小学奥数学而思总汇
第 1 讲 计算综合
繁分数的运算，涉及分数与小数的定义新运算问题，综合性较强的计算问题． 1．繁分数的运算必须注意多级分数的处理，如下所示：
甚至可以简单地说：“先算短分数线的，后算长分数线的”．找到最长的分数线，将其上视为分子， 其下视为分母．
2．一般情况下进行分数的乘、除运算使用真分数或假分数，而不使用带分 数．所以需将带分数化 为假分数．
3．某些时候将分数线视为除号，可使繁分数的运算更加直观． 4．对于定义新运算，我们只需按题中的定义进行运算即可． 5．本讲要求大家对分数运算有很好的掌握，可参阅《思维导引详解》五年级 [第 1 讲 循环小数与分数]．
1．计算： 7 × 4 1 + 1 18 2 6
× 2 7
13 1 ? 3 3 ÷ 5 8 3 4 16
7 1 23
4 + 6 7 12 23 17 【分析与解】原式= 13 1 ?12 × 2 = 8 × = 4 4 8 128 3 3
2．计算：
【分析与解】 注意，作为被除数的这个繁分数的分子、分母均含有 19 5
9
．于是，我们想到改变运算
顺序，如果分子与分母在19 5 后的两个数字的运算结果一致，那么作为被除数的这个繁分数的值为 1； 9
如果不一致，也不会增加我们的计算量．所以我们决定改变作为被除数的繁分数的运算顺序． 而作为除数的繁分数，我们注意两个加数的分母相似，于是统一通分为 1995×0.5． 具体过程如下：
原式= 19 5 (+3 9
9 10
? 5.22)
÷ (1993× 0.4 + 1.6 )
19 5 (?6 27
+ 5.22) 9 50 19 5
?1.32
1995 × 0.5 1995 = 9 19 5 ?1.32 9
÷ (1993× 0.4 + 4 × 0.4 × 0.5 )
1995× 0.4 1995× 0.5 1993 + 2 0.4
0.4 1 =1 ÷ ( × ) =1 ÷ =1
1995 0.5 0.5 4
3．计算：1 ?
1
1 +
1 1 ? 1 1987 【分析与解】原式=1 ?
1
=1 ? 1986 = 1987 1 +
1987 1986
3973 3973
4．计算：已知=
1
= 8
，则 x 等于多少?
1+
1 11 2+
1 x+ 1 4
【分析与解】方法一： 1 = 1 =
1
= 8x + 6 = 8 1+ 1 1 + 1 1 +
4x + 1 12x + 7 11 2+ 1 2 + 4 8x + 6 x+ 1 4x + 1 4
交叉相乘有 88x +66=96x +56，x =1．25． 方法二：有 1 +
1 = 11 = 1 + 3
，所以 2 + 1 = 8 = 2 + 2 ；所以 x + 1 = 3 ，那么 x = 1.25． 2 +
1 8 8 x + 1
4
1 3 3 4 24 x +
5．求4,43,443,...,4?4?...4?3这10 个数的和．
9个4
【分析与解】方法一：
9
4+43+443+ ...+ ?44?...?
43 9个 4
= 4 + (44 ? 1) + (444 ? 1) + ... + (44...4 ?1)
10个4
4 = 4 + 44 + 444 + ... + 44...4 ? 9 = × (9 + 99 + 999 + ... + 9?
9?9.?..9) ? 9 10个 4 10个 9
= 4
×[(10 ?1) + (100 ? 1) + (1000 ? 1) + ... + (1?00?0?.?..0 ? 1)] ? 9 9
= 4 ×1?11?.1?
