九年级上学期数学《期末考试试题》带答案解析

2020-2021学年第一学期期末测试

人教版九年级数学试题

一．选择题(每小题3分，共30分)

1. 抛物线y ＝3（x ﹣2）2+5的顶点坐标是（ ） A. （﹣2，5）

B. （﹣2，﹣5）

C. （2，5）

D. （2，﹣5）

2. 某校九年级共有1、2、3、4四个班，现从这四个班中随机抽取两个班进行一场篮球比赛，则恰好抽到1班和2班的概率是（ ） A.

18

B.

16

C.

38

D.

12

3. 如图是用围棋棋子在6×6的正方形网格中摆出的图案，棋子的位置用有序数对表示，如A 点为（5，1），若再摆一黑一白两枚棋子，使这9枚棋子组成的图案既是轴对称图形又是中心对称图形，则下列摆放正确的是（ ）

A. 黑（1，5），白（5，5）

B. 黑（3，2），白（3，3）

C. 黑（3，3），白（3，1）

D. 黑（3，1），白（3，3）

4. 如图，在平面直角坐标系中，将ABC ?绕A 点逆时针旋转90?后，B 点对应点的坐标为（ ）

A. ()1,3

B. ()0,3

C. ()1,2

D. ()0,2

5. 如图，将Rt △ABC （其中∠B=35°，∠C=90°）绕点A 按顺时针方向旋转到△AB 1C 1的位置，使得点C 、A 、B 1在同一条直线上，那么旋转角等于（ ）

A. 55°

B. 70°

C. 125°

D. 145°

6. 某商务酒店客房有50间供客户居住．当每间房 每天定价为180元时，酒店会住满；当每间房每天的定价每增加10元时，就会空闲一间房．如果有客户居住，宾馆需对居住的每间房每天支出20元的费用．当房价定为多少元时，酒店当天的利润为10890元?设房价定为x 元，根据题意，所列方程是( ) A. ()18020501089010x x ??

+--

= ???

B. ()1805050201089010x x ??

+-

-?= ???

C. 1805050201089010x x -??

-

-?= ???

D. ()18020501089010x x -??

--

= ???

7. 如图，点B ，C ，D 在⊙O 上，若∠BCD ＝130°，则∠BOD 的度数是（ ）

A. 50°

B. 60°

C. 80°

D. 100°

8. 如图，在矩形ABCD 中，E 在AD 上，EF BE ⊥，交CD 于F ，连结BF ，则图中与ABE △一定相似的三角形是

A. EFB △

B. DEF

C. CFB

D. EFB △和DEF

9. 如图，等腰直角△ABC 中，AB=AC=8，以AB 为直径的半圆O 交斜边BC 于D ，则阴影部分面积为（结果保留π）（ ）

A. 24﹣4π

B. 32﹣4π

C. 32﹣8π

D. 16

10. 如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，2）与（0，3）

之间（不包括这两点），对称轴为直线x=2．下列结论：abc＜0；②9a+3b+c＞0；③若点M（1

2

，y1），点N

（5

2

，y2）是函数图象上的两点，则y1＜y2；④﹣

3

5

＜a＜﹣

2

5

．其中正确结论有（）

A. 1个

B. 2个

C. 3个

D. 4个

二、选择题(每小题3分，共15分)

11. 在一个布袋中装有四个完全相同的小球，它们分别写有“美”、“丽”、“罗”、“山”的文字．先从袋中摸出1个球后放回，混合均匀后再摸出1个球，求两次摸出的球上是含有“美”“丽”二字的概率为_____．

12. 关于x的一元二次方程kx2+3x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是_____．

13. 已知A（﹣4，y1），B（﹣1，y2）,C(1,y3）是反比例函数y=﹣4

x

图象上的三个点，把y1与2y、3y的

的值用小于号连接表示为________．

14. 如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连接DE交对角线AC于点F，若AB＝4，AD＝3，则CF 的长为_____．

