 ,则函数y C y C y C C y p( x) y q(x) y0
高数一试题库
南京工业大学继续教育学院南京高等职业技术学校函授站 《高等数学一》课程复习题库 一． 选择题 1. 0sin 3lim x x x →=（ ） A.0 B. 1 3 C.1 D.3 2. 0sin lim 22x ax x →=，则a =（ ） A.2 B. 12 C.4 D. 1 4 3. 0sin 5sin 3lim x x x x →-?? ??? =（ ） A.0 B. 1 2 C.1 D.2 4. 极限0tan 3lim x x x →等于（ ） A 0 B 3 C 7 D 5 5.设()2,0 ,0x x x f x a x ?+<=?≥?，且()f x 在0x =处连续，则a =（ ） A.0 B. 1- C.1 D.2 6. 设()21,1 0,1ax x f x x ?+<=?≥?，且()f x 在1x =处连续，则a =（ ） A.1 B. 1- C.-2 D. 2 7. 设()2 1,02,0,0x x f x a x x x ???在0x =处连续，则a =（ ） A.1 B. 1- C.0 D. 12 8．设2cos y x =，则y '=（ ） A. 2sin x B. 2sin x - C. 22sin x x - D. 22sin x x
9. 设21y x -=+，则y '= （ ） A.32x - B.12x -- C.32x -- D.121x --+ 10．设5sin y x x -=+则y '=（ ） A ．65cos x x --+ B 45cos x x --+ C.45cos x x --- D.65cos x x --- 11. 设5 1 y x = ，则dy =（ ） A.45x - .B.45x dx -- C. 45x dx D.45x dx - 12. 设1cos 2,y x =-则dy =（ ） A ．sin 2xdx B sin 2xdx - C.2sin 2xdx D.2sin 2xdx - 13. 设() 2ln 1,y x =+则dy =（ ） A ． 21dx x + B 21dx x -+ C.221xdx x + D.2 21xdx x -+ 14. ()1 lim 1x x x →-=（ ） A. e B. 1e - C. 1e -- D. e - 15．()x x x 21 21lim +→ =（ ） A 0 B ∞ C e D 2e 16. 0 1lim 1x x x →?? += ??? （ ） A. e B. 1e - C.0 D. 1 17.226 lim 2 x x x x →+--=（ ）
高等数学微分方程试题及答案
第九章 常微分方程 一．变量可分离方程及其推广 1．变量可分离的方程 （1）方程形式： ()()()()0≠=y Q y Q x P dx dy 通解() ()? ?+=C dx x P y Q dy （注：在微分方程求解中，习惯地把不定积分只求出它的一个原函数，而任意 常数另外再加） （2）方程形式：()()()()02211=+dy y N x M dx y N x M 通解()()()() C dy y N y N dx x M x M =+??1221 ()()()0,012≠≠y N x M 2．变量可分离方程的推广形式 （1）齐次方程 ?? ? ??=x y f dx dy 令 u x y =， 则()u f dx du x u dx dy =+= ()c x c x dx u u f du +=+=-?? ||ln 二．一阶线性方程及其推广 1．一阶线性齐次方程 ()0=+y x P dx dy 它也是变量可分离方程，通解()?-=dx x P Ce y ，（c 为任意常数） 2．一阶线性非齐次方程 ()()x Q y x P dx dy =+ 用常数变易法可求出通解公式 令()()?-=dx x P e x C y 代入方程求出()x C 则得 ()()()[] ?+=??-C dx e x Q e y dx x P dx x P 3．伯努利方程 ()()()1,0≠=+ααy x Q y x P dx dy 令α-=1y z 把原方程化为()()()()x Q z x P dx dz αα-=-+11 再按照一阶线性非齐次方程求解。 4．方程： ()()x y P y Q dx dy -=1可化为()()y Q x y P dy dx =+ 以y 为自变量，x 为未知函数 再按照一阶线性非齐次方程求解。 三、可降阶的高阶微分方程
(完整版)高等数学微分方程试题.doc
