学生姓名
性别 男 年级 高二 学科 数学 授课教师 ?
上课时间 2014年12月13日
第( )次课 共( )次课
课时: 课时
教学课题
椭圆
教学目标
#
教学重点与难点
选修2-1椭圆
知识点一:椭圆的定义 平面内一个动点到两个定点
、
的距离之和等于常数(
),这个动
点
的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点,两焦点的距离叫作椭圆的焦距.
注意:若,则动点的轨迹为线段;
若
,则动点
的轨迹无图形.
讲练结合一.椭圆的定义 1.方程
()()10222
22
2=+++
+-y x y x 化简的结果是
2.若ABC ?的两个顶点()()4,0,4,0A B -,ABC ?的周长为18,则顶点C 的轨迹方程是
3.已知椭圆22
169
x y +=1上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3,则P 到另一焦点距离为
;
知识点二:椭圆的标准方程
1.当焦点在轴上时,椭圆的标准方程:
,其中
;
2.当焦点在轴上时,椭圆的标准方程:,其中;
注意:
1.只有当椭圆的中心为坐标原点,对称轴为坐标轴建立直角坐标系时,才能得到椭圆的标准方程;
2.在椭圆的两种标准方程中,都有
和
;
3.椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在轴上时,椭圆的焦点坐标为,
;当焦点在
轴上时,椭圆的焦点坐标为,
。
讲练结合二.利用标准方程确定参数
1.若方程25x k -+2
3
y k -=1(1)表示圆,则实数k 的取值是 .
(2)表示焦点在x 轴上的椭圆,则实数k 的取值范围是 . (3)表示焦点在y 型上的椭圆,则实数k 的取值范围是 . (4)表示椭圆,则实数k 的取值范围是 .
2.椭圆22425100x y +=的长轴长等于 ,短轴长等于 , 顶点坐标是 ,焦点的坐标是 ,焦距是 ,离心率等于 ,
"
3.椭圆22
14x y m
+
=的焦距为2,则m = 。 4.椭圆5522=+ky x 的一个焦点是)2,0(,那么=k 。
讲练结合三.待定系数法求椭圆标准方程
1.若椭圆经过点(4,0)-,(0,3)-,则该椭圆的标准方程为 。 2.焦点在坐标轴上,且213a =,212c =的椭圆的标准方程为 3.焦点在x 轴上,1:2:=b a ,6=c 椭圆的标准方程为
4. 已知三点P (5,2)、1F (-6,0)、2F (6,0),求以1F 、2F 为焦点且过点P 的椭圆的标准方程;
【
知识点三:椭圆的简单几何性质
椭圆的的简单几何性质
(1)对称性
对于椭圆标准方程,把x换成―x,或把y换成―y,或把x、y同时换成―x、―y,
方程都不变,所以椭圆是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形,且是以原点为对称中心的中心对称图形,这个对称中心称为椭圆的中心。
(2)范围
椭圆上所有的点都位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形内,所以椭圆上点的坐标满足|x|≤a,|y|≤b。
(3)顶点
①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。
②椭圆(a>b>0)与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点,坐标分别为A1(―a,0),
A2(a,0),B1(0,―b),B2(0,b)。
③线段A1A2,B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴,|A1A2|=2a,|B1B2|=2b。a和b分别叫做椭圆的长半轴长
和短半轴长。
(4)离心率
①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率,用e表示,记作。
②因为a>c>0,所以e的取值范围是0<e<1。e越接近1,则c就越接近a,从而
越小,因
此椭圆越扁;反之,e 越接近于0,c 就越接近0,从而b 越接近于a ,这时椭圆就越接近于圆。当且仅当
a=b 时,c=0,这时两个焦点重合,图形变为圆,方程为x 2+y 2=a 2。 注意: 椭圆
的图像中线段的几何特征(如下图):
(1),,;
(2),
,
;
(3),
,
;
讲练结合四.焦点三角形
1.椭圆22
1925
x y +
=的焦点为1F 、2F ,AB 是椭圆过焦点1F 的弦,则2ABF ?的周长是 。 2.设1F ,2F 为椭圆400251622=+y x 的焦点,P 为椭圆上的任一点,则21F PF ?的周长是多少
21F PF ?的面积的最大值是多少
、
3.设点P 是椭圆
22
12516
x y +=上的一点,12,F F 是焦点,若12F PF ∠是直角,则12F PF ?的面积为 。
变式:已知椭圆14416922=+y x ,焦点为1F 、2F ,P 是椭圆上一点. 若?=∠6021PF F , 求21F PF ?的面积.
