大学物理典型例题分析

大学物理典型例题分析 第13章 光的干涉

例13-1如图将一厚度为l ，折射率为n 的薄玻璃片放在一狭缝和屏幕之间，设入射光波长为λ，测量中点C 处的光强与片厚l 的函数关系。如果l =0时，该点的强度为0I ，试问：

(1)点C 的光强与片厚l 的函数关系是什么； (2)l 取什么值时，点C 的光强最小。

解 (1)在C 点来自两狭缝光线的光程差为nl l δ=- 相应的相位差为

22(1)n l

π

π

?δλ

λ

?=

=

-

点C 的光强为：

2

14cos 2I I ??=

其中：I 1为通过单个狭缝在点C 的光强。

014I I =

(2)当

1(1)()2

n l k δλ

=-=-时

点C 的光强最小。所以

1()

1,2,3,21l k k n λ=-=-L

例13-2如图所示是一种利用干涉方法测量气体折射率的干涉示意图。其中T 1，T 2为一对完全相同的玻璃管，长为l ，实验开始时，两管中为空气，在 P 0 处出现零级明纹。然后在T 2管中注入待测气体而将空气排除，在这过程中，干涉条纹就会移动，通过测定干涉条纹的移动数可以推知气体的折射率。

设l =20cm,光波波长589.3nm λ=，空气的折射率1.000276,充一某种气体后，条纹移

动200条，求这种气体的折射率。

解 当两管同为空气时，零级明纹出现在P 0处，则从 S 1和S 2 射出的光在此处相遇时，光程差为零。T 2管充以某种气体后，从S 2射出的光到达屏处的光程就要增加，零级明纹将要

S 1

L 1

L 2

T 2

T 1

S 2

S

E

P 0

P 0 '

例13-2图

例13-1图

向下移动，出现在o P '

处。如干涉条纹移动N 条明纹，这样P 0处将成为第N 级明纹，因此，充气后两光线在 P 0 处的光程差为

21n l n l δ=-

所以 21n l n l N δλ=-= 即 21N n n l λ

=

+

代入数据得

3

2200589.310 1.000276 1.000865

0.2n ??=+=

例13-3. 在双缝干涉实验中，波长λ=5500? 的单色平行光垂直入射到缝间距

a =2?10-4m 的双缝上，屏到双缝的距离 D = 2m ． 求：

（1）中央明纹两侧的两条第10级明纹中心的间距;

(2)用一厚度为 e =6.6?10-6m 、折射率为 n =1.58 的玻璃片覆盖一缝后,零级明纹将移到原来的第几级明纹处 ?

解:(1) 因为相邻明（暗）条纹的间距为D a λ

，共20个间距

所以

20

0.11m D x a λ

?==

（2）覆盖玻璃后,零级明纹应满足:

[]21()0r r e ne --+=

设不盖玻璃片时,此点为第 k 级明纹，则应有

21r r k λ-=

所以 (1)n e k λ-=

(1) 6.967

n e

k λ

-=

=≈

零级明纹移到原第 7 级明纹处.

例13-4薄钢片上有两条紧靠的平行细缝，用波长 λ=5461? 的平面光波正入射到钢片上。屏幕距双缝的距离为 D =2.00m ，测得中央明条纹两侧的第五级明条纹间的距离为 ?

x =12.0mm.，

(1)求两缝间的距离。

(2)从任一明条纹(记作0)向一边数到第20条明条纹，共经过多大距离？ (3)如果使光波斜入射到钢片上，条纹间距将如何改变？ 解 (1)

2kD x d λ?= 2kd d x λ=

?

此处 5k =

100.910mm D d x λ

∴=

=?

(2)共经过20个条纹间距，即经过的距离

2024mm D l d λ

=

=

(3)不变。

例13-５如图波长550nm λ=的光线垂直入射在折射率3 1.5n =照相机镜头上，其上涂了一层折射率2 1.38n =的氟化镁增透膜，问：若在反射光相消干涉的条件中取 k =1，膜的厚度为多少？此增透膜在可见光范围内有没有增反？

解 因为123n n n p p ，所以反射光经历两次半波损失，所以无半波损失，反射光相干相消的条件是：

22(21)

2n d k λ

=+

代入k =1和2n 求得：

9

2335501044 1.38d n λ-??==

?

72.98210m -=?

此膜对反射光相干相长的条件：

22n d k λ= 将d 代入 11855nm k λ== 22

412.5nm k λ==

33

275nm k λ==

波长412.5nm 的可见光有增反。

例13-6.在 Si 的平面上形成了一层厚度均匀的

SiO 2 的薄膜，为了测量薄膜厚度，将它的一部分腐蚀成劈形（示意图中的 AB 段）。现用波长为 600.0nm 的平行光垂直照射，观察反射光形成的等厚干涉条纹。在图中 AB 段共有 8 条暗纹，且 B 处恰好是一条暗纹，求薄膜的厚度。（ Si 折射率为 3.42， SiO 2 折射率为 1.50 ）

解：上下表面反射都有半波损失，计算光程差时不必考虑附加的半波长，设薄膜厚度为 e 。

B

λ

SiO 2膜

例

13-6图

例13-5图

B 处暗纹有：

2(21),

0,1,22ne k k λ

=+=L

B 处第 8 条暗纹对应上式 7k =

3(21) 1.510mm 4k e n λ

-+=

=?

例13-７为了测量金属细丝的直径，把金属丝夹在两块平玻璃之间，形成劈尖，如图所示，如用单色光垂直照射 ，就得到等厚干涉条纹。测出干涉条纹的间距，就可以算出金属丝的直径。某次的测量结果为：单色光的波长589.3nm λ=，金属丝与劈间顶点间的距离L=28.880mm ，30条明纹间得距离为4.295mm,求金属丝的直径D ？

解 30条明纹29个间距，相邻两条明纹间的间距为

4.295

mm 29l =

其间空气层的厚度相差2λ

，于是

sin 2l λ

θ=

其中θ为劈间尖的交角，因为θ很小，所以

sin D tg L θθ==

2L D l λ=

代入数据得

3

9

328.880101

589.3104.295

21029D ---?=

????

0.05746mm =

例13-8在牛顿环实验中用紫光照射，借助于低倍测量显微镜测得由中心往外数第 k 级

例13-7图

例13-8图

明环的半径，径33.010k r m -=?，k 级往上数第16个明环半径

3

16 5.010k r m -+=?，平凸透镜的曲率半径R =2.50m 。求：紫光的波长？

解 根据明环半径公式：

(21)(1)

2

k k R r λ

-=

[]162(16)1(2)

2

k k R r λ

+?+-=

221616k k r r R λ+-=

3232

7(5.010)(3.010) 4.010m

16 2.50λ---?-?==??

以其高精度显示光测量的优越性。

例13-9在迈克耳孙干涉仪的两臂中分别引入 10cm 长的玻璃管 A 、B ，其中一个抽成真空，另一个在充以一个大气压空气的过程中观察到107.2 条条纹移动，所用波长546nm 。

求:空气的折射率？

解：设空气的折射率为n ,两臂的光程差为

222(1)nl l l n δ=-=-

相邻条纹或说条纹移动一条时，对应光程差的变化为一个波长，当观察到107.2 条移过时，光程差的改变量满足：

2(1)107.2l n λ-=?

107.21 1.00029272n l λ

?=

+=

例13-10如图所示,牛顿环装置的平凸透镜与平板玻璃有一小空气缝隙0e ，现用波长为

的单色光垂直照射，已知平凸透镜的曲率半径为 R ，求反射光形成的牛顿环的各暗环

半径。

解：设某暗环半径为 r ，由图可知，根据几何关系，近似有

2

(1)

2r e R

=

1

M 2

M A

B

例13-9图

e 例13-10图

R

e

r

例13-10解图

再根据干涉减弱条件有

01

22(21)(2)

22

e e k λ

λ++

=+

式中 k 为大于零的整数,把式(1)代入式(2)可得

r =k 为整数,且

2e k λf

例13-11利用牛顿环的条纹可以测定平凹球面的曲率半径，方法是将已知半径的平凸透镜的凸球面放置在待测的凹球面上，在两球面间形成空气薄层，如图所示。用波长为 λ 的平行单色光垂直照射，观察反射光形成的干涉条纹，试证明若中心 o 点处刚好接触，则第

k 个暗环的半径k r 与凹球面半径 2R ，凸面半径 1R (12R R p )及入射光波长λ的关系为:

21221

(1,2,3)

k R R k r k R R λ

=

=-L

解：如图所示，第 k 个暗环处空气薄膜厚度为 e ?

