要求掌握的几类基本初等函数总结(图像及其性质)
六大基本初等函数图像及其性质
一、常数函数 y =C （其中C 为常数）
常数函数（C y =）
0≠C
0=C
平行于x 轴的直线
y 轴本身 定义域R
定义域R
二、幂函数 α
x y = ，x 是自变量，α是常数；
1.幂函数的图像：
x
y
O
x y =2
x y =2
1x
y =1
-=x y 3x y =
O
=y x
C
y =O
x
y
y
2.幂函数的性质；
性质
函数
x y =
2x y =
3x y =
2
1x
y =
1-=x y
定义域 R R R [0,+∞) {x|x ≠0} 值域 R [0,+∞) R [0,+∞) {y|y ≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增
[0,+∞) 增 增 增
(0,+∞) 减 (-∞,0] 减
(-∞,0) 减
公共点
（1,1）
1）当α为正整数时，函数的定义域为区间为),(+∞-∞∈x ，他们的图形都经过原点，并当α>1时在原点处与x 轴相切。且α为奇数时，图形关于原点对称；α为偶数时图形关于y 轴对称；
2）当α为负整数时。函数的定义域为除去x=0的所有实数； 3）当α为正有理数
n
m
时，n 为偶数时函数的定义域为（0, +∞），n 为奇数时函数的定义域为（-∞,+∞），函数的图形均经过原点和（1 ,1）；
4）如果m>n 图形于x 轴相切，如果m 5）当α为负有理数时，n 为偶数时，函数的定义域为大于零的一切实数；n 为奇数时，定义域为去除x=0以外的一切实数。 三、指数函数x a y =(x 是自变量,a 是常数且0>a ，1≠a )，定义域R 1.指数函数的图象： 2.指数函数的性质； 1=y O (0,1) x y x a y = )10(< x x a y = )1(>a 1 =y O (0,1) y 性质 函数 x a y =)1(>a x a y =)10(< 定义域 R 值域 (0，+∞) 奇偶性 非奇非偶 公共点 过点(0，1)，即0=x 时，1=y 单调性 在），（∞+∞-是增函数 在），（∞+∞-是减函数 1）当1>a 时函数为单调增,当10< N ∈a ； a.底数互为倒数的两个指数函数 x a x f =)(， x a x f ? ? ? ??=1)( 的函数图像关于y 轴对称。 b.1.当1>a 时，a 值越大，x a y = 的图像越靠近y 轴； b.2.当10< 的图像越远离y 轴。 y x a x f =)(x a x f ? ? ? ??=1)(O (0,1) x x O (0,1) y x x f 2)(=x x h 3)(= O (0,1) y x x q ? ? ? ??=21)(x x g ? ? ? ??=31)( 4.指数的运算法则（公式）； a.整数指数幂的运算性质),,0(Q n m a ∈≥； (1) n m n m a a a +=? (2) n m n m a a a -=÷ (3) () () m n nm n m a a a == (4) ()n n n b a ab = b.根式的性质； (1) ()a a n n = ； (2)当n 为奇数时， a a n n = 当n 为偶数时， ? ??<-≥==)0(0) (a a a a a a n n c.分数指数幂； (1))1,,,0(*>∈>=n Z n m a a a n m n m (2)) 1,,,0(1 1*>∈>= =- n Z n m a a a a n m n m n m 四、对数函数x y a log =(a 是常数且1,0≠>a a )，定义域),0(+∞∈x [无界] 1.对数的概念：如果a(a ＞0，a ≠1)的b 次幂等于N ，就是 N a b =，那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作b N a =log ,其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数，式子N a log 叫做对数式。 对数函数x y a log =与指数函数x a y =互为反函数，所以x y a log =的图象与x a y =的图象 关于直线 x y =对称。 2.常用对数：N 10log 的对数叫做常用对数，为了简便，N 的常用对数记作N lg 。 3.自然对数：使用以无理数7182.2=e 为底的对数叫做自然对数，为了简便，N 的自然对数N e log 简 记作N ln 。 4.对数函数的图象： 5.对数函数的性质； y O x (1,0) 1=x x y a log = )1(>a O x (1,0) y 1=x x y a log = )10(< 性质 函数 x y a log = )1(>a x y a log = )10(< 定义域 (0，+∞) 值域 R 奇偶性 非奇非偶 公共点 过点(1，0)，即1=x 时，0=y 单调性 在(0,+∞)上是增函数 在(0,+∞)上是减函数 1）对数函数的图形为于y 轴的右方，并过点(1,0)； 2）当1>a 时，在区间(0,1)，y 的值为负，图形位于x 的下方；在区间(1, +∞)，y 值为正，图形位于x 轴上方，在定义域是单调增函数。