(完整版)勾股定理奥数基础汇总

勾股定理

一、内容提要 1.

勾股定理及逆定理：△ABC 中 ∠C ＝Rt ∠?a 2＋b 2=c 2 2. 勾股定理及逆定理的应用

① 作已知线段a 的2，3，

5……倍

② 计算图形的长度，面积，并用计算方法解几何题 ③ 证明线段的平方关系等。

3. 勾股数的定义：如果三个正整数a,b,c 满足等式a 2＋b 2=c 2，那么这三个正整数a,b,c 叫做一组勾股数.

4. 勾股数的推算公式

① 罗士琳法则（罗士琳是我国清代的数学家1789――1853）

任取两个正整数m 和n(m>n),那么m 2-n 2，2mn, m 2+n 2是一组勾股数。

② 如果k 是大于1的奇数，那么k, 212-k ,2

1

2+k 是一组勾股数。

③ 如果k 是大于2的偶数，那么k, 122-??? ??K ,122

+??

?

??K 是一组勾股数。

④ 如果a,b,c 是勾股数，那么na, nb, nc (n 是正整数)也是勾股数。

5. 熟悉勾股数可提高计算速度，顺利地判定直角三角形。简单的勾股数有：3，4，5； 5，12，13； 7，24，

25； 8，15，17； 9，40，41。

1.常用勾股数口诀记忆

常见勾股数

3，4，5 ： 勾三股四弦五 5，12，13 ： 5·12记一生 6，8，10： 连续的偶数 7，24，25 ： 企鹅是二百五 8，15，17 ： 八月十五在一起 特殊勾股数

连续的勾股数只有3，4，5

连续的偶数勾股数只有6，8，10

2.100以内的勾股数 开头数字为20以内

6. 3 4 5；5 12 13； 6 8 10；7 24 25；8 15 17；9 12 15；9 40 41；10 24 26；11 60 61；12 16 20；12 35 37；13 84 85；

14 48 50；15 20 25；15 36 39；16 30 34；16 63 65；18 24 30；18 80 82

二、例题

例1.已知线段a a

5a 2a 3a 5a

求作线段5a a

分析一：5a ＝25a ＝2

24a a + 2a

∴5a 是以2a 和a 为两条直角边的直角三角形的斜边。 分析二：5a ＝2492

a a -

∴5a 是以3a 为斜边，以2a 为直角边的直角三角形的另一条直角边。 作图（略）

例2.四边形ABCD 中∠DAB ＝60ο，∠B ＝∠D ＝Rt ∠，BC ＝1，CD ＝2

求对角线AC 的长 例3.已知△ABC 中，AB ＝AC ，∠B ＝2∠A

求证：AB 2－BC 2＝AB ×BC

例4.如图已知△ABC 中，AD ⊥BC ，AB ＋CD ＝AC ＋BD

求证：AB ＝AC

例5.已知梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ＞BC

求证：AC ＞BD

证明：作DE ∥AC ，DF ∥BC ，交BA 或延长线于点E 、F ACDE 和BCDF 都是平行四边形

∴DE ＝AC ，DF ＝BC ，AE ＝CD ＝BF

作DH ⊥AB 于H ，根据勾股定理

AH ＝

22-DH AD ，FH ＝22-DH DF

∵AD ＞BC ，AD ＞DF ∴AH ＞FH ，EH ＞BH

DE ＝22EH DH +，BD ＝2

BH DH +

∴DE ＞BD 即AC ＞BD

例6.已知：正方形ABCD 的边长为1，正方形EFGH 内接于ABCD ，AE ＝a ，AF ＝b,且S EFGH ＝

3

2

求：a b -的值

（2001年希望杯数学邀请赛，初二）

三、练习 1. 以下列数字为一边，写出一组勾股数：

① 7，＿＿，＿＿ ②8，＿＿，＿＿ ③9，＿＿，＿＿ ④10，＿＿，＿＿ ⑤11，＿＿，＿＿ ⑥12，＿＿，＿＿ 2. 根据勾股数的规律直接写出下列各式的值：

① 252－242＝＿＿， ②52＋122＝＿＿，

③2

2

158+＝＿＿＿，④2

2

15-25＝＿＿＿

3. △ABC 中，AB ＝25，BC ＝20，CA ＝15，CM 和CH 分别是中线和高。那么S △ABC ＝＿＿，CH ＝＿＿，MH

＝＿＿＿

4. 梯形两底长分别是3和7，两对角线长分别是6和8，则S 梯形＝＿＿＿

5.已知：△ABC 中，AD 是高，BE ⊥AB ，BE ＝CD ，CF ⊥AC ，CF ＝BD

求证：AE ＝AF

G

6.已知：M是△ABC内的一点，MD⊥BC，ME⊥AC，MF⊥AB，且BD＝BF，CD＝CE

求证：AE＝AF

7.在△ABC中，∠C是钝角，a2-b2=bc 求证∠A＝2∠B

8.求证每一组勾股数中至少有一个数是偶数。（用反证法）

9.已知直角三角形三边长均为整数，且周长和面积的数值相等，求各边长

10等腰直角三角形ABC斜边上一点P，求证：AP2＋BP2＝2CP2

11.已知△ABC中，∠A＝Rt∠，M是BC的中点，E，F分别在AB，AC

ME⊥MF

求证：EF2＝BE2＋CF2

12.Rt△ABC中，∠ABC＝90 ，∠C＝600，BC＝2，D是AC的中点，从D作DE⊥AC与CB的延长线交于点E，以AB、BE为邻边作矩形ABEF，连结DF，则DF的长是＿＿＿＿。（2002年希望杯数学邀请赛，初二试题）

13.△ABC中，AB＝AC＝2，BC边上有100个不同的点p1，p2，p3， (100)

记m i=AP i2+BP i×P i C (I=1,2……，100)，则m1+m2+…＋m100=____

7.知识点一：勾股定理

如果直角三角形的两直角边长分别为：a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2．即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．

要点诠释：（1）勾股定理揭示的是直角三角形平方关系的定理。

（2）勾股定理只适用于直角三角形，而不适用于锐角三角形和钝角三角。

（3）理解勾股定理的一些变式：

c2=a2+b2, a2=c2-b2，b2=c2-a2，c2=(a+b)2-2ab

知识点二：用面积证明勾股定理

方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形。

图（1）中，所以。

(11)

B

A

C

M

F

E

(12)

A

C

E

F

D

(5)

A

C

E

A

B

M

D

F

方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形。

图（2）中，所以。

方法三：将四个全等的直角三角形分别拼成如图（3）—1和（3）—2所示的两个形状相同的正方形。

在（3）—1中，甲的面积=（大正方形面积）—（4个直角三角形面积）,

在（3）—2中，乙和丙的面积和=（大正方形面积）—（4个直角三角形面积）,

所以，甲的面积=乙和丙的面积和，即：.

方法四：如图（4）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形。

，所以。

经典例题透析类型一：勾股定理的直接用法

1、在Rt△ABC中，∠C=90°

(1)已知a=6，c=10，求b，(2)已知a=40，b=9，求c；(3)已知c=25，b=15，求a.

思路点拨:写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。

解析：(1) 在△ABC中，∠C=90°，a=6，c=10,b=

(2) 在△ABC中，∠C=90°，a=40，b=9,c=

(3) 在△ABC中，∠C=90°，c=25，b=15,a=

举一反三

【变式】:如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少?

类型二：勾股定理的构造应用

2、如图，已知：在中，，，. 求：BC的长.

