判定平行四边形五种方法
创作编号：GB8878185555334563BT9125XW
创作者： 凤呜大王*
判别平行四边形的基本方法
如何判别一个四边形是平行四边形呢?下面举例予以说明.
一、运用“两条对角线互相平分的四边形是平行四边形”判别 例1 如图1,在平行四边形ABCD 中,E 、F 在对角线AC 上,且AE =CF ,试说明四边形DEBF 是平行四边形. 分析:由于已知条件与对角线有关，故考虑运用“两条对角线互相平分的四边形是平行四边形”进行判别.为此,需连接BD . 解：连接BD 交AC 于点O .
因为四边形ABCD 是平行四边形,
所以AO =CO ,BO =DO . 又AE =CF ,
所以AO -AE =CO -CF ,即EO =FO .
所以四边形DEBF 是平行四边形.
二、运用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”判别
例2 如图2，是由九根完全一样的小木棒搭成的图形，请你指出图中所有的平行四边形，并说明理由.
分析:设每根木棒的长为1个单位长度，则图中各四边形的边长便可求得，故应考虑运用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”进
行判别.
解：设每根木棒的长为1个单位长度，则AF =BC =1,AB =FC =1, 所以四边形ABCF 是平行四边形.
同样可知四边形FCDE 、四边形ACDF 都是平行四四边形.
因为AE =DB =2,AB =DE =1,所以四边形ABDE 也是平行四边形.
三、运用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”判别 例3 如图3，E 、F 是四边形ABCD 的对角线AC 上的两点，AE =CF ,DF =BE ,DF ∥BE ，试说明四边形ABCD 是平行四边形.
分析: 题目给出的条件都不能直接判别四边形ABCD
是平行四边
图1 图2 A B C D E
F
形，但仔细观察可知，由已知条件可得△ADF ≌△CBE ，由此就可得到判别平行四边形所需的“一组对边平行且相等” 的条件.
解：因为DF ∥BE ，所以∠AFD =∠CEB .
因为AE =CF ,所以AE +EF =CF +EF ，即AF =CE .又DF =BE ,
所以△ADF ≌△CBE ，所以AD =BC ，∠DAF =∠BCE ，
所以AD ∥BC .所以四边形ABCD 是平行四边形.
四、运用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”判别
例4 如图4，在平行四边形ABCD 中，∠DAB 、∠BCD 的平分线分别交BC 、AD 边于点E 、F ，则四边形AECF 是平行四边形吗？
为什么？
分析：由平行四边形的性质易得AF ∥EC ，又题目中给出的是有关角的条件，借助角的条件可得到平行线，故本题应考虑运用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”进行判别.
解：四边形AECF 是平行四边形.
理由：因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AD ∥BC ，∠DAB =∠BCD ，
所以AF ∥EC .又因为∠1=21∠DAB ，∠2=2
1∠BCD ， 所以∠1=∠2.因为AD ∥BC ，所以∠2=∠3，
所以∠1=∠3，所以AE ∥CF .
所以四边形AECF 是平行四边形.