15. 如图，点A是反比例函数y=4

x

（x＞0）图象上一点，直线y=kx+b过点A并且与两坐标轴分别交于点B，

C，过点A作AD⊥x轴，垂足为D，连接DC，若△BOC的面积是4，则△DOC的面积是______．

三、解答题(共8题，75分)

16. 解方程：

(1)x 2﹣2x ﹣1=0 (2) 2(x ﹣3)=3x (x ﹣3)

17. 动画片《小猪佩奇》分靡全球，受到孩子们的喜爱.现有4张《小猪佩奇》角色卡片，分别是A 佩奇，B 乔治，C 佩奇妈妈，D 佩奇爸爸（四张卡片除字母和内容外，其余完全相同）.姐弟两人做游戏，他们将这四张卡片混在一起，背面朝上放好.

（1）姐姐从中随机抽取一张卡片，恰好抽到A 佩奇的

概率为 ；

（2）若两人分别随机抽取一张卡片（不放回），请用列表或画树状图的分方法求出恰好姐姐抽到A 佩奇弟弟抽到B 乔治的概率.

18. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，△ABC 的三个顶点坐标分别为A （1，4），B （1，1），C （3，1）． （1）画出△ABC 关于x 轴对称的△A 1B 1C 1；

（2）画出△ABC 绕点O 逆时针旋转90°后的△A 2B 2C 2；

（3）在（2）的条件下，求线段BC 扫过的面积（结果保留π）．

19. 周末，小华和小亮想用所学数学知识测量家门前小河的宽．测量时，他们选择了河对岸边的一棵大树，将其底部作为点A ，在他们所在的岸边选择了点B ，使得AB 与河岸垂直，并在B 点竖起标杆BC ，再在AB

的延长线上选择点D 竖起标杆DE ，使得点E 与点C 、A 共线．

已知：CB ⊥AD ，ED ⊥AD ，测得BC ＝1m ，DE ＝1.5m ，BD ＝8.5m ．测量示意图如图所示．请根据相关测量信息，求河宽AB ．

20. 如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，BD 是⊙O 的直径，AE ⊥CD 于点E ，DA 平分∠BDE （Ⅰ）求证：AE 是⊙O 的切线；

（Ⅱ）若∠DBC=30°，DE=1 cm ，求BD 的长．

21. 如图，A （4，3）是反比例函数y=k

x

在第一象限图象上一点，连接OA ，过A 作AB ∥x 轴，截取AB=OA （B 在A 右侧），连接OB ，交反比例函数y=k

x

的图象于点P ．

（1）求反比例函数y=k

x

表达式；

（2）求点B 的坐标； （3）求△OAP 的面积．

22. 为积极响应新旧动能转换.提高公司经济效益.某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成

本价为30万元,经过市场调研发现,每台售价为40万元时,年销售量为600台;每台售价为45万元时,年销售量为550台.假定该设备的年销售量y(单位:台)和销售单价x (单位:万元)成一次函数关系. (1)求年销售量y 与销售单价x 的函数关系式;

(2)根据相关规定,此设备的销售单价不得高于70万元,如果该公司想获得10000万元的年利润.则该设备的销售单价应是多少万元?

23. 已知在平面直角坐标系中，抛物线2

1

2

y x bx c =-++与x 轴相交于点A ，B ，与y 轴相交于点C ，直线y=x+4经过A ，C 两点，

（1）求抛物线的表达式；

（2）如果点P ，Q 在抛物线上（P 点在对称轴左边），且PQ ∥AO ，PQ=2AO ，求P ，Q 的坐标； （3）动点M 在直线y=x+4上，且△ABC 与△COM 相似，求点M 的

坐标．

答案与解析

一．选择题(每小题3分，共30分)

1. 抛物线y＝3（x﹣2）2+5的顶点坐标是（）

A. （﹣2，5）

B. （﹣2，﹣5）

C. （2，5）

D. （2，﹣5）

【答案】C

【解析】

【分析】

根据二次函数的性质y＝a(x﹣h)2+k的顶点坐标是(h，k)进行求解即可.

