于是,234)2(2)106(2
-<--=-+-x x x x x ,对0>?ε,为了
ε<-+-2)106(2
x x ,只要δε=<-32x 即可,从而证明如下:
证:0>?ε,03>=?εδ,只要δ<-<20x ,就必有ε<-+-2)106(2
x x
成立,故 2)106(lim 2
2
=+-→x x x .
评注:以上的证法就是函数极限的“δε-论证法”,虽然抽象,但很严密,望认真体会.
2.(1)证:∵
212112122
22x x
x
x x ≤=-++-,∴0>?ε,取2
ε
δ=,只要δ<-<00x ,就必
有
ε<≤=-++-212112122
2
2
x x
x
x x 成立,故 1lim 22
110
=+-→x x x . (2)证:∵
3
43
1
2221++-=
-x x x ,∴0>?ε,取34
-=
ε
X (10<<ε)
,则当X x >时,必有
ε<=
-++-3
43
1
2221x x x 成立,故 1lim 3
12
2=+-∞→x x x . 当01.0=ε时,397=X .
评注:(2)的证法就是函数∞→x x f )(当时极限的“X -ε论证法”,望认真体会.
3.(1)1)00( ,1)00(=+-=-f f ,所以,)(lim 0
x f x →不存在;
(2)0)00( ,1)00(=+=-f f ,所以,)(lim 0
x f x →不存在; 而 1)(lim 1
=→x f x .
4.??
?
??>-><-=. 0 ,1, 0 ,1 ,
0 ,1)(为无理数且为有理数且x x x x x x f
§1.5
1.无穷小B 、C ; 无穷大A 、D ; 非无穷小与无穷大E 、F .
2.无界但非无穷大(因为:一方面,在+∞→x 的过程中,总有这样的)(N ∈=n n x π,使得πππn n n x f ==cos )(可以大于你事先给定的任何大数0>M (只要n 适当大即
可),∴当+∞→x 时,)(x f 无界(从而也在),(+∞-∞内无界);但另一方面,在+∞→x 的过程中,也总有这样的)(2N ∈+=n n x ππ,使得0)cos()()(22=++=ππππn n x f ,它却不比任何正数大,∴当+∞→x 时,)(x f 不是无穷大).
3.-→0x 时,)(x f 为无穷小;+→0x 时,)(x f 为无穷大.
4.)( ,0x f b ≠为无穷大(∞→x ); )( ,5 0x f a b -==且为无穷小(∞→x ).
§1.6
1.(1)2
1(提示:通分并分子求和,再利用总复习题7(4)中的重要结果); (2)b
1(提示:分子分母同除以1
+n b ,再利用总复习题7(2)中的重要结果);
(3)4
3(提示:等比数列前n 项和公式并利用总复习题7(2)中的重要结果). 2.(1)6
1(提示:分母因式分解并约简分式再取极限); (2)2
3x (提示:分子简化整理并与分母约简再取极限);
(3)1-(提示:通分,分子因式分解并与分母约简分式再取极限).
3*.a a a n f f f n n n n n n n n n ln ln lim
ln lim
)]()2()1([lim
2
1)
1(1
211
12
1
222===+∞
→+++∞
→∞
→ΛΛ. §1.7
1.(1)??
?
??>∞=<;
,, ,1 ,
,0 n m n m n m (2)a a a 2sin cos sin 2=;(3)8;(4)βα;(5)52;(6)2.
2.(1)e
1
; (2)原极限1])1[(lim 011==+
+∞
→e x
x x
x ; (3)2e ;
(4)原极限2120
120
12211]
)1[(lim )1(lim e x
x
x
x
x
x x x
x x =+
=+=---→-→.
3.提示:(1)先放缩分母得不等式,再利用夹逼定理(或夹逼准则,俗称“两头夹”);
(2)分两步:①先证数列}{n x 单增有上界(这是关键!),再利用单调有界准则(或
单调有界原理)可知极限存在;②最后再利用极限的唯一性,通过对递推公式
两端取极限,得极限值满足的一个方程而解出要求的极限.
§1.8
1.(1)0→x 时,x x sin 与 x 是等价无穷小;
(2)0→x 时,2
x 是比 x x --+11 要高阶的无穷小;
(3)x x sin tan - 是比 x sin 要高阶的无穷小(x x sin tan - 是 x 的3阶无穷小); (4)同阶但非等价的无穷小(一般地,0→x 时,)(221n n x a x a x a +++Λ~x a 1).
2.4 ,22==b a .
3.(1)2=k ;(2)52=k ;(3)1=k .
4.(1)3-;(2)b a ;(3)2
1. (注:□→0时,□~sin □~tan □~arcsin □~arctan □~ln (1+□)~e □-1~[a □-1]/lna ~k [(1+□)k -1]~…~,务必记住嗷).
第二章 §2.1
1.
0)
()(x x x f x f --; 0
00
)()(lim
x x x f x f x x --→.
2.(1))(0x f '-; (2))(0x f '-; (3))(0x f '-; (4))(30x f '-.
3.2
2;)(4
222
2π-=
-
x y . 4.) ,( ) ,(
9
3
3
39333
-
-和; 3
39
3
3
3
9
3
+
=+
-
=-
x y x y 和.
5.左导数 111
lim 001lim 0)0()(lim )0(1
1000=+=--+=--='---→→→-x x e
x e x
x f x f f x x x , 右导数 011
lim 001lim 0)0()(lim )0(1
1000=+=--+=--='+++→→→+x x e
x e x
x f x f f x x x ; 因为 )0()0(+-
'≠'f f ,所以,导数)0(f '不存在. 6. ??
?
?
???
=+==+=+==-=++--→→→→,
右极限左极限函数值0)2(lim )(lim )00( ,0)21ln(lim )(lim )00( ,
0)0( 2
000
0x x x f f x x f f f x x x x ∴)(x f 在点0=x 处连续;
.2)0( 0 )( ,2lim lim )0( ,2lim lim )0( 0)2(00)0()(00
)21ln(0
0)0()(02='=∴??
