高中数学-《平面向量》练习题
平面向量练习题
第1课时 向量的概念与几何运算
1．向量的有关概念
⑴ 既有 又有 的量叫向量．
的向量叫零向量． 的向量，叫单位向量．
⑵ 叫平行向量，也叫共线向量．规定零向量与任一向量 ．⑶ 且 的向量叫相等向量．2．向量的加法与减法
⑴ 求两个向量的和的运算，叫向量的加法． 向量加法按 法则或 法则 ⑵ 求两个向量差的运算，叫向量的减法．
向量减法按 法则，作法是将两向量的 重合，连结两向量的 ，方向指向 ．3．实数与向量的积
⑴ 实数λ与向量的积是一个向量，记作λ．它的长度与方向规定如下：① | λ |＝ ．
② 当λ＞0时，λ的方向与的方向 ； 当λ＜0时，λ的方向与的方向 ； 当λ＝0时，λ ．⑵ λ(μ)＝ ．
(λ＋μ)＝ ．
λ(＋b )＝ ．
⑶ 共线定理：向量b 与非零向量共线的充要条件是有且只有一个实数λ使得 ．
4．⑴ 平面向量基本定理：如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数1λ、2λ，使得 ．
⑵ 设1e 、2e 是一组基底，＝2111e y e x +，b ＝2212e y e x +，则与b 共线的充要条件
基础过关
是 ．
例1
．已知△ABC 中，D 为BC 的中点，E 为
AD 的中点．设=，=，求．解：BE ＝AE －＝4
1(＋)－＝－
43a ＋4
1b 变式训练1.如图所示，D 是△ABC 边AB 上的中点，则向量等于（ ）A ．－＋21
B ．－－2
1C ．－21 D ．＋2
1解:A
例2. 已知向量2132e e -=，2132e e +=，2192e e -=，其中1e 、2e 不共线，求实数λ、μ，使
b a
c μλ+=．
解:c ＝λ＋μb ?21e －92e ＝(2λ＋2μ)1e ＋(－3λ＋3μ)2e ?2λ＋2μ＝2，且－3λ＋3μ＝－9?λ＝2，且μ＝－1
变式训练2：已知平行四边形ABCD 的对角线相交于O 点，点P 为平面上任意一点，求证：
4=+++证明 ＋＝2，＋＝2?＋＋＋＝4例3. 已知ABCD 是一个梯形，AB 、CD 是梯形的两底边，且AB ＝2CD ，M 、N 分别是DC 和AB 的中点，若a AB =，b AD =，试用a 、b 表示和．
解：连NC ，则==-=+=+=4
14
1
；2
1-=-=变式训练3：如图所示，OADB 是以向量＝，＝为邻边的平行四边形，
又＝3
1
，＝
3
1
，试用、表示，，．解:＝
61a ＋65b ，＝32a ＋3
2
b ，典型例题
＝
21－6
1b 例4. 设，是两不共线向量，若与起点相同，t ∈R ，t 为何值时，，t ，3
1(＋)三向量的终点在一条直线上？
解：设])(3
1
[t +-=-λ (λ∈R)化简整理得：)3
1()132(=-+-t λλ∵不共线与，∴???????
==???????
?=-=-21
2303
0132t t λλλ 故21=t 时，)(31,,t +三向量的向量的终点在一直线上．
变式训练4：已知,,,,OA a OB b OC c OD d OE e =====u u u r r u u u r r u u u r r u u u r u r u u u r r ，设t R ∈，如果3,2,a c b d ==r r r u r
()e t a b =+r r r
，那么t 为何值时，,,C D E 三点在一条直线上？
解：由题设知，23,(3)CD d c b a CE e c t a tb =-=-=-=-+u u u r u r r r r u u u r r r r r
，,,C D E 三点在一条
直线上的充要条件是存在实数k ，使得CE kCD =u u u r u u u r ，即(3)32t a tb ka kb -+=-+r r r r
，
整理得(33)(2)t k a k t b -+=-r r
.①若,a b r r
共线，则t 可为任意实数；
②若,a b r r 不共线，则有33020
t k t k -+=??-=?，解之得，65t =.
综上，,a b r r 共线时，则t 可为任意实数；,a b r r 不共线时，6
5
t =.