【详解】∵抛物线解析式为y=3(x-2)2+5，

∴二次函数图象的顶点坐标是(2，5)，

故选C．

【点睛】本题考查了二次函数的性质，根据抛物线的顶点式，可确定抛物线的开口方向，顶点坐标(对称轴)，最大(最小)值，增减性等．

2. 某校九年级共有1、2、3、4四个班，现从这四个班中随机抽取两个班进行一场篮球比赛，则恰好抽到1班和2班的概率是（）

A. 1

8

B.

1

6

C.

3

8

D.

1

2

【答案】B

【解析】

画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出恰好抽到1班和2班的结果数，然后根据概率公式求解．解：画树状图为：

共有12种等可能的结果数，其中恰好抽到1班和2班的结果数为2，

所以恰好抽到1班和2班的概率=

21 126

．

故选B．

3. 如图是用围棋棋子在6×6的正方形网格中摆出的图案，棋子的位置用有序数对表示，如A点为（5，1），若再摆一黑一白两枚棋子，使这9枚棋子组成的图案既是轴对称图形又是中心对称图形，则下列摆放正确的是（）

A. 黑（1，5），白（5，5）

B. 黑（3，2），白（3，3）

C. 黑（3，3），白（3，1）

D. 黑（3，1），白（3，3）

【答案】D 【解析】 【分析】

利用轴对称图形以及中心对称图形的性质即可解答． 【详解】如图所示：黑（3，1），白（3，3）．

故选D ．

【点睛】此题主要考查了旋转变换以及轴对称变换，正确把握图形的性质是解题关键．

4. 如图，在平面直角坐标系中，将ABC ?绕A 点逆时针旋转90?后，B 点对应点的坐标为（ ）

A. ()1,3

B. ()0,3

C. ()1,2

D. ()0,2

【答案】D 【解析】 【分析】

根据旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状和大小作出旋转后的图形，即可得出答案.

【详解】

如图，△ABC 绕点A 逆时针旋转90°后，B 点对应点的坐标为(0,2)，故答案选择D.

【点睛】本题考查的是坐标与图形的变化——旋转，记住旋转只改变图形的位置不改变图形的形状和大小. 5. 如图，将Rt △ABC （其中∠B=35°，∠C=90°）绕点A 按顺时针方向旋转到△AB 1C 1的位置，使得点C 、A 、B 1在同一条直线上，那么旋转角等于（ ）

A. 55°

B. 70°

C. 125°

D. 145°

【答案】C 【解析】

试题分析：∵∠B=35°，∠C=90°，∴∠BAC=90°﹣∠B=90°﹣35°=55°． ∵点C 、A 、B 1在同一条直线上，∴∠BAB′=180°﹣∠BAC=180°﹣55°=125°． ∴旋转角等于125°．故选C ．

6. 某商务酒店客房有50间供客户居住．当每间房 每天定价为180元时，酒店会住满；当每间房每天的定价每增加10元时，就会空闲一间房．如果有客户居住，宾馆需对居住的每间房每天支出20元的费用．当房价定为多少元时，酒店当天的利润为10890元?设房价定为x 元，根据题意，所列方程是( ) A. ()18020501089010x x ?

?

+--

= ???

B. ()1805050201089010x x ??

+-

-?= ???

C. 1805050201089010x x -??

--?= ???

D. ()18020501089010x x -??

--

= ???

【答案】D 【解析】 【分析】

设房价定为x 元，根据利润＝房价的净利润×入住的房间数可得． 【详解】设房价定为x 元，根据题意，得()18020501089010x x -??

--= ???