00 ? 9=4938271591. 10个 0
9
9个1
方法二：先计算这 10 个数的个位数字和为 3 × 9+4=3 1 ；
再计算这 10 个数的十位数字和为 4×9=36，加上个位的进位的 3，为 36 + 3 = 3 9 ； 再计算这 10 个数的百位数字和为 4×8=32，加上十位的进位的 3，为 32 + 3 = 3 5 ； 再计算这 10 个数的千位数字和为 4×7=28，加上百位的进位的 3，为 28 + 3 = 3 1 ； 再计算这 10 个数的万位数字和为 4×6=24，加上千位的进位的 3，为 24 + 3 = 2 7 ； 再计算这 10 个数的十万位数字和为 4×5=20，加上万位的进位的 2，为 20 + 2 = 2 2 ；
再计算这 10 个数的百万位数字和为 4×4=16，加上十万位的进位的 2，为16 + 2 = 1 8 ；
再计算这 10 个数的千万位数字和为 4×3=12，加上百万位的进位的 1，为12 + 1 = 1 3 ；
再计算这 10 个数的亿位数字和为 4×2=8，加上千万位的进位的 1，为 8 +1 = 9 ； 最后计算这 10 个数的十亿位数字和为 4×1=4，加上亿位上没有进位，即为 4 ． 所以，这 10 个数的和为 4938271591．
6.如图 1-1，每一线段的端点上两数之和算作线段的长度，那么图中 6 条线段的长度之和是多少?
【分析与解】 因为每个端点均有三条线段通过，所以这 6 条线段的长度之和为：
3 × (1 + 1 + 0.6 + 0.875) = 1+0.75+1.8+2.625=6.175=6 7
3 4 40
7.我们规定，符号“○”表示选择两数中较大数的运算，例如：3．5○2.9=2.9○3.5=3.5．符号“△”
(0.625△ 23) × (155
○0.4)
表示选择两数中较小数的运算，例如：3.5△2.9=2.9△3.5=2.9．请计算：
【分析与解】原式
0.625 ×
155
33 384 (1 ○0.3) + ( 235
△2.25) 3 104
384 = 5 × 155 ÷ 2 7 = 25 1
+ 2.25 3
8 384 12
256
8．规定（3）=2×3×4，（4）=3×4×5，(5)=4×5×6，(10)=9×10×11，…．如果
1 ? 1 = 1
× ， (16) (17) (17)
那么方框内应填的数是多少?
【分析与解】
= ( 1 ? 1 ) ÷ 1 = (17) ?1 = 16 ×17 × 18 ?1 = 1 . (16) (17) (17) (16) 15 ×16 ×17 5
9．从和式 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1
中必须去掉哪两个分数，才能使得余下的分数之和等于 1?
2 4 6 8 10 12
【分析与解】 因为 1 + 1 = 1 ，所以 1 , 1 , 1 , 1
的和为 l ，因此应去掉 1 与 1 .
6 12 4 2 4 6 12 8 10
10．如图 1-2 排列在一个圆圈上 10 个数按顺时针次序可以组成许多个整数部分是一位的循环小数， 例如 1.892915929．那么在所有这种数中。最大的一个是多少?
【 分 析 与 解 】 有 整 数 部 分 尽 可 能 大 ， 十 分 位 尽 可 能 大 ， 则 有 92918…… 较 大 ， 于 是 最 大 的 为
i i
9.29189 2915 ．
11．请你举一个例子，说明“两个真分数的和可以是一个真分数，而且这三个 分数的分母谁也不是谁的约数”.
【分析与解】 有 1 + 1 = 4 ， 1 + 1 = 1 ， 1 + 1 = 1
6 10 15 10 15 6 35 14 10
评注：本题实质可以说是寻找孪生质数，为什么这么说呢? 注意到
1 + 1 = c + a ，当 a + c = b 时，有 1 + 1 = c + a =
1 ．
a ×
b
c × b a × b × c 当 a 、b 、c 两两互质时，显然满足题意．
a ×
b
c × b a × b × c a × c
显然当 a 、b 、c 为质数时一定满足，那么两个质数的和等于另一个质数，必定有一个质数为 2，不
妨设 a 为 2，那么有 2 + c = b ，显然 b 、c 为一对孪生质数．
1 1 1
即可得出一般公式： + = ，c 与 c +2 均为质数即可.
