中考复习相似三角形中考题专项复习

相似三角形的性质与判定

1、如图，已知正方形ABCD中，点E是对角线BD上一点，连接AE，以AE为边作正方形AEFG，使得点F在CD边上，连接DG。若AB＝3，BE＝2，求tan∠GFD的值。

知识点相似三角形的性质与判定

【知识梳理】

1、相似三角形的概念

对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形。相似用符号“∽”来表示，读作“相似于”。相似三角形对应边的比叫做相似比。

2、相似三角形的判定方法

（1）常规方法

①定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。

②平行法：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。

用数学语言表述如下：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC

③判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似，可简述为两角对应相等，两三角形相似。

④判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似，可简述为两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。

⑤判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似，可简述为三边对应成比例，两三角形相似。

（2）直角三角形相似的判定方法

①以上各种判定方法均适用

②定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。

③垂直法：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似。

3、相似三角形的性质

（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例；

（2）相似三角形对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比；

（3）相似三角形周长的比等于相似比；

（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。

4、位似图形

（1）位似图形的概念：如果一个图形的点与另一个图形上的点分别对应，并且它们的连线都经过同一个点，那么这两个图形叫做位似图形，这个点是位似中心。

由一个图形得到它的位似图形的变换叫做位似变换。利用位似变换可以把一个图形放大或缩小。

（示例1） （示例2）

（2）位似图形的性质

①每一组对应点和位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比都等于位似比； ②位似图形的对应边互相平行。

【例题精讲】直击中考

例1. 1、（2010·武汉）已知：线段OA ⊥OB ，点C 为OB 中点，D 为线段OA 上一点。连结AC ，BD 交于点P 。

若OA ＝OB ，且D 为OA 中点，则

AP

PC

＝ 。 2

（2009·武汉）2、如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，BD ⊥DC ，BD ＝DC ，CE 平分∠BCD ，交AB 于点E ，交BD 于点H ，EN ∥DC 交BD 于点N 。下列结论：①BH ＝DH ； CH ＝（2＋1）EH ；●

ENH EBH S S ??＝EH

EC

；其中正确的是 。（填序号即可）

（2017·武汉）3、已知四边形ABCD 的一组对边AD 、BC 的延长线交于点E 。 （1）如图1，若∠ABC ＝∠ADC ＝90°，求证：ED ·EA ＝EC ·EB ；

（2）如图2，若∠ABC ＝120°，cos ∠ADC ＝53，CD ＝5，AB ＝12，△CDE 的面积为6，求四边形ABCD 的面积；

（3）如图3，另一组对边AB 、DC 的延长线相交于点F ．若cos ∠ABC ＝cos ∠ADC ＝5

3

，CD ＝5，CF ＝ED ＝n ，直

接写出AD 的长（用含n 的式子表示）。

525

6

n n ＋＋

4、（2016·武汉）在△ABC中，P为边AB上一点．

（1）如图1，若∠ACP＝∠B，求证：AC2＝AP?AB；

（2）若M为CP的中点，AC＝2．

①如图2，若∠PBM＝∠ACP，AB＝3，求BP的长；（法一：取PA中点得中位线；法二：过P作AC平行线）

－

②如图3，若∠ABC＝45°，∠A＝∠BMP＝60°，直接写出BP的长。71

5、（2015·武汉）如图，△ABC 中，点E 、P 在边AB 上，且AE ＝BP ，过点E 、P 作BC 的平行线，分别交AC 于点F 、Q ．记△AEF 的面积为S 1，四边形EFQP 的面积为S 2，四边形PQCB 的面积为S 3。 （1）求证：EF ＋PQ ＝BC ； （2）若S 1＋S 3＝S 2，求AE

PE

的值； （3）若S 3－S 1＝S 2，直接写出

AE

PE

的值。

（备用图）

【课堂练习】

（2014·武汉）1、如图，线段AB 两个端点的坐标分别为A(6，6)、B(8，2)，以原点O 为位似中心，在第一象限内将线段AB 缩小为原来的1

2

后得到线段CD ，则端点C 的坐标为（ ） A ．（3，3）

B ．（4，3）

C ．（3，1）

D ．（4，1）

（2015·武汉）2、已知锐角△ABC 中，边BC 长为12，高AD 长为8。

（1）如图，矩形EFGH 的边GH 在BC 边上，其余两个顶点E 、F 分别在AB 、AC 边上，EF 交AD 于点K 。 ① 求

AK

EF

的值； ② 设EH ＝x ，矩形EFGH 的面积为S ，求S 与x 的函数关系式，并求S 的最大值； （2）若AB ＝AC ，正方形PQMN 的两个顶点在△ABC 一边上，另两个顶点分别在△ABC 的另两边上，直接写出正方形PQMN 的边长。

3、（2014·武汉）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5 cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4 cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接P Q。

（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；（2）连接AQ、CP，若AQ⊥CP，求t的值；

（3）试证明：PQ的中点在△ABC的一条中位线上。

4、（2011·武汉）（1）如图1，在△ABC中，点D，E，Q分别在AB，AC，BC上，且DE∥BC，AQ

交DE于点P。求证：DP PE BQ QC

。

（2）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上，连接AG，AF分别交DE于M，N两点。

①如图2，若AB＝AC＝1，直接写出MN的长；

②如图3，求证MN2＝DM·EN。

1、（2015·武汉）如图，在直角坐标系中，有两点A （6，3）、B （6，0）。以原点O 为位似中心，相似比为3

1，在第一象限内把线段AB 缩小后得到线段CD ，则点C 的坐标为（ ） A ．（2，1）

B ．（2，0）

C ．（3，3）

D ．（3，1）

（第1题） （第2题）

2、等边△ABC 的边长为6，在AC ，BC 边上各取一点E ，F ，连接AF ，BE 相交于点P ，AE ＝2，BF ＝4，则BP ·BE 等于 。

3、如图，AB 是⊙O 的直径，PA ，PC 是⊙O 的切线，A ，C 是切点，PB 交⊙O 于点D 。 （1）求证：∠APC ＝2∠BDC ； （2）若CD ∥AB ，求

AP

BP

的值。

4、（2009·武汉）如图1，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于D ，点O 是AC 边上一点，连接BO 交AD 于F ，OE ⊥BC 交BC 边于点E 。

（1）求证：△ABF ∽△COE ； （2）当O 为AC 边中点，

2AC AB ＝时，如图2，求

OF

OE

的值； （3）当O 为AC 边中点，

AC n AB ＝时，请直接写出

OF

OE

的值。

（武汉）5、已知四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、AD 边上的点，DE 与CF 交于点G 。 （1）如图①，若四边形ABCD 是矩形，且DE ⊥CF ，求证

； （2）如图②，若四边形ABCD 是平行四边形，试探究：当∠B 与∠EGC 满足什么关系时，使得成立？并证明你的结论；

（3）如图③，若BA ＝BC ＝6，DA ＝DC ＝8，∠BAD ＝90°，DE ⊥CF ，请直接写出

的值。

（图①） （图②） （图③）

CD

AD

CF DE =CD

AD

CF DE =CF

DE