判定平行四边形的五种方法
平行四边形的判定方法有：（1）证两组对边分别平行；（2）证两组对边分别相等；（3）证一组对边平行且相等；（4）证对角线互相平分；（5）证两组对角分别相等。下面以近几年的中考题为例说明如何证明四边形是平行四边形。
一、 两组对边分别平行 如图1，已知△ABC 是等边三角形，D 、E 分别在边BC 、
AC 上，且CD =CE ，连结DE 并延长至点F ，使EF =AE ，
连结AF 、BE 和CF
(1)请在图中找出一对全等三角形，并加以证明；
(2)判断四边形ABDF 是怎样的四边形，并说明理由。 解：（1）选证△BDE ≌△FEC
证明：∵△ABC 是等边三角形，
∴BC =AC ，∠ACD =60°
∵CD =CE ，∴BD =AE ，△EDC 是等边三角形
∴DE =EC ，∠CDE =∠DEC =60°
A F
B D
C E 图1
A C D E F 图4 1 3 2
∴∠BDE=∠FEC=120°
又∵EF=AE，∴BD=FE，∴△BDE≌△FEC
（2）四边形ABDF是平行四边形
理由：由（1）知，△ABC、△EDC、△AEF都是等边三角
形
∵∠CDE=∠ABC=∠EF A=60°
∴AB∥DF，BD∥AF
∵四边形ABDF是平行四边形。
点评：当四边形两组对边分别被第三边所截，易证截得的
同位角相等，内错角相等或同旁内角相等时，可证四边形
的两组对边分别平行，从而四边形是平行四边形。
二、一组对边平行且相等
例2已知：如图2，在正方形ABCD中，G是CD上一点，延长BC到E，使CE=CG，连结BG并延长交DE于F
(1)求证：△BCG≌△DCE；
(2)将△DCE绕点D顺时针旋转90°得到△DAE′，判断四边
形E′BGD是什么特殊四边形？并说明理由。
分析：（2）由于ABCD是正方形，所以有AB∥DC，又
通过旋转CE=AE′已知CE=CG，所以E′A=CG，这样就
有BE′=GD，可证E′BGD是平行四边形。
解：（1）∵ABCD是正方形，
∴∠BCD=∠DCE=90°又∵CG=CE，△BCG≌△DCE
（2）∵△DCE绕D顺时针
旋转90°得到△DAE′，
∴CE=AE′，∵CE=CG，∴CG=AE′，
∵四边形ABCD是正方形
∴BE′∥DG，AB=CD
∴AB-AE′=CD-CG，即BE′=DG
∴四边形DE′BG是平行四边形
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点评：当四边形一组对边平行时，再证这组对边相等，即可得这个四边形是平行四边形
三、两组对边分别相等
例3如图3所示，在△ABC中，分别以AB、AC、BC为边在BC的同侧作等边△ABD，等边△ACE，等边△BCF。
求证：四边形DAEF是平行四边形；
分析：利用证三角形全等可得四边形DAEF的两组对
边分别相等，从而四边形DAEF是平行四边形。
解：∵△ABD和△FBC都是等边三角形
∴∠DBF+∠FBA=∠ABC+∠FBA=60°
∴∠DBF=∠ABC
又∵BD=BA，BF=BC ∴△ABC≌△DBF
∴AC=DF=AE 同理△ABC≌△EFC
∴AB=EF=AD
∴四边形ADFE是平行四边形
点评：题设中存在较多线段相等关系时，可证四边形的两组对边分别相等，从而可证四边形是平行四边形。
四、对角线互相平分
例4已知：如图4，平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于O，AE⊥BD于E，BF⊥AC于F，CG⊥BD于G，DH⊥AC 于H，求证：四边形EFGH是平行四边形。
图4
分析：因为题设条件是从四个顶点向对角线引垂线，这些条件与四边形EFGH的对角线有关，若能证出OE=OG，OF=OH，则问题可获得解决。
证明：∵AE⊥BD，CG⊥BD，
∴∠AEO=∠CGO，
∵∠AOE=∠COG，OA=OC
∴△AOE≌△COG，
∴OE=OG
同理△BOF≌△DOH
∴OF=OH
∴四边形EFGH是平行四边形
点评：当已知条件与四边形两对角线有关时，可证两对角线互相平分，从而证四边形是平行四边形。
五、两组对角相等
例5 将两块全等的含30°角的三角尺如图1摆放在一起四边形ABCD是平行四边形吗？理由。
(1)如图2，将Rt△BCD沿射线BD方向平移到Rt△B1C1D1
的位置，四边形ABC1D1是平行四边形吗？说出你的结论和理由：。
分析：因为题设与四边形内角有关，故考虑四边形的两组内角相等解决问题。
解：（1）四边形ABCD是平行四边形，理由如下：
∠ABC=∠ABD+∠DBC=30°+90°=120°，
∠ADC=∠ADB+∠CDB=90°+30°=120°
又∠A=60°，∠C=60°，
∴∠ABC=∠ADC，∠A=∠C
（2）四边形ABC1D1是平行四边形，理由如下：
将Rt△BCD沿射线方向平移到Rt△B1C1D1的位置时，有Rt△C1BB1≌Rt△ADD1
∴∠C1BB1=∠AD1D，∠BC1B1=∠DAD1
∴有∠C1BA=∠ABD+∠C1BB1=∠C1D1B1+∠AD1B=∠AD1C1，∠BC1D1=
∠BC1B1+∠B1C1D1=∠D1AD+∠DAB=∠D1AB
所以四边形ABC1D1是平行四边形
点评：（2）也可这样证明：由（1）知ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，将
Rt△BCD沿射线BD方向平移到Rt△B1C1D1的位置时，始终有AB∥C1D1，故ABC1D1是平行四边形。
= =
判断平行四边形的策略
在学习了“平行四边形”这部分内容后，对于平行四边形的判定问题，可从以下几个方面去考虑：
一、考虑“对边”关系
思路1：证明两组对边分别相等
例1 如图1所示，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，BC 的垂直平分线DE 交BC 于D ，交AB 于E ，F 在DE 上，并且AF ＝CE .求证：四边形ACEF 是平行四边形.