2 × (c + 2） c × (c + 2) 2 × c
1 1 1 12．计算： (1? ）×（1? ）× ...× (1 ? )
【分析与解】 2× 2 3× 3 10×10
原式=
(2 ?1) × (2 + 1) × (3 ?1) × (3 + 1) × ...×
(10 ? 1) × (10 + 1) 2 × 2 3× 3 10 ×10 =
1× 3 × 2 × 4 × 3 × 5 × 4 × 6 × 5 × 7 × 6 × 8 × 7 × 9 × 8 ×10 × 9 ×11 2 × 2 × 3 × 3 × 4 × 4 × ...×10 ×10
=
1× 2 × 3 × 3 × 4 × 4 × 5 × 5 × ...× 9 × 9 ×10 ×11 2 × 2 × 3 × 3 × 4 × 4 × ...× 9 × 9 ×10 ×10 1× 2 ×10 ×11 11
=
= .
2× 2×10×10 20
13．已知 a =
【分析与解】
11× 66 + 12× 67 + 13× 68+ 14× 69+ 15× 70 11× 65 + 12× 66 + 13× 67 + 14× 68+ 15× 69
×100 .问 a 的整数部分是多少？
a = 11× 66 + 12× 67 + 13× 68+ 14× 69+ 15× 70×100 11× 65 + 12× 66 + 13× 67 + 14× 68+ 15× 69 =
11× (65 + 1) +12 × (66 + 1) +13 × (67 +1) +14 × (68 +1) +15 ×（69 +1 11× 65 + 12× 66 + 13× 67 + 14× 68+ 15× 69
） ×100
1 × 3 × 5 × 7
101 100 10 10 10 10 10 × ...×
99 与 1 相比， 1 更 大． 2 4 6 8 100 10 10
1 3 5 7
97 99
法二：设 A ＝ × × × × ...× × ， 2 4 6 8 98 100
=（1 +
11 + 12 + 13 + 14 + 15
）×100
11× 65 + 12× 66 + 13× 67+ 14× 68+ 15× 69
11+ 12 + 13+ 14+ 15
=100 + ×100 .
11× 65+12× 66 + 13× 67+ 14× 68+ 15× 69 因为 11+ 12 + 13+ 14+ 15 ×100 ＜ 11 + 12 + 13 + 14 + 15 ×100 =
100 11× 65+12× 66 + 13× 67 + 14× 68+ 15× 69 所以 a ＜100+ 100 = 101 35 .
65 65
11+ 12 + 13+ 14+ 15
（11 + 12 + 13 + 14+15）× 65 65
11+ 12 + 13+ 14+ 15 100 同时 ×100 ＞ ×100 =
11× 65 + 12× 66 + 13× 67+ 14× 68+ 15× 69 所以 a ＞100 + 100＝101 31
.
69 69 （11+ 12 + 13+ 14+15）× 69 69
综上有101 31 ＜a ＜101 35
．所以 a 的整数部分为 101．
69 65
14．问 1 × 3 × 5 × 7 × ...×
99 2 4 6 8
100 与 1
相比，哪个更大，为什么? 10 1 3 5 7 99 2 4 6 8 100
【分析与解】方法一：令 × × × × ...× ＝A ， × × × × ...× ＝B ，
2 4 6 8 100
3 5 7 9 101
有 A × B ＝ 1 × 3 × 5 × 7 × ...× 99 × 2 × 4 × 6 × 8 ×... × 100＝ 1 .
2 4 6 8 100
3 5 7 9 101 101
而 B 中分数对应的都比 A 中的分数大，则它们的乘积也是 B ＞A ，
有 A ×A ＜4×B （＝
即 1 ）＜ 1 ＝ 1 × 1 ，所以有 A ×A ＜ 1 × 1 ，那么 A ＜ 1 ．
方
则 A 2＝ 1 × 1 × 3 × 3 × 5 × 5 ×... × 99 ×
99 2 2 4 4 6 6 100 100
= 1× 3 × 3 × 5 × 5 × 7 × 7 × ...× 97 × 97 × 99 × 99× 1 ， 2 × 2 × 4 × 4 × 6 × 6 × 8 × ...× 96 × 98× 98× 100× 100 1× 3 显然 、 2× 2 3× 5 4× 4 5× 7 、
6 × 6
、…、 97× 99 98× 98 99 、 100 都是小于 1 的，所以有 A 2＜ 1 100 1 ，于是 A ＜ . 10
15．下面是两个 1989 位整数相乘：1?11?..?.11×1??1..?