12e e e ?=-

由几何关系可得近似关系：

2112k r e R =, 2

222k r e R =

第k 个暗环的条件为：

2(21),0,1,2,22

e k k λλ

?+

=+=L

即 2e k λ?=

2121122k r k R R λ

??

?-= ???

212

21k k R R r R R λ∴=

- 得证。

大学物理典型例题分析 第14章 光的衍射

例14-1水银灯发出的波长为546nm 的绿色平行光，垂直入射于宽0.437mm 的单缝缝后放置一焦距为40cm 的透镜，试求在透镜焦面上 出现的衍射条纹中央明纹的宽度。

解:两个第一级暗纹中心间的距离即为中央明纹宽度，对第一级暗条纹（k=1）求出其衍射角

1sin a θλ= 式中θ1很小

例13-11图

11sin a λ

θθ≈=

中央明纹角宽度为

122a λθ=

透镜焦面上出现中央明纹的线宽度

11222f x ftg f a λθθ?=≈=

933

2546100.4 1.010m 0.43710---???==??

中央明纹的宽度与缝宽a 成反比，单缝越窄，中央明纹越宽。

例14-2在某个单缝衍射实验中，光源发出的光含有两种波长 1λ和 2λ并垂直入射于单缝上，假如 1λ 的第一级衍射极小与 2λ 的第二级衍射极小相重合，试问：

（1）这两种波长之间有何关系？

（2）在这两种波长的光所形成的衍射图样中，是否还有其他极小相重合？ 解（1）由单缝衍射的暗纹公式：11sin a θλ=

22sin 2a θλ=

因为1λ的第一级暗纹与2λ的第二级暗纹重叠有

1212,

2θθλλ==

（２） 11112sin 2a k k θλλ== (1)

222sin a k θλ= (2）

由式(1)式(2)当 22122k k λλ=

即 212k k =时，12θθ= 则相应的两暗纹重垒。

例14-3若有一波长为 λ600nm 的单色平行光，垂直入射到缝宽 a =0.6mm 的单缝上，

缝后有一焦距 f = 40 cm 的透镜。试求： （1）屏上中央明纹的宽度;

（2）若在屏上 P 点观察到一明纹，op =1.4mm 问 P 点处是第几级明纹，对 P 点而言狭缝处波面可分成几个半波带？

解：(1) 两个第一级暗纹中心间的距离即为中央明纹的宽度

703610220.40.610x f a λ

--??==??

?

30.810m 0.8mm -=?= （２）根据单缝衍射的明纹公式：

sin (21)

(1)1,2,32

a k k λ

?=+=±±±L

在衍射角?较小的条件下

sin (2)

x tg f

??≈=

联立式（１）式（２）得

12ax k f λ=

-

3370.610 1.41013

0.46102---???=-=??

所以p 点所在的位置为第三级明纹，

由

sin (21)

2a k λ

?=+ 可知

当3k =时，可分成217k +=个半波带。

例14-4波长λ=6000 ? 的单色光垂直入射到一光栅上，测得第二级主级大的衍射角为

030且第三级是缺级。

(1) 光栅常数等于多少；

(2) 透光缝可能的最小宽度a 等于多少；

(3) 选定了上述d 和a 后，求在屏幕上可能呈现的主级大的级次。 解 (1)由光栅衍射，主极大公式：

sin d k θλ=

10

02600010sin sin30k d λθ-??==

62.410m -=?

(2)由光栅公式知第三级主级大的衍射角θ'的关系式：

sin 3(1)d θλ

'=

由于第三级缺级，对应于最小可能的a ，θ'的方向应是单缝衍射第一级暗纹的方向，即

sin (2)a θλ

'=

由式（1）式（2）可得

60.810m 3d

a -=

=?

（3）由 sin d k θλ=

得

max sin904

d k λ

=

=

因为第3级缺级，所以实际呈现:0,1, 2.k =±±等各级主级大，第4级看不见。 例14-5 一台光谱仪备有1500条/mm ，900条/mm 和60条/mm 三块光栅，今欲用它测量波长约为 7?10-4 mm 的红光波长 ，选用那块光栅比较合适？

解：由光栅公式 ()sin a b k ?λ+= 试用1500条/mm 的光栅观察:

1mm 1500a b +=

k b a k 05.1sin =+=

λ

?

sin 1?≤，所以k 仅能取0，故此光栅不合适。

试用900条/mm 的光栅观察:

mm 9001

=+b a

k b a k 63.0sin =+=

λ

?

取1=k ， 63.0sin =?

036=?，出现第一级主极大位置适合观察，故选此光栅较合适。

试用60条/mm 的光栅观察：

1mm 60a b += sin 0.042k k a b λ

?==+ sin 0.042k k a b λ

?=

=+

取 0111,sin 0.042,

2k ??===

取 0222,

sin 0.084,

4.8.k ??===

条纹间距太小，不适合。

例14-6用每毫米刻有500条栅纹的光栅，观察钠光谱线，589.3nm,λ=问： (1)平行光线垂直入射时，最多能看见第几级条纹？总共有多少条条纹？ (2)平行光线以入射角0

30入射时，最多能看见第几级条纹？总共有多少条条纹？ (3）由于钠光谱线实际上是波长1589.0nm λ=及2589.6nm λ=,两条谱线的平均波长，求在正入射时最高级条纹将此双线分开的角距离及在屏上分开的线距离。设光栅后透镜的焦距为2m.。

解（1）根据光栅方程 ()sin a b k θλ+=

sin a b

k θ

λ

+=

可见k 的可能最大值相应于，sin 1θ=

按题意知，光栅常数为

61

mm 210m 500a b -+=

=?

代入数值得

6

9

210 3.4589.310k --?==?

k 只能取整数，故取k=3,即垂直入射时能看到第三级条纹，可以看到:-3,-2,-1,0,1,2,3共7

条明纹。

（2）如平行光以i 角入射时，由光程差的计算公式，光程差为:

()(sin sin )a b i δθ=+-

其中衍射角θ入射角i 为代数量， 2

2π

π

θ-

p f

斜入射时的光栅方程为:

()(sin sin )0,1,2a b i k k θλ

+-==±±L

同样，k 的可能最大值相应于 sin 1θ=±，

在O 点上方观察到的最大级次为k 1，取0

90θ=得

00619()(sin90sin30)

210(10.5)589.310a b k λ

--+-?-=

=

?

1.7=

取 11k =

而在o 点下方观察到的最大级次为k 2，取0

90θ=-得

00

2()sin(90)sin 30a b k λ

??+--??

=

9

()(10.5)

5.09589.310a b -+--=

=-?

取 25k =-

所以斜入射时，总共有5,4,3,2,1,0,1-----，共７条明纹。

（3）对光栅公式两边取微分

()cos k k a b d kd θθλ+=

波长为λ及d λλ+的第k 级的两条纹分开的角距离为

()cos k k kd d a b λ

θθ=

+

光线正入射时，最大级次为第3级，相应的角位置3θ为

9

1

1363589.310sin ()sin ()210k a b λθ----??==+?

0627'=

所以，

9

3603(589.3589.0)10210cos627d θ---?=

'? 31.9310rad -=?