总结升华：利用勾股定理计算线段的长，是勾股定理的一个重要应用. 当题目中没有垂直条件时，也经常作垂线构造直角三角形以便应用勾股定理.

举一反三【变式1】如图，已知：，，于P. 求证：.

【变式2】已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。求：四边形ABCD的面积。

类型三：勾股定理的实际应用

（一）用勾股定理求两点之间的距离问题

3、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60°方向走了到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了500m到达目的地C点。

（1）求A、C两点之间的距离。

（2）确定目的地C在营地A的什么方向。

总结升华：本题是一道实际问题，从已知条件出发判断出△ABC是直角三角形是解决问题的关键。本题涉及平行线的性质和勾股定理等知识。

举一反三

【变式】一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?

（二）用勾股定理求最短问题

4、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造，某地有四个村庄A、B、C、D，且正好位于一个正方形的四个顶点，现计划在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图实线部分．请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线．

举一反三

【变式】如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高ＡＢ为4cm，ＢＣ是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程．

一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所爬行的最短路线的长是___________

类型四：利用勾股定理作长为的线段

5、作长为、、的线段。

举一反三【变式】在数轴上表示的点。

类型五：逆命题与勾股定理逆定理

6、写出下列原命题的逆命题并判断是否正确

7、如果ΔABC的三边分别为a、b、c，且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判断ΔABC的形状。

举一反三【变式1】四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD 的面积。

【变式2】已知:△ABC的三边分别为m2－n2,2mn,m2+n2(m,n为正整数,且m＞n),判断△ABC是否为直角三角形.

【变式3】如图正方形ABCD，E为BC中点，F为AB上一点，且BF=AB。

请问FE与DE是否垂直?请说明。

经典例题精析

类型一：勾股定理及其逆定理的基本用法

1、若直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是20，求此直角三角形的面积。

总结升华：直角三角形边的有关计算中，常常要设未知数，然后用勾股定理列方程（组）求

解。

举一反三【变式1】等边三角形的边长为2，求它的面积。

【变式2】直角三角形周长为12cm，斜边长为5cm，求直角三角形的面积。

【变式3】若直角三角形的三边长分别是n+1，n+2，n+3，求n。

思路点拨：首先要确定斜边（最长的边）长n+3，然后利用勾股定理列方程求解。

总结升华：注意直角三角形中两“直角边”的平方和等于“斜边”的平方，在题目没有给出哪条是直角边哪条是斜边的情况下，首先要先确定斜边，直角边。

【变式4】以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（）

A、8，15，17

B、4，5，6

C、5，8，10

D、8，39，40

【变式5】四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，

求四边形ABCD的面积。

类型二：勾股定理的应用

2、如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN＝30°，点A处有一

所中学，AP＝160m。假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么

拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，

如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？

总结升华:勾股定理是求线段的长度的很重要的方法,若图形缺少直角条件,则可以通过作辅助垂线的方法,构造直角三角形以便利用勾股定理。

举一反三【变式1】如图学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角而走“捷径”，在花园内走出了一条“路”。他们仅仅少走了__________步路（假设2步为1m），却踩伤了花草。

【变式2】如图中的虚线网格我们称之为正三角形网格，它的每一个小三角形都是边长为1的正三角形，这样的三角形称为单位正三角形。

（1）直接写出单位正三角形的高与面积。

（2）图中的平行四边形ABCD含有多少个单位正三角形？平行四边形ABCD的面积是多少？

（3）求出图中线段AC的长（可作辅助线）。

【答案】（1）单位正三角形的高为，面积是。

（2）如图可直接得出平行四边形ABCD含有24个单位正三角形，因此其面积。

3220

B

A C

A

B D

A D （3）过A 作AK ⊥BC 于点K （如图所示），则在Rt △ACK 中，，

，故

类型三：数学思想方法（一）转化的思想方法

我们在求三角形的边或角，或进行推理论证时，常常作垂线，构造直角三角形，将问题转化为直角三角形问题来解决．

3、如图所示，△ABC 是等腰直角三角形，AB=AC ，D 是斜边BC 的中点，E 、F 分别是AB 、AC 边上的

点，且DE ⊥DF ，若BE=12，CF=5．求线段EF 的长。

总结升华：此题考查了等腰直角三角形的性质及勾股定理等知识。通过此题，我们可以了解：当已知的线段和所求的线段不在同一三角形中时，应通过适当的转化把它们放在同一直角三角形中求解。 （二）方程的思想方法

4、如图所示，已知△ABC 中，∠C=90°，∠A=60°，，求、、的值。 总结升华：在直角三角形中，30°的锐角的所对的直角边是斜边的一半。 举一反三：【变式】如图所示，折叠矩形的一边AD ，使点D 落在BC 边的点F 处，已知AB=8cm ，BC=10cm ，求EF 的长。

10、若ABC V 中，13,15AB cm AC cm ==，高AD=12,则BC 的长为（ ） A ：14 B ：4 C ：14或4 D ：以上都不对 18、如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为

20dm 、3dm 、2dm ，?A 和B 是这个台阶两个相对的端点，A 点有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B 点的最短路程是 ；

24、如图，已知在△ABC 中，CD ⊥AB 于D ，AC ＝20，BC ＝15，DB ＝9。

(1)求DC 的长。 (2)求AB 的长。

27、如图，小红用一张长方形纸片ABCD 进行折纸，已知该纸片宽AB 为8cm ，?长BC?为10cm ．当小红折叠

时，顶点D 落在BC 边上的点F 处（折痕为AE ）．想一想，此时EC 有多长？?

初二奥数竞赛第5讲勾股定理

1.如图，以等腰直角三角形ABC的斜边AB为边向内作等边△ABD，连接DC，以DC为边作等边△DCE．B、E在C、

D的同侧，若AB= ，则BE= ____________ ．

2．如图所示，在△ABC中，AB=5cm，AC=13cm，BC边上的中线AD=6cm，

那么边BC的长为 ___________cm．

3．如图，设P是等边△ABC内的一点，PA=3，PB=4，PC=5，则∠APB的度数是

__________．

4．如图，一

个直角三角

形的三边长均为正整数，已知它的一条直角边的长恰是1997，那么另一条直角边的长为 ________．

5．若△ABC的三边a、b、c满足条件：+++338=10a+24b+26c，则这个三角形最长边上的高为 _________．

6．如图，AD是△ABC的中线，∠ADC=45°，把△ADC沿AD对折，点C落在C′处，则BC′与BC之间的数量关系是BC′= ________BC．

7．如图，△ABC是等腰直角三角形，BC是斜边，P为△ABC内一点，将△ABP绕点A逆时针旋转后与△ACP′重合，如果AP=3，那么线段PP′的长等于 ______．

8．如图，已知AB=13，BC=14，AC=15，AD⊥BC于D，则AD= _________．

9．如图，四边形ABCD中，AB=3cm，BC=4cm，CD=12cm，DA=13cm，且∠ABC=90°，则四边形ABCD的面积是__________cm2．

10．如图，已知P是△ABC边BC上一点，且PC=2PB，若∠ABC=45°，∠APC=60°，求：∠ACB的大小．

11．一个直角三角形的边长都是整数，它的面积和周长的数值相等，这样的直角三角形是否存在？若存在，确定它三边的长，若不存在，说明理由．

12．如图，正方形网格中的每个小正方形边长都为1，每个小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形和平行四边形．

（1）使三角形三边长为3，，；

（2）使平行四边形有一锐角为45°，且面积为4．

13．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，AB的垂直平分线MN分别交BC，AB于点M，N，求证：CM=2BM．

