平面向量重点公式
一、两个等价条件(向量公式和坐标公式)
若),(11y x a ,),(22y x b ,则
1.若向量a 和非零向量b 平行,即b a//有唯一的实数,使b a
1221y x y x 2.若非零向量a 和非零向量b 垂直,即b a 0
b a 0
2121y y x x 二. 两个非零向量a 与b 的数量积
cos ||||b a b a 1212
x x y y 投影:cos ||b 叫做向量b 在a 方向上的投影,即cos ||b =|
|a b
a 12122211x x y y x y 三、坐标基本运算
1、坐标:(,)
c xi y j x y v v v 2、若),(11y x a ,),(22y x b ,则
(1))
,(2121y y x x b a (2))
,(2121y y x x b a (3))
,(11y x a (4)cos ||||b a b a 1212
x x y y (5)2
1
2
1||y x a a a (6)2
2
2
22
1212
121||||cos y x y x y y x x b a b a 四、一个常用结论
在三角形ABC 中,D 为BC 中点,则2AB AC AD u
uu v u u u v
u u u v
常用的一些矢量运算公式 1.三重标量积 如a ,b 和c 是三个矢量,组合 ()a b c ??叫做他们的三重标量积。三重标量积等于这三 个矢量为棱边所作的平行六面体体积。在直角坐标系中,设坐标轴向的三个单位矢量标记为 (),,i j k ,令三个矢量的分量记为()()1 2 3 1 2 3 ,,,,,a a a a b b b b 及()1 2 3 ,,c c c c 则有 ( )() 123123123123 123123 c c c i jk a b c a a a c i c j c k a a a b b b b b b ??=?++= 因此,三重标量积必有如下关系式: ()()()a b c b c a c a b ??=??=??即有循环法则成立,这就是说不改变三重标量积中三个矢量顺序的组合,其结果相等。 2.三重矢量积 如a ,b 和c 是三个矢量,组合 ( ) a b c ??叫做他们的三重标量积,因有 ()()()a b c a c b c b a ??=-??=?? 故有中心法则成立,这就是说只有改变中间矢量时,三重标量积符号才改变。三重标量积有一个重要的性质(证略):() ()()a b c a b c a c b ??=-?+? (1-209) 将矢量作重新排列又有:()()() a b c b a c b a c ?=??+? (1-210) 3.算子( a ? ) ? 是哈密顿算子,它是一个矢量算子。( a ? )则是一个标量算子,将它作用于标量φ ,即 ()a φ?是φ在a 方向的变化速率的a 倍。如以无穷小的位置矢量 d r 代替以上矢量a ,则 ()dr φ ?是φ在位移方向 d r 的变化率的 d r 倍,即 d φ 。 () ()d dr dr φφφ=?=? 若将 () dr ?作用于矢量v ,则 ()dr v ?就是v 再位移方向 d r 变化率的 d r 倍,既为速度矢量 的全微分() dv dr v =? 应 用 三 重 矢 量 积 公 式 ( 1-209 ) ()()() 00()()()() a b a b a b b a a b b a a b ???=???+???=??-??-??+??
