函数的性质的运用
1.若函数y f x x R =∈()()是奇函数,则下列坐标表示的点一定在函数
y f x =()图象上的是( )
A.(())a f a ,-
B.(())--a f a ,
C.(())---a f a ,
D.(())a f a ,-
2. 已知函数)(1
22
2)(R x a a x f x x ∈+-+?=
是奇函数,则a 的值为( )
A .1-
B .2-
C .1
D .2 3.已知f (x )是偶函数,g (x )是奇函数,若1
1)()(-=
+x x g x f ,则f (x )
的解析式为_______.
4.已知函数f (x )为偶函数,且其图象与x 轴有四个交点,则方程f (x )=0的所有 实根之和为________.
5.定义在R 上的单调函数f (x )满足f (3)=log 23且对任意x ,y ∈R 都有f (x+y )=f (x )+f (y ). (1)求证f (x )为奇函数;
(2)若f (k ·3x )+f (3x -9x -2)<0对任意x ∈R 恒成立, 数k 的取值围.
6.已知定义在区间(0,+∞)上的函数f(x)满足f()2
1
x x =f(x 1)-f(x 2),且当x >1时,f(x)<0. (1)求f(1)的值;
(2)判断f(x )的单调性;
(3)若f(3)=-1,解不等式f(|x|)<-2.
7.函数f(x)对任意的a 、b ∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当x >0时,f(x)>1. (1)求证:f(x)是R 上的增函数;
(2)若f(4)=5,解不等式f(3m 2
-m-2)<3.
8.设f (x )的定义域为(0,+∞),且在(0,+∞)是递增的,)()()(y f x f y
x
f -=
(1)求证:f (1)=0,f (xy )=f (x )+f (y ); (2)设f (2)=1,解不等式2)3
1
(
)(≤--x f x f 。
9.设函数()f x 对x R ∈都满足(3)(3)f x f x +=-,且方程()0f x =恰有6个不同 的实数根,则这6个实根的和为( )
0 B .9 C .12 D .18
10.关于x 的方程 22(28)160x m x m --+-=的两个实根 1x 、2x 满足 123
2
x x <<,
则实数m 的取值围
11.已知函数()()y f x x R =∈满足(3)(1)f x f x +=+,且x ∈[-1,1]时,()||f x x =, 则()y f x =与5log y x =的图象交点的个数是( )
A .3
B .4
C .5
D .6
12.已知函数()f x 满足:4x ≥,则()f x =1()2
x
;当4x <时()f x =(1)f x +,则
2(2log 3)f +=
A
124 B 1
12
C 18
D 38
13.已知函数f (x )在(-1,1)上有定义,f (
2
1
)=-1,当且仅当0 xy y x ++1),试证明: (1)f (x )为奇函数; (2)f (x )在(-1,1)上单调递减. 14.函数f (x )= 1 1112 2+++-++x x x x 的图象( ) A.关于x 轴对称 B.关于y 轴对称 C.关于原点对称 D.关于直线x =1对称 15.函数f (x )在R 上为增函数,则y =f (|x +1|)的一个单调递减区间是_________. 16.若函数f (x )=ax 3 +bx 2 +cx +d 满足f (0)=f (x 1)=f (x 2)=0 (0 则b 的取值围是_________. 17.已知函数f (x )=a x + 1 2 +-x x (a >1). (1)证明:函数f (x )在(-1,+∞)上为增函数. (2)用反证法证明方程f (x )=0没有负数根. 18.求证函数f (x )=2 23 )1(-x x 在区间(1,+∞)上是减函数. 19设函数f (x )的定义域关于原点对称且满足: (i)f (x 1-x 2)= ) ()(1 )()(1221x f x f x f x f -+?; (ii)存在正常数a 使f (a )=1.求证: (1)f (x )是奇函数. (2)f (x )是周期函数,且有一个周期是4a . 20.