14．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，D为斜边BC中点，DE⊥DF，求证：=+．

15．在△ABC中，AB=AC．

（1）如图，若点P是BC边上的中点，连接AP．求证：BP?CP=-；

（2）如图，若点P是BC边上任意一点，上面（1）的结论还成立吗？若成立，请证明、若不成立，请说明理由；

（3）如图，若点P是BC边延长线上一点，线段AB，AP，BP，CP之间有什么样的数量关系？画出图形，写出你的结论．（不必证明）

显示解析

初一下册奥数题

2012．3．4第三次课（初中一年级下册） 试卷9题：周长为30，各边长互不相等且都是整数的三角形共有多少个？考点：三角形三边关系．分析：不妨设三角形三边为a、b、c，且a＜b＜c，由三角形三边关系定理及题设条件可确定c的取值范围，以此作为解题的突破口．解答：解：设三角形三边为a、b、c，且a＜b＜c． ∵a+b+c=30，a+b＞c ∴10＜c＜15 ∵c为整数 ∴c为11，12，13，14 ∵①当c为14时，有5个三角形，分别是：14，13，3；14，12，4；14，11，5；14，10，6；14，9，7； ②当c为13时，有4个三角形，分别是：13，12，5；13，11，6；13，10，7；13，9，8； ③当c为12时，有2个三角形，分别是：12，11，7；12，10，8； ④当c为11时，有1个三角形，分别是：11，10，9； ∴各边长互不相等且都是整数的三角形共有12个． 试卷10题：现有长为150cm的铁丝，要截成n（n＞2）小段，每段的长为不小于1（cm）的整数．如果其中任意3小段都不能拼成三角形，试求n的最大值，此时有几种方法将该铁丝截成满足条件的n段．考点：主要考学生对三角形三边关系：两边之和大于第三边的理解及运用分析：因n段之和为定值150cm，故欲n尽可能的大，必须每段的长度尽可能小，这样依题意可构造一个数列． 解答：解：因为n段之和为定值150（cm），故欲n尽可能的大，必须每段的长度尽可能的小．又由于每段的长度不小于1（cm），且任意3段都不能拼成三角形， 因此这些小段的长度只可能分别是1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89， 但1+1+2++34+55=143＜150，1+1+2++34+55+89=232＞150， 故n的最大值为10． 将长为150（cm）的铁丝分为满足条件的10段共有以下7种方式： 1，1，2，3，5，8，13，21，34，62； 1，1，2，3，5，8，13，21，35，61； 1，1，2，3，5，8，13，21，36，60； 1，1，2，3，5，8，13，21，37，59； 1，1，2，3，5，8，13，22，35，60； 1，1，2，3，5，8，13，22，36，59； 1，1，2，3，5，8，14，22，36，58．本题考查了三角形三边关系．正确确定什么情况下n 最大，是解决本题的关键；注意各个竖列之和为143，由于150-143=7，故多余的7cm要加到数列的末几项上，而且使得任何三个不构成三角形， ¤¤¤试卷12题：在三角形ABC中，角ABC=100°，∠C的平分钱交AB于E，在AC边上取点D，使∠CBD=20°，连DE，求∠CED的度数

小学奥数：几何图形大全汇编

学习-----好资料 几何图形综合 1．如图，四边形ABCD 是直角梯形．其中AD=12(厘米)，AB=8(厘米)，BC=15(厘米)，且△ADE ，四边形DEBF ，△CDF 的面积相等． 阴影△DEF 的面积是多少平方厘米？ 2．如图，长方形ABCD 的面积是96 平方厘米，E 是AD 边上靠近 D 点的三等分点，F 是CD 边上靠近C 点的四等分点.阴影部分的面积是多少平方厘米？ 3．如图，把一个正方形的两边分别增加3和5厘米，米(阴影部分)．原正方形的面积为多少平方厘米？ 4．如图，把一个正方形的相邻两边分别减少2厘米和446平方厘米(阴影部分).原正方形的面积为多少平方厘米？ 5．如图，在△ABC 中，AD 的长度是AB 的四分之三，AE 的长度是 AC 的三分之二.请问：△ADE 的面积是△ABC 面积的几分之几？ 6．如图，在△ABC 中，BC=3CD ，AC=3AE ，那么△ABC 的面积 是△CDE 的多少倍？ 7．如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD ，被对角线AC 、BD 分成四个部分.△AOB 的面积是3平方千米，△BOC 的面积是2平方千米，△COD 的面积是1平方千米，如果公园由大小为6.9平方千米的陆地和一块人工湖组成，那么人工 湖的面积是多少平方千米？ E D F B C A D E A B C E A D

学习-----好资料 8.如图，在梯形ABCD 中，AD 长9厘米，BC 长15厘米， BD 长12厘米，那么OD 长多少厘米？ 9.如图，有8个半径为1厘米的小圆，用它们圆周的一部分 连成一个花瓣图形，图中的黑点是这些圆的圆心.如果圆周率 π取3.14，那么花瓣图形的周长和面积分别是多少？ 10.图中甲区域比乙区域的面积大57 其中直角三角形竖直的直角边的长度是多少？(π取3.14) 11.如图，在3×3的方格表中，分别以A 、E 为圆心，3、2为半径，画出圆心角都是90o的两段圆弧.图中阴影部分的面积是多少? (π取 3.14) .(π取 13.下图是一个直角边长为3厘米、4 厘米的直角三角形.将该三角形一任意一条边所在直线为轴进行旋转，求所得立体图形的表面积和体积. 14.如图，已知正方形ABCD 的边长为4厘米，求阴影部分的面积. A D O B C ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●

小学奥数勾股定理“勾股树”问题

1、在下列简易毕达哥拉斯树图形中，三角形都是直角三角形，四边形都是正方形，如果图中所有的正方形的面积之和为192平方厘米，问最大的正方形的边长是多少厘米？ 2、如图，在美丽的平面珊瑚礁图案中，三角形都是直角三角形，四边形都是正方形．如果图中所有的正方形面积之和是980平方厘米，问：最大的正方形的边长是多少厘米？ 3、如图，三角形是直角三角形，四边形都是正方形，如果所有的正方形的面积之和是50平方厘米，则最大的正方形的边长是厘米．

4、如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为24厘米，则正方形A，B，C，D的面积之和为平方厘米． 5、如图，所有四边形均为正方形，所有三角形都是直角三角形，其中最大的正方形边长为11，则A、B、C、D、E、F的面积之和是． 6、如图，在美丽的平面珊瑚礁图案中，三角形都是直角三角形，四边形都是正方形，如果图中所有的正方形的面积之和为500平方厘米，那么最大的正方形的面积是平方厘米．

7、三角形ABC中，AD是一条高，分别以AB、BD、DC、CA为边向外作正方形，一些正方形的面积已知，则问号处正方形的面积是． 8、在下列简易毕达哥拉斯树图形中，三角形都是直角三角形，四边形都是正方形，如果图中所有的正方形的面积之和为250平方厘米，问最大的正方形的边长是厘米？ 9、如图，在美丽的平面珊瑚礁图案中，三角形都是直角三角形，四边形都是正方形，如果图中所有的正方形的面积之和为600平方厘米，问最大的正方形的边长是多少厘米．

10、如图所示，在美丽的平面珊瑚图案中，三角形都是直角三角形，四边形都是正方形．如果图中最大的正方形（阴影部分）的边长为5，求图中所有正方形的面积之和． 11、如图在美丽的毕达哥拉斯树中，三角形都是直角三角形，四边形都是正方形，已知所有的正方形面积总共是680，那么最大的正方形面积是．

(完整)初二奥数题及答案

初二数学奥数 1、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，DE＝EC，EF∥AB交BC于点F，EF＝EC，连结DF。 (1)试说明梯形ABCD是等腰梯形； (2)若AD＝ 1，BC＝3，DC DCF的形状； (3)在条件(2)下，射线BC上是否存在一点P，使△PCD是等腰三角形，若存在，请直接写出PB的长；若不存在，请说明理由。

2、在边长为6的菱形ABCD中，动点M从点A出发，沿A→B→C向终点C运动，连接DM交AC于点N. （1）如图25－1，当点M在AB边上时，连接BN. ①求证：△ABN≌△ADN； ②若∠ABC = 60°，AM = 4，求点M到AD的距离； （2）如图25－2，若∠ABC = 90°，记点M运动所经过的路程为x（6≤x≤12）试问：x为何值时，△ADN为等腰三角形.

