高等数学(本科)第七章课后习题解答

习题7.1

1.在空间直角坐标系中，指出下列各点位置的特点.

()0,5,0-A ；()0,3,3-B ；()3,0,6-C ；()0,0,4D ；()7,5,0-E ；()9,0,0F .

【解】A 点在y 轴上；B 点在xoy 坐标面上；C 点在zox 坐标面上；D 点在x 轴上；E 点在yoz 坐标面上；F 点在z 轴上. 2.指出下列各点所在的卦限.

()1,3,2-A ；()2,1,7--B ；()1,3,2---C ；()3,2,1--D .

【解】A 点在第五卦限；B 点在第三卦限；C 点在第七卦限；D 点在第六卦限. 3.自点()2,3,1--M 分别作xoy 、yoz 、zox 坐标面和x 、y 、z 坐标轴的垂线，写出各垂足的坐标，并求出点M 到上述坐标面和坐标轴的距离.

【解】()2,3,1--M 在xoy 坐标面上的垂足为()0,3,1-、在yoz 坐标面上的垂足为

()2,3,0-、在zox 坐标面上的垂足为()2,0,1--；

()2,3,1--M 在x 轴的垂足为()0,0,1-、在y 轴的垂足为()0,3,0、在z 轴的垂

足为()2,0,0-；

()2,3,1--M 到x 轴的距离为()13232

2=-+；

()2,3,1--M 到y 轴的距离为()()52122=-+-；

()2,3,1--M 到z 轴的距离为

()10312

2=+-.

3.已经点()2,1,3--M .求：（1）点M 关于各坐标面对称点的坐标；（2）点M 关于各坐标轴对称点的坐标；（3）点M 关于坐标原点的对称点的坐标. 【解】（1）()2,1,3--M 关于xoy 面对称点的坐标是(),2,1,3-； ()2,1,3--M 关于yoz 面对称点的坐标是(),2,1,3---；

()2,1,3--M 关于zox 面对称点的坐标是(),2,1,3-. （2）()2,1,3--M 关于x 轴对称点的坐标是(),2,1,3； ()2,1,3--M 关于y 轴对称点的坐标是(),2,1,3--；

()2,1,3--M 关于z 轴对称点的坐标是(),2,1,3--.

（3）()2,1,3--M 关于坐标原点的对称点的坐标是(),2,1,3-. 5.求点()5,3,4-A 到坐标原点和各坐标轴的距离.

【解】 ()5,3,4-A 到坐标原点距离为()2553422

2=+-+；

()5,3,4-A 到x 轴的距离为()34532

2=+-；

()5,3,4-A 到y 轴的距离为415422=+； ()5,3,4-A 到z 轴的距离为()5342

2=-+.

6.在y 轴上求与点()7,2,3-A 和()7,1,3-B 等距离的点. 【解】设所求点为()0,,0y C .据题意，有 BC AC =，即

()()()()=

-+-+--2

2270230y ()()()()22270130--+-+-y

解得 23=

y .所以，所求之点为.0,23,0??

? ??C 7.已知三角形ABC 的顶点坐标分别为()3,2,1A 、()3,10,7B 和()1,3,1-C ，试证明 ∠BAC 为钝角. 【解】AB 边长()()()1033210172

22=-+-+-==AB c ；

AC 边长()()()()33123112

22=-+-+--=b ； BC 边长()()()()11731103712

22=-+-+--=a .

由余弦定理知

c o s ∠BAC ()

01032117

10322

22222

-+=bc a c b ，

所以，∠BAC 为钝角.

8.试在xoy 面上求一点，使它到()5,1,1-A 、()4,4,3B 和()1,6,4C 各点的距离相等. 【解】设所求点为()0,,y x D .据题意，有 CD BD AD ==，即

()()()()=

-+--+-2

225011y x ()()()222443-+-+-z y x

()()()222164-+-+-=

z y x

解得 5,16-==y x .所以，所求之点为().0,5,16-D

习题7.2

1.设平行四边形ABCD 的对角线向量==,，试用，表示

,,,.

【解】记平行四边形ABCD 的对角线的交点为O .

()

-=-=-=-==2

1

21212121；

同理可求出，()

+=+=+=21

2121；

()a b AB CD -=-=21

；

()

+-=-=2

1

.

2.已知向量n m a 23-=，n m a +=.试用向量n m ,表示b a 32-. 【解】32-()()

733232-=+--=.

3.设2-+=，+--=3.试用向量,,表示32-. 【解】32-()()

71153322-+=+----+=. 4.设ABCDEF 是一个正六边形，AF b AB a ==,，试用a ，b 表示

EF DE CD BC ,,,.

【解】记六边形ABCDEF 的对角线的交点为O .则四边形ABOF 、CDEO 、DEFO 及ABCO 均为平行四边形.由向量加法的平行四边形法则知，

+=+==； ==；

-=-===；

()

.b a BC EF +-=-=

5.设向量k a j a i a a z y x ++=,，若它满足下列条件之一：

（1）垂直于z 轴；（2）垂直于xoy 面；（3）平行于yoz 面.那么它的坐标有

什么有何特征？ 【解】

（1）因为a 垂直于z 轴，故0.=k a ，即0=z a ；

（2）因为垂直于xoy 面，故平行于z 轴，从而∥{}1,0,0=，所以，0==y x a a . （3）a 平行于yoz 面，故垂直于x 轴，从而.a 0=i ，所以，0=x a . 6.已知向量{}7,4,4-=，它的终点坐标为()7,1,2-B ，求它的起点坐标. 【解】设起点()z y x A ,,，则{}z y x ----=7,1,2，根据已知条件，有

77,41,42=--=--=-z y x ，解得 .0,3,2==-=z y x 所以，起点坐标为

()0,3,2-A .

7.已知向量{}1,1,6-=，{}0,2,1=.求 （1）向量2-=； （2）向量的方向余弦； （3）向量的单位向量. 【解】

（1）{}{}{}{}{}{}1,3,401,41,260,4,21,1,60,2,121,1,6--=----=--=--=.

（2()()261342

2

2=-+-+=.故，

???

???--==

261,263,2640c ，

所以，向量的方向余弦为.261cos ,26

3cos ,26

4cos -

=-

==

γβα

（3）.向量的单位向量为???

???--±261,263,26

4.

8.试确定m 和n 的值，使向量n ++-=32和m 26+-=平行. 【解】因为∥，所以

2

632n

m =-=-，解得 .1,4-==n m

9.已知向量{}12,9,8-=及点()7,1,2-=A ，由点A 作向量34=， 且与的方向相同.求向量的坐标表达式及点M 的坐标.

【解】设()z y x M ,,，则{}7,1,2-+-=z y x .据题意知∥且与同向，因此有

λ=--=+=-12

7

9182z y x ，① 且 0>λ. ② 由①式得 λλλ127,91,82=-++=-z y x . 又已知

34=，故有 ()()()3412982

22=++λλλ. ③

③式化简得

4115628922=?=λλ，

解得 2=λ或2-=λ（舍）.所以，.17,17,18-===z y x 因此{}24,18,16-=，()17,17,18-=M .

10.已知点()4,2,1--A 和点()

z B ,2,6-9=，求z 的值. 【解】()(){}{}4,4,74,22,16+-=----

--=z z .9=，得

()()94472

2

2=++-+z ，化简得

082=+z z ，解之，得 0=z 或.8-=z

11.已知点()

1,2,41M 和点()2,0,32M ，计算向量21M M 的模、方向余弦和方向角. 【解】{}{}

1,2,112,20,4321--=---=M M ；

()

()

212122

2

=+-+-=.

因为{}

???

?

??--=--==21,22,211,2,121210

2

1M M M .

所以21M M 的方向余弦是.21

cos ,22cos ,21cos =-

=-=γβα 方向角为.3

cos ,43,32π

γπβπα===

12.求与下列向量a 同方向的单位向量0a . （1）{}1,4,2-=a ；（2）k j i a ++-=32.

【解】

（1

()2114222

2=+-+=

，所以

{}?

