高一数学平面向量知识点及典型例题解析
高一数学平面向量知识点
及典型例题解析
Prepared on 22 November 2020
高一数学 第八章 平面向量
第一讲 向量的概念与线性运算 一．【要点精讲】 1．向量的概念
①向量：既有大小又有方向的量。几何表示法AB ，a
；坐标表示法
),(y x j y i x a =+=
。
向量的模（长度），记作|AB |.即向量的大小，记作｜a
|。向量不能比较大小，
但向量的模可以比较大小.②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，规定0平行于任何向量。（与0的区别）
③单位向量｜0
a ｜＝1。④平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量，
记作a ∥b
⑤相等向量记为b a
=。大小相等，方向相同
),(),(2211y x y x =???==?2121
y y x x
2．向量的运算（1）向量加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法.如图，已知向量a ，b ，在平面内任取一点A ，作AB =a ，BC =b ，则向量AC 叫做a 与b 的
和，记作a+b ，即 a+b AB BC AC =+=
特殊情况：
a
b
a
b a+b
b
a
a+b
(1)
平行四边形法则三角形法则C
B
D
C
B
A
向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：
AB BC CD PQ QR AR +++
++=，但这时必须“首尾相连”。②向量减法： 同一
个图中画出a b a b +-、
要点:向量加法的“三角形法则”与“平行四边形法则”（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。（2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点.（3）实数与向量的积
3．两个向量共线定理：向量b 与非零向量a
共线?有且只有一个实数λ，使得b =a
λ。 二．【典例解析】
题型一： 向量及与向量相关的基本概念概念 例1判断下列各命题是否正确
(1)零向量没有方向 (2)若
b a ==则,
(3)单位向量都相等 (4) 向量就是有向线段
(5)两相等向量若共起点,则终点也相同 (6)若b a =，c b =，则c a =；
(7)若b a //，c b //，则c a // (8) b a =的充要条件是||||b a =且b a //；
(9) 若四边形ABCD 是平行四边形,则==,A
练习. (四川省成都市一诊)在四边形ABCD 中，“AB →＝2DC →”是“四边形ABCD 为梯形”的
A 、充分不必要条件
B 、必要不充分条件
C 、充要条件
D 、既不充分也不必要条件
题型二: 考查加法、减法运算及相关运算律 例2 化简)()(---=
练习1.下列命题中正确的是 A ．OA OB AB -= B ．0AB BA += C ．00AB ?= D ．AB BC CD AD ++= 2.化简AC -BD +CD -AB 得 A ．AB B ．DA C ． D
．0
3．如图，D 、E 、F 分别是△ABC 的边AB 、BC 、CA 的中点，则( ) ＋BE
→＋CF →＝0 －CF →＋DF →＝0
＋CE
→－CF →＝0 －BE →－FC →＝0 题型三: 结合图型考查向量加、减法 例3在ABC ?所在的平面上有一点P ，满足
PA PB PC AB ++=，则PBC ?与ABC ?的面积之比是( )
A ．13
B ．12
C ．23
D ．34
例4重心、垂心、外心性质
练习: 1．如图，在ΔABC 中，D 、E 为边AB 的两个三等分点，CA → =3a ，CB → =2b ，求CD → ，CE → ． 2已知
a b a b
+-=求证a b ⊥
3若O 为ABC ?的内心，且满足
()(2)0OB OC OB OC OA -?+-=，则ABC ?的形状为（ ）
A.等腰三角形
B.正三角形
C.直角三角形
D.钝角三角形 4．已知O 、A 、B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足2AC →＋CB →＝0，则OC
→＝( ) A ．2OA