证明：∵DE 是BC 的垂直平分线，
∴DF ⊥BC ，DB = DC .
∴∠FDB = ∠ACB = 90°.
∴DF ∥AC .∴CE = AE =21AB . ∴∠1 = ∠2 . 又∵EF ∥AC ，AF = CE = AE ，
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∴∠2 =∠1 =∠3 =∠F .
∴△ACE ≌△EF A .
∴AC = EF .
∴四边形ACEF 是平行四边形.
思路2：证明两组对边分别平行
例 2 已知：如图2，在△ABC 中，AB ＝AC ，E 是AB 的中点，D 在BC 上，延长ED 到F ，使ED = DF = EB . 连结FC . 求证：四边形AEFC 是平行四边形. 证明：∵AB ＝AC ，∴∠B =∠ACB .
∵ED = EB ，∴∠B =∠EDB . ∴∠ACB =∠EDB . ∴EF ∥AC .
∵E 是AB 的中点，∴BD = CD .
∵∠EDB =∠FDC ，ED = DF ，
∴△EDB ≌△FDC . ∴∠DEB =∠F .
∴AB ∥CF .
∴四边形AEFC 是平行四边形.
思路3：证明一组对边平行且相等
例3 如图3，已知平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、CD 上的点，AE = CF ，M 、N 分别是DE 、BF 的中点.
求证：四边形ENFM 是平行四边形.
证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD = BC ，∠A =∠C .
又∵AE = CF ，∴△ADE ≌△CBF . ∴∠1 =∠2，DE = BF . ∵M 、N 分别是DE 、BF 的中点， ∴EM = FN . ∵DC ∥AB ，∴∠3 =∠2. ∴∠1 =∠3. ∴EM ∥FN . ∴四边形ENFM 是平行四边形.
二、考虑“对角”关系
思路：证明两组对角分别相等 例4 如图4，在正方形ABCD 中，点E 、
F 分别是AD 、BC 的中点.
求证：（1）△ABE ≌△CDF ；
（2）四边形BFDE 是平行四边形.
证明：（1）在正方形ABCD 中，AB = CD ，AD = BC ，∠A =∠C =
90°，∵AE =21AD ，CF =2
1BC ， ∴AE = CF . ∴△ABE ≌△CDF .
（2）由（1）△ABE ≌△CDF 知，∠1 =∠2，∠3 =∠4.
∴∠BED =∠DFB .
∵在正方形ABCD 中，∠ABC =∠ADC ，
∴∠EBF =∠EDF .
∴四边形BFDE 是平行四边形.
三、考虑“对角线”的关系
思路：证明两条对角线相互平分
例5 如图5，在平行四边形ABCD 中， P 1、P 2是对角线BD 的
三等分点.
求证：四边形AP 1CP 2是平行四边形.
证明：连结AC 交BD 于O .
∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴OA = OC ，OB = OD . ∵BP 1 = DP 2 ，∴OP 1 = OP 2 .