??

??

?-

=-=

=211,

21

4,21

2

1,4,221

10a .

（2()141322

22=++-=

，所以

.141,143,1421410?

??

???-=

=

a 习题7.3

1.设向量23--=，-+=

2.求：

（1）.；（2）?；（3）()()32?-；（4）()

2?；（5）向量,的夹角. 【解】

（1）()()()3122113.=-?-+?-+?=；

（2

）k j i b a 7521++=-=?；

（3）()()()

1836.63.2-=?-=-=-b a b a ；

（4）()()14222++=?=?；

（5）

()()142132

2

2=-

+-+=()61212

22=-++=，故

21236143,cos =?==???? ??∧，所以向量,的夹角为 .2123arccos ,=???

? ??∧ 2.设向量，，为单位向量，且满足=++ ①.求：...++. 【解】由①式得

()0.=++；

()0.=++c b a b ；

()

0.=++.

即 0..=++； ②

0..=++； ③

0..=+； ④ 将②、③、④相加得

()

03...2=+++a c c b b a

所以，.2

3

...-=++

3.已知点()2,1,1-A ，()2,6,5-B ，()1,3,1-C 求： （1）同时与及垂直的单位向量； （2）ABC ?的面积. 【解】

（1）?{}16,12,15161215340054=++=--=.

25161215222=++=. 所以，同时与及垂直的单位向量为 {}

?

??

???±=±

=?±

2516,2512,25116,12,15251AC AB .

（2）ABC ?的面积2

25==

. 4.设{}2,5,3-=a ，{}4,1,2=b ，则当实数λ与μ有什么关系时，能使μλ+与z 轴垂直？

【解】{}μλμλμλμλ42,5,23+-++=+.要使μλ+与z 轴垂直，只须

μλ+与{}1,0,0=k 垂直，于是有

()042.=+-=+μλμλk b a ，即 .2μλ=

5.设质量为100kg 的物体从点()8,1,31M 沿直线移动到点()2,4,1M ，计算重力所做的功.

【解】{}6,3,21--==M ，{}{}980,0,01008.9,0,0=?-=.所以，

{}{}58806,3,2.980,0,0.=---==s F W （焦耳）.

6.已知{}3,2,1-=a ，{}1,4,2-=b ，{}0,2,4=c ，b a ?是否与c 平行？

【解】{}0,5,1005104221--=+--=--=?j i ；

因为c b a 5

2

-=?，所以，?与平行.

7.求一个单位向量使其同时垂直向量{}0,1,1=a 和{}1,1,0=b .

【解】{}1,1,111-=+-==?.

()311122

2=+-+=.

所以同时垂直向量和向量的单位向量为 {}1,1,1

3

1-±

=?±

b .

习题7.4

1.求过点()1,0,3-且与平面012573=-+-z y x 平行的平面方程.

【解】已经平面的法向量为{}5,7,3-=n .据题意知，所求平面的法向量可也取作n .所以据平面的点法式方程，所求平面即为 ()()()()0150733=--+---z y x . 化简得 04573=-+-z y x .

2.求过点()6,9,20-M 且与连接坐标原点O 及0M 的线段0OM 垂直的平面方程. 【解】据题意知，所求平面的法向量可也取作{}6,9,20-==OM n .

所以据平面的点法式方程，所求平面即为 ()()()()0669922=----+-z y x . 化简得 0121692=--+z y x .

3.求过点()1,1,1-、()2,2,2--和()2,1,1-三点的平面方程. 【解】据平面的三点式方程，所求平面为

()()()

0121

11

112121

2111

=---------------z y x . 即 ()()()0161913=++-+--z y x . 化简得 023=--z y x .

4.求平面0522:=++-z y x π与坐标面xoy 、yoz 及zox 的夹角的余弦. 【解】平面π的法向量为{}1,2,2-=；

xoy 面的法向量为{}1,0,0= .

由公式，平面π与xoy

3

1=； 同理， 平面π与yoz

3

2=

； 平面π与zox

32-=.

5.求点()1,2,1平面01022:=-++z y x π的距离. 【解】12

2110

122212

2

2

=++-?+?+=

d .

6.求两平行平面0:11=+++D Cz By Ax π与0:22=+++D Cz By Ax π之间的距离.

【解】在1π上任取一点()1111,,z y x M ，则1M 到2π的距离d 就是所求1π与2π之间的距离.由点到平面的距离公式得 2

2

2

2

111C

B A D Cz By Ax d +++++=

. ①

又11π∈M ，故有 0:11111=+++D Cz By Ax π，即

1D Cz By Ax -=++. ②

将②代入①，立得 2

2

2

12C

B A D D d ++-=

.

7.一平面通过()1,1,11M 和()11,02-M 两点，且垂直于平面0=++z y x .求该平面方程.

【解】已知平面0=++z y x 的法向量为{}1,1,1=n ，{}2,0,121--=M M .据题意，可取所求平面的法向量为

{}1,1,221

11201

21--=--=--=?M M . 所以，所求平面方程为

()()()011.11.2=-----z y x ，即 02=--z y x . 8.求满足下列条件的平面方程： （1）过点()2,1,3--和z 轴；

（2）过点()2,0,4-及()7,1,5且平行于x 轴； （3）过点()3,5,2-，且平行于zox 面；

（4）过点()1,0,1-且同时平行于向量++=2，-=. 【解】

（1）根据题意，可设所求平面的一般式方程为 0:=+By Ax π. ① 又将点()2,1,3--的坐标代入①，得

03=+-B A ，即 A B 3=. 因此，所求平面π为

.03=+Ay Ax ②

注意到0≠A （否则π的法向量为零向量），所以②两边除以A ，得到 03:=+y x π.

（2）根据题意，可设所求平面的一般式方程为 0:=++D Cz By π. ①

又将点()2,0,4-及()7,1,5的坐标分别代入①，得

???=++=+-.07,

02D C B D C ，故

??

?-==.

9,

2C B C D . 因此，所求平面π为

.029=++-C Cz Cy ②

注意到0≠C （否则π的法向量为零向量），所以②两边除以C ，得到 029:=++-z y π.

（3）根据题意，可设所求平面的一般式方程为 0:=+D By π. ① 又将点()3,5,2-的坐标代入①，得

05=+-D B ，即 B D 5=. 因此，所求平面π为

.05=+B By ②

注意到0≠B （否则π的法向量为零向量），所以②两边除以B ，得到 05:=+y π.

（4）根据题意，可设所求平面的一般式方程为

0:=+++D Cz By Ax π. ① 其法向量为{}C B A ,,=. 将点()1,0,1-的坐标代入①，得

0=+-D C A . ② 又因为π同时平行于向量++=2，-=，故同时垂直于向量

++=2，-=，

于是有

.02=++C B A ③ .0=-B A ④ ②、③、④联立得到

A D A C A

B 4,3,-=-== 因此①成为

043:=--+A Az Ay Ax π . ⑤

注意到0≠A （否则π的法向量为零向量），所以⑤两边除以A ，得到 043:=--+z y x π.

9.平面在y 、z 轴上的截距分别为30，10，且与{}3,1,2=平行，求该平面方程. 【解】根据题意，可设所求平面的一般式方程为

0:=+++D Cz By Ax π. ① 其法向量为{}C B A ,,=.

因为π在y 、z 轴上的截距分别为30，10，故π过点()0,30,0及(),10,0,0.将此两点坐标代入①得

030=+D B . ② 及 010=+D C . ③ 又已知π与{}3,1,2=平行，故垂直于向量，于是有 032=++C B A . ④ ②、③、④联立得到

B A B

C B

D 5,3,30-==-=. 因此①成为

03035:=-++-B Bz By Bx π. ⑤

注意到0≠B （否则π的法向量为零向量），所以⑤两边除以B ，得到 03035:=-++-z y x π. 10.指出下列各平面的特殊位置，并画出各平面. （1）013=-x ； （2）012=-+z y ； （3）02=+z x ； （4）135=-+z y x .