3、对于点O 、M ，点M 沿MO 的方向运动到O 左转弯继续运动到N ，使OM ＝ON ，且OM ⊥ON ，这一过程称为M 点关于O 点完成一次“左转弯运动”． 正方形ABCD 和点P ，P 点关于A 左转弯运动到P 1，P 1关于B 左转弯运动到P 2，P 2关于C 左转弯运动到P 3，P 3关于D 左转弯运动到P 4，P 4关于A 左转弯运动到P 5，……． （1）请你在图中用直尺和圆规在图中确定点P 1的位置； （2）连接P 1A 、P 1B ，判断 △ABP 1与△ADP 之间有怎样的关系？并说明理由。 (3)以D 为原点、直线AD 为y 轴建立直角坐标系，并且已知点B 在第二象限，A 、P 两点的坐标为（0，4）、（1，1），请你推断：P 4、P 2009、P 2010三点的坐标． P D C B A N M 图1 图2

小学奥数勾股定理

勾股定理 内容概述 1.勾股定理(毕达哥拉斯定理):直角三角形中的两直角边平方后的和等于斜边的平方． 公元前500年古希腊的毕达哥拉斯发现了勾股定理后,曾宰牛百头,广设盛筵以示庆贺． 2. 公元前11世纪的《周髀算经》中提到:故折矩,以为句广三,股修四、径修五．既方之.外半卿一矩,环而共盘.得成三、四、五． 三国时期的赵爽注解道:句股各自乘,并之为弦实,开方除之,即弦.案:弦图又可以句股相乘为朱实二,倍之为朱实四,以句股之差自相乘为中黄实,加差之,亦成弦实． 汉朝张苍、狄昌寿整理的《九章算术》第九卷为《句股》.其中解释到:短面曰句，长面曰股，相与结角曰弦.句短其股，股短其弦． 句股各自乘，并，而开方除之，即弦． 中国科学院数学与系统科学研究院的徽标(右图所示)采用的就是赵爽 的弦图.2002年在北京举行的国际数学家大会的徽标也是弦图． 如下,在弦图中有EFGH S =四边形()12ABCD MNPQ S S +矩形矩形C DG ADG CDE S S S '==

3. 伽菲尔德证法:美国第20任总统伽菲尔德对数学有浓厚的兴趣,在还是中学教师时曾给出一种勾股定理的证明方法： 梯形面积=12 (上底＋下底)×高 =12 (a+b)×(a+b) =12 (a+b)2； 三个直角三角形的面积和=12ab+12ab+12 c 2； 梯形面积=三个直角三角形面积和． 12(a+b)2=12ab+12ab+12 c 2,所以a 2+b 2=c 2. 4. 公元前3世纪的欧几里得在《几何原本》中给出一种证明,简叙如下： 如图,作出三个正方形,它们的边长分别为直角三角形ABC 的三边长.连接图中的虚线段对应的点；过C 作CK 平行于AF,交AB 、FG 分别于J 、K 点． 易证△AFC ≌△BAE ,有12FAC S =AF.FK=12AFKJ S 矩形,12 BAE S =EA.CA=ACDE S 正方形,所以AFKJ S =矩形 ACDE S 正方形； 易证△CBG≌△HBA，有12CBG S =BG.KG=12KGBJ S 矩形,12 HBA S =BH.IH=CBHI S 正方形,所以KGBJ S 矩形 CBHI S =正方形. 而AFGB AFKJ S S =正方形矩形KGBJ ACBE S S +=矩形正方形CBHI S +正方形． 即有AB 2=AC 2+CB 2 .

初三奥数精选题

奥数题 一.选择题.(每小题7分,共42分) ()1. 在丄,一,0.2002,- (丁3_2庞 _72),乔_祚_2 (门是大于3的整数) 7 2 2 3 这5个数中,分数的个数为：(A)2 (B)3 (C)4 (D)5 ()2.如图1,正方形ABC 啲面积为256,点F 在AD 上，点E 在AB 的延长线 上,Rt △ CEF 的面积为200,则BE 的长为:(A)10 (B)11 (C)12 (D)15 ()3.已知a,b,c 均为整数，且满足 a 2 b 2 c 2 3 v ab 3b 2c .贝U 以 (B) x 2 2x -8 =0 (C)X 2-4X -5=0 (D) X 2-2X -3=0 ()4. 如图 2,在 Rt △ ABC 中 ,AF 是高，/ BAC=90 且 BD=DC=FC 二则 AC 为: (A) 3 2 (B) (C) & (D) 3 3 2b 亠c R 丄,则k 的值 a 二、填空题.(每小题7分,共28分) 2 1.方程F 二 10 的实数根是 a ，b~c 为根的一元二次方 程是：(A) x 2 -3x 2 = 0 ()5.若 k 二 c 2a b 2c a 为： (A)1 (B)2 (C)3 ()6. 设 x 亠0, y 丄 0,2 x y = 6 ,则 u 二 (D) 非上述答案 y 2 -6x -3y 的最大值是： (A) 27 (B)18 (C)20 (D) 2 不存在

x2 +1 x23x

2.女口图3,矩形ABCD中，E,F 分别是BC,CD上的点,且 S LABE-2, S_cEF -3, S_ADF - 4 ,则S AEF = 3.已知二次函数y = x2? （a 1）x b （a,b为常数）.当x = 3时，y=3; 当x为 任意实数时，都有y _ x.则抛物线的顶点到原点的距 离为 4.如图4,半径为2cm,圆心角为90°的扇形OAB的AB 上有一运动的点P.从点P向半径OA引垂线PH交OA 于点巴设厶OPH的内心为I,当点P在AB上从点A 运动到点B时，内心I所经过的路径长为—. 第二试 .（20分）在一个面积为1的正方形中构造一个如下的小正方形；将单位正方形的各边n等分,然后将每个顶点和它相对应顶点最接近的分点连 结起来，如图5所示.若小正方形的面积恰为0 E1 .（25分）一条笔直的公路I穿过草原,公路边有一卫生站A,距公路30km 的地方有一居民点B,A,B之间的距离为90km. 一天某司机驾车从卫生站送一批急救药品到居民点.已知汽车在公路上行驶的最快速度是60km/h ,在草地上行驶的最快速度是30km/h .问司机应以怎样的路线行驶,所用的行车时间最短？最短时间是多少？