已知函数f (x )的定义域为R ,且对m 、n ∈R ,恒有f (m +n )=f (m )+f (n )-1,且 f (-21)=0,当x >-2 1 时,f (x )>0. (1)求证:f (x )是单调递增函数; (2)试举出具有这种性质的一个函数,并加以验证. 21.已知奇函数f (x )是定义在(-3,3)上的减函数,且满足不等式f (x -3)+f (x 2 -3)<0, 设不等式解集为A ,B =A ∪{x |1≤x ≤5}, 求函数g (x )=-3x 2 +3x -4(x ∈B )的最大值. 22.设f (x )是(-∞,+∞)上的奇函数,f (x +2)=-f (x ),当0≤x ≤1时,f (x )=x ,则f (7.5)等于( ) A.0.5 B.-0.5 C.1.5 D.-1.5 23.已知定义域为(-1,1)的奇函数y =f (x )又是减函数,且f (a -3)+f (9-a 2 )<0,则a 的取值 围是( ) A.(22,3) B.(3,10) C.(22,4) D.(-2,3) 24.若f (x )为奇函数,且在(0,+∞)是增函数,又f (-3)=0,则xf (x )<0的解集为_________. 25.如果函数f (x )在R 上为奇函数,在(-1,0)上是增函数,且f (x +2)=-f (x ), 试比较f ( 31),f (3 2 ),f (1)的大小关系_________. 参考答案 6.(1)f(1) = f(1/1) = f(1) - f(1) = 0。 (2)当0 < x < y 时,y/x > 1,所以f(y) - f(x) = f(y/x) < 0 。故f 单调减。 (3)f(3) = -1,f(3) = f(9/3) = f(9) - f(3),f(9) = -2而 f (|x |)<-2 = f(9),且f 单调减,所以| x | > 9 x >9或x <-9 7.(1)设x1,x2∈R ,且x1<x2, 则x2-x1>0,∴f(x2-x1)>1. f(x2)-f(x1)=f((x2-x1)+x1)-f(x1) =f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1) =f(x2-x1)-1>0. ∴f (x2)>f(x1).即f(x)是R 上的增函数. (2)∵f (4)=f (2+2)=f (2)+f (2)-1=5,∴f (2)=3,∴原不等式可化为f(3m2-m-2)<f(2), ∵f(x)是R 上的增函数,∴3m2-m-2<2, 解得-1<m < ,故解集为 . 13.证明:(1)由f (x )+f (y )=f ( xy y x ++1),令x =y =0,得f (0)=0,令y =-x ,得f (x )+f (-x )=f (2 1x x x --)=f (0)=0 ∴f (x )=-f (-x ).∴f (x )为奇函数. (2)先证f (x )在(0,1)上单调递减. 令0 2 11 21x x x x --) ∵0 1 21 21x x x x -->0, 又(x 2-x 1)-(1-x 2x 1)=(x 2-1)(x 1+1)<0 ∴x 2-x 1<1-x 2x 1, ∴0< 12121x x x x --<1,由题意知f (2 11 21x x x x --)<0, 即f (x 2) ∴f (x )在(0,1)上为减函数,又f (x )为奇函数且f (0)=0. ∴f (x )在(-1,1)上为减函数. 14.解析:f (-x )=-f (x ),f (x )是奇函数,图象关于原点对称. 答案:C 15.解析:令t =|x +1|,则t 在(-∞,-1]上递减,又y =f (x )在R 上单调递增,∴y =f (|x +1|)在(-∞,-1]上递减. 3 4??? ?? -34,1 答案:(-∞,-1] 16.解析:∵f (0)=f (x 1)=f (x 2)=0,∴f (0)=d =0.f (x )=ax (x -x 1)(x -x 2)=ax 3 -a (x 1+x 2)x 2 +ax 1x 2x , ∴b =-a (x 1+x 2),又f (x )在[x 2,+∞)单调递增,故a >0.又知0<x 1<x ,得x 1+x 2>0, ∴b =-a (x 1+x 2)<0. 答案:(-∞,0) 17.