A .165 cm
B .175 cm
C .185 cm
D .190 cm
5.函数f (x )=
2
sin cos x x
x x
++在[-π,π]的图像大致为 A .
B .
C .
D .
6.某学校为了解1 000名新生的身体素质,将这些学生编号为1,2,…,1 000,从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验.若46号学生被抽到,则下面4名学生中被抽到的是 A .8号学生 B .200号学生
C .616号学生
D .815号学生
7.tan255°= A .-2
B .-
C .2
D .
8.已知非零向量a ,b 满足a =2b ,且(a -b )⊥b ,则a 与b 的夹角为 A .
π
6
B .
π3
C .
2π3
D .
5π6
9.如图是求
112122
+
+的程序框图,图中空白框中应填入
A .A =
1
2A
+ B .A =12A
+
C .A =
1
12A
+
D .A =112A
+
10.双曲线C :22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的一条渐近线的倾斜角为130°,则C 的离心率为
A .2sin40°
B .2cos40°
C .
1
sin50?
D .
1
cos50?
11.△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知a sin A -b sin B =4c sin C ,cos A =-1
4
,
则b c
= A .6
B .5
C .4
D .3
12.已知椭圆C 的焦点为12(1,0),(1,0)F F -,过F 2的直线与C 交于A ,B 两点.若
22||2||AF F B =,1||||AB BF =,则C 的方程为
A .2
212x y +=
B .22132x y +=
C .22143x y +=
D .22
154
x y +=
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.曲线2)3(e x y x x =+在点(0,0)处的切线方程为___________.
14.记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.若133
1
4
a S ==,,则S 4=___________. 15.函数3π
()sin(2)3cos 2
f x x x =+
-的最小值为___________. 16.已知∠ACB=90°,P 为平面ABC 外一点,PC =2,点P 到∠ACB 两边AC ,BC 的距离
P 到平面ABC 的距离为___________.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,
每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。
(一)必考题:60分。
17.(12分)
某商场为提高服务质量,随机调查了50名男顾客和50名女顾客,每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价,得到下面列联表:
(1)分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率;
(2)能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异?
附:
2
2
()
()()()()
n ad bc
K
a b c d a c b d
-
=
++++
.
18.(12分)
记S n为等差数列{a n}的前n项和,已知S9=-a5.
(1)若a3=4,求{a n}的通项公式;
(2)若a1>0,求使得S n≥a n的n的取值范围.
19.(12分)
如图,直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形,AA1=4,AB=2,∠BAD=60°,E,M,N分别是BC,BB1,A1D的中点.
(1)证明:MN
∥平面C 1DE ; (2)求点C 到平面C 1DE 的距离. 20.(12分)
已知函数f (x )=2sin x -x cos x -x ,f ′(x )为f (x )的导数. (1)证明:f ′(x )在区间(0,π)存在唯一零点; (2)若x ∈[0,π]时,f (x )≥ax ,求a 的取值范围. 21.(12分)
已知点A ,B 关于坐标原点O 对称,│AB │ =4,⊙M 过点A ,B 且与直线x +2=0相切. (1)若A 在直线x +y =0上,求⊙M 的半径;
(2)是否存在定点P ,使得当A 运动时,│MA │-│MP │为定值?并说明理由. (二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。
22.[选修4?4:坐标系与参数方程](10分)
在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为22
21141t x t t y t ?-=??+??=?+?
,(t 为参数),以坐标原点O
为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为
.
(1)求C 和l 的直角坐标方程; (2)求C 上的点到l 距离的最小值.
2cos sin 110ρθθ++=
23.[选修4?5:不等式选讲](10分)
已知a ,b ,c 为正数,且满足abc =1.证明: (1)
222111
a b c a b c
++≤++; (2)333()()()24a b b c c a +++≥++.
2019年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学·参考答案
一、选择题 1.C 2.C 3.B 4.B 5.D 6.C 7.D
8.B
9.A
10.D
11.A
12.B
二、填空题
13.y =3x 14.58
15.?4
16
三、解答题 17.解:
(1)由调查数据,男顾客中对该商场服务满意的比率为40
0.850
=,因此男顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.8. 女顾客中对该商场服务满意的比率为30
0.650
=,因此女顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.6.
(2)2
2
100(40203010) 4.76250507030
K ??-?=
≈???. 由于4.762 3.841>,故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异. 18.解:
(1)设{}n a 的公差为d . 由95S a =-得140a d +=. 由a 3=4得124a d +=. 于是18,2a d ==-.