【解】（1）因方程中z y ,前面的系数为零，故平面013=-x 平行于yoz 面； （2）因方程中x 前面的系数为零，故平面012=-+z y 平行于x 轴；

（3）因方程中没有常数项，且y 前面的系数为零，故平面02=+z x 通过y 轴；

012=-+z y 02=+z x ；

（4）135=-+z y x 可化为

113

151=-++z y x ，故135=-+z y x 是在x 轴、y 轴、z 轴上的截距分别为51、3

1

和1-的平面.

习题7.5

1.用点向式方程及参数式方程表示直线???=++=+-.

42,

1:z y x z y x L

【解】任取方程组的一组解??

?

??===.1,1,1z y x 则有，L 过点()1,,1,10M .

可取直线的方向为

{}3,1,2321211

21-=++-=-=?j i

n n . 所以，所求直线L 的点向式方程为

3

1

1121-=-=--z y x . 进一步，L 的参数式方程为

??

?

??+=+=-=.31,1,21t z t y t x

2.求过()1,2,31-P 、()2,0,12-P 两点的直线方程. 【解】可取直线的方向为 {}1,2,421-==P P . 故所求直线为

.1

1

2243-=+=--z y x 3.求过点()3,1,4-且平行于直线5

1

123-==-z y x 的直线方程. 【解】根据题意知，可取所求直线的方向为{}5,1,2=.故所求直线为

.5

3

1124-=+=-z y x 4.求过()1,32-且垂直于平面0132=+++z y x 的直线方程.

【解】可取直线的方向为 {}1,3,2=. 故所求直线为

.1

1

3322-=+=-z y x 5.求过点()2,1,00M 且与直线21111z

y x =--=-垂直相交的直线方程. 【解】 过点()2,1,0且与直线2

1111z

y x =--=-垂直的平面π为 ()()()02210.1:=-+---z y x π.

即 032:=-+-z y x π . ① 化直线

2

1111z

y x =--=-为参数式得 ??

?

??=-=+=.2,1,

1t z t y t x ②

将②代入①，有

()()()032211=-+--+t t t . ③ 解得 2

1=t . 故直线

21111z y x =--=-与平面π的交点为??

?

??1,21,231M . 因此所求直线的方向为

?

??

???--==1,21,2310M M ∥{}2,1,3-.

故所求直线为

.2

2

1130-=-=--z y x 6. 过点()0,2,10-M 向平面012=+-+z y x 作垂线，求垂足坐标. 【解】 过点()0,2,10-M 且与平面012=+-+z y x 垂直的直线L 为

.1

2211:

--=-=+z y x L ① 化直线L 为参数式得

??

?

??-=+=+-=.,22,1t z t y t x ②

将②代入平面012=+-+z y x 方程中，得

()()()012221=+--+++-t t t . ③

解得 3

2

-=t .

故垂足坐标为??

?

??-32,32,351M .

7.求直线???=-+-=-+-,0123,09335:1z y x z y x L 与???=-++=+-+.01383,

02322:2z y x z y x L 的夹角θ.

【解】1L 的方向为

{}1,4,3432335

1-=-+=--=k j i j i

s ； 2L 的方向为

{}10,5,10105108322

2-=+-==s ∥{}2,1,2-. 因为()()021142321=?-+-?+?=s s ，所以1L 与2L 垂直，从而2

π

θ=.

8.求直线2

1

121:

+=-=-z y x L 与平面02:=+-z y x π的夹角θ. 【解】1L 的方向为{}2,1,2-=s ，平面π的法向量为{}2,1,1-=n . ()()7221112.=?+-?-+?=n s .

()321222

2=+-+=.

()621122

2=+-+=.

故6

37sin ?=

=

θ，所以，6

37arcsin

?=θ.

9.求过点()2,0,10-M 且垂直于平面032:=+-z y x π的直线方程. 【解】根据题意知，所求直线L 的方向向量即为平面π之法向量，即 {}3,12-=.

所以，由点向式方程知，所求直线为

32

1021:+=--=-z y x L . 10.设平面π过直线130211:1--=-=-z y x L ，且平行于直线1

1122:2z

y x L =-=+，求平面π的方程.

【解】显然面π过点()3,,2,10M .

可取面π的法向量为

{}1,3,131201

21-=+-==?=s s . 所以，平面π的方程为

()()()03.12.31.1=-+---z y x . 化简得

023:=++-z y x π.

11.求过点()1,2,10P 和直线?

??=--=-.032,

6:z y x z x L 的平面π的方程.

【解】直线L 的参数方程为??

?

??-=+-==.6,9,:x z x y x x L

显然L 过点()6,9,01-P ，且L 的方向为{}1,11-=. 根据题意，可取平面π的法向量为

{}6,6,06601171

10--=--=--=?=P ∥{}1,1,0. 所以，平面π的方程为

()()()01.12.11.0=-+-+-z y x . 化简得

03:=-+z y π.

习题7.6

1.指出下列方程在平面解析几何与空间解析几何中分别表示何种几何图形.

（1）1=-y x ；（2）x y 22

=；（3）12

2

=-y x ；（4）12

22

=+y x . 【解】

（1）1=-y x 在平面解析几何中表示一条直线，在空间解析几何中表示一张平行于z 轴的平面；

（2）x y 22=在平面解析几何中表示一条抛物线，在空间解析几何中表示一张抛物柱面；

（3）122=-y x 在平面解析几何中表示一条双曲线，在空间解析几何中表示一张双曲柱面；

（4）12

22

=+y x 在平面解析几何中表示一条椭圆曲线，在空间解析几何中表示一张椭圆柱面.

2.写出下列曲线绕指定坐标轴旋转一周而得到的旋转曲面的方程. （1）zox 面上的抛物线x z 52=绕x 轴旋转一周； （2）xoy 面上的双曲线369422=-y x 绕y 轴旋转一周； （3）yoz 面上的直线0132=+-z y 绕z 轴旋转一周. 【解】

（1）zox 面上的抛物线x z 52=绕x 轴旋转一周得到的曲面是 (

)x z

y 52

2

2=+±，即

x z y 522=+.

（2）xoy 面上的双曲线369422=-y x 绕y 轴旋转一周得到的曲面是 ()36942

2

2

2=-+±y

z x ，即

36494222=+-z y x .

（3）yoz 面上的直线0132=+-z y 绕z 轴旋转一周而得到的曲面是 ()

013222=+-+±z y x ，即

()

()2

22134-=+z y x .

3.说明下列旋转曲面是怎样形成的.

（1）1994222=++z y x ；（2）14

222

=+-z y x ；（3）1222=--z y x ； 【解】

（1）19942

2

2

=++z y x 由曲线??

???==+,

0,19

422z y x 绕x 轴旋转一周而形成；或由曲线??

???==+

,0,194

2

2y z x 绕x 轴旋转一周而形成. （2）1422

2=+-z y x 由曲线??

???==-,

0,142

2z y x 绕y 轴旋转一周而形成；或由曲线??

??

?==-

,0,142

2x y z 绕y 轴旋转一周而形成. （3）12

2

2

=--z y x 由曲线???==-,

0,

122z y x 绕x 轴旋转一周而形成；或由曲线

?

?

?==-,0,

122y z x 绕x 轴旋转一周而形成. 4.指出下列各方程所表示的曲面.

（1）14416916222=++z y x ；（2）144944222=+-z y x ；（3）z y x 729422=-； （4）16922=+z y ；（5）22z y x --=；（6）224y z x =+； （7）36249222=++z y x ；（8）444222=-+x y z . 【解】

（1）原方程可化为

()

116

92

22

=++y z x

. 所以，原方程表示的是旋转椭球面.

（2）原方程可化为

116

38382

22

=+-z y x .

所以，原方程表示的是双叶双曲面.

（3）原方程可化为

8

182

2y x z -= 所以，原方程表示的是双曲抛物面，即马鞍面. （4）原方程可化为

1169

162

2=+z y . 所以，原方程表示的是椭圆柱面. （5）原方程可化为

()

22z y x +-=. 所以，原方程表示的是旋转抛物面. （6）原方程可化为

4

12

2

z y x -=.

