空间直角坐标系与空间两点的距离公式

空间直角坐标系与空间两点的距离公式

空间直角坐标系

为了确定空间点的位置，我们在空间中取一点0作为原点，过0点作三条两两垂

直的数轴，通常用x、y、z 表示.

轴的方向通常这样选择：从z 轴的正方向看，x 轴的半轴沿逆时针方向转90 能与y轴的半轴重合.这时，我们在空间建立了一个直角坐标系O —xyz, 0叫做坐标原点.

如何理解空间直角坐标系？1．三条坐标轴两两垂直是建立空间直角坐标系的基础；

2. 在空间直角

坐标系中三条轴两两垂直，轴的方向通常这样选择：从z轴的正方向看，x轴的半轴沿逆时针方向转90°能与y轴的半轴重合；

3. 如果让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的

正方向，那么称这个坐标系为右手直角坐标系，一般情况下，建立的坐标系都是右手直角坐标系；

4. 在平面上画空间直角坐标系O —xyZ时，一般情况下使/ xOy=135°, / yOz=90°.

空间点的坐标

1. 点P的x坐标：过点P作一个平面平行于平面yOz,这样构造的平面同样垂直于x轴, 这个平面与X轴的交点记为P x，它在X轴上的坐标为X，这个数X就叫做点P的x坐标；

2. 点P的y坐标：过点P作一个平面平行于平面xOz,这样构造的平面同样垂直于y轴, 这个平面与y轴的交点记为P y,它在y轴上的坐标为y,这个数y就叫做点P的y坐标；

3. 点P的z坐标：过点P作一个平面平行于平面xOy,这样构造的平面同样垂直于z轴, 这个平面与Z轴的交点记为P z,它在Z轴上的坐标为Z,这个数Z就叫做点P的z坐标；

这样，我们对空间的一个点，定义了一组三个有序数作为它的坐标，记做P （x，

y, z）,其中x, y, z也可称为点P的坐标分量.

已知数组（x, y, z），如何作出该点？对于任意三个实数的有序数组（x, y, z）：（1）在坐标轴上分别作出点P x, P y, P z,使它们在x轴、y轴、z轴上的坐标分别是x、y、z；

（2）再分别通过这些点作平面平行于平面yOz、xOz、xOy,这三个平面的交点就是

所求的点.

空间点的坐标

1. 在空间直角坐标系中，每两条轴分别确定的平面xOy、yOz、xOz叫做坐标平面;

2. 坐标平面上点的坐标的特征：

中x、y 为任意实数

z为任意实数；

xOz平面(通过x轴和z轴的平面)是坐标形如(x, 0，z)的点构成的点集，其中X、z为任意实数；

3. 坐标轴上点的特征：

x轴是坐标形如(X, 0, 0)的点构成的点集，其中x为任意实数；

y轴是坐标形如(0, y, 0)的点构成的点集，其中y为任意实数；

z轴是坐标形如(0, 0, z)的点构成的点集，其中z为任意实数。

卦限

在空间直角坐标系中，三个坐标平面把空间分成八部分，每一部分称为一个卦限；

在坐标平面xOy上方的四个象限对应的卦限称为第I、第II、第III、第IV卦限；

在下面的卦限称为第V、第VI、第VII、第VIII卦限；

在每个卦限内，点的坐标的各分量的符号是不变的，例如在第I卦限，三个坐标分量x、y、z都为正数；在第II卦限，x为负数，y、z均为正数；

八个卦限中点的坐标符号分别为：

I: ( + ,+ ,+ )；II : (-,+ , + )；III , + )；

IV: ( + ,- , + )；V: ( + , + ,- )；VI : ( - , + ,-)；

VII : (-,-,-)；VIII : ( + ,-,-)；

空间两点间的距离公式

空间两点A(x i , y i , z i) , B(X2, y2 , z2)的距离公式是

d(A,B) =；y(X2 -汀(y2 -y i)2 (Z2 -乙)2,

特别地，点A(x, y, z)到原点的距离公式为d(O, A) m：f x2 y2 z2 .

题型1.确定空间任一点的坐标

例1.正方体的棱长为2,求各顶点的坐标.

解：由图可知，正方体的各个顶点的坐标如下 A(0, 0, 0),

B(2, 0, 0), C(2, 2, 0), D(0, 2, 0), A i (0, 0, 2), B i (2,

0, 2), C i (2, 2, 2), D i (0, 2, 2),

题型2.空间中点的对称问题

例2.在空间直角坐标系中，写出点 P(x , y , z)的对称点的坐标

(1) ____________________________________ 关于x 轴的对称点是P i ；

(2) ____________________________________ 关于y 轴的对称点是P 2 ；

(3) 关于z 轴的对称点是P 3_

(4) 关于原点的对称点是 卩4_

(5) ____________________________________________ 关于xOy 坐标平面的对称点是 P 5 _____________________________________________________________ ；；

(6) ____________________________________________ 关于yOz 坐标平面的对称点是 P 6 _____________________________________________________________ ；

(7) ____________________________________________ 关于xOz 坐标平面的对称点是 P 7 _____________________________________________________________ .

解：(1) P i (x ，— y ，— z);(2) P 2(—x , y ,—z);(3) P 3(— x ，— y , z);

(4) P 4( — x , — y , — z)； (5) P 5(x , y , — z); (6) P 6(—x , y , z);

(7) P 7(x ,— y , z);

题型3.求两点间的距离

例3.( 1)点P^2^3 _6)到原点的距离是

2 3 6

(A ) 3

(B ) 1 (C ) 3

6 6

13 4 12 3

⑵幣〒5)"6'预)两点间的距离是 -----------------------------

【研析】(1)点P 到原点的距离是|OP|±Jl+1+1 =1，选B. V 2 3 6

⑵由两点间的距离公式得|AB |^.(3 6)2 (4_2)2 (4_10)2 ■ 73

12

1.有下列叙述：

①在空间直角坐标系中，在Ox轴上的点的坐标一定是(0, b, 0);

②在空间直角坐标系中，在yOz平面上点的坐标一定可以写成(0, b, c);

③在空间直角坐标系中，在Oz轴上的点的坐标可记为(0, 0, c);

④ 在空间直角坐标系中，在xOz 平面上点的坐标可写为(a , 0, c ).

