高考模拟试卷数学理科
高考模拟试卷数学理科 Coca-cola standardization office【ZZ5AB-ZZSYT-ZZ2C-ZZ682T-ZZT18】
2019高考模拟试卷
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
2.答题前.考生务必将自己的姓名.准考证号填写在本试卷相应的位
置。
3.全部答案写在答题卡上.写在试卷上无效。
4.本试卷满分150分.测试时间120分钟。
5.考试范围：高考全部内容。
第Ⅰ卷
一. 选择题：本大题共12小题.每小题5分.在每小题给出的四个
选项中.只有一项是符合题目要求的。
(1) 负数i3
3+4i
的实数与虚部之和为
A.7
257
25
C.1
25
1
25
(2)已知集合A={x∈z}|i2-2x-30},B={x|sinxx-1
2
},则A∩B=
A.{2}
B.{1,2}
C.{0，1，2}
D.{2，3}
(3).某高中在新学期开学初，用系统抽样法从1600名学生中抽取20名学生进行问卷调查，将1600名学生从1开始进行编号，然后按编号顺序平均分成20组（1-80号，81-160号， (1521)
1600号），若第4组与第5组抽出的号码之和为576，则第7组抽到的号码是
(4).在平面直角坐标系x o y 中，过双曲线
c ：i 2-i 23
=1的右焦
点F 作x 轴的垂线ｌ，则ｌ与双曲线c 的渐近线所围成的三角形的面积为
√3 √3 √3
(5).袋中有大小、质地相同的红、黑球各一个，现有放回地随机摸取3次，每次摸取一个球，若摸出红球得2分，若摸出黑球得1分，则3次摸球所得总分至少是4分的概率为
A.13
B.14
C.34
D.78
列{b n}的前100项之积为
A.3100
(7).如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为 A.
16i 3 B.643 C.16i +64
3 π+64
（8）.执行如图所示的流程图，输出的结果为
（10）.已知点Ｐ（i0,i0）是抛物线i2=4x上任意一点，Q是圆Ｃ：（i+2）2+（y?4）2=1上任意一点，则|PQ|+i0的最小值为
(11).如图所示，AB是圆O的直径，P是圆弧AB上的点，M，N是直
(11题图)
(12).已知f（x）=i
i
i，若方程ｆ2（x）+2i2=3a|f（x）|有且仅有4个不等实根，则实数a的取值范围为
D.(e ,+ ∞)
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~第21题为必考题，每个考生都必须作答，第22题~第23题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
（13）.已知平面向量a=（1 ,2），b=（-2，m），且|a+b|=|a-
则z=x2+y2+4x+2y的最小值为__________
（15）.函数ｆ（x）=sin i（sin?2cos2i
2+1）在[0，i
2
]上的值域
为___________。
（16）.过双曲线i 2
i2-i
2
i2
=1（a>0，b>0）的左焦点向圆i2+i2=i2作
一条切线，若该切线被双曲线的两条渐近线截得的线段的长为√3a，则双曲线的离心率为____________。
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（17）.（本小题满分12分）
已知公差不为零的等差数列｛a n｝中，Sn为其中n项和，
i1=1，i1，i2
2，i4
4
成等比数列。
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式：（Ⅱ）记
（18）.如图所示，几何体i 1i 1i 1-ABCD 中，四边形
A i 1i 1B,AD i 1i 1均为边长为6的正方形，四边形ABCD 为菱形，且∠BAD=120°，点E 在棱i 1i 1上，且i 1E=2E i 1，过i 1、D 、E 的平面交C i 1于F 。
