全国卷高考数学圆锥曲线大题集大全
高考二轮复习专项：圆锥曲线大题集
1. 如图，直线l 1与l 2是同一平面内两条互相垂直的直线，交点是A ，点B 、D 在直线l 1上
(B 、D 位于点A 右侧)，且|AB|=4，|AD|=1，M 是该平面上的一个动点，M 在l 1上的射影点是N ，且|BN|=2|DM|.
(Ⅰ) 建立适当的坐标系，求动点M 的轨迹C 的方程．
(Ⅱ)过点D 且不与l 1、l 2垂直的直线l 交(Ⅰ)中的轨迹C 于E 、F 两点；另外平面上的点G 、H 满足：
①(R);AG AD λλ=∈②2;GE GF GH +=③0.GH EF ?= 求点G 的横坐标的取值范围．
2. 设椭圆的中心是坐标原点，焦点在x 轴上，离心率23
=
e ，已知点)3,0(P 到这个椭圆
上的点的最远距离是4，求这个椭圆的方程.
3. 已知椭圆)0(1:22221>>=+b a b y a x C 的一条准线方程是
,
425=x 其左、右顶点分别
是A、B；双曲线
1
:
2
2
2
2
2
=
-
b
y
a
x
C
的一条渐近线方程为3x－5y=0.
（Ⅰ）求椭圆C1的方程及双曲线C2的离心率；
（Ⅱ）在第一象限内取双曲线C2上一点P，连结AP交椭圆C1于点M，连结PB并延长交椭圆C1于点N，若MP
AM=. 求证：.0
=
?
4. 椭圆的中心在坐标原点O,右焦点F（c,0）到相应准线的距离为1，倾斜角为45°的直线交椭圆于A，B两点.设AB中点为M，直线AB与OM的夹角为αa.
（1）用半焦距c表示椭圆的方程及tanα;
（2）若2 5. 已知椭圆2 2 2 2 b y a x + （a＞b＞0）的离心率3 6 = e ，过点A（0，-b）和B（a，0）的直线与原点的距离为2 3 （1）求椭圆的方程 （2）已知定点E（-1，0），若直线y＝kx＋2（k≠0）与椭圆交于C D两点问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点?请说明理由 6. 在直角坐标平面中，ABC ?的两个顶点B A ,的坐标分别为)0,1(-A ，)0,1(B ，平面内两点M G ,同时满足下列条件： ①0=++GC GB GA MC MB MA ==GM ∥AB （1）求ABC ?的顶点C 的轨迹方程； （2）过点)0,3(P 的直线l 与（1）中轨迹交于F E ,两点，求PF PE ?的取值范围 7. 设R y x ∈,，j i ,为直角坐标平面内x 轴．y 轴正方向上的单位向量，若j y i x b j y i x a )2(,)2(-+=++=，且 8 ||||=+b a （Ⅰ）求动点M(x,y)的轨迹C 的方程； （Ⅱ）设曲线C 上两点A ．B ，满足(1)直线AB 过点（0，3），(2)若OB OA OP +=，则OAPB 为矩形，试求AB 方程． 8. 已知抛物线C ： )0,0(),(2>≠+=n m n x m y 的焦点为原点，C 的准线与直线 )0(02:≠=+-k k y kx l 的交点M 在x 轴上，l 与C 交于不同的两点A 、B ，线段AB 的 垂直平分线交x 轴于点N （p ，0）． （Ⅰ）求抛物线C 的方程； （Ⅱ）求实数p 的取值范围； （Ⅲ）若C 的焦点和准线为椭圆Q 的一个焦点和一条准线，试求Q 的短轴的端点的轨迹方程． 9. 如图，椭圆的中心在原点，长轴AA 1在x 轴上.以A 、A 1为焦点的双曲线交椭圆于C 、D 、 D 1、C 1四点，且|CD|＝21|AA 1|.椭圆的一条弦AC 交双曲线于 E ，设λ=EC AE ，当43 3 2≤ ≤λ时，求双曲线的离心率e 的取值范围. x 10. 已知三角形ABC 的三个顶点均在椭圆 805422=+y x 上，且点A 是椭圆短轴的一个端点（点A 在y 轴正半轴上）. 若三角形ABC 的重心是椭圆的右焦点，试求直线BC 的方程; 若角A 为0 90，AD 垂直BC 于D ，试求点D 的轨迹方程. 11. 如图，过抛物线24x y =的对称轴上任一点(0,)(0)P m m >作直线与抛物线交于,A B 两点，点Q 是点P 关于原点的对称点. (1) 设点P 分有向线段AB 所成的比为λ，证明:()QP QA QB λ⊥-; (2) 设直线AB 的方程是2120x y -+=，过,A B 两点的圆C 与抛物线在点A 处有共同的切线，求圆C 的方程. 12. 已知动点P （p ，-1），Q （p ，212p + ），过Q 作斜率为2p 的直线l ，P Q 中点M 的轨迹 为曲线C. （1）证明：l 经过一个定点而且与曲线C 一定有两个公共点； （2）若（1）中的其中一个公共点为A ，证明：AP 是曲线C 的切线； （3）设直线AP 的倾斜角为α，AP 与l 的夹角为β，证明：βα+或βα-是定值. 13. 