→－OB → B ．－OA →＋2OB → OA →－13OB → D ．－13OA →＋23OB → 5．已知平面上不共线的四点O ，A ，B ，C .若OA →－3OB →＋2OC →
＝0，则|AB →|
|BC →|等于
________．
6．已知平面内有一点P 及一个△ABC ，若PA
→＋PB →＋PC →＝AB →，则( )
A ．点P 在△ABC 外部
B ．点P 在线段AB 上
C ．点P 在线段BC 上
D ．点P 在线段AC 上
A
B
D E
7．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →
，则λ等于( )
C ．－13
D ．－2
3 题型四: 三点共线问题
例4 设21,e e 是不共线的向量,已知向量2121212,3,2e e CD e e CB e k e AB -=+=+=,若A,B,D 三点共线,求k 的值
例5已知A 、B 、C 、P 为平面内四点， A 、B 、C 三点在一条直线上 PC → =mPA →
+nPB
→ ，求证： m+n=1． 练习：1．已知：2121212 ,B ),(3e e e +=-=+=，则下列关系一定成立的是（ ）
A 、A ，
B ，
C 三点共线 B 、A ，B ，
D 三点共线 C 、C ，A ，D 三点共线 D 、B ，C ，D 三点共线
2．(原创题)设a ，b 是两个不共线的向量，若AB
→＝2a ＋k b ，CB →＝a ＋b ，CD →＝2a
－b ，且A ，B ，D 三点共线，则实数k 的值等于________． 第2讲 平面向量的基本定理与坐标表示
一．【要点精讲】1．平面向量的基本定理如果21,e e 是一个平面内的两个不共线
向量，那么对这一平面内的任一向量a
，有且只有一对实数21,λλ使：
2211e e a λλ+=其中不共线的向量21,e e
叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 2．平面向量的坐标表示
B C
A
O
M D
如图，在直角坐标系内，我们分别取与x 轴、y 轴方向相同的_单位向量_ i 、
j 任作一个向量a ，有且只有一对实数x 、y ，使得a xi yj =+…………
○1，把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作(,)a x y =…………○2其中x 叫做a 在
x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，○2式叫做向量的坐标表示
与a 相等的向量的坐标也为,(y x 特别地，(1,0)i =，(0,1)j =，0(0,0)=
特别提醒：设yj xi OA +=，则向量的坐标),(y x 就是点A 的坐标；反过来，点
A 的坐标),(y x 也就是向量OA 的坐标因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向
3．平面向量的坐标运算
（1）若11(,)a x y =，22(,)b x y =，则a b +=
1212(,)
x x y y ++，a b -=
1212(,)
x x y y --
（2） 若),(11y x A ，),(22y x B ，则AB = （3）若(,)a x y =和实数λ，则
a λ=(,)x y λλ
4．向量平行的充要条件的坐标表示：设a
=(x 1, y 1) ，b =(x 2, y 2) 其中b a a ∥b (b
)的充要条件是12210x y x y -=
二．【典例解析】
题型一. 利用一组基底表示平面内的任一向量
[例1] 在△OAB 中，21,41==，AD 与BC 交于
点M ，
设OA =a ，OB =b ，用a ,b 表示OM .
练习:1．若已知1e 、2e 是平面上的一组基底，则下列各组向量中不能作为基底的一组是 ( )
A ．1e 与—2e
B ．31e 与22e
C ．1e ＋2e 与1e —2e
D ．1e 与21e 2．在平行四边形ABCD 中，
E 和
F 分别是边CD 和BC 的中点，若AC →＝λAE →＋
μAF
→，其中λ、μ∈R ，则λ＋μ＝________. 题型二: 向量加、减、数乘的坐标运算
例3 已知A （—2,4）、B （3,—1）、C （—3,—4）且
3=,2=,求点M 、N 的坐标及向量的
坐标.
