2019上海高三数学浦东一模

3.不等式log x1

21>

0的解为

??4x2+16

x≥2

1

?()|x-a|x<2

上海市浦东新区2019届高三一模数学试卷

2018.12

一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）

1.已知全集U=R，集合A=(-∞,1]U[2,+∞)，则

U

A=

2.抛物线y2=4x的焦点坐标为

2

4.已知复数z满足(1+i)?z=4i（i为虚数单位），则z的模为

5.若函数y=f(x)的图像恒过点(0,1)，则函数y=f-1(x)+3的图像一定经过定点

6.已知数列{a}为等差数列，其前n项和为S.若S=36，则a+a+a=

n n9348

7.在△ABC中，角A、B、C对边是a、b、c.若a2=(2+3)?b2，b=c，则A=

8.已知圆锥的体积为3π

π，母线与底面所成角为，则该圆锥的表面积为33

9.已知二项式(x+

1

24x

)n的展开式中，前三项的二项式系数之和为37，则展开式中的第

五项为

10.已知函数f(x)=2x|x+a|-1有三个不同的零点，则实数a的取值范围为

11.已知数列{a}满足：na

n n+2=1007(n-1)a

n+1

+2018(n+1)a(n∈N*)，a=1，a=2，

n12

若lim a

n+1=A，则A=

n→∞a n

?x

12.已知函数f(x)=?，若对任意的x∈[2,+∞)，都存在唯一的

1

??2

x∈(-∞,2)，满足f(x)=f(x)，则实数a的取值范围为

212

二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）

13.“a<1

4”是“一元二次方程

x2-x+a=0有实数解”的（）

A.充分不必要条件

B.充分必要条件

C.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

14.下列命题正确的是（）

1/9

3

A. 如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行

B. 如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行

C. 如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行

D. 如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行

15. 将 4 位志愿者分配到进博会的 3 个不同场馆服务，每个场馆至少 1 人，不同的分配方案

有（

）种

A. 72

B. 36

C. 64

D. 81

uuur uuur

16. 已知点 A(1,-2) ， B(2,0) ， P 为曲线 y = 3 - x 2 上任意一点，则 AP ? AB 的取值范

4

围为（

）

A. [1,7]

B. [-1,7]

C. [1,3 + 2 3]

D. [-1,3 + 2 3]

三. 解答题（本大题共 5 题，共 14+14+14+16+18=76 分）

17. 已知直三棱柱 A B C - ABC 中， AB = AC = AA = 1 ， ∠BAC = 90? .

1 1 1

1

（1）求异面直线 A B 与 B C 所成角；

1

1 1

（2）求点 B 到平面 A BC 的距离.

1

1

18. 已知函数 f ( x ) = 2 3 sin x cos x - 2sin 2 x .

3 4

（1）若角 α 的终边与单位圆交于点 P( , ) ，求 f (α ) 的值；

5 5

（2）当 x ∈ [- π π

, ] 时，求 f ( x ) 的单调递增区间和值域.

6 3

2 / 9

① 3 小时以内（含 3 小时）为健康时间，玩家在这段时间内获得的累积经验值 E ．．．．．

③ 超过 5 小时为不健康时间，累积经验值开始损失，损失的经验值与不健康时间成

（1）当a = 1 时，写出累积经验值 E 与游玩时间 t 的函数关系式 E = f (t ) ，并求出游玩 6 小 ．．．．．

（2）该游戏厂商把累积经验值 E 与游玩时间 t 的比值称为“玩家愉悦指数”，记作 H (t ) ； ， ．．1．．．．．．

19. 某游戏厂商对新出品的一款游戏设定了“防沉迷系统” 规则如下：

．．．． ． （单位： exp ）与游玩时间 t （小时）满足关系式： E = t 2 + 20t + 16a ；

② 3 到 5 小时（含 5 小时）为疲劳时间，玩家在这段时间内获得的经验值为 0

（即累积经验值不变）；

．．．．．

正比例关系，比例系数为 50.

．．．． ．

时的累积经验值；

．．．．．

若 a > 0 ，且该游戏厂商希望在健康时间内，这款游戏的“玩家愉悦指数”不低于 24，

求实数 a 的取值范围.