第2课时 平面向量的坐标运算
1．平面向量的坐标表示
分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底，对于一个向量a ，有且只有一对实数x 、y ，使得＝x i ＋y j ．我们把(x 、y)叫做向量的直角坐标，记作 ．并且||＝ ．
2．向量的坐标表示与起点为 的向量是一一对应的关系．3．平面向量的坐标运算：
若＝(x 1、y 1)，＝(x 2、y 2)，λ∈R ，则：
基础过关
a ＋
b ＝ a －b ＝ λa ＝
已知A(x 1、y 1)，B(x 2、y 2)，则AB ＝ ．
4．两个向量＝(x 1、y 1)和＝(x 2、y 2)共线的充要条件是 ．
例1.已知点
A （2，3），
B （－1，5），且＝3
1
，求点C 的坐标．解AC ＝
3
1＝(－1，32)，OC ＝AC OA +＝(1,
311)，即C(1, 311
)变式训练1.若(2,8)OA =u u u r ，(7,2)OB =-u u u r ，则3
1AB u u u
r = .
解: (3,2)--提示：(9,6)
AB OB OA =-=--u u u r u u u r u u u r
例2. 已知向量a ＝(cos 2α，sin 2α)，b ＝(cos 2β，sin 2β)，|a －b |＝5
52，求cos(α－β)的值．解:|a －b |＝
55222552=--?)cos(βα2cos
22552βα--?＝55
222552=--?)cos(βα?cos 2
βα-＝53?cos(α－β)＝257-变式训练2.已知a －2b ＝(－3，1)，2a ＋b ＝(－1，2)，求a ＋b ．解 ＝(－1，1)，b ＝(1，0)，∴＋b ＝(0，1)
例3. 已知向量＝(1, 2)，＝(x, 1)，1e ＝＋2，2e ＝2－，且1e ∥2e ，求x ．解:1e ＝(1＋2x ，4)，2e ＝(2－x ，3)，1e ∥2e ?3(1＋2x)＝4(2－x)?x ＝
2
1变式训练3.设＝(ksinθ, 1)，b ＝(2－cosθ, 1) (0 <θ<π)，∥，求证：k≥3．
证明: k ＝θ
θ
sin cos 2- ∴k －3＝
θ
π
θsin )
3cos(22-
-≥0 ∴k≥3
例4. 在平行四边形ABCD 中，A(1，1)，＝(6，0)，点M 是线段AB 的中点，线段CM 与BD 交于点P ．
(1) 若＝(3，5)，求点C 的坐标；
(2) 当||＝||时，求点P 的轨迹．解：(1)设点C 的坐标为(x 0，y 0)，
)5,1()5,9()0,6()5,3(00--==+=+=y x
得x 0＝10 y 0＝6 即点C(10，6)
典型例题
(2) ∵= ∴点D 的轨迹为(x －1)2＋(y －1)2＝36 (y ≠1) ∵M 为AB 的中点
∴P 分的比为2
1
设P(x ，y)，由B(7，1) 则D(3x －14，3y －2) ∴点P 的轨迹方程为)1(4)1()5(22≠=-+-y y x
变式训练4.在直角坐标系x 、y 中，已知点A(0，1)和点B(－3，4)，若点C 在∠AOB 的平分线上，且||＝2，求的坐标．
解 已知A (0，1)，B (－3，4) 设C (0，5)，D (－3，9)
则四边形OBDC 为菱形 ∴∠AOB 的角平分线是菱形OBDC 的对角线OD ∵2103==
∴)5
103,510(10
32-
==
第3课时 平面向量的数量积
1．两个向量的夹角：已知两个非零向量和b ，过O 点作＝，＝b ，则∠AOB ＝θ (0°≤θ≤180°) 叫做向量a 与b 的 ．当θ＝0°时，a 与b ；当θ＝180°时，a 与b ；如果a 与b 的夹角是90°，我们说a 与b 垂直，记作 ．
2．两个向量的数量积的定义：已知两个非零向量与b ，它们的夹角为θ，则数量
叫做与b 的数量积（或内积），记作·b 。规定零向量与任一向量的数量积为0．若＝(x 1, y 1)，b ＝(x 2, y 2)，则·b ＝ ．
3．向量的数量积的几何意义：
|b |cosθ叫做向量b 在方向上的投影 (θ是向量与b 的夹角)．
a ·
b 的几何意义是，数量a ·b 等于 ． 4．向量数量积的性质：设、b 都是非零向量，是单位向量，θ是与b 的夹角． ⑴ ·＝·＝ ⑵ ⊥b ?