—
4.设F 是椭圆322
x +24
2y =1的右焦点,定点A(2,3)在椭圆内,在椭圆上求一点P 使|PA|+2|PF|最小,求P
点坐标 最小值 .
知识点四:椭圆
与(a >b >0)的区别和联系
标准方程
图形
,
性质
焦点 ,
,
焦距
;
范围
, ,
对称性
关于x 轴、y 轴和原点对称
顶点 ,
,
轴 长轴长=
,短轴长=
离心率
准线方程
焦半径
,
,
注意:椭圆,(a>b>0)的相同点为形状、大小都相同,参数间的关系
都有a>b>0和,a2=b2+c2;不同点为两种椭圆的位置不同,它们的焦点坐标也不相同。
1.如何确定椭圆的标准方程
任何椭圆都有一个对称中心,两条对称轴。当且仅当椭圆的对称中心在坐标原点,对称轴是坐标轴,椭圆的方程才是标准方程形式。此时,椭圆焦点在坐标轴上。
确定一个椭圆的标准方程需要三个条件:两个定形条件a、b,一个定位条件焦点坐标,由焦点坐标的形式确定标准方程的类型。
.
2.椭圆标准方程中的三个量a、b、c的几何意义
椭圆标准方程中,a、b、c三个量的大小与坐标系无关,是由椭圆本身的形状大小所确定的,分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长,均为正数,且三个量的大小关系为:a>b >0,a>c>0,且a2=b2+c2。
可借助下图帮助记忆:
a、b、c恰构成一个直角三角形的三条边,其中a是斜边,b、c为两条直角边。
3.如何由椭圆标准方程判断焦点位置
椭圆的焦点总在长轴上,因此已知标准方程,判断焦点位置的方法是:看x2、y2的分母的大小,哪个分母大,焦点就在哪个坐标轴上。
4.方程Ax2+By2=C(A、B、C均不为零)表示椭圆的条件
方程Ax2+By2=C可化为,即,
所以只有A、B、C同号,且A≠B时,方程表示椭圆。
当时,椭圆的焦点在x轴上;
当时,椭圆的焦点在y轴上。
5.求椭圆标准方程的常用方法:
①待定系数法:由题目条件确定焦点的位置,从而确定方程的类型,设出标准方程,再由条件确定方
程中的参数、、的值。其主要步骤是“先定型,再定量”;
②定义法:由题目条件判断出动点的轨迹是什么图形,然后再根据定义确定方程。
6.共焦点的椭圆标准方程形式上的差异
共焦点,则c相同。
与椭圆(a>b>0)共焦点的椭圆方程可设为(k>-b2)。此类问题常用待定系数法求解。
7.判断曲线关于x轴、y轴、原点对称的依据:
①若把曲线方程中的x换成―x,方程不变,则曲线关于y轴对称;
②若把曲线方程中的y换成―y,方程不变,则曲线关于x轴对称;
③若把曲线方程中的x、y同时换成―x、―y,方程不变,则曲线关于原点对称。
8.如何解决与焦点三角形△PF1F2(P为椭圆上的点)有关的计算问题
与焦点三角形有关的计算问题时,常考虑到用椭圆的定义及余弦定理(或勾股定理)、三角形面积公式相结合的方法进行计算与解题,将有关线段
、、,有关角()结合起来,建立、之间的关系.
9.如何研究椭圆的扁圆程度与离心率的关系
长轴与短轴的长短关系决定椭圆形状的变化。离心率,因为c2=a2-b2,a>c>0,用
a、b表示为,当越小时,椭圆越扁,e越大;当越大,椭圆趋近圆,e越小,并且0<e<1。
;
课后作业
18、椭圆32x +2
2y =1与椭圆22
x +32y =(0)有
(A)相等的焦距 (B)相同的离心率 (C)相同的准线 (D)以上都不对 19、椭圆192522=+y x 与125922
=-+-λ
λy x (0 (A)相等的焦距 (B)相同的的焦点 (C)相同的准线 (D)有相等的长轴、短轴 20、椭圆12 62 2=+y x 上一点P 到左准线的距离为2,则点P 到右准线的距离为 21、点P 为椭圆116 252 2=+y x 上的动点,21,F F 为椭圆的左、右焦点,则21PF PF ?的最小值为__________ ,此时点P 的坐标为________________.