???==='==='-+→--→+-+→--→-++-
-f x x f f f x x x x x f x f x x x x x f x f x 且处可导,在点右导数左导数 7.)(x f 在点0=x 处可导,则必在点0=x 处连续.于是,
①由)(x f 在点0=x 处连续,则)0()00()00(f f f =+=-;而
b f b b ax x f x f x x ==+-=+==-+-→→)0( ;)(lim )00( ;0lim )00(2
3
. ∴ 0=b ;
②由)(x f 在点0=x 处可导,则)0()0(+-'='f f ;而 a f f x ax x x x x x -=='=='--+-→+
--→-
+-00
)0(0
023lim )0( ;0lim )0(. ∴ 0=a .
8*.(1)由函数在点0=
x 处连续,得0)0(sin lim 10
==→f x x n x ,要使此式成立,0>n ;
(2)由函数在点0=x 处可导,可知极限x
x x x n x x
n x 1
sin
lim 0
0sin lim
10
10
-→→=--必存在,则 01>-n ,即 1>n ,此时上式极限存在且为零,即 0)0(='f ;
(3)?????=≠-='--,0 ,0
,0 ,cos sin )(1211x x x nx x f x
n x n 由导函数)(x f '在点0=x 处连续,则
0)0()cos sin (lim 12110
='=---→f x nx x
n x n x ,要使此式成立,则02>-n ,即2>n . §2.2
1.(1)312sin cos x x x x +-; (2)x x x x 21272
9++; (3)7ln 72
)1(ln 2)
1(24
x x x x x x x ---+-+; (4)x x e x x e x x x x 22sec 3cos sin )2(+++;
(5)
6
215ln )
ln (cot csc x x
x x x x -
+-; (6)2
)
cos 1(cos sin 1t t
t +++. 2.(1)7 ,6--πe ; (2)1152 ,1623-+-a a ; (3)n na a a a +++Λ2112 ,; (4)6 ,6-.
3.2
5=t . 4.切点坐标),(y x 应满足??
?
??'='==,
)(log )(,log ,
x x x y x y a a 解得e e a 1=,e y x ==.
§2.3
1.(1))12)(1(32-+-x x x ; (2))13sin(12--t ; (3)x cot ; (4)2
326x x e --π
.
2.(1)
3
2)1(1
x -; (2)
2
2
1a x -;
(3))]4sin 43cos 3()4cos 3[(sin )4cos 3(sin 1
x x nx x x x x n -+++-;
(4)x e
x e x
x x
x
2sin sec 4sin )21(22
12tan 2tan 1
2
1
-+; (5)
3
222
2
222)(2x a a x a x a ---+
; (6)1
1
21
222tan sec 4+++??x x x e
e
xe .
3.(1))(22x f x '; (2))]()()([)(x f e f e f e e x x x x f '+';
(3))](cos )(sin [2sin 2
2x f x f x '-'; (4))()]([)]}([{x f x f f x f f f '?'?'.
4.由)()(0at x f t +=?,可知 )()0(0x f =?,所以,
)(lim lim )0(0)
()(0
)
0()(0
00x f a t x f t a x f t t t t '?==='-+→--→???.
5.π2-.
6.由题知,三条曲线段定义了分段函数???
?
???>≤≤++<=,1 , ,10 ,,0 , )(12x x c bx ax x e x f x x 而此函数一阶可
导,则在0=x 和1=x 处可导,从而也必连续.
由在0=x 连续有:)0()(lim lim 2
f c bx ax e x x x =++=+-→→,则1=c ;
由在1=x 连续有:)1(lim )(lim 112
1
f c bx ax x
x x ==+++
-→→,即11=++b a ,则0=+b a ;
由在0=
x 可导有:x c bx ax x x e x x
1)(00
1
2lim lim -++→--→+
-=
,则1=b ,从而1-=a .
§2.4
1.(1)x
ch
1; (2))sh ch (2ch x x e x
+;
(3)2
2224
++x x x
;
(4)
x
x x 2ch sh 2sh 2
-.
2.(1))54(2-+--x x e x ; (2)x x tan ln sin ; (3)
x
x e e 21+; (4)x
x +1arccos
; (5))ln 1()
1(x n x
n -+-; (6)x
x x
e
2sin 1sin 1
22-. 3.?????=≠-='.1,1 ,11
)(x x x x f 不可导, 4.??
???>+=<='.0 12,0,02cos 2)(x x x x x x f ,不可导,,
§2.5
1.(1)
5
2)1(3x x
-;(2))362(422++x x e
x
;(3)x C x x x C x ch )690(sh )6(3
3022303+++(提
示:取3
,sh x v x u ==,利用公式∑=-??=n
k k k n k
n n v u C uv 0
)()()
()
()
;(4)x e x cos 4-. 2.(1)???????<=>=--; ,, ,!2 ,
,0 )!
(!2)
(m n x m n m m n y n
m n m m m n m (2)]2)1(2sin[21π?-+-n x n ;
(3)?????>=---=---;1 , ,1 ),1ln(11
)1(2)!()
(n n x y n x n n (4)])2()1()4(1[6!11+++-+--n n n x x n . 3.(1))(2)(4222x f x f x '+''; (2))](ln )(ln [21x f x f x '-''.
4.5 ,306)1( ,18 ,362)1( ,22)1( ,10)1(==='''===''=='==d d P c c P b P a P .
第三章 §3.1
1.D .
2.)(x f 有四个零点,分别在区间]4 ,3[]3 ,2[]2 ,1[、、上用罗尔定理,可知方程0)(='x f 在区间)4 ,3()3 ,2()2 ,1(、、内各至少有一个实根,从而有且恰有三个实根.
3.
14
-π. 4.x e e e x x x x x ??=-??+?+θ,即 x e e x x ??=-???θ1,再解出θ.
5.作辅助函数????
???
==<<=-+→→, ),(lim , ),(lim , ),( )(b x x f a x x f b x a x f x F b
x a
x 则)(x F 在] ,[b a 上连续,在) ,(b a 内可导,
且)()(b F a F =,于是,由罗尔定理可知:存在) ,(b a ∈ξ,使得0)()(='='ξξf F . 6.用反证法:令c x x x f +-=233)(,若)(x f 有两个不同的零点1021<<尔定理可知:存在)1 ,0() ,(21?∈x x ξ,使得0)(='ξf .但x
x x f 63)(2
-='在)1 ,0(内没有零点,矛盾!