练习:1. (2008年高考辽宁卷)已知四边形ABCD 的三个顶点A (0,2)，B (－1，－2)，C (3,1)，且BC
→＝2AD →，则顶点D 的坐标为( )
A ．(2，72)
B ．(2，－1
2) C ．(3,2) D ．(1,3) 2．若M(3, -2) N(-5, -1) 且
1
2MP =
MN , 求P 点的坐标；
3．若M(3, -2) N(-5, -1)，点P 在MN 的延长线上，且 12MP MN =
,
求P 点的坐标；
4.(2009年广东卷文)已知平面向量a =,1x （） ，b =2
,x x （－）， 则向量+a b ( )
A 平行于x 轴
B.平行于第一、三象限的角平分线
C.平行于y 轴
D.平行于第二、四象限的角平分线
5．在三角形ABC 中，已知A (2,3)，B (8，－4)，点G (2，－1)在中线AD 上，且AG
→＝2GD →， 则点C 的坐标是( )
A ．(－4,2)
B ．(－4，－2)
C ．(4，－2)
D ．(4,2)
6．设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，c ＝(－1，－2)，若表示向量4a 、4b －2c 、2(a －c )、d 的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d 为( ) A ．(2,6) B ．(－2,6) C ．(2，－6) D ．(－2，－6)
7．已知A (7,1)、B (1,4)，直线y ＝12ax 与线段AB 交于C ，且AC →＝2CB →，则实数a
等于( )
A ．2
B ．1 题型三: 平行、共线问题
例4已知向量(1sin ,1)θ=-a ，1
(,1sin )
2θ=+b ，若a ∥b ，则锐角θ等于（ ）
A ．30?
B ． 45?
C ．60?
D ．75?
例5．（2009北京卷文）已知向量(1,0),(0,1),(),a b c ka b k R d a b ===+∈=-， 如果//c d 那么
(
)
A ．1k =且c 与d 同向
B ．1k =且c 与d 反向
C ．1k =-且c 与d 同向
D ．1k =-且c 与d 反向
练习：1．若向量a
=(-1,x)与b =(-x, 2)共线且方向相同，求x
2．已知点O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)及t +=， 求(1)t 为何值时，P 在x 轴上P 在y 轴上P 在第二象限。
(2)四边形OABP 能否构成为平行四边形若能，求出相应的t 值；若不能，请说明理由。
3．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(0,1)，设u ＝a ＋k b ，v ＝2a －b ，若u ∥v ，则实数k 的值为( )
A ．－1
B ．－1
2 D ．1
4．已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若m a ＋n b 与a －2b 共线，则m
n 等于( )
A ．－1
2 B ．2 D ．－2
5．已知向量OA
→＝(1，－3)，OB →＝(2，－1)，OC →＝(m ＋1，m －2)，若点A 、B 、C
能构成三角形，则实数m 应满足的条件是( ) A ．m ≠－2 B ．m ≠1
2 C ．m ≠1 D ．m ≠－1
6．已知点)6,2(),4,4(),0,4(C B A ,试用向量方法求直线AC 和OB （O 为坐标原点）交点P 的坐标。
题型四：平面向量综合问题
例6． 已知ΔABC 的角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，设向量(,)m a b =，
(sin ,sin )n B A =，(2,2)p b a =-- .