所以，原方程表示的是双曲抛物面，即马鞍面. （7）原方程可化为

118

942

22=++z y x . 所以，原方程表示的是椭球面.

（8）原方程可化为

11

412

22=-+x z y . 所以，原方程表示的是单叶双曲面.

习题7.7

1.求球心在()3,2,1，半径为3的球面与平面5=z 的交线方程（写出一般式方程和参数式方程），并求出该曲线绕z 轴旋转一周而成的旋转曲面的方程.

【解】

（一）球心在()23,1，半径为3的球面方程为 ()()()93212

2

2

=-+-+-z y x .

故球面与平面5=z 的交线的一般式方程为

()()()???==-+-+-Γ.

5,

9321:222z z y x

即

()()?

??==-+-Γ.5,

521:22z y x

化为参数式方程为

[]π2,0.5,s i n

52,c o s 51:∈???

?

???=+=+=Γt z t y t x . （二）利用公式

()()()()()[][]()πθβαθθ2,0,,.,sin ,cos 2

222∈∈???

????=+=+=t t z z t y t x y t y t x x .

Γ绕z 轴旋转一周而成的旋转曲面的方程为

[][]()πθπθθ2,0,2,0.5,

s i n s i n 54c o s 5210,cos sin 54cos 5210∈∈???

?

???=++=++=t z t t y t t x .

2.分别求出母线平行于x 轴、y 轴且通过曲线()()

?????=+-=++Γ2,

01,

162:2

22

222z y x z y x 的柱面方程.

【解】 （一）（1）、（2）联立消去x ，得 16322=-z y .

所以，母线平行于x 轴且通过曲线Γ的柱面为16322=-z y . （二）（1）、（2）联立消去y ，得 162322=+z x .

所以，母线平行于x 轴且通过曲线Γ的柱面为162322=+z x . 3.指出下列方程所表示的曲线.

高等数学求极限的常用方法附例题和详解

高等数学求极限的14种方法 一、极限的定义 1.极限的保号性很重要：设 A x f x x =→)(lim 0 ， （i ）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ； （ii ）若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时，0A ,0)(≥≥则x f 。 2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限和 0x x →的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i ）数列{}的充要条件收敛于a n x 是它的所有子数列均收敛于a 。常用的是其推 论，即“一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a ” （ii ） A x x f x A x f x =+∞ →= -∞ →? =∞ →lim lim lim )()( (iii)A x x x x A x f x x =→=→?=→+ - lim lim lim 0 )( (iv)单调有界准则 （v ）两边夹挤准则（夹逼定理/夹逼原理） （vi ）柯西收敛准则（不需要掌握）。极限)(lim 0 x f x x →存在的充分必要条件是： εδεδ<-∈>?>?|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o 时，恒有、使得当 二．解决极限的方法如下： 1.等价无穷小代换。只能在乘除．． 时候使用。例题略。 2.洛必达（L ’hospital ）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法） 它的使用有严格的使用前提。首先必须是X 趋近，而不是N 趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，数列极限的n 当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f

高等数学下册典型例题精选集合.doc

最新高等数学下册典型例题精选集合 第八章 多元函数及其微分法 最大者泄义域,并在平面上画出泄义域的图形。 A - 77 Z[ = J4x_），的定义域是y 2 < 4x z 2二丿 的定义域是 从而z = :）-的定义域是Z]=』4x-护 与z? = / 1 定义域 的公共部分，即 V4x >y>0 x 2 > y>0 例 2 设 z 二 x+y + /(x 一 y),当 y = 0吋 z = ,求 z. 解：代入y = 0时Z = F,得〒=兀+ /（兀），即/（兀）=亍一匕 所以 z = (x- y)2 +2y. 2 2 例3求lim —— >4o J ，+)" +1 _ [ lim(Jx 2 + y 2 +1 +1) = 2 XT O V 尸0 例1求函数z 解：此函数可以看成两个函数Z 严』4x-y2与Z2 =的乘积。 兀-">0,即兀2 >y >0o y>0 lim (* + )(J 兀2 + y2 + ] 4- 1) 解: XT O 原式=厂0 (J 对 + )厂 +1 -1)( J 兀~ + + ] + 1)

法2化为一元函数的极限计算。令衣+八］=(,则当 x —0, y —?0 吋，t ―> 1 o 『2 _1 原式=lim --------- = lim(r +1) = 2。 t —I / — ] i ―I 例 4 求 lim r 兀+厂 ，T() 丿 解:法1用夹逼准则。因为2 | xy \< x 2 2 + y 2,所以 2 9 0<

而lim凶=0,从而lim| |=0 XT O 2 XT O厂 + \厂 〉?T O 〉?T O兀十〉 于是lim「1=0 牙-叮兀.+ y 尸0 丿 法2利用无穷小与有界函数的乘积 是无穷小的性质。 因为2|xy|< x2 + y2所以—^― Q +y =lim( AT O 〉?T O 尢y ?x) = 0 例5研究lim^- :护+y 解：取路径y二二一x + kxSke R± ,则lim 小 = [由k是任意非零 F *+y k yTO 丿 的常数，表明原极限不存在。a, 又limx = 0 XT O 〉T() 所以

高等数学 课后习题答案第九章

习题九 1. 求函数u =xy 2+z 3-xyz 在点（1，1,2）处沿方向角为 πππ ,,343αβγ=== 的方向导数。 解： (1,1,2)(1,1,2) (1,1,2)cos cos cos u u u u y l x z αβγ ????=++???? 22(1,1,2)(1,1,2)(1,1,2)πππ cos cos cos 5.(2)()(3)343xy xz y yz z xy =++=--- 2. 求函数u =xyz 在点（5,1,2）处沿从点A （5,1,2）到B （9，4，14）的方向导数。 解：{4,3,12},13.AB AB == u u u r u u u r AB u u u r 的方向余弦为 4312 cos ,cos ,cos 131313αβγ=== (5,1,2)(5,1,2)(5,1,2)(5,1,2)(5,1,2)(5,1,2)2105u yz x u xz y u xy z ?==??==??==? 故4312982105. 13131313u l ?=?+?+?=? 3. 求函数22221x y z a b ??=-+ ??? 在点处沿曲线22 2 21x y a b +=在这点的内法线方向的方向导 数。 解：设x 轴正向到椭圆内法线方向l 的转角为φ，它是第三象限的角，因为 2222220,x y b x y y a b a y ''+==- 所以在点 处切线斜率为 2.b y a a ' ==- 法线斜率为 cos a b ?= . 于是 tan sin ??==