7.设x x x f arccos arcsin )(+=,则0)(≡'x f ,从而)(x f 在]1 ,1[-上为常函数,所以,
2)0()(π=≡f x f ,即对一切]1 ,1[-∈x ,都有2arccos arcsin π=+x x . 8.(1)设x x f arctan )(=,在] ,[b a 上应用拉格朗日中值定理,得
) ,( ),(arctan arctan )()(2
11b a a b a b a f b f ∈-=-=-+ξξ.
(2)0>x 时,)1ln()(x x f +=在],0[x 上满足拉格朗日中值定理的条件,则
)0)(()0()(-'=-x f f x f ξ(其中x <<ξ0),即 x
x x x +
+>?=+111)1ln(ξ.
高等数学作业下-2 (答案)
第八章 习题答案 8.1 多元函数基本概念 1.解:=),(y x f )225(9 1 22y x xy --。 2.解:).sin sin())(,(),sin sin(sin )],([x x x x f x g y x y x y x g f =?= 3.解:(1)0。(2)a e 。(3)1。(4)0。(利用有界量乘以无穷小量仍为无穷小量。) (5)y x y x y x y x y x 1102222+≤++≤++≤ ,且.0)11(lim =+∞ →∞→y x y x 从而.0lim 22=++∞ →∞→y x y x y x (6)22)21()( 022x x y x xy ≤+≤ ,且0)21(lim 2=+∞→x x ,所以原式0=。 4.解:不存在。因沿不同路径趋近时极限值不同。 5.解:⑴),(y x f 的定义域为0≠+y x 。 )(a 当0≠+y x ,1≠+y x 时),(y x f 的表达式为初等函数,故连续。 )(b 当100=+y x 时,=-++-+=→+→+211 )11ln(11lim ),(lim y x y x y x f y x y x =+→20)1ln(1 lim t t t ),(200y x f =,即),(y x f 在 100=+y x 时也连续。故),(y x f 的间断线为0=+y x 。 ⑵)(a 当02 2 ≠+y x 时),(y x f 的表达式为初等函数,故连续。 )(b 当02 2 =+y x 时,2222001)1(lim ),(lim k k x k kx y x f x kx y x +=+=→=→,显然k 取不同值时得不同极限,即),(lim 0 0y x f y x →→不存在,故),(y x f 在)0,0(点不连续。 ⑶)(a 当022≠+y x 时),(y x f 连续。)(b 当02 2=+y x 时,因y x y x f +≤),(,故 0),(lim 00 =→→y x f y x ,从而)0,0(0),(lim 0 f y x f y x ==→→,即),(y x f 处处连续。 8.2 偏导数与全微分 1.解:(1) )2cos(4),2cos()2sin(2222222y x ye y z y x e y x xe x z x x x +=??+++=??。
(完整)同济版高等数学下册练习题(附答案)
第八章 测 验 题 一、选择题: 1、若a → ,b → 为共线的单位向量,则它们的数量积 a b →→ ?= ( ). (A) 1; (B)-1; (C) 0; (D)cos(,)a b →→ . 向量a b →→?与二向量a → 及b → 的位置关系是( ). 共面; (B)共线; (C) 垂直; (D)斜交 . 3、设向量Q → 与三轴正向夹角依次为,,αβγ,当 cos 0β=时,有( ) ()(); (); ()A Q xoy B Q yoz C Q xoz D Q xoz ⊥r r r r 面; 面面面 5、2 ()αβ→ → ±=( ) (A)22αβ→→±; (B)2 2 2ααββ→→→ →±+; (C)2 2 ααββ→→→ →±+; (D)2 2 2ααββ→→→ →±+. 6、设平面方程为0Bx Cz D ++=,且,,0B C D ≠, 则 平面( ). (A) 平行于轴;x ;(B) y 平行于轴; (C) y 经过轴;(D) 经过轴y . 7、设直线方程为111122 00A x B y C z D B y D +++=??+=?且 111122,,,,,0A B C D B D ≠,则直线( ). (A) 过原点; (B)x 平行于轴; (C)y 平行于轴; (D)x 平行于轴. 8、曲面2 50z xy yz x +--=与直线5 13 x y -=- 10 7 z -= 的交点是( ). (A)(1,2,3),(2,1,4)--;(B)(1,2,3); (C)(2,3,4); (D)(2,1,4).-- 9、已知球面经过(0,3,1)-且与xoy 面交成圆周 22160 x y z ?+=?=?,则此球面的方程是( ). (A)2 2 2 6160x y z z ++++=; (B)222 160x y z z ++-=; (C)2 2 2 6160x y z z ++-+=; (D)2 2 2 6160x y z z +++-=. 10、下列方程中所示曲面是双叶旋转双曲面的是( ). (A)2 2 2 1x y z ++=; (B)22 4x y z +=; (C)22 2 14y x z -+=; (D)2221916 x y z +-=-. 二、已知向量,a b r r 的夹角等于3 π ,且2,5a b →→==,求 (2)(3)a b a b →→→→ -?+ . 三、求向量{4,3,4}a → =-在向量{2,2,1}b → =上的投影 . 四、设平行四边形二边为向量 {1,3,1};{2,1,3}a b → → =-=-{}2,1,3b =-,求其面积 . 五、已知,,a b →→ 为两非零不共线向量,求证: ()()a b a b →→→→-?+2()a b →→ =?. 六、一动点与点(1,0,0)M 的距离是它到平面4x =的距离的一半,试求该动点轨迹曲面与yoz 面的交线方程 . 七、求直线L :31258x t y t z t =-?? =-+??=+? 在三个坐标面上及平面 π380x y z -++=上的投影方程 . 八、求通过直线 122 232 x y z -+-==-且垂直于平面3250x y z +--=的平面方程 .
