全等三角形与旋转问题

全等三角形与旋转问题

1、如图，C 是线段BD 上一点，分别以BC 、CD 为边在BD 同侧作等边△ABC 和等边△CDE ,AD 交CE 于F ，BE 交AC 于G ，则图中可通过旋转而相互得到的三角形对数有_____________。

A ．1对

B ．2对

C ．3对

D ．4对

K

G

F

E

D

C B

A

2、已知：如图，点C 为线段AB 上一点，ACM ?、CBN ?是等边三角形．求证：AN BM =．

M D N

E

C B

F

A

∵ACM ?、CBN ?是等边三角形，

∴MC AC =，CN CB =，ACN MCB ∠=∠ ∴ACN MCB ??≌，∴AN BM =

3、如图，B ，C ，E 三点共线，且ABC ?与DCE ?是等边三角形，连结BD ，AE 分别交AC ，DC 于M ，N 点．求证：CM CN =．

N

M

E

D

C

B

A

∵ABC ?与DCE ?都是等边三角形

∴BC AC =，CD CE =及60ACB DCE ∠=∠=? ∵B ，C ，E 三点共线

∴180BCD DCE ∠+∠=?，180BCA ACE ∠+∠=? ∴120BCD ACE ∠=∠=? 在BCD ?与ACE ?中

BC AC BCD ACE DC EC =??

∠=∠??=?

∴BCD ACE ??≌， ∴CAN CBM ∠=∠

∵120BCD ACE ∠=∠=?，60BCM NCE ∠=∠=? ∴60ACD ∠=?

在BCM ?与ACN ?中

60BC AC BCM ACN CBM CAN =??

∠==???∠=∠?

∴BCM ACN ??≌，∴CM CN =．

4、已知：如图，点C 为线段AB 上一点，ACM ?、CBN ?是等边三角形．求证：CF 平分AFB ∠．

M D N

E

C B

F

A

G

M H D

N

E

C B

F A

过点C 作CG AN ⊥于G ，CH BM ⊥于H ，由ACN MCB ??≌，

利用AAS 进而再证BCH NCD ??≌，可得到CG CH =，故CF 平分AFB ∠．

如图，点C 为线段AB 上一点，ACM ?、CBN ?是等边三角形．

请你证明： ⑴AN BM =； ⑵DE AB ∥；

⑶CF 平分AFB ∠．

M D N

E

C B

F

A

此图是旋转中的基本图形．其中蕴含了许多等量关系． 60MCN ∠=o 与三角形各内角相等，

及平行线所形成的内错角及同位角相等； 全等三角形推导出来的对应角相等… 推到而得的：AFC BFC ∠=∠；

AN BM =，CD CE =，AD ME =，ND BE =； AM CN ∥，CM BN ∥；DE AB ∥

ACN MCB ??≌，ADC MCE ??≌，NDC BEC ??≌； DEC ?为等边三角形．

⑴∵ACM ?、CBN ?是等边三角形，

∴MC AC =，CN CB =，ACN MCB ∠=∠ ∴ACN MCB ??≌，∴AN BM =

⑵由ACN MCB ??≌易推得NDC BEC ??≌，所以CD CE =，又60MCN ∠=o ， 进而可得DEC ?为等边三角形．易得DE AB ∥．

⑶过点C 作CG AN ⊥于G ，CH BM ⊥于H ，由ACN MCB ??≌，

利用AAS 进而再证BCH NCD ??≌，可得AFC BFC ∠=∠，故CF 平分AFB ∠．

5、如图，四边形ABCD 、DEFG 都是正方形，连接AE 、CG ．求证：AE CG =．

G F

E D

C

B

A

∵ADC EDG ∠=∠

∴CDG ADE ∠=∠ 在CDG ?和ADE ?中

CD AD CDG ADE DG DE =??

∠=∠??=?

∴CDG ADE ??≌ ∴AE CG =

6、如图，点C 为线段AB 上一点，ACM ?、CBN ?是等边三角形，D 是AN 中点，E 是BM 中点，求证：CDE ?是等边三角形．

M D

N

E

C

B

A

∵ACN MCB ??≌，∴AN BM =，ABM ANC ∠=∠

又∵D 、E 分别是AN 、BM 的中点，

∴BCE NCD ??≌，∴CE CD =，BCE NCD ∠=∠

∴60DCE NCD NCE BCE NCE NCB ∠=∠+∠=∠+∠=∠=? ∴CDE ?是等边三角形

7、如下图，在线段AE 同侧作两个等边三角形ABC ?和CDE ?(120ACE ∠<°)，点P 与点M 分别

是线段BE 和AD 的中点，则CPM ?是_____________。

P

M

B

C D

E

A

A ．钝角三角形

B ．直角三角形

C ．等边三角形

D ．非等腰三角形

8、如图，等边

9、三角形ABC ?与等边DEC ?共顶点于C 点．求证：AE BD =．D

E

C

B

A

∵ABC ?是等边三角形，∴60ACB ∠=?，AC BC =．

∴60BCD DCA ∠+∠=?，同理60ACE DCA ∠+∠=?，DC EC =．∴BCD ACE ∠=∠ 在BCD ?与ACE ? 中，

BC AC BCD ACE DC EC =??

∠=∠??=?

∴BCD ACE ??≌，∴BD AE =．

9、如图，D 是等边ABC ?内的一点，且BD AD =，BP AB =，DBP DBC ∠=∠，问BPD ∠的度数是否一定，若一定，求它的度数；若不一定，说明理由．

P

D

C B

A

A

B C D

P

连接CD ，将条件BD AD =，BP AB =这两个条件，易得ACD BCD ??≌(SSS )，得

1

302

BCD ACD ACB ∠=∠=∠=?，由BP AB BC ==，DBP DBC ∠=∠，BD BD =(公共边)，知

BDP BDC ??≌(SAS )，∴30BPD BCD ∠=∠=?．故BPD ∠的度数是定值．

10、如图，等腰直角三角形ABC 中，90B =?∠，AB a =，O 为AC 中点，EO OF ⊥．求证：BE BF +为定值．

O

B E

C

F A

连结OB 由上可知，1290+∠=?∠，2390∠+=o

∠，13∠=∠，而445C =∠=?∠，OB OC =．

∴OBE OCF ??≌，∴BE FC =，∴BE BF CF BF BC a +=+==．

如图，正方形OGHK 绕正方形ABCD 中点O 旋转，其交点为E 、F ，求证：AE CF AB +=．

5

432

1

O

H

B

E D

K

G C

F A

正方形ABCD 中，1245∠==?∠，OA OB =

而3490∠+=?∠，4590∠+=?∠ ∴35=∠∠，∴AOE BOF ??≌

∴AE BF =，∴AE FC BF FC BC AB +=+==

11、如图，已知点E 是正方形ABCD 的边CD 上一点，点F 是CB 的延长线上一点，且EA AF ⊥． 求证：DE BF =．

F

E

D C

B

A

证明：因为四边形ABCD 是正方形，所以AB AD =，

90BAD ADE ABF ?∠=∠=∠=．因为EA AF ⊥， 所以90BAF BAE BAE DAE ?∠+∠=∠+∠=，所以

BAF DAE ∠=∠，故Rt ABF ?≌Rt ADE ?，故DE BF =．

如图所示，在四边形ABCD 中，90ADC ABC ∠=∠=?，AD CD =，DP AB ⊥于P ，若四边形ABCD 的面积是16，求DP 的长_____________。

P

D

C B

A

A

B

C

D

E

P

、

如图，过点D 作DE DP ⊥，延长BC 交DE 于点E ，容易证得ADP CDE ??≌(实际上就是把ADP

?逆时针旋转90?，得到正方形DPBE )

∵正方形DPBE 的面积等于四边形ABCD 面积为16，∴4DP =．

12、E 、F 分别是正方形ABCD 的边BC 、CD 上的点，且45EAF =?∠，AH EF ⊥，H 为垂足，求证：AH AB =．

C

H

F E

D B

A

C

H F

E

G

D B

A

延长CB 至G ，使BG DF =，连结AG ，易证ABG ADF △≌△，BAG DAF =∠∠，AG AF =．

再证AEG AEF △≌△，全等三角形的对应高相等(利用三角形全等可证得)，则有AH AB =．

13、在等腰Rt ABC ?的斜边AB 上取两点M 、N ，使45MCN ∠=?，记AM m =，MN x =，BN n =，则以x 、m 、n 为边长的三角形的形状是_____________。 A ．锐角三角形 B ．直角三角形

C ．钝角三角形

D ．随x 、m 、n 的变化而变化

M

N

C

B

A

D

C

B

A

如图，将CBN ?绕点C 顺时针旋转90?，得CAD ?，连结MD ，

则AD BN n ==，CD CN =，ACD BCN =∠∠，

∴MCD ACM ACD =+∠∠∠ACM BCN =∠+∠904545MCN =-==∠o o o ． ∴MDC MNC ??≌，∴MD MN x ==

又易得454590DAM ∠=+?=o o ，∴在Rt AMD ?中，有222m n x +=，故应选(B )

