高一下学期数学期末试卷含答案(共5套)
高一下学期期末考试数学试题
第Ⅰ卷 选择题
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合{}A |2,x x x R =≤∈，集合B 为函数y lg(1)x =-的定义域，则B A I （ ） A ．(1,2) B ．[1,2] C ．[1,2) D ．(1,2]
2.已知2
0.5log a =，0.5
2
b =，2
0.5c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）
A ．a b c <<
B ．c b a <<
C ．a c b <<
D ．c b a <<
3.一个单位有职工800人，其中高级职称160人，中级职称300人，初级职称240人，其余人员100人，为了解职工收入情况，现采取分层抽样的方法抽取容量为40的样本，则从上述各层中依次抽取的人数分别为（ ）
A ．15,24,15,19
B ．9,12,12,7
C ．8,15,12,5
D ．8,16,10,6 4.已知某程序框图如图所示，若输入实数x 为3，则输出的实数x 为（ ）
A ．15
B ．31 C.42 D ．63 5.为了得到函数4sin(2)5y x π
=+，x R ∈的图像，只需把函数2sin()5
y x π
=+，x R ∈的图像上所有的点（ ）
A ．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标伸长到原来的2倍．
B ．纵坐标缩短到原来的
1
2
倍，横坐标伸长到原来的2倍．
C ．纵坐标缩短到原来的
12倍，横坐标缩短到原来的1
2倍． D ．横坐标缩短到原来的1
2倍，纵坐标伸长到原来的2倍．
6.函数()1
ln f x x x
=-的零点所在的区间是（ ）
A ．(0,1)
B ．(1,2) C.(2,3) D ．(3,4)
7.下面茎叶图记录了在某项体育比赛中，九位裁判为一名选手打出的分数情况，则去掉一个最高分和最低分后，所剩数据的方差为（ ）
A ．
327 B ．5 C.307
D ．4 8.已知函数()2
2
2cos 2sin 1f x x x =-+，则（ ）
A ．()f x 的最正周期为2π，最大值为3．
B ．()f x 的最正周期为2π，最大值为1． C.()f x 的最正周期为π，最大值为3． D ．()f x 的最正周期为π，最大值为1．
9.平面向量a r 与b r 的夹角为23
π，(3,0)a =r ，||2b =r ，则|2|a b +=r r （ ）
A C.7 D ．3 10.已知函数2log (),0
()(5),0
x x f x f x x -
-≥?，则()2018f 等于（ ）
A ．1-
B ．2 C.()f x D ．1
11.设点E 、F 分别为直角ABC ?的斜边BC 上的三等分点，已知3AB =，6AC =，则AE AF ?u u u r u u u r
（ ）
A ．10
B ．9 C. 8 D ．7
12.气象学院用32万元买了一台天文观测仪，已知这台观测仪从启动的第一天连续使用，第n 天的维修保养费为446(n )n N *
+∈元，使用它直至“报废最合算”（所谓“报废最合算”是指使用的这台仪器的平均每天耗资最少）为止，一共使用了（ ）
A ．300天
B ．400天 C.600天 D ．800天
第Ⅱ卷 非选择题
二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.已知θ为锐角且4tan 3θ=
，则sin()2
π
θ-= ． 14.A 是圆上固定的一点，在圆上其他位置任取一点B ，连接A 、B 两点，它是一条弦，它的长度不小于半径的概率为 ．
15.若变量x ，y 满足2425()00x y x y f x x y +≤??+≤?
=?≥??≥?，则32z x y =+的最大值是 ．
16.关于x 的不等式2
32
x ax >+（a
为实数）的解集为，则乘积ab 的值为 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 在ABC ?中，角A ，B C ，所对应的边分别为a ，b ，c ，且5a =，3
A π
=
，cos B =
（1）求b 的值； （2）求sin C 的值．
18. 已知数列{}n a 中，前n 项和和n S 满足22n S n n =+，n N *
∈．
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设1
2
n n n b a a +=
，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 19. 如图，在ABC ?中，点P 在BC 边上，AC AP >，60PAC ∠=?
，PC =10AP AC +=．
（1）求sin ACP ∠的值；
（2）若APB ?