其中正确的叙述的个数是(C )

(A ) 1 ( B ) 2 ( C ) 3 ( D )4

2?点A(-3, 1, 5),点B(4, 3, 1)的中点坐标是(B )

7

1 1 4 (A ) (—,1,-2)

(B ) (—,2,3)

( C ) (- 12, 3, 5) (D ) (-,-,2)

2 2

3 3

3?点B 是点A(1 , 2, 3)在坐标平面yOz 内的射影，则|OB|等于(B )

(A ) 114 ( B ) . 13 (C ) 2 3 (D )、.—

4. 到定点(1, 0, 0)的距离小于或等于1的点的集合是(A )

2 2 2 2 2 2

(A ) {(x , y , z)| (x - 1) +y +z <} (B ) {(x , y , z)| (x - 1) +y +z =1}

(C ) {(x , y , z)| x 2+y 2+z 2W 2} (D ) {(x , y , z)| x 2+y 2+z 2W 1}

5. Rt A ABC 中，/ BAC=90° A(2, 1, 1), B(1, 1, 2), C(x , 0, 1),贝U x= 2

6. 若点P(x , y , z)到A(1, 0, 1), B(2, 1, 0)两点的距离相等，贝U x 、y 、z 满足的 关系式是 _____________________________ . (2x+2y - 2z -3=0)

7. 证明：以A(4, 3, 1), B(7, 1, 2), C(5, 2, 3)为顶点的△ ABC 是等腰三角形 例4.已知长方体 ABCD — A 1B 1C 1D 2的边长为 AB=14, AD=6, AA 1=10,

(1) 以这个长方体的顶点A 为坐标原点，以射线AB 、AD 、AA 1分别为Ox 、Oy 、Oz 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，求长方体各顶点的坐标；

(2)以C 点为原点，以射线BC 、CD 、CC 1的方向分别为Ox 、Oy 、Oz 轴的正方向， 建立空间直角坐标系，求长方体各顶点的坐标;

【探究】根据题目要求画出图形，建立空间直角坐标系后写 出各顶点的坐标。 解：(1)如图 1, A(0, 0, 0), B(14, 0, 0), C(14, 6, 0), D(0,

6, 0), A 1(0, 0, 10), B 1(14, 0, 10), C 1(14, 6, 10), D 1(0,

6, 10),

(2)如图 2, A( — 6, 14, 0), B(-6, 0, 0), C(0, 0, 0), D(0, 14, 0), A 1(-6, 14, 10), B 1(— 6, 0, 10), 0(0, 0, 10), D 1(0,

14, 10),

例5.在坐标平面xOy 上求一点P ,使点P 到A(3, 1, 5)与B(3, * 图

巳 c

5, 2)的距离相等’

解：设P(x, y, O),t|PA|=|PB|,

??? (x-3)2+(y—1)2+25=(X— 3)2+(y—5)2+4，整理得，-2y+26=—10y+29,

3 3

??? 8y=3，即y=—, ???点P 的坐标为(x, - , 0).

8 8

例6?如图，在空间直角坐标系中，BC=4,原点O是BC

的中点，点A的坐标是(仝,-,0),点D在平面yOz上,

2 2

且/ BDC=90°, / DCB=30°.

(1)求AD的长度；

(2)求/ DAC的余弦值的大小'

解：(1)由题意得B(0,-2, 0), C(0, 2, 0),设D(0,

y, z),v 在Rt A BDC 中，/ DCB=30°

? BD=2, CD=2 .3 , ?

(y+2)2+z2=4 , (y-2)2+z2=12 ,

? y= —1, z=订3 , ?- D(0 , — 1 ,

. 3 ),

(2)在厶ACD 中，由(1)知AD= ,6 ,又AC=, (J)2 (； -2)2 02 = 3 , CD=2 . 3 ,

cos/ DAC= 3 6-12

2 3 .6 「寻，即/DAC的余弦值等于-汙

|AD|= 2 (； 1)2(方)2 = 6

版空间直角坐标系空间两点间的距离公式

版空间直角坐标系空间两点间的距离公式

————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：

4.3空间直角坐标系 4.3.1空间直角坐标系 4.3.2空间两点间的距离公式 1．了解空间直角坐标系的建系方式．(难点) 2．能在空间直角坐标系中求出点的坐标和已知坐标作出点．(重点、易错点) 3．理解空间两点间距离公式的推导过程和方法．(难点) 4．掌握空间两点间的距离公式，能够用空间两点间距离公式解决简单的问题．(重点)

[基础·初探] 教材整理1空间直角坐标系 阅读教材P134～P135“例1”以上部分，完成下列问题．1．空间直角坐标系 定义以空间中两两垂直且相交于一点O的三条直线分别为x轴、y轴、z 轴，这时就说建立了空间直角坐标系Oxyz，其中点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴．通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面、zOx平面

画法在平面上画空间直角坐标系Oxyz时，一般使∠xOy＝135°，∠yOz ＝90° 图示 说明本书建立的坐标系都是右手直角坐标系，即在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系 2.空间中一点的坐标 空间一点M的坐标可用有序实数组(x，y，z)来表示，有序实数组(x，y，z)叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作M(x，y，z)，其中x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标． 判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

空间两点之间的距离公式

空间两点间的距离公式 教学目标： 1、通过特殊到一般的情况推导出空间两点间的距离公式 2、感受空间两点间距离公式与平面两点间距离公式的联系与区别 教学重点 两点间距离公式的应用 教学难点 利用公式解决空间几何问题 教学过程 一、复习 1、空间点的坐标的特点 2、平面两点间的距离公式P 1(x 1,y 1)，P 2(x 2,y 2) ________________ 线段P 1P 2中点坐标公式______________ 二、新课 1、设P 的坐标是(x,y,z),求|OP| |OP|=___________________________ 2、空间两点P 1(x 1,y 1,z 1)，P 2(x 2,y 2,z 2),求 |P 1P 2| |P 1P 2|=___________________________ 线段P 1P 2中点坐标公式_________________ 例：()()间的距离求空间两点1,0,6523 21--，P ，，P 练习：()()()513432251，，，C ，，，B ，，A ABC 的三个顶点已知? （1）求。ABC 中最短边的边长 ? （2）求边上中线的长度AC