1 N ∈a ； a.底数互为倒数的两个对数函数 x y a log =，x y a 1log = 的函数图像关于x 轴对称。 b.1. 当1>a 时，a 值越大， x x f a log )(= 的图像越靠近x 轴； b.2. 当)10(< 的图像越远离x 轴。 7.对数的运算法则（公式）； a.如果a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么： ()N M MN a a a log log log += N M N M a a a log log log -= M n M a n a log log = y O x (1,0) x y a log =x y a 1log = y O x (1,0) x x f 2log )(=x x f 3log )(=y O x (1,0) x x f 2 1log )(= x x f 3 1log )(= b.对数恒等式： N a N a= log)0 1 (> ≠ >N a a， 且 c.换底公式： (1) b N N a a b log log log=（1 ,0≠ >a a，一般常常 换为e或10为底的对数,即b N N b ln ln log=或 b N N b lg lg log= ） (2)由公式和运算性质推倒的结论： b m n b a n a n log log= d.对数运算性质 (1)1的对数是零，即0 1 log= a ；同理0 1 ln=或0 1 lg= (2)底数的对数等于1，即1 log= a a ；同理1 ln= e或1 10 lg= 五、三角函数 1.正弦函数x y sin =,有界函数，定义域) , (+∞ -∞ ∈ x，值域]1 ,1 [+ - ∈ y 图象：五点作图法：0， 2 π ，π， 2 3π ，π2 2.余弦函数x y cos =，有界函数，定义域) , (+∞ -∞ ∈ x，值域]1 ,1 [+ - ∈ y 图象：五点作图法：0， 2 π ，π， 2 3π ，π2 3.正、余弦函数的性质； 性质 函数 x y sin =) (Z k∈ x y cos =) (Z k∈ 定义域 R 值域 [-1,1] [-1,1] 奇偶性 奇函数 偶函数 周期性 π2=T π2=T 对称中心 )0,(πk )0,2 (π π+ k 对称轴 2 π π+ =k x πk x = 单调性 在????? ? +-∈22,22ππππk k x 上是增函数 在????? ? ++∈232,22ππππk k x 上是减函数 在[]πππk k x 2,2-∈上是增函数 在[]πππ+∈k k x 2,2上是减函数 最值 22π π+ =k x 时，1max =y 2 2π π+ =k x 时，1min -=y πk x 2=时，1max =y ππ+=k x 2时，1min -=y 4.正切函数 x y tan =，无界函数，定义域{})(,2 Z k k x x ∈+≠ππ，值域),(+∞-∞∈y x y tan =的图像 5.余切函数 x y cot =，无界函数，定义域{}Z k k x x ∈≠,π,),(+∞-∞∈y x y cot =的图像 π - 2 π - O 23π - π2- 25π- π3- 2 π π 23π π2 2 5π π3 y x π - 2 π - O 23π - π2- 2 5π - 2 π π 2 3π π2 2 5π y x 6.正、余切函数的性质； 性质 函数 x y tan =)(Z k ∈ x y cot =)(Z k ∈ 定义域 2 π π+ ≠k x πk x ≠ 值域 R R 奇偶性 奇函数 奇函数 周期性 π=T π=T 单调性 在)2, 2 (ππ ππ k k ++- 上都是增函数 在))1(,(ππ+k k 上都是减函数 对称中心 )0,2 ( πk )0,2 (πk 零点 )0,(πk )0,2 (π π+ k 7.正割函数x y sec =，无界函数，定义域{})(,2 Z k k x x ∈+≠ππ，值域1sec ≥x 8.余割函数x x y sin 1 csc ==，无界函数，定义域{})(,Z k k x x ∈≠π，值域1csc ≥x π- 2 π - O 2 3π- π 2- 2 5π- 2 π π 2 3π π2 2 5π π3 y x -1 1 π - 2 π - O 2 3π- π2- 25π- 2 π π 2 3π π2 2 5π π3 y x -1 1 x y sec =的图像 9.正、余割函数的性质； 性质 函数 x y sec =)(Z k ∈ x y csc =)(Z k ∈ 定义域 {}ππk x x +≠2 {}πk x x ≠ 值域 ),1[]1(+∞--∞Y ， ),1[]1(+∞--∞Y ， 奇偶性 偶函数 奇函数 周期性 π2=T π2=T 单调性 )2 32,2()2,22(π πππππ π+ +- k k k k Y 减 )2,2 2()22,2(πππππππ+++k k k k Y 增 )22,2 32()22,2(πππ ππππ+++k k k k Y 减 ) 2 32,2()2,22(ππππππππ++++k k k k Y 增 续表： 性质 函数 x y sec =)(Z k ∈ x y csc =)(Z k ∈ 对称中心 )0,2 (π π+ k )0,(πk 对称轴 πk x = ππ k x += 2 渐近线 ππ k x += 2 πk x = 六、反三角函数 1.