高中数学函数知识点总结(全)
高中数学函数知识点总结
1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。
2 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况
注重借助于数轴和文氏图解集合问题。
空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。
{}
{}如：集合，A x x x B x ax =--===||22301 若，则实数的值构成的集合为
B A a ?
3. 注意下列性质： {}（）集合，，……，的所有子集的个数是；1212a a a n n
要知道它的来历：若B 为A 的子集，则对于元素a 1来说，有2种选择（在或者不在）。同样，对于元素a 2, a 3,……a n ,都有2种选择，所以，总共有2n 种选择，即集合A 有2n 个子集。
当然，我们也要注意到，这2n 种情况之中，包含了这n 个元素全部在何全部不在的情况，故真子集个数为21n -，非空真子集个数为22n -
（）若，；2A B A B A A B B ??==
（3）德摩根定律：
()()()()()()C C C C C C U U U U U U A B A B A B A B ==，
有些版本可能是这种写法，遇到后要能够看懂
4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）
如：已知关于的不等式的解集为，若且，求实数x ax x a
M M M a --<∈?50352 的取值范围。
7. 对映射的概念了解吗？映射f ：A →B ，是否注意到A 中元素的任意性和B 中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？
（一对一，多对一，允许B 中有元素无原象。）
注意映射个数的求法。如集合A 中有m 个元素，集合B 中有n 个元素，则从A 到B 的映射个数有n m 个。 如：若}4,3,2,1{=A ，},,{c b a B =；问：A 到B 的映射有个，B 到A 的映射有个；A 到B 的函数有个，若}3,2,1{=A ，则A 到B 的一一映射有个。
函数)(x y ?=的图象与直线a x =交点的个数为个。
8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？
（定义域、对应法则、值域）
相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致(两点必须同时具备)
9. 求函数的定义域有哪些常见类型？ ()
()例：函数的定义域是y x x x =--432lg
函数定义域求法：
● 分式中的分母不为零；
● 偶次方根下的数（或式）大于或等于零；
10. 如何求复合函数的定义域？
[]如：函数的定义域是，，，则函数的定f x a b b a F(x f x f x ())()()>->=+-0
义域是_____________。
例若函数)(x f y =的定义域为??????2,2
1，则的定义域为。
11、函数值域的求法
1、直接观察法
对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。
例 求函数y=x
1的值域 2、配方法
配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例、求函数y=2x -2x+5，x ∈[-1，2]的值域。
3、判别式法
对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简，不必拘泥在判别式上面
.112..2
22
22222b a y 型：直接用不等式性质k+x bx b. y 型,先化简，再用均值不等式x mx n
x 1 例：y 1+x x+x
x m x n c y 型 通常用判别式x mx n
x mx n d. y 型 x n
法一：用判别式 法二：用换元法，把分母替换掉
x x 1（x+1）（x+1）+1 1 例：y （x+1）1211x 1x 1x 1=
=++==≤''++=++++=+++-===+-≥-=+++
5、函数有界性法
直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。我们所说的单调性，最常用的就是三角函数的单调性。
6、函数单调性法
通常和导数结合，是最近高考考的较多的一个内容
7、换元法
通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角
函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发
挥作用。
例 求函数y=x+1-x 的值域。
8 数形结合法
其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这
类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。
例：求函数y=
)2(2-x +)8(2+x 的值域。
倒数法
有时，直接看不出函数的值域时，把它倒过来之后，你会发现另一番境况
例 求函数y=
3
2++x x 的值域
12. 求一个函数的解析式时，注明函数的定义域了吗？
切记：做题，特别是做大题时，一定要注意附加条件，如定义域、单位等东西要记得协商，不要犯我当年的错误，与
到手的满分失之交臂 ()
如：，求f x e x f x x +=+1().
15 . 如何用定义证明函数的单调性？
（取值、作差、判正负）
判断函数单调性的方法有三种：
(1)定义法：
根据定义，设任意得x 1,x 2，找出f(x 1),f(x 2)之间的大小关系 可以变形为求1212()()f x f x x x --的正负号或者12()()
f x f x 与1的关系
(2)参照图象：
①若函数f(x)的图象关于点(a ，b)对称，函数f(x)在关于点(a ，0)的对称区间具有相同的单调性； （特例：奇函数）
②若函数f(x)的图象关于直线x ＝a 对称，则函数f(x)在关于点(a ，0)的对称区间里具有相反的单调性。（特例：偶函数）
(3)利用单调函数的性质：
①函数f(x)与f(x)＋c(c 是常数)是同向变化的
②函数f(x)与cf(x)(c 是常数)，当c ＞0时，它们是同向变化的；当c ＜0时，它们是反向变化的。 ③如果函数f1(x)，f2(x)同向变化，则函数f1(x)＋f2(x)和它们同向变化；（函数相加）
④如果正值函数f1(x)，f2(x)同向变化，则函数f1(x)f2(x)和它们同向变化；如果负值函数f1(2)与f2(x)同向变化，则函数f1(x)f2(x)和它们反向变化；（函数相乘）
⑤函数f(x)与1
()f x 在f(x)的同号区间里反向变化。
⑥若函数u ＝φ(x)，x[α，β]与函数y ＝F(u)，u ∈[φ(α)，φ(β)]或u ∈[φ(β),φ(α)]同向变化，则在[α，β]上复合函数y ＝F[φ(x)]是递增的；若函数u ＝φ(x),x[α，β]与函数y ＝F(u)，u ∈[φ(α)，φ(β)]或u ∈[φ(β)，φ(α)]反向变化，则在[α，β]上复合函数y ＝F[φ(x)]是递减的。（同增异减）
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