建立空间直角坐标系的几种方法
建立空间直角坐标系的几种方
法
坐标法是利用空间向量的坐标运算解答立体几何问题的重要方法，运用坐标法解题往往需要建立空间直角坐标系．依据空间几何图形的结构特征，充分利用图形中的垂直关系或构造垂直关系来建立空间直角坐标系，是运用坐标法解题的关键．下面举例说明几种常见的空间直角坐标系的构建策略．
一、利用共顶点的互相垂直的三条棱构建直角坐标系
例1 已知直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2，底面ABCD 是直角梯形，∠A 为直角，AB ∥CD ，AB ＝4，AD ＝2，DC ＝1，求异面直线BC 1与DC 所成角的余弦值．
解析：如图1，以D 为坐标原点，分别以DA 、DC 、DD 1所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则C 1（０，1，2）、B （2，4，０），
∴1
(232)BC =--u u u u r ，，，(010)CD =-u u u r ，，．
设
1BC u u u u r 与CD
uuu r 所成的角为θ， 则11317cos BC CD BC CD θ==u u u u r u u u r g u u u u r u u u r ．
二、利用线面垂直关系构建直角坐标系 例2 如图2，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ⊥侧面BB 1C 1C ，E 为棱CC 1上异于C 、C 1的一点，EA ⊥EB 1．已知2AB =，BB 1＝2，BC ＝1，∠BCC 1＝3
π．求二面角A －EB 1－A 1的平面角的正切值．
解析：如图2，以B 为原点，分别以BB 1、BA 所在直线为y 轴、z 轴，过B 点垂直于平面AB 1的直线为x 轴建立空间直角坐标系． 由于BC ＝1，BB 1＝2，AB ＝2，∠BCC 1＝3
π， ∴在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，有B （０，０，０）、A （０，０，2）、B 1（０，2，０）、3102c ??- ? ???，，、13302C ?? ? ???
，，． 设30E a ?? ? ???，，且1322
a -<<， 由EA ⊥EB 1，得10EA EB =u u u r u u u r g ，
即33220a a ????---- ? ? ? ????
g ，，，， 233(2)2044a a a a =+-=-+=，∴13022a a ????--= ? ?????g ，
即12a =或32a =（舍去）．故3102E ?? ? ??
?，，． 由已知有1EA EB ⊥u u u r u u u r ，111B A EB ⊥u u u u r u u u r ，故二面角A －EB 1
－A 1的平面角θ的大小为向量11B A u u u u r 与EA u u u r 的夹角．
因11(002)B A BA ==u u u u r u u u r ，，，3122EA ??=-- ? ??u u u r ，， 故11112cos 3EA B A EA B A θ==u u u r u u u u r g u u u r u u u u r ，即2tan 2θ=
三、利用面面垂直关系构建直角坐标系
例3 如图3，在四棱锥V －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧面VAD 是正三角形，平面VAD ⊥底面ABCD ．
（1）证明AB ⊥平面VAD ；
（2）求面VAD 与面VDB 所成的二面角的余弦值．
解析：（1）取AD 的中点O 为原点，建立如图3所示的空间直角坐标系．
设AD ＝2，则A （1，０，０）、D （－1，
０，０）、B （1，2，０）、
V
，∴AB u u u r ＝（０，2，０），VA u u r ＝
（1
．
由(020)(100AB VA ==u u u r u u r g g ，
，，，，得 AB ⊥VA ．
又AB ⊥AD ，从而AB 与平面VAD 内两条相交直线VA 、AD 都垂直，∴ AB ⊥平面VAD ；
（2）设E 为DV 的中点，则1022E ?- ??
，，
∴
3022EA ??=- ? ???u u u r ，，
，3222EB ??=- ? ???u u u r ，，
，(10DV =u u u r ．
∴32(1002EB DV ?== ??u u u r u u u r g g ，，，
∴EB ⊥DV ．
又EA ⊥DV ，因此∠AEB 是所求二面角的平面角．
∴cos 7EA EB EA EB EA EB
==u u u r u u u r u u u r u u u r g u u u r u u u r ，．
．
四、利用正棱锥的中心与高所在直线构建直角坐标系
例4 已知正四棱锥V －ABCD 中，E 为
VC 中点，正四棱锥底面边长为2a ，高为h ．
（1）求∠DEB 的余弦值；
（2）若BE ⊥VC ，求∠DEB 的余弦值． 解析：（1）如图4，以V 在平面AC 的射影O 为坐标原点建立空间直角坐标系，其中O x ∥BC ，O y ∥AB ，则由AB ＝2a ，OV ＝h ，有B （a ，a ，０）、C （-a ，a ，０）、D （-a ，-a ，
０）、V （0，0，h ）、222a a h E ??- ???，， ∴3222a h BE a ??=-- ???u u u r ，，，3222a h DE a ??= ???u u u r ，，． ∴
22226cos 10BE DE a h BE DE a h BE DE -+==+u u u r u u u r u u u r u u u r g u u u r u u u r ，， 即22
226cos 10a h DEB a h -+=+∠；
（2）因为E 是VC 的中点，又BE ⊥VC ，
所以0BE VC =u u u r u u u r g ，即3
()0222a h a a a h ??----= ???
g ，，，，， ∴
22230222a h a --=，∴2h a =． 这时222261cos 103a h BE DE a h -+==-+u u u r u u u r ，，即1cos 3
DEB =-∠． 引入空间向量坐标运算，使解立体几何问题避免了传统方法进行繁琐的空间分析，只需
建立空间直角坐标系进行向量运算，而如何建立恰当的坐标系，成为用向量解题的关键步骤之一．下面以高考考题为例，剖析建立空间直角坐标系的三条途径．
五、利用图形中的对称关系建立坐标系
图形中虽没有明显交于一点的三条直线，但有一定对称关系（如正三棱柱、正四棱柱等），利用自身对称性可建立空间直角坐标系．
例5已知两个正四棱锥P－ABCD与
Q－ABCD的高都为2，AB＝4．（1）证明：PQ⊥平面ABCD；（2）求异面直线AQ与PB所成的角；
（3）求点P到平面QAD的距离．
简解：（1）略；
（2）由题设知，ABCD是正方形，且AC⊥BD．由（1），PQ⊥平面ABCD，故可分别以直线
，，为x，y，z轴建立空间直角坐标系（如CA DB QP
图1），易
得
(2)(02)AQ PB =--=-u u u r u u u r ，，，
1cos 3AQ PB AQ PB AQ PB <>==u u u r u u u r u u u r u u u r g u u u r u u u r ，． 所求异面直线所成的角是1arccos 3
． （3）由（2）知，
点(0((004)
D AD PQ -=--=-u u u r u u u r ，，，． 设n =（x ，y ，z ）是平面QAD 的一个法向量，
则00AQ AD ?=??=??u u u r g u u u r g ，，n n
得00z x y +=+=??，，取x ＝1
，得(11-，，n =．点P 到平面QAD
的距离PQ d ==u u u r g n
n
点评：利用图形所具备的对称性，建立空间直角坐标系后，相关点与向量的坐标应容易得出．第（3）问也可用“等体积法”求距离．