反正弦函数 x y arcsin =，无界函数，定义域[-1,1]，值域],0[π A.反正弦函数的概念：正弦函数 x y sin =在区间?? ? ? ??-2,2ππ上的反函数称为反正弦函数，记为x y arcsin = 2.反余弦弦函数 x y arccos =，无界函数，定义域[-1,1]，值域],0[π B.反余弦函数的概念：余弦函数 x y cos =在区间[]π,0上的反函数称为反余弦函数，记为 x y arccos = y -1 2 π y 2 π π x y csc =的图像 x y arcsin =的图像 x y arccos =的图像 3.反正、余弦函数的性质； 性质 函数 x y arcsin = x y arccos = 定义域 [-1,1] [-1,1] 值域 ],0[π ],0[π 奇偶性 奇函数 非奇非偶函数 单调性 增函数 减函数 4.反正切函数 x y arctan =，有界函数，定义域),(+∞-∞∈x ,值域?? ? ??-2,2ππ C.反正切函数的概念：正切函数 x y tan =在区间?? ? ??-2,2ππ上的反函数称为反正切函数，记为x y arctan = 5.反余切函数 x arc y cot =，有界函数，定义域),(+∞-∞∈x ,值域()π,0 D.反余切函数的概念：余切函数 x y cot =在区间()π,0上的反函数称为反余切函数，记为 x arc y cot = x y arctan =的图像 x arc y cot =的图像 6.反正、余弦函数的性质； x y O 2 π 2 π - x y O 2 π π 函数 性质 x y arctan = x arc y cot = 定义域 R 值域 ?? ? ??-2,2ππ ()π,0 奇偶性 奇函数 非奇非偶 单调性 增函数 减函数 三角函数公式汇总 一、任意角的三角函数 在角α的终边上任取．．一点),(y x P ，记：22y x r +=。 正弦：r y =αsin 余弦：r x =αcos 正切：x y = αtan 余切：y x =αcot 正割：x r = αsec 余割：y r =αcsc 二、同角三角函数的基本关系式 倒数关系：1csc sin =?α α，1sec cos =?αα，1cot tan =?αα 商数关系：αααcos sin tan =，α α αsin cos cot = 平方关系：1cos sin 22 =+αα，αα22sec tan 1=+，αα22csc cot 1=+ 三、诱导公式 x 轴上的角，口诀：函数名不变，符号看象限； y 轴上的角，口诀：函数名改变，符号看象限。 四、和角公式和差角公式 βαβαβαsin cos cos sin )sin(?+?=+ βαβαβαsin cos cos sin )sin(?-?=- βαβαβαsin sin cos cos )cos(?-?=+ βαβαβαsin sin cos cos )cos(?+?=- β αβ αβαtan tan 1tan tan )tan(?-+= + β αβαβαtan tan 1tan tan )tan(?+-= -五、二倍角公式 αααcos sin 22sin = α α α2tan 1tan 22tan -= ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-= 二倍角的余弦公式常用变形：（规律：降幂扩角，升幂缩角） αα2cos 22cos 1=+ αα2sin 22cos 1=- 2)cos (sin 2sin 1ααα+=+ 2)cos (sin 2sin 1ααα-=- 22cos 1cos 2αα+= ，22sin 1sin 2 αα+=，α αααα2cos 12sin 2sin 2cos 1tan +=-= 六、三倍角公式 ) 3sin()3sin(sin 4sin 4sin 33sin 3απ απααα+-=-=)3 cos()3cos(cos 4cos 3cos 43cos 3 απ απααα+-=-=)3tan()3tan(tan tan 31tan tan 33tan 2 3απ απααααα+-=--= 七、和差化积公式 2 cos 2 sin 2sin sin β αβ αβα-+=+ 2 sin 2 cos 2sin sin β αβ αβα-+=- 2 cos 2 cos 2cos cos β αβ αβα-+=+ 2 sin 2 sin 2cos cos β αβ αβα-+-=- 八、辅助角公式 )sin(cos sin 22?++=+x b a x b x a 其中：角?