高数习题集(附答案)
第一章 函数与极限 §1 函数 必作习题 P16-18 4 (5) (6) (8),6,8,9,11,16,17 必交习题 一、一列火车以初速度0v ,等加速度a 出站,当速度达到1v 后,火车按等速运动前进;从 出站经过T 时间后,又以等减速度a 2进站,直至停止。 (1) 写出火车速度v 与时间t 的函数关系式; (2) 作出函数)(t v v =的图形。 二、 证明函数1 2+= x x y 在),(+∞-∞内是有界的。
三、判断下列函数的奇偶性: (1)x x x f 1sin )(2= ; (2)1 212)(+-=x x x f ; (3))1ln()(2++=x x x f 。 四、 证明:若)(x f 为奇函数,且在0=x 有定义,则0)0(=f 。
§2 初等函数 必作习题 P31-33 1,8,9,10,16,17 必交习题 一、 设)(x f 的定义域是]1,0[,求下列函数的定义域: (1))(x e f ; (2))(ln x f ; (3))(arcsin x f ; (4))(cos x f 。 二、(1)设)1ln()(2x x x f +=,求)(x e f -; (2)设23)1(2+-=+x x x f ,求)(x f ; (3)设x x f -= 11)(,求)]([x f f ,})(1{x f f 。)1,0(≠≠x x
三、设)(x f 是x 的二次函数,且1)0(=f ,x x f x f 2)()1(=-+,求)(x f 。 四、设???>+≤-=0, 20, 2)(x x x x x f ,???>-≤=0, 0,)(2x x x x x g ,求)]([x g f 。
高等数学同济第七版7版下册习题 全解
数,故 /, = Jj( x2 + y1)3d(j = 2jj(x2+ y1) 3dcr. fh i)i 又由于D3关于;t轴对称,被积函数(/ +r2)3关于y是偶函数,故jj(x2 +j2)3dcr=2j(x2+y2)3da=2/2. Dy 1): 从而得 /, = 4/2. (2)利用对称性来计算二重积分还有以下两个结论值得注意: 如果积分区域关于^轴对称,而被积函数/(x,y)关于y是奇函数,即fix, -y) = -f(x,y) ,PJ jf/(x,y)da =0; D 如果积分区域D关于:K轴对称,而被积函数/(x,y)关于:c是奇函数,即/(~x,y)=-/(太,y),则 =0. D ?3.利用二重积分定义证明: (1)jj da=(其中(7为的面积); IJ (2)JJ/c/( X ,y)drr =Aj|y’(A:,y)do■(其中A:为常数); o n (3 ) JJ/( x,y)clcr = JJ/( x,y)drr + jJ/( x ,y) dcr ,其中 /) = /)! U /)2,,A 为两个 I) b\ lh 尤公共内点的W K域. 证(丨)由于被枳函数./U,y)=1,故山二t积分定义得 n"
jj'ltr = Hm y^/( ,rji) A高数下典型习题及参考答案
第八章典型习题 一、填空题、选择题 1、y x z += 1的定义域为 ; 2、1 1lim 0-+→→xy xy y x ; 3、设xy z 3=, x z ??= ; 4、 z z x ?==?设则 5、由方程z y x e xyz e =++确定了函数()y x z z ,=,求dz 。 6、函数()y x f z ,=在点()00,y x 处()00,y x f x ,()00,y x f y 存在,则()y x f ,在该点( ) A 、连续 B 、不连续 C 、不一定连续 D 、可微 二、解答题 1、求曲面632222=++z y x 在点P (1,1,1)的切平面方程和法线方程。 2、2,y z f x y f x ? ?= ?? ?已知 ,其中为可微函数,y z x z ????,求。 3、设()y x z z ,=是由方程 y z z x ln =确定,求x z ??,y z ??。 4、做一个表面积为12平方米的长方体无盖铁皮箱,问长、宽、高如何选取,才能使铁箱的容积为最大。 第九章、第十章典型习题 一、填空题、选择题 1、将二重积分()dxdy y x f D ??,化为二次积分,其中积分区域D 是由0,,42≥==x x y y 所围成,下列各式 中正确的是( )A 、()dy y x f dx x ??2 04 ,2 B 、()dy y x f dx ??4 4 , C 、()dx y x f dy y ??0 40 , D 、()dx y x f dy y ? ?0 40 , 2、设Ω是由1,0,1,0,1,0======z z y y x x 所围成的区域,则=???Ω xyzdxdydz 3、旋转抛物面2 2 2y x z +=在20≤≤z 那部分的曲面面积S=( )
【高等数学基础】形成性考核册答案(附题目)
【高等数学基础】形成性考核册答案 【高等数学基础】形考作业1答案: 第1章 函数 第2章 极限与连续 (一)单项选择题 ⒈下列各函数对中,(C )中的两个函数相等. A. 2 )()(x x f =,x x g =)( B. 2)(x x f = ,x x g =)( C. 3 ln )(x x f =,x x g ln 3)(= D. 1)(+=x x f ,1 1)(2--=x x x g 分析:判断函数相等的两个条件(1)对应法则相同(2)定义域相同 A 、2 ()f x x ==,定义域{}|0x x ≥;x x g =)(,定义域为R 定义域不同,所以函数不相等; B 、()f x x = =,x x g =)(对应法则不同,所以函数不相等; C 、3 ()ln 3ln f x x x ==,定义域为{}|0x x >,x x g ln 3)(=,定义域为{}|0x x > 所以两个函数相等 D 、1)(+=x x f ,定义域为R ;21 ()11 x g x x x -= =+-,定义域为{}|,1x x R x ∈≠ 定义域不同,所以两函数不等。 故选C ⒉设函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞,则函数)()(x f x f -+的图形关于(C )对称. A. 坐标原点 B. x 轴 C. y 轴 D. x y = 分析:奇函数,()()f x f x -=-,关于原点对称 偶函数,()()f x f x -=,关于y 轴对称 ()y f x =与它的反函数()1y f x -=关于y x =对称, 奇函数与偶函数的前提是定义域关于原点对称 设()()()g x f x f x =+-,则()()()()g x f x f x g x -=-+= 所以()()()g x f x f x =+-为偶函数,即图形关于y 轴对称 故选C ⒊下列函数中为奇函数是(B ). A. )1ln(2 x y += B. x x y cos = C. 2 x x a a y -+= D. )1ln(x y += 分析:A 、()()( )()2 2 ln(1)ln 1y x x x y x -=+-=+=,为偶函数 B 、()()()cos cos y x x x x x y x -=--=-=-,为奇函数 或者x 为奇函数,cosx 为偶函数,奇偶函数乘积仍为奇函数 C 、()()2 x x a a y x y x -+-= =,所以为偶函数