在平面直角坐标系内有两个定点12F F 、和动点P ，12F F 、坐标分别为)0,1(1-F 、 )0,1(F 2，动点P 满足22 | PF ||PF |21= ，动点P 的轨迹为曲线C ，曲线C 关于直线y x =的对称曲线为曲线'C ，直线3-+=m x y 与曲线'C 交于A 、B 两点，O 是坐标原点，△ABO 的面积为7， （1）求曲线C 的方程；（2）求m 的值。 14. 已知双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 的左右两个焦点分别为21F F 、,点P 在双曲线右支 上. （Ⅰ）若当点P 的坐标为 )516 ,5413( 时,21PF PF ⊥,求双曲线的方程； （Ⅱ）若||3||21PF PF =,求双曲线离心率e 的最值,并写出此时双曲线的渐进线方程. 15. 若F 1、F 2为双曲线12 2=-b y a x 的左右焦点，O 为坐标原点，P 在双曲线的左支上，点 M 在右准线上，且满足；) 0,1 λλF + ==. （1）求该双曲线的离心率； （2）若该双曲线过N （2，3），求双曲线的方程； （3）若过N （2，3）的双曲线的虚轴端点分别为B 1、B 2（B 1在y 轴正半轴上），点A 、B 在双曲线上，且B B A B B B A B 1122,⊥=求λ时，直线AB 的方程. 16. 以O 为原点，OF 所在直线为x 轴，建立如 所示的坐标系。设1OF FG ?=，点F 的坐标为(,0)t ，[3,)t ∈+∞，点G 的坐标为00(,) x y 。 （1）求 x 关于t 的函数 0() x f t =的表达式，判断函数()f t 的单调性，并证明你的判断； （2）设ΔOFG 的面积S = ，若以O 为中心，F 为焦点的椭圆经过点G ，求当||OG 取 最小值时椭圆的方程； （3）在（2）的条件下，若点P 的坐标为9(0,)2，C 、D 是椭圆上的两点，且(1)PC PD λλ=≠， 求实数λ的取值范围。 17. 已知点C 为圆8)1(2 2=++y x 的圆心，点A （1，0），P 是圆上的动点，点Q 在圆的 半径CP 上，且.2,0AM AP AP MQ ==? （Ⅰ）当点P 在圆上运动时，求点Q 的轨迹方程； （Ⅱ）若直线 12++=k kx y 与（Ⅰ）中所求点Q 的轨迹交于不同两点F ，H ，O 是坐标原点， 且43 3 2≤ ?≤OH OF ，求△FOH 的面积的取值范围。 18. 如图所示，O 是线段AB 其中c a <。 （1）若圆A 外的动点P 到B 的距离等于它到圆周的最短距离，建立适当坐标系，求动点P 的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线； （2）经过点O 的直线l 与直线AB 成60°角，当c ＝2，a ＝1时，动点P 的轨迹记为E ，设过点B 的直线m 交曲线E 于M 、N 两点，且点M 在直线AB 的上方，求点M 到直线l 的距离d 的取值范围。 A O B 19. 设O 为坐标原点,曲线 016222=+-++y x y x 上有两点P 、Q 满足关于直线04=++my x 对称，又以PQ 为直径的圆过O 点. （1）求m 的值; （2）求直线PQ 的方程. 20. 在平面直角坐标系中，若(3,),(3,)a x y b x y =-=+，且4 a b +=， （1）求动点(,)Q x y 的轨迹C 的方程； （2）已知定点(,0)(0)P t t >，若斜率为1的直线l 过点P 并与轨迹C 交于不同的两点,A B ，且对于轨迹C 上任意一点M ，都存在[0,2]θπ∈，使得cos sin OM OA OB θθ=?+?成立，试求出满足条件的实数t 的值。 21. 已知双曲线122 2 2=-b y a x （a>0,b>0）的右准线与2l 一条渐近线l 交于两点P 、Q ，F 是 双曲线的右焦点。 （I ）求证：PF ⊥l ； （II ）若△PQF 为等边三角形，且直线y=x+b 交双曲线于A ，B 两点，且30 =AB ，求 双曲线的方程； （III ）延长FP 交双曲线左准线1l 和左支分别为点M 、N ，若M 为PN 的中点，求双曲线的 离心率e 。 22. 已知又曲线 在左右顶点分别是A ，B ，点P 是其右准线上的一点，若 点A 关于点P 的对称点是M ，点P 关于点B 的对称点是N ，且M 、N 都在此双曲线上。 （I ）求此双曲线的方程； （II ）求直线MN 的倾斜角。 23. 如图，在直角坐标系中，点A （-1，0），B （1，0），P （x ，y ）（y ≠0）。