概率和统计新课标地区历届高考题(文科)
概率和统计
1、（2007年理11文12）甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表，
123s s s ，，分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有（ ）
Ａ．312s s s >> Ｂ．213s s s >> Ｃ．123s s s >>
Ｄ．231s s s >>
2、（2007年文20）设有关于x 的一元二次方程2
2
20x ax b ++=．
（Ⅰ）若a 是从0123，，，四个数中任取的一个数，b 是从012，，三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．
（Ⅱ）若a 是从区间[03]，任取的一个数，b 是从区间[02]，任取的一个数，求上述方程有实根的概率．
3、(2008年理15文16)从甲、乙两品种的棉花中各抽测了25根棉花的纤维长度（单位：mm ），结果如下： 甲品种： 271 273 280 285 285 287 292 294 295 301 303 303 307 308 310 314 319 323 325 325 328 331 334 337 352 乙品种： 284 292 295 304 306 307 312 313 315 315 316 318 318 320 322 322 324 327 329 331 333 336 337 343 356 由以上数据设计了如下茎叶图：
甲 乙 3 1 27
7 5 5 0 28 4 5 4 2 29 2 5 8 7 3 3 1 30 4 6 7 9 4 0 31 2 3 5 5 6 8 8 8 5 5 3 32 0 2 2 4 7 9 7 4 1 33 1 3 6 7 34 3 2 35 6
根据以上茎叶图，对甲乙两品种棉花的纤维长度作比较，写出两个统计结论：
①__________________________________________________________________________ ②__________________________________________________________________________
乙的成绩 环数 7 8 9 10 频数 6 4 4
6
丙的成绩 环数 7 8 9 10 频数 4 6 6 4
甲的成绩 环数 7 8 9 10 频数 5 5 5
5
4、（2009年文19）为了了解《中华人民共和国道路交通安全法》在学生中的普及情况，调查部门对某校6名学生进行问卷调查，6人得分情况如下：5，6，7，8，9，10。把这6名学生的得分看成一个总体。
（1）求该总体的平均数；
（2）用简单随机抽样方法从这6名学生中抽取2名，他们的得分组成一个样本。求该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5的概率。
5、（2009年理3文3）对变量,x y 有观测数据（1x ，1y ）（1,2,...,10i ），得散点图1；对变量,u v 有观 测数据（1u ，1v ）（i=1,2,…，10）,得散点图2. 由这两个散点图可以判断
（A ）变量x 与y 正相关，u 与v 正相关 （B ）变量x 与y 正相关，u 与v 负相关 （C ）变量x 与y 负相关，u 与v 正相关 （D ）变量x 与y 负相关，u 与v 负相关
6、（2010年文19）某工厂有工人1000名，其中250名工人参加过短期培训（称为A 类工人），另外750名工人参加过长期培训（称为B 类工人）.现用分层抽样方法（按A 类，B 类分二层）从该工厂的工人中共抽查100名工人，调查他们的生产能力（生产能力指一天加工的零件数）. （Ⅰ）A 类工人中和B 类工人各抽查多少工人？
（Ⅱ）从A 类工人中抽查结果和从B 类工人中的抽查结果分别如下表1和表2
表1： 生产能力分组 [)100,110 [)110,120 [)120,130 [)130,140 [)140,150
人数 4
8
x
5
3
表2： 生产能力分组 [)110,120
[)120,130
[)130,140
[)140,150
人数
6
y
36
18
（1） 先确定,x y ，再在答题纸上完成下列频率分布直方图。就生产能力而言，A 类工人中个体间的差异
程度与B 类工人中个体间的差异程度哪个更小？（不用计算，可通过观察直方图直接回答结论）
(ii)分别估计A 类工人和B 类工人生产能力的平均数，并估计该工厂工人和生产能力的平均数（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）。
7、（2010年理13文14）设函数()y f x =为区间(]0,1上的图像是连续不断的一条曲线，且恒有()01f
x ≤≤，可以用随机模拟方法计算由曲线()y f x =及直线0x =，1x =，0y =所围成部分的面积，先产生两组i 每组N 个，区间(]0,1上的均匀随机数1, 2.....n x x x 和1, 2.....n y y y ，由此得到V 个点()(),1,2....x y i N -。再数出其中满足1()(1,2.....)y f x i N ≤=的点数1N ，那么由随机模拟方法可得S 的近似值为___________
8、（2010年理19文19）为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老人，结果如下：
您是否需要志愿者
男女
需要4030
不需要160270
（Ⅰ）估计该地区老年人中，需要志愿提供帮助的老年人的比例；
（Ⅱ）能否有99℅的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？
（Ⅲ）根据（Ⅱ）的结论，能否提出更好的调查办法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例？说明理由。
附：
P(K≧≧k)
k 0.050
3.841
0.010
6.625
0.001
10.828
K2=
n (ad-bc)
2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
9、（2011年理4文6）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（）
（A）1
3
（B）
1
2
（C）
2
3
（D）
3
4
10、（2011年新课标文19）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品．现用两种新配方（分别称为A 配方和B 配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每产品的质量指标值，得到时下面试验结果：
A 配方的频数分布表 指标值分组 [90，94）
[94，98）
[98，102）
[102，106）
[106，110]
频数 8 20 42 22 8 B 配方的频数分布表
指标值分组 [90，94）
[94，98）
[98，102）
[102，106）
[106，110]
频数 4
12
42
32
10
（I ）分别估计用A 配方，B 配方生产的产品的优质品率；
（II ）已知用B 配方生产的一种产品利润y （单位：元）与其质量指标值t 的关系式为
2,942,941024,102t y t t -
=≤
估计用B 配方生产的一件产品的利润大于0的概率，并求用B 配方生产的上述100件产品平均一件的利润． 11、（2012年新课标文3）在一组样本数据（x 1，y 1），（x 2，y 2），…，（x n ，y n ）（n ≥2，x 1,x 2,…,x n 不全相等）的散点图中，若所有样本点（x i ，y i ）(i =1,2,…,n )都在直线y =1
2x +1上，则这组样本数据的样本相关系数为
（A ）－1 （B ）0 （C ）1
2 （D ）1