如图，正方形ABCD 的边长为1，点F 在线段CD 上运动，AE 平分BAF ∠交BC 边于点E ．

⑴求证：AF DF BE =+．

⑵设DF x =(01x ≤≤)，ADF ?与ABE ?的面积和S 是否存在最大值？若存在，求出此时x 的值及S ．若不存在，请说明理由．

F

E

D

C B

A

G

A

B C D

E F

⑴ 证明： 如图，延长CB 至点G ，使得BG DF =，连结AG ．

因为ABCD 是正方形，所以在Rt ADF ?和Rt ABG ?中，AD AB =， 90ADF ABG ∠=∠=°，DF BG =． ∴Rt Rt (SAS)ADF ABG ??≌， ∴AF AG =，DAF BAG ∠=∠． 又 ∵ AE 是BAF ∠的平分线． ∴EAF BAE ∠=∠，

即EAD GAE ∠=∠．

∵AD BC ∥，∴GEA EAD ∠=∠， ∴GEA GAE ∠=∠，∴AG GE =． 即AG BG BE =+．

∴AF BG BE =+，得证．

⑵ ADF ABE S S S ??=+1122

DF AD BE AB =?+?． ∵1AD AB ==， ∴()12

S DF BE =+ 由⑴知，AF DF BE =+，

所以12

S AF =．

在Rt ADF ?中，1AD =，DF x =，

∴AF =

∴S =

由上式可知，当2x 达到最大值时，S 最大．而01x ≤≤， 所以，当1x =时，

S

14、请阅读下列材料：

已知：如图1在Rt ABC ?中，90BAC ∠=?，AB AC =，点D 、E 分别为线段BC 上两动点，若45DAE ∠=?．探究线段BD 、DE 、EC 三条线段之间的数量关系． 小明的思路是：把AEC ?绕点A 顺时针旋转90?，得到ABE '?，连结E D '， 使问题得到解决．请你参考小明的思路探究并解决下列问题：

⑴ 猜想BD 、DE 、EC 三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明； ⑵ 当动点E 在线段BC 上，动点D 运动在线段CB 延长线上时，如图2，其它条件不变，⑴中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明．

图1

A

B

C

D

E

图2

A

B C

D

E

⑴ 2

2

2

DE BD EC =+

证明：根据AEC ?绕点A 顺时针旋转90?得到ABE '? ∴AEC ABE '??≌

∴BE EC '=，AE AE '=，C ABE '∠=∠，EAC E AB '∠=∠ 在Rt ABC ?中 ∵AB AC =

∴45ABC ACB ∠=∠=? ∴90ABC ABE '∠+∠=? 即90E BD '∠=? ∴222E B BD E D ''+= 又∵45DAE ∠=?

∴45E AB BAD '∠+∠=? 即45E AD '∠=?

∴AED

AED '??≌ ∴DE DE '=

∴222DE BD EC =+

E'

E

D

C

B

A

F

E

D

C

B A

⑵ 关系式2

2

2

DE BD EC =+仍然成立

证明：将ADB ?沿直线AD 对折，得AFD ?，连FE ∴AFD ABD ??≌

∴AF AB =，FD DB =

FAD BAD ∠=∠，AFD ABD ∠=∠ 又∵AB AC =，∴AF AC =

∵45FAE FAD DAE FAD ∠=∠+∠=∠+?

()9045EAC BAC BAE DAE DAB DAB ∠=∠-∠=?-∠-∠=?+∠

∴FAE EAC ∠=∠ 又∵AE AE = ∴AFE ACE ??≌

∴FE EC =，45AFE ACE ∠=∠=?

180135AFD ABD ABC ∠=∠=?-∠=?

∴1354590DFE AFD AFE ∠=∠-∠=?-?=? ∴在Rt DFE ?中

222DF FE DE +=即222DE BD EC =+

15、 如图所示，ABC ?是边长为1的正三角形，BDC ?是顶角为120?的等腰三角形，以D 为顶点作一个60?的MDN ∠，点M 、N 分别在AB 、AC 上，求AMN ?的周长_____________。

N

M D

C

B

A

N

M

E

D

C B A

如图所示，延长AC 到E 使CE BM =．

在BDM ?与CDE ?中，因为BD CD =，90MBD ECD ∠=∠=o ，BM CE =， 所以BDM CDE ??≌，故MD ED =．

因为120BDC ∠=o ，60MDN ∠=o ，所以60BDM NDC ∠+∠=o ． 又因为BDM CDE ∠=∠，所以60MDN EDN ∠=∠=o ．

在MND ?与END ?中，DN DN =，60MDN EDN ∠=∠=o ，DM DE =， 所以MND END ??≌，则NE MN =，所以AMN ?的周长为2．

16、在等边ABC ?的两边AB ，AC 所在直线上分别有两点M ，N ，D 为ABC ?外一点，且

60MDN ∠=?，120BDC ∠=?，BD CD =，探究：当点M ，N 分别爱直线AB ，AC 上移动时，BM ，NC ，MN 之间的数量关系及AMN ?的周长与等边ABC ?的周长L 的关系_____________。

⑴如图①，当点M ，N 在边AB ，AC 上，且DM=DN 时，BM ，NC ，MN 之间的数量关系式__________；此时

Q

L

=__________ ⑵如图②，当点M ，N 在边AB ，AC 上，且DN DM ≠时，猜想(1)问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明； ⑶如图③，当点M ，N 分别在边AB ，CA 的延长线上时，若AN=x ，则Q =_________(用x ，L 表示)

BM+NC=MN ;

23

Q L =

(2)猜想：仍然成立

证明：如图，延长AC 至E ，使CE=BM ，连接DE ,120BD CD BDC =∠=?Q 且， 30DBC DCB ∴∠=∠=?

由ABC ?是等边三角形，90MBD NCD ∴∠=∠=?，()MBD ECD SAS ∴??≌ ,DM DE BDM CDE ∴=∠=∠，60EDN BDC MDN ∴∠=∠-∠=? 在MDN ?与EDN ?中

DM DE MDN EDN DN DN =??

∠=??=?

()MDN EDN SAS ∴??≌

MN NE NC BM ∴==+

AMN ?的周长Q AM AN MN =++=()()AM BM AN NC +++=2AB AC AB +=

而等边ABC ?的周长3L AB =

23

Q L ∴

= (3)2

2x L +

(1)如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B ＝∠D ＝90?，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，

且∠EAF=12

∠BAD ．求证：EF ＝BE +FD ;

F

E

D C

B

A

(2) 如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B+∠D ＝180?，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且∠EAF=12

∠BAD ， (1)中的结论是否仍然成立？不用证明．

F

E

D

C

B A

证明：延长EB 到G ，使BG=DF ，联结AG ．

∵∠ABG ＝∠ABC=∠D ＝90?， AB ＝AD ， ∴ABG ADF ??≌．

∴AG ＝AF ， 12∠=∠．

∴113232

EAF BAD ∠+∠=∠+∠=∠=∠． ∴∠GAE=∠EAF ． 又AE ＝AE ，

∴AEG AEF ??≌． ∴EG ＝EF ． ∵EG=BE+BG ． ∴EF= BE ＋FD

(2) (1)中的结论EF BE FD =+仍然成立．

17、平面上三个正三角形ACF ，ABD ，BCE 两两共只有一个顶点，求证：EF 与CD 平分．

F

E

D

B

C

A

连接DE 与DF

∵DBA EBC ∠=∠，BAD CAF ∠=∠ ∴DBE ABC ∠=∠，BAC DAF ∠=∠ ∴在DBE ?与ABC ?中

DB AB DBE ABC BE BC =??

∠=∠??=?

∴(SAS)DBE ABC ??≌ ∴DE CA FC == 在DFA ?与BCA ?中

DA BA DAF BAC AF AC =??

∠=∠??=?