的面积是，求AB 的长．
20. 已知等差数列{}n a 的首项13a =，公差0d >．且1a 、2a 、3a 分别是等比数列{}n b 的第2、3、4项． （1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；
（2）设数列{}n c 满足2 (n 1)(n 2)n n n
a c a
b =?=??≥?，求122018
c c c +++L 的值（结果保留指数形式）．
21.为响应党中央“扶贫攻坚”的号召，某单位知道一贫困村通过种植紫甘薯来提高经济收入．紫甘薯对环境温度要求较高，根据以往的经验，随着温度的升高，其死亡株数成增长的趋势．下表给出了2018年种植的一批试验紫甘薯在不同温度时6组死亡株数：
经计算：
61
5705i i i x y ==∑，62
1
4140i
i x ==∑，6
21
10464i i y ==∑
≈0.00174．
其中i x ，i y 分别为试验数据中的温度和死亡株数，1,2,3,4,5,6.i =
（1）y 与x 是否有较强的线性相关性？请计算相关系数r （精确到0.01）说明．
（2）求y 与x 的回归方程???+a y bx =（?b 和?a 都精确到0.01）；
（3）用（2）中的线性回归模型预测温度为35C ?时该批紫甘薯死亡株数（结果取整数）． 附：对于一组数据11(,v )u ，22(,v )u ，L L ，(,v )n n u ，
①线性相关系数n
i i u v nu v
r -=
∑，通常情况下当|r |大于0.8时，认为两个变量具有很
强的线性相关性．
②其回归直线??v u α
β=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为： 12
2
1
?n
i i i n
i
i u v nu v
u
nu β
==-=-∑∑，???a
v u β=-；
22.已知函数()2
lg(
a)1
f x x =+-，a R ∈． （1）若函数()f x 是奇函数，求实数a 的值；
（2）在在（1）的条件下，判断函数()y f x =与函数lg(2)x
y =的图像公共点各数，并说明理由；
（3）当[1,2)x ∈时，函数lg(2)x y =的图像始终在函数lg(42)x
y =-的图象上方，求实数a 的取值范围．
答案
一、选择题答案
9. 【解析】方法1： (1,b =-,2(1,a b +=±,|2|13a b +=。 方法2
：22
2
|2|(2)
44912
a b a b a ab b +=
+=++=-=12. 【解析】设一共使用了n 天，则使用n 天的平均耗资为
(50446)n
32000032000022482n n n
+++
=++，
当且仅当
3200002n n =时，取得最小值，此时400n =。 二、填空题答案
13：35-
， 14：23
， 15：7 16
：9
2
16
【解析】不等式23
02
ax x -+<解集为，所以0a >且
123
22a a ?
=?
??
?=??
解得
18a =，36b
=所以92a b ?=。 17解：（1）在ABC ?中，cos B =
，0B π<< (0)2
π
B ===
， 又
5a =，3
A π
=
，由正弦定理
sin sin a b
A B
=
得 5
sin
3
π
= 解得b =。 （2）
3
A π
=
，A B C π++=，
2sin sin(A )sin(
B)3
C B π
π∴=--=-，
1
sin 2
B B =
+，
(1
sin sin(A B)sin(A B)sin 2
C B B π∴=--=+=
+)
又cos B =
，由（1
）知，sin B =，
1sin 252510
C ∴=
+?=
。 17（2）解法2：由（1
）知3b =
，又5a =
，cos 5
B =， 由余弦定理2222cos b a c ac B =+-得
22(
252535
c c =+-??
，整理得23550c -+=，
解得c = 又因为在ABC ?
中，cos B =
>
，6B π<，2
C A π
∴>> 5C ∴>
，5c =>，
25-5c =<（）
， 由正弦定理
a sin sin
3
c
C π
=
3sin C
=，
解得
sin 10
C =
（或由
b sin sin c
B C
=
，求出sin C ） 18解：（1）
22n S n n =+，n N *∈..................①
当1n =时，113a S ==，
当2n ≥时，221(n 1)2(n 1)n 1n S -=-+-=-.................② ②-①得121n n n a S S n -=-=+，2n ≥， 又 13a = 也满足21n a n =+，
所以数列{}n a 的通项公式21n a n =+.n N *∈
(2) 由（1）知21n a n =+，所以12(n 1)2n 3n a +=+=+，n N *∈，
12211
(2n 1)(2n 3)2123
n n n b a a n n +=
==-
++++，n N *∈ 所以数列{}n b 的前n 项和12n n T b b b =++
111111
35572123
n n =-+-++
-
++ 11
323n =-
+ 269
n
n =
+ 19解：（1）在APC ?中，60PAC ∠=?，PC =10AP AC +=, 由余弦定理得222(10AP)2(10AP)cos 60PC AP AP =+---?，
2228(10AP)(10AP)AP AP =+---
整理得210240AP AP -+=，解得4AP =或6AP =, 因为AC AP >，所以4AP =，6AC
=, 由正弦定理
sin sin AP PC
ACP PAC
=
∠∠得
4sin ACP =∠， 解得sin 7
ACP ∠=
。 （2）因为60PAC ∠=
?,由（1）知4AP =，6AC =. 所以APC ?的面积1
46sin 60
2
APC S ?=
???=
又APB
?