∴四边形AP 1CP 2是平行四边形. 平行四边形的识别浅
析 平行四边形是初中数学中的基本图形，正确识别平行四边形，是进一步学习矩形、菱形和正方形的基础。识别平行四边形是利用边、角和对角线的特点，而且只需要两个条件，为了更加清楚哪些条件能或不能识别平行四边形，我们把这些条件总结如下。
1利用定义或定理直接识别平行四边形
1.1两组对边分别平行，如图1,AB ∥CD ,AD ∥BC 。
1.2两组对边分别相等，如图1,AB =CD ,AC =BC 。
1.3两组对角分别相等，
如图1,∠ABC =∠ADC ,∠BAD =∠BCD 。
1.4一组对边平行且相等，如图1,AB ∥CD ,AB =CD 。
1.5两条对角线互相平分，如图1,OA =OC ,OB =OD 。
2利用定义和定理间接识别平行四边形
2.1一组对边平行且一组对角相等，如图
1,AB ∥CD ,∠ABC =∠ADC 。
证明：∵AB ∥CD ∴∠ABC +∠BCD =180° 又
∵∠ABC =∠ADC ∴∠ADC ＋∠BCD ＝180° ∴AD ∥BC ∴四边形ABCD 是平行四边形(两组对边分别平行)
2.2一组对边平行且两条对角线交点平分一条对角线，如
图1, AB ∥CD ，OA =OC 。
证明：∵AB ∥CD ∴∠BAC =∠DCA 在⊿AOB 和⊿COD 中，∠BAC =∠DCA ，OA =OC ，∠AOB =∠COD ∴⊿AOB ≌⊿COD (ASA ) ∴AB =CD ∴四边形ABCD 是平行四边形（一组对边平行且相等）
2.3两组邻角互补，而且两组邻角要有一个公共角，
如图1,∠DAB +∠ABC =180°,∠ABC +∠BCD =180°。
证明：∵∠DAB +∠ABC =180° ∴AD ∥BC 又∵∠ABC +∠BCD =180°
∴AB ∥CD ∴四边形ABCD 是平行四边形（两组对边平行）
图1C A
3不能识别为平行四边形
3.1两组不同的邻角互补，
如图2,∠A +∠B =180°, ∠C +∠D =180°,可以画出梯形。
3.2识别平行四边形的条件涉及的边、角相等关系都是对边对角，涉及邻边邻角相等的都不能做为平行四边形识别的条件。两组邻边相等，如图3, AB =AD ,CB =CD ,不一定是平行四边形。两对邻角相等，如图4, ∠A =∠D ,∠B =∠C ,可以画出等腰梯形。
3.3一组对边平行且另一组对边相等， 如图4,AD ∥BC ,AB =CD ,也可以画出等腰梯形。 3.4
形。反例作图方法,如图5：①作∠ABC ,在边BA A ,在边BC 上确定点C ,②过点A 、B 、C 作⊙O 1,③以点圆心，以线段AB 长为半径作⊙C ,④以AC 为弦作⊙O 1圆⊙O 2,交⊙C 于D 、E 两点，则四边形ABCD 形，而四边形ABCE AB =CE ,∠ABC =∠AEC 。
3.5一组对边相等，对角线交点平分一条对角
线，不一定是平行四边形。反例作图方法,如图6：①作线段AB ,②过线段AB 的中点O 作直线CD ,③过点B 作BE ⊥CD ,垂足为E ,④以点E 为圆心，小于线段OE 的长为半径作⊙E ,交CD 于F 、G 两点，⑤以点A 为圆心，BF 长为半径作⊙A ,交直线CD 于H 、I 两点，则四边形AGBH 和四边形AFBI 为
平行四边形，而四边形AGBI 和四边形AHBF 即为符合条件的非平行四边形，如在四边形AGBI 中，AI =BG ,OA =OB 。
说明一个四边形是平行四边形的思路
山东 于秀坤
平行四边形是最基本、最重要的一类特殊四边形．如何说明一个四边形是平行四边形呢？要说明一个四边形是平行四边形，一般可以根据题目中所给的条件，分别通过下列的思路进行说明．
一、当已知条件出现在四边形的一组对边上时，考虑采用“两组对边分别平行或相等的四边形是平行四边形”或“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”．
例1 如图1，在△ABC 中，AD 是角的平分线，DE //AC 交AB 于点E ，EF //BC 交AC 于点F ，试说明AE =CF ．
图4C D 图6 D C
图1
分析：由AD 是角的平分线，可知∠1=∠2，由DE //AC ，可知∠2=∠3，所以∠1=∠3，即可得AE =ED ，要说明AE =CF ，可转化为说明ED =EC ，因此，只需说明四边形EDCF 是平行四边形就可以了．