∴(SAS)DFA BCA ??≌ ∴DF BC EC ==

∴DECF 为平行四边形， ∴EF ，CD 互相平分．

18、已知：如图，ABC ?、CDE ?、EHK ?都是等边三角形，且A 、D 、K 共线，AD DK =．求证：HBD ?也是等边三角形．

E

K

H

C

D

B

A

M

A

B D

C

H

K

E

连结EB ，∵CE CD =，CE EA =，BE AD =，

所以BE AD =，并且BE 与AD 的夹角为60?， 延长EB 交AK 于M ，

则360300EBH BHD HDE BED HDM MDE MED ∠=?-∠-∠-∠=?-∠-∠-∠ ()180********HDM MDE MED HDM HDK =?-∠+?-?-∠-∠=?-∠=．

又因为HK AD BE ==，BH HD =． 所以BEH DKH ??≌． 所以HK HE =，

EHD EHD DHK BHE ∠=∠+∠=∠．

于M ，求证：(1)CF BH =;(2)MH MF =

G

H

F

M

E

D

B

A

证明△ABH ≌△AFC ;(2)作FP MD P ⊥于，HQ MD Q ⊥于，先证△AFP ≌△BAD ，△ACD ≌△HAQ ，再证△FPM ≌△HQM

以△ABC 的两边AB 、AC 为边向外作正方形ABDE 、ACFG ，求证：CE=BG ，且CE ⊥BG ．

O

G

F

E

D

C

A

易证AEC ABG ??≌，故ACE AGB ∠=∠，又AC AG ⊥，AOG BOC ∠=∠，故CE BG ⊥．

20、 如图所示，在五边形ABCDE 中，90B E ∠=∠=?，AB CD AE ===1BC DE +=，求此五边形的面积_____________。

E

D

C

B

A

F E

D

C

B

A

我们马上就会想到连接AC 、AD ，因为其中有两个直角三角形，但又发现直接求各三角形的面积并不容易，至此思路中断．

我们回到已知条件中去，注意到1BC DE +=，这一条件应当如何利用？联想到在证明线段相等时我们常用的“截长补短法”，那么可否把BC 拼接到DE 的一端且使EF BC =呢(如图所示)？据此，连接AF ，则发现ABC ?≌AEF ?，且1FD =，AF AC =，AE AB =，

ADF ?是底、高各为1的三角形，其面积为

1

2

，而ACD ?与AFD ?全等，从而可知此五边形的面积为1．

21、在五边形ABCDE 中，已知AB AE =，BC DE CD +=，180ABC AED ∠+∠=o ，连接AD ．求证：AD 平分CDE ∠．

E

D

C

B

A

F

E

D

C

B

A

连接AC ．由于AB AE =，180ABC AED ∠+∠=o

．

我们以A 为中心，将ABC ?逆时针旋转到AEF ?的位置．因AB AE =，所以B 点与E 点重合，而180AEF AED ABC AED ∠+∠=∠+∠=o ，

所以D 、E 、F 在一条直线上，C 点旋转后落在点F 的位置，且AF AC =，EF BC =． 所以DF DE EF DE BC CD =+=+=． 在ACD ?与AFD ?中，

因为AC AF =，CD FD =，AD AD =， 故ACD ?≌AFD ?，

因此ADC ADF ∠=∠，即AD 平分CDE ∠．

22、如图，已知ABC ?和ADE ?都是等边三角形，B 、C 、D 在一条直线上，试说明CE 与AC CD +相等的理由．

E

D

C

B

A

答案：∵AC AB =，CAE BAD ∠=∠，AE AD =

∴AEC ADB ??≌ ∴CE BD =

又∵BD BC CD AC CD =+=+ ∴CE AC CD =+

23、已知：如图，点E 是正方形ABCD 的边AB 上任意一点，过点D 作DF DE ⊥交BC 的延长线于点F ．求证：DE DF =．

F

E

D

C

B

A

答案：∵ADC EDF ∠=∠

在ADE ?和CDF ?中

DAE DCF AD CD

ADE CDF ∠=∠??

=??∠=∠?

∴ADE CDF ??≌ ∴DE DF =

24、在梯形ABCD 中，AB CD ∥，90A ∠=?，2AB =，3BC =，1CD =，E 是AD 中点，试判断EC 与EB 的位置关系，并写出推理过程．

A

B

C

D

E F

E D

C

B

A

答案：延长BE 交CD 延长线于点F ．

E ∵是AD 中点，DE AE =∴，

AB CD ∵∥，90A ∠=?，90EDF EAB ∠=∠=?∴，ABE DFE ∠=∠ 在AEB ?和FED ?中，

ABE DFE EAB EDF AE DE ∠=∠??

∠=∠??=?

∵ AEB FED ??∴≌，FE BE =∴

又2,3,1AB BC CD ===∵，CF BC =∴

在FCE ?和BCE ?中，

FC BC CE CE FE BE =??

=??=?

∵ FCE BCE ??∴≌，CE EB ⊥∴

25、已知：如图，点C 为线段AB 上一点，ACM ?、CBN ?是等边三角形．CG 、CH 分别是ACN ?、MCB ? 的高．求证：CG CH =．

H

G

N

M C B

A

答案：由ACN MCB ??≌，利用AAS 进而再证BCH NCD ??≌，可得到CG CH =．

26、在等腰直角ABC ?中，90ACB ∠=o ，AC BC =，M 是AB 的中点，点P 从B 出发向C 运动，MQ MP ⊥ 交AC 于点Q ，试说明MPQ ?的形状和面积将如何变化．

A

P

M

C

Q B

A

P

M

C

Q B

答案：连接CM ．因为AC BC =且90ACB ∠=o ，所以45B ∠=o

．

因为M 是AB 的中点，所以90AMC BMC ∠=∠=o ，45ACM ∠=o 且CM BM =，则ACM B ∠=∠．

因为MQ MP ⊥，所以90QMC CMP PMB ∠=-∠=∠o ，所以QCM PBM ??≌，

所以QM PM =．因此MPQ ?是等腰直角三角形，在P 的运动过程中形状不变． MPQ ?的面积与边MP 的大小有关．当点P 从B 出发到BC 中点时，面积由大变小； 当P 是BC 中点时，三角形的面积最小；P 继续向点C 运动时，面积又由小变大．

27、如图，正方形ABCD 中，FAD FAE ∠=∠．求证：BE DF AE +=．

F

E

D

C

B

A

F

E

D

M

C

B

A

答案：延长CB 至M ，使得BM DF =，连接AM ．

易证得：ABM ADF

??≌，

从而可得：AFD BAF EAF BAE BAM BAE EAM ∠=∠=∠+∠=∠+∠=∠， AMB EAM ∠=∠，故AE EM BE BM BE DF ==+=+．

28、等边ABD ?和等边CBD ?的边长均为1，E 是BE AD ⊥上异于A D 、的任意一点，F 是CD 上一点，满足1AE CF +=，当E F 、移动时，试判断BEF ?的形状．

D

F

E C

B

A

答案：由条件1AE CF +=，且1DF CF +=，得AE DF =．

因为AB DB =，60A BDF ∠=∠=o ，所以ABE DBF ??≌， 因此BE BF =，ABE DBF ∠=∠．

因为60EBF EBD DBF EBD ABE ABD ∠=∠+∠=∠+∠=∠=o ，

29、、操作：在△ABC中，AC＝BC＝2，∠C＝900，将一块等腰三角形板的直角顶点放在

斜边AB的中点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AC、CB于D、

E两点．

（1）三角板绕点P旋转，观察线段PD和PE之间有什么数量关系？并结合图②加以

证明．

（2）图③中，PD与PE之间是否还有上述数量关系？结合图③加以证明．

30、如图，P是正三角形ABC 内的一点，且PA＝6，PB＝8，PC＝10．若将△PAC绕点A 逆时针旋转后，得到△P'AB ，则点P与点P' 之间的距离为多少，∠APB？

31：如图，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的动点，满足∠EAF=45°，求证:EF=DE+BF

图9B

P

/

C

32：在等边△ABC中，O为△ABC内一点，连接AO、BO、CO且AO=2,BO=1,CO= √3 ,求∠AOB，∠BOC的度数分别是多少？

33．已知：PA=√2，PB=4 ，以AB为一边作正方形ABCD，使P、D两点落在直线AB 的两侧.

（1）如图，当∠APB=45°时，求AB及PD的长；

（2）当∠APB变化，且其它条件不变时，求PD 的最大值，及相应∠APB的大小.

34.点B、C、E在同一直线上，点A、D在直线CE的同侧，AB＝AC，EC＝ED，∠BAC ＝∠CED，直线AE、BD交于点F。

(1)如图①，若∠BAC＝60°，则∠AFB＝_________；如图②，若∠BAC＝90°，则∠AFB ＝_________；

(2)如图③，若∠BAC＝α，则∠AFB＝_________(用含α的式子表示)；

(3)将图③中的△ABC绕点C旋转(点F不与点A、B重合)，得图④或图⑤。在图④中，∠AFB与∠α的数量关系是________________；在图⑤中，∠AFB与∠α的数量关系是________________。请你任选其中一个结论证明。

35：如图所示，正方形ABCD的对角线相交于点O，以点O为一个顶点作正方形A’B’C’O,说明正方形A’B’C’O绕点O无论怎样旋转，两个正方形重叠部分的面积不变。

36.如图24－1，正方形ABCD和正方形QMNP，M是正方形ABCD的对称中心，MN交AB于F，QM交AD于E．

（1）猜想：ME 与MF的数量关系

（2）如图24－2，若将原题中的“正方形”改为“菱形”，且∠M =∠B，其它条件不变，探索线段ME与线段MF的数量关系，并加以证明

（3）如图24－3，若将原题中的“正方形”改为“矩形”，且AB:BC=1:2，其它条件不变，探索线段ME与线段MF的数量关系，并说明理由．

（4）如图24－4，若将原题中的“正方形”改为平行四边形，且∠M =∠B ，AB:BC = m，其它条件不变，求出ME：MF的值。（直接写出答案）

P

N

D

类型四：倍长中线

37：如图1，已知点D在AC上，△ADE 和△ABC 都是等腰直角三角形，点M为EC的中点.

（1）求证：△BMD 为等腰直角三角形.