20. 已知双曲线 Γ : x 2 y 2 - a 2 b 2

= 1 (a > 0,b > 0) 的左、右焦点分别是 F 、 F ，左、右两顶点

1 2

分别是 A 、 A ，弦 AB 和 CD 所在直线分别平行于 x 轴与 y 轴，线段 BA 的延长线与线段

1

2

CD 相交于点P （如图）.

ur

（1）若 d = (2, 3) 是 Γ 的一条渐近线的一个方向向量，试求Γ 的两渐近线的夹角θ ；

（2）若 | P A | = 1， | PB | = 5 ， | PC | = 2 ， | PD | = 4 ，试求双曲线 Γ 的方程；

（3）在（ ）的条件下，且| A 1 A 2 | = 4 ，点C 与双曲线的顶点不重合，直线CA 1 和直线 CA 2 与直线 l : x = 1 分别相交于点 M 和 N ，试问：以线段 MN 为直径的圆是否恒经过定点？若

是，请求出定点的坐标；若不是，试说明理由.

3 / 9

） （3）已知数列{b } 满足： b =

2

n +1

= 2

2

n +1

=

2n +1 ) < c .

21. 已知平面直角坐标系 xOy ，在 x 轴的正半轴上，依次取点 A , A , A ,L , A （ n ∈ N * ）， 1

2 3 n

并在第一象限内的抛物线 y 2 = 3

2

x 上依次取点 B , B , B ,L , B （ n ∈ N * ，使得△A B A 1 2 3 n k -1 k k

（ k ∈ N * ）都为等边三角形，其中 A 为坐标原点，设第 n 个三角形的边长为 f (n) .

（1）求 f (1) ， f (2) ，并猜想 f (n) ；（不要求证明）

（2）令 a = 9 f (n) - 8 ，记 t 为数列{a } 中落在区间 (9m ,9 2m ) 内的项的个数，设数列{t }

n

m n m

的前 m 项和为 S ，试问是否存在实数 λ ，使得 2λ ≤ S 对任意 m ∈ N * 恒成立？若存在， m m

求出 λ 的取值范围；若不存在，说明理由；

n

1

， b 2

1 - 1 - b

2 ，数列{c } 满足：

n n

c = 1 ， c 1

1 + c

2 - 1

n

c

n

，求证： b < f ( π n n

4 / 9

1 ? 1 ?

∈ 0， ? . 当 x ∈(-∞,2 )时， 4 x 2 + 16 ? 16 ? ? 1 ? ? 1 ?a - x = ? 在 (-∞,2 ) 上 是 单 调 递 增 函 数 ， 所 以 f (x ) = ?

(x )∈ ? 0, ? 1 ?? ?? . 若 满 足 题 目 要 求 ， 则 ? 0，1 ?? ? ? 0, ? 1 ?? ?? ， 所 以

? 2 ? ?

? 16 ? ? 2 ?

? 2 ? = ? ,∴ a - 2 < 4, a < 6 .又 a ≥ 2 ，所以 a ∈[2,6 ).

（2）若 a < 2 ，则 f (x ) = ? 2 ? ?? ? , x < a, ?? 1 ? x -a ??? 2 ??

(x )∈ (0,1) ； f (x )在 [a,2 ) 上是单调递减函数，此时 f (x )∈ ? ? 1 ??2-a ,1?? .

? 2 ? ? 1 ≤? ?

参考答案

一. 填空题

1. (1,2)

2. (1,0)

3. (4, +∞)

4. 2 2

5. (1,3)

6. 12

7.

5π 6

8. 3π

9.

35 8

x 10. (-∞, - 2) 11. 1009 12. [-2,6)

12. 解：当 x ∈[2, +∞)时，

1 1

x 2

（ 1 ）若 a ≥ 2 ，则 x -a ? 2 ? ? 2 ?

f

? 1 ?a -2 ? > 1 ? 1 ?4 16 ? 2 ?

? 1 ? ?

x -a ?? 1 ?a - x ?? 2 ? = ?

?

, a ≤ x < 2.

， f (x )在 (-∞, a )上是单调递增

函数，此时 f

? ?

若满足题目要求，则 ? 1 ?

2-a

,∴ a ≥ -2 ，又 a < 2 ，所以 a ∈[-2,2 ).

16 ? 2 ?

综上， a ∈[-2,6 ).

二. 选择题

13. A 14. D 15. B 16. A

三. 解答题

17．解：（1）在直三棱柱 A B C - ABC 中， AA ⊥ AB ，

1 1 1

1

AA ⊥ AC , AB = AC = AA = 1 ,∠BAC = 90?