若m n m p π
练习已知点A (－1,2)，B (2,8)以及AC
→＝13AB →，DA →＝－13BA →，求点
C 、
D 的坐标和CD
→的坐标．
第三讲 平面向量的数量积及应用一．【要点精讲】（1）两个非零向量的夹角已知非零向量a 与a ，作OA ＝a ，OB ＝b ，则∠A ＯA ＝θ（０≤θ≤π）叫a 与b 的夹角；
说明：两向量的夹角必须是同起点的，范围0≤≤180。
（2）数量积的概念非
零向量a 与b ， a ·b =︱a ︱·︱b ︱cos θ叫做a 与b 的数量积（或内积）。规定
00a ?=；向量的投影：︱b ︱cos θ=||a b
a ?∈R ，称为向量
b 在a 方向上的投影。投影的绝对值称为射影；
（3）数量积的几何意义： a ·
b 等于a 的长度与b 在a 方向上的投影的乘积.注意：⑴只要a ⊥b 就有a ·
b =0，而不必a =0或b =0． ⑵由a ·b =a ·
c 及a ≠0却不能推出b =c ．得|a |·|b |cos θ
1=|
a |·|c |cos θ2及|a |≠0，只能得到|
b |cos θ1=|
c |cos θ2，即b 、
c 在a 方向上投影相等，而不能得出b =c (见图)． ⑶ (a ·
b )
c ≠a (b ·c )，向量的数量积是不满足结合律的． ⑷对于向量a 、b ，有|a ·b |≤|a |·|b |，等号当且仅当a ∥b 时成立．
（4）向量数量积的性质①向量的模与平方的关系：22
||a a a a ?==。
C
θθ1
2
b c a
②乘法公式成立
(
)()
2
2
22a b a b a b a b
+?-=-=-；
()
2
2
2
2a b a a b b ±=±?+2
2
2a a b b
=±?+；
③向量的夹角：cos θ=
cos ,a b
a b a b
?<>=
?=2
2
2
22
12
12121y x y x y y x x +?++。
（5）两个向量的数量积的坐标运算
已知两个向量1122(,),(,)a x y b x y ==，则a ·
b =1212x x y y +。 （6）垂直：如果a 与b 的夹角为900则称a 与b 垂直，记作a ⊥b 。
两个非零向量垂直的充要条件：a ⊥b ?a ·b
＝O ?02121=+y y x x
（7）平面内两点间的距离公式设),(y x a =，则2
22||y x a +=或22||y x a +=。
221221)()(||y y x x a -+-=(平面内两点间的距离公式) .
二．【典例解析】 题型一：数量积的概念
例1．判断下列各命题正确与否：
（1）00a ?=；（2）00a ?=； （3）若0,a a b a c ≠?=?，则b c =；
（4）若a b a c ?=?，则b c ≠当且仅当0a =时成立；（5）()()a b c a b c ??=??对任意,,a b c 向量都成立；
题型二. 求数量积、求模、求夹角的简单应用
例2 23120o a b a b ==已知，，与的夹角为，求
2212323a b a b a b a b ?--?+（）；（）；（）（）（）；4a b +（）
题型三：向量垂直、平行的判定
例3．已知向量)3,2(=，)6,(x =，且//，则=x 。 例4．已知()
4,3a =，
()
1,2b =-，,m a b λ=-2n a b =+，按下列条件求实数λ
的值。
（1）m n ⊥；（2）//m n ；
(3)m n
=。
例5．已知： 、、是同一平面内的三个向量，其中 =（1，2） （1） 若||52=，且//，求的坐标；
（2）若||=,
25且2+与b a -2垂直，求与的夹角θ.
练习1 若非零向量α、β满足
αβαβ
+=-，证明:α⊥β
2 在△ABC 中，=(2, 3)，AC =(1, k )，且△ABC 的一个内角为直角， 求k 值
3．已知向量)1 , 1(=，) , 2(n =，若?=+||，则n =（ ） A ．3- B ．1- C ．1 D ．3
4.12a b a b a a b ==-已知，，且与垂直，求与的夹角。
5．知a b c ，，
为ABC △的三个内角A B C ，，的对边，向量
1)(cos sin )A A =-=，，m n ．若⊥m n ，且cos cos sin a B b A c C +=，则角
A B ，的大小分别为（ ） A ．
ππ
63
， B ．
2ππ
36
， C ．
ππ36
， D ．
ππ33
，
题型四：向量的夹角例6已知向量=(cos α,sin α),=(cos β,sin β),且±≠，求
b a +与b a -的夹角
练习1已知两单位向量a 与b 的夹角为0
120，若2,3c a b d b a =-=-，试求c 与d
的夹角。
2．| |=1，| |=2，= + ，且⊥，则向量与的夹角为
（ ）
A ．30°
B ．60°
C ．120°
D ．150°
3．设非零向量a 、b 、c 满足|a |＝|b |＝|c |，a ＋b ＝c ，则〈a ，b 〉＝( ) A ．150° B ．120° C ．60° D ．30°
4．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，－4)，|c |＝5，若(a ＋b )·c ＝52，则a 与c 的夹角为( )
A ．30°或150°
B ．60°或120°
C ．120°
D ．150°
5.过△ABC 的重心任作一直线分别交AB ，AC 于点D 、E ．若AD xAB =，
AE y AC =，0xy ≠，则11
x y +
的值为（ ）（A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）1解析：取△ABC 为正三角形易得
11x y +＝3．选B ． 4. 设向量a 与b
的夹角为θ，)3,3(=a ，)1,1(2-=-a b ，则cos θ= ．
5．在△ABC 中，(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2
，则三角形ABC 的形状一定是( ) A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形 D ．等腰直角三角形 .
