河北中考数学复习第7讲一元二次方程
第7讲一元二次方程
1. (2019，河北)嘉淇同学用配方法推导一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0(a ^ 0)的求根公式时,
对于b 2— 4ac>0的情况，她是这样做的：
由于0,方程ax 2 + bx + c = 0变形为：
【思路分析】 本题考查了用配方法解一元二次方程?用配方法解一元二次方程的步骤： (1)
形如x 2+ px + q = 0型.第一步，移项，把常数项移到方程右边；第二步，配方，左、右两边 加上一次项系数一半的平方；第三步，左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可. (2)形
如ax 2 + bx + c = 0型?方程两边同时除以二次项系数，即化成
x 2 + px + q = 0型，然后配方.
”
—b ± b 2— 4ac
解: (1)四 x =
1- 2a
2
⑵移项，得x — 2x = 24.
配方，得 x 2— 2x + 1 = 24 + 1，即(x — 1)2= 25. 开方，得x — 1 = ±5. x 1 = 6, x 2=— 4.
2. (2019，河北)若关于x 的方程x 2+ 2x + a = 0不存在实数根，则a 的取值范围是(B) A. a v 1
B. a > 1
C. a < 1
D. a > 1
【解析】???关于x 的方程x 2 + 2x + a = 0不存在实数根，??? b 2— 4ac = 22— 4X 1X a v 0.解 得 a > 1.
2
2
2
2
3. (2019，河北)a , b , c 为常数，且(a — c) >a + c ,则关于x 的方程ax + bx + c = 0根的 情况是(B)
A.
有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.无实数根
D.有一根为0
【解析】 由(a — c)2>a 2+ c 2得出一2ac > 0,^A = b 2 — 4ac > 0.「.方程有两个不相等的实数根.
2
丄 b
c x + a x =—
a ，…第步
x 2, b x +色* = c +d 彳…第一步 x + a x + 2a =—
a +
2a ，第二步
2 2
(b X b — 4ac x +
亦=47
，…第三步
x + 2- = b ：4ac (b 2— 4ac>0)，…第四步 2a
4a '
—b +「■. ：b — 4ac
?…第五步
4a 2a
(1)嘉淇的解法从第 =0(a ^ 0)的求根公式是
四 步开始岀现错误：事实上，当 —b ± b 2 — x= -------- ;
------- b 2 — 4ac>0 时，方程 ax 2 + bx + c
(2)用配方法解方程:
4ac
2a )； x 2— 2x — 24= 0.
I二D一丿一元二次方程的概念及解法
x
例1解下列方程：
2
(1) x — 2x — 1 = 0;
2
(2) x — 1 = 2(x + 1);
2 1
(3) x + 3x = — 4.
【思路分析】 根据所给方程的形式，选择合适的方法解方程. 解：(1) a = 1， b = — 2， c =— 1.
2
△ = b — 4ac = 4 + 4 = 8> 0. ???方程有两个不相等的实数根.
即 x 1 = 1+ 2, x 2= 1 — 2. ⑵移项，得 x 2— 1 — 2(x + 1) = 0, (x + 1)(x — 1) — 2(x + 1) = 0,
因式分解，得(x + 1)(x — 1 — 2) = 0, 于是，得x + 1 = 0或x — 3 = 0. ? ? x 1
1 , X
2 3.
⑶配方，得 X 2+3x +
2 =—
4+
2 ,
=2.
由此可得x +詁士 2. ? x 1=—
2+.2
, x 2=—
3- .2.
针对训练1(2019，邯郸一模)用配方法解一元二次方程 2x 2 — 4x — 2= 1的过程中，变形正
确的是(C)
2 2
A. 2(x — 1) = 1
B. 2(x — 2) = 5
2 5
2 5
C. (x — 1) =
D. (x — 2) =
2
2
2
3 2 3 2 5
【解析】 2x — 4x — 2= 1, 2x — 4x = 3, x — 2x = q , x — 2x + 1 = - + 1, (x — 1) = ?.也可以
把各选项中的方程展开化为一般形式，和题干中的方程做对比
例2 （2019 ,扬州）如果关于x 的方程mx 2— 2x + 3 = 0有两个不相等的实数根， 那么m 的取
值范围是（m v 3且m ^ 0 ）.
1
【解析】???方程有两个不相等的实数根， ? 4 — 12m>0.解得m<§.但当m = 0时，原方程 不是一元二次方程，所以 m 工0.
针对训练2（2019，石家庄桥西区一模）常数a , b , c 在数轴上的位置如图所示，则关于
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—b ± b 2— 4ac
2a
2± 2.2
2
=1士一 2, 元二次方程根的判别式
x
的一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0根的情况是(B)
训练2题图
A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根
C.无实数根
D.无法确定
针对训练3 (2019,张家口桥东区模拟)若关于x 的一兀二次方程-4-x 2^ \： 3x + tan a = 0有 两个相等的实数根，则锐角 a 等于(D)
A. 15 °
B.30 °
C.45°
D. 60 °
【解析】???方程有两个相等的实数根， .?? △= C .3)2 — 4^~4 x tan a = 0.解得tan a = — 3.