故选：D ．

【点睛】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是理解题意找到题目蕴含的相等关系． 7. 如图，点B ，C ，D 在⊙O 上，若∠BCD ＝130°，则∠BOD 的度数是（ ）

A. 50°

B. 60°

C. 80°

D. 100°

【答案】D 【解析】 【分析】

首先圆上取一点A ，连接AB ，AD ，根据圆的内接四边形的性质，即可得∠BAD+∠BCD=180°，即可求得∠BAD 的度数，再根据圆周角的性质，即可求得答案． 【详解】圆上取一点A ，连接AB ，AD ，

∵点A 、B ，C ，D 在⊙O 上，∠BCD=130°， ∴∠BAD=50°， ∴∠BOD=100°. 故选D ．

【点睛】此题考查了圆周角的性质与圆的内接四边形的性质．此题比较简单，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．

8. 如图，在矩形ABCD 中，E 在AD 上，EF BE ⊥，交CD 于F ，连结BF ，则图中与ABE △一定相似的三角形是

A EF

B △ B. DEF C. CFB D. EFB △和DEF

【答案】B 【解析】

试题分析：根据矩形的性质可得∠A=∠D=90°，再由EF BE ⊥根据同角的余角相等可得∠AEB=∠DFE ，即可得到结果. ∵矩形ABCD ∴∠A=∠D=90° ∴∠DEF+∠DFE=90° ∵EF BE ⊥ ∴∠AEB+∠DEF=90° ∴∠AEB=∠DFE

∵∠A=∠D=90°，∠AEB=∠DFE ∴

ABE ∽DEF

故选B.

考点：矩形的性质，相似三角形的判定

点评：相似三角形的判定和性质是初中数学的重点，贯穿于整个初中数学的学习，是中考中半径常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握.

9. 如图，等腰直角△ABC 中，AB=AC=8，以AB 为直径的半圆O 交斜边BC 于D ，则阴影部分面积为（结果保留π）（ ）

A. 24﹣4π

B. 32﹣4π

C. 32﹣8π

D. 16

【答案】A 【解析】

试题分析：连接AD ，OD ，

∵等腰直角△ABC中，

∴∠ABD=45°．

∵AB是圆的直径，

∴∠ADB=90°，

∴△ABD也是等腰直角三角形，

∴AD BD

=．

∵AB=8，

∴AD=BD=42，

∴S阴影=S△ABC-S△ABD-S弓形AD=S△ABC-S△ABD-（S扇形AOD-S△ABD）

=1

2

×8×8-

1

2

×42×42-

2

904

360

π?

+

1

2

×

1

2

×42×42

=16-4π+8=24-4π．

故选A．

考点：扇形面积的计算．

10. 如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，2）与（0，3）

之间（不包括这两点），对称轴为直线x=2．下列结论：abc＜0；②9a+3b+c＞0；③若点M（1

2

，y1），点N

（5

2

，y2）是函数图象上的两点，则y1＜y2；④﹣

3

5

＜a＜﹣

2

5

．其中正确结论有（）

A. 1个

B. 2个

C. 3个

D. 4个【答案】D

【解析】 【分析】

根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案． 【详解】①由开口可知：a ＜0， ∴对称轴x=?2b

a

＞0， ∴b ＞0，

由抛物线与y 轴的交点可知：c ＞0， ∴abc ＜0，故①正确；

②∵抛物线与x 轴交于点A （-1，0）， 对称轴为x=2，

∴抛物线与x 轴的另外一个交点为（5，0）， ∴x=3时，y ＞0，

∴9a+3b+c ＞0，故②正确； ③由于1

2＜2＜52

， 且（

52，y 2）关于直线x=2的对称点的坐标为（3

2，y 2）， ∵1

2＜32

， ∴y 1＜y 2，故③正确， ④∵?