（Ⅰ）.作出过i 1、D 、E 的平面被该几何体i 1i 1i 1-ABCD 截得的截面，并说明理由;
（Ⅱ）求直线BF 与平面E i 1D 所成角的正弦值。
19为了解公众对“延迟退休”的态度，某课外学习小组从某社区年龄在[15,75]的居民中随机抽取50人进行调查，他们的年龄的频率分布直方图如下年龄在[15,25)、[25,35)、[35,45)、[45,55)、[55,65)、[65,75]的被调查者中赞成人数分别为a ，b ，12, 5，2和1,其中ab ，若前三组赞成的人数的平均数为8，方差为328
。 （Ⅰ）根据以上数据，填写下面2ｘ2列联表，并回答是否有99%的把握认为年龄以55岁为分界点对“延迟退休”的态度有差异
（Ⅱ）若分别从年龄在[15,25）、[25,35）的被调查对象中各随机选取两人进行调查，记选中的4个人中不赞成“延迟退休”的人数为x，求随机变量x的分布列和数学期望。
20.已知直线x-2y+2=0经过椭圆c：i 2
i2+i
2
i2
=1 （a>b>0）的左顶点A
和上顶点D，椭圆C的右顶点为B，点S是椭圆C上位于x轴上方的动点，直线AS，BS与直线ｌ：x=10
3
分别交于M , N两点
（Ⅰ）求椭圆的方程。
（Ⅱ）求线段MN的长度的最小值。
21.已知函数f（x）=ｌｎx
i+a
（a∈R），曲线y=f（x）在点（1，f （1））处的切线与直线x+y+1=0垂直
（Ⅰ）试比较20162017与20172016的大小，并说明理由
（Ⅱ）若函数g（x）=f（x）-ｋ有两个不同的零点i1，i2，证明：i1·i2>i2
请考生从题中任选一题作答，并用2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所选涂题号进行评分：多涂，多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分。 （22）.（本小题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程] 以平面直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ=2sin （i 2
-θ）。
（Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程；
设p （1，1），直线ｌ与曲线C 相交于A,B 两点，求
1|ii |+1|ii |
的值. （23）.（本小题满分10分）[选修4-5：不等式选讲]
已知函数f （x ）=|x|+|2x-3| （Ⅰ）求不等式f （x ）≤9的解集；
（Ⅱ）若函数y=f （x ）-a 的图像与x 轴围成的四边形的面积不小于
21
2
，求实数a 的取值范围.
理科数学（答案）
1. B
[解析]因为i 3
3+4ｉ=?ｉ（3?4ｉ）
（3+4ｉ）（3?4ｉ）=
?4?3ｉ
25
，所以复数i 33+4i 的实部为4
?25，虚部为-
325，实部与虚部之和为7?25
，故选B 。
2. A
[解析]因为A={x ∈z1i 2?2i ?3?0}={x ∈z1-1x3}={0,1,2}由sino=o>?1
2，sin1>sin i 6=1
2，sin23
2，可得OB,1B,2∈B ，所以A ∩B={2}，故选A 。
3. C
[解析]各组抽到的编号按照从小到大的顺序排成一列，恰好构成公差为80的等差数列，设第4组与第5组抽出的号码分别为x ，x+80，则x+x+80=576，x=248，所以第7组抽到的号码是248+（7-4）ｘ80=488，故选C
4. B
[解析]双曲线
C:=i 2-i
2
3
=1的右焦点F=（2,0），则ｌ：x=2，所以ｌ与双曲线
c 的渐近线y=±√3x 的交点分别为（2， ±2√3），所以直线ｌ与双曲线c 的两条渐近线所围成的面积为1
2ｘ4√3ｘ2=4√3，故选B 。
5. D
[解析]3次摸球所得总分少于4分的情况只有1种，即3次摸到的球都是黑球，所以
P=1-（1
