初中常见分式方程应用题汇编

方程应用题

1.工程问题

1．工作量＝工作效率×工作时间，工作效率＝工作量工作时间 ，工作时间＝工作量工作效率

2．完成某项任务的各工作量的和＝总工作量＝1

2.营销问题

1．商品利润＝商品售价一商品成本价

2．商品利润率＝商品利润商品成本价

×100% 3．商品销售额＝商品销售价×商品销售量

4．商品的销售利润＝(销售价一成本价)×销售量

3.行程问题

1．路程＝速度×时间，速度＝路程时间 ，时间＝路程速度

； 2．在航行问题中，其中数量关系是（同样适用于航空）：

顺水速度＝静水速度＋水流速度

逆水速度＝静水速度－水流速度

3．两车相遇问题，其中数量关系是： 两车相向：车头车尾相错时间＝甲车长+乙车长速度和

两车同向：车头车尾相错时间＝甲车长+乙车长速度差

（速度差=较大车速减较小车速）

【例】某校办工厂将总价值为2000元的甲种原料与总价值为4800元的乙种原料混合后，其平均价比原甲种原料每0.5kg 少3元，比乙种原料每0.5kg 多1元，问混合后的单价每0.5kg 是多少元？

解析：设混合后的单价为每0.5kg x 元，则甲种原料的单价为每0.5kg(x ＋3)元，

乙种原料的单价为每0.5kg(x －1)元，混合后的总价值为(2000＋4800)元，

混合后的重量为

x 48002000+斤，甲种原料的重量为32000+x 斤，乙种原料的重量为14800-x 斤， 依题意，得：

32000+x ＋14800-x ＝x

48002000+，解得x ＝17 经检验，x ＝17是原方程的根，所以x ＝17．

即混合后的单价为每0.5kg 17元．

总结升华：营销类应用性问题，涉及进货价、售货价、利润率、单价、混合价、赢利、亏损等概念，要结合实际问题对它们表述的意义有所了解．同时，要掌握好基本公式，巧妙建立关系式．随着市场经济体制的建立，这类问题具有较强的时代气息，因而成为中考常考的热点问题．

举一反三：

【变式】A 、B 两位采购员同去一家饲料公司购买同一种饲料两次，两次饲料的价格有变化，但两位采购员的购货方式不同．其中，采购员A 每次购买1000千克，采购员B 每次用去800元，而不管购买饲料多少，问选用谁的购货方式合算？

【答案】设两次购买的饲料单价分别为每1千克m 元和n 元(m>0,n>0,m ≠n)，依题意，得：

采购员A 两次购买饲料的平均单价为2

1000100010001000n m n m +=++ (元/千克)， 采购员B 两次购买饲料的平均单价为

n m mn n m +=++2800800800800 (元/千克)． 而 ()()

n m n m n m mn n m +-=+-+2222

＞ 0 也就是说，采购员A 所购饲料的平均单价高于采购员B 所购饲料的平均单价，所以选用采购员B 的购买方式合算．

【例】某工程由甲、乙两队合做6天完成，厂家需付甲、乙两队工程费共8700元，乙、丙两队合做10天完成，厂家需付乙、丙两队工程费共9500元，甲、丙两队合做5天完成全部工程的2/3，厂家需付甲、丙两队工程费共5500元． ⑴求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天？

⑵若工期要求不超过15天完成全部工程，问由哪个队单独完成此项工程花钱最少？请说明理由．

思路点拨：这是一道联系实际生活的工程应用题，涉及工期和工钱两种未知量．对于工期，一般情况下把整个工作量看成1，设出甲、乙、丙各队单独完成这项工程所需时间分别为x 天，y 天，z 天，可列出分式方程组．

解析：⑴设甲队单独做需x 天完成，乙队单独做需y 天完成，丙队单独做需z 天完成，依题意，得

???????????=??? ??+=???? ??+=???? ??+33

211521*********z x z y y x ①×61＋②×101＋③×51，得x 1＋y 1＋z 1＝5

1．④ ④－①×

61， 得z 1＝301，即30=z ， ④－②×

101，得x 1＝101，即10=x ， ④－③×5

1， 得y 1＝151，即15=y ． 经检验，x ＝ 10，y ＝ 15，z ＝ 30是原方程组的解．

⑵设甲队做一天厂家需付a 元，乙队做一天厂家需付b 元，丙队做一天厂家需付c 元，

根据题意，得

由⑴可知完成此工程不超过工期只有两个队：甲队和乙队．

此工程由甲队单独完成需花钱800010=a 元；此工程由乙队单独完成需花钱975015=b 元.