⑶ 当与b 同向时，·
b ＝ ；当与b 反向时，·b ＝ ． 基础过关
⑷ cosθ＝ ． ⑸ |·b |≤ 5．向量数量积的运算律：
⑴ ·b ＝ ； ⑵ (λ)·b ＝ ＝·(λb ) ⑶ (＋)·c ＝ 例1. 已知||＝4，|b |＝5，且与b 的夹角为60°，求：(2＋3b )·(3－2b )． 解:(2a ＋3b )(3a －2b )＝－4
变式训练1.已知||＝3，|b |＝4，|＋b |＝5，求|2－3b |的值． 解:56
例2. 已知向量＝(sin θ，1)，b ＝(1，cos θ)，－
2
2π
θπ
<
<．
(1) 若a ⊥b ，求θ； (2) 求|＋b |的最大值． 解：(1)若⊥，则0cos sin =+θθ 即1tan -=θ 而)2
,2(ππθ-∈，所以4
π
θ-
=
(2))4sin(223)cos (sin 23π
θθθ+
+=++=+
当4
π
θ=
时，+的最大值为12+
变式训练2：已知(cos ,sin )a αα=r ，(cos ,sin )b ββ=r
，其中0αβπ<<<． (1)求证：a b +r r 与a b -r
r 互相垂直；
(2)若ka →
+→
b 与a k →
-→
b 的长度相等，求βα-的值(k 为非零的常数)．
证明：222222
()()(cos sin )(cos sin )0a b a b a b ααββ+?-=-=+-+=r r r r r r Q
a b ∴+r r 与a b -r
r 互相垂直
（2）k a →
+(cos cos ,sin sin )b k k αβαβ→
=++,
a k →
-(cos cos ,sin sin )b k k αβαβ→
=--,
典型例题
k a b →
+=r
a k
b →-=r ,
=cos()0βα-=，2
πβα-=
例3. 已知O 是△ABC 所在平面内一点，且满足(－)·(＋－2)＝0，判断△ABC 是哪类三角形．
解:设BC 的中点为D ，则(-)(2-+)＝0?2BC ·AD ＝0?BC ⊥AD ?△ABC 是等腰三角形.
变式训练3：若(1,2),(2,3),(2,5)A B C -，则△ABC 的形状是 .
解: 直角三角形.提示：(1,1),(3,3),0,AB AC AB AC AB AC ==-?=⊥u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
例4. 已知向量m ＝(cosθ, sinθ)和n ＝(2－sinθ, cosθ) θ∈(π, 2π)且|n m +|＝5
2
8，求cos(8
2
π
θ+
)的值.
解:+＝(cos θ－sin θ＋2, cos θ＋sin θ)由已知(cos θ－sin θ＋2)2＋(cos θ＋sin θ)2＝25
128
化简：cos 25
7)4
(=
+π
θ 又cos 2
25
162
)
4cos(1)8
2(=+
+=+π
θπ
θ
∵θ∈(π, 2π) ∴cos 25
16
2
)
4cos(1)82(=+
+=+π
απ
θ<0 ∴cos 25
162)
4
cos(1)82(=
++=+π
απθ＝－54 变式训练4.
平面向量11),(2a b =-=r r
，若存在不同时为0的实数k 和t ，使2
(3)x a t b =+-r r r ,,y ka tb =-+r r r 且x y ⊥r r ，试求函数关系式()k f t =.
