高考模拟复习试卷试题模拟卷高三数学专题三 数列的解答题001

高考模拟复习试卷试题模拟卷高三数学专题三 数列的解答题

以等差数列和等比数列综合题

【背一背重点知识】

1.等差数列及等比数列的广义通项公式：(),n m n m n m a a n m d a a g -=+-=

2.一个数列既是等差数列，又是等比数列，则这个数列必是非零常数列

3. 等差数列及等比数列前n 项和特征设法：2,(1)n n n S An Bn S A g =+=- 【讲一讲提高技能】

1. 必备技能：涉及特殊数列（等差数列或等比数列）一般用待定系数法，注重研究首项及公差或公比； 由原数列抽取或改变项的顺序等生成新数列，一般注重研究生成数列在新数列及原数列的对应关系，通常用“算两次”的思想解决问题

2. 典型例题：

例1 等差数列{}n a 的首项11a =，其前n 项和为n S ，且3547a a a +=+． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）求满足不等式32n n S a <-的n 的值． 【答案】（Ⅰ）21n a n =-；（Ⅱ）2，3，4 【解析】

因为11a =，所以36d =，即2d =，

所以1(1)21n a a n d n =+-=-．

（Ⅱ）因为11a =，21n a n =-，所以

212n

n a a S n n +=

=，

所以23(21)2n n <--，所以2650n n -+<，

解得15n <<，所以n 的值为2,3,4．

例2在数列{}n a 中，122,511-+==-n n n a a a （*,2N n n ∈≥）． （1）求23,a a 的值；

（2）是否存在常数λ，使得数列}2{n

n a λ+是一个等差数列？若存在，求λ的值及}{n a 的通项公式；若不

存在，请说明理由．

【答案】（1）132=a ，333=a ；（2）12)1(,1+?+=-=n

n n a λ．

【解析】

【练一练提升能力】 1.在数列{}n a 中，()12111010

1,,02,*33

n n n a a a a a n n N +-==

-+=≥∈且 （1）若数列{}1n n a a λ++是等比数列， 求实数λ；

（2）求数列{}n a 的前n 项和n S .

【答案】（1）1

3

λ=-或3λ=-；（2）2113431163n n n n S +--?+=?.

【解析】

2.已知首项为3

2的等比数列{an}不是递减数列，其前n 项和为Sn(n ∈N*)，且S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4

成等差数列．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设Tn ＝Sn －1

Sn (n ∈N*)，求数列{Tn}的最大项的值与最小项的值．

【答案】(1) an ＝ (－1)n －1·32n . (2) 最大项的值为56，最小项的值为－7

12

.

【解析】解：(1)设等比数列{an}的公比为q ，因为S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列，所以S5＋a5－S3－a3＝S4＋a4－S5－a5，即4a5＝a3，于是q2＝a5a3＝14.又{an}不是递减数列且a1＝32，所以q ＝－1

2，故

等比数列{an}的通项公式为an ＝32×－12n －1＝(－1)n －1·3

2n

.

以求递推数列的通项公式和求和的综合题

【背一背重点知识】 1.11()11

n n n n q q a pa q a p a p p ++=+?+=+-- 2.

1111

()()n n d d n n d

=-++

3. 11,1

,2n n

n S n a S S n -=?=?-≥?

4.求和方法：累加、累乘、裂项相消、错位相减

【讲一讲提高技能】

1.必备技能：会由n S 与n a 的关系求数列通项；会对原数列适当变形构成一个特殊数列（等差数列或等比数列），进而求出原数列通项；能根据数列通项特征，选用对应方法求数列前n 项的和.

2.典型例题：

例1已知数列{}n a 的前n 项和(1)

(1,2,3,)2

n n n a S n +==. （Ⅰ）求1a 的值；

（Ⅱ）求证：1(2)1(1)(2)n n n a n a n --+=-≥； （Ⅲ）判断数列{}n a 是否为等差数列，并说明理由.

【答案】（Ⅰ）11a =;（Ⅱ）详见解析;（Ⅲ）数列{}n a 是等差数列. 【解析】

所以 数列{}n a 是以1为首项，21a -为公差的等差数列. ……………… 13分

例2 数列}{n a 的首项120a =-,*

1,543N n n a a n n ∈-=++

求数列}{n a 的通项公式；

设}{n a 的前n 项和为n S ,求n S 的最小值. 【答案】(1)；（2）. 【解析】

【练一练提升能力】

1在数列 {}n a 中，已知 12211,2,n n n a a a a a n N λ*

++==+=+∈，λ为常数.