的终边所在的象限与点),(b a 所在的象限相同， 2 2sin b a b += ?，2 2cos b a a += ?，a b = ?tan 九、三角函数的周期公式 函数)sin(?ω+=x A y ，R x ∈及函数)cos( ?ω+=x A y ，R x ∈(A,?ω,,为常数，且 0,0>≠ωA ) 周期： ω π 2= T 函数)tan(?ω+=x A y ，Z k k x ∈+ ≠,2 π π(A,?ω,,为常数，且0,0>≠ωA ) 周期： ω π= T 十、正弦定理 R C c B b A a 2sin sin sin ===（R 为AB C ?外接圆半径） 十一、余弦定理 A bc c b a cos 22 2 2 ?-+= B ac c a b cos 2222?-+= C ab b a c cos 2222?-+= 六大基本初等函数图像及其性质一、常值函数（也称常数函数）y =C（其中C 为常数）； α 1）当α为正整数时，函数的定义域为区间为),(+∞-∞∈x ，他们的图形都经过原点，并当α>1时在原点处与x 轴相切。且α为奇数时，图形关于原点对称；α为偶数时图形关于y 轴对称； 2）当α为负整数时。函数的定义域为除去x=0的所有实数； 3）当α为正有理数 n m 时，n 为偶数时函数的定义域为（0, +∞），n 为奇数时函数的定义域为（-∞,+∞），函数的图形均经过原点和（1 ,1）； 4）如果m>n 图形于x 轴相切，如果m 3.（选，补充）指数函数值的大小比较* N ∈a ； a.底数互为倒数的两个指数函数 x a x f =)(， x a x f ? ? ? ??=1)( 的函数图像关于y 轴对称。 b.1.当1>a 时，a 值越大，x a y = 的图像越靠近y 轴； b.2.当10<∈>=n Z n m a a a n m n m (2)) 1,,,0(1 1*>∈>= =- n Z n m a a a a n m n m n m y x f x x x x g ? ? ?=1)( 第十二讲 基本初等函数 一：教学目标 1、掌握基本初等函数（指数函数、对数函数、幂函数）的基本性质； 2、理解基本初等函数的性质； 3、掌握基本初等函数的应用，特别是指数函数与对数函数 二：教学重难点 教学重点：基本初等函数基本性质的理解及应用； 教学难点：基本初等函数基本性质的应用 三：知识呈现 1.指数与指数函数 1).指数运算法则：（1）r s r s a a a +=； （2）()s r rs a a =； （3）()r r r ab a b =； （4）m n m n a a =； （5）m n n m a a -= （6）,||,n n a n a a n ?=??奇偶 2). 指数函数：形如(01)x y a a a =>≠且 2.1）对数的运算： 1、互化：N b N a a b log =?= 2、恒等：N a N a =log 3、换底： a b b c c a log log log = 指数函数 0 推论1 a b b a log 1log = 推论2 log log log a b a b c c ?= 推论3 log log m n a a n b b m =)0(≠m 4、N M MN a a a log log log += log log log a a a M M N N =- 5、M n M a n a log log ?= 2）对数函数： 3.幂函数 一般地，形如 a y x =（a R ∈）的函数叫做幂函数，其中 a 是常数 1)性质： (1) 所有的幂函数在(0,+∞)都有定义，并且图象都通过点(1, 1); 对数函 数 0 函数的基本性质知识点归纳与题型总结 一、知识归纳 1．函数的奇偶性 2．函数的周期性 (1)周期函数 对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期． (2)最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． 解题提醒： ①判断函数的奇偶性，易忽视判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件． ②判断函数f(x)的奇偶性时，必须对定义域内的每一个x，均有f(－x) ＝－f (x )或f (－x )＝f (x )，而不能说存在x 0使f (－x 0)＝－f (x 0)或f (－x 0)＝f (x 0)． ③分段函数奇偶性判定时，误用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数去否定函数在整个定义域上的奇偶性． 题型一 函数奇偶性的判断 典型例题：判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝(x ＋1) 1－x 1＋x ； (2)f (x )＝? ???? －x 2＋2x ＋1，x ＞0， x 2＋2x －1，x ＜0； (3)f (x )＝4－x 2 x 2； (4)f (x )＝log a (x ＋x 2＋1)(a ＞0且a ≠1)． 