直线、平面垂直的判定及其性质

直线、平面垂直的判定及其性质

1.直线与平面垂直

(1)判定直线和平面垂直的方法

①定义法

②利用判定定理：一条直线和一个平面内的两条________直线都垂直，则该直线和此平面垂直.

③推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条直线也________这个平面.

(2)直线和平面垂直的性质

①直线垂直于平面，则垂直于平面内________直线.

②垂直于同一个平面的两条直线________.

③垂直于同一直线的两平面________.

2.斜线和平面所成的角

斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫斜线和平面所成的角.

3.平面与平面垂直

(1)平面与平面垂直的判定方法

①定义法

②利用判定定理：一个平面过另一个平面的____________，则这两个平面垂直.

(2)平面与平面垂直的性质

两平面垂直，则一个平面内垂直于________的直线垂直于另一个平面.

4.二面角的有关概念

(1)二面角：从一条直线出发的________________所组成的图形叫做二面角.

(2)二面角的平面角：二面角棱上的一点，在两个半平面内分别作与棱________的射线，则两射线所成的

角叫做二面角的平面角.

1.若直线a与平面α不垂直，那么在平面α内与直线a垂直的直线有________条.

2.过△ABC所在平面α外一点P，作PO⊥α，垂足为O，连接P A、PB、PC，

(1)若P A＝PB＝PC，∠C＝90°，则点O是AB边的________点.

(2)若P A＝PB＝PC，则点O是△ABC的________心.

(3)若P A⊥PB，PB⊥PC，PC⊥P A，则点O是△ABC的________心.

3.m、n是空间中两条不同直线，α、β是两个不同平面，下面有四个命题：

①m⊥α，n∥β，α∥β?m⊥n；②m⊥n，α∥β，m⊥α?n∥β；

③m⊥n，α∥β，m∥α?n⊥β；④m⊥α，m∥n，α∥β?n⊥β.

其中，所有真命题的编号是________.

5.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列四个命题：

①若α∥β，m?α，则m∥β；②若m∥α，n?α，则m∥n；

③若α⊥β，m∥α，则m⊥β；④若m⊥α，m∥β，则α⊥β.

其中为真命题的是() A.①③ B.②③

C.①④

D.②④

题型一直线与平面垂直的判定与性质

例1如图所示，在四棱锥P—ABCD中，

P A⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，

∠ABC＝60°，P A＝AB＝BC，E是PC的中点.

证明：(1)CD⊥AE；

如图所示，P是四边形ABCD所在平面

外的一点，四边形ABCD是∠DAB＝60°且边长为a

的菱形，侧面P AD为正三角形，其所在平面垂直于

底面ABCD.若G为AD边的中点，

求证：BG⊥平面P AD.

题型二平面与平面垂直的判定与性质

例2如图所示，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，

BD∥CE，EC＝CA＝2BD，M是EA的中点.求证：

(1)DE＝DA；

(2)平面BDM⊥平面ECA.

(2011·江苏)如图，在四棱锥P －ABCD 中，

平面P AD ⊥平面ABCD ，AB ＝AD ，∠BAD ＝60°，E ，

F 分别是AP ，AD 的中点.

求证：(1)直线EF ∥平面PCD ；

(2)平面BEF ⊥平面P AD .

题型三 线面、面面垂直的综合应用

例3 如图所示，在四棱锥P —ABCD 中，

平面P AD ⊥平面ABCD ，AB ∥DC ，△P AD

是等边三角形，已知BD ＝2AD ＝8，AB ＝2DC ＝4 5.

(1)设M 是PC 上的一点，求证：平面MBD ⊥平面P AD ；

(2)求四棱锥P —ABCD 的体积.

(2011·辽宁)如图，四边形ABCD 为正方形，

QA ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA ＝AB ＝12

PD . (1)证明：PQ ⊥平面DCQ ；

(2)求棱锥Q －ABCD 的体积与棱锥P －DCQ 的体积的比值.

题型四线面、二面角的求法

例4如图，在五面体ABCDEF中，

四边形ADEF是正方形，F A⊥平面ABCD，

BC∥AD，CD＝1，AD＝22，∠BAD＝∠CDA＝45°.

(1)求异面直线CE与AF所成角的余弦值；

(2)证明：CD⊥平面ABF；

(3)求二面角B－EF－A的正切值.

在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形.已知AB＝3，AD＝2，P A＝2，PD＝22，∠P AB ＝60°.

(1)证明：AD⊥平面P AB；

(2)求异面直线PC与AD所成的角的正切值的大小；

(3)求二面角P—BD—A的正切值的大小.