(1)证明: 14,5,a a a 成等差数列; (2)设 22

n n

a a n c +-=，求数列 的前n 项和 n S ；

（3）当0λ≠时，数列 {}1n a -中是否存在三项 1111,1,1s t p a a a +++---成等比数列，且,,s t p 也成等比数列?若存在，求出,,s t p 的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1) 详见解析，(2) 当0n S n λ==时，，当

235(21)22(12)

02222

12

n n n S λλλλλ

λ

λ

λ--≠=+++

+=-时，（3）不存在 【解析】

故1a ，4a ，5a 成等差数列．…………………………………………………………4分

2设数列{}n a 为等差数列，且145=a ，720a =，数列{}n b 的前n 项和为n S ，123

b =

且

132(2,)n n S S n n N -=+≥∈.

（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式; （2）若,1,2,3,

n n n c a b n =?=,n T 为数列{}n c 的前n 项和，n T m <对*n N ∈恒成立，求m 的最小值．

【答案】（1） 13-=n a n ，n

n b 3

1

2?=；（2）m 的最小值是27. 【解析】

又

2113

b b =，所以{}n b 是以123b =为首项，31

为公比的等比数列，于是n n b 312?=5分

（2）n n n n n b a c 3

1)13(2?

-=?= ∴],3

1

)13(318315312[232n n n T ?-++?+?+?= 6分

???????-+?-++?+?=+13231)13(31)43(3153

1

2231n n n n n T 8分 两式相减得]31

)13(31313313313313[232132+?---?++?+?+?=n n n n T 9分

所以 17712233n n n n

T -=-?-11分

从而27

3

3127271<-?-=-n n n n T

∵n T m <对n N +∈恒成立，∴2

7≥m ∴m 的最小值是27

解答题（共10题）

1.已知数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 是各项均为正数的等比数列，且113a b ==，2214a b +=，

3453a a a b ++=．

（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；

（2）设n n n c a b =+，*

n N ∈，求数列{}n c 的前n 项和．

【答案】（1）21n a n =+，n N *∈，3n

n b =，n N *

∈；（2）详见解析．

【解析】

(321)3(13)3(2)(31)2132

n n n n n n ++-=+=++--，∴前n 项和3(2)(31)2n n S n n =++-，n N *

∈．

2. 设n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知12a =，对任意n *∈N ，都有()21n n S n a =+． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列()42n n a a ???

?

?

?+???

?的前n 项和为n T ，求证：112n ≤T <．

【答案】（1）2n a n =；（2）详见解析 【解析】

因为()11f n n =

+在*N 上是单调递减函数，所以111

n -+在N *上是单调递增函数． 所以当1n =时，n T 取最小值1

2

．

所以1

12

n ≤T <．

3. 设数列{}n a 的各项均为正数，它的前n 项和为n S ，点()n n S a ,在函数2

1

21812++=x x y 的图像上；

数列{}n b 满足()n n n n b a a b a b =-=++1111,，其中*

∈N n ．

（Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；

（Ⅱ）设n n n b a c =

，求证：数列{}n c 的前n 项和()

*∈>N n T n 9

5

． 【答案】（Ⅰ）1

412-?

?

?

???=n n b ；（Ⅱ）见解析．

【解析】

两式相减得：(

)()3

54352354

124442131

2-

n n n n L T ，

∴9

5

>

n T ． 4. 已知数列{}n a 中，11=a ，在21,a a 之间插入1个数，在32,a a 之间插入2个数，在43,a a 之间插入3个数，…，在1,+n n a a 之间插入n 个数，使得所有插入的数和原数列{}n a 中的所有项按原有位置顺序构成一个正项等差数列{}n b .

（1）若194=a ，求{}n b 的通项公式；

（2）设数列{}n b 的前n 项和为n S ，且满足μλμλ,(2+=+n n b S 为常数），求{}n a 的通项公式.