例：试解释()()()365312222=-+++-z y x 的几何意义。 练习：1、已知()1,,222=++z y x z y x M 满足则M 点的轨迹为_________________ 2、求P ??? ? ??66,33,22到原点的距离。 3、()()。a AB a ，B ，，A 的值求设,4,,3,0210= 4、在长方体1111D C B A ABCD -，AD=2，AB=3，AA 1=2，E 为AC 中点，求D 1E 的长。 三、小结

2019年高中数学第四章圆与方程4.3.1空间直角坐标系4.3.2空间两点间的距离公式课时作业(含解析)

4.3.1 空间直角坐标系4.3.2 空间两点间的距离公式 1.点P(1,0,2)在空间直角坐标系中的位置是在( C ) (A)y轴上(B)xOy面上 (C)xOz面上(D)yOz面上 解析:由于点P(1,0,2)的纵坐标y=0知,该点在xOz面上.故选C. 2.点A(2,1,-1)关于x轴对称的点的坐标为( A ) (A)(2,-1,1) (B)(2,-1,-1) (C)(-2,-1,-1) (D)(-2,1,-1) 解析:关于x轴对称的两点的横坐标相等,其他坐标分别互为相反数.故选A. 3.空间两点A,B的坐标分别为(x,-y,z),(-x,-y,-z),则A,B两点的位置关系是( B ) (A)关于x轴对称 (B)关于y轴对称 (C)关于z轴对称 (D)关于原点对称 解析:A,B两点纵坐标相同,横坐标和竖坐标互为相反数,故A,B两点关于y轴对称,故选B. 4.如图,在空间直角坐标系中有一棱长为a的正方体ABCD-A′B′C′D′,则A′C的中点E与AB的中点F的距离为( B ) (A) a (B) a (C)a (D) a 解析:由题图可得,F(a,a,0),A′(a,0,a),C(0,a,0), 所以E(a,a,a), 则|EF|== a. 5.在空间直角坐标系中,已知三点A(1,0,0),B(1,1,1),C(0,1,1),则三角形ABC是( A ) (A)直角三角形 (B)等腰三角形 (C)等腰直角三角形(D)等边三角形

解析:由题|AB|==, |AC|==, |BC|==1, 所以AC2=AB2+BC2, 所以三角形ABC是直角三角形. 6.点P(1,4,-3)与点Q(3,-2,5)的中点坐标是( C ) (A)(4,2,2) (B)(2,-1,2) (C)(2,1,1) (D)(4,-1,2) 解析:设点P与点Q的中点坐标为(x,y,z),则x==2,y==1,z==1.选C. 7.已知空间中两点A(1,2,3),B(4,2,a),且|AB|=,则a的值为( D ) (A)2 (B)4 (C)0 (D)2或4 解析:由空间两点间的距离公式得 |AB|==, 即9+a2-6a+9=10,所以a2-6a+8=0, 所以a=2或a=4.选D. 8.在空间直角坐标系中,已知点P(x,y,z)的坐标满足方程(x-2)2+(y+ 1)2+(z-3)2=1,则点P的轨迹是( C ) (A)圆 (B)直线 (C)球面 (D)线段 解析:(x-2)2+(y+1)2+(z-3)2=1表示(x,y,z)到点(2,-1,3)的距离的平方为1,它表示以(2,-1,3)为球心,以1为半径的球面,故选C. 9.给出下列命题: ①在空间直角坐标系中,在x轴上的点的坐标一定是(0,b,c); ②在空间直角坐标系中,在yOz平面上的点的坐标一定是(0,b,c); ③在空间直角坐标系中,在z轴上的点的坐标一定是(0,0,c); ④在空间直角坐标系中,在xOy平面上的点的坐标一定是(a,0,c). 其中正确命题的序号是.(把你认为正确的答案编号都填上) 解析:命题①错,坐标应为(a,0,0);命题②③正确;命题④错,坐标应为(a,b,0). 答案:②③ 10.已知点A(-2,2,3),点B(-3,-1,1),在z轴上有一点M,满足|MA|=|MB|,则点M的坐标是. 解析:设点M的坐标为(0,0,z),因为|MA|=|MB|,所以= ,解得z=,所以点M的坐标为(0,0,).

空间直角坐标系 空间两点间的距离公式(解析版)

空间直角坐标系空间两点间的距离公式班级：____________ 姓名：__________________

C ．(－4,0，－6) D ．(－4,7,0) 解析：点M 关于y 轴对称的点是M ′(－4,7，－6)，点M ′在xOz 平面上的射影的坐标为(－4,0，－ 6)． 答案：C 二、填空题 7．如图，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，已知A 1(a,0，c )，C (0，b,0)，则点B 1的坐标为________． 解析：由题中图可知，点B 1的横坐标和竖坐标与点A 1的横坐标和竖坐标相 同，点B 1的纵坐标与点C 的纵坐标相同，所以点B 1的坐标为(a ，b ，c )． 答案：(a ，b ，c ) 8．在空间直角坐标系中，点(4，－1,2)关于原点的对称点的坐标是________． 解析：空间直角坐标系中关于原点对称的点的坐标互为相反数，故点(4，－1,2)关于原点的对称点的坐标是(－4,1，－2)． 答案：(－4,1，－2) 9．点P (－1,2,0)与点Q (2，－1,0)的距离为________． 解析：∵P (－1,2,0)，Q (2，－1,0)， ∴|PQ |＝(－1－2)2＋[2－(－1)]2＋02＝3 2. 答案：3 2 10．已知点P ????32，52，z 到线段AB 中点的距离为3，其中A (3,5，－7)，B (－2,4,3)，则z ＝________. 解析：由中点坐标公式，得线段AB 中点的坐标为??? ?12，92，－2.又点P 到线段AB 中点的距离为3，所以 ????32－122＋??? ?52－922＋[z －(－2)]2＝3， 解得z ＝0或z ＝－4. 答案：0或－4 三、解答题 11．已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，|AB |＝|AC |＝|AA 1|＝4，M 为BC 1的中点，N 为A 1B 1的中点，求|MN |. 解析：如右图，以A 为原点，射线AB ，AC ，AA 1分别为x 轴，y 轴，z 轴的正半轴建立空间直角坐标系， 则B (4,0,0)，C 1(0,4,4)，A 1(0,0,4)，B 1(4,0,4)，因为M 为BC 1的中点，N 为A 1B 1的中点，所以由空间