（2）将△ADE 绕点A逆时针旋转45°，如图2，（1）中的“△BMD 为等腰直角三角形”是否仍然成立？请说明理由.

（3）将△ADE 绕点A逆时针旋转一定的角度，如图3，（1）中的“△BMD 为等腰直角三角形”成立吗？

38、原题：在△ABC中，AC=BC,∠ACB=90O, △ADE为等腰直角三角形，DE⊥AD。M为线段EB 的中点, 连结DM、CM。请探究DM与CM的关系（如图1）。

证明分析：利用直角三角形斜边中线性质和三角形的内外角和定理不难证明DM与CM垂直且相等。

问题：把等腰直角△ADE绕点A逆时针旋转，在旋转的过程中，其它条件不变，则上述命题的结论仍然成立吗？

一、特殊位置时结论的证明

旋转一：当线段AD旋转到线段AC上时（如图2）。

图2

图1 图3

依据全等三角形的旋转难题

旋转 已知，如图，三角形ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，F是AB的中点，直线l经过点C，分别过点A、B作l 的垂线，即AD⊥CE，BE⊥CE， （1）如图1，当CE位于点F的右侧时，求证：△ADC≌△CEB； （2）如图2，当CE位于点F的左侧时，求证：ED=BE-AD； （3）如图3，当CE在△ABC的外部时，试猜想ED、AD、BE之间的数量关系，并证明你的猜想． 考点：全等三角形的判定与性质．专题：证明题；探究型．分析：（1）利用同角的余角相等得出∠CAD=∠BCE，进而根据AAS证明△ADC≌△CEB． （2）根据AAS证明△ADC≌△CEB后，得其对应边相等，进而得到ED=BE-AD． （3）根据AAS证明△ADC≌△CEB后，得DC=BE，AD=CE，又有ED=CE+DC，进而得到ED=AD+BE．解答：（1）证明：∵AD⊥CE，BE⊥CE， ∴∠ADC=∠CEB=90°． ∵∠ACD+∠ECB=90°，∠CAD+∠ACD=90°， ∴∠CAD=∠BCE（同角的余角相等）． 在△ADC与△CEB中 ∠ADC=∠CEB ∠CAD=∠BCE AC=BC ， ∴△ADC≌△CEB（AAS）． （2）证明：∵AD⊥CE，BE⊥CE， ∴∠ADC=∠CEB=90°． ∵∠ACD+∠ECB=90°，∠CAD+∠ACD=90°， ∴∠CAD=∠BCE（同角的余角相等）． 在△ADC与△CEB中 ∠ADC=∠CEB ∠CAD=∠BCE AC=BC ， ∴△ADC≌△CEB（AAS）． ∴DC=BE，AD=CE． 又∵ED=CD-CE， ∴ED=BE-AD． （3）ED=AD+BE． 证明：∵AD⊥CE，BE⊥CE， ∴∠ADC=∠CEB=90°． ∵∠ACD+∠ECB=90°，∠CAD+∠ACD=90°， ∴∠CAD=∠BCE（同角的余角相等）． 在△ADC与△CEB中 ∠ADC=∠CEB ∠CAD=∠BCE AC=BC ， ∴△ADC≌△CEB（AAS）． ∴DC=BE，AD=CE． 又∵ED=CE+DC， ∴ED=AD+BE．点评：本题考查了全等三角形的判定和性质；利用全等三角形的对应边相等进行等量交换，证明线段之间的数量关系，这是一种很重要的方法，注意掌握

全等三角形与旋转问题

板块 考试要求 A 级要求 B 级要求 C 级要求 全等三角形的性质及判 定 会识别全等三角形 掌握全等三角形的概念、判定和性质，会用全等三角形的性质和判定解决简单问题 会运用全等三角形的性 质和判定解决有关问题 基本知识 把图形G 绕平面上的一个定点O 旋转一个角度θ，得到图形G '，这样的由图形G 到G '变换叫做旋转变换，点O 叫做旋转中心，θ叫做旋转角，G '叫做G 的象；G 叫做G '的原象，无论是什么图形，在旋转变换下，象与原象是全等形． 很明显，旋转变换具有以下基本性质： ①旋转变换的对应点到旋转中心的距离相等； 知识点睛 中考要求 第四讲 全等三角形与旋 转问题

②对应直线的交角等于旋转角． 旋转变换多用在等腰三角形、正三角形、正方形等较规则的图形上，其功能还是把分散的条件盯对集中，以便于诸条件的综合与推演． 【例1】如图，有四个图案，它们绕中心旋转一定的角度后，都能和原来的图案相互重合，其中有一个图案与其余三个图案旋转的角度不同，它是( )． 重点：本节的重点是全等三角形的概念和性质以及判定，全等三角形的性质是以后证明三角形问题的基础，也是学好全章的关键。同时全等三角形的判定也是本章的重点，特别是几种判定方法，尤其是当在直角三角形中时，HL的判定是整个直角三角形的重点 重、难点 例题精讲

【例2】 如图，同学们曾玩过万花筒，它是由三块等宽等长的玻璃片围成的，其中菱形AEFG 可以看成是把 菱形ABCD 以A 为中心( )． A ．顺时针旋转60°得到 B ．顺时针旋转120°得到 C ．逆时针旋转60°得到 D ．逆时针旋转120°得到 【例3】 如图，C 是线段BD 上一点，分别以BC 、CD 为边在BD 同侧作等边△ABC 和等边△CDE ,AD 交CE 于F ，BE 交AC 于G ，则图中可通过旋转而相互得到的三角形对数有( )． A ．1对 B ．2对 C ．3对 D ．4对 K G F E D C B A 【例4】 已知：如图，点C 为线段AB 上一点，ACM ?、CBN ?是等边三角形．求证：AN BM =． M D N E C B F A 【例5】 如图，B ，C ，E 三点共线，且ABC ?与DCE ?是等边三角形，连结BD ，AE 分别交AC ，DC 于 M ，N 点．求证：CM CN =． N M E D C B A 【补充】已知：如图，点C 为线段AB 上一点，ACM ?、CBN ?是等边三角形．求证：CF 平分AFB ∠．

全等三角形题型归类及解析

全等三角形题型归类及解析

全等三角形难题题型归类及解析 一、角平分线型 角平分线是轴对称图形，所以我们要充分的利用它的轴对称性，常作的辅助线是：一利用截取一条线段构造全等三角形，二是经过平分线上一点作两边的垂线。另外掌握两个常用的结论：角平分线与平行线构成等腰三角形，角平分线与垂线构成等腰三角形。 1. 如图，在ΔABC 中，D 是边BC 上一点，AD 平分∠BAC ，在AB 上截取AE=AC ， 连结DE ，已知DE=2cm ，BD=3cm ，求线段BC 的长。 2. 已知：如图所示，BD 为∠ABC 的平分线，AB=BC ，点P 在BD 上，PM ⊥AD 于M ， ?PN ⊥CD 于N ，判断PM 与PN 的关系． 3. 已知：如图E 在△ABC 的边AC 上，且∠AEB=∠ABC 。 (1) 求证：∠ABE=∠C ； (2) 若∠BAE 的平分线AF 交BE 于F ，FD ∥BC 交AC 于D ，设AB=5， AC=8，求DC 的长。 A B C D E P D A C B M N

二、中点型 由中点应产生以下联想： 1、想到中线，倍长中线 2、利用中心对称图形构造8字型全等三角形 3、在直角三角形中联想直角三角形斜边上的中线 4、三角形的中位线 2、已知：如图，ABC △中，45ABC ∠=°，CD AB ⊥于D ，BE 平分ABC ∠，且BE AC ⊥于E ，与CD 相交于点F H ，是BC 边的中点，连结DH 与BE 相交于点G ． （1）求证：BF AC =； （2）求证：1 2 CE BF =

D A E F C H G B 3、如图，△ABC中，D是BC的中点，DE⊥DF，试判断BE+CF与EF的大小关 系，并证明你的结论。 4、如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的

全等三角形解答题--答案

2016暑假作业(七) 全等三角形解答题答案 参考答案与试题解析 一．解答题（共28小题） 1．（2012?邵阳）如图所示，AC、BD相交于点O，且OA=OC，OB=OD．求证：AD∥BC． 【解答】证明：∵AC、BD交于点O， ∴∠AOD=∠COB， 在△AOD和△COB中， ∵ ∴△AOD≌△COB（SAS） ∴∠A=∠C， ∴AD∥BC．2．（2016?重庆校级模拟）如图，A、C、F、B在同一直线上，AC=BF，AE=BD，且AE∥BD．求证：EF∥CD． 【解答】证明：∵AE∥BD， ∴∠A=∠B， ∵AC=BF， ∴AC+CF=BF+CF， ∴BC=AF， 在△EAF和△DBC中 ∵， ∴△EAF≌△DBC（SAS）， ∴∠EFA=∠BCD， ∴EF∥CD．