证明:(1)设-1<x 1<x 2<+∞,则x 2-x 1>0, 12x x a ->1且1x a >0, ∴)1(12112-=--x x x x x a a a a >0,又x 1+1>0,x 2+1>0 ∴ ) 1)(1() (3)1)(1()1)(2()1)(2(121221122121121122++-= +++--+-=+--+-x x x x x x x x x x x x x x >0, 于是f (x 2)-f (x 1)=12x x a a -+ 1 2 121122+-- +-x x x x >0 ∴f (x )在(-1,+∞)上为递增函数. (2)证法一:设存在x 0<0(x 0≠-1)满足f (x 0)=0,则12000+--=x x a x 且由0<0x a <1得0<-1200+-x x <1,即2 1 <x 0 <2与x 0<0矛盾,故f (x )=0没有负数根. 证法二:设存在x 0<0(x 0≠-1)使f (x 0)=0,若-1<x 0<0,则 1 2 00+-x x <-2,0x a <1,∴f (x 0)<-1与f (x 0)=0矛盾,若x 0<-1,则 1 2 00+-x x >0, 0x a >0,∴f (x 0)>0与f (x 0)=0矛盾,故方程f (x )=0没有负数根. 18.证明:∵x ≠0,∴f (x )= 2 2422322)11(1 )1(1)1(1x x x x x x x -= -=-, 设1<x 1<x 2<+∞,则 01111,1112 1 2 2 2 1 2 2 >- >- < 2 2 1 12 2 2 22 2 1 12 2 2 2)11(1)11(1.0)11()11(x x x x x x x x - <- ∴>->- ∴ ∴f (x 1)>f (x 2),故函数f (x )在(1,+∞)上是减函数. 19.证明:(1)不妨令x =x 1-x 2,则f (-x )=f (x 2-x 1)= ) ()(1 )()()()(1)()(12212112x f x f x f x f x f x f x f x f -+-=-+ =-f (x 1-x 2)=-f (x ).∴f (x )是奇函数. (2)要证f (x +4a )=f (x ),可先计算f (x +a ),f (x +2a ). ∵f (x +a )=f [x -(-a )]= )1)((1 )(1 )()()(1)()()()(1)()(=+-=--+-=---+-a f x f x f x f a f x f a f x f a f x f a f . ). (1 1 1 )(1)(1 1)(1 )(1)(1)(])[()2(x f x f x f x f x f a x f a x f a a x f a x f - =++--+-=++-+=++=+∴ ∴f (x +4a )=f [(x +2a )+2a ]=) 2(1 a x f +-=f (x ),故f (x )是以4a 为周期的周期函数. 20.证明:设x 1<x 2,则x 2-x 1- 21>-21,由题意f (x 2-x 1-2 1 )>0, ∵f (x 2)-f (x 1)=f [(x 2-x 1)+x 1]-f (x 1)=f (x 2-x 1)+f (x 1)-1-f (x 1)=f (x 2-x 1)-1=f (x 2-x 1)+f (-2 1 )-1=f [(x 2-x 1)- 2 1 ]>0, ∴f (x )是单调递增函数. (2)解:f (x )=2x +1.验证过程略. 21.解:由? ??<<-<??<-<-<-<-666 03333332 x x x x 得且x ≠0,故0 -3)=f (3-x 2 ),又f (x )在(-3,3)上是减函数, ∴x -3>3-x 2 ,即x 2 +x -6>0,解得x >2或x <-3,综上得2 +3x -4=-3(x - 21)2-4 13 知:g (x )在B 上为减函数,∴g (x )max =g (1)=-4. 22.解析:f (7.5)=f (5.5+2)=-f (5.5)=-f (3.5+2)=f (3.5)=f (1.5+2)=-f (1.5)=-f (-0.5+2)= f (-0.5)=-f (0.5)=-0.5. 答案:B 23.解析:∵f (x )是定义在(-1,1)上的奇函数又是减函数,且f (a -3)+f (9-a 2 )<0. ∴f (a -3)<f (a 2 -9). ∴??? ??->-<-<-<-<-9 31911 312 2a a a a ∴a ∈(22,3). 答案:A