探索勾股定理—教学设计及点评(获奖版)
1.1探索勾股定理（第1课时）
一、教材内容和内容分析
（一）教学内容
本节课是北师大版教材《数学八年级（上）》第一章勾股定理第一节的内容，主要学习勾股定理的探究、证明及简单应用．
（二）教学内容分析
勾股定理的内容是：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．它揭示了直角三角形三边之间的数量关系，把有一个角是直角这个形的特征转化成数量关系，搭建起了几何图形和数量关系之间的一座桥梁，体现了数形结合的思想方法. 它也是反映自然界基本规律的一条重要结论，勾股定理启发了人类对数学的深入思考，促成了三角学、解析几何学的建立，对数学进一步的发展拓宽了道路．因此，可以这样说，勾股定理是数学发展的重要根基之一．它不仅被认为是平面几何中最重要的定理之一，也被认为是数学中最重要的定理之一．
教学重点：探究并证明勾股定理
二、教学目标和目标解析
（一）教学目标
1.经历探索，验证勾股定理的过程，初步掌握勾股定理，进一步了解等面积法的应用；
2.通过不同证明方法的探究，进一步发展空间观念和推理能力，体会数形结合的数学思想；
3.借助勾股定理丰富的文化背景，培养学生的人文底蕴和科学精神的核心素养.
（二）教学目标解析
达成目标1：学生通过分析以特殊的直角三角形三边为边长的正方形面积之间的关系，归纳并合理地用数学语言表达勾股定理的结论．通过割补法构造图形验证勾股定理，从而理解直角三角形三边的数量关系．
达成目标2：以赵爽弦图和青朱出入图为载体，了解勾股定理各种证明方法之间的内在联系，即实质都是运用等面积法加以证明. 使学生感受多角度分析问题，多种方法解决问题. 同时，在图形的性质转化成数量关系的过程中，感受数形结合的思想．
达成目标3：通过了解勾股定理发展史，感受勾股定理所蕴含的厚重文化.同时，增强学生的民族
自豪感，感受数学对人类文明的发展所起的积极的推动作用.
三、教学问题诊断分析
八年级的学生已经具备了一定的分析和归纳能力，初步掌握了探索图形性质的基本方法.但学生对构造图形的方法证明几何命题的意识和能力还比较弱，对于如何将图形与数量关系相结合的证明方法还比较陌生.因此，在教学中让学生直接发现“直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方”有一定的难度，这就需要由特殊的个例入手.学生通过特殊的直角三角形三边满足的关系，思考和探究一般的直角三角形是否也满足这样的关系. 学生第一次尝试用构造图形的方法来证明定理存在较大的困难，课前的实验引入起到了方法启发的作用. 勾股定理其它证明方法的探究对于学生而言存在很大的挑战，教师问题的设置和及时及时的启发尤为关键.学生间的讨论、交流有利于学生自然、合理地发现勾股定理多种证明方法之间的联系. 最后，教师总结等面积法的方式很多，实质都是图形经过截、割、拼、补等.
教学难点：构造图形证明勾股定理，探究典型证明方法之间的本质共性.
四、教学支持条件分析
在七年级，学生一方面，通过《字母表示数》，《整式的运算》等章节的学习，初步形成了符号化的意识，能熟练进行整式的计算和化简；另一方面，通过《三角形》等章节的学习，积累了用割补法求图形面积的基本经验.
本课我主要采用教师问题启发，学生自主探究与合作交流相结合的教学方法．通过学生独立思考和互动研讨，充分经历“观察—猜想—归纳—验证—证明”的探索过程，突出教学重点．同时，在探索勾股定理的其它证法时，鼓励学生大胆尝试，注意关注学生思维历程，提升思维水平的深刻性．学生的学法突出自主探究，实践体验，合作交流．
五、教学过程设计
教学流程示意图
结合教材内容和教学目标，以及本班学生的学情，本课的教学环节及时间分配如下： 提出问题 深入探究 小结升华 教学过程
悟度 翼展勾股 （9分钟） （17分钟） 悟识 探究勾股 （21分钟） 悟境 初识勾股 （4分钟） （1分钟） 悟道 凝化勾股 （6分钟）
（17分钟）
（一）悟境——初识勾股
1.校史引入
同学们，马上就是我们学校2160年的校庆了，这节课我们先来了解一下学校的历史.