钠双线分开的线距离

3332 1.9310m 3.86mm dx fd θ-==??=

例14-7一双缝，缝距d =0.40mm ，两缝宽度都是a =0.08mm ，用波长为λ=4800?的平行光垂直照射双缝，在双缝后放一焦距f =2.0m 的透镜，求：

(1)在透镜焦平面处的屏上双缝干涉条纹的间距?x ； (2)在单缝衍射中央亮纹范围内的双缝干涉亮纹数目。 解：（1）双缝干涉第k 级亮纹条件：

sin d k θλ= 第k 级亮纹在屏上的位置：

sin k k x ftg f f

d λθθ=≈=

相邻亮纹的间距：

1k k f x x x d λ+?=-=

32.410m 2.4mm -=?=

单缝衍射中央亮纹包迹内，可能有主极大的数目为： 中央亮纹宽度：

3022410m x f

a λ

-?==?

可能有主极大的数目为： 0

111

x x ?+=?

又因 0.40

5

0.08d a ==

所以：双缝衍射±5级主极大缺级。

在单缝衍射中央亮纹范围内，双缝干涉亮纹数目为：

9N =,即 0,1,2,3,4k =±±±±。

例14-8一衍射光栅,每厘米有200条透光缝,每条缝宽为3

210cm a -=?,在光栅后放一焦

距1m f =的凸透镜，现以6000A

λ=&的单色平行光垂直照射光栅，求： (1)透光缝a 的单缝衍射中央明条纹宽度为多少? (2)在该宽度内,有几个光栅衍射主极大? 解 单缝衍射暗纹的条件：

sin 22a k

λ

?=

x f Q pp

sin x

tg f ???≈≈=

单缝衍射第１级暗纹的条件：1sin a ?λ=

即

1

11sin x a atg a

f ??λ===

10.03m

x f

a

λ

∴==

中央明条纹宽度为: 0120.06m x x ?== (2)光栅衍射主极大公式: ()sin a b k ?λ'+=

即

()

x

a b k f λ'+= 当10.03m x x ==

1

() 2.5a b x k f λ+'=

=

k '只能取整数，取2k '=，即第2级主极大。

0,1,2k '∴=±±等５个主极大。

例14-9波长为 500nm 的单色光，以 30°入射角照射在光栅上，发现原在垂直入射时

的中央明条纹的位置现在改变为第二级光谱的位置，求：

（1）此光栅每 1cm 上共有多少条缝？ （2）最多能看到几级光谱？共可看到几条谱线？ 解（1）斜入射时光栅公式 ()(sin sin )a b i k θλ++= 原中央明纹处衍射角 0θ=

第二级光谱 2,k =且已知0

30i =则有

0()(sin 0sin30)2a b λ++=

24sin30a b λ

λ+=

=

6210m -=?

2

1105000条cm

N a b -?==+

（2）令衍射角0

90θ=，得

00()(sin90sin30)

6

a b k λ

++=

=

090,

6k θ==，看不见；

取 max 5k =

同理令0

90,θ=-得零级亮纹下方的最高级次：

00

()sin(90)sin 302

a b k λ

??+-+??

=

=-

090,

2k θ=-=-，该级条纹看不见；

取 max 1k =-

所以可以看见：0,1,2,3,4,5,±共7条谱线。

例14-10以波长0.11nm 的X 射线照射岩盐晶面，实验测得在X 射线与晶面的夹角(掠射

角)为11°30’时获得第一级极大的反射光。问：

（1）岩盐晶体原子平面之间的间距d 为多大？

（2）如以另一束待侧的X 射线照岩盐晶面，测得 X 射线与镜面的夹角为17°30’时 获得第一级极大反射光，则待测 X 射线的波长是多少？

解（1） 2sin d k ?λ=

1,

2sin k d ?λ==

00.11

0.276nm

2sin 2sin1130d λ

?

∴=

=

='?

（2）

2sin 2sin d d k ?

λ?=

=

902 2.7610sin1730-'=??

101.65610m -=?

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第15章 光的偏振

例15-1若要使振幅为A 0振动方向如图的线偏振光的光振动方向旋转90°，最少需要几 块偏振片？这些偏振片怎样放置才能使透射光的光强最大。

解 至少需要两块偏振片p 1和p 2如图放置才能使线偏振光的光振动方向旋转90°，

090αβ+=

透过偏振片1p 的振幅为

10cos A A α=

透过偏振片2p 的振幅为

21cos sin 22A A A βα==

当sin 21α=时，透射光的振幅最大，0

45α=，

因为光强 2

I A ∝，所以当045α=时，即偏振片1p 与振幅A ０成045角时才能使透

射光强最大。

例15-2为了对光强进行调制，在两偏振方向正交的起偏器M 和检偏器N 之间，插入一片以角速度ω旋转的理想偏振片p ，入射自然光强为0I ，试求由系统出射的光强是多少？

解 设0t =时，旋转的理想偏振片

p 和起偏器M 的夹角0α=，

例15-1图

则t 时刻的夹角为t αω=，偏振片p 和

检偏器N 之间之间的夹角则为()

2π

α-，

所以t 时刻透过偏振片Ｐ的光强为

20

cos 2p I I t ω=

系统出射的光强为

2220cos ()cos sin 22p I I I t t t

π

ωωω=-= t I

ω2sin 820=

(1cos4)16I t ω=

-

t ω=00

,900

,1800

,2700

时，输出光强为零。

t ωt ω=450,1350,2250,3150时，输出光强为0

8I 。

t ω每旋转偏振片p 一周，输出光强有“四明四零”。

例15-3在两个偏振化方向正交的偏振片之间插入第三个偏振片。

(1) 当最后透过的光强为入射自然光强的1/8时，求插入第三个偏振片偏振化的方向； (2) 若最后透射光强为零，则第三个偏振片怎样放置？

解 (1)设插入的第三个偏振片偏振化方向与第一个偏振片偏振化方向的夹角为α，则

与第三个偏振片偏振化方向的夹角为（2

π

α

-）,设入射线自然光的强度为0I

光经过三个偏振片后的光强为：

2200cos cos ()228I I I π

αα=

-=sin2α 已知

8I I = 解得 0sin 21,45αα==

其中：α为插入的偏振片与第一个偏振片之间偏振化方向的夹角。

（2）同理

220cos cos ()022I I π

αα=

-=

解得

0sin 20,0,或2π

ααα===

例15-4一束光是自然光和偏振光的混合光，让它垂直通过一偏振片，若以此入射光束为轴，旋转偏振片时，测得透射光强强度的最大值是最小值的5倍，求入射光束中，自然光与线偏振光的光强比值。

解：设入射光束中自然光强为I 0，线偏振光的光强为I 1，则垂直通过一偏振片后，透射

光强最大时，线偏振光全通过，透过偏振片的自然光强度始终为20

I

max 12I I I =

+

透射光强最小时，线偏振光被偏振片完全吸收

0min 2I I =

又因为

max min 0

5

52I I I == 即 0

1025

2

I I I =+ 所以 011

2I I =

例15-5已知方解石晶体的 o 光和 e 光的折射率分别为o n =1.658，e n =1.486 今将该晶体做成波晶片，使光轴与晶面平行，用波长为 589.3nm 的单色偏振光入射，光

的振动方向与光轴成

= 450角，若使出射光是圆偏振光，问这镜片的最小厚度是多少？

解：要使透过波晶片的光是圆偏振光，除满足题中给的条件 = 450，使 A o =A e 外，还要求晶片有特定的厚度 d ，从而使 o 光和 e 光的相位差为 /2，光程差为

/4，

即对波长为

589.3nm 的光而言是四分之一波片。

()4o e n n d λ

δ=-=

0.86m

4()

o e d n n λ

μ=

=-

则晶片的最小厚度为：0.86m μ

典型相关分析及其应用实例

摘要 典型相关分析是多元统计分析的一个重要研究课题.它是研究两组变量之间相关的一种统计分析方法，能够有效地揭示两组变量之间的相互线性依赖关系.它借助主成分分析降维的思想，用少数几对综合变量来反映两组变量间的线性相关性质.目前它已经在众多领域的相关分析和预测分析中得到广泛应用. 本文首先描述了典型相关分析的统计思想，定义了总体典型相关变量及典型相关系数，并简要概述了它们的求解思路，然后深入对样本典型相关分析的几种算法做了比较全面的论述.根据典型相关分析的推理，归纳总结了它的一些重要性质并给出了证明，接着推导了典型相关系数的显著性检验.最后通过理论与实例分析两个层面论证了典型相关分析的应用于实际生活中的可行性与优越性. 【关键词】典型相关分析，样本典型相关，性质，实际应用