解：(1)因为f (x )有意义，则满足1－x 1＋x ≥0， 所以－1＜x ≤1， 所以f (x )的定义域不关于原点对称， 所以f (x )为非奇非偶函数． (2)法一：(定义法) 当x ＞0时，f (x )＝－x 2＋2x ＋1， －x ＜0，f (－x )＝(－x )2＋2(－x )－1＝x 2－2x －1＝－f (x )； 当x ＜0时，f (x )＝x 2＋2x －1， －x ＞0，f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＋1＝－x 2－2x ＋1＝－f (x )． 函数名 一次函数 二次函数 反比例函数 指数函数 解析式 )0()(≠+=a b ax x f )0()(≠= k x k x f 图像 定义域 R R {}0|≠x x R 值域 R ） ，（∞+0 必过点 ）（b ,0 ） ，（c 0 ) 1,(1,--k k ） （ ） （1,0 周期性 不是周期函数 不是周期函数 不是周期函数 不是周期函数 单调性 在R 上单增 )2-a b -∞，（为减 ),2+∞-a b （为增 ）为减，（0-∞）为减，（∞+0 为减 为增，101<<>a a 最大最小值 在R 不存在最大最小值 开口向上有最小值 a b a c y 442min -= 不存在最大最小值 在R 上不存在最大最小值 奇偶性 非奇非偶函数 为奇函数00≠=b b 偶函数 为非奇非为偶函数，00≠=b b 奇函数 非奇非偶函数 对称性 为常数。 对称， 函数图像关于直线任何一点对称；关于图像上t t x a y +=1 - 对称 直线函数图像关于 a b x 2-= 函数图像关于原点对称； 对称。 直线和关于 对称，直线图像关于x y x y -== 既不成中心对称也不成轴对称。 渐近线 无 无 . 00==y x 直线或者直线 .0=y 直线 ) 0()(2≠++=a c bx ax x f ) 10()(≠=a a a x f x 且＞0＞a ＞a 0 ＞k ) ,44[ 2 +∞-a b a c ），（），（∞+?∞00-x a y =) 10(<a x y O 1 函数名 对数函数 幂函数的一个例子 双钩函数 含绝对值函数 解析式 ) 10(log ≠>=a a y x a 且 ) 0(≥=x x y b a b x a x y <-+-=设为了研究方便 图像 O 1 y x ) 10(log <<=a y x a ) 1(log >=a y x a O y x x y =1 1 定义域 ()∞+，0 [)∞+，0 0}x |{x ≠ R 值域 R [) ∞+，0 (][) ∞+∞，，ab ab 22--Y [)+∞-,a b 必过点 ）（0,1 () 1,1 )2,(2,ab a b ab a b -- ）（ ) ,(,a b b a b a --）（ 周期性 不是周期函数 不是周期函数 不是周期函数 不是周期函数 单调性 单调递减。 单调递增。，, 101<<>a a 为增函数 定义域内 递增。递减，，递减，递增，，???? ??+∞???? ????? ? ? ????? ??∞,00,---a b a b a b a b (][)函数。 上为常值为增函数。 为减函数。 ，],[,-b a b a +∞∞ 最大最小值 无最大最小值 最小值为 0min =y ，无最 大值 无最大最小值 a b y -=min 奇偶性 非奇非偶 非奇非偶 奇函数 对称性 既不是轴对称也不是中心对称 既不是轴对称也不是中心对称 关于原点成中心对称 关 于 直 线 2 b a x += 对称。 渐近线 直线x=0 ax y =和0=x O y x a b a b -ab 2ab 2-O y x a b a b -的情况 只了解中学研究方便通常 ） （00>>+=b a x b ax y 为偶函数0=+b a 常见函数的图象及性质 1.一次函数 一般地，形如)0(≠+=k b kx y ，此函数图象为直线，作图常用两点作图法，即图象过（0，b ），)0,(k b -。一次函数的函数图象和性质如下表所示。 例1：函数[),5,2,12∈+=x x y 函数的值域为 . 2.二次函数 一般地，形如)0(,2 ≠++=a c bx ax y ，此函数图象为抛物线，作图需找准对称轴方程 a b x 2-=，顶点坐标)44, 2(2a b ac a b --，开口放向（a>0开口向上，a<0开口向下），图 例2：函数[]4,2,22 -∈+=x x x y ，函数的值域为 . 例3： ,0,130 ,1)(2 ? ??≤++->+=x x x x x x f 求)1()2(-?f f = . 3.基本初等函数。 基本初等函数有指数函数，对数函数，幂函数。这些是我们高中所学习的内容，以下将分别对这几种函数的图象和性质加以归纳。 一般地，形如)1,0(,≠>=a a a y x 的函数，指数函数的自变量在指数上，它形式严格。指数函数的函数图象和性质如下表所示。 例4：求下列函数的定义域和值域。 4 12 .)1(-=x y 3 22)2 1(.)2(--=x x y x y 21.)3(-= 例5：解不等式 2)2 1.)