2006年至2020年历年浙江高考数学压轴题数列
2020年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)数学 20.已知数列{a n },{b n },{c n }中,111112
1,,()n
n n n n n n b a b c c a a c c n b +++====-=
?∈*N . (Ⅰ)若数列{b n }为等比数列,且公比0q >,且1236b b b +=,求q 与a n 的通项公式; (Ⅱ)若数列{b n }为等差数列,且公差0d >,证明:1211n c c c d
+++<+
.
20.(本题满分15分)已知等比数列{a n}的公比q>1,且a3+a4+a5=28,a4+2是a3,a5的等差中项.数列
{b n}满足b1=1,数列{(b n+1?b n)a n}的前n项和为2n2+n.
(Ⅰ)求q的值;
(Ⅱ)求数列{b n}的通项公式.
22.(本题满分15分)已知数列{x n }满足:x 1=1,x n =x n +1+ln(1+x n +1)().
证明:当时, (Ⅰ)0<x n +1<x n ; (Ⅱ)2x n +1? x n ≤; (Ⅲ)≤x n ≤
.
*
∈N n *
∈N n 1
2n n x x +1
12
n +2
1
2
n +
2016年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)数学 20.(本题满分15分)设数列{}n a 满足1
12
n n a a +-≤,n *∈N . (I )证明:()
1122n n a a -≥-,n *
∈N ;
(II )若32n
n a ??≤ ???
,n *∈N ,证明:2n a ≤,n *
∈N .
20、(本题满分15分) 已知数列{}n a 满足1a =12
且1n a +=n a -2
n a (n ∈*N ) (I)
证明:11
2n
n a a +≤
≤(n ∈*N )
; (II) 设数列{}
2
n a 的前n 项和为n S ,证明
112(2)2(1)
n S n n n ≤≤
++(n ∈*
N ).
19(本题满分14分)已知数列{}n a 和{}n b 满足()()*
∈=N n a a a n
b n 221 .若{}n
a 为等比
数列,且.6,2231b b a +== (1)求n a 与n b ; (2)设()
*∈-=
N n b a c n
n n 11。记数列{}n c 的前n 项和为n S . (i )求n S ;
(ii )求正整数k ,使得对任意*∈N n ,均有n k S S ≥.
(19)(本题满分14分)已知公差不为0的等差数列{}n a 的首项1a 为a(a R ∈),设数列的前n 项和为n S ,且
11a ,21a ,4
1
a 成等比数列 (1)求数列{}n a 的通项公式及n S (2)记1231111
...n n A S S S S =
++++,212221111...n
n B a a a a =++++
,当2n ≥时,试比较n A 与n B 的大小.
(22)(本题14分)已知数列{}n a ,0≥n a ,01=a ,)(12
12
1?++∈=-+N n a a a n n n .记
n
n a a a S +++= 21.
)
1()1)(1(1
)1)(1(11121211n n a a a a a a T +++++++++=
. 求证:当?
∈N n 时, (Ⅰ)1+ (21)(本题15分)已知数列{}n a 中的相邻两项212k k a a -,是关于x 的 方程2(32)320k k x k x k -++=的两个根,且212(1 23)k k a a k -=≤,,,. (I )求1a , 3a ,5a ,7a ; (II )求数列{}n a 的前2n 项和2n S ; (Ⅲ)记sin 1()32sin n f n n ??= + ??? , (2)(3)(4)(1) 123456212(1)(1)(1)(1)f f f f n n n n T a a a a a a a a +-----=++++ …, 求证:15 ()624 n T n ∈*N ≤≤. (20)已知函数f(x)=x3+ x3,数列|x n|(x n>0)的第一项x n=1,以后各项按如下方式取定: 曲线x=f(x)在 )) ( , ( 1 1+ +n n x f x 处的切线与经过(0,0)和(x n,f (x n))两点的直线平行(如 图) . 求证:当n * N ∈时, (Ⅰ)x ; 2 3 1 2 1 2 + + + = + n n n n x x x (Ⅱ) 2 1) 2 1 ( ) 2 1 (- -≤ ≤n n n x 高考数学中的放缩技巧 证明数列型不等式,因其思维跨度大、构造性强,需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性,能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力,因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是:通过多角度观察所给数列通项的结构,深入剖析其特征,抓住其规律进行恰当地放缩;其放缩技巧主要有以下几种: 一、裂项放缩 例1.(1)求 ∑=-n k k 1 2 142 的值; (2)求证: 3 51 1 2 < ∑=n k k . 