小学奥数的七大模块

奥数的七大模块包括：计算、数论、几何、行程、应用题、计数和杂题 模块一：计算模块 1、速算与巧算 2、分数小数四则混合运算及繁分数运算 3、循环小数化分数与混合运算 4、等差及等比数列 5、计算公式综合 6、分数计算技巧之裂项、换元、通项归纳 7、比较与估算 8、定义新运算 9、解方程 模块二：数论模块 1、质数与合数 2、因数与倍数 3、数的整除特征及整除性质 4、位值原理 5、余数的性质 6、同余问题 7、中国剩余定理（逐级满足法） 8、完全平方数 9、奇偶分析 10、不定方程 11、进制问题 12、最值问题 模块三：几何模块 （一）直线型 1、长度与角度 2、格点与割补 3、三角形等积变换与一半模型 4、勾股定理与弦图 5、五大模型 （二）曲线型 1、圆与扇形的周长与面积 2、图形旋转扫过的面积问题 （三）立体几何 1、立体图形的面积与体积 2、平面图形旋转成的立体图形问题 3、平面展开图 4、液体浸物问题 模块四：行程模块 1、简单相遇与追及问题 2、环形跑道问题 3、流水行船问题

4、火车过桥问题 5、电梯问题 6、发车间隔问题 7、接送问题 8、时钟问题 9、多人相遇与追及问题 10、多次相遇追及问题 11、方程与比例法解行程问题 模块五：应用题模块 1、列方程解应用题 2、分数、百分数应用题 3、比例应用题 4、工程问题 5、浓度问题 6、经济问题 7、牛吃草问题 模块六：计数模块 1、枚举法之分类枚举、标数法、树形图法 2、分类枚举之整体法、对应法、排除法 3、加乘原理 4、排列组合 5、容斥原理 6、抽屉原理 7、归纳与递推 8、几何计数 9、数论计数 模块七：杂题 1、从简单情况入手 2、对应与转化思想 3、从反面与从特殊情况入手思想 4、染色与覆盖 5、游戏与对策 6、体育比赛问题 7、逻辑推理问题 8、数字谜 9、数独

初二奥数题及答案1

初二数学奥数及答案 1、如图,梯形AＢCD中，AD∥BC,DＥ=EC，ＥF∥AB交BC于点F,EＦ＝EＣ，连结DＦ。 （1)试说明梯形ABCD是等腰梯形； （2）若AＤ=１，BＣ＝3，DC＝，试判断△DCF的形状; (3）在条件(２)下,射线BＣ上是否存在一点Ｐ，使△PＣD 是等腰三角形，若存在，请直接写出PB的长;若不存在，请说明理由。 2、在边长为６的菱形ABCD中，动点M从点Ａ出发，沿Ａ→Ｂ→C向终点C运动,连接DM交AＣ于点N。 (１）如图25－１，当点M在AB边上时,连接ＢN. ①求证:△ABＮ≌△ＡＤN； ②若∠ABC = ６0°，AM = 4，求点Ｍ到ＡD的距离;（2）如图25－2,若∠ＡBC = ９0°，记点M运动所经过的路程为ｘ(6≤x≤1２）试问：x为何值时,△ADN为等腰三角形。 ３、对于点O、M，点M沿MO的方向运动到Ｏ左转弯继续运动到Ｎ,使ＯM＝ON，且ＯM⊥ON,这一过程称为M点关于Ｏ点完成一次“左转弯运动”. 正方形ABＣD和点P，P点关于A左转弯运动到Ｐ1，Ｐ1关于Ｂ左转弯运动到P2,P2关于C左转弯运动到P3,P3关于D左转弯运动到P4，P４关于A左转弯运动到P５，……． （1)请你在图中用直尺和圆规在图中确定点Ｐ1的位置；（2）连接P1A、P１B，判断△ABP1与△AＤP之间有怎样的

关系？并说明理由。 （３）以D 为原点、直线A Ｄ为轴建立直角坐标系，并且已知点B 在第二象限,A 、P 两点的坐标为（0,４）、(１，１)，请你推断：P 4、P ２０09、P ２010三点的坐标． 4、如图１和２,在２０ ×２0的等距网格（每 格的宽和高均是１个单 位长）中,Rt △A ＢＣ从 点A 与点M 重合的位置 开始,以每秒1个单位长的速度先向下平移，当ＢC 边与网的底部重合时，继续同样的速度向右平移,当点C 与点Ｐ重合时，Ｒｔ△ＡBC 停止移动．设运动时间为x 秒,△QAC 的面积为y 。...感谢聆听... （1）如图1,当Rt △ABC 向下平移到Rt △A 1B １C 1的位置时，请你在网格中画出Rt △A 1B 1C 1关于直线QN 成轴对称的图形; (2)如图2，在Rt △AB Ｃ向下平移的过程中,请你求出y 与x 的函数关系式,并说明当x 分别取何值时,y 取得最大值和最小值?最大值和最小值分别是多少? （３）在Ｒt △ＡＢＣ向右平移的过程中,请你说明当x 取何值时，y 取得最大值和最小值？最大值和最值分别是多少？为什么？ 5、如图①,△ＡB Ｃ中，A Ｂ=AC,∠B 、∠C 的平分线交于O 图1 图2

初二奥数题及标准答案

初二奥数题及答案

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F E A D C B 初二数学奥数 1、如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，DE ＝EC ，EF ∥AB 交BC 于点F ，EF ＝EC ，连结DF 。 (1)试说明梯形ABCD 是等腰梯形； (2)若AD ＝1，BC ＝3，DC ＝2，试判断△DCF 的形状； (3)在条件(2)下，射线BC 上是否存在一点P ，使△PCD 是等腰三角形，若存在，请直接写出PB 的长；若不存在，请说明理由。

2、在边长为6的菱形ABCD中，动点M从点A出发，沿A→B→C向终点C运动，连接DM交AC于点N. （1）如图25－1，当点M在AB边上时，连接BN. ①求证：△ABN≌△ADN； ②若∠ABC = 60°，AM = 4，求点M到AD的距离； （2）如图25－2，若∠ABC = 90°，记点M运动所经过的路程为x（6≤x≤12）试问：x为何值时，△ADN为等腰三角形.

3、对于点O 、M ，点M 沿MO 的方向运动到O 左转弯继续运动到N ，使OM ＝ON ，且OM ⊥ON ，这一过程称为M 点关于O 点完成一次“左转弯运动”． 正方形ABCD 和点P ，P 点关于A 左转弯运动到P 1，P 1关于B 左转弯运动到P 2，P 2关于C 左转弯运动到P 3，P 3关于D 左转弯运动到P 4，P 4关于A 左转弯运动到P 5，……． （1）请你在图中用直尺和圆规在图中确定点P 1的位置； （2）连接P 1A 、P 1B ，判断 △ABP 1与△ADP 之间有怎样的关系？并说明理由。 (3)以D 为原点、直线AD 为y 轴建立直角坐标系，并且已知点B 在第二象限，A 、P 两点的坐标为（0，4）、（1，1），请你推断：P 4、P 2009、P 2010三点的坐标． P D C B A O N M 图1 图2