∵ 22 22 ,, z z x y x a y b ?? =-=- ?? ∴ 22 22 z l a b ? ? =--= ?? 4.研究下列函数的极值： (1)z=x3+y3－3(x2+y2); (2)z=e2x(x+y2+2y); (3)z=(6x－x2)(4y－y2); (4)z=(x2+y2) 22 () e x y -+ ; (5)z=xy(a－x－y),a≠0. 解：（1）解方程组 2 2 360 360 x y z x x z y y ?=-=? ? =-=?? 得驻点为（0,0）,(0,2),(2,0),(2,2). z xx=6x－6, z xy=0, z yy=6y－6 在点（0，0）处，A=－6，B=0，C=-6，B2－AC=－36<0，且A<0,所以函数有极大值z(0,0)=0. 在点（0，2）处，A=－6，B=0，C=6，B2－AC=36>0，所以(0,2)点不是极值点. 在点（2，0）处，A=6，B=0，C=－6，B2－AC=36>0，所以(2,0)点不是极值点. 在点（2，2）处，A=6，B=0，C=6，B2－AC=－36<0，且A>0,所以函数有极小值z(2,2)=-8. (2)解方程组 22 2 e(2241)0 2e(1)0 x x x y z x y y z y ?=+++=? ? =+= ?? 得驻点为 1 ,1 2 ?? - ? ??. 22 2 2 4e(21) 4e(1) 2e x xx x xy x yy z x y y z y z =+++ =+ = 在点 1 ,1 2 ?? - ? ??处,A=2e,B=0,C=2e,B2-AC=-4e2<0,又A>0,所以函数有极小值 e 1 ,1 2 2 z??=- - ? ??. (3) 解方程组 2 2 (62)(4)0 (6)(42)0 x y z x y y z x x y ?=--=? ? =--=?? 得驻点为（3,2）,(0,0),(0,4),(6,0),(6,4). Z xx=－2(4y-y2), Z xy=4(3－x)(2－y) Z yy=－2(6x－x2) 在点（3，2）处，A=－8，B=0，C=－18，B2－AC=－8×18<0,且A<0，所以函数有极大值z(3,2)=36. 在点（0，0）处，A=0，B=24，C=0，B2－AC>0，所以(0,0)点不是极值点. 在点（0，4）处，A=0，B=-24，C=0，B2－AC>0，所以(0,4)不是极值点. 在点（6，0）处，A=0，B=-24，C=0，B2－AC>0，所以(6,0)不是极值点. 在点（6，4）处，A=0，B=24，C=0，B2－AC>0，所以(6,4)不是极值点. (4)解方程组 22 22 ()22 ()22 2e(1)0 2e(1)0 x y x y x x y y x y -+ -+ ?--=? ? --=?? 得驻点P0(0,0),及P(x0,y0),其中x02+y02=1， 在点P0处有z=0，而当（x,y）≠(0,0)时，恒有z>0，故函数z在点P0处取得极小值z=0. 再讨论函数z=u e-u

郑州大学高等数学下课后习题答案解析

习题7.7 3.指出下列方程所表示的曲线. （1）???==++;3, 25222x z y x （2）???==++;1,3694222y z y x （3）???-==+-;3, 254222x z y x （4）???==+-+.4,08422y x z y 【解】 （1）表示平面3=x 上的圆周曲线1622=+z y ； （2）表示平面1=y 上的椭圆19 32322 2=+z x ； （3）表示平面3-=x 上的双曲线14 162 2=-y z ； （4）表示平面4=y 上的抛物线642-=x z . 4.求() () ?????=++=++Γ2, 21, :2 22 2 222Rz z y x R z y x 在三个坐标面上的投影曲线. 【解】 （一）（1）、（2）联立消去z 得 2224 3R y x = + 所以，Γ在xoy 面上的投影曲线为 ?????==+.0, 4 322 2z R y x （二）（1）、（2）联立消去y 得 R z 2 1 = 所以，Γ在zox 面上的投影曲线为 .23.0,21R x y R z ≤ ?? ? ??==

（三）（1）、（2）联立消去x 得 R z 21 = 所以，Γ在yoz 面上的投影曲线为 .23.0, 21R y x R z ≤ ????? == 6.求由球面224y x z --= ①和锥面() 223y x z += ②所围成的立体在xoy 面上的投影区域. 【解】联立①、②消去z 得 122=+y x 故Γ在xoy 面上的投影曲线为 ? ??==+.0, 122z y x 所以，球面和锥面所围成的立体在xoy 面上的投影区域为(){}1|,22≤+=y x y x D . 习题7.8 2.设空间曲线C 的向量函数为(){} t t t t t r 62,34,122--+=，R t ∈.求曲线C 在与 20=t 相应的点处的单位切向量. 【解】因(){}64,4,2-=t t t r ，故C 相应20=t 的点处的切向量为 (){}2,4,42='r . C 相应20=t 的点处的单位切向量为 (){}.31,32,322,4,4612? ?????±=± =' 3.求曲线32,,:t z t y t x ===Γ在点)1,1,1(0M 处的切线方程和法平面方程. 【解】0M 对应参数1=t .Γ在0M 点处的切线方向为

高等数学课后习题答案第六章 (1)

习题六 1. 指出下列各微分方程的阶数： (1)一阶 (2)二阶 (3)三阶 (4)一阶 2. 指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解： 2(1)2,5xy y y x '==; 解：由25y x =得10y x '=代入方程得 故是方程的解. (2)0,3sin 4cos y y y x x ''+==-; 解：3cos 4sin ;3sin 4cos y x x y x x '''=+=-+ 代入方程得 3sin 4cos 3sin 4cos 0x x x x -++-=. 故是方程的解. 2(3)20,e x y y y y x '''-+== ; 解：2222e e (2)e ,(24)e x x x x y x x x x y x x '''=+=+=++ 代入方程得 2e 0x ≠. 故不是方程的解. 解：12122211221122e e ,e e x x x x y C C y C C λλλλλλλλ'''=+=+ 代入方程得 故是方程的解. 3. 在下列各题中，验证所给二元方程为所给微分方程的解： 证：方程22 x xy y C -+=两端对x 求导： 得 22x y y x y -'= - 代入微分方程，等式恒成立.故是微分方程的解. 证：方程ln()y xy =两端对x 求导： 11y y x y ''= + (*) 得 (1)y y x y '=-. (*)式两端对x 再求导得 将,y y '''代入到微分方程，等式恒成立，故是微分方程的解. 4. 从下列各题中的曲线族里，找出满足所给的初始条件的曲线： 解：当0x =时，y = 5.故C =-25 故所求曲线为：22 25y x -= 解： 2212(22)e x y C C C x '=++ 当x =0时，y =0故有1 0C =. 又当x =0时，1y '=.故有21C =. 故所求曲线为：2e x y x =. 5. 求下列各微分方程的通解： (1)ln 0xy y y '-=;

高等数学第六版(同济大学)上册课后习题答案解析

高等数学第六版上册课后习题答案及解析 第一章 习题1-1 1. 设A =(-∞, -5)?(5, +∞), B =[-10, 3), 写出A ?B , A ?B , A \B 及A \(A \B )的表达式. 解 A ?B =(-∞, 3)?(5, +∞), A ? B =[-10, -5), A \ B =(-∞, -10)?(5, +∞), A \(A \B )=[-10, -5). 2. 设A 、B 是任意两个集合, 证明对偶律: (A ?B )C =A C ?B C . 证明 因为 x ∈(A ?B )C ?x ?A ?B ? x ?A 或x ?B ? x ∈A C 或x ∈B C ? x ∈A C ?B C , 所以 (A ?B )C =A C ?B C . 3. 设映射f : X →Y , A ?X , B ?X . 证明 (1)f (A ?B )=f (A )?f (B ); (2)f (A ?B )?f (A )?f (B ). 证明 因为 y ∈f (A ?B )??x ∈A ?B , 使f (x )=y ?(因为x ∈A 或x ∈B ) y ∈f (A )或y ∈f (B ) ? y ∈f (A )?f (B ), 所以 f (A ?B )=f (A )?f (B ). (2)因为 y ∈f (A ?B )??x ∈A ?B , 使f (x )=y ?(因为x ∈A 且x ∈B ) y ∈f (A )且y ∈f (B )? y ∈ f (A )?f (B ), 所以 f (A ?B )?f (A )?f (B ). 4. 设映射f : X →Y , 若存在一个映射g : Y →X , 使X I f g =ο, Y I g f =ο, 其中I X 、 I Y 分别是X 、Y 上的恒等映射, 即对于每一个x ∈X , 有I X x =x ; 对于每一个y ∈Y , 有I Y y =y . 证明: f 是双射, 且g 是f 的逆映射: g =f -1. 证明 因为对于任意的y ∈Y , 有x =g (y )∈X , 且f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 即Y 中