的面积是ACB ?的面积ACB S ?==
由（1
）知sin ACP ∠=
，
11sin 622ACB S CB CA ACP CB ?=??∠=?=，
解得CB =
又因为AB AC <，所以ACP ∠必为锐角，
cos 7
ACP ∠===
， 在ABC ?中，由余弦定理得2222cos AB CA CB CA CB ACP =+-??∠，
226267
=+-?? 91=
AB ∴=19（1）解法2：设ACP θ∠=，在APC ?中，由正弦定理得
sin sin
sin()
3
3
PC AP AC
π
πθθ=
=
+，
10
sin sin())
36AP AC ππθθθ+==
+++，
sin()6πθ∴+=
， 又
AP AC <，10AP AC +=
，AP 5∴<<
3
π
θ∴<
，6
2
π
π
θ∴+
<
，
cos()6πθ∴+==
sin ACP sin sin()66
π
π
θθ∴∠==+
-
sin()cos
cos()sin 6
666
π
πππ
θθ=+
-+
11421427
=
?-=
（2）解法2：由（1
）知sin 7ACP ∠=
，在APC ?中，由正弦定理得sin sin 3
PC AP
ACP π=
∠ 解得4AP =，6AC ∴=，
在APC ?
中，由余弦定理得222cos 14APC ∠==
，
cos cos APB APC ∠=-∠=
sin sin APB APC ∠=∠==
又APB ?
的面积是，
142APB S PB ?∴=??=，
解得PB =
在APB ?中，由余弦定理得，
222424(91AB =+-??=
AB =20解：（1）由题意知等差数列{}n a 中13a =，且1a 、2a 、3a 成等比，
2215a a a ∴=?
即2(3d)3(34d)+=+，又0d >，解得6d =
所以数列{}n a 的通项公式为
1(n 1)d 36(n 1)6n 3n a a =+-=+-=-，n N *∈
再由题意得等比数列{}n b 中，213b a ==，326239b a ==?-=， 设等比数列{}n b 公比为q ，则329
33
b q b =
==， 21313
b b q ∴=
== 数列{}n b 的通项公式为1111133n n n n b b q ---=?=?=，n N *∈ (2212333n n n n b b q ---=?=?=，n N *∈)
（2）由（1）得63n a n =-，n N *∈，13n n b -=，n N *∈，
所以219, (n 1)
9 , (n 1), (n 1)(n 2)(63)3,(n 2)(2n 1)3(n 2)
n n n
n n a c a b n -===???===?
???≥-?≥-?≥??? 设数列{}n c 的前n 项的和为n T ， .2018122018T c c c =++
33420189+33+53+73++22018-13=?????（） ..........①
2342018201920183T =33+33+53+22017-13+22018-13???????（）（）..........②
①-②得24201820192018-2T 92(333)40353=+++
-?
34201820192(333)
94035313
++=+-?-
20194034318=-?-
所以20192018201739T =?+
所以122018c c c ++
的值为2019201739?+
21.解：（1）因为212324272932
266
x +++++=
=
所以61120275777
336
y +++++==，
所以n
i i
x y nx y
r -=
∑
=
5570.001740.8=
=≈?>
所以y 与x 有较强的线性相关性 （2）由（1）知26x =，33y =，
所以1
222
1
570562633557
? 6.63414062684
n
i i
i n
i
i x y nx y
b
x
nx ==--??==
=≈-?-∑∑
??33 6.6326139.38a
y bx =-≈-?=- 所以y 关于x 的回归方程为? 6.63139.38y x =-
（3）由（2）知y 关于x 的回归方程为? 6.63139.38y x =- 当35C x =?时，? 6.6335139.3892.6793y =?-=≈
22.解：（1）因为()f x 为奇函数，所以对于定义域内任意，都有()()0f x f x +-=， 即12lg lg 011a a x x ????
+++=
? ?---????， ∴22111a a x x ????
+
?-= ? ?-+?
???
， 显然1x ≠，由于奇函数定义域关于原点对称，所以必有1x ≠-.
上面等式左右两边同时乘以()()11x x -+得
()()2
12121a x a x x -+?+-=-????????