.11 ．问：乘积的各位数字之和是多少? 1989个1
1989个1
【分析与解】在算式中乘以 9，再除以 9，则结果不变．因为1?11?..?.?11 能被 9 整除，所以将一个1?11?..?.?
11
乘以 9，另一个除以 9，使原算式变成：
9?9?9.?....?.9?9 ×1?23?45?67?9?0..?....?01?23?45?
6?79 1989个
1
1989个1
1989个 9
共1988位数
=（1?0?00?....?..?00?1）×1?23?45?6?79?0.?....?.01?23?45?6?79
1989个0共1988位数
=1?23?45?6?79?0.?....?.01?23?45?6?79?00?0?....?..?00??12?34?56?79?0.?....?.01?23?4?56?79
共1988位数1989个0 共1988位数
=1?23?45?6?79?0.?....?.01?23?45?6?7912345678?98?76?54?32?0?9.?....?.98?76?5?43?2?0987654321
共1988位数共1980位数
得到的结果中有1980÷9=220个“123456790”和“987654320”及一个“12345678”和一个“987654321”，所以各位数之和为：
（1+2+ 3+ 4+ 5+ 6 + 7 + 9）× 220+（9+ 8+7+ 6+ 5+ 4+ 3+2）× 220
+（1+2+ 3+ 4+ 5+ 6 + 7 +8）+（9 +8+ 7 + 6 +5 + 4 +3+ 2 +1）=17901
评注：111111111÷9=12345679；
M×9?9?9.?..9 的数字和为9×k．(其中M≤9?9?9.?..9 )．可以利用上面性质较快的获得结果．k个9k个9
第 2 讲 计算综合（二）
本讲主要是补充[计算综合(I )]未涉及和涉及不深的问题，但不包括多位数的运算．
1．n ×(n +1)=[n ×(n +1)×(n +2)-(n -1)×n ×(n +1)]÷3；
2．从 1 开始连续 n 个自然数的平方和的计算公 a 式：
12 + 22 + 32 + ? + n 2 = 1
× n × (n + 1) × ( 2n + 1)
6
3．平方差公式：a 2-b 2=(a +b )(a -b )．
1 1
1． 已知 a = 2 + 3 + 1
, b = 1 2 +
1
3 +
1 , 试比较 a 、b 的大小. 1 1 iii +
iii + 99 99 + 1 100
【分析与解】
a =
1 2 +
1 3 +
1
, b =
1 ,
2 + 1
3 + 1
iii +
1
98 + 1 iii +
1
98 + 1
A B 其中 A =99,B =99+ 1 . 因为 A 98+ 1
，
97 + 1 100 < 97 +
1
, 96 + A B 1 > 96 + 1 , 98 + 1 98 + 1 97 + 1 97 +
1 A B 98 + 1 98 + 1
?
2 +
1 3 +
1 4 +
1
> 2 +
3 +
4 +
A B
1
, 所以有 a < b ．
1 1
iii +
1 98 + 1
iii +
1 98 + 1
A
B
2.试求 1 +1的和？
2+
1
3+
1
4 +1
1+
1
1+
1
3+
1
iii+
1
2005
4 +
1
iii+
1
2005
【分析与解】记x =
3+
4 +1
,则题目所要求的等式可写为：1
1
1
+1
,而
1
+
iii+
1
1
2005
=
1
+
1+x
=1.
2 + x1+1
1+ x 2 + x1+1
1+ x
2 + x 2 + x
所以原式的和为1．评注：上面补充的两例中体现
了递推和整体思想．
2．试求1+2+3+4+…4+100的值?
【分析与解】方法一：利用等差数列求和公式，(首项+末项)×项数
÷2=(1+100)×100÷2=5050．方法二：倒序相加，1+2+ 3+ 4+ 5+…97+
98+ 99+ 100
100+99+ 98+ 97+ 96+…4+3+ 2+ 1,
上下两个数相加都是101，并且有100组，所以两倍原式的和为101×100，那么原式的和为
10l×100÷2=5050．
方法三：整数裂项(重点)，原式
=(1×2+2×2+3×2+4×2+…+100×2)÷2
=[1×2+2×(3?1) +3×(4?2)+ 4×(5?3) +i ii+100×(101?99)]÷ 2
= (1× 2+ 2× 3?1× 2+ 3×4?2×3+ 4× 5?3×4+iii+100×101?99×100) ÷2
=100×101÷2
=5050.