设 AP OP BP →→→、、与x 轴正方向的夹角分别为α、β、γ，若αβγπ++=。 （I ）求点P 的轨迹G 的方程； （II ）设过点C （0，-1）的直线l 与轨迹G 交于不同两点M 、N 。问在x 轴上是否存在 y P A B O x 24. 设椭圆()22 22x y C :1a b 0a b +=>>过点 )M ,1 ，且焦点为()1 F 0 。 （1）求椭圆C 的方程； （2）当过点() P 4,1的动直线与椭圆C 相交与两不同点A 、B 时，在线段AB 上取点Q ， 满足 AP QB AQ PB =，证明：点Q 总在某定直线上。 25. 平面直角坐标系中，O 为坐标原点，给定两点A （1，0）、B （0，－2），点C 满足 αβα其中,OB OA OC +=、12,=-∈βαβ且R （1）求点C 的轨迹方程； （2）设点C 的轨迹与双曲线)0,0(122 2 2>>=-b a b y a x 交于两点M 、N ，且以MN 为直径的圆过原点，求证：为定值221 1b a -. 26. 设)0,1(F ，M 、P 分别为x 轴、y 轴上的点，且PM ? 0=，动点N 满足： 2-=. （1）求动点N 的轨迹E 的方程； （2）过定点)0)(0,(>-c c C 任意作一条直线l 与曲线E 交与不同的两点A 、B ，问在x 轴上是否存在一定点Q ，使得直线AQ 、BQ 的倾斜角互补？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由. 27. 如图，直角梯形ABCD 中，∠?=90DAB ，AD ∥BC ，AB=2，AD=23，BC=21 椭圆F 以A 、B 为焦点，且经过点D ， （Ⅰ）建立适当的直角坐标系，求椭圆F 的方程； （Ⅱ）是否存在直线l 与M 、F 交于椭圆N 两点，且线段C MN 的中点为点，若存在，求直线l 的方程；若不存在，说明理由. C B D 28. 如图所示，B （– c ，0），C （c ，0），AH ⊥BC ，垂足为H ，且HC BH 3=． （1）若AC AB ?= 0，求以B 、C 为焦点并且经过点A 的椭圆的离心率； （2）D 分有向线段AB 的比为λ，A 、D 同在以B 、C 为焦点的椭圆上， 当 ―5≤λ≤27 - 时，求椭圆的离心率e 的取值范围． 29. 在直角坐标平面中，ABC ?的两个顶点B A ,的坐标分别为)0,1(-A ，)0,1(B ，平面内两点M G ,同时满足下列条件： ①0=++GC GB GA ；② MC MB MA ==；③GM ∥AB （1）求ABC ?的顶点C 的轨迹方程； （2）过点)0,3(P 的直线l 与（1）中轨迹交于F E ,两点，求PF PE ?的取值范围 答案： 1.解：(Ⅰ) 以A 点为坐标原点，l1为x 轴，建立如图所示的坐标系，则D(1，0)，B(4，0)，设M （x ，y ）， 则N （x ，0）. ∵|BN|=2|DM|， ∴|4－x|=2(x －1)2+y2 , 整理得3x2+4y2=12, ∴动点M 的轨迹 方程为x24+ y2 3 =1 . (Ⅱ)∵(R),AG AD λλ=∈ ∴A 、D 、G 三点共线，即点G 在x 轴上；又∵2,GE GF GH +=∴H 点为线段EF 的中点；又∵0,GH EF ?=∴点G 是线段EF 的垂直平分线GH 与x 轴的交点。 设l ：y=k(x －1)(k≠0)，代入3x2+4y2=12得 (3+4k2)x2－8k2x+4k2－12=0，由于l 过点D(1，0)是椭圆的焦点， ∴l 与椭圆必有两个交点， 设E(x1，y1)，F(x2，y2)，EF 的中点H 的坐标为（x0，y0）， ∴x1+x2= 8k2 3+4k2 ，x1x2= 4k2－123+4k2 ， x0= x1+x22 = 4k23+4k2 ，y0=k(x0－1)= －3k 3+4k2 ， ∴线段EF 的垂直平分线为 y － y0 =－ 1 k (x －x0)，令y=0得， 点G 的横坐标xG = ky0+x0 = －3k23+4k2 + 4k23+4k2 = k23+4k2 = 14 －34(3+4k2) ， ∵k≠0，∴k2>0，∴3+4k2>3，0<1(3+4k2) <13 ，∴－14 <－3 4(3+4k2) <0， ∴xG= 14 －34(3+4k2) (0，14 ） ∴点G 的横坐标的取值范围为(0，1 4 ）. 2.解：∵ 23= e ，∴a c 23 = 由2 22c b a +=得 b a 2= ∴设椭圆的方程为1422 2 2=+b y b x （0>b ） 即2 2244y b x -=（b y b ≤≤-） 设),(y x M 是椭圆上任意一点，则 124)1(3)3(||22222+++-=-+=b y y x PM （b y b ≤≤-） 若1≥b 即b b ≤-≤-1，则当1-=y 时， 124||2 2max +=b PM 由已知有161242 =+b ，得1=b ； 若10< =+-b b ，得7=b （舍去）. 