ABSTRACT The Canonical Correlation Analysis is an important studying topic of the Multivariate Statistical Analysis. It is the statistical analysis method which studies the correlation between two sets of variables. It can work to reveal the mutual line dependence relation availably between two sets of variables. With the help of the thought about the Principal Components, we can use a few comprehensive variables to reflect the linear relationship between two sets of variables. Nowadays It has already been used widely in the correlation analysis and forecasted analysis. This text describes the statistical thought of the Canonical Correlation Analysis firstly, and then defines the total canonical correlation variables and canonical correlation coefficient, and sum up their solution method briefly. After it I go deep into discuss some algorithm of the sample canonical correlation analysis thoroughly. According to the reasoning of the Canonical Correlation Analysis, sum up some of its important properties and give the identification, following it, I infer the significance testing about the canonical correlation coefficient. According to the analysis from the theories and the application, we can achieve the possibility and the superiority from canonical correlation analysis in the real life. 【Key words】Canonical Correlation Analysis，Sample canonical correlation，Character，Practical applications

大学物理竞赛指导-经典力学例题-物理中心

大学物理竞赛指导-经典力学选例 一．质点运动学 基本内容：位置，速度，加速度，他们的微积分关系，自然坐标下切、法向加速度，*极坐标下径向速度，横向速度，直线运动，抛物运动，圆周运动，角量描述，相对运动 1.运动学中的两类问题 (1)已知运动方程求质点的速度、加速度。这类问题主要是利用求导数的方法。 例1 一艘船以速率ｕ驶向码头P ，另一艘船以速率v 自码头离去，试证当两船的距离最短时，两船与码头的距离之比为： ()()ααcos :cos v v ++u u 设航路均为直线，α为两直线的夹角。 证：设任一时刻船与码头的距离为x 、y ，两船的距离为l ，则有 α c o s 2222xy y x l -+= 对ｔ求导，得 ()()t x y t y x t y y t x x t l l d d c o s 2d d c o s 2d d 2d d 2d d 2αα--+= 将v , =-=t y u t x d d d d 代入上式，并应用0d d =t l 作为求极值的条件，则得 ααcos cos 0yu x y ux +-+-=v v ()()αα c o s c o s u y u x +++-=v v 由此可求得 ααc o s c o s v v ++=u u y x 即当两船的距离最短时，两船与码头的距离之比为 ()()αα c o s c o s v : v ++u u (2)已知质点加速度函数a ＝a (x ，v ，t )以及初始条件，建立质点的运动方程。这类问题主要用积分方法。 例2 一质点从静止开始作直线运动，开始时加速度为a 0，此后加速度随时间均匀增加，经过时间τ后，加速度为2a 0，经过时间2τ后，加速度为3 a 0 ,…求经过时间n τ后，该质点的速度和走过的距离。 解：设质点的加速度为 a = a 0+α t ∵ t = τ 时， a =2 a 0 ∴ α = a 0 /τ 即 a = a 0+ a 0 t /τ ， 由 a = d v /d t ， 得 d v = a d t t t a a t d )/(d 0 000τ??+=v v ∴ 2002t a t a τ +=v

大学物理习题册题目及答案第5单元 狭义相对论

第一章 力学的基本概念(二) 狭义相对论 序号 学号 姓名 专业、班级 一 选择题 [ B ]1. 一火箭的固有长度为L ，相对于地面作匀速直线运动的速度为1v ，火箭上有一个人从火箭的后端向火箭前端上的一个靶子发射一颗相对于火箭的速度为2v 的子弹，在火箭上测得子弹从射出到击中靶的时间是 （A ） 21v v L + （B ）2v L （C ）12v v L - （D ）211) /(1c v v L - [ D ]2. 下列几种说法： (1) 所有惯性系对物理基本规律都是等价的。 (2) 在真空中，光的速率与光的频率、光源的运动状态无关。 (3) 在任何惯性系中，光在真空中沿任何方向的传播速度都相同。 其中哪些说法是正确的 (A) 只有(1)、(2)是正确的; (B) 只有(1)、(3)是正确的; (C) 只有(2)、(3)是正确的; (D) 三种说法都是正确的。 [ A ]3. 宇宙飞船相对于地面以速度v 作匀速直线飞行，某一时刻飞船头部的宇航员向飞船尾部发出一个光讯号，经过t ?(飞船上的钟)时间后，被尾部的接收器收到，则由此可知飞船的固有长度为 (A) t c ?? (B) t v ?? (C) 2)/(1c v t c -??? (D) 2 ) /(1c v t c -?? (c 表示真空中光速) [ C ]4. 一宇宙飞船相对于地以0.8c ( c 表示真空中光速 )的速度飞行。一光脉冲从船尾传到船头，飞船上的观察者测得飞船长度为90m ，地球上的观察者测得光脉冲从船上尾发出和到达船头两事件的空间间隔为 (A) m 90 (B) m 54 (C)m 270 (D)m 150 [ D ]5. 在参考系S 中，有两个静止质量都是 0m 的粒子A 和B ，分别以速度v 沿同一直线相向运动，相碰后合在一起成为一个粒子，则其静止质量0M 的值为 (A) 02m (B) 2 0)(12c v m - (C) 20)(12c v m - (D) 2 0) /(12c v m - ( c 表示真空中光速 ) [ C ]6. 根据相对论力学，动能为 MeV 的电子，其运动速度约等于 (A) c 1.0 (B) c 5.0 (C) c 75.0 (D) c 85.0 ( c 表示真空中光速, 电子的静止能V e M 5.020=c m ) [ A ]7. 质子在加速器中被加速，当其动能为静止能量的4倍时，其质量为静止质量的多少倍 （A ）5 （B ）6 （C ）3 （D ）8 二 填空题 1. 以速度v 相对地球作匀速直线运动的恒星所发射的光子，其相对于地球的速度的大小为 ____________C________________。 2.狭义相对论的两条基本原理中， 相对性原理说的是 _ __________________________略________________________. 光速不变原理说的是 _______________略___ _______________。 3. 在S 系中的X 轴上相隔为x ?处有两只同步的钟A 和B ，读数相同，在S '系的X '的轴上也有一只同样的钟A '。若S '系相对于S 系的运动速度为v , 沿X 轴方向且当A '与A 相遇时，刚好两钟的读数均为零。那么，当A '钟与B 钟相遇时，在S 系中B 钟的读数是v x /?；此时在S '系中A '钟的 读数是 2 )/(1)/(c v v x -? 。 4. 观察者甲以 c 5 4的速度(c 为真空中光速)相对于观察者乙运动，若甲携带一长度为l 、截面积为S 、 质量为m 的棒，这根棒安放在运动方向上，则 (1) 甲测得此棒的密度为 s l m ； (2) 乙测得此棒的密度为 s l m ?925 。 三 计算题