解：因为∠1=∠2，∠2=∠3，所以∠1=∠3，所以AE =ED ， 又因为DE //AC ，EF //BC ，所以四边形EDCF 是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）．
所以ED =CF ，所以AE =CF ．
二、当已知条件出现在四边形是对角上时，考虑“采用两组对角分别相等的四边形是平行四边形”．
例2 如图2，AE 、CF 分别是 的内角∠DAB 、∠BCD 的平分线，试说明四边形AECF 是平行四边形．
图2
解：在 ABCD 中，因为∠DAB =∠BCD ，又因为
∠1=21∠DAB ，∠2=2
1∠BCD ， 所以，∠1=∠2，
因为AB //CD ，所以∠3=∠1，∠4=∠2，
所以∠3=∠4，所以∠5=∠6，
所以四边形AECF 是平行四边形．
三、当已知条件出现在四边形的对角线上时，考虑采用“两条对角线互相平分的四边形是平行四边形”
例3 如图3，在□ABCD 中，AC 、BD 相交于O ，EF 过O 分别交AD 、BC 于E 、F ，GH 过O 分别AB 、CD 交于G 、H ．试说明四边形
EGFH 是平行四边形．
图3
解：在□ABCD 中，因为AB //CD ，所以∠1=∠2，
因为OA =OC ，∠3=∠4，所以△AOG ≌△COH ，所以OG =OH ， 同理OE =OF ，
所以四边形EGFH 是平行四边形． 构造平行四边形解题
山东 邹殿敏
平行四边形是一种特殊的四边形，它的对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分．许多几何问题可以通过添加辅助线，构造平行四边形加以解决．
一、求线段的长
例１如图1，在正△ABC 中，P 为边AB 上一点，Q 为边AC 上一点，且AP =CQ ．今量得A 点与线段PQ 的中点M 之间的距离是19cm ，则P 点到C 点的距离等于 cm ．
分析：作QD //AB ，交BC 于点D ，连接PD ，MD ．由△ABC 为正三角形，易知BP =BD ，AP =DQ ，所以四边形APDQ 为平行四边形．所以AMD 是平行四边形APDQ 的对角线．所以AD =2AM =2×19=38（cm ）．由△ABD ≌△CBP 可得PC =AD ．所以PC =38cm ．
二、证明线段相等问题 例2 如图2，在梯形ABCD 中，AD //BC ，AB =CD ，延长CB 到E ，使EB =AD ，连接AE ．求证：AE =AC ． 分析：连接BD ．由AD 与BE 平行且相等，易知四边形AEBD 是平行四边形，所以BD =AE ．因为AC =BD ，所以AE =AC ． 三、证明线段和差问题
例3 如图3，△ABC 中，D ，F 是AB 边上两点，且AD =BF ，作
DE //BC ，FG //BC ，分别交AC 于点E ，G ．求证：DE +FG =BC ．
分析：作GH //AB 交BC 于点H ．则四边形BHGF 是平行四边形．所以GH =BF =AD ，FG =BH ．因为DE //BC ，GH //AB ，所以∠1=∠C ，∠A =∠2．所以△ADE ≌△GHC ．所以DE =HC ．因为BH +CH =BC ，
B D
C P A
M Q
图1 E B C A D
所以DE +FG =
例4 如图中DC
点，且CE =DC 于点F ，G BD 于O ，连接“CF ，AO =OC ，所以△CAB 的中位线，从而得出AB =2OF ． 五、证明两直线平行问题
例5 如图5，△ABC 中，
E ，
F 分别是AB ，BC 边的中点，M ，N 是AC 的三等分点，EM ，FN 的延长线交于点D ．求证：AB //CD ． 分析：连接BD 交AC 于点O ，连接BM ，BN ．
由AE =BE ，AM =MN 可得ED
//BN ；由BF =CF ，MN =NC 可得BM //FD ．所以四边形BMDN 是平行四边形．所以OB =OD ，OM =ON ．所以OA =OC ．由此可得出四边形ABCD 是平行四边形．所以AB //CD ． 例6方形ABEF 分析：设连接FN ，∠AFN +∠F ∠AFN =∠BAC ．因为AF =AB ，所以△AFN ≌△BAC 因为∠1+∠3=90°，所以∠2+∠3=90°，所以∠出MA ⊥BC ．
创作编号：
GB8878185555334563BT9125XW
创作者： 凤呜大王*
图3