综上所述，1=b ，2=a . 所以，椭圆的方程为1 422 =+y x . 3.解：（I ）由已知??? ??===? ????????-== = 435:53425 2222c b a b a c a b c a 解之得 ∴椭圆的方程为192522=+y x ，双曲线的方程19252 2=-y x . 又34925=+= 'C ∴双曲线的离心率 534 2= e （Ⅱ）由（Ⅰ）A （－5，0），B （5，0） 设M MP AM y x =则由),(00得M 为AP 的中点 ∴P 点坐标为)2,52(00y x + 将M 、p 坐标代入c1、c2方程得???????=-+=+1925)52(19252 002 20y x y x 消去y0得 2552020 =-+x x 解之得 )(525 00舍或-== x x 由此可得P （10，)33 当P 为（10，)33 时 PB ： )5(51033--= x y 即)5(533-=x y 代入)(525 025152:192522 2舍或得= =+-=+x x x y x M N N x x x =∴= ∴2 5 MN ⊥x 轴 即0=? 4.解：（1）由题意可知, ,,1222222 c c a b c c a c c a =-=+==-则所以椭圆方程为 分412 22 =++c y c c x 设),(),,(2211y x B y x A ，将其代入椭圆方程相减，将 2 12 1 21211x x y y k x x y y OM ++==--与代入 可化得 c c c c tg c k OM 2|11111 1| ,11+=+- ++=∴+-=α （2）若2 )3 6,22( 111,21,3222∈+= +==<<∴<+< c c c c a c e c c c 则 5.解：（1）直线AB 方程为：bx-ay-ab ＝0 依题意????? ??=+=2336 22b a ab a c ， 解得 ???==1 3b a ， ∴ 椭圆方程为 1 322 =+y x （2）假若存在这样的k 值，由???=-++=033222y x kx y ， 得 )31(2k +09122=++kx x ∴ 0)31(36)12(2 2>+-=?k k ① 设1(x C ，)1y 2(x D ，)2y ，则?????? ? +=+-=+?2212213193112k x x k k x x ， ② 而4)(2)2)(2(21212 2121+++=++=?x x k x x k kx kx y y 要使以CD 为直径的圆过点E （-1，0），当且仅当CE ⊥DE 时，则1112211 -=++?x y x y ， 即0)1)(1(2121=+++x x y y ∴ 05))(1(2)1(21212 =+++++x x k x x k ③ 将②式代入③整理解得 67= k 经验证，67 = k ，使①成立 综上可知，存在67 = k ，使得以CD 为直径的圆过点E 6.解：（1）设). ,( , ),( , ),(00M M y x M y x G y x C = ， M ∴点在线段AB 的中垂线上 由已知 (1,0) , (1,0) ,0M A B x -∴=；又GM ∥， y y M =∴ 又0=++GC GB GA ()()()() 0,0,,1,1000000=--+--+---∴y y x x y x y x 3 3 , 300y y y y x x M = ∴==∴ = () () 2 2 2 2 300310??? ??-+-=?? ? ??-+-∴ y y x y 1322 =+∴y x ()0≠y ，∴顶点C 的轨迹方程为1 322 =+y x ()0≠y . (2)设直线l 方程为：)3(-=x k y ，),(11y x E ，),(22y x F 由?????=+-=13) 3(2 2y x x k y 消去y 得： ()039632222=-+-+k x k x k ① 362221+=+∴k k x x ， 33 92 221+-=k k x x 而 PF PE PF PE ?=??=? 0cos 2 212313 1x k x k -+?-+= ()()2121239 1x x x x k ++-+=()3 3 918279 122222 +-+-++=k k k k k ()22224148 243 3k k k += =- ++ 由方程①知 () ( )( ) 393462 2 2 2-+-=?k k k ＞02k ∴＜83 0≠k ，0∴＜2k ＜83， ??? ??