6已知向量)2,(sin -=θ与)cos ,1(θ=互相垂直，其中
(0,)
2π
θ∈．
（1）求θsin 和θcos 的值；
（2
）若
sin(),0102πθ??-=
<<，求cos ?的值．
题型五：求夹角范围
例7已知||2||0a b =≠,且关于x 的方程2
||0x a x a b ++?=有实根,则a 与b 的夹角的
取值范围是
A.[0,6π]
B.[,]3ππ
C.2[,]33ππ
D.[,]
6π
π
练习1．设非零向量=)(x x 2,，=)(2,3x -，且，的夹角为钝角，求x 的取值范围
2．已知)2,(λλ=→
a ，)2,3(λ=→
b ,如果→a 与→
b 的夹角为锐角,则λ的取值范围是
3．设两个向量1e 、2e ，满足2||1=e ，1||2=e
，1e 、2e 的夹角为60°，若向量
2172e e t +与向量21e t e
+ 的夹角为钝角，求实数t 的取值范围.
4．如图，在Rt △ABC 中，已知BC=a ，若长为2a 的线段PQ 以点A 为中点，问
BC PQ 与
的夹角θ取何值时CQ BP ?的值最大并求出这个最大值.
（以直角顶点A 为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立坐标系） 题型六：向量的模
例8．已知向量a 与b 的夹角为120o
，3,13,
a a
b =+=则
b
等于（ ）
A ．5
B ．4
C ．3
D ．1
A
C
a
练习1平面向量a 与b 的夹角为0
60，a ＝(2,0), | b |＝1，则 | a ＋2b |等于
（ ）
2．已知平面上三个向量a 、b 、c
的模均为1，它们相互之间的夹角均为120°，
（1）求证：)(b a -⊥c
；（2）若1||>++c b a k )(R k ∈，求k 的取值范围. 3．平面向量,a b 中，已知(4,3),||1a b =-=，且5a b ?=，则向量b =______. 4．已知||=||=2，与的夹角为600，则+在上的投影为 。 5．设向量,a b 满足||||1,|32|3a b a b ==-=，则|3|a b += 。 6．已知向量,a b 的方向相同，且||3,||7a b ==，则|2|a b -=___ ___。
7、已知O ，N ，P 在ABC ?所在平面内，且,0
OA OB OC NA NB NC ==++=，
且PA PB PB PC PC PA ?=?=?，则点O ，N ，P 依次是ABC ?的 （ )
A.重心 外心 垂心
B.重心 外心 内心
C.外心 重心 垂心
D.外心 重心 内心
题型七：向量的综合应用
例9．已知向量OA →＝(2,2)，OB →＝(4,1)，在x 轴上一点P ，使AP →·BP →有最小值，则
P 点的坐标是________．
练习1．已知向量a 与向量b 的夹角为120°，若向量c ＝a ＋b ，且a ⊥c ，则|a ||b |的值为( )
C ．2
2．已知圆O 的半径为a ，A ，B 是其圆周上的两个三等分点，则OA →·AB →
＝( )
a 2 B ．－32a 2 a 2 D ．－3
2a 2
4．(原创题)三角形ABC 中AP 为BC 边上的中线，|AB →|＝3，AP →·BC →＝－2，则|AC →|
＝________.