2b

a

=2， ∴b=-4a ， ∵x=-1，y=0， ∴a-b+c=0， ∴c=-5a ， ∵2＜c ＜3， ∴2＜-5a ＜3， ∴-

35＜a ＜-2

5

，故④正确 故选D ．

【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用图象与系数的关系，本题属于中等题型．

二、选择题(每小题3分，共15分)

11. 在一个布袋中装有四个完全相同的小球，它们分别写有“美”、“丽”、“罗”、“山”的文字．先从

袋中摸出1个球后放回，混合均匀后再摸出1个球，求两次摸出的球上是含有“美”“丽”二字的概率为_____．

【答案】1 8

【解析】

【分析】

画树状图展示所有16种等可能的结果数，再找出两次摸出的球上是写有“美丽”二字的结果数，然后根据概率公式求解．

【详解】（1）用1、2、3、4别表示美、丽、罗、山，画树形图如下：

由树形图可知，所有等可能的情况有16种，其中“1，2”出现的情况有2种，

∴P（美丽）

21 168 ==．

故答案为：1

8

．

【点睛】本题考查了用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

12. 关于x的一元二次方程kx2+3x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是_____．

【答案】

9

4

k-且0

k≠

【解析】

【分析】

利用判别式，根据不等式即可解决问题.

【详解】∵关于x的一元二次方程kx2+3x﹣1＝0有实数根，∴△≥0且k≠0，

∴9+4k≥0，

∴

9

4

k-，且k≠0，

故答案为

9

4

k-且k≠0．

【点睛】本题考查根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．

13. 已知A （﹣4，y 1），B （﹣1，y 2）,C (1,y 3） 是反比例函数y =﹣4

x

图象上的三个点，把y 1与2y 、3y 的的值用小于号连接表示为________． 【答案】312y y y << 【解析】 【分析】

根据反比例函数图象上点的坐标特征可分别计算出y 1，y 2，y 3的值即可判断． 【详解】∵A （﹣4，y 1），B （﹣1，y 2）,C (1,y 3） 是反比例函数y =﹣4

x

图象上的三个点， ∴1414y =-

=-，2441y =-=-，3441

y =-=-， ∴312y y y <<， 故答案为：312y y y <<．

【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，由反比例函数确定函数值即可．

14. 如图，在矩形ABCD 中，E 是边AB 的中点，连接DE 交对角线AC 于点F ，若AB ＝4，AD ＝3，则CF 的长为_____．

【答案】

103

【解析】 【分析】

根据已知条件先证明△AFE ∽△CFD,继而求出AC 的长，最后得到CF 的长. 【详解】解：∵四边形ABCD 为矩形， ∴AB ＝CD ，AD ＝BC ，AB ∥CD ， ∴∠F AE ＝∠FCD ， 又∵∠AFE ＝∠CFD ， ∴△AFE ∽△CFD ，

∴CF

AF

＝

CD

AE

＝2．

∴

2

3 CF

AC

=

∵AC＝22

AB BC

+＝5，

∴

10 CF

3

=

故答案为10

3

．

【点睛】此题重点考查学生对两三角形相似的证明的应用，掌握三角形相似的证明方法是解题的关键.

15. 如图，点A是反比例函数y=4

x

（x＞0）图象上一点，直线y=kx+b过点A并且与两坐标轴分别交于点B，

C，过点A作AD⊥x轴，垂足为D，连接DC，若△BOC的面积是4，则△DOC的面积是______．

【答案】32．

【解析】

【分析】

先用三角形BOC的面积得出k=

2

8

b

①，再判断出△BOC∽△BDA，得出a2k+ab=4②，联立①②求出ab，即

可得出结论．

【详解】设A（a，4

a

）（a＞0），

∴AD=4

a

，OD=a，

∵直线y=kx+b过点A并且与两坐标轴分别交于点B，C，

∴C（0，b），B（﹣b

k

，0），

∵△BOC的面积是4，

∴S △BOC =

12OB×OC=12×b k

×b=4， ∴b 2=8k ，

∴k=2

8

b ①

∴AD ⊥x 轴， ∴OC ∥AD ， ∴△BOC ∽△BDA ，

∴

OB OC

BD AD =

， ∴

4b

b k b a k a

=+

， ∴a 2k+ab=4②，

联立①②得，ab=﹣4﹣

﹣4， ∴S △DOC =

12OD?OC=1

2

2. 故答案为

2．

【点睛】此题主要考查了坐标轴上点的特点，反比例函数上点的特点，相似三角形的判定和性质，得出a 2k+ab=4是解本题的关键．

三、解答题(共8题，75分)