解析:(1)因为121121)12)(12(21 422+--=+-= -n n n n n ,所以12212111 4212 +=+-=-∑=n n n k n k (2)因为??? ??+--=-=- <1211212144 4 11 1 222n n n n n ,所以35321121121513121112=+?? ??+--++-+<∑=n n k n k Λ 奇巧积累:(1)??? ??+--=-< =1211212144 4412 2 2n n n n n (2)) 1(1)1(1)1()1(21211+--=-+=+n n n n n n n C C n n (3))2(1 11)1(1!11)!(!!11 ≥--=-<-=? =+r r r r r r n r n r n n C T r r r n r (4)2 5 )1(12311 2111)11(<-++?+ ?++<+n n n n Λ (5) n n n n 2 1121)12(21--=- (6) n n n -+<+22 1 (7))1(21)1(2--<<-+n n n n n (8) n n n n n n n 2)32(12)12(12 13211221?+-?+=???? ??+-+- (9) ? ? ? ??++-+=+++??? ??+-+=-+k n n k k n n n k k n k n k 11111)1(1,11111)1(1 (10) !)1(1!1!)1(+-=+n n n n (11) 2 1 2121 21222)1212(21 -++ = -++= --+ 专题六 数列 1.【2015高考重庆,理2】在等差数列{}n a 中,若2a =4,4a =2,则6a = ( ) A 、-1 B 、0 C 、1 D 、6 【答案】B 【解析】由等差数列的性质得64222240a a a =-=?-=,选B . 【考点定位】本题属于数列的问题,考查等差数列的通项公式及等差数列的性质. 【名师点晴】本题可以直接利用等差数列的通项公式求解,也可应用等差数列的性质求解,主要考查学生灵活应用基础知识的能力.是基础题. 2.【2015高考福建,理8】若,a b 是函数()()2 0,0f x x px q p q =-+>> 的两个不同的零 点,且,,2a b - 这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则p q + 的值等于( ) A .6 B .7 C .8 D .9 【答案】D 【解析】由韦达定理得a b p +=,a b q ?=,则0,0a b >>,当,,2a b -适当排序后成等比数列时,2-必为等比中项,故4a b q ?==,.当适当排序后成等差数列时,2-必不是等差中项,当a 是等差中项时,,解得1a =,4b =;当 4 a 是等差中项时,,解得4a =,1b =,综上所述,5a b p +==,所以p q +9=,选D . 【考点定位】等差中项和等比中项. 【名师点睛】本题以零点为载体考查等比中项和等差中项,其中分类讨论和逻辑推理是解题核心.三个数成等差数列或等比数列,项及项之间是有顺序的,但是等差中项或等比中项是唯一的,故可以利用中项进行讨论,属于难题. 3.【2015高考北京,理6】设{}n a 是等差数列. 下列结论中正确的是( ) A .若120a a +>,则230a a +> B .若130a a +<,则120a a +< C .若120a a <<,则2a > D .若10a <,则()()21230a a a a --> 【答案】C 第2课时 数列的综合应用 题型一 数列和解析几何的综合问题 例1 (2004·浙江)已知△OBC 的三个顶点坐标分别为O (0,0),B (1,0),C (0,2),设P 1为线段BC 的中点,P 2为线段CO 的中点,P 3为线段OP 1的中点,对于每一个正整数n ,P n +3为线段 P n P n +1的中点,令P n 的坐标为(x n ,y n ),a n =1 2 y n +y n +1+y n +2. (1)求a 1,a 2,a 3及a n 的值; (2)求证:y n +4=1-y n 4 ,n ∈N * ; (3)若记b n =y 4n +4-y 4n ,n ∈N * ,求证:{b n }是等比数列. (1)解 因为y 1=y 2=y 4=1,y 3=12,y 5=3 4, 所以a 1=a 2=a 3=2, 又由题意可知y n +3= y n +y n +1 2 , 所以a n +1=1 2y n +1+y n +2+y n +3 =12y n +1+y n +2+y n +y n +12 =1 2y n +y n +1+y n +2=a n , 所以{a n }为常数列, 所以a n =a 1=2,n ∈N * . (2)证明 将等式12y n +y n +1+y n +2=2两边除以2得14y n +y n +1+y n +2 2=1. 又因为y n +4= y n +1+y n +2 2 , 所以y n +4=1-y n 4,n ∈N * . (3)证明 因为b n +1=y 4n +8-y 4n +4 =? ????1- y 4n +44-? ?? ?? 1-y 4n 4 =-14(y 4n +4-y 4n )=-1 4b n , 又因为b 1=y 8-y 4=-1 4 ≠0, 2011高考数学压轴题专题训练--数列(36页WORD ) 第六章 数列 高考题 三、解答题 22.