2.4空间直角坐标系与空间两点的距离公式

2.4. 空间直角坐标系与空间两点的距离公式 课程学习目标 ［课程目标］ 目标重点：空间直角坐标系和点在空间直角坐标系中的坐标及空间两点距离公式.目标难点：确定点在空间直角坐标系中的坐标，以及空间距离公式的推导. ［学法关键］ 1．在平面直角坐标系中，过一点作一条轴的平行线交另一条轴于一点，交点在这个轴上的坐标，就是已知点相应的一个坐标，类似地，在空间直角坐标系中，过一点作两条轴确定的平面的平行平面交另一条轴于一点，交点在这条轴上的坐标就是已知点的一个相应的坐标. 2．通过类比平面内两点间的距离公式来理解空间两点的距离公式 研习点1．空间直角坐标系 为了确定空间点的位置，我们在空间中取一点O作为原点，过O点作三条两两垂直的数轴，通常用x、y、z表示. 轴的方向通常这样选择：从z轴的正方向看，x轴的半轴沿逆时针方向转90°能与y轴的半轴重合. 这时，我们在空间建立了一个直角坐标系O－xyz，O叫做坐标原点. 如何理解空间直角坐标系？ 1．三条坐标轴两两垂直是建立空间直角坐标系的基础； 2．在空间直角坐标系中三条轴两两垂直，轴的方向通常这样选择：从z轴的正方向看，x轴的半轴沿逆时针方向转90°能与y轴的半轴重合； 3．如果让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，那么称这个坐标系为右手直角坐标系，一般情况下，建立的坐标系都是右手直角坐标系； 4．在平面上画空间直角坐标系O－xyz时，一般情况下使∠xOy=135°，∠yOz=90°. 研习点2．空间点的坐标 1．点P的x坐标：过点P作一个平面平行于平面yOz，这样构造的平面同样垂直于x轴，这个平面与x轴的交点记为P x，它在x轴上的坐标为x，这个数x就叫做点P的x坐标；2．点P的y坐标：过点P作一个平面平行于平面xOz，这样构造的平面同样垂直于y轴，这个平面与y轴的交点记为P y，它在y轴上的坐标为y，这个数y就叫做点P的y坐标；3．点P的z坐标：过点P作一个平面平行于平面xOy，这样构造的平面同样垂直于z轴，这个平面与z轴的交点记为P z，它在z轴上的坐标为z，这个数z就叫做点P的z坐标； 这样，我们对空间的一个点，定义了一组三个有序数作为它的坐标，记做P(x，y，z)，其中x，y，z也可称为点P的坐标分量.

高中数学北师大版必修二2.3.3【教学设计】《空间两点间的距离公式》

《空间两点间的距离公式》 本节课为高中必修二第二章第三节第三课时的内容，它是在学生已经学过的平面直角坐标系的基础上的推广。距离是几何中的基本度量，几何问题和一些实际问题经常涉及距离，点又是确定线、面的几何要素之一，所以本节课对学习点线面的距离公式的推导和进一步学习。 【知识与能力目标】 理解空间内两点间的距离公式的推导过程，掌握两点间距离公式及其简单应用，会用坐标法证明一些简单的几何问题。 【过程与方法目标】 通过推导公式发现，由特殊到一般，由空间到平面，由未知到已知的基本解题思想，培养学生观察发现、分析归纳等基本数学思维能力。 【情感态度价值观目标】 培养学生思维的严密性和条理性，同时感受数学的形式美与简洁美，从而激发学生学习兴趣。 【教学重点】 空间两点间的距离公式和它的简单应用。 【教学难点】 空间两点间的距离公式的推导。 电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。 一、导入部分

我们知道，数轴上两点的距离是两点的坐标之差的绝对值，即d＝|x1－x2|；平面直角坐标系中，两点的距离是（）（），同学们想一下，在空间直角坐标系中，如果已知两点的坐标，如何求它们之间的距离呢？ 二、研探新知，建构概念 1、电子白板投影出上面实例。 2、教师组织学生分组讨论：先让学生分析，师生一起归纳。 （1）长方体的对角线及其长的计算公式 ①连接长方体两个顶点A，C′的线段AC′称为长方体的对角线。(如图) ②如果长方体的长、宽、高分别为a、b、c，那么对角线长. 注意：（①）就推导过程而言，其应用了把空间长度向平面长度转化的思想，即通过构造辅助平面，将空间问题降维到平面中处理。 (②)就公式而言，该公式可概括为：长方体的对角线长的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和。 （2）两点间的距离公式 空间两点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)间的距离 （）（）（） 注意：①空间中两点间的距离公式是数轴上和平面上两点间距离公式的进一步推广。 （①）当空间中的任意两点P1，P2落在同一坐标平面内或与坐标平面平行的平面内时，此公式可转化为平面直角坐标系中的两点间的距离公式； （②）当空间中的任意两点P1，P2落在同一坐标轴上时，则该公式转化为数轴上两点间的距离公式。 ②空间任意一点P(x0，y0，z0)与原点的距离. 三、质疑答辩，发展思维 1、举例：如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，|AB|＝|AD|＝3，|AA1|＝2，点M在A1C1上，|MC1|＝2|A1M|，N在D1C上且为D1C中点，求M、N两点间的距离。

湖北省恩施州巴东一中高中数学人教A版必修二教案：§ 空间两点间的距离公式

§４．３．２ 空间两点间的距离公式 一、教材分析 平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是学生已学的知识,不难把平面上的知识推广到空间,遵循从易到难、从特殊到一般的认识过程,利用类比的思想方法,借助勾股定理得到空间任意一点到原点的距离;从平面直角坐标系中的方程x ２+y ２=r ２表示以原点为圆心,r 为半径的圆,推广到空间直角坐标系中的方程x ２+y ２+z ２=r ２表示以原点为球心,r 为半径的球面.学生是不难接受的,这不仅不增加学生负担,还会提高学生学习的兴趣. 二、教学目标 １．知识与技能 使学生掌握空间两点间的距离公式 ２．过程与方法 ３．情态与价值观 通过空间两点间距离公式的推导，使学生经历从易到难，从特殊到一般的认识过程 三、教学重点与难点 教学重点：空间两点间的距离公式. 教学难点：一般情况下,空间两点间的距离公式的推导. 四、课时安排 １课时 先推导特殊情况下空间两点间的距离公式 推导一般情况下的空间两点间的距离公式

