高中数学圆锥曲线基本知识与典型例题

高中数学圆锥曲线基本知识与典型例题

第一部分：椭圆

1．椭圆的概念

在平面与两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．

集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：

(1)若a>c，则集合P为椭圆； (2)若a＝c，则集合P为线段； (3)若a

2．椭圆的标准方程和几何性质

标准方程x2

a2

＋

y2

b2

＝1 (a>b>0)

y2

a2

＋

x2

b2

＝1(a>b>0)

图形

性质

围

－a≤x≤a

－b≤y≤b

－b≤x≤b

－a≤y≤a 对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点

顶点

A1(－a,0)，A2(a,0)

B1(0，－b)，B2(0，b)

A1(0，－a)，A2(0，a)

B1(－b,0)，B2(b,0) 轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b

焦距|F1F2|＝2c

离心率e＝

c

a

∈(0,1)

a，b，c的关系c2＝a2－b2

典型例题

例1.F 1，F 2是定点，且|F 1F 2|=6，动点M 满足|MF 1|+|MF 2|=6，则M 点的轨迹方程是( ) (A)椭圆 (B)直线 (C)圆 (D)线段

例2. 已知ABC ?的周长是16，)0,3(-A ，B )0,3(, 则动点的轨迹方程是( )

(A)1162522=+y x (B))0(1162522≠=+y y x (C)1251622=+y x (D))0(125

1622≠=+y y x

例3. 若F (c ，0)是椭圆22

221x y a b

+=的右焦点，F 与椭圆上点的距离的最大值为M ，最小值为m ，则椭圆上与F

点的距离等于

2

M m

+的点的坐标是( ) (A)(c ，2b a ±) 2

()(,)b B c a

-± (C)(0，±b ) (D)不存在

例4. 设F 1(-c ，0)、F 2(c ，0)是椭圆22x a +2

2y b

=1(a >b >0)的两个焦点，P 是以F 1F 2为直径的圆与椭圆的一个交点,

若∠PF 1F 2=5∠PF 2F 1,则椭圆的离心率为( )

例5 P 点在椭圆120

452

2=+y x 上，F 1、F 2是两个焦点，若21PF PF ⊥，则P 点的坐标是 .

例6.写出满足下列条件的椭圆的标准方程：

(1)长轴与短轴的和为18，焦距为6; .

(2)焦点坐标为)0,3(-,)0,3(,并且经过点(2，1); . (3)椭圆的两个顶点坐标分别为)0,3(-,)0,3(,且短轴是长轴的3

1

; ____. (4)离心率为

2

3

，经过点(2，0); . 例7 12F F 、是椭圆2

214

x y +=的左、右焦点，点P 在椭圆上运动，则12||||PF PF ?的最大值是 ．

第二部分：双曲线

1．双曲线的概念

平面动点P与两个定点F1、F2(|F1F2|＝2c>0)的距离之差的绝对值为常数2a (2a<2c)，则点P的轨迹叫双曲线．这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距．

集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a、c为常数且a>0，c>0：

(1)当a

(2)当a＝c时，P点的轨迹是两条射线；

(3)当a>c时，P点不存在．

2．双曲线的标准方程和几何性质

标准方程x2

a2

－

y2

b2

＝1 (a>0，b>0)

y2

a2

－

x2

b2

＝1(a>0，b>0)

图形

性质

围x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a

对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点

顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)

渐近线y＝±

b

a

x y＝±

a

b

x 离心率e＝

c

a

，e∈(1，＋∞)，其中c＝a2＋b2实虚轴

线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的

虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的半实轴长，b叫做双曲线的半虚

轴长

a、b、c

的关系

c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b>0)

典型例题

例8.命题甲：动点P 到两定点A 、B 的距离之差的绝对值等于2a (a >0)；命题乙： 点P 的轨迹是双曲线。则命题甲是命题乙的( )

(A ) 充要条件 (B ) 必要不充分条件 (C) 充分不必要条件 (D) 不充分也不必要条件

例9. 过点(2，-2)且与双曲线1222

=-y x 有相同渐近线的双曲线的方程是( ) (A)12422=-y x (B)12422=-x y (C)14222=-y x (D)1422

2=-x y

例10. 双曲线2

21(1)x y n n

-=>的两焦点为12,,F F P 在双曲线上,且满足12PF PF +=则12

F PF 的面积为( )

()1A 1

()2

B ()2

C ()4D

例11. 设ABC ?的顶点)0,4(-A ，)0,4(B ，且C B A sin 2

1

sin sin =-，则第三个顶点C 的轨迹方程是________.

例12. 连结双曲线12222=-b y a x 与122

22=-a

x b y (a ＞0，b ＞0)的四个顶点的四边形面积为1S ，连结四个焦点的四

边形的面积为2S ，则

2

1

S S 的最大值是________． 例13.根据下列条件，求双曲线方程:

⑴与双曲线

22

1916x y -=有共同渐近线，且过点(-3，32)；

⑵与双曲线

22

1164

x y -=有公共焦点，且过点(2).