大学物理狭义相对论习题及答案

第5章 狭义相对论 习题及答案 1. 牛顿力学的时空观与相对论的时空观的根本区别是什么？二者有何联系？ 答：牛顿力学的时空观认为自然界存在着与物质运动无关的绝对空间和时间，这种空间和时间是彼此孤立的；狭义相对论的时空观认为自然界时间和空间的量度具有相对性，时间和空间的概念具有不可分割性，而且它们都与物质运动密切相关。在远小于光速的低速情况下，狭义相对论的时空观与牛顿力学的时空观趋于一致。 2.狭义相对论的两个基本原理是什么？ 答：狭义相对论的两个基本原理是： （1）相对性原理 在所有惯性系中，物理定律都具有相同形式；（2）光速不变原理 在所有惯性系中，光在真空中的传播速度均为c ,与光源运动与否无关。 3．你是否认为在相对论中，一切都是相对的？有没有绝对性的方面？有那些方面？举例说明。 解 在相对论中，不是一切都是相对的，也有绝对性存在的方面。如，光相对于所有惯性系其速率是不变的，即是绝对的；又如，力学规律，如动量守恒定律、能量守恒定律等在所有惯性系中都是成立的，即相对于不同的惯性系力学规律不会有所不同，此也是绝对的；还有，对同时同地的两事件同时具有绝对性等。 4．设'S 系相对S 系以速度u 沿着x 正方向运动，今有两事件对S 系来说是同时发生的，问在以下两种情况中，它们对'S 系是否同时发生？ （1）两事件发生于S 系的同一地点； （2）两事件发生于S 系的不同地点。 解 由洛伦兹变化2()v t t x c γ'?=?- ?知，第一种情况，0x ?=，0t ?=，故'S 系中0t '?=，即两事件同时发生；第二种情况，0x ?≠，0t ?=，故'S 系中0t '?≠，两事件不同时发生。 5-5 飞船A 中的观察者测得飞船B 正以0.4c 的速率尾随而来，一地面站测得飞船A 的速率为0.5c ，求： （1）地面站测得飞船B 的速率； （2）飞船B 测得飞船A 的速率。 解 选地面为S 系，飞船A 为S '系。 （1）'0.4,0.5x v c u c ==，2'341'x x x v u v c v v c +==+ （2）'0.4BA AB x v v v c =-=-=- 5.6 惯性系S ′相对另一惯性系S 沿x 轴作匀速直线运动，取两坐标原点重合时刻作为计时起点．在S 系中测得两事件的时空坐标分别为1x =6×104m,1t =2×10-4s ，以及2x =12×104 m,2t =1×10-4 s ．已知在S ′系中测得该两事件同时发生．试问： (1)S ′系相对S 系的速度是多少? (2)S '系中测得的两事件的空间间隔是多少? 解: 设)(S '相对S 的速度为v ， (1) )(12 11x c v t t -='γ

浙江省大学物理试题库204-热力学第一定律、典型的热力学过程

浙江工业大学学校 204 条目的4类题型式样及交稿式样 热力学第一定律、典型的热力学过程 一. 选择题 题号：20412001 分值：3分 难度系数等级：2 1 如图所示，一定量理想气体从体积V1，膨胀到体积V2分别经历的过程是：A→B等压过程，A→C等温过程；A→D绝热过程，其中吸热量最多的过程 (A) 是A→B. (B) 是A→ C. (C) 是A→D. (D) 既是A→B也是A→C, 两过程吸热一样多。 [ ] 答案：A 题号：20412002 分值：3分 难度系数等级：2 2 质量一定的理想气体，从相同状态出发，分别经历等温过程、等压过程和绝热过程，使其体积增加一倍．那么气体温度的改变(绝对值)在 (A) 绝热过程中最大，等压过程中最小． (B) 绝热过程中最大，等温过程中最小． (C) 等压过程中最大，绝热过程中最小． (D) 等压过程中最大，等温过程中最小．［］ 答案：D 题号：20412003 分值：3分 难度系数等级：2 V

3 一定量的理想气体，从a 态出发经过①或②过程到达b 态，acb 为等温线(如图)，则①、②两过程中外界对系统传递的热量Q 1、Q 2是 (A) Q 1>0，Q 2>0． (B) Q 1<0，Q 2<0． (C) Q 1>0，Q 2<0． (D) Q 1<0，Q 2>0． ［ ］ 答案：A 题号：20413004 分值：3分 难度系数等级：3 4 一定量的理想气体分别由初态a 经①过程ab 和由初态a ′经 ②过程a ′cb 到达相同的终态b ，如p －T 图所示，则两个过程中 气体从外界吸收的热量 Q 1，Q 2的关系为： (A) Q 1<0，Q 1> Q 2． (B) Q 1>0，Q 1> Q 2． (C) Q 1<0，Q 1< Q 2． (D) Q 1>0，Q 1< Q 2． ［ ］ 答案：B 题号：20412005 分值：3分 难度系数等级：2 5. 理想气体向真空作绝热膨胀． (A) 膨胀后，温度不变，压强减小． (B) 膨胀后，温度降低，压强减小． (C) 膨胀后，温度升高，压强减小． (D) 膨胀后，温度不变，压强不变． ［ ］ 答案：A 题号：20412006 分值：3分 难度系数等级：2 6. 一定量的理想气体，从p －V 图上初态a 经历(1)或(2)过程到达末态b ，已知a 、b 两 态处于同一条绝热线上(图中虚线是绝热线)，则气体在 (A) (1)过程中吸热，(2) 过程中放热． (B) (1)过程中放热，(2) 过程中吸热． (C) 两种过程中都吸热． (D) 两种过程中都放热． ［ ］ 答案：B 题号：20412007 分值：3分 p p p V

典型相关分析SPSS例析

典型相关分析 典型相关分析（Canonical correlation ）又称规则相关分析，用以分析两组变量间关系的一种方法；两个变量组均包含多个变量，所以简单相关和多元回归的解惑都是规则相关的特例。典型相关将各组变量作为整体对待，描述的是两个变量组之间整体的相关，而不是两个变量组个别变量之间的相关。 典型相关与主成分相关有类似，不过主成分考虑的是一组变量，而典型相关考虑的是两组变量间的关系，有学者将规则相关视为双管的主成分分析；因为它主要在寻找一组变量的成分使之与另一组的成分具有最大的线性关系。 典型相关模型的基本假设：两组变量间是线性关系，每对典型变量之间是线性关系，每个典型变量与本组变量之间也是线性关系；典型相关还要求各组内变量间不能有高度的复共线性。典型相关两组变量地位相等，如有隐含的因果关系，可令一组为自变量，另一组为因变量。 典型相关会找出一组变量的线性组合**=i i j j X a x Y b y =∑∑与 ，称 为典型变量；以使两个典型变量之间所能获得相关系数达到最大，这一相关系数称为典型相关系数。i a 和j b 称为典型系数。如果对变量进 行标准化后再进行上述操作，得到的是标准化的典型系数。 典型变量的性质 每个典型变量智慧与对应的另一组典型变量相关，而不与其他典型变量相关；原来所有变量的总方差通过典型变量而成为几个相互独立的维度。一个典型相关系数只是两个典型变量之间的相关，不能代

表两个变量组的相关；各对典型变量构成的多维典型相关，共同代表两组变量间的整体相关。 典型负荷系数和交叉负荷系数 典型负荷系数也称结构相关系数，指的是一个典型变量与本组所有变量的简单相关系数，交叉负荷系数指的是一个典型变量与另一组变量组各个变量的简单相关系数。典型系数隐含着偏相关的意思，而典型负荷系数代表的是典型变量与变量间的简单相关，两者有很大区别。 重叠指数 如果一组变量的部分方差可以又另一个变量的方差来解释和预测，就可以说这部分方差与另一个变量的方差之间相重叠，或可由另一变量所解释。将重叠应用到典型相关时，只要简单地将典型相关系数平方（2 CR）,就得到这对典型变量方差的共同比例，代表一个典型变量的方差可有另一个典型变量解释的比例，如果将此比例再乘以典型变量所能解释的本组变量总方差的比例，得到的就是一组变量的方差所能够被另一组变量的典型变量所能解释的比例，即为重叠系数。 例1：CRM（Customer Relationship Management）即客户关系管理案例，有三组变量，分别是公司规模变量两个（资本额，销售额），六个CRM实施程度变量（WEB网站，电子邮件，客服中心，DM 快讯广告Direct mail缩写，无线上网，简讯服务），三个CRM绩效维度（行销绩效，销售绩效，服务绩效）。试对三组变量做典型相关分析。

大学物理期末考试经典题型(带详细答案的)