五、教学设计 （一）导入新课 思路１．距离是几何中的基本度量,几何问题和一些实际问题经常涉及距离,如飞机和轮船的航线的设计,它虽不是直线距离,但也涉及两点之间的距离,一些建筑设计也要计算空间两点之间的距离,那么如何计算空间两点之间的距离呢？这就是我们本堂课的主要内容. 思路２．我们知道,数轴上两点间的距离是两点的坐标之差的绝对值,即d=|x １—x ２|；平面直角坐标系中,两点之间的距离是d=212212)()(y y x x -+-.同学们想,在空间直角坐标系中,两点之间的距离应怎样计算呢？又有什么样的公式呢？因此我们学习空间两点间的距离公式. （二）推进新课、新知探究、提出问题 １平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是什么？它是如何推导的？ ２设A （x,y,z ）是空间任意一点,它到原点的距离是多少？应怎样计算？ ３给你一块砖,你如何量出它的对角线长,说明你的依据. ４同学们想,在空间直角坐标系中,你猜想空间两点之间的距离应怎样计算？ ５平面直角坐标系中的方程x ２+y ２=r ２表示什么图形？在空间中方程x ２+y ２+z ２=r ２表示什么图形？ ⑥试根据２３推导两点之间的距离公式. 活动：学生回忆,教师引导,教师提问,学生回答,学生之间可以相互交流讨论,学生有困难教师点拨.教师引导学生考虑解决问题的思路,要全面考虑,大胆猜想,发散思维.１学生回忆学过的数学知识,回想当时的推导过程；２解决这一问题,可以采取转化的方法,转化成我们学习的立体几何知识来解；３首先考虑问题的实际意义,直接度量,显然是不可以的,我们可以转化为立体几何的方法,也就是求长方体的对角线长.４回顾平面直角坐标系中,两点之间的距离公式,可类比猜想相应的公式；５学生回忆刚刚学过的知识,大胆类比和猜想;⑥利用３的道理,结合空间直角坐标系和立体几何知识,进行推导.

空间直角坐标系与空间两点的距离公式

空间直角坐标系与空间两点的距离公式 空间直角坐标系 为了确定空间点的位置，我们在空间中取一点0作为原点，过0点作三条两两垂 直的数轴，通常用x、y、z 表示. 轴的方向通常这样选择：从z 轴的正方向看，x 轴的半轴沿逆时针方向转90 能与y轴的半轴重合.这时，我们在空间建立了一个直角坐标系O —xyz, 0叫做坐标原点. 如何理解空间直角坐标系？1．三条坐标轴两两垂直是建立空间直角坐标系的基础； 2. 在空间直角 坐标系中三条轴两两垂直，轴的方向通常这样选择：从z轴的正方向看，x轴的半轴沿逆时针方向转90°能与y轴的半轴重合； 3. 如果让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的 正方向，那么称这个坐标系为右手直角坐标系，一般情况下，建立的坐标系都是右手直角坐标系； 4. 在平面上画空间直角坐标系O —xyZ时，一般情况下使/ xOy=135°, / yOz=90°. 空间点的坐标 1. 点P的x坐标：过点P作一个平面平行于平面yOz,这样构造的平面同样垂直于x轴, 这个平面与X轴的交点记为P x，它在X轴上的坐标为X，这个数X就叫做点P的x坐标； 2. 点P的y坐标：过点P作一个平面平行于平面xOz,这样构造的平面同样垂直于y轴, 这个平面与y轴的交点记为P y,它在y轴上的坐标为y,这个数y就叫做点P的y坐标； 3. 点P的z坐标：过点P作一个平面平行于平面xOy,这样构造的平面同样垂直于z轴, 这个平面与Z轴的交点记为P z,它在Z轴上的坐标为Z,这个数Z就叫做点P的z坐标； 这样，我们对空间的一个点，定义了一组三个有序数作为它的坐标，记做P （x， y, z）,其中x, y, z也可称为点P的坐标分量. 已知数组（x, y, z），如何作出该点？对于任意三个实数的有序数组（x, y, z）：（1）在坐标轴上分别作出点P x, P y, P z,使它们在x轴、y轴、z轴上的坐标分别是x、y、z； （2）再分别通过这些点作平面平行于平面yOz、xOz、xOy,这三个平面的交点就是 所求的点. 空间点的坐标 1. 在空间直角坐标系中，每两条轴分别确定的平面xOy、yOz、xOz叫做坐标平面; 2. 坐标平面上点的坐标的特征：

《空间两点间的距离公式》教学设计(优质课)

空间两点间的距离公式 （一）教学目标 1．知识与技能 使学生掌握空间两点间的距离公式 2．过程与方法 3．情态与价值观 通过空间两点间距离公式的推导，使学生经历从易到难，从特殊到一般的认识过程 （二）教学重点、难点 重点：空间两点间的距离公式； 难点：一般情况下，空间两点间的距离公式的推导。 （三）教学设计 先推导特殊情况下空间两点间的距离公式 推导一般情况下的空间两点间的距离公式

巩固练习 1．先在空间直角坐标系中标出A、B两点，再求它们之间的距离：

|.求MN 的长. 备选例题 例1 已知点A 在y 轴 ，点B (0，1，2)且||AB =A 的坐标为 . 【解析】由题意设A (0，y ，0)= 解得：y = 0或y = 2，故点A 的坐标是(0，0，0)或(0，2，0) 例2 坐标平面yOz 上一点P 满足：（1）横、纵、竖坐标之和为2；（2）到点A (3，2，5)，B (3，5，2)的距离相等，求点P 的坐标. 【解析】由题意设P (0，y ，z )，则

222222 2 (03)(2)(5)(03)(5)(2) y z y z y z +=??-+-+-=-+-+-? 解得：1 1 y z =??=? 故点P 的坐标为(0，1，1) 例3 在yOz 平面上求与三个已知点A (3，1，2)，B (4，–2，–2)，C (0，5，1)等距离的点的坐标. 【解析】设P (0，y ，z )，由题意||||||||PA PC PB PC =??=? 所以==即4607310y z y z --=??+-=?，所以12y z =??=-?， 所以P 的坐标是(0，1，–2).