高数典型例题解析

第一章函数及其图形 例1：（）. A. {x | x>3} B. {x | x<-2} C. {x |-2< x ≤1} D. {x | x≤1} 注意，单选题的解答，有其技巧和方法，可参考本课件“应试指南”中的文章《高等数学（一）单项选择题的解题策略与技巧》，这里为说明解题相关的知识点，都采用直接法。 例2：函数的定义域为（）. 解：由于对数函数lnx的定义域为x>0，同时由分母不能为零知lnx≠0，即x≠1。由根式内要非负可知即要有x>0、x≠1与同时成立，从而其定义域为，即应选C。 例3：下列各组函数中，表示相同函数的是（） 解：A中的两个函数是不同的，因为两函数的对应关系不同，当|x|>1时，两函数取得不同的值。 B中的函数是相同的。因为对一切实数x都成立，故应选B。 C中的两个函数是不同的。因为的定义域为x≠-1，而y=x的定义域为（-∞，+∞）。 D中的两个函数也是不同的，因为它们的定义域依次为（-∞，0）∪（0，+∞）和（0，+∞）。例4：设

解：在令t=cosx-1，得 又因为-1≤cosx≤1，所以有-2≤cosx-1≤0，即-2≤t≤0，从而有 。 5： 例 f(2)没有定义。 注意，求分段函数的函数值，要把自变量代到相应区间的表达式中。 例6：函数是（）。 A．偶函数 B．有界函数 C．单调函数 D ．周期函数 解：由于，可知函数为一个奇函数而不是偶函数，即（A）不正确。 由函数在x=0，1，2点处的值分别为0，1，4/5，可知函数也不是单调函数；该函数显然也不是一个周期函数，因此，只能考虑该函数为有界函数。 事实上，对任意的x，由，可得，从而有。可见，对于任意的x，有 。 因此，所给函数是有界的，即应选择B。 例7：若函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y),则f(x)是（）。 A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数Ｄ．奇偶性不确定

高数课后习题及答案 第二章 2.3

2．2）1 ()3,0 x f x x ==； 解： 11 lim 11 lim lim ()lim 3330 lim ()lim 333 x x x x x x x x x x f x f x - →--+ →++-∞ →→+∞ →→========+∞ 因为0 lim ()lim ()x x f x f x - + →→≠，所以3 lim ()x f x →-不存在。 3）2 11(),02x f x x - ?? == ? ?? ； 解： 2 10000 11lim ()lim ()lim ()lim 22x x x x x f x f x f x -+- -∞ →→→→?? ??=====+∞ ? ??? ?? 所以3 lim ()x f x →-不存在。 4）3,3 9)(2 -=+-= x x x x f ； 解：63 ) 3)(3(lim )(lim )(lim 3 3 3 -=+-+==+ + - -→-→-→x x x x f x f x x x 故极限6)(lim 3 -=-→x f x 2 2 2 2 2 5).lim ()224,lim ()3215, lim ()lim (),lim ()x x x x x f x f x f x f x f x -+-+→→→→→=?==?-=≠解：因为所以不存在。 ()0 6.lim ()lim 21,lim ()lim cos 12,lim ()lim (),lim ()x x x x x x x x f x f x x f x f x f x --++-+→→→→→→→===+=≠）解：因为所以不存在。 7）1()arctan ,0f x x x ==；

高等数学课后习题及解答

高等数学课后习题及解答 1. 设u=a-b+2c，v=-a+3b-c.试用a，b，c 表示2u-3v. 解2u-3v=2（a-b+2c）-3（-a+3b-c） =5a-11b+7c. 2. 如果平面上一个四边形的对角线互相平分，试用向量证明它是平 行四边形. 证如图8-1 ，设四边形ABCD中AC 与BD 交于M ，已知AM = MC ，DM 故 MB . AB AM MB MC DM DC . 即AB // DC 且|AB |=| DC | ，因此四边形ABCD是平行四边形. 3. 把△ABC的BC边五等分，设分点依次为D1，D2，D3，D4，再把各 分点与点 A 连接.试以AB=c, BC=a 表向量 证如图8-2 ，根据题意知 1 D 1 A, 1 D 2 A, D 3 A, D A. 4 1 D3 D4 BD1 1 a, 5 a, D1D2 a, 5 5 1 D 2 D 3 a, 5 故D1 A=- （AB BD1）=- a- c 5

D 2 A =- （ AB D A =- （ AB BD 2 BD ）=- ）=- 2 a- c 5 3 a- c 3 =- （ AB 3 BD 4 ）=- 5 4a- c. 5 4. 已知两点 M 1（0，1，2）和 M 2（1，-1，0） .试用坐标表示式表示 向量 M 1M 2 及-2 M 1M 2 . 解 M 1M 2 =（1-0， -1-1， 0-2）=（ 1， -2， -2） . -2 M 1M 2 =-2（ 1，-2，-2） =（-2， 4，4）. 5. 求平行于向量 a =（6， 7， -6）的单位向量 . a 解 向量 a 的单位向量 为 ，故平行向量 a 的单位向量为 a a 1 = （ 6，7， -6）= 6 , 7 , 6 ， a 11 11 11 11 其 中 a 6 2 72 ( 6)2 11. 6. 在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？ A （1，-2，3）， B （ 2， 3，-4）， C （2，-3，-4）， D （-2， -3， 1）. 解 A 点在第四卦限， B 点在第五卦限， C 点在第八卦限， D 点在第三卦限 . 7. 在坐标面上和在坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指出下列各点的位置： A （ 3， 4， 0）， B （ 0， 4，3）， C （ 3，0，0）， D （ 0， D A 4

高等数学 课后习题答案第七章

习题七 1. 在空间直角坐标系中，定出下列各点的位置： A (1,2,3); B (-2,3,4); C (2,-3,-4); D (3,4,0); E (0,4,3); F (3,0,0). 解：点A 在第Ⅰ卦限；点B 在第Ⅱ卦限；点C 在第Ⅷ卦限； 点D 在xOy 面上；点E 在yOz 面上；点F 在x 轴上. 2. xOy 坐标面上的点的坐标有什么特点？yOz 面上的呢？zOx 面上的呢？ 答: 在xOy 面上的点，z =0; 在yOz 面上的点，x =0; 在zOx 面上的点，y =0. 3. x 轴上的点的坐标有什么特点？y 轴上的点呢？z 轴上的点呢？ 答：x 轴上的点，y =z =0; y 轴上的点，x =z =0; z 轴上的点，x =y =0. 4. 求下列各对点之间的距离： （1） （0，0，0），（2，3，4）； （2） （0，0，0）， （2，-3，-4）； （3） （-2，3，-4），（1，0，3）； （4） （4，-2，3）， （-2，1，3）. 解：（1 ）s = (2) s == (3) s == (4) s ==5. 求点（4，-3，5）到坐标原点和各坐标轴间的距离. 解：点(4，-3，5)到x 轴，y 轴，z 轴的垂足分别为（4，0，0），（0，-3，0），（0，0，5）. 故 02 s = x s == y s == 5z s ==. 6. 在z 轴上，求与两点A （-4，1，7）和B （3，5，-2）等距离的点. 解：设此点为M （0，0，z ），则 222222(4)1(7)35(2)z z -++-=++-- 解得 149z = 即所求点为M （0，0，14 9）. 7. 试证：以三点A （4，1，9），B （10，-1，6），C （2，4，3）为顶点的三角形是等腰直角三角形. 证明：因为|AB |=|AC |=7.且有 |AC |2+|AB |2=49+49=98=|BC |2. 故△ABC 为等腰直角三角形. 8. 验证：()()++=++a b c a b c . 证明：利用三角形法则得证.见图 7-1 图7-1 9. 设2, 3.u v =-+=-+-a b c a b c 试用a , b , c 表示23.u v -