2160年了，身为石室人，我感到无比的骄傲. 其实啊，在漫长的历史长河中，我们还有很多伟大的成就. 单从数学方面来说，就有很多了不起的发现，有同学了解过吗？
因为反映定理内容的图形，形象直观，华罗庚曾经甚至建议把它作为与外星人联系的信号.那它到底神奇在哪里呢？
设计意图：用学校的历史引入，增加学生的亲切感.同时介绍勾股定理的历史起点，也是本节课暗线的起点，充分借助教材的章前图文激发学生的学习兴趣．
2.实验观察
在讲个定理之前，我们先来做一个实验，转动沙漏，同学们认真观察.
问题1：通过刚才的实验，你观察到了什么？
问题2：两个小正方形的面积之和等于大正方形面积，其实可以看成中间
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.那么，是不是所有的直角三角形都满足这样的关系？这就是我们今天主要探究的问题.
设计意图：
1.用实验引入，首先能吸引学生，激起学生的兴趣，在观察的实验的过程中，初步感受到两个小沙漏的体积之和等于下面大沙漏的体积；
2.生生互评，能够使我们对实验现象认识得更清楚，进一步思考，去掉厚度，能得到两个小正方形的面积之和等于大正方形的面积，如果学生没有进一步的结论，老师可以继续启发，三个正方形的面积，实际也分别是对应直角三角形的三条边的平方，从而获得一个关于直角三角形初步的结论：两直角边的平方和等于斜边的平方，从特殊的现象中提出问题.
（二）悟识——探究勾股
【教学内容与师生活动1】
问题1：对于一般的直角三角形，三边是否也存在这样的关系呢？
在数学上，我们通常可以从特殊到一般地来研究问题.据说，毕达哥拉斯到朋友家做客的时候，就是因为偶然地发现了地板砖上的特殊图案，从而总结出了勾股定理. 同学们可以看一下，这就是当时毕达哥拉斯发现的特殊图案.我们今天也从特殊到一般来研究勾股定理.
请同学们自己在练习本上任意画一个直角三角形进行验证.
学生活动：学生独立作图，绝大部分同学取的两条直角边为整数，个别同学三边取的分数；在验证关系时，只有少部分同学得到两直角边的平方和等于斜边的平方，大部分学生并没有得到同样的结
论．
追问1：看来有好多同学都发现了矛盾，这个矛盾究竟出在哪里？那么这个结论是否对任意的直角三角形都成立？还有没有更加严谨的方法可以说明？请同学们围绕这些疑惑交流讨论.
师生活动：尺规作图难免存在一定的误差，导致我们无法获得准确的判断.
追问2：那么我们能不能找到避免测量误差的更好的办法？
师生活动：学生通过几何画板，演示构造直角三角形，通过测量三边的长度以及计算两直角边的平方和与斜边的关系，验证确实直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．设计意图：学生独立作图初步感知，从特殊的直角三角形出发，到几何画板进一步获得验证，使学生感受在获得猜想时，及时用数学工具进行验证获得思路是一种非常有效的方式．【教学内容与师生活动2】
问题2：即使几何画板也不能一一验证任意结论，但它坚定了我们对结论的猜想，我们必须想办法严谨地证明.历史上的数学家爱好者们已经找到了近五百种勾股定理的证明方法，其中很多都是通过图形的割补完成的.现在同学们手上都有一张方格纸，请在方格纸上任意画一个直角三角形，用割或者补的方法来证明这个结论.
设计意图：此时直接让学生去证明三边的平方关系，难度很大，为了降低学生的思考难度，教师及时引导，回到课堂开始的图形，直接提示学生借助方格纸作图，利用面积的割或者补的方法得到边长的平方关系.以此，打开教学突破难点的缺口.
请同学们在方格纸上任意地画一个直角三角形，通过割或补的方法来证明它的三边是否满足：两直角边的平方和等于斜边的平方.