平面向量 【基本概念与公式】 【任何时候写向量时都要带箭头】 1.向量:既有大小又有方向的量。记作:AB 或a 。 2.向量的模:向量的大小(或长度),记作:||AB 或||a 。 3.单位向量:长度为1的向量。若e 是单位向量,则||1e =。 4.零向量:长度为0的向量。记作:0。【0方向是任意的,且与任意向量平行】 5.平行向量(共线向量):方向相同或相反的向量。 6.相等向量:长度和方向都相同的向量。 7.相反向量:长度相等,方向相反的向量。AB BA =-。 8.三角形法则: AB BC AC +=;AB BC CD DE AE +++=;AB AC CB -=(指向被减数) 9.平行四边形法则: 以,a b 为临边的平行四边形的两条对角线分别为a b +,a b -。 10.共线定理://a b a b λ=?。当0λ>时,a b 与同向;当0λ<时,a b 与反向。 11.基底:任意不共线的两个向量称为一组基底。 12.向量的模:若(,)a x y =,则2||a x y =+,22||a a =,2||()a b a b +=+ 13.数量积与夹角公式:||||cos a b a b θ?=?; cos ||||a b a b θ?= ? 14.平行与垂直:1221//a b a b x y x y λ?=?=;121200a b a b x x y y ⊥??=?+= 题型1.基本概念判断正误: (1)共线向量就是在同一条直线上的向量。 (2)若两个向量不相等,则它们的终点不可能是同一点。 (3)与已知向量共线的单位向量是唯一的。 (4)四边形ABCD 是平行四边形的条件是AB CD =。 (5)若AB CD =,则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形。 (6)若a 与b 共线, b 与c 共线,则a 与c 共线。 (7)若ma mb =,则a b =。
平面向量 1.两个向量平行的充要条件,设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),λ为实数。(1)向量式:a ∥b (b ≠0)?a =λb ;(2)坐标式:a ∥b (b ≠0)?x 1y 2-x 2y 1=0; 2.两个向量垂直的充要条件, 设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2), (1)向量式:a ⊥b (b ≠0)?a b =0; (2)坐标式:a ⊥b ?x 1x 2+y 1y 2=0; 3.设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则a b θ=x 1x 2+y 1y 2;其几何意义是a b 等于a 的长度与b 在a 的方向上的投影的乘积; 4.设A (x 1,x 2)、B(x 2,y 2),则S ⊿AOB =1 2212 1y x y x -; 5.平面向量数量积的坐标表示: (1)若a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则a b =x 1x 2+y 1y 2221221)()(y y x x -+-=; (2)若a =(x,y),则a 2=a a =x 2+y 2,22y x a += ; 十、向量法 1、设直线、m l 的方向向量分别是、 a b ,平面αβ、的法向量分别是、u v ,则: (1)线线平行:l ∥m ?a ∥b ?=a kb (2)线面平行:l ∥α?a ⊥u 0?=a u (3)面面平行:////αβ??=u v u kv 注意:这里的线线平行包括线线重合,线面平行包括线在面内,面面平行包括面面重合. 2、设直线、m l 的方向向量分别是、 a b ,平面αβ、的法向量分别是、u v ,则: (1)线线垂直:⊥?l m a ⊥b 0?=a b (2)线面垂直:α⊥?l a ∥u ?=a ku
向量公式大全 『ps.加粗字母表示向量』1.向量加法 羈AB+BC=AC a+b=(x+x',y+y') a+0=0+a=a 运算律: 交换律:a+b=b+a 结合律:(a+b)+c=a+(b+c) 2.向量减法 罿AB-AC=CB 即“共同起点,指向被减”
如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0. 0的反向量为0 a=(x,y) b=(x',y') 则a-b=(x-x',y-y'). 3.数乘向量 实数λ和向量a的乘积是一个向量,记作λa,且∣λa∣=∣λ∣?∣a∣ 当λ>0时,λa与a同方向 当λ<0时,λa与a反方向 当λ=0时,λa=0,方向任意 当a=0时,对于任意实数λ,都有λa=0 『ps.按定义知,如果λa=0,那么λ=0或a=0』实数λ
向量a的系数,乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩 当∣λ∣>1时,表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸长为原来的∣λ∣倍 当∣λ∣<1时,表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上缩短为原来的∣λ∣倍 数乘运算律: 结合律:(λa)?b=λ(a?b)=(a?λb) 向量对于数的分配律(第一分配律):(λ+μ)a=λa+μa. 数对于向量的分配律(第二分配律):λ(a+b)=λa+λb. 数乘向量的消去律:①如果实数λ≠0且λa=λb,那么a=b②如果a≠0且λa=μa,那么λ=μ 4.向量的数量积