(word完整版)高等数学习题集及答案
第一章 函数 一、选择题 1. 下列函数中,【 】不是奇函数 A. x x y +=tan B. y x = C. )1()1(-?+=x x y D. x x y 2sin 2 ?= 2. 下列各组中,函数)(x f 与)(x g 一样的是【 】 A. 3 3)(,)(x x g x x f = = B.x x x g x f 22tan sec )(,1)(-== C. 1 1)(,1)(2+-=-=x x x g x x f D. 2 ln )(,ln 2)(x x g x x f == 3. 下列函数中,在定义域内是单调增加、有界的函数是【 】 A. +arctan y x x = B. cos y x = C. arcsin y x = D. sin y x x =? 4. 下列函数中,定义域是[,+]-∞∞,且是单调递增的是【 】 A. arcsin y x = B. arccos y x = C. arctan y x = D. arccot y x = 5. 函数arctan y x =的定义域是【 】 A. (0,)π B. (,) 22ππ- C. [,] 22ππ- D. (,+)-∞∞ 6. 下列函数中,定义域为[1,1]-,且是单调减少的函数是【 】 A. arcsin y x = B. arccos y x = C. arctan y x = D. arccot y x = 7. 已知函数arcsin(1)y x =+,则函数的定义域是【 】 A. (,)-∞+∞ B. [1,1]- C. (,)ππ- D. [2,0]- 8. 已知函数arcsin(1)y x =+,则函数的定义域是【 】 A. (,)-∞+∞ B. [1,1]- C. (,)ππ- D. [2,0]- 9. 下列各组函数中,【 】是相同的函数 A. 2()ln f x x =和 ()2ln g x x = B. ()f x x =和()g x = C. ()f x x =和()2 g x = D. ()sin f x x =和()arcsin g x x = 10. 设下列函数在其定义域内是增函数的是【 】 A. ()cos f x x = B. ()arccos f x x = C. ()tan f x x = D. ()arctan f x x = 11. 反正切函数arctan y x =的定义域是【 】 A. (,)22 ππ - B. (0,)π C. (,)-∞+∞ D. [1,1]- 12. 下列函数是奇函数的是【 】
高等数学作业下-5 (答案)
第十一章 习题答案 1. 1常数项级数的概念及基本性质 1.解:(1) +?+?+ ?+?+ ?6515 414 31321211 (2) -+ -+ -5 14 13 12 11 (3) +++ ++5 4 3 2 5 !54 ! 43 !32 !21!1 (4) +????????+ ??????+ ????+??+ 10 8642975318 64275316 425314 2312 1 2. 解:(1)1 21-= n u n (2)1 2+-= n n u n (3)) 2(6422 n x u n n ??= (4)1 2) 1(1 1 +-=++n a u n n n 3. 解:(1)013 1lim lim ≠==∞→∞ →n n n n u ,∴级数发散(不满足级数收敛的必要条件) 。 (2)原级数可写为 )4 13 12 11(3 1 +++ + 。∵括号内级数为调和级数发散,∴原级数发散。 (3)原级数为公比等于2 3的几何级数,∵ 123>,∴原级数发散。 (4)原级数为发散的调和级数 +++++ 5 14 13 12 11去掉前三项,∴原级数发散。 (5)原级数为公比等于9 8-的几何级数,19 8<- ,∴原级数收敛。 (6)∵级数 ++ + 3 2 2 12 12 1收敛(公比 12 1<的几何级数) ,级数 ++ + 3 2 3 13 13 1收敛 (公比 13 1<的几何级数) ,∴原级数收敛(收敛级数可以逐项相加减)。 4. 解:(1)a a a a a a a a a a S n n n n -= - ++- +- +-=+-+1 21 2125 73 53)()()()( , a a a S n n n n -=-=+∞ →∞ →1)(lim lim 12,∴此级数收敛。 (2)]) 2)(1(1) 1(1 [ 21 ) 2)(1(1 ++- += ++= n n n n n n n u n +?- ?+ ?- ?+ ?- ?= ∴)5 414 31 (21 )4 31321 ( 21)3 212 11 ( 21 n S ])2)(1(1 ) 1(1 [ 21 ++- ++ n n n n =]) 2)(1(1 21[21++-n n , 4 1 ])2)(1(121[21lim =++-= ∞ →n n S n n ,∴此级数收敛。
高数A1习题册答案
习题一 一、 1. × 2. \/ 3. × 4. × 5. × 6. \/ 7. × 二、 1. A 2. D 3. B 4. A 三、 1. 直线y x = 2. [-1,3) 3. 1[,0]2 - 4. 奇 5. 2 log 1 y y y =- 6. 3,,sin u y e u v v x === 四、 1(2)3f x x += +,2 2 1()1f x x =+, 11(())1211x f f x x x +== ++ +,11()()2f f x x =+ 习题二 一、 1. ∨ 2. × 3. × 4. ∨ 5. ∨ 6. × 7 × 8 × 二、 1. B 2. B 3. A 4. C 5. D 6. C 7. C 三、 1) lim 1x x x - →=-,0 lim 1x x x + →=
