2020年高考理科数学《解三角形》题型归纳与训练
2020年高考理科数学《解三角形》题型归纳
与训练
-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
2020年高考理科数学 《解三角形》题型归纳与训练
【题型归纳】
题型一 正弦定理、余弦定理的直接应用
例1ABC ?的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2
sin()8sin 2
B A
C +=． (1)求cos B
(2)若6a c +=，ABC ?面积为2，求b ． 【答案】（1）15
cos 17
B =
（2）2b =． 【解析】由题设及A B C π++=得2
sin 8sin 2
B
B =，故sin 4(1cos )B B =-． 上式两边平方，整理得217cos 32cos 150B B -+=， 解得cos 1B =（舍去），15cos 17B =
.
（2）由15cos 17B =
得8sin 17B =，故14
sin 217
ABC S ac B ac ?==． 又2ABC S ?=，则17
2
ac =
． 由余弦定理及6a c +=得22222cos ()2(1cos )b a c ac B a c ac B =+-=+-+
1715
362(1)4217
=-?
?+=． 所以2b =．
【易错点】二倍角公式的应用不熟练，正余弦定理不确定何时运用 【思维点拨】利用正弦定理列出等式直接求出
例2 ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若2cos cos cos b B a C c A =+,则B = .
【答案】π
3
【解析】1π2sin cos sin cos sin cos sin()sin cos 23
B B A
C C A A C B B B =+=+=?=
?=.
【易错点】不会把边角互换，尤其三角恒等变化时，注意符号。
【思维点拨】边角互换时，一般遵循求角时，把边换成角；求边时，把角转换成边。
例3在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若b ＝1，c ＝3，C ＝2
3
π，则S △ABC ＝________.
【答案】
34
【解析】因为c ＞b ，所以B ＜C ，所以由正弦定理得
b sin B
＝
c sin C
，即
1sin B ＝3sin 2π
3
＝2，即sin B ＝12，所以B ＝π6，所以A ＝π－π6－2π3＝π
6.所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×3×12＝34.
【易错点】大边对大角，应注意角的取值范围
【思维点拨】求面积选取公式时注意，一般选取已知角的公式，然后再求取边长。 题型二利用正弦定理、余弦定理判定三角形的形状
例1在ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且,,A B C
成等差数列 (1)若2b c ==，求ABC ?的面积
(2)若sin ,sin ,sin A B C 成等比数列，试判断ABC ?的形状 【答案】(1)32 (2)等边三角形
【解析】(1)由A ，B ，C 成等差数列，有2B ＝A ＋C (1) 因为A ，B ，C 为△ABC 的内角，所以A ＋B ＋C ＝π．(2) 得B ＝
3π
，
b 2＝a 2＋
c 2－2accosB (3) 所以3
cos
44)32(22π
a a -+= 解得4=a 或2-=a (舍去)
所以323
sin 2421sin 21=??==
?π
B ac s ABC
(2)由a ，b ，c 成等比数列，有b 2＝ac (4)
由余弦定理及(3)，可得b 2＝a 2＋c 2－2accosB ＝a 2＋c 2－ac
再由(4)，得a 2
＋c 2
－ac ＝ac ，即(a －c )2
＝0。因此a ＝c 从而A ＝C (5) 由(2)(3)(5)，得A ＝B ＝C ＝
3
π 所以△ABC 为等边三角形．
【易错点】等差数列，等比数列容易混淆
【思维点拨】在三角形中，三边和三角都是实数，三个数很容易联想到数列的三项，所以，三角函数与数列的结合也是较为常见的问题，解答中注意几个常见结论，此类问题就不难解答了.
例2在△ABC 中，已知2a b c =+，
2sin sin sin A B C =，试判断△ABC 的形状。 【答案】等边三角形
【解析】2sin sin sin A B C =?2a bc =，又2a b c =+，所以224()a b c =+，所以24()bc b c =+，即2()0b c -=，因而b c =；由2a b c =+得a b =。所以a b c ==，△ABC 为等边三角形。 【易错点】条件的转化运用
【思维点拨】判定三角形形状时，一般考虑两个方向进行变形： （1）一个方向是边，走代数变形之路，通常是正、余弦定理结合使用； （2）另一个方向是角，走三角变形之路.通常是运用正弦定理 题型三与三角形中有关的不等式问题
例1△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为2
3sin a A
.