学生活动：学生独立作图，首先画出直角三角形，在验证三边的平方关系时，绝大部分同学都能以直角三角形的三边分别向外作了三个正方形，通过计算正方形的面积，来验证三边的平方关系. 这个过程中涉及到求方格纸中斜放的正方形的面积问题.请两位同学展示他们不同的验证方法.
追问1：你为什么会想到向外作三个正方形来验证？
追问2：你是如何求斜放的正方形的面积的？
追问3：通过我们在方格纸中任意作的一个顶点在格点的直角三角形，都能验证两直角边的平方和等于斜边的平方，那么我们能不能说对于所有的直角三角形，三边都满足这样的关系？
学生活动：学生从刚才自己的验证中能猜想到结论的正确性，但是推广到一般，还不能算严格的证明，因为方格纸具有特殊性，因此，想要获得一般性的结论，还需要弱化条件，在一般的平面上对一般的直角三角形进行说明．
设计意图：学生在方格纸上作图进一步验证，用割或者补的方法验证两个小正方形的面积之和等于大正方形的面积，进一步感知猜想的正确性.在这个过程中，学生初步感受构造法是证明问题的一种思路，用面积法验证平方关系，巩固求面积常用的割和补的方法.在不断追问中使学生体会到研究几何问题的一般思路：从特殊到一般，思考并理解怎样才能使问题一般化．
【教学内容与师生活动3】
问题3：那我还想问一下大家，如果我们把方格纸去掉，会对他们的证明有实质的影响吗？请同学们拿出A4纸，在空白处任意画一个直角三角形，用刚才两位同学的方法，尝试证明结论.
学生活动：先学生独立作图，尝试用字母表示数，将直角三角形的三边分别用a ，b ，c 来表示．在验证三边平方关系时，因为有了方格纸中割补法的启发，学生能较快完成作图，并用面积法进行验证，在证明222c b a =+时，绝大部分学生都将以c 为边的大正方形用两种不同的方法表示，通过代数式的化简，得到222c b a =+.从而验证结论的一般性.
方法1 将以c 为边的正方形补成更大的正方形. 方法2将以c 为边的正方形割成四个全等的 ()2222S a b a b ab =+=++ 直角三角形和一个边为()a b -的正方形. 又()2221422S a b c ab c ab =+=+?=+ ()22142
S c ab b a ==?+- ab c ab b a 22222+=++∴ 222c b a =+∴.
222c b a =+∴.
设计意图：有了实验的猜想和方格纸上验证获得的方法，学生对于结论一般性的验证能很快解决，理解把一个问题一般化的方式是用字母表示数，感受用面积的不同表示方法得到等式，通过代数式的化简，得到一般的结论的过程．
【教学内容与师生活动4】
c a b c a
板书：
勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
符号语言：如图，在Rt △ABC 中，若=90C ∠?，有222c b a =+.
设计意图：教师板书，既是呈现本节课教学内容的关键，同时，教师板书很重要的目的，就是传授知识的同时引导学生养成良好的书写，绘图，语言表达的习惯.
（三）悟度——翼展勾股
【教学内容与师生活动1】
勾股定理的内容简洁，结构优美，从古到今，无数数学家和数学爱好者都研究过这个定理的证明.刚才我们已经说到，勾股定理的证明方法已经有500多种. 下面请大家欣赏勾股定理的一些经典证法.
设计意图：这主要是一组国外的经典证法，一是让学生初步感受从古至今古人对勾股定理的热爱和探究，同时也为引出下一个环节引出中国古代的两种经典证明方法做好对比铺垫.
【教学内容与师生活动2】
其实，在众多的证明方法中，中国历史上关于勾股定理的证明有两颗璀璨明珠.接下来，我们一起分享中国历史上关于勾股定理的两颗璀璨的明珠.
教师直接展示赵爽弦图的证明思路，这个方法被哈佛大学教授库里奇称为“最省力的证明”.
展示完赵爽弦图的证明方法外，教师进一步介绍东汉数学家刘徽的“青朱出入图”，以及“青朱出入图”的证明方法.
设计意图：1.通过赵爽弦图和青朱出入图的介绍，再次感受数学文化，了解我国古代数学家对勾股定理的发现及证明作出的贡献，感悟古人的智慧，增强民族自豪感.
2.学生在观察两种证明思路的同时，调动学生思维的积极性，启发学生对接下来的问题做进一步思考.