五年级奥数.几何.勾股定理与弦图(B级)学生版

MSDC 模块化分级讲义体系 五年级奥数. 几何.勾股定理与弦图（B 级）.学生版 Page 1 of 16 华盛顿的傍晚 亲爱的小朋友们： “在那山的那边海那边的美国首都华盛顿，有一位中年人，他聪明又勤奋，他潜心探讨，他反复思考与演算……”那是1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员加菲尔德。他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨。由于好奇心驱使，加菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么。只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形。于是加菲尔德 便问他们在干什么？那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？”加菲尔德答道：“是5呀。”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”加菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方．”小男孩说：“先生，你能说出其中的道理吗？”加菲尔德一时语塞，无法解释了，心里很不是滋味。加菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他出的难题。他经过反复思考与演算，终于弄清了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。 具体方法如下： 两个全等的Rt △ABC 和Rt △BDE 可以拼成直角梯形ACDE ， 则梯形面积等于三个直角三角形面积之和。即 （AC ＋DE ）×CD÷2＝AC×BC÷2＋BD×DE÷2＋AB×BE÷2 （a ＋b ）2÷2＝a×b÷2＋a×b÷2＋c×c÷2 化简整理得a 2＋b 2＝c 2 课前预习 勾股定理与弦图

八年级奥数勾股定理试题及答案

八年级奥数勾股定理试题及答案 导读：本文八年级奥数勾股定理试题及答案，仅供参考，如果觉得很不错，欢迎点评和分享。 1．下列各组数中，是勾股数的是（） A. 12，15，18 B. 12，35，36 C. 2，3，4 D. 5，12，13 【答案】D 2．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′，则它们的公共部分的面积等于（） A. 1- B. 1- C. D. 【答案】D 【解析】试题分析：设CD与B′C′相交于点O，连接OA．根据旋转的性质，得∠BAB′＝30°，则∠DAB′＝60°．3．如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（） A. 5 B. 25 C. 10 +5 D. 35 【答案】B 【解析】试题解析：将长方体展开，连接A、B，根据两点之间线段最短，（1）如图，BD=10+5=15，AD=20，由勾股定理得：AB= ．4．在直线l上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4=（） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】A 【解析】解：由勾股定理的几何意义可知：S1+S2=1，S2+S3=2，S3+S4=3，S1+S2+S3+S4=4，故选A．5．如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为81，小正方形面积为16，

若用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞y），请观察图案，指出以下关系式中不正确的是（） A. x2+y2=81 B. x+y=13 C. 2xy+16=81 D. x－y=4 【答案】B 6．如图，带阴影的长方形面积是（） A. 9 cm2 B. 24 cm2 C. 45 cm2 D. 51 cm2 【答案】C 【解析】试题解析：由图可知，△ABC是直角三角形，∵AC=8cm，BC=12cm，∴AB= =15cm，∴S阴影=15×3=45cm2．故选C．7．“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个正方形拼成的大正方形．如图，每一个直角三角形的两条直角边的长分别是3和6，则大正方形与小正方形的面积差是( ) A. 9 B. 36 C. 27 D. 34 【答案】B 【解析】大正方形的面积为32＋62＝45，小正方形的面积为（6－3）2＝9，则面积差为45－9＝36．故选B．8．如图所示，四边形ABCD中，DC∥AB，BC=1，AB=AC=AD=2.则BD的长为（） A. B. C. 3 D. 2 【答案】B 故选B. 9．如图，一棵大树在一次强台风中于离地面5m处折断倒下，倒下后树顶落在树根部大约12m处。这棵大树折断前高度估计为（） A. 25cm B. 18m C. 17m D. 13m 【答案】B 10．如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，若AD∶BD＝5∶2，AC＝17，BC＝10，则BD的长为( ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】根据AD∶BD＝5∶2，设AD=5x，BD=2x，根据勾股定理得：,即，解得x=3,则BD=2x=6.故选C. 11．已知x，y为正数，且|x－4|＋(y－3)2＝0，如果以x，y 为边长作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边长为边长的

五年级奥数.几何.勾股定理与弦图(C级).学生版

华盛顿的傍晚 亲爱的小朋友们： “在那山的那边海的那边的美国首都华盛顿，有一位中年人，他聪明又勤奋，他潜心探讨，他反复思考与演算……”，那是1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员加菲尔德。他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨。由于好奇心驱使，加菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么。只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形。于是加菲尔德便问他们在干什么？那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？”加菲尔德答道：“是5呀。”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”加菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方．”小男孩说：“先生，你能说出其中的道理吗？”加菲尔德一时语塞，无法解释了，心里很不是滋味。加菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他出的难题。他经过反复思考与演算，终于弄清了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。 具体方法如下： 两个全等的 Rt △ ABC 和Rt △BDE 可以拼成直角梯形ACDE ， 则梯形面积等于三个直角三角形面积之和。即 （AC ＋DE ）×CD÷2＝AC×BC÷2＋BD×DE÷2＋AB×BE÷2 （a ＋b ）2÷2＝a×b÷2＋a×b÷2＋c×c÷2 化简整理得a 2＋b 2＝c 2 课前预习 勾股定理与弦图

点评：此种解法主要利用了三角形的面积公式：底×高÷2，和梯形的面积公式：（上底+下底）×高÷2． 而在我国对于勾股定理的证明又做出了那些贡献哪？ 在我国古代，把直角三角形叫做勾股形。把直角三角形的较短直角边称为“勾”，较长直角边为“股”，斜边称为“弦”，所以把这个定理称为“勾股定理”。勾股定理揭示了直角三角形边之间的关系。即：在直角三角形中俩条直角边的平方和等于斜边的平方。公元前11世纪的《周髀算经》中提到:故折矩,以为句广三,股修四、径修五．既方之.外半卿一矩,环而共盘.得成三、四、五． 三国时期的赵爽注解道:句股各自乘,并之为弦实,开方除之,即弦.案:弦图又可以句股相乘为朱实二,倍之为朱实四,以句股之差自相乘为中黄实,加差之,亦成弦实． 汉朝张苍、狄昌寿整理的《九章算术》第九卷为《句股》.其中解释到:短面曰句，长面曰股，相与结角曰弦.句短其股，股短其弦． 句股各自乘，并，而开方除之，即弦。 勾股定理的证明：

(完整版)初二奥数题及答案

初二数学奥数 1 如图，梯形ABCD中, AD// BC, DE^ EC, EF// AB交BC于点F, EF= EC,连结DF。 (1) 试说明梯形ABCD是等腰梯形； ⑵若AD= 1, BC= 3, DC= 2，试判断厶DCF的形状； (3)在条件(2)下，射线BC上是否存在一点P,使厶PCD是等腰三角形，若存在，请直接写出PB的长；若不存在，请说明理由。

2、在边长为6的菱形ABCD中，动点M从点A出发，沿B宀C向终点C运动，连接DM交AC于点N. (1)如图25—1，当点M在AB边上时，连接BN. ①求证：△ ABN ADN ; ②若/ ABC = 60 ° AM = 4，求点M至U AD的距离； (2)如图25—2,若/ ABC = 90°记点M运动所经过的路程为x ( 6

3、对于点O M点M沿 MO勺方向运动到O左转弯继续运动到N使OMk ON,且OML ON, 这 一过程称为M点关于O点完成一次"左转弯运动”. 正方形ABCD^点P, P点关于A左转弯运动到P i, P i关于B左转弯运动到F2, F2关于C左转 弯运动到P3, P3关于D左转弯运动到R, R关于A左转弯运动到F5,……. (1) 请你在图中用直尺和圆规在图中确定点P i的位 置； (2) 连接P i A、P i B,判断△ ABP与厶ADP之间有怎样的关系？并说明理由。 ⑶以D为原点、直线AD为y轴建立直角坐标系，并且已知点B在第二象限，A P两点的 坐标为(0, 4)、( I, I), 请你推断：P4、P2009、P20I0三点的坐标. P 图I