1

1

所以， A B = A C = BC =

2 ．…………………………2 分

1

1

因为， BC // B C ，所以， ∠A BC 为异面直线 A B 与 B C 所成的角或补角．……4 分

1 1 1

1

1 1

5 / 9

S

? h = S ? CA ，解得， h = 所以，点 B 到平面 A BC 的距离为 ．…………………………14 分

3 (

2 ? 2 = 2

3 B (1,0,1)

1

, , , 3 (

, (

所以，由 ??? n ? BC = 0 ??n ? A B = 0 ? u - w = 0 ( , cos α = ……2 分

在 ?A BC 中，因为， A B = A C = BC =

1

1

1

2 ，

所以，异面直线 A B 与 B C 所成角为 1 1 1 π 3

．…………………………7 分

（2）设点 B 到平面 A BC 的距离为 h ，

1

1

由（1）得 S

?A 1BC = 1 π 3 ? 2 ? 2 ? sin = ，…………………………9 分 2 3 2

S ?A 1B 1B = 1 1

? 1? 1 = ，…………………………11 分

2 2

因为， V B 1

- A 1

BC = V C - A 1B 1

B ，…………………………12 分

1 1

所以， 3 ?A 1BC 3 ?A 1B 1B

3 3 ．

3

1 1

或者用空间向量：

（ 1 ） 设 异 面 直 线 A B 与 B C 所 成 角 为 θ ， 如 图 建 系 ， 则 A B = 1,0 ,- 1) ，

1 1 1

1

B C = (- 1,1,0)，…………4 分

1 1

z

因为， cos θ =

A B ? B C 1 1 1

A B ? B C

1 1 1

= - 1

1 π ?θ=

1

A (0,01)

C (011)

1

所以，异面直线 A B 与 B C 所成角为 π

．…………7 分

1 1 1

（2）设平面 A BC 的法向量为 n = (u ,v ,w )，

1

B1,0,0)

x

A (0,0,0)

C (01,0) y 则 n ⊥ BC ,n ⊥ A B ．又 BC = (- 1,1,0)， A B = 1,0 ,- 1)，……………9 分 1 1

1

?- u + v = 0 ?? ，得 n = 1,1,1)．…………12 分

所以，点 B 到平面 A BC 的距离 d =

1

1

B B ? n

1

n

= 3

3

．…………………………14 分

3 4

18．解：（1）∵角 α 的终边与单位圆交于点 P( , ) ，

5 5 ∴ sin α =

4 3

5 5

4 3 4 24 3 - 32

f (α ) = 2 3 sin α cos α - 2sin 2

α = 2 3 ? ? - 2 ? ( )2 = …4 分

5 5 5 25

（2） f ( x ) = 2 3 sin x cos x - 2sin 2 x

6 / 9

19．解：（1）E=f(t)=?85,3

?335-50t,t>5

?

?4a>3

②?16a?a∈(,+∞) ???????????? ????? ????? ??????? ????????????????（12分）

?3+

4

2

即bx±ay=0，所以b

a2，

=3sin2x+cos2x-1…………………………6分

=2sin(2x+π

6

)-1…………………………8分

由2kπ-π

2≤

2x+π

6≤

2kπ+π

2得，

kπ-π

3≤

x≤kπ+π

6

又x∈[-ππ

6

,

3

]，所以f(x)的单调递增区间是x∈[-ππ

6

,

6

]；………………10分

∵x∈[-ππ

,

63

]，∴-π

6≤

2x+π

6≤

5π

6…………………………12分

∴-1π

≤sin(2x+)≤1，f(x)的值域是[-2,1].………………14分26

?t2+20t+16,0

?

?

t=6时，E(6)=35

???????????????? ???????????????? ???????????????? ????????????????

（6分）

（2）0

H(t)≥24?t+16a

≥4

t

+20 ?????????????? ????????????????（8分）

?0<4a≤3①?

??8a≥4

19

?a∈[,] ????????????? ????? ????? ?????? ????????????????（10分）416

?9

≥416?3

综上，a∈[1,

+∞)

?????????????? ??????????? ? ????????? ????? ????? ????? ??????????（14分）

20．解：（1）双曲线x2y2

-

a b2

=1的渐近线方程为：

3

=…………2分

从而tanθ

2=

3

2，

tanθ=

θ

2tan

2=43

1-tan2θ

2

，

所以

θ=arctan43．……………………………..4分

7/9

2 2 2 2 b 2 = 1 ? a 2 - 1 8 1 5

27

……9 分 代入双曲线方程知： ?