因此{}n a 的通项公式为102n a n =-.
(2)由(1)得14a d =-,故(9)(5),2
n n n n d
a n d S -=-=. 由10a >知0d
<,故n n S a 等价于211100n n -+,解得1≤n ≤10.
所以n 的取值范围是{|110,}n n n ∈N . 19.解:
(1)连结1,B C ME .因为M ,E 分别为1,BB BC 的中点,所以1 ME B C ∥,且
112ME B C =
.又因为N 为1A D 的中点,所以11
2
ND A D =. 由题设知11=A B DC ∥,可得11=BC A D ∥,故=
ME ND ∥,因此四边形MNDE 为平行四边形,MN ED ∥.又MN ?平面1C DE ,所以MN ∥平面1C DE . (2)过C 作C 1E 的垂线,垂足为H .
由已知可得DE BC ⊥,1DE C C ⊥,所以DE ⊥平面1C CE ,故DE ⊥CH. 从而CH ⊥平面1C DE ,故CH 的长即为C 到平面1C DE 的距离,
由已知可得CE =1,C 1C =4,所以1C E =,故CH =
.
从而点C 到平面1C DE 的距离为
17
.
20.解:
(1)设()()g x f x '=,则()cos sin 1,()cos g x x x x g x x x '=+-=. 当π(0,)2
x ∈时,()0g x '>;当π,π2x ??
∈
???
时,()0g x '<,所以()g x 在π(0,)2单调递
增,在π,π2??
???
单调递减. 又π(0)0,0,(π)22g g g ??
=>=-
???
,故()g x 在(0,π)存在唯一零点. 所以()f x '在(0,π)存在唯一零点.
(2)由题设知(π)π,(π)0f a f =,可得a ≤0.
由(1)知,()f x '在(0,π)只有一个零点,设为0x ,且当()00,x x ∈时,()0f x '>;当()0,πx x ∈时,()0f x '<,所以()f x 在()00,x 单调递增,在()0,πx 单调递减. 又(0)0,(π)0f f ==,所以,当[0,π]x ∈时,()0f x . 又当0,[0,π]a x ∈时,ax ≤0,故()f x ax . 因此,a 的取值范围是(,0]-∞.
21.解:(1)因为
M 过点,A B ,
所以圆心M 在AB 的垂直平分线上.由已知A 在直线+=0x y 上,且,A B 关于坐标原点O 对称,所以M 在直线y x =上,故可设(, )M a a . 因为
M 与直线x +2=0相切,所以M 的半径为|2|r a =+.
由已知得||=2AO ,又MO AO ⊥,故可得2224(2)a a +=+,解得=0a 或=4a . 故
M 的半径=2r 或=6r .
(2)存在定点(1,0)P ,使得||||MA MP -为定值. 理由如下:
设(, )M x y ,由已知得
M 的半径为=|+2|,||=2r x AO .
由于MO AO ⊥,故可得2224(2)x y x ++=+,化简得M 的轨迹方程为24y x =. 因为曲线2:4C y x =是以点(1,0)P 为焦点,以直线1x =-为准线的抛物线,所以
||=+1MP x .
因为||||=||=+2(+1)=1MA MP r MP x x ---,所以存在满足条件的定点P .
22.解:(1)因为221111t t --<≤+,且()
2
2
2
22
222141211y t t x t t ??-??+=+= ? ?+????+,所以C 的直角坐标方程为2
2
1(1)4
y x x +=≠-. l
的直角坐标方程为2110x +=.
(2)由(1)可设C 的参数方程为cos ,
2sin x y αα
=??
=?(α为参数,ππα-<<).
C 上的点到l
π4cos 11
α?
?-+ ?=.
当2π3α=-
时,π4cos 113α?
?-+ ??
?取得最小值7,故C 上的点到l
.
23.解:(1)因为2222222,2,2a b ab b c bc c a ac +≥+≥+≥,又1abc =,故有
222111
ab bc ca a b c ab bc ca abc a b c
++++≥++=
=++.
所以
222111
a b c a b c
++≤++. (2)因为, , a b c 为正数且1abc =,故有
333()()()a b b c c a +++++≥=3(+)(+)(+)a b b c a c
3≥???
=24.
所以333()()()24a b b c c a +++++≥.