5.几何证明过程要规范

试题：(12分)如图所示，M，N，K分别是正方体

ABCD—A1B1C1D1的棱AB，CD，C1D1的中点.

(2)平面A1B1C⊥平面A1MK.

§8.5直线、平面垂直的判定及其性质

(时间：60分钟)

A组专项基础训练题组

一、选择题

1.已知平面α与平面β相交，直线m⊥α，则()

A.β内必存在直线与m平行，且存在直线与m垂直

B.β内不一定存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直

C.β内不一定存在直线与m平行，但必存在直线与m垂直

D.β内必存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直

2.已知l，m是不同的两条直线，α，β是不重合的两个平面，则下列命题中为真命题的是()

A.若l⊥α，α⊥β，则l∥β

B.若l∥α，α⊥β，则l∥β

C.若l⊥m，α∥β，m?β，则l⊥α

D.若l⊥α，α∥β，m?β，则l⊥m

3.设α，β为不重合的平面，m，n为不重合的直线，则下列命题正确的是()

A.若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥α

B.若m?α，n?β，m∥n，则α∥β

C.若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β

D.若n⊥α，n⊥β，m⊥β，则m⊥α

二、填空题

4.α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及β之外的两条不同的直线，给出四个论断：①m⊥n；②α⊥β；

③n⊥β；④m⊥α，以其中三个论断作为条件，剩余的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题____________________________.

5.设α、β、γ为彼此不重合的三个平面，l为直线，给出下列命题：

①若α∥β，α⊥γ，则β⊥γ；

②若α⊥γ，β⊥γ，且α∩β＝l，则l⊥γ；

③若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则直线l与平面α垂直；

④若α内存在不共线的三点到β的距离相等，则平面α平行于平面β.

上面命题中，真命题的序号为________.

6.已知平面α，β和直线m，给出条件：①m∥α；②m⊥α；③m?α；④α∥β.当满足条件________时，有m⊥β.(填所选条件的序号)

7.如图，P A⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，

C是圆O上的一点，E、F分别是点A在PB、PC

上的正投影，给出下列结论：

①AF⊥PB；②EF⊥PB；

③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.

其中正确结论的序号是________.

三、解答题

8.如图，已知P A垂直于矩形ABCD所在平面，

M、N分别是AB、PC的中点，若∠PDA＝45°，

求证：MN⊥平面PCD.

B组专项能力提升题组

一、选择题

1.下列命题中，m、n表示两条不同的直线，α、β、γ表示三个不同的平面.

①若m⊥α，n∥α，则m⊥n；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；③若m∥α，n∥α，则m∥n；④若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ.

正确的命题是()

A.①③

B.②③

C.①④

D.②④

2.如图，在正四面体P—ABC中，D、E、F分别是AB、

BC、CA的中点，下面四个结论不成立的是()

A.BC∥平面PDF

B.DF⊥平面P AE

C.平面PDF⊥平面P AE

D.平面PDE⊥平面ABC

3.如图，在斜三棱柱ABC—A1B1C1中，∠BAC＝90°，

BC 1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在()

A.直线AB上

B.直线BC上

C.直线AC上

D.△ABC内部

二、填空题

4.正四棱锥S—ABCD的底面边长为2，高为2，E是边BC的中点，动点P在表面上运动，并且总保持PE⊥AC，则动点P的轨迹的周长为________.

5.在正四棱锥P—ABCD中，P A＝

3

2AB，M是BC的中点，G是△P AD的重心，则在平面P AD中经过G点

且与直线PM垂直的直线有________条.

6.已知a、b、l表示三条不同的直线，α、β、γ表示三个不同的平面，有下列四个命题：

①若α∩β＝a，β∩γ＝b，且a∥b，则α∥γ；

②若a、b相交，且都在α、β外，a∥α，a∥β，b∥α，b∥β，则α∥β；

③若α⊥β，α∩β＝a，b?β，a⊥b，则b⊥α；

④若a?α，b?α，l⊥a，l⊥b，l?α，则l⊥α.

其中正确命题的序号是________.

三、解答题

7.如图所示，在三棱锥P—ABC中，△P AB是等边三角形，

∠P AC＝∠PBC＝90°.

(1)证明：AB⊥PC；

(2)若PC＝4，且平面P AC⊥平面PBC，求三棱锥P—ABC的体积.

8.(2011·浙江)如图，在三棱锥P—ABC中，AB＝AC，

D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线

段AD上.

(1)证明：AP⊥BC；

(2)已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2，求二面角B—AP—C的大小.