3．（2015?于洪区一模）如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF． （1）如果AB=AC，∠BAC=90°， ①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2，线段CF、BD所在直线的位置关系为垂直，线段CF、BD的数量关系为相等； ②当点D在线段BC的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，并说明理由； （2）如果AB≠AC，∠BAC是锐角，点D在线段BC上，当∠ACB满足什么条件时，CF⊥BC（点C、F不重合），并说明理由． 【解答】证明：（1）①正方形ADEF中，AD=AF， ∵∠BAC=∠DAF=90°， ∴∠BAD=∠CAF，又∵AB=AC， ∴△DAB≌△FAC， ∴CF=BD，∠B=∠ACF， ∴∠ACB+∠ACF=90°，即CF⊥BD． ②当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立．由正方形ADEF得AD=AF，∠DAF=90度． ∵∠BAC=90°， ∴∠DAF=∠BAC， ∴∠DAB=∠FAC， 又∵AB=AC， ∴△DAB≌△FAC， ∴CF=BD，∠ACF=∠ABD． ∵∠BAC=90°，AB=AC， ∴∠ABC=45°， ∴∠ACF=45°， ∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90度． 即CF⊥BD． （2）当∠ACB=45°时，CF⊥BD（如图）．

数学人教版九年级上册旋转法构造全等三角形

典型例题： 已知:AC 是正方形ABCD 的对角线，∠EMF 的顶点在线段AC 上运动，∠EMF 绕点M 旋转，角的两边与CD 、BC 交于点F 、E.(点F 不与C 、D 重合）. (1)当∠EMF=90°时，试探究ME 与MF 的数量关系并说明理由.探究CE 、CM 、CF 之间的数量关系，并说明理由. 变式1： (2)当点M 在直线AC 上运动，∠EMF 绕点M 旋转，当角的两边交CD 、CB 的延长线于点F 、E,其余条件不变，结论是否成立？ 探究CE 、CM 、CF 之间的数量关系，并说明理由.. A A A 变式3： (4)当点M 在直线AC 上，当∠FME=∠ABC,其他条件不变，结论是否成立？并说明理由. 旋转法构造全等 学习目标： 题目中出现有一个公共端点的相等线段时，可试用旋转方法构造全等三角形. 活动一： 变式2： (3)将正方形ABCD 改为∠ABC=120°的菱形，当∠FME=120°结论是否成立？并说明理由.

分层练习： （A 层） 1. 把含15°角的三角板ABC ，绕点B 逆时针旋转90°到三角板DBE 位置（如图所示），则sin ∠ADE=_______。 （第1题） （第2题） （第3题） 2. 点p 是等边△ABC 内一点，若PA=13，PB=5，PC=12，∠BPA=_________. 3. 如图所示，把正方形ABCD 绕点A,按顺时针方向旋转得到正方形AEFG ，边FG 与 BC 交于点 H.(1)线段HG 与线段HB 相等吗？证明你的猜想.(2)若旋转角为30，HG 的长. （B 层） 1.如图，若把△ABC 绕点A 旋转一定角度得到△ADE ，那么对应边AB=___,BC=___,对应角∠CAB=____,∠B=____. （第1题） （第2题） （第3题） 2.已知：如图，在正方形ABCD 中，点E 在BC 上，将△DCE 绕点D 按顺时针方向旋转，与△DAF 重合，那么旋转角等于____度. 3. 在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，如果将该三角形绕点A 按顺时针方向旋转到△ A ’ B ’ C ’的位置，点B ’恰好落在边BC 的中点处，则旋转角_____度.

全等三角形与旋转问题专题练习

全等三角形与旋转问题专题练习 中考要求 知识点睛 基本知识 把图形G绕平面上的一个定点O旋转一个角度θ，得到图形G'，这样的由图形G到G'变换叫做旋转变换，点O叫做旋转中心，θ叫做旋转角，G'叫做G的象；G叫做G'的原象，无论是什么图形，在旋转变换下，象与原象是全等形． 很明显，旋转变换具有以下基本性质： ①旋转变换的对应点到旋转中心的距离相等； ②对应直线的交角等于旋转角． 旋转变换多用在等腰三角形、正三角形、正方形等较规则的图形上，其功能还是把分散的条件盯对集中，以便于诸条件的综合与推演． 重、难点 重点：本节的重点是全等三角形的概念和性质以及判定，全等三角形的性质是以后证明三角形问题的基础，也是学好全章的关键。同时全等三角形的判定也是 本章的重点，特别是几种判定方法，尤其是当在直角三角形中时，HL的判定 是整个直角三角形的重点 难点：本节的难点是全等三角形性质和判定定理的灵活应用。为了能熟练的应用性质定理及其推论，要把性质定理和推论的条件和结论弄清楚，哪几个是条件， 决定哪个结论，如何用数学符号表示，即书写格式，都要在讲练中反复强化

【例1】 如图，有四个图案，它们绕中心旋转一定的角度后，都能和原来的图案相互重合， 其中有一个图案与其余三个图案旋转的角度不同，它是_____________． 【解析】 A 【例2】 如图，同学们曾玩过万花筒，它是由三块等宽等长的玻璃片围成的，其中菱形AEFG 可以看成是把菱形ABCD 以A 为中心_____________。 A ．顺时针旋转60°得到 B ．顺时针旋转120°得到 C ．逆时针旋转60° 120°得到 【解析】 D 【例3】 如图，C 是线段BD 上一点，分别以BC 、CD 为边在BD 同侧作等边△ABC 和等边 △CDE ,AD 交CE 于F ，BE 交AC 于G ，则图中可通过旋转而相互得到的三角形对数有_____________。 A ．1对 B ．2对 C ．3对 D ．4对 K G F E D C B A 【解析】 C 【例4】 已知：如图，点C 为线段AB 上一点，ACM ?、CBN ?是等边三角形．求证： AN BM =． M D N E C B F A 例题精讲

全等三角形与旋转问题专题

全等三角形与旋转问题 中考要求 知识点睛 基本知识 把图形G绕平面上的一个定点O旋转一个角度θ，得到图形G'，这样的由图形G到G'变换叫做旋转变换，点O叫做旋转中心，θ叫做旋转角，G'叫做G的象；G叫做G'的原象，无论是什么图形，在旋转变换下，象与原象是全等形． 很明显，旋转变换具有以下基本性质： ①旋转变换的对应点到旋转中心的距离相等； ②对应直线的交角等于旋转角． 旋转变换多用在等腰三角形、正三角形、正方形等较规则的图形上，其功能还是把分散的条件盯对集中，以便于诸条件的综合与推演． 重、难点 重点：本节的重点是全等三角形的概念和性质以及判定，全等三角形的性质是以后 证明三角形问题的基础，也是学好全章的关键。同时全等三角形的判定也是 本章的重点，特别是几种判定方法，尤其是当在直角三角形中时，HL的判定 是整个直角三角形的重点 难点：本节的难点是全等三角形性质和判定定理的灵活应用。为了能熟练的应用性 质定理及其推论，要把性质定理和推论的条件和结论弄清楚，哪几个是条件， 决定哪个结论，如何用数学符号表示，即书写格式，都要在讲练中反复强化

【例1】如图，有四个图案，它们绕中心旋转一定的角度后，都能和原来的图案相互重合，其中有一个图案与其余三个图案旋转的角度不同，它是_____________． 【解析】A 【例2】如图，同学们曾玩过万花筒，它是由三块等宽等长的玻璃片围成的，其中菱形AEFG可以看成是把菱形ABCD以A为中心_____________。 A．顺时针旋转60°得到B．顺时针旋转120°得到 C．逆时针旋转60°得到D．逆时针旋转120°得到 G F E D C B A 【解析】D 【例3】如图，C是线段BD上一点，分别以BC、CD为边在BD同侧作等边△ABC和等边△CDE,AD交CE于F，BE交AC于G，则图中可通过旋转而相互得到的三角形对数有_____________。 A．1对B．2对C．3对D．4对 K G F E D C B A 【解析】C 【例4】已知：如图，点C为线段AB上一点，ACM ?、CBN ?是等边三角形．求证：AN BM =． M D N E C B F A 【解析】∵ACM ?、CBN ?是等边三角形， ∴MC AC =，CN CB =，ACN MCB ∠=∠ ∴ACN MCB ?? ≌，∴AN BM = 【点评】此题放在例题之前回忆，此题是旋转中的基本图形． 【例5】如图，B，C，E三点共线，且ABC ?与DCE ?是等边三角形，连结BD，AE分别交AC，DC 例题精讲