???a = 60°
一元二次方程的实际应用
例3 (2019，宜昌，导学号5892921)某市创建“绿色发展模范城市”，针对境内长江段两 种主要污染源：生活污水和沿江工厂污染物排放，分别用“生活污水集中处理” (下称甲方案)
和“沿江工厂转型升级”(下称乙方案)进行治理?若江水污染指数记为 Q ,沿江工厂用乙方案
进行一次性治理(当年完工)，从当年开始，所治理的每家工厂一年降低的 Q 值都以平均值 n
计算，第一年有40家工厂用乙方案治理，共使 Q 值降低了 12.经过三年治理，境内长江水质
明显改善.
(1) 求n 的值；
(2) 从第二年起，每年用乙方案新治理的工厂数量比上一年都增加相同的百分数 m ,三年
来用乙方案治理的工厂数量共
190家，求m 的值，并计算第二年用乙方案新治理的工厂数量；
⑶该市生活污水用甲方案治理，从第二年起，每年因此降低的
Q 值比上一年都增加一个
相同的数值a.在(2)的情况下，第二年，用乙方案所治理的工厂合计降低的 Q 值与当年用甲方
案治理降低的Q 值相等.第三年，用甲方案使 Q 值降低了 39.5.求第一年用甲方案治理降低的 Q 值及a
的值.
【思路分析】(1)平均数X 数量=总数.(2)按相同增长率，第一年 40家，第二年40(1 + m)家，第三年40(1 + m)2家，三年总和等于190家列方程求解即可.(3)先求出第二年用甲方案 治理降低的Q 值，再根据第三年用甲方案使
Q 值降低了 39.5，列方程组求解即可.
解：(1) ?/40n = 12，. n = 0.3.
⑵根据题意，得 40+ 40(1 + m) + 40(1 + m) = 190. 1 7
解得 m 1 = 2， m 2= —
2(舍去). ? m = 50%.
???第二年用乙方案新治理的工厂数量为 40(1 + m)= 40X (1 + 50%) = 60(家). (3)
设第一年用甲方案治理降低的 Q 值为x. 第二年Q 值用乙方案治理降低了
100n = 100 X 0.3= 30.
【解析】 从数轴上可知, a ，c 异号，则b 2
— 4ac>0,所以方程有两个不相等的实数根
【解析】 设道路的宽为x m .根据题意，得(32 - 2x)(20 - x) = 570. 针对训练5 (2019，眉山)某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六个档次，第一档次
(即最低档次)
的产品生产76件，每件利润10元?调查表明：生产提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件 利润增加2元.
(1) 若生产的某批次蛋糕产品每件利润为 14元，此批次蛋糕产品属第几档次产品？ (2) 由于生产工序不同，蛋糕产品每提高一个档次，一天产量会减少 4件.若生产的某档
次产品一天的总利润为 1 080元，该烘焙店生产的是第几档次的产品？
【思路分析】 ⑴利润增加的量除以 2即为档次提高的量.⑵设生产的是第x 档次产品，则相
应的产量是76 - 4(x - 1)，每件利润是10 + 2(x - 1);等量关系是：每件利润
X 产量=总利润.
解：(1)(14 - 10)吃 + 1 = 3(档次). 答：此批次蛋糕产品属第三档次产品.
(2)设该烘焙店生产的是第 x 档次的产品.
根据题意，得[76 - 4(x - 1)][10 + 2(x - 1)] = 1 080. 整理，得 x 2- 16x + 55= 0.
解得禺=5, X 2= 11(不合题意，舍去). 答：该烘焙店生产的是第五档次的产品. 一、 选择题
1. 已知关于x 的方程x 2-mx + 3 = 0的一个解为x =- 1,贝y m 的值为(A) A. - 4
B. 4
C. - 2
D. 2
【解析】 把x =- 1代入原方程，得 m =- 4.
2. (2019，石家庄 28 中质检)若 x 2+ 4x - 4= 0，则 3(x - 2)2- 6(x + 1)(x - 1)的值为(B) A. - 6
B. 6
C. 18
D. 30
【解析】 已知条件转化为 x 2+ 4x = 4,原式=-3x 2- 12x + 18=- 3(x 2 + 4x) + 18 = 6. 3. (2019，石家庄40中二模)用配方法解方程 x 2 + x - 1 = 0,配方后所得方程是
B.
根据题意，得
x + a = 30,
x + 2a = 39.5.
解得 x = 20.5, <
a = 9.5.
针对训练4(2019,白银)如图，某小区计划在一块长为 32 m 、宽为20 m 的矩形空地上修
建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为 则下面所列方程正确的是(A)
训练4题图
2
570 m .若设道路的宽为x m ,
A. (32 - 2x)(20 - x)= 570
C. (32 - x)(20 - x) = 32 X 20 - 570
B. 32x + 2X 20x = 32 X 20-570 2
D. 32x + 2X 20x - 2x = 570
(C)
2 2
B. x +1 = 4 D. x —2 = 5
【解析】 配方过程 X 2 + x = 1 , X 2 + x + ￡2= 1 + ￡ 2，[x+ 2 2 =
4.