所以，由甲队单独完成此工程花钱最少．

总结升华：在求解时，把x

1，y 1，z 1分别看成一个整体，就可把分式方程组转化为整式方程组来解．

举一反三：

【变式1】 某工程需在规定日期内完成，若由甲队去做，恰好如期完成；若由乙队去做，要超过规定日期三天完成．现由甲、乙两队合做两天，剩下的工程由乙独做，恰好在规定日期完成，问规定日期是多少天？

【答案】工程规定日期就是甲单独完成工程所需天数，设为x 天，

那么乙单独完成工程所需的天数就是()3+x 天.

设工程总量为1，甲的工作效率就是x

1，乙的工作效率是31+x ，依题意，得

13

23112=+-+??? ??++x x x x ，解得 6=x ． 即规定日期是6天．

【变式2】今年某大学在招生录取时，为了防止数据输入出错，2640名学生的成绩数据分别由两位教师向计算机输入一遍，然后让计算机比较两人的输入是否一致.已知教师甲的输入速度是教师乙的2倍，结果甲比乙少用2小时输完.问这两位教师每分钟各能输入多少名学生的成绩？

【答案】设教师乙每分钟能输入x 名学生的成绩，则教师甲每分钟能输入x 2名学生的成绩，

依题意，得：

260264022640?-=x

x ， 解得11=x 经检验，11=x 是原方程的解，且当11=x 时，222=x ，符合题意．

即教师甲每分钟能输入22名学生的成绩，教师乙每分钟能输入11名学生的成绩．

【例】甲、乙两地相距828km ，一列普通快车与一列直达快车都由甲地开往乙地，直达快车的平均速度是普通快车平均速度的1.5倍．直达快车比普通快车晚出发2h ，比普通快车早4h 到达乙地，求两车的平均速度．

思路点拨：这是一道实际生活中的行程应用题，基本量是路程、速度和时间，基本关系是路程＝速度×时间，应根据题意，找出追击问题中的等量关系．

解析：设普通快车的平均速度为x km ／h ，则直达快车的平均速度为1.5x km ／h ，依题意，得：

()x

x 5.182842828=--，解得46=x 经检验，46=x 是方程的根，且符合题意．

∴当46=x 时，695.1=x

即普通快车的平均速度为46km ／h ，直达快车的平均速度为69km ／h ．

总结升华：列分式方程与列整式方程一样，注意找出应用题中数量间的相等关系，设好未知数，列出方程．不同之处是：所列方程是分式方程，最后进行检验，既要检验其是否为所列方程的解，还要检验是否符合题意，即满足实际意义．

举一反三：

【变式1】 一队学生去校外参观．他们出发30分钟时，学校要把一个紧急通知传给带队老师，派一名学生骑车从学校出发，按原路追赶队伍．若骑车的速度是队伍行进速度的2倍，这名学生追上队伍时离学校的距离是15千米，问这名学生从学校出发到追上队伍用了多少时间？

【答案】设步行速度为x 千米／时，骑车速度为2x 千米／时，依题意，得：

60

3021515=-x x 方程两边都乘以x 2，去分母，得

x =-1530， 所以 15=x ．

检验：当15=x 时，01522≠?=x

所以15=x 是原分式方程的根，并且符合题意．

∵2

13015=，∴骑车追上队伍所用的时间为30分钟．

【变式2】农机厂职工到距工厂15千米的生产队检修农机，一部分人骑自行车先走，40分钟后，其余的人乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是自行车的3倍，求两车的速度．

【答案】设自行车的速度为x 千米/小时，那么汽车的速度为x 3千米/小时，依题意，得：

60

4015315-=x x 解得 15=x

经检验15=x 是这个方程的解．

当15=x 时，453=x

即自行车的速度是15千米/小时，汽车的速度为45千米/小时．

【变式3】轮船在顺水中航行30千米的时间与在逆水中航行20千米所用的时间相等，已知水流速度为2千米／时，求船在静水中的速度．

【答案】设船在静水中速度为

千米／时，则顺水航行速度为()2+x 千米／时，

逆水航行速度为()2+x 千米／时，依题意，得：

2

20230-=+x x ，解得10=x ． 经检验，10=x 是原方程的根．

即船在静水中的速度是10千米／时．