小学奥数勾股定理与弦图讲解

小学奥数勾股定理与弦 图讲解 Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998

的面积。 如图，请根据所给的条件，计算出大梯形的面积（单位：厘米）。

如图，在四边形ABCD 中，AB＝30 ，AD＝48，BC＝14 ，CD＝40，∠ADB＋∠DBC＝90°。请问：四边形ABCD 的面积是多少 第二部分：介绍弦图及其应用 （基本思想是图形经过割补后，面积不变） ⑴大正方形边长为：a＋b ⑵小正方形边长为：a－b ⑶中正方形边长为：c 【例 6】(★★★) 一个直角三角形的斜边长 8 厘米，两个直角边的长度差为2 厘米，求这个三角形的面积 【例 7】(★★★★★) 从一块正方形玻璃上裁下宽为16 分米的一长方形条后，剩下的那块长方形的面积为336 平方分米，原来正方形的面积是多少平方分米 自我检测 1.将长为10 米的梯子斜靠在墙上，若梯子上端到墙的底端距离为 6 米，则梯足到墙的底端距离为__________米． 2.若直角三角形一直角边和斜边分别为17 和145 ，则另一直角边 为___________。 3.已知一个直角三角形的两边长分别为3 和4，则第三边长的平方 是。

4.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7 cm,则正方形A,B,C,D的面积之和为___________cm2． 5.如图在△ABC中，AB =15,AC=13,高AD=12，则△ABC的面积为 易错题 （1）某人以匀速行走在一条公路上，公路两端的车站每隔相同的时间开出一辆公共汽车，该行人发现每隔30分钟就会有一辆公共汽车追上他；而每隔20分钟有一辆公共汽车迎面开来．问车站每隔多少分钟开出一辆车 （2）有4袋糖块，其中任意3袋的总块数都超过90。这4袋糖块总共最少有多少块 （3）一次考试共30道题。若佳佳，海海，阳阳和娜娜分别答对26，27，28，29道。则四人都答对的题目至少多少道（先最再对：先从最值的方向分析，最后检验是否正确）

重庆市小升初经典奥数题 附加解题思路和答案

重庆小升初经典题型（附加详解答案） 一、填空题（每小题5分，共60分） 1．观察下列四个算式： 从中找出规律，写处第五个算式：。 2．小明家养了若干只鸡和兔，根据图1的信息计算，鸡和兔的数量比是。 3．参加某选拔赛第一轮比赛的男女生人数之比是4：3，所有参加第二轮比赛的91人中男女生人数之比是8：5，第一轮中被淘汰的男女生人数之比是3：4，那么第一轮比赛的学生共人。 4．昨天和今天，学校食堂买了同样多的蔬菜和肉，昨天付了250元，今天付了280元，原因如图2所示，那么，今天蔬菜付了元。 5．已知A、B两数的最小公倍数是180，最大公约数是30，若A=90，则B= 。 6．纯循环小数写成最简分数时，分子和分母的和是58，则三位数= 。7．如图3，已知长方形长是宽的2倍，对角线的长是9，则长方形的面积是。 8．如图4，在三角形ABC中，已知三角形ADE、三角形DCE、三角形BCD的面积分别是89、28、26，那么三角形DBE的面积是。

9．月初，每克黄金的价格与每桶原油的价格比是3：5。根据图5中的信息回答，月初，每克黄金的价格是元；每桶原油的价格是元。 10．甲、乙、丙三人现在的年龄之和是113岁。当乙的年龄是丙的年龄的一半时，甲的年龄是17岁，那么乙现在的年龄是岁。 11．有两个同样的仓库，搬运完一个仓库的货物，甲需6小时，乙需7小时，丙需14小时。甲、乙同时开始各搬运一个仓库的货物。开始时，丙先帮甲搬运，后来又去帮乙搬运，最后两个仓库的货物同时搬完。则丙帮甲小时，帮乙小时。 12．用棱长为1的小立方体粘合而成的立体，从正面、侧面、上面看到的视图均如图6所示，那么粘成这个立体最多需要块小立方体。 二、解答题（每小题15分，共60分）每题都要写出推算过程。 13．某公司现有职工50名，所有的人员结构及每月工资情况如图7所示：

小学奥数华杯赛几何之勾股定理与弦图

小学奥数华杯赛几何之勾股定理与弦图 关于勾股定理，我们已经谈过很多了。中国、希腊、埃及这些文 明古国，处于不同的地区，不过却都很早地，独立地发现了勾股定理。那么，勾股定理到底是谁ZUI先发现的呢?我们能够自豪地说：是我们 中国人ZUI先发现的。证据就是《周髀算经》中的记载。 《周髀算经》一开始，就记载了我国周朝初年的大政治家周公旦 与当时的数学家商高的一段话。在这段话中，周公和商高讨论了关于 直角三角形的一些问题。其中就说到了“勾三股四弦五”的问题。 周公问商高：“我听说您很精通于数，请问数是从哪里来的呢?” 小学生经典数学故事《谁ZUI先发现了勾股定理》：商高回答说：“数的艺术是从研究圆形和方形中开始的，圆形是由方形产生的，而 方形是由折成直角的矩尺产生的。在研究矩形前需要知道九九口诀， 设想把一个矩形沿对角线切开，使得短直角边(勾)的长度为3，长直角边(股)的长度为4，斜边(弦)长则为5，并用四个上述直角三角形一样 的半矩形把它围起来拼成一个方形盘，从它的总面积49中减去由勾股 弦均分别为3、4、5的四个直角三角形构成的两个矩形的面积24，便 得到ZUI初所作正方形的面积25，这种方法称为‘积矩’。” 商高对“勾三股四弦五”的描述，已经具备了勾股定理的所有条件。而我们已经讲过的毕达哥拉斯发现勾股定理的年代是比周朝的商 高要晚的，所以证明，我国的数学家商高是ZUI早发现勾股定理的人。而“勾股定理”一开始也叫“勾股弦定理”，这也形象地点明了这个 定理的具体内容。 【篇二】 1.如果直角三角形的三条边长分别为2、4、a，那么a的取值能够有() A.0个 B.1个 C.2个 D.3个

距离问题(六年级奥数题及答案)

距离问题 长方体ABCD-A′B′C′D′中，AB=4，A′A=2′，AD=1，有一只小虫从顶点D′出发，沿长方体表面爬到B点，问这只小虫怎样爬距离最短？（见图（1）） 解答：因为小虫是在长方体的表面上爬行的，所以必需把含D′、B两点的两个相邻的面"展开"在同一平面上，在这个"展开"后的平面上D′B间的最短路线就是连结这两点的直线段，这样，从D′点出发，到B点共有六条路线供选择． ①从D′点出发，经过上底面然后进入前侧面到达B点，将这两个面摊开在一个平面上（上页图（2）），这时在这个平面

上D′、B间的最短路线距离就是连接D′、B两点的直线段，它是直角三角形ABD′的斜边，根据勾股定理， D′B2=D′A2+AB2=（1+2）2＋42=25， ∴D′B=5． ②容易知道，从D′出发经过后侧面再进入下底面到达B点的最短距离也是5． ③从D′点出发，经过左侧面，然后进入前侧面到达B点．将这两个面摊开在同一平面上，同理求得在这个平面上D′、B两点间的最短路线（上页图（3）），有： D′B2＝22+（1+4）2=29． ④容易知道，从D′出发经过后侧面再进入右侧面到达B点的最短距离的平方也是29． ⑤从D′点出发，经过左侧面，然后进入下底面到达B点，将这两个平面摊开在同一平面上，同理可求得在这个平面上D′、B两点间的最短路线（见图），