(1(22≤-x （ 2.）e e x >+12 例6：如果)1,0(422≠>>+-a a a a x x x ，求x 的取值范围。 一般地，形如)1,0(,log ≠>=a a x y a 的函数，对数函数的自变量在真数上，它形式严格。指数函数的函数图象和性质如下表所示。 例7：比较下列值的大小。 π2 12 1log ;3log .)1( 2.0ln ;2.0lg .)2( （3.）2log ;3log 32 例8：解不等式。 1)1ln(.)1(>-x 03log ).)(log 2(22 122≥-+x x 例9：已知函数)2lg()(b x f x -=，（b 为常数），当[)+∞∈,1x 时，0)(≥x f 恒成立，求 实数b 的取值范围。 基本初等函数及图形 (1) 常值函数（也称常数函数） y =c （其中c 为常数） (2) 幂函数 μ x y =，μ是常数； (3) 指数函数 x a y = (a 是常数且01a a >≠，)，),(+∞-∞∈x ； (4) 对数函数 x y a log =(a 是常数且01a a >≠，)，(0,)x ∈+∞； 1. 当u 为正整数时，函数的定义域为区间) ,(+∞-∞∈x ，他们的图形都经过原点，并当 u>1时在原点处与X 轴相切。且u 为奇数时，图形关于原点对称；u 为偶数时图形关于Y 轴对称； 2. 当u 为负整数时。函数的定义域为除去x=0的所有实数。 3. 当u 为正有理数m/n 时，n 为偶数时函数的定义域为（0, +∞），n 为奇数时函数的定义域为（-∞+∞）。函数的图形均经过原点和（1 ,1）. 如果m>n 图形于x 轴相切,如果m 正弦函数 x y sin =，),(+∞-∞∈x ，]1,1[-∈y ， 余弦函数 x y cos =，),(+∞-∞∈x ，]1,1[-∈y ， 正切函数 x y tan =， 2π π+ ≠k x ，k Z ∈，),(+∞-∞∈y ， 余切函数 x y cot =，πk x ≠，k Z ∈，),(+∞-∞∈y ； 第二章 基本初等函数 一、指数函数 （一）指数与指数幂的运算 1．根式的概念：一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N * ． ◆ 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00=n 。 当n 是奇数时，a a n n =，当n 是偶数时，???<≥-==) 0() 0(||a a a a a a n n 2．分数指数幂 正数的分数指数幂的意义，规定： ) 1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m ， )1,,,0(1 1* >∈>= = - n N n m a a a a n m n m n m ◆ 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3．实数指数幂的运算性质 （1）r a ·s r r a a += ),,0(R s r a ∈>； （2）rs s r a a =)( ),,0(R s r a ∈>； （3） s r r a a ab =)(),,0(R s r a ∈>． （二）指数函数及其性质 1、指数函数的概念：一般地，函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ． 注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1． 2 注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：（1）在[a ，b]上， )1a 0 a (a )x (f x ≠>=且值域是)]b (f ),a (f [或)]a (f ),b (f [； （2）若0x ≠，则1)x (f ≠；)x (f 取遍所有正数当且仅当R x ∈； （3）对于指数函数)1a 0a (a )x (f x ≠>=且，总有a )1(f =； 二、对数函数 （一）对数 1．对数的概念：一般地，如果N a x =)1,0(≠>a a ，那么数x 叫做以．a 为．底．N 的对数，记作：N x a log =（a — 底数，N — 真数，N a log —对数式） 说明：○1 注意底数的限制0>a ，且1≠a ； ○ 2 x N N a a x =?=log ； ○ 3 注意对数的书写格式． 两个重要对数： ○ 1 常用对数：以10为底的对数N lg ； ○ 2 自然对数：以无理数Λ71828.2=e 为底的对数的对数N ln ． ◆ 指数式与对数式的互化 幂值 真数 ＝ b 一次函数的图像、性质总结（阅读+理解） 一、一次函数的图像 Name 1.正比例函数y=kx (k ≠0,k 是常数)的图像是经过O （0，0）和M （1，k ）两点的一条直线（如图13-17）.（1）当k ＞0时，图像经过原点和第一、三像限；（2）k ＜0时，图像经过原点和第二、四像限. 2.