例1：1 mol 氦气经如图所示的循环，其中p 2= 2 p 1，V 4= 2 V 1，求在1~2、2~3、3~4、4~1等过程中气体与环境的热量交换以及循环效率（可将氦气视为理想气体）。O p V V 1 V 4 p 1p 2解：p 2= 2 p 1 V 2= V 11234T 2= 2 T 1p 3= 2 p 1V 3= 2 V 1T 3= 4 T 1p 4= p 1V 4= 2 V 1 T 4= 2 T 1 （1）O p V V 1 V 4 p 1p 21234)(1212T T C M m Q V -=1→2 为等体过程， 2→3 为等压过程， )(2323T T C M m Q p -=1 1123)2(23RT T T R =-=1 115)24(2 5RT T T R =-=3→4 为等体过程， )(3434T T C M m Q V -=1 113)42(2 3 RT T T R -=-=4→1 为等压过程， )(4141T T C M m Q p -=1 112 5)2(25RT T T R -=-= O p V V 1 V 4 p 1p 21234（2）经历一个循环，系统吸收的总热量 23121Q Q Q +=1 112 13 523RT RT RT =+=系统放出的总热量1 41342211 RT Q Q Q =+=% 1.1513 2 112≈=-=Q Q η三、卡诺循环 A → B ：等温膨胀B → C ：绝热膨胀C → D ：等温压缩D →A ：绝热压缩 ab 为等温膨胀过程：0ln 1>=a b ab V V RT M m Q bc 为绝热膨胀过程：0=bc Q cd 为等温压缩过程：0ln 1<= c d cd V V RT M m Q da 为绝热压缩过程：0 =da Q p V O a b c d V a V d V b V c T 1T 2 a b ab V V RT M m Q Q ln 11= =d c c d V V RT M m Q Q ln 12= =, 卡诺热机的循环效率： p V O a b c d V a V d V b V c ) )(1 212a b d c V V V V T T Q Q (ln ln 11-=- =ηT 1T 2 bc 、ab 过程均为绝热过程，由绝热方程： 11--=γγc c b b V T V T 1 1--=γγd d a a V T V T (T b = T 1, T c = T 2)(T a = T 1, T d = T 2) d c a b V V V V =1 212T T Q Q -=- =11η p V O a b c d V a V d V b V c T 1T 2 卡诺制冷机的制冷系数： 1 2 1212))(T T V V V V T T Q Q a b d c ==(ln ln 2 122122T T T Q Q Q A Q -= -== 卡ω

大学物理第4章 狭义相对论时空观习题解答改

习 题 4-1 一辆高速车以0.8c 的速率运动。地上有一系列的同步钟,当经过地面上的一台钟时,驾驶员注意到它的指针在0=t ,她即刻把自己的钟拨到0'=t 。行驶了一段距离后,她自己的钟指到6 us 时,驾驶员瞧地面上另一台钟。问这个钟的读数就是多少？ 【解】s)(10) /8.0(16/12 2 2 0μ=-μ= -?= ?c c s c u t t 所以地面上第二个钟的读数为 )(10's t t t μ=?+= 4-2 在某惯性参考系S 中,两事件发生在同一地点而时间间隔为4 s,另一惯性参考系S′ 以速度c u 6.0=相对于S 系运动,问在S′ 系中测得的两个事件的时间间隔与空间间隔各就是多少？ 【解】已知原时(s)4=?t ,则测时 (s)56 .014/1'2 2 2 =-= -?= ?s c u t t 由洛伦兹坐标变换2 2 /1'c u ut x x --= ,得: )(100.9/1/1/1'''82 22 2202 21012m c u t u c u ut x c u ut x x x x ?=-?= --- --= -=? 4-3 S 系中测得两个事件的时空坐标就是x 1=6×104 m,y 1=z 1=0,t 1=2×10-4 s 与x 2=12×104 m,y 2=z 2=0,t 2=1×10-4 s 。如果S′ 系测得这两个事件同时发生,则S′ 系相对于S 系的速度u 就是多少？S′ 系测得这两个事件的空间间隔就是多少？ 【解】(m)1064 ?=?x ,0=?=?z y ,(s)1014 -?-=?t ,0'=?t

0)('2=?- ?γ=?c x u t t 2c x u t ?=?? (m/s)105.182?-=??=?x t c u (m )102.5)('4?=?-?γ=?t u x x 4-4 一列车与山底隧道静止时等长。列车高速穿过隧道时,山顶上一观察者瞧到当列车完全进入隧道时,在隧道的进口与出口处同时发生了雷击,但并未击中列车。试按相对论理论定性分析列车上的旅客应观察到什么现象？这现象就是如何发生的？ 【解】S 系(山顶观察者)瞧雷击同时发生,但车厢长度短于山洞长度,故未被击中。 'S 系(列车观察者)瞧雷击不同时发生。虽然车厢长度长于山洞长度,但出洞处先遭 雷击,入洞处后遭雷击,此时车尾已经进入山洞。故未被击中。 4-5 一飞船以0.99c 的速率平行于地面飞行,宇航员测得此飞船的长度为400 m 。(1)地面上的观察者测得飞船长度就是多少？(2)为了测得飞船的长度,地面上需要有两位观察者携带着两只同步钟同时站在飞船首尾两端处。那么这两位观察者相距多远？(3)宇航员测得两位观察者相距多远？ 【解】(1))(4.5699.01400/12 2 2 0m c u l l =-=-= (2)这两位观察者需同时测量飞船首尾的坐标,相减得到飞船长度,所以两位观察者相距就是56.4 m 。 (3)上的两位观察者相距56.4 m,这一距离在地面参考系中就是原长,宇航员瞧地面就是运动的,她测得地面上两位观察者相距为 )(96.799.014.56/12220m c u l l =-=-= 所以宇航员测得两位观察者相距7.96 m 。 4-6 一艘飞船原长为l 0,以速度v 相对于地面作匀速直线飞行。飞船内一小球从尾部运

大学物理相对论

14. 相对论 班级 学号 姓名 成绩 一、选择题 1.⑴某惯性系中一观察者,测得两事件同时刻、同地点发生, 则在其它惯性系中，它们不同时发生。 ⑵在惯性系中同时刻、不同地点发生的事件，在其它惯性系中必不同时发生； ⑶在某惯性系中不同时、不同地发生的两事件，在其它惯性系中必不同时，而同地发生； ⑷在不同惯性系中对同一物体的长度、体积、质量、寿命的测量结果都相同； ⑸某惯性系中观察者将发现，相对他静止的时钟比相对他匀速运动的时钟走得快。 正确说法是： (A) ⑴、⑶、⑷、⑸； (B) ⑴、⑵、⑶； (C) ⑵、⑸； (D) ⑴、⑶。 （ C ） 解：根据洛伦兹坐标变换式22222/1,/1c v x c v t t c v t v x x -?- ?='?-?-?='?， （1）当0,0=?=?t x 时，应有0',0'=?=?t x ，错误。 （2）当0,0=?≠?t x 时，应有0',0'≠?≠?t x ，正确。 （3）当0,0≠?≠?t x 时，应有0',0'≠?≠?t x ，错误。 （4）长度、体积、质量、寿命的测量结果都具有相对性，相对于不同惯性系，错误。 （5）根据运动时钟延缓效应，相对观察者静止的时钟总比相对他匀速运动的时钟走得快，正确。 2.相对地球的速度为υ的一飞船，要到离地球为5光年的星球去。若飞船上的宇航员测得该旅程为3光年，则υ应是： (A) c 21； (B) c 53； (C) c 109； (D) c 5 4。 （ D ） 解：原长为l 0=5光年，运动长度为l =3 光年，根据运动长度收缩公式l l =解得45c υ=。 3.坐标轴相互平行的两个惯性系S 、S′，S ′相对S 沿OX 轴正方向以 υ匀速运动,在S ′中有一根静止的刚性尺，测得它与OX ˊ轴成30o角，与OX 轴成45o角，则υ应为： (A) c 32； (B) c 3 1； (C) c 21)32(； (D) c 31 )31(。 （ C ） 解：惯性系S ′为原长参考系，S 为非原长参考系。