解：
由11),(2a b =-=r r
得0,||2,||1a b a b ?===r r r r 22
222
[(3)]()0,(3)(3)0a t b ka tb ka ta b k t a b t t b +-?-+=-+?--?+-=r r r r r r r r r r
33311
430,(3),()(3)
44k t t k t t f t t t -+-==-=-
[基础训练]
一、选择题
1．化简AC -u u u r BD +u u u r CD -u u u r AB u u u r
得（ ）
A ．A
B u u u r B ．
C ．
D ．0r
2．设00,a b u u r u u r
分别是与,a b r r 向的单位向量，则下列结论中正确的是（ ）
A ．00a b =u u r u u r
B ．00
1a b ?=u u r u u r
C ．00||||2a b +=u u r u u r
D ．00||2a b +=u u r u u r
3．已知下列命题中：
（1）若k R ∈，且0kb =r r ，则0k =或0b =r r
， （2）若0a b ?=r r ，则0a =r r 或0b =r r
（3）若不平行的两个非零向量b a ,，满足||||b a =，则0)()(=-?+b a b a
（4）若a 与b 平行，则||||a b a b =?r r
g
其中真命题的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 4．下列命题中正确的是（ ）
A ．若a ?b ＝0，则a ＝0或b ＝0
B ．若a ?b ＝0，则a ∥b
C ．若a ∥b ，则a 在b 上的投影为|a|
D ．若a ⊥b ，则a ?b ＝(a ?b)2
5．已知平面向量(3,1)a =r ，(,3)b x =-r ，且a b ⊥r
r ，则x =（ ）
A ．3-
B ．1-
C ．1
D ．3
*6．已知向量)sin ,(cos θθ=,向量)1,3(-=则|2|-的最大值，最小值分别是（ ）
A ．0,24
B ．24,4
C ．16,0
D ．4,0
二、填空题
1．若=)8,2(，=)2,7(-，则
3
1
=_________ 2．平面向量,a b r r 中，若(4,3)a =-r
，且5a b ?=r r ，则向量b =____。
3．若3a =r ,2b =r ，且a 与b 的夹角为0
60，则a b -=r r 。
4．把平面上一切单位向量归结到共同的始点，那么这些向量的终点 所构成的图形是___________。
5．已知)1,2(=a ρ
与)2,1(=b ρ，要使b t a ρρ+最小，则实数t 的值为___________。
三、解答题
1．如图，ABCD Y 中，,E F 分别是,BC DC 的中点，G 为交点，若AB u u u r =a r
，AD =b r ，试
以a r ，b r 为基底表示、BF u u u r 、CG u u u r ．
2．已知向量r r a 与b 的夹角为60o
，||4,(2).(3)72b a b a b =+-=-r r r r r ,求向量a r 的模。
3．已知点(2,1)B -，且原点O 分→
AB 的比为3-，又(1,3)b →=，求→
b 在→
AB 上的投影。
4．已知(1,2)a =r ,)2,3(-=,当k 为何值时，（1）ka b +r r 与3a b -r r
垂直？ （2）ka +r 与3a -r
平行？平行时它们是同向还是反向？
[基础训练A 组] 参考答案
一、选择题
1.D 0AD BD AB AD DB AB AB AB --=+-=-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r
2.C 因为是单位向量，00||1,||1a b ==u u r u u r
3.C （1）是对的；（2）仅得a b ⊥r
r ；（3）2222()()0a b a b a b a b +?-=-=-=r r r r r r r r
（4）平行时分0
0和0
180两种，cos a b a b a b θ=?=±?r r r r r r
g
4.D 若AB DC =u u u r u u u r ，则,,,A B C D 四点构成平行四边形；a b a b +<+r r
r r
若//a b r r ，则a r 在b r 上的投影为a r 或a -r ，平行时分00和0180两种
20,()0a b a b a b ⊥?==r r r r r r g g 5.C 31(3)0,1x x +?-==
6.D
2(2cos 1),|2|a b a b θθ-=+-r r
r r
==4，最小值为0
二、填空题
1. (3,2)-- (9,6)AB OB OA =-=--u u u r
u u u r
u u u r
2.43(,)55- 5,cos ,1,,a b a a b a b a b
=<>==r r r r g r r r r r 方向相同，143
(,)555b a ==-r r
a b -====r r 4.圆 以共同的始点为圆心，以单位1为半径的圆
5．45
-
a t
b +=r r 45t =-时即可
三、解答题
1.解：1122
DE AE AD AB BE AD a b b a b =-=+-=+-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r r r
r r
1122
BF AF AB AD DF AB b a a b a =-=+-=+-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r r r r r
G 是△CBD 的重心，111()3
3
3
CG CA AC a b ==-=-+u u u r u u u r u u u r r
r
2.解：22(2)(3)672a b a b a a b b +-=--=-r r r r r
r r r g
g 2220cos 60672,2240,a a b b a a --=---=r r r r r r
(4)(2)0,4a a a -+==r r r
3.解：设(,)A x y ，3AO
OB
=-，得3AO OB =-u u u r u u u r ，即(,)3(2,1),6,3x y x y --=--==-
得(6,3)A -，(4,2),AB AB =-=u u u v u u u v cos b AB b AB
θ==
r u u u v
r g u u u v 4.解：(1,2)(3,2)(3,22)ka b k k k +=+-=-+r r
3(1,2)3(3,2)(10,4)a b -=--=-r r
（1）()ka b +⊥r r (3)a b -r r
，
得()ka b +r r g (3)10(3)4(22)2380,19a b k k k k -=--+=-==r r
（2）()//ka b +r r (3)a b -r r ，得1
4(3)10(22),3
k k k --=+=-
此时1041
(,)(10,4)333
ka b +=-=--r r ，所以方向相反。