12、（2012年新课标文19）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售。如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理。
（Ⅰ）若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润y (单位：元)关于当天需求量n （单位：枝，n ∈N ）的函数解析式。
（Ⅱ）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表： 日需求量n 14 15 16 17 18 19 20 频数
10
20
16
16
15
13
10
(1)假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花，求这100天的日利润（单位：元）的平均数；
(2)若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于75元的概率。
13、(2013课标全国Ⅱ，文13)从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是__________．
14、(2013课标全国Ⅱ，文19)(本小题满分12分)经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t 该产品获利润500元，未售出的产品，每1 t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130 t该农产品．以X(单位：t,100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．
(1)将T表示为X的函数；
(2)根据直方图估计利润T不少于57 000元的概率．
15、（2013年新课标Ⅰ理3）为了解某地区中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进
行调查，事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大.在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是
（A）简单的随机抽样（B）按性别分层抽样
（C）按学段分层抽样（D）系统抽样
16、（2013年新课标Ⅰ文3）从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是
（A）1
2
（B）
1
3
（C）
1
4
（D）
1
6
17、（2014年新课标Ⅱ理19）某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y（单位：千元）的数据如下表：
年份2007200820092010201120122013
年份代号t1234567
人均纯收入y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9
（Ⅰ）求y关于t的线性回归方程；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
()()
(
)
1
2
1
n
i
i
i n
i i t t y y b t t ∧
==--=
-∑∑，??a
y bt =-
18、（2014年新课标Ⅱ文13）甲、已两名元动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服种选择1
种，则他们选择相同颜色运动服的概率为_______.
19、（2014年新课标Ⅱ文19）某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了50位市民。根据这50位市民
（Ⅰ）分别估计该市的市民对甲、乙部门评分的中位数； （Ⅱ）分别估计该市的市民对甲、乙部门的评分做于90的概率； （Ⅲ）根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价。
20、（2013年新课标Ⅰ文13）将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为_____.
21、（2013年新课标Ⅰ文）从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量表得如下频数分布表：
质量指标值分组[75，85)[85，95)[95，105)[105，115)[115，125)
频数62638228（I）在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图：
（II）估计这种产品质量指标值的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（III）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？
高考题参考答案：
1、 B
2、 解：设事件为“方程有实根”．
当，时，方程有实根的充要条件为．
（Ⅰ）基本事件共12个：
．其中第一个数表示的取值，第二个数
表示的取值．
事件中包含9个基本事件，事件发生的概率为． （Ⅱ）试验的全部结束所构成的区域为． 构成事件的区域为．所以所求的概率为．
3、1．乙品种棉花的纤维平均长度大于甲品种棉花的纤维平均长度（或：乙品种棉花的纤维长度普遍大于甲
品种棉花的纤维长度）．
2．甲品种棉花的纤维长度较乙品种棉花的纤维长度更分散．（或：乙品种棉花的纤维长度较甲品种棉花的纤维长度更集中（稳定）．甲品种棉花的纤维长度的分散程度比乙品种棉花的纤维长度的分散程度更大）． 3．甲品种棉花的纤维长度的中位数为307mm ，乙品种棉花的纤维长度的中位数为318mm ． 4．乙品种棉花的纤维长度基本上是对称的，而且大多集中在中间（均值附近）．甲品种棉花的纤维长度除一个特殊值（352）外，也大致对称，其分布较均匀．
4、解：
（Ⅰ）总体平均数为
． ························································ 4分 （Ⅱ）设表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5”．
从总体中抽取2个个体全部可能的基本结果有：，，，，，，，，，，，，，，．共15个基本结果． 事件包括的基本结果有：，，，，，，．共有7个基本结果．
所以所求的概率为
． ············································································· 12分 A 2
2
20a ax b ++=0a >0b >2
2
20x ax b ++=a b ≥(00)(01)(02)(10)(11)(12)(20)(21)(22)(30)(31)(32)，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，a b A A 93
()124
P A =
={}
()|03
02a b a b ，，≤≤≤≤A {}()|0302a b a b a b ，，，≤≤≤≤≥2
1
32222323
?-?==?1
(5678910)7.56
+++++=A (56)，
(57)，(58)，(59)，(510)，(67)，(68)，(69)，(610)，(78)，(79)，(710)，(89)，
(810)，(910)，A (59)，
(510)，(68)，(69)，(610)，(78)，(79)，7()15
P A =
5、C
6、解：
（Ⅰ）类工人中和类工人中分别抽查25名和75名。 ．．．．．．4分 （Ⅱ）(ⅰ)由，得， ，得。 频率分布直方图如下
．．．．．．8分
从直方图可以判断：类工人中个体间的差异程度更小。 ．．．．．．9分 （ii ） ， ， A 类工人生产能力的平均数，B 类工人生产能力的平均数以及全厂工人生产能力的平均数的估计值分别为123，133.8和131.1.