SPSS典型相关分析及结果解释

SPSS典型相关分析及结果解释 SPSS 11.0 - 23.0 典型相关分析 1方法简介 如果要研究一个变量和一组变量间的相关，则可以使用多元线性回归，方程的复相关系数就是我们要的东西，同时偏相关系数还可以描述固定其他因素时某个自变量和应变量间的关系。但如果要研究两组变量的相关关系时，这些统计方法就无能为力了。比如要研究居民生活环境与健康状况的关系，生活环境和健康状况都有一大堆变量，如何来做?难道说做出两两相关系数?显然并不现实，我们需要寻找到更加综合，更具有代表性的指标，典型相关(Canonical Correlation)分析就可以解决这个问题。 典型相关分析方法由Hotelling提出，他的基本思想和主成分分析非常相似，也是降维。即根据变量间的相关关系，寻找一个或少数几个综合变量(实际观察变量的线性组合)对来替代原变量，从而将二组变量的关系集中到少数几对综合变量的关系上，提取时要求第一对综合变量间的相关性最大，第二对次之，依此类推。这些综合变量被称为典型变量，或典则变量，第1对典型变量间的相关系数则被称为第1典型相关系数。一般来说，只需要提取1～2对典型变量即可较为充分的概括样本信息。 可以证明，当两个变量组均只有一个变量时，典型相关系数即为简单相关系数；当一组变量只有一个变量时，典型相关系数即为复相关系数。故可以认为典型相关系 1

数是简单相关系数、复相关系数的推广，或者说简单相关系数、复相关系数是典型相关系数的特例。 2引例及语法说明 在SPSS中可以有两种方法来拟合典型相关分析，第一种是采用Manova过程来拟合，第二种是采用专门提供的宏程序来拟合，第二种方法在使用上非常简单，而输出的结果又非常详细，因此这里只对它进行介绍。该程序名为Canonical correlation.sps，就放在SPSS的安装路径之中，调用方式如下： INCLUDE 'SPSS所在路径\Canonical correlation.sps'. CANCORR SET1=第一组变量的列表 /SET2=第二组变量的列表. 在程序中首先应当使用include命令读入典型相关分析的宏程序，然后使用cancorr名称调用，注意最后的“.”表示整个语句结束，不能遗漏。 这里的分析实例来自曹素华教授所著《实用医学多因素统计分析方法》第176页：为了研究兄长的头型与弟弟的头型间的关系，研究者随机抽查了25个家庭的两兄弟的头长和头宽，数据见文件canonical lianxiti.sav，希望求得两组变量的典型变量及典型相关系数。显然，代表兄长头形的变量为第一组变量，代表弟弟头形的变量为第二组变量，这里希望求得的是两组变量间的相关性，在语法窗口中键入的程序如下： INCLUDE 'D:\SpssWin\Canonical correlation.sps'. 请使用时改为各自相应的安装目录 CANCORR SET1=long1 width1 列出第一组变量 2

大学物理(第四版)课后习题及答案_相对论

第十六章相对论 题16.1：设'S 系以速率v = 0.60c 相对于S 系沿'xx 轴运动，且在t ='t = 0时，0'==x x 。（1）若有一事件，在 S 系中发生于t = 2.0×10－ 7 s ，x = 50 m 处，该事件在 'S 系中发生于何时刻？（2）如有另一事件发生于 S 系中 t = 3.0×10－ 7 s ，x = 10 m 处，在 S ′系中测得这两个事件的时间间隔为多少？ 题16.1解：（1）由洛伦兹变换可得S ′系的观察者测得第一事件发生的时刻为 s 1025.1/1'72 21211-?=--=c v x c v t t （2）同理，第二个事件发生的时刻为 s 105.3/1'7222222-?=-- =c v x c v t t 所以，在S ′系中两事件的时间间隔为 s 1025.2'''721-?=-=?t t t 题16.2：设有两个参考系S 和S ′，它们的原点在t = 0和t ′ = 0时重合在一起。有一事件，在 S ′系中发生在 t ′ = 8.0×10-8 s ，x ′ = 60 m ，y ′ = 0，z ′ = 0处，若S ′系相对于S 系以速率v = 0.6c 沿xx ′轴运动，问该事件在S 系中的时空坐标各为多少？ 题16.2解：由洛伦兹逆变换得该事件在S 系的时空坐标分别为 m 93/1''22=-+= c v vt x x 0'==y y 0'==z z s 105.2/1''7222-?=-+ = c v x c v t t 题16.3：一列火车长 0.30 km （火车上观察者测得），以 100 km/h 的速度行驶，地面上观察者发现有两个闪电同时击中火车的前后两端。问火车上的观察者测得两闪电击中火车前后两端的时间间隔为多少？ 题16.3解：设地面为S 系，火车为S ′系，把闪电击中火车前后端视为两个事件（即两组不同的时空坐标）。由洛伦兹变换可得两事件时间间隔为

大学物理静电场经典习题详解.doc

题7.1：1964年，盖尔曼等人提出基本粒子是由更基本的夸克构成，中子就是由一个带e 3 2的上夸克和两个带e 3 1 -下夸克构成，若将夸克作为经典粒子处理（夸克线度约为10-20 m ），中子内的两个下夸克之间相距2.60?10-15 m 。求它们之间的斥力。 题7.1解：由于夸克可视为经典点电荷，由库仑定律 r r 2 2 0r 2210N 78.394141 e e e F ===r e r q q πεπε F 与r e 方向相同表明它们之间为斥力。 题7.2：质量为m ，电荷为-e 的电子以圆轨道绕氢核旋转，其动能为E k 。证明电子的旋转频率满足 4 2k 202 32me E εν= 其中是0ε真空电容率，电子的运动可视为遵守经典力学规律。 题7.2分析：根据题意将电子作为经典粒子处理。电子、氢核的大小约为10-15 m ，轨道半径约为10-10 m ，故电子、氢核都可视作点电荷。点电荷间的库仑引力是维持电子沿圆轨道运动的向心力，故有 2 2 0241r e r v m πε= 由此出发命题可证。 证：由上述分析可得电子的动能为 r e mv E 2 02k 8121πε= = 电子旋转角速度为 3 02 2 4mr e πεω= 由上述两式消去r ，得 4 3k 20 222 324me E επων= = 题7.3：在氯化铯晶体中，一价氯离于Cl -与其最邻近的八个一价格离子Cs +构成如图所示的立方晶格结构。（1）求氯离子所受的库仑力；（2）假设图中箭头所指处缺少一个铯离子（称作品格缺陷），求此时氯离子所受的库仑力。 题7.3分析：铯离子和氯离子均可视作点电荷，可直接将晶格顶角铯离子与氯离子之间的库仑力进行矢量叠加。为方便计算可以利用晶格的对称性求氯离子所受的合力。 解：（l ）由对称性，每条对角线上的一对铯离子与氯离子间的作用合力为零，故 01=F （2）除了有缺陷的那条对角线外，其它铯离 子与氯离子的作用合力为零，所以氯离子所受的合力2F 的值为 N 1092.13492 022 0212-?== = a e r q q F πεπε 2F 方向如图所示。

典型相关分析例题结果

Run MATRIX procedure: Correlations for Set-1 long1 width1 long1 1.0000 .7346 width1 .7346 1.0000 Correlations for Set-2 两组变量内部各自的相关阵long2 width2 long2 1.0000 .8393 width2 .8393 1.0000 Correlations Between Set-1 and Set-2 long2 width2 long1 .7108 .7040 width1 .6932 .7086 两组变量间各变量的两两相关阵，可见兄弟的头型指标间确实存在相关性，提取出综合指标来代表这种相关性。 Canonical Correlations 1 .789 2 .054 第一典型相关系数为0.789。 Test that remaining correlations are zero: Wilk's Chi-SQ DF Sig. 1 .377 20.964 4.000 .000 2 .997 .062 1.000 .803 各典型相关系数的检验。

Standardized Canonical Coefficients for Set-1 1 2 long1 -.552 -1.366 width1 -.522 1.378 Raw Canonical Coefficients for Set-1 1 2 long1 -.057 -.140 width1 -.071 .187 上面两个表为各典型变量与变量组1中各变量间标化与未标化的系数列表，由此可写出典型变量的转化公式为(标化的)： 120.55210.5221, 1.3661 1.3781L long width L long width =--=-+ Standardized Canonical Coefficients for Set-2 1 2 long2 -.504 -1.769 width2 -.538 1.759 Raw Canonical Coefficients for Set-2 1 2 long2 -.050 -.176 width2 -.080 .262 上面两个表为各典型变量与变量组2中各变量间标化与未标化的系数列表，同上可写出典型变量的转化公式为(标化的)： 120.50420.5382, 1.7692 1.7592M long width M long width =--=-+ }}