专业班级学号姓名成绩时间174 第十二章微分方程 §12-1 微分方程的基本概念 一、判断题 1.y=ce 2 x (c 的任意常数 )是y =2x 的特解。( ) 2.y=( y ) 3是二阶微分方程。( ) 3.微分方程的通解包含了所有特解。( ) 4.若微分方程的解中含有任意常数，则这个解称为通解。（） 5.微分方程的通解中任意常数的个数等于微分方程的阶数。（） 二、填空题 1. 微分方程 .(7x-6y)dx+dy=0 的阶数是。 2. 函数 y=3sinx-4cosx 微分方程的解。 3. 积分曲线 y=(c 1 +c 2 x)e 2 x 中满足 y x=0=0, y x=0=1的曲线是。 三、选择题 1．下列方程中是常微分方程 （ A ）、 x2+y 2=a2 d (e arctan x ) 0 (C)、 2 a 2 a =0 （ D）、y =x 2+y 2 (B) 、 y+ 2 + 2 dx x y 2.下列方程中是二阶微分方程 （ A ）（y）+x 2 y +x 2=0(B) ( y ) 2+3x 2y=x 3 (C) y +3 y +y=0 (D) y -y2=sinx d 2 y 2 1. 2 3.微分方程 dx2 +w y=0 的通解是其中 c.c c 均为任意常数 （ A ）y=ccoswx (B)y=c sinwx (C)y=c 1coswx+c 2sinwx (D)y=c coswx+c sinwx 2 4. C 是任意常数，则微分方程y = 3y3 的一个特解是 （ A ）y-=(x+2) 3 (B)y=x 3+1 (C) y=(x+c) 3 (D)y=c(x+1) 3 四、试求以下述函数为通解的微分方程。 1．y Cx2 C 2 （其中 C 为任意常数） 2. y C1e2 x C 2e3x （其中 C1 ,C2 为任意常数） 五、质量为m 的物体自液面上方高为h 处由静止开始自由落下，已知物体在液体中受的阻力与 运动的速度成正比。用微分方程表示物体，在液体中运动速度与时间的关系并写出初始条件。
同济大学(高等数学)-第三篇-常微分方程
第三篇 常微分方程 第六章 常微分方程 函数是研究客观事物运动规律的重要工具，找出函数关系，在实践中有重要意义．但是在许多问题中，常常不能直接找出这种函数关系，但却能根据问题所处的环境，建立起这些变量和它们的导数（或微分）之间的方程，这样的方程称为微分方程． 在本章中，主要介绍常微分方程的基本概念和几种常用的常微分方程的解法． 第一节 微分方程的概念 下面我们通过两个例子来说明常微分方程的基本概念． 1．1 引例 引例1 一曲线通过点（1，2），且在该曲线上任一点),(y x P 处的切线斜率为x 2，求这条曲线方程． 解 设所求曲线方程为()y f x =，且曲线上任意一点的坐标为),(y x ．根据题意以及导数的几何意义得 x dx dy 2=. 两边同时积分得 2y x c =+ （c 为任意常数）． 又因为曲线通过（1，2）点，把1x =，2y =代入上式，得1=c ．故所求曲线方程为 21y x =+． 引例2 将温度为C ο100的物体放入温度为C ο0的介质中冷却，依照冷却定律，冷却的速度与温度T 成正比，求物体的温度T 与时间t 之间的函数关系． 解 依照冷却定律，冷却方程为 kt dt dT -= （k 为比例常数）， 所求函数关系满足0t =，100T =． 以上我们仅以几何、物理上引出关于变量之间微分方程的关系． 下面我们介绍有关微分方程基本概念． 1.2 微分方程的基本概念
定义1 含有未知函数以及未知函数的导数（或微分）的方程称为微分方程．在微分方程中，若未知函数为一元函数的微分方程称为常微分方程．若未知函数为多元函数的微分方程称为偏微分方程． 例如 下列微分方程中， （1） 13=-'x y ； （2）sin 0dy y xdx +=； （3）21 ()20y y x '''+ += （4）22221u u x y ??+=??； （5）cos 3dy y x dx +=． 都是微分方程，其中（1）、（2）、（3）、（5）是常微分方程，（4）是偏微分方程． 本课程只讨论常微分方程． 定义2 微分方程中含未知函数的导数的最高阶数称为微分方程的阶． 在上例中，（1）、（2）、（5）是一阶常微分方程，（3）是二阶常微分方程． 一般地，n 阶微分方程记为： 0) , , , ,()(='n y y y x F ． 定义3 若将()y f x =代入微分方程中使之恒成立，则称()y f x =是微分方程的解（也称显式解）；若将0),(=y x ?代入微分方程中使之恒成立，则称关系式0),(=y x ?是微分方程的隐式解． 定义4 微分方程的解中含有任意常数，并且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解称为微分方程的通解． 引例1中，积分后得到C x y +=2为微分方程的通解，由于通解中含有任意常数，所以它不能完全确定地反映客观事物的规律性，必须确定这些常数，为此，要根据实际问题，提出确定通解中的常数的条件． 设微分方程中未知函数)(x y y =，如果微分方程是一阶的，确定任意常数的条件是 00 y y x x ==；如果微分方程是二阶的确定任意常数的条件是00 y y x x ==，10 y y x x ='=，上述 这些条件叫做初始条件． 定义 5 求解微分方程),(y x f y ='满足初始条件00 y y x x ==的特解问题称为一阶微分 方程的初值问题．记作 ?????=='=00 ) ,(y y y x f y x x ． 例1 验证at c at c x sin cos 21+=是微分方程 02=+''x a x 的解．