7、
1
N N
8、解：
（1）调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助,因此该地区老年人中需要帮助的老年人的比例的估计值为
. ……4分 (2) 由于所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关. ……8分
A B 485325x ++++=5x =6361875y +++=15y =B 48553
1051151251351451232525252525
A x =
?+?+?+?+?=6153618
115125135145133.875757575
B x =
?+?+?+?=2575123133.8131.1100100
x =
?+?=70
14%500
=2
2
500(4027030160)9.96720030070430
k ??-?=
≈???9.967 6.635>
（3）由于（2）的结论知，该地区的老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异,因此在调查时,先确定该地区老年人中男,女的比例，再把老年人分成男,女两层并采用分层抽样方法比采用简单反随即抽样方法更好. ……12分
9、A 10、解
（Ⅰ）由试验结果知，用A 配方生产的产品中优质的频率为，所以用
A 配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3。
由试验结果知，用B 配方生产的产品中优质品的频率为，所以用B 配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42
（Ⅱ）由条件知用B 配方生产的一件产品的利润大于0当且仅当其质量指标值t≥94，由试验结果知，质量指标值t≥94的频率为0.96，所以用B 配方生产的一件产品的利润大于0的概率估计值为0.96. 用B 配方生产的产品平均一件的利润为
（元） 11、D 12、
228
=0.3100
+3210
0.42100
+=68.2)442254)2(4(100
1
=?+?+-??
13、1
5
14、解：(1)当X ∈[100,130)时，T ＝500X －300(130－X )＝800X －39 000. 当X ∈[130,150]时，T ＝500×130＝65 000.
所以80039000,100130,
65000,130150.X X T X -≤
≤≤?
(2)由(1)知利润T 不少于57 4000元当且仅当120≤X ≤150.
由直方图知需求量X ∈[120,150]的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T 不少于57 000元的概率的估计值为0.7.
15、C
16、B 17、（1）
.
3.25.03
.24*2
1
-3.4-,
21
2*14142*)149(8.48.15.007.0214*3,3.47
9
.52.58.44.46.33.39.2,47721+======++++++++=+==++++++==+++=
t y t y t b y a b a bt y y t 的回归方程为关于所以，代入公式，经计算得
设回归方程为ΛΘ
百元左右。
千年，该区人均纯收入约所以，预计到千元）该区人均纯收入年，
增长，预计到年该区人均纯收入稳步年至862015(8.63.295.0201520132007∴,02
1
=+?=>=y b Θ 18、1
3
19、解：
（Ⅰ）由所给茎叶图知，50位市民对甲部门的评分由小到大排序，排在第25，26位的是75，75，故样本中
位数为75，所以该市的市民对甲部门评分的中位数的估计值是75.
50位市民对乙部门的评分由小到大排序，排在第25，26位的是66，68，故样本中位数为
6668
672
+=，所以该市的市民对乙部门品分的中位数的估计值是67. （Ⅱ）由所给茎叶图知，50位市民对甲、乙部门的评分高于90的比率分别为
58
0.1,0.165050
==，故该市的市民对甲、乙部门的评分高于90的概率的估计值分别为0.1，0.16.
（Ⅲ）由所给茎叶图知，市民对甲部门的评分的中位数高于对乙部门的评分的中位数，而且由茎叶图可以大致看出对甲部门的评分的标准差要小于对乙部门的评分的标准差，说明该市市民对甲部门的评价较高、评价较为一致，对乙部门的评价较低、评价差异较大（注：考生利用其他统计量进行分析，结论合理的同样给分。）
20、2
3
21解：
（1）
…………………………4分
（2）质量指标值的样本平均数为
806902610038110221208
100
100
x
?+?+?+?+?
==
质量指标值的样本方差为
所以，这种产品质量指标的平均数估计值为100，方差的估计值为104.
……………………………………10分
（3）依题意38228
100
++
= 68％ < 80％
所以该企业生产的这种产品不符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80％”的规定。……………………………………12分