(完整版)《空间两点间的距离公式》习题

《空间两点间的距离公式》习题 一、 选择题 1、点B 是点A （1，2，3）在坐标平面yoz 内的射影，则OB 等于（ ） 2、到定点（1，0，0）的距离小于或等于1的点的集合是（ ） A {（x ，y ，z ）|（x-1）2+y 2+z 21} B {（x ，y ，z ）|（x-1）2+y 2+z 2=1} C {（x ，y ，z ）|（x-1）+y+z=1} D {（x ，y ，z ）|x 2+y 2+z 21} 3、点P （x ，y ，z ）满足 ，则点P 在（ ） A 以点（1，1，-1）为圆心，以2为半径的圆上 B 以点（1，1，-1）为中心，以2为棱长的正方体上 C 以点（1，1，-1）为球心，以2为半径的球面上 D 无法确定 4、已知三点A （-1，0，1），B （2，4，3），C （5，8，5），则（ ） A 三点构成等腰三角形 B 三点构成直角三角形 C 三点构成等腰直角三角形 D 三点构不成三角形 5、已知A （1-t ，1-t ，t ），B （2，t ，t ），则A 、B 两点间的距离的最小值是（ ） A 5 B 5 C 5 D 115 6、点P(1,3,5)关于原点对称的点/P 的坐标是（ ） A 、(-1,-3,-5) B 、(-1,-3,5) C 、(1,-3,5) D 、(-1,3,5) 7、点B 是点A(1,2,3)在坐标平面yOz 内的射影，则OB 等于（ ） A 、 二、填空题 8、已知空间两点A （-3，-1，1），B （-2，2，3），在Oz 轴上有一点C ，它与A 、B 两点的距

离相等，则C点的坐标是_____________________。 的三顶点分别为A(3,1,2)，B（4，-2，-2），C（0，5，1），则BC边上的中9、已知ABC 线长为___________________。 10、若P（x，y，z）到A（1，0，1），B（2，1，0）两点的距离相等，则x，y，z满足的关系式是-----------------------。 11、在z轴上与点A（-4，1，7）和点B（3，5，-2）等距离的点C的坐标为----------------------。 12、已知点P在z轴上，且满足|PO|=1（O是坐标原点），则点P到点A（1，1，1）的距离是-----------------------。 三、解答题 13、球到两定点A（2，3，0），B（5，1，0）距离相等的点P的坐标满足的条件。 14、已知A（1，0，1），B（2，-1，0），求线段AB的中垂面的方程 15、若点G到ABC三个顶点的距离的平方和最小，则点G就为ABC的重心。 已知ABC的三个顶点分别为A（3，3，1），B（1，0，5），C（-1，3，-3），求ABC的重心的坐标。

平面内两点间距离公式说课稿

说课稿 课题：平面直角坐标系中的距离公式 一、教材分析 点是组成空间几何体最基本的元素之一，两点间的距离也是最简单的一种距离。本章是用坐标法研究平面中的直线，而点又是确定直线位置的几何 要素之一。对本节的研究，为点到直线的距离公式、两条平行直线的距离公式的推导以及后面空间中两点间距离的进一步学习，奠定了基础，具有重要作用。 二、目标分析 教学目标 （一）知识与技能：（1）让学生理解平面内两点间的距离公式的推导过程，掌握两点间距离公式及其简单应用，会用坐标法证明一些简单 的几何问题；（2）通过由特殊到一般的归纳，培养学生探索问题的 能力 （二）过程与方法：（1）利用勾股定理推导出两点间的距离公式，并由此用坐标法推证其它问题。通过推导公式方法的发现，培养学生观 察发现、分析归纳、抽象概括、数学表达等基本数学思维能力；（2） 在推导过程中，渗透数形结合的数学思想。 （三）情感与价值：培养学生思维的严密性和条理性，同时感受数学的形式美与简洁美，从而激发学生学习兴趣。 教学重点：两点间的距离公式和它的简单应用 教学难点：用坐标法解决平面几何问题 三、教法分析 启发式教学法，即教师通过复习铺垫→设疑启发→引导探索→构建新知→归纳与总结→反思与评，使学生在获得知识的同时，能够掌握方法、提升能力． 四、学情分析 1、知识结构：在学习本课前，学生已经掌握了数轴上两点距离公式，对直角坐标系有了一些了解与运用的经验 2、能力方面：学生已经具有一定分析问题、解决问题的能力，在教师的合理引导下学生有独立探究问题的知识基础和学习能力。 3、情感方面：由于学生学习解析几何时间还不长、学习程度也较浅，计算能力差，且受高一这一年龄段学习心理和认知结构的影响，在学习过程中难免会有些困难。 五、教学流程 教学过程：分为六个环节（复习铺垫—设疑导课—公式推导—范例教学—归纳小结—布置作业） （一）复习铺垫 课堂设问一：回忆数轴上两点间距离公式，同学们能否用以前所学的知识 解决以下问题

空间直角坐标系与两点间的距离

11．6空间直角坐标系与两点间的距离 【知识网络】 1．了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置． 2．通过表示特殊长方体（所有棱分别与坐标轴平行）顶点的坐标． 3．探索并得出空间两点间的距离公式，会求空间两点间的距离． 【典型例题】 [例1]（1）在空间直角坐标系中，点（1，2，－3）关于x轴的对称点的坐标是( ) A．（1，－2，3）Ｂ．（－1，2，3）Ｃ．（－1，－2，3）Ｄ．（1，－2，－3） （2）已知点A（－1，－2，6），B（1，2，－6），O为坐标原点，则O，A，B三点 A．可以构成直角三角形B．可以构成钝角三角形 C．可以构成锐角三角形D．不能构成三角形 （3）已知线段AB两端点坐标为A（2，－3，4），B（2，5，－3），则与线段AB平行的坐标平面（） A．是xoy平面B．是yoz平面C．是xoz平面D．不存在 （4）点A（1，0，1），AB中点坐标为（3，－4，9），则B点坐标是． （5）与两点M（1，0，0），N（－1，0，0）等距离的点的坐标（x,y,z)满足的条件是． [例2]已知球心C（1，1，2），球的一条直径的一个端点为A（－1，2，2），求该球的表面积及该直径的另一个端点的坐标。 [例3]如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，已知C（0，0，0）A1（0，1，1），B（1，0，0），