一次函数y=kx+b (k 是常数，k ≠0)的图像是经过A （0,b ）和B （- k b ，0）两点的一条直线，当kb ≠0时，图像（即直线）的位置分4种不同情况： （1）k ＞0,b ＞0时，直线经过第一、二、三像限，如图13-18A （2）k ＞0,b ＜0时，直线经过第一、三、四像限，如图13-18B （3）k ＜0,b ＞0时，直线经过第一、二、四像限，如图13-18C （4）k ＜0,b ＜0时，直线经过第二、三、四像限，如图13-18D 3.一次函数的图像的两个特征 （1）对于直线y=kx+b(k ≠0),当x=0时,y=b 即直线与y 轴的交点为A （0,b ）,因此b 叫直线在y 轴上的截距. （2）直线y=kx+b(k ≠0)与两直角标系中两坐标轴的交点分别为A （0，b ）和B （-k b ，0）. 4.一次函数的图像与直线方程 （1）一次函数y=kx+b(k ≠0)的图像是一条直线，因此y=kx+b(k ≠0)也叫直线方程.但直线方程不一定都是一次函数. （2）与坐标轴平行的直线的方程. ①与x 轴平行的直线方程形如：y=a （a 是常数）.a ＞0时，直线在x 轴上方；a=0时， 直线与x轴重合；a＜0时，直线在x轴下方.（如图13-19） ②与y轴平行的直线方程形如x=b（b是常数），b＞0时，直线在y轴右方，b=0时，直线与y轴重合；b＜0时，直线在y轴左方，(如图13-20). 二、两条直线的关系 1.与坐标轴不平行的两条直线l1:y1=k1x+b1,l2:y2=k2x+b, 若l1与l2相交，则k1≠k2，其交点是联立这两条直线的方程，求得的公共解; 若l1与l2平行，则k1= k 2. 三、一次函数的增减性 1.增减性如果函数当自变量在某一取范围内具有函数值随自变量的增加（或减少）而增加（或减少）的性质，称为该函数当自变量在这一取值范围内具有增减性，或称具有单调性. 2.一次函数的增减性 一次函数y=kx+b在x取全体实数时都具有如下性质： （1）k＞0时，y随x的增加而增加； （2）k＜0时，y随x的增加而减小. 3.用待定系数法求一次函数的解析式： 若已知一次函数的图像（即直线）经过两个已在点A（x1，y1）和B(x2，y2)求这个一次函数的解析式，其方法和步骤是： （1）设一次函数的解析式：y=kx+b(k≠0) （2）将A、B两点的坐标代入所设函数的解析式，得两个方程：y1=kx1+b① y2=kx2+b②（3）联立①②解方程组，从而求出k、b值. 这一先设系数k、b，从而通过解方程求系数的方法以称为待定系数法. 一、一次函数与二次函数 （一）一次函数 （1）二次函数解析式的三种形式 ①一般式：2 ()(0)f x ax bx c a =++≠ ②顶点式：2 ()()(0)f x a x h k a =-+≠ ③两根式：12()()()(0)f x a x x x x a =--≠ （2）求二次函数解析式的方法 ①已知三个点坐标时，宜用一般式． ②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式． ③若已知抛物线与x 轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求()f x 更方便． （3）二次函数图象的性质 定义域 (),-∞+∞ 对称轴 2b x a =- 顶点坐标 24,24b ac b a a ??-- ??? 值域 24,4ac b a ??-+∞ ? ?? 24,4ac b a ??--∞ ? ?? 单调区间 ,2b a ? ?-∞- ? ? ?递减 ,2b a ??- +∞ ??? 递增 ,2b a ? ?-∞- ? ? ?递增 ,2b a ?? - +∞ ??? 递减 ①.二次函数2 ()(0)f x ax bx c a =++≠的图象是一条抛物线，对称轴方程为,2x a =- 顶点坐标是2 4(,)24b ac b a a -- ②当0a >时，抛物线开口向上，函数在(,]2b a -∞- 上递减，在[,)2b a -+∞上递增，当2b x a =-时，2min 4()4ac b f x a -=；当0a <时，抛物线开口向下，函数在(,]2b a -∞-上递 增，在[,)2b a -+∞上递减，当2b x a =- 时，2max 4()4ac b f x a -=． 二、幂函数 （1）幂函数的定义 叫做幂函数，其中x 为自变量，α是常数． （2 §3.指数函数图像和性质 一、教材分析 教材的地位和作用 函数是高中数学学习的重点和难点，函数的思想贯穿于整个高中数学之中。本节课是学生在已掌握了函数的一般性质和简单的指数运算的基础上，进一步研究指数函数，以及指数函数的图象与性质。一方面可以进一步深化学生对函数概念的理解与认识，使学生得到较系统的函数知识和研究函数的方法，同时也为今后进一步熟悉函数的性质和作用，研究对数函数以及等比数列的性质打下坚实的基础。因此，本节课的内容十分重要，它对知识起到了承上启下的作用。 重难点分析 教学重点：指数函数的图像、性质及其简单运用 教学难点：指数函数图象和性质的发现过程，及指数函数图像与底的关系。 