lim x x x →不存在 2) 1lim ()2x f x + →=,1 lim ()2x f x - →= 1 lim ()2x f x →= 2 lim ()5,lim ()0x x f x f x →→== 习题三 一、 1. × 2. × 3. ∨ 4. × 5. 二、 1. C 2. B 3. D 4. D 三、 (1) 2131 lim 11 x x x →-+=+ (2) 22 11112 lim lim 21213x x x x x x x →→-+==--+ (3) 2 02lim 2h hx h I x h →+== (4) 23 I = (5) 0I = (6) 422 lim 13 x x I x →-==- (7) 1 1133lim 213 n n I +→∞-==- (8) 111 lim (1)2212 n n →∞- =+ (9) 23 211132 lim lim 111x x x x x I x x x →→++-+==-=--++
高等数学习题集[附答案及解析]
WORD 格式 第一章 函数与极限 §1 函数 必作习题 P16-18 4 (5) (6) (8),6,8,9,11,16,17 必交习题 一、一列火车以初速度0v ,等加速度a 出站,当速度达到1v 后,火车按等速运动前进;从 出站经过T 时间后,又以等减速度a 2进站,直至停止。 (1) 写出火车速度v 与时间t 的函数关系式; (2) 作出函数)(t v v =的图形。 二、 证明函数1 2+= x x y 在),(+∞-∞内是有界的。
三、判断下列函数的奇偶性: (1)x x x f 1sin )(2= ; (2)1 212)(+-=x x x f ; (3))1ln()(2++=x x x f 。 四、 证明:若)(x f 为奇函数,且在0=x 有定义,则0)0(=f 。
WORD 格式 §2 初等函数 必作习题 P31-33 1,8,9,10,16,17 必交习题 一、 设)(x f 的定义域是]1,0[,求下列函数的定义域: (1))(x e f ; (2))(ln x f ; (3))(arcsin x f ; (4))(cos x f 。 二、(1)设)1ln()(2x x x f +=,求)(x e f -; (2)设23)1(2+-=+x x x f ,求)(x f ; (3)设x x f -= 11)(,求)]([x f f ,})(1{x f f 。)1,0(≠≠x x
三、设)(x f 是x 的二次函数,且1)0(=f ,x x f x f 2)()1(=-+,求)(x f 。 四、设???>+≤-=0, 20, 2)(x x x x x f ,???>-≤=0,0,)(2x x x x x g ,求)]([x g f 。
华东理工大学高等数学(下册)第9章作业答案
第9章(之1) (总第44次) 教学内容:§微分方程基本概念 *1. 微分方程7 359)(2xy y y y =''''-''的阶数是 ( ) (A )3; (B )4; (C )6; (D )7. 答案(A ) 解 微分方程的阶数是未知函数导数的最高阶的阶数. *2. 下列函数中的C 、α、λ及k 都是任意常数,这些函数中是微分方程04=+''y y 的通解的函数是 ( ) ( (A )x C x C y 2sin )2912(2cos 3-+=; (B ))2sin 1(2cos x x C y λ+=; (C )x C k x kC y 2sin 12cos 22++=; (D ))2cos(α+=x C y . 答案 (D ) 解 二阶微分方程的通解中应该有两个独立的任意常数. (A )中的函数只有一个任意常数C ; (B )中的函数虽然有两个独立的任意常数,但经验算它不是方程的解; (C )中的函数从表面上看来也有两个任意常数C 及k ,但当令kC C =时,函数就变成了 x C x C y 2sin 12cos 2 ++=,实质上只有一个任意常数; (D )中的函数确实有两个独立的任意常数,而且经验算它也确实是方程的解. *3.在曲线族 x x e c e c y -+=21中,求出与直线x y =相切于坐标原点的曲线. : 解 根据题意条件可归结出条件1)0(,0)0(='=y y , 由x x e c e c y -+=21, x x e c e c y --='21,可得1,02121=-=+c c c c , 故21,2121-==c c ,这样就得到所求曲线为)(2 1 x x e e y --=,即x y sinh =. *4.证明:函数y e x x =-233321 2 sin 是初值问题??? ????===++==1d d ,00d d d d 0022x x x y y y x y x y 的解.
高等数学(下)课后习题答案
高等数学(下) 习题七 1. 在空间直角坐标系中,定出下列各点的位置: A(1,2,3); B(-2,3,4); C(2,-3,-4); D(3,4,0); E(0,4,3); F(3,0,0). 解:点A在第Ⅰ卦限;点B在第Ⅱ卦限;点C在第Ⅷ卦限; 点D在xOy面上;点E在yOz面上;点F在x轴上. 2. xOy坐标面上的点的坐标有什么特点?yOz面上的呢?zOx面上的呢? 答: 在xOy面上的点,z=0; 在yOz面上的点,x=0; 在zOx面上的点,y=0. 3. x轴上的点的坐标有什么特点?y轴上的点呢?z轴上的点呢? 答:x轴上的点,y=z=0; y轴上的点,x=z=0; z轴上的点,x=y=0. 4. 求下列各对点之间的距离: (1)(0,0,0),(2,3,4);(2)(0,0,0),(2,-3,-4); (3)(-2,3,-4),(1,0,3);(4)(4,-2,3),(-2,1,3). 解:(1)s= (2) s== (3) s== (4) s== 5. 求点(4,-3,5)到坐标原点和各坐标轴间的距离. 解:点(4,-3,5)到x轴,y轴,z轴的垂足分别为(4,0,0),(0,-3,0),(0,0,5). 故 s== s== x s== y s==. 5 z 6. 在z轴上,求与两点A(-4,1,7)和B(3,5,-2)等距离的点. 解:设此点为M(0,0,z),则
222222 (4)1(7)35(2) z z -++-=++-- 解得14 9 z= 即所求点为M(0,0, 14 9 ). 7. 试证:以三点A(4,1,9),B(10,-1,6),C(2,4,3)为顶点的三角形是等腰直角三角形. 证明:因为|AB|=|AC|=7.且有 |AC|2+|AB|2=49+49=98=|BC|2. 故△ABC为等腰直角三角形. 8. 验证:()() ++=++ a b c a b c. 证明:利用三角形法则得证.见图7-1 图7-1 9. 设2,3. u v =-+=-+- a b c a b c试用a , b, c表示23. u v - 解: 232(2)3(3) 224393 5117 u v -=-+--+- =-++-+ =-+ a b c a b c a b c a b c a b c 10. 把△ABC的BC边分成五等份,设分点依次为D 1,D2,D3,D4,再把各分点与A连接, 试以AB=c,BC=a表示向量 1 D A, 2 D A, 3 D A和 4 D A. 解: 11 1 5 D A BA BD =-=-- c a 22 2 5 D A BA BD =-=-- c a 33 3 5 D A BA BD =-=-- c a 44 4 . 5 D A BA BD =-=-- c a 11. 设向量OM的模是4,它与投影轴的夹角是60°,求这向量在该轴上的投影. 解:设M的投影为M',则 1 Pr j cos604 2. 2 u OM OM =?=?= 12. 一向量的终点为点B(2,-1,7),它在三坐标轴上的投影依次是4,-4和7,求这向量