SPSS典型相关分析结果解读

Correlations for Set-1 Y1Y2Y3 Y1 1.0000.9983.5012 Y2.9983 1.0000.5176 Y3.5012.5176 1.0000 第一组变量间的简单相关系数 Correlations for Set-2 X1X2X3X4X5X6X7X8X9X10X11X12X13 X1 1.0000-.3079-.7700-.7068-.6762-.7411-.7466-.5922-.1948-.1285-.2650-.9070-.6874 X2-.3079 1.0000-.0117.0103-.0613-.0283-.0140.3333.4161.3810.3831.1098-.0640 X3-.7700-.0117 1.0000.9905.9860.9973.9990.5892.0421-.0196.2492.9515.9903 X4-.7068.0103.9905 1.0000.9910.9935.9952.5634.0249-.0367.2476.9120.9953 X5-.6762-.0613.9860.9910 1.0000.9887.9912.5717.0363-.0277.2475.8972.9926 X6-.7411-.0283.9973.9935.9887 1.0000.9985.5563.0142-.0453.2210.9355.9950 X7-.7466-.0140.9990.9952.9912.9985 1.0000.5795.0319-.0298.2441.9390.9945 X8-.5922.3333.5892.5634.5717.5563.5795 1.0000.7097.6540.8990.6619.5138 X9-.1948.4161.0421.0249.0363.0142.0319.7097 1.0000.9922.8520.1350-.0228 X10-.1285.3810-.0196-.0367-.0277-.0453-.0298.6540.9922 1.0000.8184.0752-.0801 X11-.2650.3831.2492.2476.2475.2210.2441.8990.8520.8184 1.0000.3093.1840 X12-.9070.1098.9515.9120.8972.9355.9390.6619.1350.0752.3093 1.0000.9040 X13-.6874-.0640.9903.9953.9926.9950.9945.5138-.0228-.0801.1840.9040 1.0000 Correlations Between Set-1and Set-2 X1X2X3X4X5X6X7X8X9X10X11X12X13 Y1-.7542-.0147.9995.9940.9892.9989.9998.5788.0334-.0280.2426.9430.9937 Y2-.7280-.0234.9965.9958.9954.9977.9988.5859.0485-.0136.2573.9285.9949 Y3-.4485.2952.5096.4955.5230.4760.5048.9695.7610.7071.9073.5449.4500 Canonical Correlations 1 1.000 2 1.000 3 1.000 第一对典型变量的典型相关系数为CR1=1.....二三 Test that remaining correlations are zero:维度递减检验结果降维检验 Wilk's Chi-SQ DF Sig. 1.000.000.000.000

大学物理典型例题分析

大学物理典型例题分析 第13章 光的干涉 例13-1如图将一厚度为l ，折射率为n 的薄玻璃片放在一狭缝和屏幕之间，设入射光波长为λ，测量中点C 处的光强与片厚l 的函数关系。如果l =0时，该点的强度为0I ，试问： (1)点C 的光强与片厚l 的函数关系是什么； (2)l 取什么值时，点C 的光强最小。 解 (1)在C 点来自两狭缝光线的光程差为nl l δ=- 相应的相位差为 22(1)n l π π ?δλ λ ?= = - 点C 的光强为： 2 14cos 2I I ??= 其中：I 1为通过单个狭缝在点C 的光强。 014I I = (2)当 1(1)()2 n l k δλ =-=-时 点C 的光强最小。所以 1() 1,2,3,21l k k n λ=-=-L 例13-2如图所示是一种利用干涉方法测量气体折射率的干涉示意图。其中T 1，T 2为一对完全相同的玻璃管，长为l ，实验开始时，两管中为空气，在 P 0 处出现零级明纹。然后在T 2管中注入待测气体而将空气排除，在这过程中，干涉条纹就会移动，通过测定干涉条纹的移动数可以推知气体的折射率。 设l =20cm,光波波长589.3nm λ=，空气的折射率1.000276,充一某种气体后，条纹移 动200条，求这种气体的折射率。 解 当两管同为空气时，零级明纹出现在P 0处，则从 S 1和S 2 射出的光在此处相遇时，光程差为零。T 2管充以某种气体后，从S 2射出的光到达屏处的光程就要增加，零级明纹将要 S 1 L 1 L 2 T 2 T 1 S 2 S E P 0 P 0 ' 例13-2图 例13-1图

大学物理相对论例题

一、选择题 1.在某地发生两件事，静止位于该地的甲测得时间间隔为４ｓ，若相对甲作匀速直线运动的乙测得时间间隔为５ｓ，则乙相对于甲的运动速度是（ｃ表示真空中光速）[ ] A 、(４／５)ｃ B 、(３／５)ｃ C 、(１／５)ｃ D 、(２／５)ｃ 2.一宇宙飞船相对地球以 0.8ｃ（ｃ表示真空中光速）的速度飞行．一光脉冲从船尾传到船头，飞船上的观察者测得飞船长为 90ｍ，地球上的观察者测得光脉冲从船尾发出和到达船头两个事件的空间间隔为[ ] A 、90m B 、54m C 、270m D 、150m 3.Ｋ系与Ｋ＇系是坐标轴相互平行的两个惯性系，Ｋ＇系相对于Ｋ系沿ＯＸ轴正方向匀速运动．一根刚性尺静止在Ｋ＇系中，与Ｏ＇Ｘ＇轴成 30°角．今在Ｋ系中观测得该尺与ＯＸ轴成 45°角，则Ｋ＇系相对于Ｋ系的速度是[ ] A 、（２／３）ｃ B 、（１／３）ｃ C D 4.某宇宙飞船以0.8c 的速度离开地球，若地球上接收到它发出的两个信号之间的时间间隔为10s ，则宇航员测出的相应的时间间隔为[ ] A 、6s B 、8s C 、10s D 、3.33s 5.一个电子的运动速度为v =0.99c ，则该电子的动能k E 等于（电子的静止能量为0.51MeV ）[ ] A 、3.5MeV B 、4.0MeV C 、3.1MeV D 、2.5MeV 6.宇宙飞船以速度v 相对地面作匀速直线飞行，某一时刻，飞船头部的宇航员想飞船尾部发出一光讯号，光速为c,经t ?时间（飞船上的钟测量）后，被尾部接收器收到，由此可知飞船固有长度为[ ] A 、c t ? B 、v t ? C 、c t ? [1-(v/c)2]1/2 D 、c t ?/[1-(v/c)2]1/2 二、填空题 1.惯性系S 和S ＇，S ＇相对S 的速率为0.6c ，在S 系中观测，一件事情发生在43210,510t s x m -=?=?处，则在S ＇系中观测，该事件发生在 处。 2.惯性系S 和S ＇，S ＇相对S 的速率为0.8c ，在S ＇系中观测，一事件发生在110,0t s x m ''==处，第二个事件发生在722510,120t s x m -''=?=-处，则在S 系中测得两事件的时空坐标为 。 （3）一物体的速度使其质量增加了10%，试问此物体在运动方向上缩短了 %。 （4）设有两个参考系 S 和 S ＇，它们的原点在 t ＝0和 t ＇＝0时重合在一起．有一事件，在 S 系中发生在 t ＇＝ 8.0 ×10?8 s ，x ＇＝60m ，y ＇＝0，z ＇＝0处，若 S ＇系相对于 S 系以速率 v ＝0．60c 沿 xx ＇轴运动，问该事件在 S 系中的时空坐标 x =_________，y=_________，z =________，t =__________。 （5）0.050c 的速率相对实验室参考系运动，此粒子衰变时发射一个电子，电子的速率为 0.80c ，电子速度的方向与粒子运动方向相同．则电子相对实验室参考