16. 解方程：

(1)x 2﹣2x ﹣1=0 (2) 2(x ﹣3)=3x (x ﹣3)

【答案】(1

)11x =+

21x =2)13x =或22

3

x = 【解析】 【分析】

(1)利用公式法求解可得； (2)利用因式分解法求解可得； 详解】(1)a =1，b =﹣2，c =﹣1， △=b 2﹣4ac =4+4=8＞0， 方程有两个不相等的实数根，

242812b b ac x -±-±===±，

∴121212x x =+=-，；

(2)()()2333x

x x =﹣﹣， 移项得：()()23330x

x x =﹣﹣﹣， 因式分解得：()()323x

x ﹣﹣=0， ∴30x =﹣或230x =﹣， 解得：13x =或22

3

x =

． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程－配方法和因式分解法，根据方程的不同形式，选择合适的方法是解题的关键．

17. 动画片《小猪佩奇》分靡全球，受到孩子们的喜爱.现有4张《小猪佩奇》角色卡片，分别是A 佩奇，B 乔治，C 佩奇妈妈，D 佩奇爸爸（四张卡片除字母和内容外，其余完全相同）.姐弟两人做游戏，他们将这四张卡片混在一起，背面朝上放好.

（1）姐姐从中随机抽取一张卡片，恰好抽到A 佩奇的

概率为 ；

（2）若两人分别随机抽取一张卡片（不放回），请用列表或画树状图的分方法求出恰好姐姐抽到A 佩奇弟弟抽到B 乔治的概率.

【答案】（1）14；（2）

1

12

【解析】 【分析】

（1）直接利用求概率公式计算即可；（2）画树状图（或列表格）列出所有等可能结果，根据概率公式即可解答．

【详解】（1）1

4

；

（2）方法1：根据题意可画树状图如下： 方法2：根据题意可列表格如下：

弟弟

姐姐

A B C D

A （A,B）(A,C) (A,D)

B (B,A) (B,C) (B,D)

C (C,A) (C,B) (C,D)

D (D,A) (D,B) (D,C)

由列表（树状图）可知，总共有12种结果，每种结果出现的可能性相同，其中姐姐抽到A佩奇，弟弟抽到B乔治的结果有1种：（A，B）.

∴P（姐姐抽到A佩奇，弟弟抽到B乔治）

1 12

【点睛】本题考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解决问题用到概率公式：概率=所求情况数与总情况数之比．

18. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，4），B（1，1），C（3，1）．

（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；

（2）画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的△A2B2C2；

（3）在（2）的条件下，求线段BC扫过的面积（结果保留π）．

【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析；（3）2π. 【解析】 【分析】

（1）利用轴对称的性质画出图形即可；

（2）利用旋转变换的性质画出图形即可；

（3）BC 扫过的面积=22OCC OBB S S -扇形扇形，由此计算即可； 【详解】（1）△ABC 关于x 轴对称的△A 1B 1C 1如图所示； （2）△ABC 绕点O 逆时针旋转90°后的△A 2B 2C 2如图所示； （3）BC 扫过的面积=22OCC OBB S S -扇形扇形 =

(

)

(

)

2

2

22

22

90139011

360

360

π

π

++-

=2π．

【点睛】本题考查了利用轴对称和旋转变换作图，扇形面积公式等知识，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．

19. 周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽．测量时，他们选择了河对岸边的一棵大树，将其底部作为点A ，在他们所在的岸边选择了点B ，使得AB 与河岸垂直，并在B 点竖起标杆BC ，再在AB