定义:已知两个非零向量a,b作OA=a,OB=b,则∠AOB称作a和b的夹角,记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π 两个向量的数量积(内积、点积)是一个数量,记作a?b若a、b不共线,则a?b=|a|?|b|?c os〈a,b〉若a、b共线,则a?b=+-∣a∣∣b∣ 向量的数量积的坐标表示:a?b=x?x'+y?y' 向量数量积运算律 a?b=b?a(交换律) (λa)?b=λ(a?b)(关于数乘法的结合律) (a+b)?c=a?c+b?c(分配律) 向量的数量积的性质 a?a=|a|2 a⊥b〈=〉a?b=0
高中数学必修4知识点总结 第二章 平面向量 16、向量:既有大小,又有方向的量. 数量:只有大小,没有方向的量. 有向线段的三要素:起点、方向、长度. 零向量:长度为0的向量. 单位向量:长度等于1个单位的向量. 平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量.零向量与任一向量平行. 相等向量:长度相等且方向相同的向量. 17、向量加法运算: ⑴三角形法则的特点:首尾相连. ⑵平行四边形法则的特点:共起点. ⑶三角形不等式:a b a b a b -≤+≤+ . ⑷运算性质:①交换律:a b b a +=+ ; ②结合律:()() a b c a b c ++=++ ;③00a a a +=+= . ⑸坐标运算:设()11,a x y = ,()22,b x y = ,则()1212,a b x x y y +=++ . 18、向量减法运算: ⑴三角形法则的特点:共起点,连终点,方向指向被减向量. ⑵坐标运算:设()11,a x y = ,()22,b x y = ,则()1212,a b x x y y -=-- . 设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ,()22,x y ,则()1 212 ,x x y y A B=-- . 19、向量数乘运算: ⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作a λ . ①a a λλ= ; ②当0λ>时,a λ 的方向与a 的方向相同;当0λ<时,a λ 的方向与a 的方向相反;当0λ=时,0a λ= . ⑵运算律:①()()a a λμλμ= ;②()a a a λμλμ+=+ ;③() a b a b λλλ+=+ . ⑶坐标运算:设(),a x y = ,则()(),,a x y x y λλλλ== . 20、向量共线定理:向量() 0a a ≠ 与b 共线,当且仅当有唯一一个实数λ,使b a λ= . 设()11,a x y = ,()22,b x y = ,其中0b ≠ ,则当且仅当12210x y x y -=时,向量a 、() 0b b ≠ 共线. 21、平面向量基本定理:如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a ,有且只有一对实数1λ、2λ,使1122a e e λλ=+ .(不共线的向量1e 、2e 作为这一平面内所有向量的一组基 b a C B A a b C C -=A -AB =B
平面向量基本定理及坐标表示强化训练 姓名__________ 一、选择题 1.下列向量给中,能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是 ( ) A .e 1=(0,0), e 2 =(1,-2) ; B .e 1=(-1,2),e 2 =(5,7); C .e 1=(3,5),e 2 =(6,10); D .e 1=(2,-3) ,e 2 =)4 3,2 1(- 2. 若AB u u u r =3a, CD u u u r =-5a ,且||||AD BC =u u u r u u u r ,则四边形ABCD 是 ( ) A .平行四边形 B .菱形 C .等腰梯形 D .不等腰梯形 3. 在△ABC 中,已知D 是AB 边上一点,若AD → =2DB →, CD → =13CA →+λCB → ,则λ 等于() A. 23 B. 13 C. 13- D. 2 3- 4.已知向量a 、b ,且AB u u u r =a +2b ,BC u u u r = -5a +6b ,CD u u u r =7a -2b ,则一定共线的三点是 ( ) A .A 、 B 、D B .A 、B 、 C C .B 、C 、 D D .A 、C 、D 5.如果e 1、 e 2是平面α内两个不共线的向量,那么在下列各说法中错误的有 ( )①λe 1+μe 2(λ, μ∈R)可以表示平面α内的所有向量; ②对于平面α中的任一向量a ,使a =λe 1+μe 2的λ, μ有无数多对; ③若向量λ1e 1+μ1e 2与λ2e 1+μ2e 2共线,则有且只有一个实数k ,使λ2e 1+μ2e 2=k (λ1e 1+μ1e 2); ④若实数λ, μ使λe 1+μe 2=0,则λ=μ=0. A .①② B .②③ C .③④ D .仅② 6.