? = , = = 1 a 2

（3）因为 A A = 4 ，所以 a = 2 ，由（1）知， b = 3 ，所以 Γ 的方程为: - = 1 ，

4 3

令 C ( x , y ) ，所以 - 0 = 1 ，

4 3 CA : y = y

( x + 2) ，令 x = 1 ，所以 M (1, ) ，

x + 2 x + 2 CA : y =

y

( x - 2) ，令 x = 1 ，所以 N (1,

x - 2

x - 2

故以 MN 为直径的圆的方程为： ( x - 1)2

+ ( y - 3 y 0 0 -

) y - = 0 ，…………………………….14 分

?? y = 0

?? ?

? 所以圆过 x 轴上两个定点 ( ,0) 和 (- ,0) ……………………………16 分

（2）设 P( x , y ) ，则由条件知：

P P

1 1

x = ( PB - P A ) + P A = ( PB + P A ) = 3 ， P

1 1

y = ( PC + PD ) - PC = ( PD - PC ) = 1 ，即 P(3,1) ．…………6 分 P

所以 A(2,1) ， C (3,3) ，………………………………7 分

? 4 1

9 9 27 b 2 ? - ? a 2 b 2

8x 2 5 y 2 - = 1 ……………………………………………….. 27 27

10 分

x 2 y 2

1 2

x 2

y 2

0 0 0

3 y

0 0 1 0 0

2

0 0

- y

0 )( y - 0 ) = 0 ，

x + 2 x - 2

y 3 y 3 y 2

即 ( x -1)2 + y 2 + ( -

) y - 0 x - 2 x + 2 x 2 - 4

= 0 ，

即 ( x - 1)2

+ y 2

+ ( y 3 y 9 0 0 x - 2 x + 2 4

0 0

若以 MN 为直径的圆恒经过定点 ( x , y )

于是 ? 9

( x - 1)2 + y 2 - = 0 4

? x = 1 ± ??

? y = 0 3 2

5 1 2

2

21．解：（1） f (1) = 1 ， f (2) = 2 ?????????????? ????????????????（2 分）

猜想 f (n) = n ?????????????? ????????????????（2 分）

8 / 9

由 9m

< 9n - 8 < 92m

? 9m -1

+ 8

4 , 记 b = sin θ ,θ = 2 2

2

sec ?-

12 ) 时， sin x < x < tan x 可知：

2

（2） a n = 9n - 8 ?????????????? ????????????????（5 分）

8 < n < 92m -1 +

9 9

∴ n = 9m -1 + 1,9m -1 + 2, ?????? ,9 2m -1

?????????????? ????????????????（6 分）

∴ t m = 92m -1 - 9m -1 ??????????????????? ?????????????????????????（7 分）

∴ S = (9 - 1) + (93 - 9) + (95 - 92 ) + ??? + (92m -1 - 9m -1 )

m

= (9 + 93 + 95 + ??? + 92m -1 ) - (1+ 9 + 92 + ??? + 9m -1 )

9(1- 92m ) (1- 9m ) 92m +1 - 10 ? 9m + 1

= - =

1 - 9

2 1 - 9 80

????????????????（9 分）

2λ ≤ S 对任意 m ∈ N *恒成立 ? 2λ ≤ ( S )

m

m min = S 1 = 8

? λ ≤ 3 ???????????????（10 分）.

（3） b = sin π

1 n n 1 π 4 ，则 sin θ n +1 =

2 θ

1 - cos θ = sin n

n

? θ = π n n +1

(n ∈ N * )

???????????? ????????????????????????????????????????????????????????（12 分）

c = tan 1 π

4 , 记 c n = tan ?n ,?1 = π

4 ，则 tan ?

n tan ?

n ?

= tan n

2

? ? = n π 2n +1

(n ∈ N * )

???????????? ????????????????????????????????????????????????????????（14 分）

∴ b = sin

n

π

2n +1

, c = tan

n

π

2n +1 ,

当 x ∈ (0,

π

b = sin

π

n

n +1

< π

2n +1 = f ( π

2n +1

) < c = tan n π

2n +1 , ??????????? ??????????????????????????（18 分）

9 / 9