3．试求l×2+2×3+3×4+4×5+5×6+…+99×100．
【分析与解】方法一：整数裂项原式
=(1×2×3+2×3×3+3×4×3+4×5×3+5×6×3+…+99×100×3)÷3
=[1×2×3+2×3×(4-1)+3×4×(5-2)+4×5×(6-3)+5×6×(7-4)+…+99×100×(101-98)]÷3
( 1× 2 × 3 + 2 × 3 × 4 ? 1× 2 × 3 + 3 × 4 × 5 ? 2 × 3 × 4 + 4 × 5× 6 ? 3 × 4 × 5 + 5 × 6 × 7 ? 4 × 5 × 6 +iii +99 ×100 ×101? 98× 99× 100 ) ÷ 3 = 99 ×100 ×101÷ 3 = 33× 101× 100 = 3333× 100 = 333300.
方程二：利用平方差公式 12+22+32+42+…+n 2= n 2 = n × (n +1) × (2n +1) .
6
原式：12+l +22+2+32+3+42+4+52+5+…+992+99
=12+22+32+42+52+…+992+1+2+3+4+5+…+99 =
99 ×100 ×199 +
99× 100
6 2
=328350+4950 =333300．
5．计算下列式子的值：
0.1×0.3+0.2 × 0.4+0.3×0.5+0.4×0.6+…+9.7×9.9+9.8 × 10.0
【分析与解】这个题看上去是一个关于小数的问题，实际上我们可以先把它们变成整数，然后再进行
计算．即先计算 1×3+2 × 4+3×5+4 × 6+…+97 × 99+98×100。再除以 100． 方法一：再看每一个乘法算式中的两个数，都是差 2，于是我们容易想到裂项的方法．
0.1×0.3+0.2 × 0.4+0.3×0.5+0.4×0.6+…+9.7×9.9+9.8 × 10.0 =(1×3+2×4+3×5+4×6+…+97×99+98×100)÷100
=[(l ×2+1)+(2×3+2)+(3×4+3)+(4×5+4)+…+(97×98+97)+(98×99+98)]÷100 =[(1×2+2×3+3×4+4×5+…+97×98+98×99)+(1+2+3+4+…+97+98)]÷100
1 1 =( ×98×99×100+ 3 2
×98×99)÷100 =3234+48.51 =3282.51
方法二：可以使用平方差公式进行计算．
0.1×0.3+O .2×0.4+0.3×0.5+0.4×0.6+…+9.7×9.9+9.8×10.0 =(1×3+2×4+3×5+4×6+…+97×99+98×l 00)÷100 =(12-1+22-1+32-1+42-1+52-1+…+992-1)÷100 =(11+22+32+42+52+…+992-99)÷100 =( 1 ×99×100×199-99)÷100 6
=16.5×199-0.99
=16.5×200-16.5-0.99 =3282.51
评注：首先，我们要清楚数与数之间是相通的，小数的计算与整数的计算是有联系的．下面简单介绍 一下整数裂项．
1×2+2×3+3×4+…+(n -1)×n
= 1 ×[1×2×3+2×3×3+3×4×3+…+(n-1)×n×3]
3
1
=×{1×2×3+2×3×(4-1)+3×4×(5-2)+…+(n-1)×n[n+1-(n-2)]} 3
1 ?1×2×3?2×3×1+ 2×3×4 ?3×4×
2 +3×4×5+iii?
=×??
3 ??(n ?1)×n×(n ?2) + (n ?1)×n×(n +1) ?
= 1 ×(n ?1)×n×(n +1)
3
6.计算下列式子的值：
24×( 1
+
1
+iii+
1
)?(
1
+
1
+i ii
1
)
2×3 4×5 20× 21 12【分析与解】虽然很容易看出1
12 + 22
=
1
?
1
,
1
12 + 22 +iii+102
=
1
?