D′B2=（2+4）2+12=37． ⑥容易知道，从D′出发经过上侧面再进入右侧面到达B点的最短距离的平方也是37． 比较六条路线，显然情形①、②中的路线最短，所以小虫从D′点出发，经过上底面然后进入前侧面到达B点（上页图（2）），或者经过后侧面然后进入下底面到达B点的路线是最短路线，它的长度是5个单位长度． 利用前面的题中求相邻两个平面上两点间最短距离的旋转、翻折的方法，可以解决一些类似的问题，例如求六棱柱两个不相邻的侧面上A和B两点之间的最短路线问题（下左图），同样可以把A、B两点所在平面及与这两个平面都相邻的平面展开成同一个平面（下右图），连接A、B成线段AP1P2B，P1、P2是线段AB与两条侧棱线的交点，则折线AP1P2B就是AB间的最短路线．

五年级奥数几何勾股定理与弦图C级学生版

勾股定理与弦图 课前预习 华盛顿的傍晚 亲爱的小朋友们：他潜心探讨，有一位中年人，他聪明又勤奋，“在那山的那边海的那边的美国首都华盛顿， 年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年他反复思考与演算……”，那是1876人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员加菲尔德。他走着走着，突然时而小声探讨。有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，发现附近的一个小石凳上，由于好奇心驱使，加菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么。只见一个小男于是加菲尔德便问他们在干什么？那个小男孩头孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形。，那么斜边长为多少呢？”43也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为和，那么这个直角三角7加菲尔德答道：“是5呀。”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和的7形的斜边长又是多少？”加菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的平方一定等于5的平方加上平方．”小男孩说：“先生，你能说出其中的道理吗？”加菲尔德一时语塞，无法解释了，心里很他经过反复思考与演算，不是滋味。加菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他出的难题。终于弄清了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。具体方法如下：，△BDE可以拼成直角梯形ACDE△两个全等的RtABC和Rt 则梯形面积等于三个直角三角形面积之和。即DE）×CD÷2＝AC×BC÷2＋（AC＋BD×DE÷2＋AB×BE÷2 2÷2＝a×b÷2＋）a×b÷2＋c×c÷2 ＋（ab222bca化简整理得＝＋

．2÷高×下底）+（上底，和梯形的面积公式：2÷高×点评：此种解法主要利用了三角形的面积公式：底． 而在我国对于勾股定理的证明又做出了那些贡献哪？ 在我国古代，把直角三角形叫做勾股形。把直角三角形的较短直角边称为“勾”，较长直角边为“股”，斜边称为“弦”，所以把这个定理称为“勾股定理”。勾股定理揭示了直角三角形边之间的关系。即：在直角三角形中俩条直角边的平方和等于斜边的平方。公元前11世纪的《周髀算经》中提到:故折矩,以为句广三,股修四、径修五．既方之.外半卿一矩,环而共盘.得成三、四、五． ,:弦图又可以句股相乘为朱实二即弦.案开方除之三国时期的赵爽注解道:句股各自乘,并之为弦实,, ,亦成弦实．以句股之差自相乘为中黄实,加差之倍之为朱实四,

初二奥数勾股定理概念知识点及练习题

初二奥数勾股定理概念知识点及练习题性质 1.直角三角形两直角边为a和b，斜边为c，那a2+b2=c2 2.勾股数互质 概念 在任何一个的直角三角形(Rt△)中，两条直角边的长度的平方和等于斜边长度的平方(也能够理解成两个长边的平方相减与最短边的平方相等)。 勾股数通式和常见勾股素数 若 m 和 n 是互质，而且 m 和 n 至少有一个是偶数，计算出来的 a, b, c 就是素勾股数。(若 m 和 n 都是奇数， a, b, c 就会全是偶数，不符合互质。) 所有素勾股数(不是所有勾股数)都可用上述列式当中找出，这亦可推论到数学上存有无穷多的素勾股数。 常见的勾股数及几种通式： (1) (3， 4， 5), (6， 8，10) … … 3n,4n,5n (n是正整数) (2) (5，12，13) ,( 7，24，25), ( 9，40，41) … … 2n + 1, 2n^2 + 2n, 2n^2 + 2n + 1 (n是正整数) (3) (8，15，17), (12，35，37) … … 2^2*(n+1),[2(n+1)]^2-1，[2(n+1)]^2+1 (n是正整数) (4)m^2-n^2,2mn,m^2+n^2 (m、n均是正整数，m>n)

100以内勾股素数 【练习题】 1.等边三角形的高是h，则它的面积是( ) A. h2 B. h2 C. h2 D. h2 2.直角三角形的周长为12cm，斜边长为5cm，其面积为( ) A. 12cm2 B. 10cm 2 C. 8cm2 D. 6cm2 3.下列命题是真命题的个数有( ) ①直角三角形的边长为，短边长为1，则另一条边长为 ②已知直角三角形的面积为2，两直角边的比为1：2，则它的斜边长为 ③在直角三角形中，若两条直角边长为n21和2n，则斜边长为n2+1 ④等腰三角形面积为12，底边上的高为4，则腰长为5 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【参考答案】 1.B 2.D 3.D

五年级奥数几何专项九 勾股定理与弦图(二)

专项九勾股定理与弦图（二） 课前预习 华盛顿的傍晚 亲爱的小朋友们： “在那山的那边海那边的美国首都华盛顿，有一位中年人，他聪明又勤奋，他潜心探讨，他反复思考与演算……”那是1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员加菲尔德。他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨。由于好奇心驱使，加菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么。只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形。于是加菲尔德 便问他们在干什么？那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？”加菲尔德答道：“是5呀。”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”加菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方．”小男孩说：“先生，你能说出其中的道理吗？”加菲尔德一时语塞，无法解释了，心里很不是滋味。加菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他出的难题。他经过反复思考与演算，终于弄清了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。 具体方法如下： 两个全等的Rt△ABC和Rt△BDE可以拼成直角梯形ACDE， 则梯形面积等于三个直角三角形面积之和。即 （AC＋DE）×CD÷2＝AC×BC÷2＋BD×DE÷2＋AB×BE÷2 （a＋b）2÷2＝a×b÷2＋a×b÷2＋c×c÷2 化简整理得a2＋b2＝c2

点评：此种解法主要利用了三角形的面积公式：底×高÷2，和梯形的面积公式：（上底+下底）×高÷2． 而在我国对于勾股定理的证明又做出了那些贡献哪？ 在我国古代，把直角三角形叫做勾股形。 把直角三角形的较短直角边称为“勾”，较长直角边为“股”，斜边称为“弦”，所以把这个定理称为“勾股定理”。勾股定理揭示了直角三角形边之间的关系。即：在直角三角形中俩条直角边的平方和等于斜边的平方。 公元前11世纪的《周髀算经》中提到:故折矩,以为句广三,股修四、径修五．既方之.外半卿一矩,环而共盘.得成三、四、五． 三国时期的赵爽注解道:句股各自乘,并之为弦实,开方除之,即弦.案:弦图又可以句股相乘为朱实二,倍之为朱实四,以句股之差自相乘为中黄实,加差之,亦成弦实． 汉朝张苍、狄昌寿整理的《九章算术》第九卷为《句股》.其中解释到:短面曰句，长面曰股，相与结角曰弦.句短其股，股短其弦． 句股各自乘，并，而开方除之，即弦．