（1）求C B sin sin ;
（2）若6cos B cos C =1，a =3，求△ABC 的周长. 【答案】（1）3
2
sin sin =
C B ；（2）333+=?ABC C
【解析】
.
3
2
sin sin .
sin 3sin sin sin 21.
sin 3sin 21,sin 3sin 21)1(2=∴===B C A A
B C A a
B c A a B ac 由正弦定理得即由题设得 .
333.33,93)(,9.
8,sin 3sin 21.
3
,32.21)cos(,
2
1
sin sin cos cos )1()2(2222
+=∴=+∴=-+=-+===∴=+∴-=+-=-?ABC C c b bc c b bc c b bc A
a A bc A C B C B C B C B 即由余弦定理得即又即得由题设及 π
π 【易错点】不会利用将角的关系转化为边的关系
【思维点拨】在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，当题设中给定三角形的面积，可以使用面积公式建立等式，再将所有边的关系转化为角的关系，有时需将角的关系转化为边的关系；解三角形问题常见的一种考题是“已知一条边的长度和它所对的角，求面积或周长的取值范围”或者“已知一条边的长度和它所对的角，再有另外一个条件，求面积或周长的值”，这类问题的通法思路是：全部转化为角的关系，建立函数关系式，如
sin()y A x b ω?=++，从而求出范围，或利用余弦定理以及基本不等式求范围；求具体的值直
接利用余弦定理和给定条件即可.
例2已知a ,b ,c 分别为△ABC 三个内角A ,B ,C 的对边
,cos sin 0a C C b c --=.
(1)求A 的大小；
(2)若a ＝7,求△ABC 的周长的取值范围． 【答案】(1)
3
π
(2)(14,21] 【解析】(1)由正弦定理得：
cos 3sin 0sin cos 3sin sin sin sin a C a C b c A C A C B C +--=?-=+
sin cos 3sin sin sin()sin A C A C A C C ?+=++
13sin cos 1sin()62
A A A π?-=?-=663A A πππ
?-=?=；
(2)由已知：0b >,0c >,7b c a +>=, 由余弦定理22222231
492cos
()3()()()344
b c bc b c bc b c b c b c π
=+-=+-≥+-+=+ 当且仅当b ＝c ＝7时等号成立,∴2()449b c +≤?,又∵b ＋c ＞7,∴7＜b ＋c ≤14, 从而△ABC 的周长的取值范围是(14,21]．
【易错点】求周长范围的问题，应先用余弦定理列出等式，再根据基本不等式求出所求问题. 【思维点拨】周长问题也可看做是边长问题的延伸,所以在解决周长相关问题时,着眼于边长之间的关系,结合边长求最值(范围)的解决方式,通常都能找到正确的解题途径. 例3△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知2c-a=2b cos A. (1)求角B 的大小; (2)若b=2
,求a+c 的最大值.
【答案】(1)B=
3
π
（2）4
【解析】:(1)∵2c-a=2b cos A ,
∴根据正弦定理,得2sin C-sin A=2sin B cos A.①∵A+B=π-C ,∴sin C=sin(A+B )=sin B cos A+cos B sin A ,
代入①式,得2sin B cos A=2sin B cos A+2cos B sin A-sin A ,化简得(2cos B-1)sin A=0.
∵A 是三角形的内角,∴sin A>0,∴2cos B-1=0,解得cos B=,
∵B ∈(0,π),∴B=
3
. (2)由余弦定理b 2=a 2+c 2-2ac cos B ,得12=a 2+c 2-ac.
∴(a+c )2-3ac=12,∴12≥(a+c )2-(a+c )2,当且仅当a=c=2
时取等号,
∴a+c ≤4
【易错点】涉及到最值问题时,常利用基本不等式或表示为三角形的某一内角的三角函数形式求解.
(1)根据正弦定理与两角和的正弦公式,化简条件等式,可得(2cos B-1)sin A=0,结合sin A>0得到cos B ,从而解出B ;(2)由余弦定理,可得出12=a 2+c 2-ac.再利用基本不等式求最大值.