2）3=78，故选
D 。
10i 1+
10ｘ9
2
d=100，所以d=2，
i 1=1，∴an=2n-1，又bn =ａn +1i i
=2i +1
2i ?1，所以
T n=i 1i 2...bn=31·53· ... ·2i ?12i ?3·2i +1
2i ?1
=2n+1， ∴T 100=201
7. C
[解析]该几何体可以看成由一个四棱锥和一个四分之一圆锥组成，四棱锥的底面面积为16，高为4，故其体积为64
3：四分之一圆锥的体积为1
4ｘ1
3ｘ4ｘπｘ16=16
3π，所以整个几何体的体积为
16i +64
3，故选C
8. C
[解析]cos
2i 2=-1，cos ?i 2=0，coso=1，cos i 2
=0，coso=1，....可见循环20次
后，n=0 故选C
9. C
[解析]当a=0时，图像可以是B ；当a>0时，图像可以是A ；当a0时，图像可以是D ，故答案为C
10. C
[解析]抛物线i 2=4x 的焦点F(1，0),准线ｌ：x=-1，圆C ：（x +2）2
+（y ?4）2
=1的圆心C （-2,4）半径r =1，由抛物线定义知，点P 到抛物线的准线x =-1的距离d=|PF|，点P 到y 轴的距离为i 0=d-1，所以当C,P,F 三点共线时，|PQ|+d 取最小值，所以（|PQ|+i 0）min=|FC|-r-1=5-1-1=3，故选C 。
11. A
ii 2??????????? =ii ????????? ·ii ????????? -ii 2??????????? =1ｘ6-1=5故选A
法二：以O 为原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，可设P （3c0S θ，3s ｉn θ）由题意M （-2,0），N （2,0），则ii ????????? =(-2-3c0S θ,-3S ｉn θ)，ii ????????? =(2-3COS θ,-3S ｉn θ)，ii ????????? ·ii ????????? =9cos 2θ-22+9s ｉi 2θ=5 法三：取特殊点P 取A 点，则ii ????????? ·ii ????????? =5
12. B
[解析]ｆ'（x ）=
（x ?1）e
i
i 2
，则ｆ（x ）在（-∞，0）和（0,1）上单调递增，在（1，+∞）
上单调递增，又x →-∞时ｆ（x ）→0，从y 轴左边趋近于0时ｆ（x ）→-∞，从y 轴右边趋向于0时，ｆ（x ）→+∞。ｆ（1）=e ，所以可以作出ｆ（x ）的大致图像，从而得到|ｆ（x ）|的图像（如图所示）。原方程可化为（|f （x ）|-a ）（|f （x ）|-2a ）=0
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。 13.答案5
14.答案3
3x+y-3≥0表示的平面区域如图△ABC （包括边界），解方程组A （-3
5
，
85
）因为i 2+i 2+4x+2y=（x +2）2+（y +1）2-5表示点（-2，-1）到区域内的点P （x ，
y ）的距离的平方减去5，又点（-2，-1）到x+y-1=0的距离为|?2?1?1|√1+1
=2√2，因为（-2，-
1）到A 点的距离为
√218
5
>2√2，点（-2，-1）到B 点的距离为√10>2√2，由图知点（-2，-
1）到区域内的点P （x ，y ）的最小值为2√2，所以z 的最小值为8-5=3
15答案[
1?√2
2
，1] [解析]f （x ）=sinx （sinx-2cos 2
i 2+1）=sinx （sinx-cosx ）=sin 2
-sinxcosx=1?cos2x 2-12sin2x=12-√22sin （2x+i 4
）因为o ≤i ≤i
2，所以i
4≤2x+i
4≤
5i 4，-√2
2
≤sin ?（2x +
i
4
）≤1
所以
1?√22≤12-√22sin(2x+π
4
) ≤1即+（x ）在[0，,i
2]上的值域为[
1?√2
2
，1] 16.答案2或
2√3