全等三角形压轴题及分类解析

B O D C E 图8 七年级下三角形综合题归类 一、 双等边三角形模型 1. （1）如图7，点O 是线段AD 的中点，分别以AO 和DO 为边在线段AD 的同侧作等边三 角形OAB 和等边三角形OCD ，连结AC 和BD ，相交于点E ，连结BC ．求∠AEB 的大小； （2）如图8，ΔOAB 固定不动，保持ΔOCD 的形状和大小不变，将ΔOCD 绕着点O 旋转（ΔOAB 和ΔOCD 不能重叠），求∠AEB 的大小. 2. 已知:点C 为线段AB 上一点，△ACM,△CBN 都是等边三角形，且AN 、BM 相交于O. ① 求证：AN=BM ② 求 ∠AOB 的度数。 ③ 若AN 、MC 相交于点P ，BM 、NC 交于点Q ，求证：PQ ∥AB 。 （湘潭·中考题） 同类变式： 如图a ，△ABC 和△CEF 是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点C ，连接AF 和BE. (1)线段AF 和BE 有怎样的大小关系?请证明你的结论； (2)将图a 中的△CEF 绕点C 旋转一定的角度，得到图b ，(1)中的结论还成立吗?作出判断并说明理由； (3)若将图a 中的△ABC 绕点C 旋转一定的角度，请你画出一个变换后的图形c(草图即可)，(1)中的结论还成立吗?作出判断不必说明理由. 图c 3. 如图9，若△ABC 和△ADE 为等边三角形，,M N 分别为,EB CD 的中点，易证： CD BE ，△AMN 是等边三角形． C B O D 图7 A E A B C M N O P Q

（1）当把△ADE 绕A 点旋转到图10的位置时，CD BE =是否仍然成立？若成立,请证 明；若不成立，请说明理由； （2）当△ADE 绕A 点旋转到图11的位置时，△AMN 是否还是等边三角形？若是，请 给出证明，若不是，请说明理由． 同类变式：已知，如图①所示，在ABC △和ADE △中，AB AC =，AD AE =， BAC DAE ∠=∠，且点B A D ，，在一条直线上，连接BE CD M N ，，，分别为BE CD ，的中点． （1）求证：①BE CD =；②AN AM =； （2）在图①的基础上，将ADE △绕点A 按顺时针方向旋转180，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立. 4. 如图，四边形ABCD 和四边形AEFG 均为正方形，连接BG 与DE 相交于点H ． （1）证明：△ABG ≌△ADE ； （2）试猜想∠BHD 的度数，并说明理由； 图9 图10 图11 图① 图②

全等三角形常见的几何模型

1绕点型(手拉手模型) 遇600旋60°,造等边三角形 遇90°旋90°，造等腰直角遇等腰旋 顶角，造旋转全等遇中点旋1800，造中 心对称 (2)共旋转(典型的手拉手模型) 例1、在直线ABC的同一侧作两个等边三角形△ (1)△ ABE ◎△ DBC (2)AE=DC (3)AE与DC的夹角为60。 (4)△ AGB ◎△ DFB (5)△ EGB ◎△ CFB (6)BH 平分/ AHC (7)GF // AC 变式练习2、如果两个等边三角形△ ABD和厶BCE，连接AE与CD，证明: ("△ ABE ◎△ DBC (2)AE=DC (3)AE与DC的夹角为60。 (4) AE与DC的交点设为H,BH平分/ AHC [D山3 Vi壮-U (I) ? 变式练习1、如果两个等边三角形△ABD和厶BCE，连接AE与CD，证明 (1) △ ABE ◎△ DBC (2) AE=DC (3) AE与DC的夹角为60。 (4) AE与DC的交点设为H,BH 平分/ AHC (1自旋转：自旋转构造方法 ABD和厶BCE，连接AE与CD，证明:

3、(1)如图1,点C是线段AB上一点，分别以AC, BC为边在AB的同侧作等边△ ACM和厶CBN ,连接AN , BM .分别取BM, AN的中点E, F,连接CE, CF, EF.观察并猜想△ CEF的形状，并说明理由. (2)若将(1)中的“以AC , BC为边作等边△ ACM和厶CBN”改为“以AC, BC为腰在AB的同侧作等腰△ ACM和△ CBN，”如图2,其他条件不变，那么(1)中的结论还成立吗？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由. B 例4、例题讲解： 1.已知△ ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点(点D不与B,C重合)，以AD为边作菱形ADEF(按A,D,E,F 逆时针排列)，使/ DAF=60 ° ,连接CF. (1)如图1,当点D在边BC上时，求证：① BD=CF 宓AC=CF+CD. (2)如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC=CF+CD是否成立？若不成立，请写出AC、CF、 CD之间存在的数量关系，并说明理由； ⑶如图3,当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC、CF、CD之间存在的数量关系。 2、半角模型 说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起, 成对称全等。 D A D A M x N rt B D 例1、如图，正方形ABCD的边长为1, AB,AD上各存在一点P、0,若厶APQ的周长为2, A P

旋转构全等三角形

勾股定理与旋转 例1：如图所示，在等腰直角ABC ?的斜边AB 上取两点M 、N ，使45MCN ∠=?，记AM m =，MN x =， BN n =，求证：以x 、m 、n 为边长的三角形的形状是直角三角形. x m n N M C B A 练习：已知：如图1在Rt ABC ?中，90BAC ∠=?，AB AC =，点D 、E 分别为线段BC 上两动点，若 45DAE ∠=?．探究线段BD 、DE 、EC 三条线段之间的数量关系． （1）当动点E 在线段BC 上，动点D 运动在线段CB 延长线上时，如图1，写出线段BD 、DE 、EC 三条线段之间的数量关系并给予证明． （2）若AB=2，求DE 的最小值．

练习： 1、如图所示，P 是等边ABC ?中的一点，2PA =，23PB =，4PC =，试求ABC ?的边长.

3、如图所示：ABC AP=，2 ∠ CP=，1 ?内的一点，且3 =，P是ABC ACB ∠=?，AC BC ?中，90 BP=，求BPC 的度数．

4、P 为等边ABC ?内一点，113APB ∠=?，123APC ∠=?，求证：以AP 、BP 、CP 为边可以构成一个三角形，并确定所构成的三角形的各内角的度数. 5、如图，P 为正方形ABCD 内一点，123PA PD PC ===， ，，将PDC ?绕着D 点按逆时针旋转90?到PQD ? 的位置。 （1）求:PQ PD 的值；（2）求APD ∠的度数。

6、在凸四边形ABCD 中，30ABC ∠=?，60ADC ∠=?，AD CD =，求证：222BD AB BC =+． 例3：如图所示，ABD ?是等边三角形，在ABC ?中，BC a =，CA b =，问：当ACB ∠为何值时，C 、D 两 点的距离最大？最大值是多少？ 练习：如图，已知在△ABC 中，AB=m ，AC=n ，以BC 为边向外作正方形BCDE ，连接AE.问：当∠BAC 为何值时？AE 取到最大值，最大值为多少？

完整word版,初中三角形全等之旋转和对称经典模型

初中全等三角形旋转和对称经典模型 一.旋转的定义 在平面内，将一个图形绕一个定点O沿某个方向转动一个角度，就叫做 图形的旋转，定点O称为旋转中心，转动的角称为旋转角； 二.旋转的性质 （1）旋转前后的图形全等；即对应线段相等，对应角相等． （2）对应点到旋转中心的距离相等． （3）任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角． 三.旋转对称图形 把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称 图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角（旋转角大于0°，小于360°）四.旋转对称图形 把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角（旋转角大于0°，小于360°） 五.典型模型 1、等线段共点 等边三角形共顶点

2、绕点型（手拉手模型） （1）自旋转： 自旋转构造放方法： ①遇60°旋60°，构造等边三角形； ②遇90°旋90°，构造等腰直角三角形； ③遇等腰旋转顶角，构造旋转全等； ④遇中点180°，构造中心对称。共顶点等腰直角三角形 共顶点等腰三角形共顶点等腰三角形

（2）共旋转模型变形

说明：模型变形主要是两个正多边形或者等腰三角形的夹角的变化，另外是等腰直角三角形与正方形的混用。 当遇到复杂图形找不到旋转全等时，先找两个正多边形或者等腰三角形的公共顶点，围绕公共顶点找到两组相邻等线段，分组组成三角形证全等。 3.中点旋转（拓展）：

说明：两个正方形、两个等腰直角三角形或者一个正方形一个等腰直角三角形及两个图形顶 点连线的中点，证明另外两个顶点与中点所成图形为等腰直角三角形。证明方法是倍长所要证等腰直角三角形的一直角边，转化成要证明的等腰直角三角形和已知的等腰直角三角形 （或者正方形）公旋转顶点，通过证明旋转全等三角形证明倍长后的大三角形为等腰直角三 角形从而得证。 4、半角模型 说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。 5.角分线模型 说明：以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线，形成对称全等。两边进行边或者角的等量代换，产生联系。垂直也可以做为轴进行对称全等。

全等三角形与旋转问题

A ?钝角三角形 B ?直角三角形 C ?等边三角形 D ?非等腰三角形 七年级数学下---全等三角形 【1】如图，点C 为线段AB 上一点，ACM 、 CBN 是等边三角形. 请你证明：⑴ AN BM ；(2) DE II AB ；(3) CF 平分 AFB . 【 2】如图，点C 为线段AB 上一点，ACM 、 CBN 是等边三角形，D 是AN 中点，E 是BM 中点, 求证： CDE 是等边三角形. 【3】如下图，在线段AE 同侧作两个等边三角形 ABC 和CDE ( ACE 120°，点P 与点M 分别是 线段BE 和AD 的中点，贝U CPM 是 A E A E