4. (2019，唐山路南区一模)已知关于x 的方程x 2+ mx — 1 = 0的根的判别式的值为 5，则 m 的值为(D)
A. ± 3
B. 3
C. 1
D. ± 1
【解析】 根据题意，得 A= m 2+ 4= 5?解得m =±.
5. (2019，唐山丰南区一模)现定义运算“★”， 对于任意实数a , b ，都有a ★ b = a 2— a b + b.如：3★ 5=于一3X 5 + 5.若x ^2 = 10,则实数x 的值为(C)
A. — 4 或—1
B. 4 或—1
C. 4 或—2
D. — 4 或 2
【解析】 根据题意，得 x * 2 = x 2— 2x + 2. ??? x 2— 2x + 2 = 10.解得 X 1= 4, X 2=— 2. 6. (2019，唐山路南区二模)下列方程中，没有实数根的是 (D)
A. x 2— 2x = 0
B. x 2 — 2x — 1 = 0
C. x 2 — 2x + 1 = 0
D. x 2— 2x + 2= 0
【解析】 选项A , A= 4>0;选项B , A= 8>0 ;选项C , A= 0;选项D , A= — 4<0. 7. (2019，娄底)关于x 的一元二次方程 x 2 —(k + 3)x + k = 0的根的情况是(A)
【解析】?/ A= [ —( k + 3) ]2 — 4k = k 2 + 2k + 9 = (k + 1)2 + 8>0 , ?方程有两个不相等的 实数根.
8. (2019,定西)关于x 的一元二次方程x 2 + 4x + k = 0有两个实数根，则k 的取值范围是(C) A. k <— 4 C. k w 4
9. (2019，桂林)已知关于x 的一元二次方程 2x 2— kx + 3= 0有两个相等的实数根，则
k
的值为(A)
A. ± 2 ；6
B. ± .'6
C. 2 或 3
D. '2或.'3
【解析】 因为方程有两个相等的实数根，所以
A= k 2— 24= 0.解得k = ±2 ;6.
10. (2019，秦皇岛海港区模拟)某城市2019年底已有绿化面积 300 hm 2,经过两年绿化， 绿化面积逐年增加，到 2019年底已达到363 hm 2.设绿化面积的年平均增长率为 x.根据题意, 所列方程正确的是(B)
2
A. 300(1 + x) = 363
B. 300(1 + x) = 363
2
C. 300(1 + 2x) = 363
D. 363(1 — x) = 300
A.有两个不相等的实数根 C.无实数根
B. 有两个相等的实数根 D. 不能确定
B. k v — 4 D. k v 4
【解析】 因为方程有实数根，所以
A= 16 — 4k > 0.解得 k < 4.
【解析】2019年底的绿化面积是 300(1 + x) hm 2, 2019年底的绿化面积是 300(1 + x)2 hm 2, 可得方程.
11. (2019,绵阳)在一次酒会上，每两人都只碰一次杯.若一共碰杯 55次，则参加酒会
的有(C)
A. 9 人
B. 10 人
C. 11 人
D. 12 人
【解析】 设参加酒会的有 x 人，则每人碰杯(x — 1)次.因为每两人都只碰一次杯，所以
二、 填空题
12. (2019，淮安)一元二次方程x 2— x = 0的根是 _1= 0, x 2= 1 【解析】x(x — 1) = 0,得 X 1= 0, X 2= 1.
2
2
13. (2019，秦皇岛海港区模拟)已知x = 1是一元二次方程 x + mx + n = 0的一个根，则 m + 2mn + n 2的值为
1 .
【解析】 把x = 1代入方程，得 m + n =— 1，贝U m 2+ 2mn + n 2 = (m + n)2= 1. 14. (2019，南充)若2n(n ^0)是关于x 的方程x 2— 2mx + 2n = 0的根，则m — n 的值为(2
).
【解析】 把x = 2n 代入方程，得(2n)2— 2m 2n + 2n = 0,变形为2n(2n — 2m + 1) = 0, ?/ 2n 工0, ??? 2n — 2m + 1= 0. A m — n =1
2'
15. (2019,邵阳)已知关于x 的方程x 2 + 3x — m = 0的一个解为x =— 3,则它的另一个解
是 x = 0 .
【解析】 把x =— 3代入方程解得 m = 0,则原方程为x 2 + 3x = 0，可求出另一个解是 x =0.
16. (2019，唐山丰南区一模)若关于x 的方程x 2— 6x + c = 0有两个相等的实数根，则 c 的
值为 9
.
【解析】 因为方程有两个相等的实数根，所以 △= 36 — 4c = 0.解得c = 9.
17. (2019,威海)关于x 的一元二次方程(m — 5)x 2 + 2x + 2= 0有实数根，则m 的最大整数 值是 4
.
11
【解析】 因为方程有实数根， 所以△= 4— 8(m — 5)> 0.解得m <寸.又因为m ^ 5,所以 m 的最大整数值是4.
共碰杯 x (x — 1) 2 次，得方程
x (x — 1 )
2 =55,取正根 x = 11.