(2009全国卷Ⅰ理)在数列{}n a 中,1111 1,(1)2 n n n n a a a n ++==++ (I )设n n a b n = ,求数列{}n b 的通项公式 (II )求数列{}n a 的前n 项和n S 分析:(I )由已知有 1112n n n a a n n +=++11 2 n n n b b +∴-= 利用累差迭加即可求出数列{}n b 的通项公式: 1 122 n n b -=-(* n N ∈) (II )由(I )知1 22n n n a n -=- , ∴n S =11(2)2n k k k k -=-∑111(2)2n n k k k k k -===-∑∑ 而 1 (2)(1)n k k n n ==+∑,又11 2n k k k -=∑ 是一个典型的错位相减法模型, 易得 11 12 42 2n k n k k n --=+=-∑ ∴n S =(1)n n +1242n n -++- 评析:09年高考理科数学全国(一)试题将数列题前置,考查构造新数列和利用错位相减法求前n 项和,一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式。具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能,重视两纲的导向作用。也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心。 23.(2009北京理)已知数集{}()1212,, 1,2n n A a a a a a a n =≤<<≥具有性质P ;对任意的 (),1i j i j n ≤≤≤,i j a a 与 j i a a 两数中至少有一个属于A . (Ⅰ)分别判断数集{}1,3,4与{}1,2,3,6是否具有性质P ,并说明理由; 放缩技巧 (高考数学备考资料) 证明数列型不等式,因其思维跨度大、构造性强,需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性,能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力,因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是:通过多角度观察所给数列通项的结构,深入剖析其特征,抓住其规律进行恰当地放缩;其放缩技巧主要有以下几种: 一、裂项放缩 例1.(1)求∑ =-n k k 1 2142的值; (2)求证:3 511 2 <∑=n k k . 解析:(1)因为 121121)12)(12(21 422+--=+-= -n n n n n ,所以12212111 4212 +=+-=-∑=n n n k n k (2)因为 ??? ??+--=-=- <1211212144 4 11 1222 n n n n n ,所以35321121121513121112=+?? ??+--++-+<∑=n n k n k 奇巧积累 : (1) ?? ? ??+--=-<=1211212144441222n n n n n (2) ) 1(1)1(1)1()1(212 11+--=-+=+n n n n n n n C C n n (3))2(111)1(1!11)!(!!11 ≥--=-<-=? =+r r r r r r n r n r n n C T r r r n r (4)2 5 )1(12311 2111)11(<-+ +?+?++<+n n n n (5) n n n n 2 1 121)12(21--=- (6) n n n -+<+22 1 (7))1(21)1(2--<<-+n n n n n (8) n n n n n n n 2)32(1 2)12(12 13211 221 ?+-?+= ???? ??+-+- (9) ? ? ? ??++-+=+++??? ??+-+=-+k n n k k n n n k k n k n k 11111)1(1,11111)1(1 (10) ! )1(1!1!)1(+- =+n n n n (11) 2 12121 21222)1212(21-++ = -++= --+ 2018试题分类汇编---------数列 一、填空题 1.(北京理4改)“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理 论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122.若第一个单音的频率为f ,则第八个单音的频率为__________. 1.1272f 2.(北京理9)设{}n a 是等差数列,且a 1=3,a 2+a 5=36,则{}n a 的通项公式为__________. 2.63n a n =- 3.(全国卷I 理4改)设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,若3243S S S =+,12a =,则=5a __________. 3.10- 4.(浙江10改).已知1234,,,a a a a 成等比数列,且1234123ln()a a a a a a a +++=++.若11a >,则13,a a 的大小关系是_____________,24,a a 的大小关系是_____________. 4.1324,a a a a >< 5.(江苏14).已知集合*{|21,}A x x n n ==-∈N ,*{|2,}n B x x n ==∈N .将A B 的所有元素从小到大依 次排列构成一个数列{}n a .