（1）求面对角线的长度； （2）该三棱柱是否有外接球？若有，求出球的方程，若没有，说明Array理由． [例4]在三棱锥A—BCD中，AC=AB=DC=DB=2，AD=BC=1，求该三棱锥的体积．

【课内练习】 1．在空间直角坐标系中，点（1，－1，2）关于y轴的对称点的坐标是( ) ．（1，－1，2）Ｂ．（－1，1，2）Ｃ．（－1，－1，－2）Ｄ．（－1，1，－2）2．点M（－2，4，5）在xoy平面，yoz平面，xoz平面上的射影分别是（）A．（0，4，5），（－2，0，5），（－2，4，0） B．（－2，4，0），（0，4，5），（－2，0，5） C．（－2，0，5），（－2，4，0），（0，4，5） D．（0，4，0），（－2，0，0），（0，4，0） 3．在空间直角坐标系中，线段AB的中垂面是yoz平面，点A（1，2，3），则点B的坐标是（）A．（－1，2，3）B．（1，－2，3）C．（1，2，－3）D．（1，－2，－3）4．在xoy平面内，到点（1，－1，2）距离等于3的点的轨迹是（） A．一点B．一条直线C．两条平行线D．一个圆 5．点（4，－1，2）关于原点的对称点的坐标是． 6．已知两点A（0，－2，3），B（2，1，x），|AB|=5，则x等于． 7．在y轴上任意一点M到点N（－2，1，3）距离的最小值是． 8．已知三点A（－1，1，2），B（1，2，－1），C（a，0，3），这三点能共线吗？若能共线，求出a的值；若不能共线，说明理由． 9．在长方体ABCD—A1B1C1D1中，部分顶点的坐标分别是 A（－1，－1，－1）B（－1，3，－1）C （4，3，－1）A1（－1，－1，3） 求C1、D1点的坐标．

高中数学第二章平面解析几何初步2.4.2空间两点的距离公式练习(含解析)新人教B版必修2

对应学生用书P75 知识点一 空间两点间的距离 高中数学第二章平面解析几何初步2.4.2空间两点的距离公式练 习（含解析）新人教B版必修2 1．在空间直角坐标系中，点A(3，2，－5)到x轴的距离d等于( ) A．32＋22 B．22＋－52 C．32＋－52 D．32＋22＋－52 答案 B 解析过点A作AB⊥x轴于点B，则B(3，0，0)，所以点A到x轴的距离d＝|AB|＝22＋－52． 2．如图，在空间直角坐标系中，有一棱长为a的正方体ABCO－A′B′C′O′，则A′C 的中点E与AB的中点F的距离为( ) A．2a B． 2 2 a C．a D． 1 2 a 答案 B 解析A′(a，0，a)，C(0，a，0)，点E的坐标为 a 2 ， a 2 ， a 2 ，而F ? ? ?? ? a， a 2 ，0，∴|EF|＝ a2 4 ＋02＋ a2 4＝ 2 2 a，故选B．

知识点二 空间两点间距离公式的应用 3．点P(x ，y ，z)满足 x －1 2 ＋y －1 2 ＋z ＋1 2 ＝2，则点P 在( ) A ．以点 (1，1，－1)为球心，以2为半径的球面上 B ．以点(1，1，－1)为中心，以2为棱长的正方体内 C ．以点(1，1，－1)为球心，以2为半径的球面上 D ．以上都不正确 答案 C 解析 x －1 2 ＋y －1 2 ＋z ＋1 2 表示P(x ，y ，z)到点M(1，1，－1)的距离， 即|PM|＝2为定值．故点P 在以点(1，1，－1)为球心，以2为半径的球面上． 4．如图所示，PA ，AB ，AD 两两垂直，四边形ABCD 为矩形，M ，N 分别为AB ，PC 的中点．求证：MN⊥AB． 证明 如图所示，以A 为坐标原点，分别以AB ，AD ，AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，设B(a ，0，0)，D(0，b ，0)，C(a ，b ，0)，P(0，0，c)，连接AN ． 因为M ，N 分别是AB ，PC 的中点，所以M ? ?? ??a 2，0，0， N ? ????a 2，b 2，c 2，则|AM|2＝a 2 4，|MN|2 ＝b 2 ＋c 2 4， |AN|2 ＝a 2 ＋b 2 ＋c 2 4 ， 所以|AN|2＝|MN|2＋|AM|2 ，所以MN⊥AB．

版空间直角坐标系空间两点间的距离公式

4.3空间直角坐标系 4.3.1空间直角坐标系 4.3.2空间两点间的距离公式 1．了解空间直角坐标系的建系方式．(难点) 2．能在空间直角坐标系中求出点的坐标和已知坐标作出点．(重点、易错点) 3．理解空间两点间距离公式的推导过程和方法．(难点) 4．掌握空间两点间的距离公式，能够用空间两点间距离公式解决简单的问题．(重点 ) [基础·初探] 教材整理1空间直角坐标系 阅读教材P134～P135“例1”以上部分，完成下列问题． 1．空间直角坐标系