【教学内容与师生活动3】
问题：对比刚才呈现的三种证明方法，如果我们从变换的角度看，思考它们有什么共同特点？
学生活动：小组讨论，在讨论与碰撞中发现证明方法的本质共性.
学生在作图过程中可能会有所发现，如下图所示：
设计意图：这个环节可以给学生充分的思考时间，通过再次动手作图，为学生积极创造从事数学活动的机会，调动学生的思维积极性. 通过赵爽弦图以及青朱出入图的介绍，感受数学文化的同时，启发学生站在巨人的肩膀上做进一步的思考，加深对定理的理解，进一步体会等面积法的多样性. 【教学内容与师生活动4】勾股定理的发展线就是人类文明发展的一个缩影，教师介绍勾股定理发展的一个历史线：
设计意图：使学生充分地感受到数学不仅仅是一门博大精深的科学，更是一种先进的人类文化. 整个数学的发展史就是人类物质文明和精神文明的发展史.
勾股定理极其深厚的数学文化底蕴是其它定理无法比拟的，学生对勾股定理多种证明方法的探究不仅仅是对基础知识和基本方法的学习，更是科学精神在数学学习中的具体体现.
c
b
a
c
b
a
（四）悟道——凝化勾股
【教学内容与师生活动】通过今天对勾股定理的探索，你有什么感受？
学生活动：学生从知识上，方法上，以及勾股定理历史文化上都可以谈自己的感想.
设计意图：让学生从不同角度回顾本节课所学习的内容，反思其中的数学思想方法，引发学生更深层次的思考，促进学生认知结构与思维品质的提高.
六、教学目标检测设计
为了检测学生课堂学习目标的达成情况，我设计了如下练习.
1.下列说法正确的是（）
A.若a，b，c是△ABC的三边，则222
+=
a b c
B.若a，b，c是Rt△ABC的三边，则222
a b c
+=
C.若a，b，c是Rt△ABC的三边，∠A=90°，则222
+=
a b c
D.若a，b，c是Rt△ABC的三边，∠C=90°，则222
+=第2题
a b c
2.如图，某储藏室入口的截面是一个半径为1.2m的半圆形，一个长，宽，高分别是1.2m，1m，0.8m 的箱子能放进储藏室吗？
3.装修工人买了一根装饰用的木条，乘电梯到小明家安装.如果电梯的长，宽，高分别是1.5m，2.0m，2.2m，那么能放入电梯内的木条的最大长度大约是多少米？你能估计出工人买的木条至少是多少米吗？
设计意图：练习1直接考查学生对勾股定理的掌握情况；练习2考查学生构造直角三角形，灵活运用定理的方法；练习3考查用勾股定理建立模型，解决生活实际问题的能力.
七、教学设计思路说明
从总体而言本节课的设计实施思路是：在教学中充分发挥教师的主导作用和学生的主体作用．教师为学生提供探索和讨论的问题情境和素材，使学生在自主探索和合作交流的基础上经历数学探索问题的一般步骤.
整堂课中，创设情境，以实验为背景，充分调动了学生的积极性. 独立探究，师生交流，生生交流使思维碰撞出火花，生成了一些新的思路，学生的表现超出了我的预期．在教师评价时，关注学生的参与程度和思维水平，关注学生对方法的掌握情况和灵活运用和理解定理的意识和能力.在教学过
程中尊重学生的个体差异，对于学生的不同思维方式，只要合理都给予鼓励和肯定，充分发挥教学评价的价值，同时为学生提供生生评价的平台，让学生间学会质疑，学会互相欣赏，学习和借鉴．
1.文化为线，贯穿课堂始终
我以探究和证明勾股定理的各种方法为主线，以勾股定理的发现、发展的历史文化背景和数学文化背景为暗线贯穿整堂课始终.
2．问题为串，设置层层铺垫
精心设计问题串，针对定理证明的重点和难点层层铺垫，引导学生独立探究，合作交流，思维不断地碰撞出火花，充分的体会了数形结合和转化等数学思想.