高等数学课后习题与解答
高等数学课后习题及解答 1. 设u=a-b+2c,v=-a+3b-c.试用a,b,c 表示2u-3v. 解2u-3v=2(a-b+2c)-3(-a+3b-c) =5a-11b+7c. 2. 如果平面上一个四边形的对角线互相平分,试用向量证明它是平 行四边形. 证如图8-1 ,设四边形ABCD中AC 与BD 交于M ,已知AM = MC ,DM 故 MB . AB AM MB MC DM DC . 即AB // DC 且|AB |=| DC | ,因此四边形ABCD是平行四边形. 3. 把△ABC的BC边五等分,设分点依次为D1,D2,D3,D4,再把各 分点与点 A 连接.试以AB=c, BC=a 表向量 证如图8-2 ,根据题意知 1 D 1 A, 1 D 2 A, D 3 A, D A. 4 1 D3 D4 BD1 1 a, 5 a, D1D2 a, 5 5 1 D 2 D 3 a, 5 故D1 A=- (AB BD1)=- a- c 5
D 2 A =- ( AB D A =- ( AB BD 2 BD )=- )=- 2 a- c 5 3 a- c 3 =- ( AB 3 BD 4 )=- 5 4a- c. 5 4. 已知两点 M 1(0,1,2)和 M 2(1,-1,0) .试用坐标表示式表示 向量 M 1M 2 及-2 M 1M 2 . 解 M 1M 2 =(1-0, -1-1, 0-2)=( 1, -2, -2) . -2 M 1M 2 =-2( 1,-2,-2) =(-2, 4,4). 5. 求平行于向量 a =(6, 7, -6)的单位向量 . a 解 向量 a 的单位向量 为 ,故平行向量 a 的单位向量为 a a 1 = ( 6,7, -6)= 6 , 7 , 6 , a 11 11 11 11 其 中 a 6 2 72 ( 6)2 11. 6. 在空间直角坐标系中,指出下列各点在哪个卦限? A (1,-2,3), B ( 2, 3,-4), C (2,-3,-4), D (-2, -3, 1). 解 A 点在第四卦限, B 点在第五卦限, C 点在第八卦限, D 点在第三卦限 . 7. 在坐标面上和在坐标轴上的点的坐标各有什么特征?指出下列各点的位置: A ( 3, 4, 0), B ( 0, 4,3), C ( 3,0,0), D ( 0, D A 4
高等数学习题集[附答案及解析]
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 第一章 函数与极限 §1 函数 必作习题 P16-18 4 (5) (6) (8),6,8,9,11,16,17 必交习题 一、一列火车以初速度0v ,等加速度a 出站,当速度达到1v 后,火车按等速运动前进;从 出站经过T 时间后,又以等减速度a 2进站,直至停止。 (1) 写出火车速度v 与时间t 的函数关系式; (2) 作出函数)(t v v =的图形。 二、 证明函数1 2+=x x y 在),(+∞-∞内是有界的。
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 三、判断下列函数的奇偶性: (1)x x x f 1sin )(2= ; (2)1 212)(+-=x x x f ; (3))1ln()(2++=x x x f 。 四、 证明:若)(x f 为奇函数,且在0=x 有定义,则0)0(=f 。
华东理工大学高等数学(下册)第11章作业答案
第 11 章(之1)(总第59次) 教材内容:§11.1多元函数 1.解下列各题: **(1). 函数连续区域是 ??????? . 答: **(2). 函数 , 则( ) (A) 处处连续 (B) 处处有极限,但不连续 (C) 仅在(0,0)点连续 (D) 除(0,0)点外处处连续 答:(A ) **2. 画出下列二元函数的定义域: (1)= u y x -; 解:定义域为:{ } x y y x ≤) ,(,见图示阴影部分: (2))1ln(),(xy y x f +=; 解:{} 1),(->xy y x ,第二象限双曲线1-=xy 的上方,第四象限双曲线1-=xy 的下方(不包括边界,双曲线1-=xy 用虚线表示). (3)y x y x z +-= . 解:()()? ? ?-≠≥????≠+≥+-?≥+-y x y x y x y x y x y x y x 000.
***3. 求出满足2 2, y x x y y x f -=?? ? ??+的函数()y x f ,. 解:令?? ? ??=+=x y t y x s , ∴?? ???+=+=t st y t s x 11 ∴()() ()t t s t t s s t s f +-=+-=111,22 222, 即 ()()y y x y x f +-=11,2. ***4. 求极限: ()() 2 2 0,0,11lim y x xy y x +-+→. 解:()( )( ) ( )( ) 2 222 2 22 2 112111110y x xy y x y x xy xy y x xy ++++≤ +++= +-+≤ () 01 122 2→+++= xy y x (()()0,0,→y x ) ∴ ()() 011lim 2 2 0,0,=+-+→y x xy y x . **5. 说明极限()()2 22 20,0, lim y x y x y x +-→不存在. 解:我们证明()y x ,沿不同的路径趋于()0,0时,极限不同. 首先,0=x 时,极限为()()1lim 22 22220,0,0-=-=+-→=y y y x y x y x x , 其次,0=y 时,极限为()()1lim 22 22220,0,0==+-→=x x y x y x y x y , 故极限()()2 22 20,0,y y lim +-→x x y x 不存在. **6. 设1 12sin ),(-+= xy x y y x f ,试问极限 ),(lim ) 0,0(),(y x f y x →是否存在?为什么? 解:不存在,因为不符合极限存在的前提,在)0,0(点的任一去心邻域内函数 1 12sin ),(-+= xy x y y x f 并不总有定义的,x 轴与y 轴上的点处函数),(y x f 就没有定义.