空间一点M 的坐标可用有序实数组( x ，y ，z )来表示，有序实数组(x ，y ，z )叫做点M 在此空间直角坐标系中的坐标，记作M (x ，y ，z )，其中x 叫做点M 的横坐标，y 叫做点M 的纵坐标，z 叫做点M 的竖坐标． 判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在空间直角坐标系中，在Ox 轴上的点的坐标一定是(0，b ，c )．( ) (2)在空间直角坐标系中，在yOz 平面上的点的坐标一定可写成(0，b ，c )．( ) (3)在空间直角坐标系中，在Oz 轴上的点的坐标可记作(0,0，c )．( ) (4)在空间直角坐标系中，在xOz 平面上的点的坐标是(a,0，c )．( ) 【解析】 (1)错误．x 轴上的点的坐标是纵坐标与竖坐标都为0. (2)、(3)、(4)正确． 【答案】 (1)× (2)√ (3)√ (4)√ 教材整理2 空间两点间的距离公式 阅读教材P 136“练习”以下至P 137部分，完成下列问题． 1．点P (x ，y ，z )到坐标原点O (0,0,0)的距离|OP |＝x 2＋y 2＋z 2. 2．任意两点P 1(x 1，y 1，z 1)，P 2(x 2，y 2， z 2)间的距离|P 1P 2|＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＋(z 1－z 2)2. 在空间直角坐标系中，A (－1,2,3)，B (2,1，m )，若|AB |＝110，则m 的值为________． 【解析】 |AB |＝(－1－2)2＋(2－1)2＋(3－m )2 ＝110，

示范教案(4.3.2 空间两点间的距离公式)

4.3.2 空间两点间的距离公式 整体设计 教学分析 平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是学生已学的知识,不难把平面上的知识推广到空间,遵循从易到难、从特殊到一般的认识过程,利用类比的思想方法,借助勾股定理得到空间任意一点到原点的距离;从平面直角坐标系中的方程x 2+y 2=r 2表示以原点为圆心,r 为半径的圆,推广到空间直角坐标系中的方程x 2+y 2+z 2=r 2表示以原点为球心,r 为半径的球面.学生是不难接受的,这不仅不增加学生负担,还会提高学生学习的兴趣. 三维目标 1.掌握空间两点间的距离公式,会用空间两点间的距离公式解决问题. 2.通过探究空间两点间的距离公式,灵活运用公式,初步意识到将空间问题转化为平面问题是解决问题的基本思想方法,培养类比、迁移和化归的能力. 3.通过棱与坐标轴平行的特殊长方体的顶点的坐标,类比平面中两点之间的距离的求法,探索并得出空间两点间的距离公式,充分体会数形结合的思想,培养积极参与、大胆探索的精神. 重点难点 教学重点：空间两点间的距离公式. 教学难点:一般情况下,空间两点间的距离公式的推导. 课时安排 1课时 教学过程 导入新课 思路1.距离是几何中的基本度量,几何问题和一些实际问题经常涉及距离,如飞机和轮船的航线的设计,它虽不是直线距离,但也涉及两点之间的距离,一些建筑设计也要计算空间两点之间的距离,那么如何计算空间两点之间的距离呢?这就是我们本堂课的主要内容. 思路2.我们知道,数轴上两点间的距离是两点的坐标之差的绝对值,即d=|x 1-x 2|；平面直角坐 标系中,两点之间的距离是d=212212)()(y y x x -+-.同学们想,在空间直角坐标系中,两 点之间的距离应怎样计算呢？又有什么样的公式呢？因此我们学习空间两点间的距离公式. 推进新课 新知探究 提出问题 ①平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是什么？它是如何推导的？ ②设A(x,y,z)是空间任意一点,它到原点的距离是多少？应怎样计算？ ③给你一块砖,你如何量出它的对角线长,说明你的依据. ④同学们想,在空间直角坐标系中,你猜想空间两点之间的距离应怎样计算？ ⑤平面直角坐标系中的方程x 2+y 2=r 2表示什么图形？在空间中方程x 2+y 2+z 2=r 2表示什么图形？ ⑥试根据②③推导两点之间的距离公式. 活动：学生回忆,教师引导,教师提问,学生回答,学生之间可以相互交流讨论,学生有困难教师点拨.教师引导学生考虑解决问题的思路,要全面考虑,大胆猜想,发散思维.①学生回忆学过的数学知识,回想当时的推导过程；②解决这一问题,可以采取转化的方法,转化成我们学习的立体几何知识来解；③首先考虑问题的实际意义,直接度量,显然是不可以的,我们可以转化为立体几何的方法,也就是求长方体的对角线长.④回顾平面直角坐标系中,两点之间的距离公式,可类比猜想相应的公式；⑤学生回忆刚刚学过的知识,大胆类比和猜想;⑥利用③的道理,结合

空间两点间的距离公式

第二章 解析几何初步 第3.3节 空间两点间的距离公式 本节教材分析 （1）三维目标 ①知识与技能：使学生掌握空间两点间的距离公式. ②过程与方法： ③情感、态度与价值观：通过空间两点间距离公式的推导，使学生经历从易到难，从特殊到一般的认识过程. （2）教学重点 空间两点间的距离公式； （3）教学难点 一般情况下，空间两点间的距离公式的推导。 （4）教学建议 学生参与课堂教学的整个过程，所有知识的生成和问题的解决都是在教师的适当引导下，由学生探究完成的。让学生成为课堂教学的主人，教师只起导演的作用，摒弃以教师为中心的课堂教学观，通过具体的教学过程来看整堂课学生是不仅全员参与学，而且学生还参与教，把教与学的角色集于一身。没有学生积极 参与的课堂教学，是谈不上开发学生潜能的。而且通过设置难度适宜的问题和教师的巧妙点拔使学生敢于提出问题、发表见解，并使学生看问题与见解是否有挑战性与独创性。学生的主动创造是课堂教学中最令人激动的一道风景，而创造这样的景观绝非教师一日之功。如在在推导空间两点间的距离公式时，我并不是直接给出公式而是让学生根据所学的平面上两点间的距离公式进行大胆的类比猜想，调动了学生的学习热情，使学生经历一个从易到难，从特殊到一般的过程。其目的在于让学生掌握类比的方法和养成严谨的思维习惯。 通过将所学知识与生活中有实际联系的蜂巢能否被击落这样一个有趣的问题的导入，增强了讲授的吸引力，因为只有设好疑，才能促进学生去解疑;惟有激情趣，才能吸引学生去听、去想、去思考，这样极大的调动了学生学习的热情和课堂气氛，使课堂上的人际交往产生了良好的合作氛围。激发了学生探究新知的欲望和合作探究的精神，通过现代技术的使用提高了教学效率和教学效果。 先推导特殊情况下空间两点间的距离公式 推导一般情况下的空间两点间的距离公式