高等数学试题库

高等数学试题库 第二章 导数和微分 一．判断题 2-1-1 设物体的运动方程为S=S(t),则该物体在时刻t 0的瞬时速度 v=lim lim ()()??????t t s t s t t s t t →→=+-0000与 ?t 有关. ( ) 2-1-2 连续函数在连续点都有切线. ( ) 2-1-3 函数y=|x|在x=0处的导数为0. ( ) 2-1-4 可导的偶函数的导数为非奇非偶函数. ( ) 2-1-5 函数f(x)在点x 0处的导数f '(x 0)=∞ ,说明函数f(x)的曲线在x 0点处的切 线与x 轴垂直. ( ) 2-1-6 周期函数的导数仍是周期函数. ( ) 2-1-7 函数f(x)在点x 0处可导,则该函数在x 0点的微分一定存在. ( ) 2-1-8 若对任意x ∈(a,b),都有f '(x)=0,则在(a,b)内f(x)恒为常数. ( ) 2-1-9 设f(x)=lnx.因为f(e)=1,所以f '(e)=0. ( ) 2-1-10(ln )ln (ln )'ln x x x x x x x x x 2224 3 21 '=-=- ( ) 2-1-11 已知y= 3x 3 +3x 2 +x+1,求x=2时的二阶导数: y '=9x 2 +6x+1 , y '|x=2=49 所以 y"=(y ')'=(49)'=0. ( ) 二．填空题 2-2-1 若函数y=lnx 的x 从1变到100,则自变量x 的增量 ?x=_______,函数增量 ?y=________. 2-2-2 设物体运动方程为s(t)=at 2 +bt+c,(a,b,c 为常数且a 不为0),当t=-b/2a 时, 物体的速度为____________,加速度为________________. 2-2-3 反函数的导数,等于原来函数___________. 2-2-4 若曲线方程为y=f(x),并且该曲线在p(x 0,y 0)有切线,则该曲线在 p(x 0,y 0) 点的切线方程为____________. 2-2-5 若 lim ()() x a f x f a x a →-- 存在,则lim ()x a f x →=______________. 2-2-6 若y=f(x)在点x 0处的导数f '(x)=0,则曲线y=f(x)在[x 0,f(x 0)]处有 __________的切线.若f '(x)= ∞ ,则曲线y=f(x)在[x 0,f(x 0)]处有 _____________的切线. 2-2-7 曲线y=f(x)由方程y=x+lny 所确定,则在任意点(x,y)的切线斜率为 ___________在点(e-1,e)处的切线方程为_____________. 2-2-8 函数

高等数学课后习题答案第六章

习题62 1 求图621 中各画斜线部分的面积 (1) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0 1] 所求的面积为 6 1 ]2132[)(102231 0=-=-=?x x dx x x A . (2) 解法一 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0 1] 所求的面积为 1 |)()(101 0=-=-=?x x e ex dx e e A 解法二 画斜线部分在y 轴上的投影区间为[1 e ] 所求的面积为 1)1(|ln ln 1 11=--=-==??e e dy y y ydy A e e e (3) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[3 1] 所求的面积为 3 32]2)3[(1 32= --=?-dx x x A (4) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[ 1 3] 所求的面积为 3 32 |)313()32(3132312=-+=-+=--?x x x dx x x A 2. 求由下列各曲线所围成的图形的面积 (1) 22 1 x y =与x 2y 28(两部分都要计算) 解 3 8 8282)218(220220*********--=--=--=????dx x dx x dx x dx x x A

34 238cos 16402+=-=?ππ tdt 3 4 6)22(122- =-=ππS A (2)x y 1 =与直线y x 及x 2 解 所求的面积为 ?-=-= 2 12ln 2 3)1(dx x x A (3) y e x y e x 与直线x 1 解 所求的面积为 ?-+=-=-102 1 )(e e dx e e A x x (4)y =ln x , y 轴与直线y =ln a , y =ln b (b >a >0). 解 所求的面积为 a b e dy e A b a y b a y -===?ln ln ln ln 3 求抛物线y x 24x 3及其在点(0 3)和(3 0)处的切线所围成的图形的面积 解 y 2 x 4 过点(0, 3)处的切线的斜率为4 切线方程为y 4(x 3) 过点(3, 0)处的切线的斜率为2 切线方程为y 2x 6

同济版高等数学课后习题解析

书后部分习题解答 P21页 3．（3）n n n b b b a a a ++++++++∞→ΛΛ2211lim （1,1<x ，)(211n n n x a x x += + 证：由题意，0>n x ，a x a x x a x x n n n n n =??≥+= +221)(211（数列有下界） 又02)(212 1≤-=-+=-+n n n n n n n x x a x x a x x x （因a x n ≥+1） （数列单调减少） 由单调有界定理，此数列收敛；记b x n n =∞ →lim ，对)(211n n n x a x x += +两边取极限，得)(21b a b b +=，解得a b =（负的舍去），故此数列的极限为a . P35页4.（8）极限=-++-+→211)1()1(lim x n x n x n x 211) 1()1()]1(1[lim -++--++→x n x n x n x 21 221111)1()1()1()1()1(1lim -++--+-+-+=+++→x n x n x x C x C n n n x 2 ) 1(21+= =+n n C n (若以后学了洛必达法则（00型未定型），则211) 1()1(lim -++-+→x n x n x n x 2 ) 1(2)1(lim )1(2)1())1(lim 111+=+=-+-+=-→→n n nx n x n x n n x n x ） 书后部分习题解答2 P36页 8.已知当0→x 时，1cos ~1)1(3 12 --+x ax ，求常数a .

大学《高等数学A》课后复习题及解析答案

大学数学A （1）课后复习题 第一章 一、选择题 1.下列各组函数中相等的是. …….. ……..…………………………………………………………………………………….（ ） A .2 ln )(,ln 2)(x x g x x f == B .0 )(,1)(x x g x f == C .1)(,11)(2-=-?+= x x g x x x f D .2)(|,|)(x x g x x f == 2.下列函数中为奇函数的是. ……. …….. …………………………………………………………………………………….（ ）. A .)1ln()(2++=x x x f B .| |)(x e x f = C .x x f cos )(= D .1 sin )1()(2--= x x x x f 3.极限??? ? ?+++∞→22221lim n n n n n 的值为………………………………………………………………………..…….（ ） A ．0 B ．1 C ．2 1 D ．∞ 4.极限x x x x sin lim +∞→的值为.. …….. ……..……………………………………………………………………………...…….（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．∞ 5.当0→x 时，下列各项中与 2 3 x 为等价无穷小的是…………………………………………………….（ ） A ．)1(3-x e x B ．x cos 1- C ．x x sin tan - D ．)1ln(x + 6.设12)(-=x x f ，则当0→x 时，有…………………………………………………………………………..…….（ ）. A ．)(x f 与x 是等价无穷小 B ．)(x f 与x 同阶但非等价无穷小 C ．)(x f 是比x 高阶的无穷小 D ．)(x f 是比x 低阶的无穷小 7.函数)(x f 在点x 0可导是)(x f 在点x 0连续的____________条件. ………...………………....…..（ ） A .充分不必要 B .必要不充分 C .充要 D .既不充分也不必要 8.设函数?? ? ??<≤--<≤≤≤-=01,110, 21,2)(2x x x x x x x f ，则下述结论正确的是……………………………………….（ ）

高等数学第七章习题详细解答

第七章习题答案 习题7.0 1．下列各种情形中，P 为E 的什么点？ （1）如果存在点P 的某一邻域()U P ，使得()?c U P E （c E 为E 的余集）； （2）如果对点P 的任意邻域()U P ，都有, ()(),C U P E U P E φφ≠≠ ； （3）如果对点P 的任意邻域()U P ，都有. 解 （1）P 为E 的外点；（2）P 为E 的边界点；（3）P 为E 的聚点。 2.判定下列平面点集的特征（说明是开集、闭集、区域、还是有界集、无界集等？）并分别求出它们的导集和边界. (1) (){} ,0≠x y y ; (2) (){} 22,620≤+≤x y x y ; (3) (){} 2,≤x y y x ; (4) ()(){ }()(){ } 2 2 22,11,24+-≥?+-≤x y x y x y x y . 解 (1) 是开集，是半开半闭区域，是无界集，导集为2R ,边界集为 (){},0=x y y ；(2)既不是开集也不是闭集，是半开半闭区域，是有界集，导集 为(){} 22,620≤+≤x y x y ，边界集为(){} 2222,=6=20++，x y x y x y ；(3) 是闭集，是半开半闭区域，是无界集，导集为集合本身,边界集为(){} 2,=x y y x ；是闭集，是闭区域，是有界集，导集为集合本身，边界集为 ()() (){ } 2 2 22,11,24+-=+-=x y x y x y 习题7.1 1. 设求 1. 解 令 ,=-= y u x y v x ，解得,11= =--u uv x y v v ，故 ()22 ,11????=- ? ?--???? u uv f u v v v ，即()()21+,1=-u v f u v v ，所以，()()21+y ,1=-x f x y y φ≠-}){()(P E P U 22,,y f x y x y x ? ?-=- ???(,).f x y