关于高等数学课后习题答案
习题6?2 1? 求图6?21 中各画斜线部分的面积? (1) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0? 1]? 所求的面积为 6 1]2132[)(10 22310=-=-=?x x dx x x A . (2) 解法一 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0? 1]? 所求的面积为 1|)()(101 0=-=-=?x x e ex dx e e A ? 解法二 画斜线部分在y 轴上的投影区间为[1? e ]? 所求的面积为 1)1(|ln ln 1 11=--=-==??e e dy y y ydy A e e e ?
(3) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[?3? 1]? 所求的面积为 3 32]2)3[(1 32=--=?-dx x x A ? (4) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[?1? 3]? 所求的面积为 3 32 |)313()32(31323 12= -+=-+=--?x x x dx x x A ?
2. 求由下列各曲线所围成的图形的面积? (1) 22 1x y =与x 2?y 2?8(两部分都要计算)? 解? 3 423 8cos 16402+=-=?ππ tdt ? 3 46)22(122-=-=ππS A ? (2)x y 1=与直线y ?x 及x ?2? 解? 所求的面积为 ?-=-= 2 12ln 2 3)1(dx x x A ?
(3) y ?e x ? y ?e ?x 与直线x ?1? 解? 所求的面积为 ?-+=-=-1 021)(e e dx e e A x x ? (4)y =ln x , y 轴与直线y =ln a , y =ln b (b >a >0). 解 所求的面积为 3? 求抛物线y ??x 2?4x ?3及其在点(0? ?3)和(3? 0)处的切线所围成的图形的面积? 解? y ???2 x ?4?
高等数学作业题及参考答案
高等数学作业题(一) 第一章 函数 1、填空题 (1)函数1 1 42-+-=x x y 的定义域是 2、选择题 (1)下列函数是初等函数的是( )。 A.3sin -= x y B.1sin -=x y C.??? ??=≠--=1 ,01, 112x x x x y D. ?? ?≥<+=0 , , 1x x x x y (2)x y 1 sin =在定义域内是( )。 A. 单调函数 B. 周期函数 C. 无界函数 D. 有界函数 3、求函数2)1ln(++-=x x y 的定义域 4、设,1)(2+-=x x x f 计算x f x f ?-?+) 2()2( 5、要做一个容积为250立方米的无盖圆柱体蓄水池,已知池底单位造价为池壁单位造价的两倍,设池底单位造价为a 元,试将总造价表示为底半径的函数。 6、把一个圆形铁片,自中心处剪去中心角为α的一扇形后,围成一个无底圆锥,试将此圆锥体积表达成α的函数。 第二章 极限与连续
1、填空题 (1)3 2 += x y 的间断点是 (2)0=x 是函数x x y +=1的第 类间断点。 (3)若极限a x f x =∞ →)(lim 存在,则称直线a y =为曲线=y ()x f 的 渐近线。 (4)有界函数与无穷小的乘积是 (5)当0→x ,函数x 3sin 与x 是 无穷小。 (6)x x x 1)21(lim 0 +→= (7)若一个数列{}n x ,当n 时,无限接近于某一个常数a ,则称a 为数列{}n x 的极限。 (8)若存在实数0>M ,使得对于任何的R x ∈,都有()M x f <,且()0lim 0 =→x g x , 则()()=→x g x f x 0 lim (9)设x y 3sin =,则=''y (10) x x x )211(lim - ∞ →= 2、选择题 (1)x x x sin lim 0→的值为( )。 A.1 B.∞ C.不存在 D.0 (2)当x →0时,与3 100x x +等价的无穷小量是( )。 A. 3x B x C. x D. 3 x (3)设函数x x x f 1 sin )(?=,则当0)(>-x f 时,)(x f 为 ( ) A. 无界变量 B.无穷大量 C. 有界,但非无穷小量 D. 无穷小量 (4)lim sin sin x x x x →0 21 的值为( )。 A.1 B.∞ C.不存在 D.0 (5)下列函数在指定的变化过程中,( )是无穷小量。 A .e 1 x x , ()→∞ B. sin ,()x x x →∞ C. ln(), ()11+→x x D. x x x +-→11 0,()
高等数学下(B)作业题
《 高等数学B (下) 》练习题 提交作业要求: 1、在规定的时间内,按下列格式要求准确上传作业!(不要上传别的科目作业, 也不要上传其他学期的作业,本次作业题与其他学期作业题有很大变化) 2、必须提交word 文档! (1)不按要求提交,会极大影响作业分数(上学期很多同学直接在网页上答题,结果只能显示文本,无法显示公式,这样得分会受很大影响) (2)若是图片,请将图片大小缩小后插入到一个word 文件中。 (3)图片缩小方式:鼠标指向图片,右键,打开方式,画图,ctrl w ,调整大小和扭曲,依据(百分比),将水平和垂直的原始数值100都改为40,另存为jpg 格式。这样处理后,一个大约3M 的照片会缩小至几百K ,也不影响在word 中的清晰度。 网上上传也快! 3、直接上传单个的word 文件!(不要若干张图片压缩成一个文件) 一、判断题 1. 设函数(,)f x y 在00(,)x y 点的偏导数连续,则(,)f x y 在00(,)x y 点可微. 答:对 2. 设函数(,)f x y 在00(,)x y 点可微,则(,)f x y 在00(,)x y 点的偏导数连续. 答:错 3. 二重积分(,)d D f x y σ??表示以曲面(,)z f x y =为顶,以区域D 为底的曲顶柱体的体积. 答:错 4. (,)0f x y ≥若, 二重积分(,)d D f x y σ??表示以曲面(,)z f x y =为顶,以区域D 为底的曲 顶柱体的体积. 答:对 5. 若积分区域D 关于y 轴对称,则32sin()d 0.D x y σ=?? 答:对 6. 微分方程4()1y y y ''''-=-是四阶微分方程. 答:错 7. 微分方程cos sin sin cos x ydx y xdy =是变量可分离微分方程. 答:对 8. 微分方程cos sin sin cos x ydx y xdy =是一阶线性微分方程. 答:错