3
[解析]情况一：切线与两条渐近线的交点位于第一、二象限，左焦点和切点之
三、解答题
17.[解析]（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d ，则i 1=i 1，
i 22=i 1+i 2
，i 44
=i 1+32d 、、、2分
因为i 1
i 22
，i 4
4成正比数列，所以（i 1+
i 2）2
=i 1（i 1+32
d ），化简得d=2i 1=2、、、5分
所以数列{a n}的通项公式为a n=1+（n-1）ｘ2=2n-1、、、、、、、、6分 （Ⅱ）bn=（2n-1）·22i ?1
所以Tn=1·21+3·23+5·25+、、、+（2n-3）·22i ?3+（2n-1）·22i ?1①
① 式两端乘以4，得4Tn=1·23+3·25+5·27+、、、+（2n-3）·22i ?1+（2n-1）·22i +1
②、、8分
② ①-②得：-3Tn=1·21+2·23+2·25+、、、+2·22i ?1-（2n-1）·22i +1=-2+2x
2（1?22i ）1?4-（2n-1）·22i +1=-103+1
3·22i +2-（2n-1）·22i +1、、、、、10
分
所以
Tn=3·(2n ?1)·22i +1?22i +2+109=(6n ?5)·22i +1+109
、、、、、12分
18.[解析]（Ⅰ）在平i 1C i 1内过点E 作EF ∥i 1C 交C i 1于F ，则CF=2F i 1则四边形i 1EFD 就是过i 1、D 、E 的平面被该几何体i 1i 1i 1-ABCD 截得的 截面
证明如下：由正方形及菱形的性质可知
i 1i 1i 1i 1i 1i 1i 1i 1
i 1i 1i 1i 1i 1i 1i 1i 1√3√3i 1i 1√3i 1i 1i ??????????? |i 1i |?????????????? |ii 1|?????????????? √3ii ????????? √3i 1i 1i ??????????? i 1i ??????????? √3√3i 1|i ·ii
?????????? ||i ||
ii |
???????????? |(?√3)(?2√3)+1ｘ8+1ｘ4|
√（?√3）2+12+12√（?2√3）2+82+42
9√115115i 1i 9√115
115解析]（1）由频率分布直方图可知各组人数依次为5,10,15,10,5,5
(i ?8)2+16]=32
3
解得a=4，b=8，所以各组赞成人数依次为4,8,12,5,2,1. 2ｘ2列表如下：
年龄低于55岁的人数 年龄不低于55岁的人数
合计 赞成 29 3 32 不赞成 11 7 18 合计 40 10 50
i 2=
50ｘ（29ｘ7?3ｘ11）
2
（29+3）（11+7）（29+11）（3+7）
≈＜
∴没有99%的把握认为年龄以55岁为分界点对“延迟退休”的态度有差异、、、、、、6分
（Ⅱ）随机变量x 的所有可能取值为0,1,2,3，
P （x=0）=i 4
2i 52ｘi 82i 10
2=610ｘ2845=84225
P （x=1）=i 41i 52ｘi 82i 102+i 42i 52ｘi 81ｘi 21
i 102=104
225
P （x=2）=i 41i 52ｘi 81ｘi 21i 102+i 4
2i 52ｘi 22i 10
2=35225
P （x=3）=i 4
1i 52ｘi 22i 10
2=2225
∴随机变量x 的分布列为
X 0
1 2 3
P （x ） 84225
104
225
35
225 2225
∴E （x ）=0ｘ84225+1ｘ104225+2ｘ35225+3ｘ2225=4
5、、、、、、、、、12分 20.[解析]（Ⅰ）由题知A(-2，0),D(0，1) 故a=2，b=1、、、、、、2分 所以椭圆c
的方程为i 2
4+i 2=1、、、、、、、、、、、、、、4
分
（Ⅱ）设直线AS 的方程为y=k （x+2）（k >0），从而可知M 点的坐标为（10
3，
16i