1
??????可是再仔细一看，并没有什么效果，
2×3 2 3 4×5 4 5
因为这不像分数裂项那样能消去很多项．我们再来看后面的式子，每一项的分母容易让我们想到公式
12+22+32+…+n2=1 ×n×(n+1)×(2n+1)，于是我们又有
61
12 + 22 + 32 +iii+n2=
6
. n× (n +1)(2n ?1)
减号前面括号里的式子有10 项，减号后面括号里的式子也恰好有10 项，是不是“一个对一个”呢?
24×( 1
+
1
+iii
1
) ?(
1
+
1
+i ii+
1
)
2×34×5 20× 21 1212 + 2212 + 22 +iii+102
= 24×( 1 +1+iii1)?6×( 1 +1+iii+ 1 ) 2×3 4×5 20×21 1×2×3 2×3× 5 10×11×12
= 24×( 1 +1+iii1)?24×( 1 +1+iii+ 1 ) 2×3 4×5 20×21 2×4×3 4× 6× 5 20× 22× 21
? 1 1 1 1 1 1 ?
= 24×?( ?)+ ( ?)+iii+(?)??2×3 2×4×3 4×5 4×6×5 20×21 20× 22× 21 ?
1 1 1
= 24×(++iii)
2×4 4× 6 20× 22
= 6×( 1 + 1 +iii 1 )
1×2 2×3 10×11
= 6×(1?1 )
11
60
=
11
7．计算下列式子的值：
) )
(1 + 1 + 1 + 1 + 1 +iii + 1 )2 + ( 1 + 1 + 1 + 1 +iii + 1 )2 + ( 1 + 1 + 1 +iii + 1 )
2 2
3
4
5 198012 2 3 4 5 198012 3 4 5 198012 +( 1 + 1 +iii + 1 )2 + ( 1 + 1 + i ii + 1 )2 + i ii +( 1 )2 + (1 + 1 + 1 + 1 + 1 +iii + 1 ) 4 5 198012 5
6 198012 198012 2 3 4 5 198012
【分析与解】显然直接求解难度很大，我们试着看看是否存在递推的规律. 显然 12+1=2;
(1 + 1 )2 + ( 1 )2 + (1 + 1
) = 4;
2 2 2
(1 + 1 + 1)2 + ( 1 + 1)2 + ( 1)2 + (1 + 1 + 1
2 3 2 3 3 2 3
= 6;
(1 + 1 + 1 + 1 )2 + ( 1 + 1 + 1)2 + ( 1 + 1)2 + ( 1)2 + (1 + 1 + 1 + 1
2 3 4 2 3 4 3 4 4 2 3 4
所以原式=198012×2=396024．
= 8;
习题
计算 17×18+18×19+19×20+…+29×30 的值． 提示：可有两种方法，整数裂项，利用 1 到 n 的平方和的公式.
答案：(29×30×31-16×17×18)÷3=29×10×31-16×17×6=7358.
第 3 讲多位数的运算
多位数的运算，涉及利用9?99???9＝10k-1，提出公因数，递推等方法求解问题．
k个9
一、9?9?9??9＝10k-1的运用
k个9
在多位数运算中，我们往往运用9?99???9＝10k-1来转化问题；
k个9
如：3?3?3??3×59049
2004个3
我们把3?3?3??3转化为9?99???9÷3，
2004个32004个9
于是原式为3?3?3??3×59049=（9?99???9÷3）×59049=9?99???9×59049=（1?0?0?0??0-1）×
2004个3 19683=19683×1?0?0?0??0-19683
2004个02004个
9
2004个
9
2004个0
而对于多位数的减法，我们可以列个竖式来求解；????20?04个?9 ??
1968299?999999+1
????20?04个?9 ??
1968299?999999+ 1
?19683
如：
????19?99个?9 ??，于是为1?96?82??99???98?0?3?17．
1999个9
1968299?980316+ 1
????19?99个?9 ??
1968299?980317
简便计算多位数的减法，我们改写这个多位数．原式=3?3?3??3×2×3×3×3??3??3
2004个32008个3
=3?3?3??3×2×3×9?99???9
2004个32008个9
=1?9?99????98×（1?0?0?0??0-1）
2003个92008个0
=1?9?99????98×1?0?0?0??0-1?9?99????98
2003个92008个
2003个9
??20?03个?9? ? ??20?08个?9 ? 1999? 97 9999999? 99 + 1 ?1?9?9?9???