关于高等数学经典方法与典型例题归纳

2014年山东省普通高等教育专升本考试 2014年山东专升本暑期精讲班核心讲义 高职高专类 高等数学 经典方法及典型例题归纳 —经管类专业：会计学、工商管理、国际经济与贸易、电子商务 —理工类专业：电气工程及其自动化、电子信息工程、机械设计制造及其自 动化、交通运输、计算机科学与技术、土木工程 2013年5月17日星期五 曲天尧 编写 一、求极限的各种方法 1．约去零因子求极限 例1：求极限1 1 lim 41--→x x x 【说明】1→x 表明1与x 无限接近，但1≠x ，所以1-x 这一零因子可以约去。 【解】6)1)(1(lim 1 ) 1)(1)(1(lim 2121=++=-++-→→x x x x x x x x =4 2．分子分母同除求极限 例2：求极限1 3lim 32 3+-∞→x x x x 【说明】 ∞ ∞ 型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。 【解】3131lim 13lim 3 11323= +-=+-∞→∞→x x x x x x x 【注】(1) 一般分子分母同除x 的最高次方；

(2) ???? ???=<∞>=++++++----∞→n m b a n m n m b x b x b a x a x a n n m m m m n n n n x 0lim 01101 1ΛΛ 3．分子(母)有理化求极限 例3：求极限)13(lim 22 +- ++∞ →x x x 【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。 【解】 1 3) 13)(13(lim )13(lim 2 2 22222 2+++++++-+=+-++∞ →+∞ →x x x x x x x x x x 例4：求极限3 sin 1tan 1lim x x x x +-+→ 【解】x x x x x x x x x x sin 1tan 1sin tan lim sin 1tan 1lim 3030 +-+-=+-+→→ 【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子．．．．．．．．．．． 是解题的关键 4．应用两个重要极限求极限 两个重要极限是1sin lim 0=→x x x 和e x n x x x n n x x =+=+=+→∞→∞→1 0)1(lim )11(lim )11(lim ，第一个重要极限过 于简单且可通过等价无穷小来实现。主要考第二个重要极限。 例5：求极限x x x x ?? ? ??-++∞→11lim 【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出１，再凑X 1 + ，最后凑指数部分。 【解】22 21212112111lim 121lim 11lim e x x x x x x x x x x x =???? ????????? ??-+???? ??+=??? ??-+=??? ??-+--+∞→+∞→+∞→ 例6：(1)x x x ??? ??-+∞→211lim ；(2)已知82lim =?? ? ??-++∞ →x x a x a x ，求a 。 5．用等价无穷小量代换求极限 【说明】 (1)常见等价无穷小有：

同济版高等数学课后习题解析

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书后部分习题解答 P21页 3．（3）n n n b b b a a a ++++++++∞→ 2211lim （1,1<x ，)(211n n n x a x x += + 证：由题意，0>n x ，a x a x x a x x n n n n n =??≥+= +221)(211（数列有下界） 又02)(212 1≤-=-+=-+n n n n n n n x x a x x a x x x （因a x n ≥+1）（数列单调减少） 由单调有界定理，此数列收敛；记b x n n =∞ →lim ，对)(211n n n x a x x += +两边取极限，得)(21b a b b += ，解得a b =（负的舍去），故此数列的极限为a . P35页4.（8）极限=-++-+→211)1()1(lim x n x n x n x 211) 1()1()]1(1[lim -++--++→x n x n x n x 21 221111)1()1()1()1()1(1lim -++--+-+-+=+++→x n x n x x C x C n n n x 2 ) 1(2 1+= =+n n C n (若以后学了洛必达法则（00型未定型），则211) 1()1(lim -++-+→x n x n x n x 2 ) 1(2)1(lim )1(2)1())1(lim 111+=+=-+-+=-→→n n nx n x n x n n x n x ） 书后部分习题解答2 P36页

高数课后题答案及详解

2019年广西满分作文：毕业前的最后一堂课时光飞逝，白马过隙。2019高考如约而至，距离我的那年高考也已有二十岁的年份。烈日的阳光，斑驳的光影，仿佛又把我拉进了在宽窄巷子的学堂里最后冲刺的时光。 高中即将毕业，意味着每个人将为人生方向的开启选好时光的阀门，单纯的学历生涯即将告一段落。课堂上朗朗整齐的晨读和起立，行礼的流程将渐行远去。它是青春懵懂的里程，也是最为单纯的诗书礼仪，课桌黑板走廊都将记录这里每个人在经历人生的最后一课，无论是同学还是老师。 记得1999年炙热的炎夏，当年的二十八中还隐藏在老成都皇城宽窄巷子里面，距离高考还有一周，同学们已经不再像之前那样紧张忙碌的复习节奏，三三两两，甚至结伴到学校周围看看能不能捡到老皇城留下的一砖半瓦，为自己这里的高中学涯留点念想。 还记得是用过学校食堂的午餐，在最后一节考前动员课上完以后，大家就会各自回到家中，为最后到来的大考最最后的准备。课堂的气氛很是轻松，甚至我和我的同桌还在讨论中午学校食堂红椒肉丝的白糖是否搁多了，随着班主任走进教室，踏上讲台，一如既往地喊道：上课！接着就是值日生的“起立敬礼老师好”的三重奏，最后一节课的师生礼仪完毕后，班主任转身在黑板上用粉笔撰写了四个大字“勇往直前”，语重心长的寄语和感慨在此不表，大家彼此默契的拿出早已准备好的记事本开始彼此留言签名，数言珍语，寥寥几笔都赫然纸上。 人生最后一堂课，没有习题的讲解和紧张备考的威严氛围。三年同窗，彼此单纯的朝夕相处和课桌校园间的点滴生活早已让这个班级凝成了一片经脉。“聚是一团火，散是满天星，不求桃李满天下，只愿每人福满多。”班主任最后这句话至今印刻脑海。二十载已过，当时班主任的心境早已能够理解，也希望每年高考时，同学志愿看天下！

微积分课后题答案习题详解

第二章 习题2-1 1. 试利用本节定义5后面的注（3）证明：若lim n →∞ x n =a ,则对任何自然数k ，有lim n →∞ x n +k =a . 证：由lim n n x a →∞ =，知0ε?>，1N ?，当1n N >时，有 取1N N k =-，有0ε?>，N ?，设n N >时（此时1n k N +>）有 由数列极限的定义得 lim n k x x a +→∞ =. 2. 试利用不等式A B A B -≤-说明：若lim n →∞ x n =a ,则lim n →∞ ∣x n ∣=|a|.考察数列x n =(-1)n ，说明上 述结论反之不成立. 证： 而 n n x a x a -≤- 于是0ε?>，,使当时，有N n N ?> n n x a x a ε-≤-< 即 n x a ε-< 由数列极限的定义得 lim n n x a →∞ = 考察数列 (1)n n x =-，知lim n n x →∞不存在，而1n x =，lim 1n n x →∞ =， 所以前面所证结论反之不成立。 3. 利用夹逼定理证明： (1) lim n →∞2221 11(1)(2)n n n ??+++ ?+?? L =0； (2) lim n →∞2!n n =0. 证：（1）因为 222222111112(1)(2)n n n n n n n n n n ++≤+++≤≤=+L 而且 21lim 0n n →∞=，2lim 0n n →∞=， 所以由夹逼定理，得 222111lim 0(1)(2)n n n n →∞?? +++= ?+? ?L . （2）因为22222240!1231n n n n n < =<-g g g L g g ，而且4lim 0n n →∞=， 所以，由夹逼定理得