二、教学目标分析 知识目标：理解指数函数的定义，掌握指数函数的图像、性质及其简单应用能力目标：通过教学培养学生观察、分析、归纳等思维能力，体会数形结合和分类讨论思想以及从特殊到一般等学习数学的方法，增强识图用图的能力情感目标：通过学习，使学生学会认识事物的特殊性与一般性之间的关系，构建和谐的课堂氛围，培养学生勇于提问，善于探索的思维品质。 三、教法学法分析 教法分析 采用梳理—探究—训练的教学方法，充分利用多媒体辅助教学，通过学生的互动探究，教师点拨，启发学生主动观察、主动思考、动手操作、自主探究来达到对知识的发现和接受 学法分析 学生思维活跃，求知欲强，但在思维习惯上还有待教师引导；从学生原有知识和能力出发，在教师的带领下创设疑问，通过合作交流，共同探索，逐步解决问题。 四、教学过程分析 1.创设情景，形成概念 2.发现问题，探究新知 3.深入探究，加深理解 4.强化训练，巩固双基 5.小结归纳，拓展深化 6.布置作业，升华提高 第三章 基本初等函数（Ⅰ） 一、指数和指数函数 ①指数 1、定义：n a 叫做a 的n 次幂，a 叫做幂的底数，n 叫做幂的指数。规定：1 a a = 2、整数指数幂的运算法则： m n m n a a a + ?= () n m m n a a = (),0m m n n a a m n a a -=>≠ ()m m m ab a b =? 规定：()010a a =≠，；()1 0n n a a a -= ≠ 3、平方根：如果2 x a =，则x 叫做a 的平方根 当0a >时，有两个平方根，互为相反数，记作：a ±（a 为算术平方根） 当0a = 时，00= 当0a <时，在实数范围内没有平方根 立方根：如果3 x a =，则x 叫做a 的立方根（或三次方根） 在实数范围内a 只有一个立方根，记作3a 举例382=，382-=-，311 273 - =- n 次方根：如果n x a =（,1,a R n n N +∈>∈） ，则x 叫做a 的n 次方根 注意：（1）偶次方根： 正数的偶次方根有两个，互为相反数，记作：,,n n a a - （0,a a >为偶数）负数的偶次方根在实数范围内不存在 （2）奇次方根：正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数，都表示为n a （3）算术根： 正数的正n 次方根叫做的a 的n 次算术根 4、根式：当n a 有意义时，n a 叫做根式，n 叫做根指数 5、根式性质：（1） () ()1,n n a a n n N +=>∈； （2）,,n n a n a a n ??=??? 为奇数为偶数 6、分数指数幂性质：（1）()10n n a a a = >； （2）()() ()11 ,0m m m n m m n n n n a a a a a a ??=== => ??? ；（3）11 m n m n m n a a a - = = 函数的基本性质【教学目标】 【教学重点】 函数的基本性质及应用 【教学难点】 函数关系的建立、用函数的性质解决简单的实际问题与领悟数学思想方法。 【教学过程】： 一．知识整理 1．基本思想 （1）函数主要研究两个变量的相互联系，故涉及到两个变量的相互作用、相互影响的问题，大多可用函数的观点来解决。 （2）研究函数的主要途径是函数的图象和基本性质（以图象说明性质）。 2.主要问题： （1）函数图象的基本作法：a.分段 b.平移 c.对称 d.伸缩 （2）函数单调性的求法：a.图象 b.单调运算 c.复合函数 d.定义 （3）函数最值（或范围）的求法：a.图象 b.单调性 c.不等式 d.复合函数 e.换元 f.数形结合 （4）反函数求法：①解出x =φ(y)，②调换x,y, ③写出反函数定义域 3.函数的基本性质 函数定义：在某个变化过程中有两个变量x,y，如果对于x在某个实数集合D内的每一个确定的值，按照某个对应法则f，y都有唯一确定的实数值与之对应，那么y就是x函数，记作y = f (x)，x∈D，x叫做自变量，x的取值范围D叫做函数的定义域，和x 的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。 函数的相等：定义域相同，对应法则相同 函数图象：以自变量x的值为横坐标，与x的值对应的y的值为纵坐标所构成的点集，即{(x,y)|y = f (x), x∈D} a.定义域：自变量x的取值范围；亦为函数图象上点的横坐标的集合 b.值域：因变量y的取值范围；亦为函数图象上点的纵坐标的集合 c.奇偶性：如果对于函数f(x)的定义域D内的任意实数a，都有f(-a)= f(a)，则称函数 f(x)为偶函数； 如果对于函数f(x)的定义域D内的任意实数a，都有f(-a)=-f(a)，则称函数f(x) 为奇函数；(完整版)六大基本初等函数图像及其性质
最新基本初等函数经典总结
函数的基本性质知识点归纳与题型总结
(完整版)基本初等函数图像及其性质表
基本初等函数函数性质图象总结
6类基本初等函数的图形及性质(考研数学基础)_完美版
基本初等函数I知识点总结
一次函数性质小结(经典总结)
基本初等函数图像及性质大全
指数函数图像与性质的教案
基本初等函数(Ⅰ)知识点总结
高中数学-函数的基本性质小结
六大基本初等函数图像及其性质