3
）、、、、、、、、6分
由y=k （x+2）
i 2
4+i 2=1 得
s （2?8i 21+4i 2，4i
1+4i 2）、、、、、、、、8
分
所以可得BS 的方程为y=-1
4i
（x-2），从而可知N 点的坐标（103
，-
1
3i
）、、、、、、、、11分
∴|MN|=
16i 3+13i ≧8
3，当且仅当k=1
4时等号成立，故当k=1
4时，线段MN 的长度取
得最小值8
3、、、、、、、12分 21.[解析]（Ⅰ）解：依题意得f'（x ）=
i +a
i
?1i x （x +a）
2
，
所以i 1（1）=1+i
(1+i )2=1
1+i ，又由切线方程可得i 1(1)=1 即1
1+a =1,解得a=0，此时f(x)=1nx
i ，i 1（x ）=
1?1i x
i 2
令i 1(x)>0，即1-1nx >0，得0
所以f(x)的增区间为（o ，e ），减区间为（e ，+∞）、、、、、、、、、、、、4分 所以f （2016）>f(2017)即
1i 20162016
>
1i 2017
2017
20171n >1n2017，,20162017>20172016、、、、、、、6分
（Ⅱ）证明：不妨设i 1>i 2>0，因为g(i 1)=g(i 2)=0 所以化简得1n i 1-k i 1=0 , 1n i 2-k i 2=0
可得1n i 1+1n i 2=k （i 1+i 2）, 1n i 1-1n i 2=k （i 1?i 2） 要证明i 1i 2>i 2，
即证明1n i 1+1ii 2>2，也就是k （i 1+i 2）>2、、、、、、、、8分 因为k=
1ii 1?1ii 2i 1?i 2，所以即证
1ii 1?1ii 2
i 1?i 2
>2
i
1+i 2
，
即1n i
1i 2
>i 1?i
2i 1
+i 2
，令i
1i 2
=t ，则t >1
即证1nt >
2（t ?1）
i +1
令h （t ）=1nt-
2（t ?1）
i +1
（t >1） 由i 1（t ）=1i -4（t +1）2=（t ?1）
2
i （t +1）
2
>0
故函数h （t ）在（1，+∞）是增函数 所以h （t ）>h （1）|=0，即1nt >
2（t ?1）
i +1
得证 所以i 1i 2>i 2、、、、、、、、、、12分
22.[解析]（Ⅰ）由曲线c 的极坐标方程可得ρsin 2θ=2cos θ即ρ2sin 2θ=2ρcos θ
化成直角坐标方程为i 2=2x、、、、、、、、4分 （Ⅱ）联立直线1的参数方程与曲线c 方程可得
（1+35t）2=2（1+4
5i ）整理得
9i 2-10t-25=0、、、、、、、、、、、、7分
i 1+i 2=109，i 1·i 2=-25
9
∵i 1·i 2=-25
9<0，于是点P 在AB 之间
∴1|ii |+1
|ii |=|ii |+|ii ||ii |·|ii |=|i 1?i 2i 1·i 2
|=√（i 1+i 2）2
?4i 1i 2|i 1·i 2|
=
10√109ｘ925=2√10
5
、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、10分
当0 2时，由-x+3≦9，解得0 2时，由3x-3≦9，解得3 2 所以不等式f （x ）≦9的解集为{x1-2≦x ≦4}、、、、、、、、、、、5分 （Ⅱ）函数y=f （x ）-a 的图像与x 轴围成的四边形是如图所示的四边形ABCD ， 由于该图形的面积不小于21 2，f （0）=3，故a >3 此时A （3 2，3 2?i ），B （ 3+i 3，0）,C(3?i 3 ，0)，D （0,3-a ），E （2,3-a ） △ADE 的面积为1 2ｘ（2-0）ｘ[（3-a ）-（3 2?i ）]=3 2 梯形BCDE 的面积为 2+29 32 ｘ（a-3） 所以32+2+29 32ｘ（a-3）≥21 2 所以2+29 32ｘ（a-3）≥9 即i 2≥36，解得a ≥6，即实数a 的取值范围是[6，+∞)、、、、、、、、、 10分