98 =
2003个 9
? ??20?03个?9
?? ??20?03个?0
1999?979998 000? 01+ 1 1?99?9???9?79?9?98?0?00???
02 2003个 9
2003个 0
,于是为1?99?9???9?79?9?98?0?00???02.
2003个 9
2003个 0
2．计算1?1?1??1－ 2??2??
2 =A ×A ，求 A ． 2004个1
1002个2
【分析与解】 此题的显著特征是式子都含有1?1?1??
1，从而找出突破口. n 个
1
1?1?1??1－ 2??2??2 =1?1?1??1 0??0??
0 －1?1?1??1 2004个1
1002个
2
1002个1
1002个0
1002个1
=1?1?1??1×（1?0?0?0??
0 -1） 1002个1
1002个0
=1?1?1??1×（ 9?99???
9 ） 1002个1
1002个9
=1?1?1??1×（1?1?1??
1×3×3）=A 2
1002个1
所以，A ＝ 3?3?3??
3 . 1002个3
1002个1
3．计算 6?6?6??6 × 6??6??
6 ×25 的乘积数字和是多少? 2004个6
2003个6
【分析与解】我们还是利用 9?99???9 =1?0?0?0??
0 ? 1 来简便计算，但是不同于上式的是不易得出凑成 k 个9
9??9??
9 ，于是我们就创造条件使用： k 个9
k 个0
2 2
6??6??6× 6?6?6???67 ×25=[ 3 ×（ 9?99???9 ）]×[ 3
×（ 9?99???9 ）+1]×25 2004个6
2003个
6
2004个9
2004个9
=[ 2 ×（1?0?0?0??0 ? 1 ）]×[ 2
×（1?0?0?0??
0 ）+1]×25 3
2004个
3
2004个0
= 1 × 1 ×[2×1?0?0?0??0 -2]×[2×（1?0?0?0??
0 ）+1]×25 3 3
2004个0
2004个0
=
25
×[4×1?0?0?0??0 -2×1?0?0?0??0 -2] 9 4008个
2004个0
=100 ×9?99???9- 50 ×9?99???9
9 4008个9 9
2004个9
=100×1?1?1??1-50×1?1?1??1
4008个12004个1
=1?1?1??1??00?5??55???50(求差过程详见评注)
4008个1 2004个5
=1?11???105??55???50
2004个1 2004个5
所以原式的乘积为1??11???10 ?5?55???50
2004个1 2004个5
那么原式乘积的数字和为1×2004+5×2004=12024．评注：对于1?1?1??1??00?5??55???50的计算，我们再详细的说一说．
4008个1 2004个5
1?1?1??1??00 ?5??55???50
4008个1 2004个5
=1?1?1??1?0?0?0??0+1?1?1??100??5?55???50
2005个12005个0 2003个12004个5
=1?1?1??1?0?99?9??9+1+1?1?1??100??5?55???50
2004个12005个
9 2003个
1
2004个5
=1?1?1??1?04?4?4???49+1?1?1??101
2004个12004个4 2003个1
=1?1?1??1?0?55?5??5
2004个1 2004个5
4．计算2?2?2??2×?2?2?2??2的积?
1998个2 1998个2
【分析与解】我们先还是同上例来凑成9?9?9??9；
k个9 2??2??2×?2?2?2??2
1998个2 1998个2
＝2 ×?
999?9
?
×222?2??????????
9 ?
1998个9?1998个2
2 ??
＝× 1000?0?1× 222?2
???????????
9 ?
1998个0 ?1998个2
1 ??
＝× 1000?0?1× 444?4
???????????
9 ?
1998个0 ?1998个4
＝1 ×?
444?4000?0?444?4
????????????
9 ?
1998个41998个0 1998个4 ?