【4】如图，等边三角形 ABC 与等边DEC 共顶点于C 点.求证：AE BD . 【5】如图，D 是等边 ABC 内的一点，且 BD AD , BP AB , DBP DBC ，问 BPD 的度数是 否一定，若一定，求它的度数；若不一定，说明理由. 【9】如图所示，ABC 是边长为1的正三角形，BDC 是顶角为120的等腰三角形，以D 为顶点作 【6】如图，等腰直角三角形ABC 中，Z B 90，AB a ，O 为AC 中点，EO OF .求证：BE BF 为定值. 【7】在等腰Rt ABC 的斜边AB 上取两点M 、N ，使 则以x 、m 、 n 为边长的三角形的形状是（ MCN 45，记 AM m ，MN ）。A .锐角三角形 B .直角三角形 BN n ， C .钝角三角形 D .随 x 、m 、 n 的变化而变化 C

一个60的MDN，点M、N分别在AB、AC上，求AMN的周长。 【8】请阅读下列材料：已知：如图1在Rt ABC中，BAC 90 , AB AC ,点D、E分别为线 段BC上两动点，若DAE 45 ?探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系. 小明的思路是：把AEC绕点A顺时针旋转90，得到ABE，连结ED，使问题得到解决.请你参考小明的思路探究并解决下列问题：⑴猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式，并 对你的猜想给予证明；⑵ 当动点E在线段BC上，动点D运动在线段CB延长线上时，如图2，其 它条件不变，⑴中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明. 图 1

(完整版)全等三角形难题题型归类及解析

全等三角形难题题型归类及解析 一、角平分线型角平分线是轴对称图形，所以我们要充分的利用它的轴 对称性，常作的辅助线是：一利用截取一条线段构造全等三角形，二是 经过平分线上一点作两边的垂线。另外掌握两个常用的结论：角平分 线与平行线构成等腰三角形，角平分线与垂线构成等腰三角形。 1. 如图，在Δ ABC中，D是边BC上一点，AD平分∠BAC，在AB上截取 AE=AC， 连结DE，已知DE=2cm，BD=3cm，求线段BC的长。 已知：如图所示，BD为∠ ABC的平 分线，?PN⊥CD于N，判断PM与 PN的关系． AB=BC，点P在BD上，PM⊥AD于 M， 3. 如图所示，P为∠ AOB的平分线上一 点，若OC=4cm，求AO+BO的值． BD 2. PC⊥OA于C，?∠OAP+∠OBP=18°0 ，

4. 已知： 如 图 E 在△ ABC 的边 AC 上，且∠ AEB=∠ABC 。 ABE=∠C ； (2) 若∠BAE 的平分线 AF 交 BE 于 F ，FD ∥BC 交 AC 于 D ，设 AB=5， AC=8，求 DC 的长。 5、如图所示，已知∠ 1=∠2，EF ⊥AD 于 P ，交 BC 延长线于 M ，求证： 2∠M= (∠ ACB- ∠B ) 6、如图，已知在△ ABC 中，∠ BAC 为直角， AB=AC ，D 为 AC 上一点， CE ⊥BD 于 E ． 1 (1) 若 BD 平分∠ ABC ，求证 CE=2BD ； (2) 若 D 为 AC 上一动点，∠AED 如何变化， 若变化，求它的变化范 围； 若不变，求出它的度数，并说明理由。

旋转与全等三角形

旋转与全等三角形 问题一：题中出现什么的时候，我们应该想到旋转？(构造旋转的条件) 1．图中有相等的边(等腰三角形、等边三角形、正方形、正多边形) 2．这些相等的边中存在共端点。 3．如果旋转(将一条边和另一条边重合)，会出现特殊的角：大角夹半角、手拉手、被分割的特殊角。 问题二：旋转都有哪些模型？ 构造旋转辅助线模型： 1．大角夹半角 2．手拉手(寻找旋转) 3．被分割的特殊角 旋转使用技巧 1．题干中出现对图形的旋转——现成的全等 2．图形中隐藏着旋转位置关系的全等形——找到并利用 3．题干中没提到旋转，图形中也没有旋转关系存在——通过作辅助线构造旋转！ 典型例题 【例1】如图，P是正△ABC内的一点，若将△PBC绕点B旋转 到△P＇BA ，则∠PBP＇的度数是( ) A．45°B．60° C．90°D．120° 【例2】如图，正方形BAFE与正方形ACGD共点于A，连接BD、CF，求证：BD＝CF并求出∠DOH的度数。

【例3】如图，正方形ABCD中，∠F AD＝∠F AE。求证：BE＋DF＝AE。 【例4】已知：如图：正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN的两边分别交CB、DC于点M、N。求证：BM＋DN＝MN。 【例5】如图，正方形ABCD中，∠EAF＝45°，连接对角线BD交AE于M，交AF于N，证明：DN2＋BM2＝MN2

【例6】如图，已知△OAB 和△OCD 是等边三角形，连结AC 和BD ，相交于点E ，AC 和BO 交于点F ，连结BC 。求∠AEB 的大小。 【例7】如图所示：△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，P 是△ABC 内的一点，且AP ＝3，CP ＝2， BP ＝1，求∠BPC 的度数。 课后习题 1．如图，P 是正ABC ?内的一点，且BP 是∠ABC 的角平分线，若将PBC ?绕点P 旋转到P BA '?，则PBP '∠的度数是( ) A ．45° B ．60° C ．90° D ．120° 2．如图：△ABC 中，AB ＝AC ，BC 为最大边，点D 、E 分别在BC 、AC 上，BD ＝CE ，F 为BA 延长线上一点，BF ＝CD ，则下列正确的是( ) A ．DF ＝DE B ．D C ＝DF C ．EC ＝EA D ．不确定 P ' A B C P C B A F D E

全等三角形的常见类型归纳

全等三角形的常见类型 全等三角形是初中平面几何的一个重要内容，也是中考必考的内容之一。识别两个三角形全等一般有边角边（SAS）、角边角（ASA）、角角边（AAS）、边边边（SSS）四种方法。全等三角形的题目很多，但不外乎以下四种类型： 一、轴对称型全等三角形 把一个图形沿着某一条直线折叠过来，如果它能够与另一个图形重合，那么这两个图形关于这条直线对称。把△ABC沿直线L翻折后，能与△A”B”C”重合，则称它们是轴对称型全等三角形。下图是常见的轴对称型全等三角形，其对称轴L是对称点所连线段的垂直平分线。 识别轴对称三角形全等要注意题中的一些隐含条件，例如有些具有公共边（如图（1）中的AC，图（4）中的AA”），有些具有公共角或对顶角（如图（2）中的∠BAC＝∠B”AC”，图（3）中的∠ACB＝∠A”CB”）。 　例1.如下图，在∠A的两边截取AB＝AC，又截取AD＝AE，连CD、BE交于F。试说明：AF平分∠A。 二、平移型全等三角形 把△ABC沿着某一条直线L平行移动，所得△A”B”C”与△ABC称为平移型全等三角形。有时这条直线就是△ABC的某一条边所在直线。下图是常见的平移型全等三角形。 图（1）中AB∥A”B”，AB＝A”B”，AC∥A”C”，AC＝A”C”。 图（2）中AB∥A”B”，AB＝A”B”，AC∥A”C”，AC＝A”C”，BC∥B”C”，BC＝B”C”。 例2. 如下图，△ABC中，∠A＝90°，AD⊥BC于D点，∠C的平分线CE交AB、AD于E、F，过F作FG∥ BC交AB于G点。试说明：AE＝BG。

三、旋转型全等三角形 将△ABC绕顶点A旋转角后，到达△AB”C”的位置，则称△ABC和△AB”C”为旋转型全等三角形。 如下图所示，这些是常见的旋转型全等三角形。 识别旋转型全等三角形时，要注意图（1）（2）（3）中以点A、B、B”和点A、C、C”为顶点的三角形都是顶角为的等腰三角形，∠BAC和∠B”AC”隐含着一个等量减（加）等量的条件，通常用边角边（SAS）来识别两 个三角形全等。 例3.如下图，C点是线段AB上的一点，△ACD和△BCE是等边三角形。试说明：AE＝DB 四、中心对称型全等三角形 把果把△ABC绕着一个点O旋转180°，得到△A”B”C”，那么这两个三角形称为中心对称型全等三角形，点O称为对称中心。中心对称型全等三角形是旋转型全等三角形的一个特例（）。如图所示是常见的中心对称型全等三角形，对称点连线都经过对称中心O，且被点O平分。 例4.如下图，AD、EF、BC相交于O点，且AO＝OD，BO＝OC，EO＝FO。试说明：△AEB≌△DFC。