【思维点拨】(1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素,基本思想是方程思想,即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程,通过解方程求得未知元素;
(2) 正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化,解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系,也可以把已知条件化为三角形边的关系;
(3) 涉及到最值问题时,常利用基本不等式或表示为三角形的某一内角的三角函数形式求解.
题型四解三角形的实际应用
例1在某次测量中，在A 处测得同一平面方向的B 点的仰角是50°，且到A 的距离为2，C 点的俯角为70°，且到A 的距离为3，则B 、C 间的距离为( ) A.16 B.17 C.18 D.19 【答案】 D
【解析】 因∠BAC ＝120°，AB ＝2，AC ＝3.
∴BC 2
＝AB 2
＋AC 2
－2AB ·AC cos ∠BAC ＝4＋9－2×2×3×cos 120°＝19. ∴BC ＝19.
【易错点】没有正确理解题意，不能将应用转化为可计算的三角模型
【思维点拨】正弦定理、余弦定理及其在现实生活中的应用是高考的热点，主要利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形的度量问题以及几何计算的实际问题，常与三角变换、三角函数的性质交汇命题
例2设甲、乙两楼相距20m ，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为
30，则甲、乙两楼的高分别是（ ）.
B. ,
C. 10
m D. 【答案】D
【解析】设甲楼为DA ，乙楼为BC ，如图，在
20
R ,60,20,tan60203,40cos60
t ABD ABD BD m AD BD m AB m ?∠==∴===
=， 30,,120CAB ABC AC BC ACB ∠=∠=∴=∠=，在ABC ?中，设AC BC x ==，由余弦定理
得： 2222?·cos AB AC BC AC BC ACB =+-∠，即2221600x x x =++，解得x =
两楼的高分别是， 【易错点】没有正确理解题意，不能将应用转化为可计算的三角模型
【思维点拨】正弦定理、余弦定理及其在现实生活中的应用是高考的热点，主要利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形的度量问题以及几何计算的实际问题，常与三角变换、三角函数的性质交汇命题
【巩固训练】
题型一 正弦定理、余弦定理的直接应用
1.在△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为a,b,c ，已知a=2，时，求b 及c 的长
【答案】4c =。
【解析】当a=2，2sinA=sinC 时，由正弦定理
a c
sin A sin C
=，得c=4
由sinC=
4
，及0＜C ＜π得cosC=±4
由余弦定理c 2=a 2+b 2-2abcosC ，得b 2
解得2
所以4b c ?=??=??或 4
b c ?=?
?=??
2.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c. 已知b+c=2a cos B. （I ）证明：A =2B ；
（II ）若△ABC 的面积2
=4
a S ，求角A 的大小.
【答案】（1）略 （2）2
π
A =
或4
π
A =
．
【解析】（I ）由正弦定理得sin sin 2sin cos ,B C A B +=
故()2sin cos sin sin sin sin cos cos sin ,A B B A B B A B A B =++=++ 于是()sin sin B A B =-，又(),0,A B π∈,故0,A B π<-<所以
()B A B π=--或B A B =-因此A π=（舍去）或2A B = 所以，2.A B =
（II ）由24a S =得2
1sin C 24
a a
b =，故有
1
sin sin C sin 2sin cos 2B =B =B B ，因为sin 0B ≠，得sinC cos =B ．
又B ，()C 0,π∈，所以C 2
π=±B ．
当C 2
πB +=时，2
π
A =； 当C 2
π-B =
时，4
π
A =
．
综上，2
π
A =
或4
π
A =
．
3.ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos (cos cos ).C a B+b A c =
（I ）求C ；
（II ）若c ABC △=ABC △的周长．
【答案】（I ）
3
π
；（II ）5+【解析】（I ）由已知及正弦定理得，()2cosC sin cos sin cos sinC A B+B A =，
()2cosCsin sinC A+B =．故2sinCcosC sinC =． 可得1cosC 2=
，所以C 3
π=．
(II)由已知，1sin 22
ab C =.
又3
C π
=
，所以6ab =.