例14 设双曲线2

2

12

y x -=上两点A 、B ，AB 中点M （1，2） ⑴求直线AB 方程；

⑵如果线段AB 的垂直平分线与双曲线交于C 、D 两点，那么A 、B 、C 、D 是否共圆，为什么？

第三部分：抛物线

1． 抛物线的概念

平面与一个定点F 和一条定直线l (F ?l )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线

l 叫做抛物线的准线．

2． 抛物线的标准方程与几何性质

标准 方程

y 2＝2px (p >0) y 2＝－2px (p >0) x 2＝2py (p >0) x 2＝－2py (p >0)

p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离

图形

顶点 O (0,0)

对称轴 y ＝0

x ＝0

焦点 F ?

??

??p 2，0 F ? ??

??－p 2

，0 F ?

??

??0，p 2 F ? ??

??0，－p 2

离心率

e ＝1

准线方程

x ＝－p

2

x ＝p 2

y ＝－p 2

y ＝p 2

围 x ≥0，y ∈R

x ≤0，y ∈R

y ≥0，x ∈R

y ≤0，x ∈R

开口方向

向右

向左

向上

向下

典型例题

例15. 顶点在原点，焦点是(0,2)-的抛物线方程是( )

(A )x 2

=8y (B)x 2

= 8y (C)y 2

=8x (D)y 2

=

8x

例16. 抛物线24y x =上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是( ) (A )

1716 (B)1516 (C)7

8

(D)0 例17.过点P (0,1)与抛物线y 2

=x 有且只有一个交点的直线有( ) (A )4条 (B)3条 (C)2条 (D)1条

例18. 过抛物线2

y ax =(a >0)的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段P F 与FQ 的长分别为p 、q ，则11

p q

+等于( )

(A )2a (B)

12a (C)4a (D)4a

例19. 若点A 的坐标为(3，2)，F 为抛物线y 2

=2x 的焦点，点P 在抛物线上移动，为使|PA |+|PF |取最小值，P 点的坐标为( )

(A )(3，3) (B)(2，2) (C)(

2

1

，1) (D)(0，0) 例20. 动圆M 过点F(0，2)且与直线y =-2相切，则圆心M 的轨迹方程是 .

例21. 过抛物线y 2

＝2px 的焦点的一条直线和抛物线交于两点，设这两点的纵坐标为y 1、y 2，则y 1y 2＝_________.

例22. 以抛物线x y 2

3=-的焦点为圆心，通径长为半径的圆的方程是_____________.

例23. 过点(-1,0)的直线l 与抛物线y 2

=6x 有公共点，则直线l 的倾斜角的围是 .

例题答案

例1. D 例2. B 例3. C.例5. B.例7. (3,±4) 或(-3, ±4)

例8. (1)

1162522=+y x 或1251622=+y x ; (2) 13622=+y x ;(3)192

2=+y x 或181922=+y x ; (4) 142

2=+y x 或116422=+y x .例9. 12||||PF PF ?≤2212||||()42PF PF a +== 例11. B 例13. D 例16. A 例17.

)2(112422-<=-x y x 例18. 1

2 例19.⑴

22

1944

x y -=;⑵221128x y -= 例20.⑴直线AB ：y =x +1

⑵设A 、B 、C 、D 共圆于⊙OM ，因AB 为弦，故M 在AB 垂直平分线即CD 上；又CD 为弦，故圆心M 为CD 中点。因此只需证CD 中点M 满足|MA|=|MB|=|MC|=|MD|

由22

112

y x y x =+???-

=??得：A （-1，0），B （3，4）又CD 方程：y =-x +3 由22

312

y x y x =-+???-

=??得：x 2

+6x -11=0设C （x 3,y 3），D （x 4,y 4），CD 中点M （x 0,y 0） 则34

0003,362

x x x y x +=

=-=-+=∴ M （-3，6） ∴ |MC|=|MD|=

2

1

|CD|=102又|MA|=|MB|=102∴ |MA|=|MB|=|MC|=|MD| ∴ A 、B 、C 、D 在以CD 中点，M （-3，6）为圆心，102为半径的圆上

例21. B(

22,4282

p

p x py y =-=-==-即) 例22. B 例23. B(过P 可作抛物线的切线两条，还有一条与x 轴平行的直线也满足要求。)

例24. C 作为选择题可采用特殊值法,取过焦点，且垂直于对称轴的直线与抛物线相交所形成线段分别为p ,q ，

则p =q =|F K |1||2FK a

=

而, 112241()2a p q p a

∴

+===

例25. 解析：运用抛物线的准线性质.答案：B 例26. x 2

=8y 例27. －p 2

例28.2

2

3()94

x y ++= 例

29.[0,arctan [arctan ,)22

ππ-