，化简得 ()()2
221430a
x a a ---+=，
上式对定义域内任意恒成立，所以必有2210430
a a a ?-=??-+=??，
解得1a =
（注意：本小题中在未知函数定义域的前提下，如果代入特殊数字计算出结果1a =是不科学的，本小题不能得分）
（2）由（1）知1a =，所以()2lg 11f x x ??=+ ?-??，即()1
lg
1
x f x x +=-， 由
1
01
x x +>-得1x <-或1x >， 所以函数()f x 定义域()(),11,D =-∞-+∞U 由题意，要求方程1
lg
lg 21
x x x +=-解的个数，即求方程 2
2101
x x -
-=-在定义域D 上的解的个数. 令()2
211x F x x =---，显然()F x 在区间(),1-∞-和()1,+∞均单调递增，
又()2
2112210343F --=--=-<-
，323212105252
F -??-=-
-=-> ???-
且3
2322150122
F ??=--=< ???
，()22221101F =--=>
所以函数()F x 在区间32,2??-- ???和3,22??
???
上各有一个零点， 即方程2
2101
x x -
-=-在定义域D 上有2个解， 所以函数()y f x =与函数lg 2x y =的图象有2个公共点 （附注：函数1
1
x y x +=
-与2x y =在定义域()(),11,D =-∞-+∞U 上的大致图象如图所示）
（3）要使[)1,2x ∈时，函数()2x y f =的图象始终在函数()
lg 42x y =-的图象的上方， 必须使
24221
x
x
a +>--在[)1,2x ∈上恒成立， 令2x t =，则[)2,4t ∈，上式整理得()2560t a t a +-+->在[)2,4t ∈恒成立. 令()()256g t t a t a =+-+-，[)2,4t ∈. ① 当
522
a
-≤，即1a ≥时，()g t 在[)2,4上单调递增， 所以()()()min 2425610g t g a a a ==+-+-=≥>??
?
?，恒成立；
②当
542
a
-≥，即3a ≤-时，()g t 在[)2,4上单调递减， 只需()4320g a =+≥，解得2
3
a ≥-与3a ≤-矛盾
③当5242
a
-<<，即31a -<<时，
()g t 在52,2a -??????上单调递减，在5,42a -??????
上单调递增，
所以由()2
min
561024a a a g t g --+-??==
>?? ???
??
，解得33a -<<+ 又
31a -<<，所以31a -<< 绝密★启用前
试卷类型：A
汕头市2017~2018学年度普通高中教学质量监测
高一数学试题答案
一、选择题答案
9【解析】方法1：，
方法2：
12.【解析】设一共使用了天，则使用天的平均耗资为,当且仅当时，取得最小值，此时n＝400.
二、填空题答案
13：， 14：， 15： 16 ：
16【解析】不等式解集为，所以且
解得,所以.
17解：（1）在中，， (1)
分
..............................3分
又，由正弦定理得.........................................4分
，..........................................5分
解得..........................................6分
（2），，.......................................7分
...................8分
..................9分
() 又，由（1）知，...................10分
...................11分
17（2）解法2：由（1）知，又，，
由余弦定理得
，整理得，
解得，...................8分
又因为在中，，，
，，，...................9分
由正弦定理，得，...................10分
解得...................11分
18解：（1），..................①................................1分当时，，................................2分
当时，.................
②................................3分
②-①得，................................4分
又也满足，................................5分
所以数列的通项公式................................6分
(2)由（1）知，所以， (7)
分
， (8)
分
所以数列的前项和
................................9分
...............................10分
.................................11分
19解：（1）在中，，，
，...............................1分
由余弦定理得
，...............................2分
整理得，解得或， (3)
分
因为，所以，，...............................4分
由正弦定理得，.............................5分
解得. ..............................6分
（2）因为,由（1）知，.
所以的面积，..............................7分
又的面积是，所以的面积.....................8分
由（1）知，
，
解得，..............................9分
又因为，所以必为锐角，
，..............................10分
在中，由余弦定理得，
...............................11分
...............................12分
19（1）解法2：设，在中，由正弦定理得，..........1分
，..............2分
， ..............3分（第19题图）
又，，，
，..............4分
，..............5分
.............................6分（2）解法2：由（1）知，在中，由正弦定理得
解得，，.............................7分
在中，由余弦定理得，
，............................8分
............................9分
又的面积是，，
解得，...........................10分
在中，由余弦定理得，
，...........................11分
...............................12分
20解：（1）由题意知等差数列中，且、、成等比，
，...............................1分
即，又，解得...............................2分
所以数列的通项公式为
................................3分再由题意得等比数列中，，，
设等比数列公比为，则，...............................4分
...............................5分数列的通项公式为. ..............................6分
()
（2）由（1）得，，，，
........................