5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知m ＝(cos 3A 2，sin 3A 2)，
n ＝(cos A 2，sin A
2)，且满足|m ＋n |＝ 3. (1)求角A 的大小；
6．在ABC ?中，0
，若3||=，5||=，则
BAC ∠=( )
7．已知O 为原点，点,A B 的坐标分别为)0,(a A ，),0(a B ，其中常数0>a ，点P 在线段AB 上，且有AB t AP =)10(≤≤t ，则OP OA ?的最大值为（ ）
8．已知向量
33(cos ,sin )22a x x =， (cos ,sin )
22x x
b =-。 （1）当
]
2,0[π
∈x ，求,||a b a b ?+； （2）若||2)(b a m b a x f +-?=≥23-
对一切实数x 都成立，求实数m 的取值范
围。
9. 若正方形ABCD 边长为1，点P 在线段AC 上运动，则)(PD PB AP +?的取值范
围是 ．[-2，41
]
10. 已知,a b 是两个互相垂直的单位向量, 且1?=c a ,1?=c b
,||=c 则对任意的正实
数t ,
1
||
t t ++c a b 的最小值是
. 各区期末试题
10. 在矩形ABCD 中，3AB =，1BC =，E 是CD 上一点，且1AE AB ?=，则AE AC ?的值为（ ）
19.如图，点P 是以AB 为直径的圆O 上动点，P '是点
P 关于AB 的对称点，2(0)AB a a =>.
（Ⅰ）当点P 是弧AB 上靠近B 的三等分点时，求
AP AB ?
的值；
（Ⅱ）求AP OP '?的最大值和最小值. （6）如图所示，点C 在线段BD 上，且3BC
CD ，则AD
（ ）
（A ）32AC AB - （B ）43AC AB -
（C ）4133AC AB - （D ）1233AC AB
-
(16) 在平面直角坐标系xOy 中，已知点(3,3)A ，(5,1)B ，(2,1)P ，点M 是直线
OP 上的一个动点.
（Ⅰ）求
PB
PA
的值；
（Ⅱ）若四边形APBM
是平行四边形，求点M 的坐标； （Ⅲ）求MA MB 的最小值.
B
3已知A 、B 、C 三点的坐标分别为()30A ，、()03B ，、()cos sin C αα，，且
π
3π2
2α??∈ ???，
.
⑵ 若
AC BC
=，求角α的值；
⑵ 若1AC BC ?=-，求22sin sin 21tan αα
α++的值.
2已知二次函数()f x 对任意x ∈R ，都有()()11f x f x -=+成立，设向量
()()()
1sin 22sin cos21122a x b x c x d ??==== ???，，，，，，，，当[]0πx ∈，时，求不等式()()
f a b f c d ?>?的解集.
2.若点M 是ABC ?所在平面内一点，且满足3143AM AB AC =
+，则:ABM ABC
S S ??等于（ ）
A.12
B. 13
C. 14
D. 1
5
6.已知O 为一平面上的定点，A ，B ，C 为此平面上不共线的三点，若
(2)0BC OB OC OA ?+-=， 则ABC ?的形状是 .
8.已知向量
3
(sin ,)
2x =a ，(cos ,1)x =-b . （1）当a ∥b 时，求2
cos sin 2x x -的值；
（2）设1x ，2x
为函数
()()f x =++?a b b 的两个零点，求12x x -的最小值．
(5)如图，用向量e 1，e 2表示向量a -b 为
( )
(A)-2e 2-4e 1
(B)-4e 2-2e 1
(C)e 2-3e 1
(D)-e 2+3e1
(12)已知OM=2
3OA+
1
3OB，设AM=λAB，那么实数λ的值是____________．
(16)已知向量a=(1
，b=(-2，0)．
(Ⅰ)求向量a-b的坐标以及a-b与a的夹角；(Ⅱ)当t∈[-1，1]时，求|a-t b|的取值范围．