由已知及余弦定理得，222cos 7a b ab C +-=. 故2213a b +=，从而()2
25a b +=.
所以ABC ?的周长为5+题型二 利用正弦定理、余弦定理判定三角形的形状
1.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若c －a cosB ＝(2a －b )cos A ，则△ABC 的形状为( )
A ．等腰三角形
B ．直角三角形
C ．等腰直角三角形
D ．等腰或直角三角形 【答案】D
【解析】因为c －a cosB ＝(2a －b )cos A ， C ＝π－(A ＋B )，
所以由正弦定理得sin C －sin A cos B ＝2sin A cos A －sin
B ·cos A ，
所以sin A cos B ＋cos A sin B －sin A cos B ＝2sin A cos A －sinBcos A ， 所以cos A (sin B －sin A )＝0， 所以cos A ＝0或sin B ＝sin A ， 所以A ＝π
2
或B ＝A 或B ＝π－A (舍去)，
所以△ABC 为等腰或直角三角形．
2.在△ABC 中,若sin A=2cos B sin C ,则△ABC 的形状是 . 【答案】等腰三角形
【解析】由已知等式得a=2·c 2＋a 2－b 2
2ac ·c ,所以a 2=a 2+c 2-b 2,所以c 2=b 2,即c=b.故△ABC 为等腰
三角形.
3. △ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若c b
＜cos A ，则△ABC 为( )．
A ．钝角三角形
B ．直角三角形
C ．锐角三角形
D ．等边三角形
【答案】A
【解析】依题意，得sin C
sin B
＜cos A ，sin C ＜sin B cos A ，所以sin(A ＋B )＜sin B cos A ，即sin
B cos A ＋cos B sin A －sin B cos A ＜0，所以cos B sin A ＜0.又sin A ＞0，于是有cos B ＜0，B 为钝角，△AB
C 是钝角三角形，选A. 题型三 与三角形有关的不等式问题
1.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos 2
B ＋cos B ＝1－cos A cos
C .
(1)求证：a ，b ，c 成等比数列； (2)若b ＝2，求△ABC 的面积的最大值．
【答案】（1）略 （2） 3.
【解析】(1)证明：在△ABC 中，cos B ＝－cos(A ＋C )．由已知，得
(1－sin 2
B )－cos(A ＋
C )＝1－cos A cos C ，
∴－sin 2B －(cos A cos C －sin A sin C )＝－cos A cos C ， 化简，得sin 2
B ＝sin A sin
C . 由正弦定理，得b 2
＝ac ， ∴a ，b ，c 成等比数列． (2)由(1)及题设条件，得ac ＝4.
则cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac ≥2ac －ac 2ac ＝1
2
，
当且仅当a ＝c 时，等号成立．
∵0
B ≤1－122
＝32
.
∴S △ABC ＝12ac sin B ≤12×4×3
2＝ 3.
∴△ABC 的面积的最大值为 3.
2在ABC ?中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c 已知21
sin sin sin 24
B C B C -+=. (1).求角A 的大小；
(2).若a = ABC ?b c +的值． 【答案】(1). 2π
3
A =
(2). 3b c += 【解析】(1).由已知得()
1cos 1sin sin 2
4
B C B C --+=
， 化简得
1cos cos sin sin 1
sin sin 24
B C B C B C --+=，
整理得1cos cos sin sin 2B C B C -=，即()1
cos 2B C +=，
由于0πB C <+<，则π3
B C +=，所以2π
3A =．
(2).因为11sin 22ABC S bc A bc ?===，所以2bc =．
根据余弦定理得
()2
2
22222π2cos
3
b c bc b c bc b c bc =+-?=++=+-， 即()2
72b c =+-，所以3b c +=
3.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足cos2C －cos2A ＝2sin )3(
C +π
sin()3
C π
- (1)求角A 的大小；
(2)若a ＝3，且b ≥a ，求2b －c 的取值范围．
【答案】（1）A ＝π3或2π
3
.（2）[3，23)
【解析】(1)由已知得2sin 2
A －2sin 2
C ＝)sin 4
1cos 43(22
2C C -
，
化简得sin 2
A ＝34，∴sin A ＝±32，