3．学生为本，发展核心素养
本节课以学生为本，通过丰富的课堂活动将几何直观、逻辑推理等数学学科核心素养与人文底蕴、科学精神等中学生核心素养紧密联系，体现了数学学科在培养品格健全人的方面的重要价值和作用.
八、教学反思
1.通过本节课的教学实践，我再次体会到：学生是课堂的主体.在教学过程中，师生一定会有共同的、积极的情感体验.在教学中努力把重心定位在知识形成的过程的探索，更加注重学生学习能力的培养，实践证明这种做法是正确的.今后的教学中，注重挖掘教材的能力生长点，挖掘教材的内涵，着眼于学生终身发展的需要，为学生的终身发展奠定基础.
2.数学具有严密的逻辑性和抽象性.而学生学习内容的呈现是从简单到复杂，思维方式是从具体到抽象的一个循序渐进的过程.对一个问题的解决不是教师将现成的方法传授给学生，而是教给学生解决问题的策略，让学生在积极思考，大胆尝试，主动探索中，合作交流中获得成功的体验.
课例点评
本节课邓老师对教材在整个学段的地位和作用理解准确，把控到位，目标定位符合课程标准要求，精准、具体、适合自己学生的认知能力。从课堂的设计与实施来看，邓老师从数学实验出发让学生通过猜想、观察、合情推理获得数学经验，再通过大量的数学活动，恰当地引导学生探索证明的不同思路和方法，突出演绎推理．在定理的获得过程中巧妙的融入数学文化，激发了学生对数学证明的兴趣，突显了学生思维培养的广阔性和灵活性．
一、教学过程设计合理，教学方法灵活高效
引入课程时选用所在学校为全国最古老的官办学校设置问题情境，引出古老的勾股定理课题，抓住学生心理需要，激发学生共鸣，引起学习兴趣。从精心设计的沙漏实验和各种有趣的拼图探索中抽
象出定理本质，引发学生思维冲突并尝试多种途径解决问题，达到引导学生从已有的数学知识出发，完成新的数学知识的学习与构建的教学意图，过程自然流畅，目标明确。
二、以学情为基，重视学生思维品质的培养
本节课邓老师始终为学生提供主动参与的机会，提出值得思考的问题，借助适当的图形变化获得猜想与联想，最后再通过演绎推理给出证明。引导学生以独立思考、自我建构、小组合作、相互质疑等方式动手、动口、动脑，让学生经历了完整的“发现问题—提出猜想—演绎推理”的过程，在培养学生直观想象、逻辑推理等素养方面有自己独到的思考。此外，在难点突破时，教师适时跟进点拨、提问启发、释疑、精准点评，数学文化的巧妙融入，信息技术与课堂教学的深度融合，能较好的提升学生的数学思维品质，在使学生对数学产生感情，了解数学的价值方面起到了很大的作用。这样的设计与实施，不但调动了学生学习数学的积极性，而且让学生品尝到了一种成功的喜悦，增强了学好数学的信心，体现了课堂教学以学生为本的课堂理念．
三、以问题为线，突显数学方法和思想的渗透
在课堂实施环节中，邓老师注重学生的主体地位，以面积“割补法”为引线，设计了层层递进的“问题串”，引导学生进行图案的平移、旋转，建立图形间的联系，使学生自然的体会探究过程。从网格中特殊直角三角形到三边任意变化的的直角三角形，学生经过观察、交流、割补、计算得出三个正方形面积的关系，而后通过不完全归纳，提出猜想，最后严谨的证明。整个过程环节相扣，层层递进、张弛有度，学生参与度高，课堂气氛活跃，唤起了学生的兴趣，激励学生去认真思考，大胆猜想，突显了学生观察、猜想能力的培养，较好的渗透从特殊到一般、化归与转化、数形结合的数学思想。学生从本节课中积累数学思维的经验，潜移默化地形成和发展自己的数学核心素养。
总之，在这节课上，邓老师抓住了几何学习中合情推理和演绎推理的重要角色，把先进的理念转化为“看得见、摸得着”的教学行为，教学过程始终围绕教学目标展开，层次清楚，环节紧凑，步步深入，培养学生主动探究的意识，突出体现了对学生数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象等数学学科核心素养的培养，为大家展示了一节优秀的数学课。
荣彬
2019年10月附教材