＝1 ×4??4??435??5??56(求差过程详见评注)
9
1997个41997个5
我们知道4?4?4??4能被 9 整除，商为：049382716．
9个4
又知1997个4，9 个数一组，共221组，还剩下 8 个4，则这样数字和为8×4=32,加上后面的3，则数字和为35，于是再加上 2 个5，数字和为 45，可以被9 整除．
4?4?4??4?3?55能被 9 整除，商为04938271595；
8个4
我们知道5?55???5能被 9 整除，商为：061728395；
9个5
这样 9 个数一组，共221组，剩下的1995个 5 还剩下6 个5，而6 个 5 和1 个、6，数字和36，可以被 9 整除．
5?5?5???56能被 9 整除，商为0617284．
6个5
于是，最终的商为：
49382716?04?93?82?71?6???04?93?82?7?16 04938271595?06?17?28?39?5???06?17?28?3?95 0617284
220个049382716 221个061728395
评注：对于4?4?4??40??0??0- 4??4??4计算，我们再详细的说一说．
1998个4 1998个0 1998个4
4??4??40??0??0- 4??4??4
1998个4 1998个0 1998个4
＝4??44???439??9??9+1-4??4??4
1997个41998个9
＝4??44???435??5??5+1
1997个41998个5
＝4?4?4???435??55???56.
1997个41997个5
1998个4
二、提出公因式
有时涉及乘除的多位数运算时，我们往往需提出公因式再进行运算，并且往往公因式也是和式或者差式等．
5.计算：（1998+19981998+199819981998+
…
（1999+19991999+199919991999…1?99?91?9?99???19?99）×1999
1998个1999
【分析与解】1?99?81?9?98???19?98＝1998×1?00?1?10?01???10?011?99?81?9?98???19?98）÷1998个1998
1998个19981998个1001
原式＝1998（1+10001+100010001+…1?00?11?0?01???10?01）÷［1999×（1+10001+100010001+…
1998个1001
1?00?11?0?01???10?01）］×1999＝1998÷1999×1999＝1998.
1998个1001
6．试求 1993×123×999999 乘积的数字和为多少?
【分析与解】 我们可以先求出 1993×123 的乘积，再计算与(1000000—1)的乘积，但是 1993×123 还是有点繁琐．
设 1993×123=M ，则(1000×123＝)123000 令 M ＝ abcdef 则 M ×999999＝M ×（1000000-1）＝1000000M -M ＝ abcdef 000000- abcdef ＝ abcdef ( f ?1)999999 +1－ abcdef ＝ abcdef ( f ?1)(9 ? a )(9 ? b )(9 ? c )(9 ? d ) (9 ? e )(9 ? f ) +1 ＝ abcdef ( f ?1)(9 ? a )(9 ? b )(9 ? c )(9 ? d )(9 ? e )(9 ? f +1) 那 么 这 个 数 的 数 字 和 为 ： a +b +c +d +e +(f － 1)+(9 － a )+(9 － b )+(9 － c )+(9 － d )+(9 － e )+(9 － f +1)=9×6=54． 所以原式的计算结果的数字和为 54． 评注：M × 9?99??? 9 的数字和为 9×k ．(其中 M 的位数为 x ，且 x ≤k )． k 个 9 7．试求 9×99×9999×99999999×…× 9?99???9 × 9?99???9 × 9?99??? 9 乘积的数字和为多少? 256个9 【分析与解】 512个 9 1024个9 设 9×99×9999×99999999×…× 9?99???9 × 9?99???9 × 9??9?? 9 ＝M ， 256个9 512个 9 1024个9 于是 M × 9?99??? 9 类似 的情况，于是，确定好 M 的位数即可； 1024个9 注意到 9×99×9999×99999999×…× 9?99???9 × 9?99??? 9 ＝M ， 256个9 512个9 则 M <10×100×100013×100000000×…×1?0?0?0??0 ×1?0?0?0??0 ＝1?0?0?0?? 其中 k =1+2+4+8+16+…+512=1024－l =1023； 256个 0 512个0 k 个0 即 M <1?0?0?0?? 0 ，即 M 最多为 1023 位数，所以满足 的使用条件，那么 M 与 9?99??? 9 乘积的 1023个0 1024个9 数字和为 1024×9=10240—1024=9216． 原式的乘积数字和为 9216． 三、递推法的运用有时候，对于多位数运算，我们甚至可以使用递推的方法来求解，也就是通常的找规律的方法．