全等三角形中的平移与旋转模型

全等三角形中的平移与旋转模型 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一．选择题（共6小题） 1．如图，为了测量B点到河对面的目标A之间的距离，在B点同侧选择了一点C，测得∠ABC＝75°，∠ACB＝35°，然后在M处立了标杆，使∠CBM＝75°，∠MCB＝35°，得到△MBC≌△ABC，所以测得MB的长就是A，B两点间的距离，这里判定△MBC ≌△ABC的理由是（） A．SAS B．AAA C．SSS D．ASA 第1题第2题第3题第4题 2．为了测量池塘两侧A，B两点间的距离，在地面上找一点C，连接AC，BC，使∠ACB＝90°，然后在BC的延长线上确定点D，使CD＝BC，得到△ABC≌△ADC，通过测量AD的长，得AB的长．那么△ABC≌△ADC的理由是（） A．SAS B．AAS C．ASA D．SSS 3．如图，已知AC＝AD，再添加一个条件仍不能判定△ABC≌△ABD的是（） A．∠C＝∠D＝90°B．∠BAC＝∠BAD C．BC＝BD D．∠ABC＝∠ABD 4．如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB＝AC，现添加以下的哪个条件仍无法判定△ABE≌△ACD 的是（） A．AD＝AE B．∠B＝∠C C．CD＝BE D．∠ADC＝∠AEB 5．已知AB＝AD，∠C＝∠E，CD、BE相交于O，下列结论：（1）BC＝DE，（2）CD＝BE，（3）△BOC≌△DOE；其中正确的结论有（） A．0个B．1个C．2个D．3个 第5题第6题第7题第8题 6．如图，AB，CD相交于点O，OA＝OC，∠A＝∠C，下列结论：（1）△AOD≌△COB；（2）AD＝CB；（3）AB＝CD．其中正确的个数为（）A．0个B．1个C．2个D．3个 二．填空题（共6小题） 7．如图，点P是∠AOB内一点，PE⊥OA，PF⊥OB，垂足分别为E、F，若PE＝PF，且∠OPF＝72°，则∠AOB的度数为．8．如图，已知△ABC三个内角的平分线交于点O，点D在CA的延长线上，且DC＝BC，AD＝AO，若∠BAC＝100°，则∠BCA的度数为． 9．如图，AD＝BD，AD⊥BC，垂足为D，BF⊥AC，垂足为F，BC＝6cm，DC＝2cm，则AE＝cm． 10．如图，已知△ABC中，∠ABC＝45°，AC＝4，H是高AD和BE的交点，则线段BH的长度为．

全等三角形与旋转问题.教师版

全等三角形与旋转问题. 教师版 https://www.sodocs.net/doc/811284281.html,work Information Technology Company.2020YEAR

全等三角形与旋转问题 板块 考试要求 A 级要求 B 级要求 C 级要求 全等三角形的性质及判定 会识别全等三角形 掌握全等三角形的概念、判定和 性质，会用全等三角形的性质和 判定解决简单问题 会运用全等三角形的性质和判定解决有关问题 基本知识 把图形G 绕平面上的一个定点O 旋转一个角度θ，得到图形G '，这样的由图形G 到G '变换叫做旋转变换，点O 叫做旋转中心，θ叫做旋转角，G '叫做G 的象；G 叫做G '的原象，无论是什么图形，在旋转变换下，象与原象是全等形． 很明显，旋转变换具有以下基本性质： ①旋转变换的对应点到旋转中心的距离相等； ②对应直线的交角等于旋转角． 旋转变换多用在等腰三角形、正三角形、正方形等较规则的图形上，其功能还是把分散的条件盯对集中，以便于诸条件的综合与推演． 中考要求 例题精讲 知识点睛 重、难点 重点：本节的重点是全等三角形的概念和性质以及判定，全等三角形的 性质是以后证明三角形问题的基础，也是学好全章的关键。同时全等三角形的判定也是本章的重点，特别是几种判定方法，尤其是当在直角三角形中时，HL 的判定是整个直角三角形的重点 难点：本节的难点是全等三角形性质和判定定理的灵活应用。为了能熟 练的应用性质定理及其推论，要把性质定理和推论的条件和结论弄清楚，哪几个是条件，决定哪个结论，如何用数学符号表示，

【例1】 如图，有四个图案，它们绕中心旋转一定的角度后，都能和原来的图案相互重合，其中 有一个图案与其余三个图案旋转的角度不同，它是( )． 【解析】 A 【例2】 如图，同学们曾玩过万花筒，它是由三块等宽等长的玻璃片围成的，其中菱形AEFG 可 以看成是把菱形ABCD 以A 为中心( )． A ．顺时针旋转60°得到 B ．顺时针旋转120°得到 C ．逆时针旋转60°得到 D ．逆时针旋转120°得到 G F E D C B A 【解析】 D 【例3】 已知：如图，点C 为线段AB 上一点，ACM ?、CBN ?是等边三角形．求证：AN BM =． M D N E C B F A 【解析】 ∵ACM ?、CBN ?是等边三角形， ∴MC AC =，CN CB =，ACN MCB ∠=∠ ∴ACN MCB ??≌，∴AN BM = 【点评】此题放在例题之前回忆，此题是旋转中的基本图形． 【例4】 如图，C 是线段BD 上一点，分别以BC 、CD 为边在BD 同侧作等边△ABC 和等边△ CDE ,AD 交CE 于F ，BE 交AC 于G ，则图中可通过旋转而相互得到的三角形对数有( )． A ．1对 B ．2对 C ．3对 D ．4对 K G F E D C B A

全等三角形证明中的基本模型

把一个图形经过平移、翻折、旋转后，它们的位置虽然变化了，但是形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等. 我们把平移、翻折（轴对称）、旋转称为几何变换. 这一讲我们就来学习基本变换下的全等三角形. 常见平移模型 【引例】如图，A E F B 、、、四点在一条直线上，AC CE ⊥，BD DF ⊥，AE BF =，AC BD =． 求证：CF DE = 模块一 平移型全等 知识导航 知识互联网 夯实基础 全等中的基本模型 F E D C B A

【解析】 ∵AC CE ⊥，BD DF ⊥ ∴90ACE BDF ∠=∠=? 在Rt ACE △和Rt BDF △中 AC BD AE BF =?? =? ∴()Rt Rt HL ACE BDF △≌△ ∴CE DF =，AEC BFD ∠=∠ ∴CEF DFE ∠=∠ 在CEF △和DFE △中 CE DF CEF DFE EF FE =?? ∠=∠??=? ∴CEF DFE △≌△ ∴CF DE = 【例1】 如图1，A 、B 、C 、D 在同一直线上，AB CD =，DE AF ∥，且.DE AF = 求证：AFC DEB △≌△ 如果将BD 沿着AC 边的方向平行移动，图2，B 点与C 点重合时；图3，B 点在C 点右侧时，其余条件不变，结论是否成立，如果成立，请选择一种情况请予证明；如果不成立，请说明理由． 图1 F E D C B A 图2 F E D (C ) B A 图3 F E D C B A 常见轴对称模型 知识导航 模块二 对称型全等 能力提升

【例2】 ⑴如图，△ABC 中，AB ＝AC ，BD ⊥AC 于D ，CE ⊥AB 于E ，BD 和CE 交于点O ，AO 的延长线交BC 于F ，则图中全等直角三角形的对数为（ ） A.3对 B.4对 C.5对 D.6对 ⑵如图，ABE △和ADC △是ABC △分别沿着AB ，AC 翻折到同一平面内形成的．若1:2:315:2:1∠∠∠=，则4∠=________． 【例3】 如图，AB AC =，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，AM CD ⊥于M ，AN BE ⊥于N ． 求证：AM AN =． 常见旋转模型： 夯实基础 能力提升 知识导航 模块三 旋转型全等 E D N M C B A 43 2 1 E D C B A D O F E C B A

全等三角形动点问题提高题

全等三角形动点问题提高题 1.如图，已知△ABC中，AB=AC=12厘米，BC=9厘米，点D为AB的中点． （1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒得速度由B点向C点运动，同时点Q在线段CA上由C点向A点运动． ①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，1秒钟时，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由； ②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BP D≌△CQP？ （2）若点Q以（1）②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？ 2.如图，△ABC的边BC在直线l上，AC⊥BC，且AC=BC；△EFP的边FP也在直线l上，边EF与边AC重合，且EF=FP. (1)请你通过观察，测量，猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系； (2)将△EFP沿直线l向左平移到图2的位置时，EP交AC于点Q，连接AP，BQ，猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想； (3)将△EFP沿直线l向左平移到图3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连接A P，BQ.你认为（2）中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证

明；若不成立，请说明理由. 3.如图，在△ABC中,∠CAB=70°. 在同一平面内, 将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置, 使得CC′∥AB, 则∠B′AB = _________ 4.已知如图(1)，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AE是过A的一条直线，且B、C在AE 的两侧，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，求证：(1)BD＝DE＋CE；(2)若直线AE绕A点旋转到(2)位置时(BD＜CE)，其余条件不变，问BD与DE、CE的关系如何?请予证明．(3)若直线AE绕A点旋转到图(3)位置时，(BD＞CE)，其余条件不变，问BD与DE、CE的关系如何?请直接写出结果，不须证明．(4)归纳(1)、(2)、(3)，请用简捷语言表述BD、DE、CE的关系．