∈+∴827,332k ??? ??∈?∴988,8. 7.解：解：令) 2,0(),2,0(),,(21F F y x M - 则M F b M F a 21,== 即| |||||||21M F M F b a +=+ 即 8||||21=+M F M F 又∵ C F F 2421== ∴12,4,22 ===b a c 所求轨迹方程为112162 2=+x y （Ⅱ）解：由条件（2）可知OAB 不共线，故直线AB 的斜率存在 设AB 方程为 ) ,(),,(,32211y x B y x A kx y += 则02118)43(112163 222 2 =-++??????=++=kx x k x y kx y 4318221+- =+k k x x 4321221+-= ?k x x 434839)(3)3)(3(2221212 2121+-= +++=++=?k k b x x k x x k kx kx y y ∵OAPB 为矩形，∴OA ⊥OB 0=?OB OA ∴ 2121=+y y x x 得 45 ± =k 所求直线方程为 345 +± =x y … 8.解：（I ）由题意，抛物线顶点为（－n ，0），又∵焦点为原点∴m ＞0 准线方程 n m x -- =4且有m=4n. ∵准线与直线l 交点在x 轴上，交点为 )0,2(m - 又l 与x 轴交于（－2，0），∴m=4，n=1 ∴抛物线方程为y2=4（x+1） （II ）由) 0(0)1(4)1(4) 1(40 222222 ≠=-+-+? ????+==+-k k x k x k x y k y kx 得 0)1(162 >-=?k ∴－1＜k ＜1且k≠0 2221) 1(22k k x x -= + k y y 2221=+ ∴AB 的中垂线方程为0],) 1(2[122 2=---=-y k k x k k y 令 得 2222 )1(22k k k p = -+= ∴p ∈（2，+∞） （III ）∵抛物线焦点F （0，0），准线x=－2 ∴x=－2是Q 的左准线 设Q 的中心为O′（x ，0），则短轴端点为（±x ，y ） 若F 为左焦点，则c=x ＞0，b=|y| ∴a2=b2+c2=x2+y2 依左准线方程有22 -=+-c c a 222-=++-∴x x y x 即y2=2x （x ＞0） 若F 为右焦点，则x ＜0，故c=－x ，b=|y| ∴a2=b2+c2=x2+y2 依左准线方程有22-=--c c a 即2 )(2 2-=---+-∴x x y x 化简得2x2+2x+y2=0 即1 2)21 (422=++y x （x ＜0，y≠0） 9.解：建立如原题图所示的坐标系，则AB 的方程为,12030=+y x 由于点P 在AB 上，可设P 点的坐标为 ). 3220,(x x - 则长方形面积).300)](3220(80[)100(≤≤--?-=x x x S 化简得). 300(6000320 322≤≤++-=x x x S 易知，当).(6017,350,52max m S y x ≈==时 （21）解：设A （－c,0）,A1(c,0)，则), ,2(),,2(h c C h c D -（其中c 为双曲线的半焦距，h 为C 、 D 到x 轴的距离）λλλλλλ λ+=+-=++-=∴=1,)1(2)2(12,h y c c c x EC AE E E 即E 点坐标为)1,)1(2)2((++-λλλλh c 设双曲线的方程为122 2 2=-b y a x ，将 e c a = 代入方程，得122 2 2 2=-b y c x e ① 将)1,)1(2)2((),,2(++-λλλλh c E h c C 代入①式，整理得. 1)1()12(4,1422 222222=+-+-=-b h e b h e λλλλ 消去.23121,12,2222 222+-=+-=-=+e e e e e b h λλλ所以得 由于. 107107,4323132,433222≤≤?≤≤≤+-≤≤≤e e e 故所以λ 10.解：1）设B （1x ,1y ）,C(2x ,2y ),BC 中点为( 0,y x ),F(2,0) 则有1 1620,116202 2 222121=+=+y x y x 两式作差有 16))((20))((21212121=+-+-+y y y y x x x x 04500=+k y x (1) F(2,0)为三角形重心，所以由232 1=+x x ，得30=x 由034 21=++y y 得20-=y ，