过△ABC 的重心任作一直线分别交AB 、AC 于点D 、E ,若AD u u u r =x AB u u u r ,AE u u u r =y AC u u u r ,xy ≠0,则11 x y +的值 为 ( ) A .4 B .3 C .2 D .1 7.若向量a =(1,1),b =(1,-1) ,c =(-2,4) ,则c = ( ) A .-a +3b B .3a -b C .a -3b D .-3a +b 二、填空题 8.作用于原点的两力F 1 =(1,1) ,F 2 =(2,3) ,为使得它们平衡,需加力F 3= ; 9.若A (2,3),B (x , 4),C (3,y ),且AB u u u r =2AC u u u r ,则x = ,y = ; 10.已知A (2,3),B (1,4)且12 AB u u u r =(sin α,cos β), α,β∈(-2π,2 π),则α+β= *11.已知 a =(1,2) , b =(-3,2),若k a +b 与a -3b 平行,则实数k 的值为
平面向量基本定理 一.教学目标: 了解平面向量基本定理,理解平面向量的坐标概念,会用坐标形式进行向量的加法、数乘的运算,掌握向量坐标形式的平行的条件; 教学重点: 用向量的坐标表示向量加法、减法、数乘运算和平行. 二.课前预习 1.已知=(x,2),=(1,x),若//,则x 的值为 ( ) A 、2 B 、 2- C 、 2± D 、 2 2.下列各组向量,共线的是 ( ) ()A (2,3),(4,6)a b =-=r r ()B (2,3),(3,2)a b ==r r ()C (1,2),(7,14)a b =-=r r ()D (3,2),(6,4)a b =-=-r r 3.已知点)4,3(),1,3(),4,2(----C B A ,且?=?=2,3,则=MN ____ 4.已知点(1,5)A -和向量=(2,3),若=3,则点B 的坐标为 三.知识归纳 1. 平面向量基本定理:如果12,e e u r u u r 是同一平面内的两个___________向量,那么对于这一平面内的任意向量a r ,有且只有一对实数12,λλ,使1122a e e λλ=+r u r u u r 成立。其中12,e e u r u u r 叫做这一平面的一组____________,即对基底的要求是向量___________________; 2.坐标表示法:在直角坐标系内,分别取与x 轴,y 轴方向相同的两个单位向量i ?,j ? 作基底, 则对任一向量a ?,有且只有一对实数x ,y ,使j y i x a ???+=、就把_________叫做向量a ? 的坐标,记作____________。 3.向量的坐标计算:O (0,0)为坐标原点,点A 的坐标为(x ,y ),则向量的坐标为=___________,点1P 、2P 的坐标分别为(1x ,1y ),2P (2x ,2y ),则向量21P P 的坐标为
向量公式汇总 平面向量 1、向量的加法 向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。 AB+BC=AC。 a+b=(x+x',y+y')。 a+0=0+a=a。 向量加法的运算律: 交换律:a+b=b+a; 结合律:(a+b)+c=a+(b+c)。 2、向量的减法 如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0. 0的反向量为0 AB-AC=CB. 即“共同起点,指向被减” a=(x,y) b=(x',y') 则 a-b=(x-x',y-y'). 3、数乘向量 实数λ和向量a的乘积是一个向量,记作λa,且∣λa∣=∣λ∣∣a∣。 当λ>0时,λa与a同方向; 当λ<0时,λa与a反方向; 当λ=0时,λa=0,方向任意。 当a=0时,对于任意实数λ,都有λa=0。 注:按定义知,如果λa=0,那么λ=0或a=0。
实数λ叫做向量a的系数,乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。 当∣λ∣>1时,表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸长为原来的∣λ∣倍; 当∣λ∣<1时,表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上缩短为原来的∣λ∣倍。 数与向量的乘法满足下面的运算律 结合律:(λa)b=λ(ab)=(aλb)。 向量对于数的分配律(第一分配律):(λ+μ)a=λa+μa. 数对于向量的分配律(第二分配律):λ(a+b)=λa+λb. 数乘向量的消去律:①如果实数λ≠0且λa=λb,那么a=b。②如果a≠0且λa=μa,那么λ=μ。 4、向量的的数量积 定义:已知两个非零向量a,b。作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角,记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π 定义:两个向量的数量积(内积、点积)是一个数量,记作ab。若a、b不共线,则ab=|a||b|cos〈a,b〉;若a、b共线,则ab=+-∣a∣∣b∣。 向量的数量积的坐标表示:ab=xx'+yy'。 向量的数量积的运算律 ab=ba(交换律); (λa)b=λ(ab)(关于数乘法的结合律); (a+b)c=ac+bc(分配律);