记n S 为数列{}n a 的前n 项和,则使得112n n S a +>成立的n 的最小值为__________. 5.27 二、解答题 6.(北京文15)设{}n a 是等差数列,且123ln 2,5ln 2a a a =+=. (1)求{}n a 的通项公式; (2)求12e e e n a a a +++. 6.解:(1)设等差数列{}n a 的公差为d ,∵235ln 2a a +=,∴1235ln 2a d +=, 又1ln 2a =,∴ln 2d =.∴1(1)ln 2n a a n d n =+-=. (2)由(I )知ln 2n a n =,∵ln2ln2e e e =2n n a n n ==, ∴{e }n a 是以2为首项,2为公比的等比数列.∴2 12ln2ln2ln2e e e e e e n n a a a ++ +=++ + 2=222n +++1=22n +-.∴12e e e n a a a +++1=22n +-. 7.(全国卷I 文17)已知数列{}n a 满足11a =,()121n n na n a +=+,设n n a b n = . (1)求123b b b , ,; (2)判断数列{}n b 是否为等比数列,并说明理由; (3)求{}n a 的通项公式. 7.解:(1)由条件可得a n +1=2(1) n n a n +.将n =1代入得,a 2=4a 1,而a 1=1,所以,a 2=4. 将n =2代入得,a 3=3a 2,所以,a 3=12.从而b 1=1,b 2=2,b 3=4. (2){b n }是首项为1,公比为2的等比数列. 由条件可得121n n a a n n +=+,即b n +1=2b n ,又b 1=1,所以{b n }是首项为1,公比为2的等比数列. (3)由(2)可得12n n a n -=,所以a n =n ·2n -1. 8.(全国卷II 理17)记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,已知17a =-,315S =-. (1)求{}n a 的通项公式; (2)求n S ,并求n S 的最小值. 8. 解:(1)设{}n a 的公差为d ,由题意得13315a d +=-.由17a =-得d =2.所以{}n a 的通项公式为 29n a n =-.(2)由(1)得228(4)16n S n n n =-=--,所以当n =4时,n S 取得最小值,最小值为?16. 最新文件---------------- 仅供参考--------------------已改成-----------word 文本 --------------------- 方便更改 赠人玫瑰,手留余香。 第3讲 数列不等式的证明问题(选用) 高考定位 1.数列中不等式的证明是浙江高考数学试题的压轴题;2.主要考查数学归纳法、放缩法、反证法等数列不等式的证明方法,以及不等式的性质;3.重点考查学生逻辑推理能力和创新意识. 真 题 感 悟 (2017·浙江卷)已知数列{x n }满足:x 1=1,x n =x n +1+ln(1+x n +1)(n ∈N * ). 证明:当n ∈N * 时, (1)0<x n +1<x n ; (2)2x n +1-x n ≤ x n x n +1 2 ; (3)12n -1≤x n ≤12n - 2. 证明 (1)用数学归纳法证明:x n >0. 当n =1时,x 1=1>0. 假设n =k (k ≥1,k ∈N * )时,x k >0, 那么n =k +1时,若x k +1≤0,则0<x k =x k +1+ln(1+x k +1)≤0,矛盾,故x k +1>0, 因此x n >0(n ∈N * ). 所以x n =x n +1+ln(1+x n +1)>x n +1, 因此0<x n +1<x n (x ∈N * ). (2)由x n =x n +1+ln(1+x n +1)得, x n x n +1-4x n +1+2x n =x 2n +1-2x n +1+(x n +1+2)ln(1+x n +1). 记函数f (x )=x 2 -2x +(x +2)ln(1+x )(x ≥0). f ′(x )=2x 2 +x x +1 +ln () 1+x >0(x >0), 函数f (x )在[0,+∞)上单调递增,所以f (x )≥f (0)=0, 因此x 2 n +1-2x n +1+(x n +1+2)ln(1+x n +1)=f (x n +1)≥0, 故2x n +1-x n ≤ x n x n +1 2 (n ∈N * ). (3)因为x n =x n +1+ln(1+x n +1)≤x n +1+x n +1=2x n +1, 所以x n ≥12x n -1≥122x n -2≥…≥12n -1x 1=1 2n -1. 故x n ≥1 2n - 1. 由 x n x n +1 2 ≥2x n +1-x n 得 1 x n +1-12≥2? ???? 1x n -12>0, 所以1x n -12≥2? ????1x n -1-12≥…≥2n -1? ????1x 1-12=2n -2, 故x n ≤1 2n - 2.高考数学中的放缩技巧
2015高考数学分类汇编数列
(浙江专用)2020版高考数学 数列的综合应用讲义(含解析)
2011高考数学压轴题专题训练
高考数学_压轴题_放缩法技巧全总结(最强大)
2018年高考数学试题分类汇编数列
浙江2019高考数学二轮复习专题三数列第3讲数列不等式的证明问题选用学案(优选.)
最新高考数学压轴题专题训练(共20题)[1]