【答案】（1）n b 21n =-.（2）22n n n

a +=

【解析】

（法一）当2n ≥，2(22)2n d b d d μ-=-=常数……④恒成立，又{}n b 为正项等差数列，

当0d ≠时，n b 不为常数，则2

220,20,

d d d μ-=??-=?得1

1,

2d μ==， ……11分 代入②式，得1

4

λ=

. ……12分 （法二）2(2)2n n b d b d d μ=-+,2(22)2n d b d d μ-=-，即21(22)[(1)]2d b n d d d μ-+-=-， 则222(1)2(1)2d d n d d d μ-+-=-对n ≥2恒成立， 令2,3n =，得2222

4(1)2(1)2,6(1)2(1)2,d d d d d d d d d d μμ?-+-=-?-+-=-?解得1,

1,2

d μ=??

?=??……11分

5. 设数列{}n a 的前n 项和12a a S n n -=，且41+a 是32,a a 的等差中项． （1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）求数列?

??

???n a n 的前n 项和n T ．

【答案】（1）n

n a 2=；（2）2

2

2

n n n T +=-

． 【解析】

试题分析：（1）已知n S 与n a 的关系求通项公式，一般是利用1(2)n n n a S S n -=-≥化关系式为n a 的关系，从而得得{}n a 是等比数列，通项公式可得；（2）数列n n a ??

????

是由等差数列与等比数列相除（乘）得到的，因此其前n 项和n T 只能用错位相减法求得．

6.设数列{}n a 的前n 项和为,n S 已知1118,35,.n n n a a S n N +*+==++∈ （Ⅰ）设23,n n n b a =-?证明：数列{}n b 是等比数列；

（Ⅱ）证明：23

123

22221n

n

a a a a +

+++<. 【解析】（Ⅰ）

1135,n n n a S ++=++()1352,n n n a S n -∴=++≥

()1123,2232,n n n n n n n a a a a a n ++∴-=+?=+?≥即 2分

当2n ≥时，

()111122323223232,232323n

n n n n n n n n n n

n n n n a b a a b a a a ++++-?-?+?-?====-?-?-? 5分 又

122

11221

232,234,2,b b a b a b =-?==-?=∴

= ∴数列{}n b 是以2为首项，公比为2的等比数列。… 6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知2,232,n n n n n b a =∴-?=232,n n n a ∴=?+

2211

12232233321222n

n n

n n

n n

n a ??

==<=? ??+??????

?+? ? ?????

9分 23

23123

22221222223333n

n n a a a a ??

??????

∴++++<++++?? ? ? ???????

????

=22133121 1.12313

n

n ????-?? ??????????=-< ???-…………12分

7.已知数列{}n a 中，113,21(1)n n a a a n +==-≥，

（1）设1(1,2,3)n n b a n L =-=，求证：数列{}n b 是等比数列； （2）求数列{}n a 的通项公式；

（3）设1

2n

n n n c a a +=?，求证：数列{}n c 的前n 项和13n S <．

【答案】（1）见解析；（2）21n

n a =+；（3）见解析

【解析】

（3）1111122(21)(21)11

(21)(21)(21)(21)2121

n n n n n n n n n n n n n c a a ++++++-+====-

++++++， ∴122311*********

(

)()(

)21212121

21213213

n n n n S ++=-+-++-=-<

+++++++． 8.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()

244,n S n n n N *=-+∈ （1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）数列{}n b 中，令1,15,22

n n

n b a n =??=?+≥?

?， n T =231232222n

n b b b b +++???+，求n T .

【答案】（1）11,125,2

n n n n a S S n n -=??=-=?-≥??；（2）1

(1)22n n T n +=-+.

【解析】

9.已知数列{}n a 满足*1()a a a =∈N ,*1210(01)n n a a a pa p p n ++++-=≠≠-∈N ，，.

(1)求数列{}n a 的通项公式n a ;

(2)若对每一个正整数k ,若将123,,k k k a a a +++按从小到大的顺序排列后,此三项均能构成等差数列, 且公差为

k d .

①求p 的值及对应的数列{}k d .

②记k S 为数列{}k d 的前k 项和,问是否存在a ,使得30k S <对任意正整数k 恒成立?若存在,求出a 的最大值;若不存在,请说明理由. 【解析】

[2]当23p =-

时,91(1())42k k a S =-,则由30k S <,得4013(1())2k a <-,因为4040133(1())2

k >

-,所以13a =满足30k S <恒成立;但当14a =时,存在5k =,使得40

13(1())

2

k

a >

-即30k S <, 所以此时满足题意的最大正整数13a =