高考数学专题向量与三角函数创新题型的解题技巧

第五讲 向量与三角函数创新题型的解题技巧

【命题趋向】综观2007年全国各套高考数学试题，我们发现对三角函数的考查有以下一些知识类型与特点：

1.三角函数的性质、图像及其变换，主要是sin()y A x ω?=+的性质、图像及变换.考查三角函数的概念、奇偶性、周期性、单调性、有界性、图像的平移和对称等.以选择题或填空题或解答题形式出现，属中低档题，这些试题对三角函数单一的性质考查较少，一道题所涉及的三角函数性质在两个或两个以上，考查的知识点来源于教材.

2.三角变换.主要考查公式的灵活运用、变换能力，一般要运用和角、差角与二倍角公式，尤其是对公式的应用与三角函数性质的综合考查.以选择题或填空题或解答题形式出现，属中档题.

3.三角函数的应用.以平面向量、解析几何等为载体，或者用解三角形来考查学生对三角恒等变形及三角函数性质的应用的综合能力.特别要注意三角函数在实际问题中的应用和跨知识点的应用，注意三角函数在解答有关函数、向量、平面几何、立体几何、解析几何等问题时的工具性作用.这类题一般以解答题的形式出现，属中档题.

4.在一套高考试题中，三角函数一般分别有1个选择题、1个填空题和1个解答题，或选择题与填空题1个，解答题1个，分值在17分—22分之间．

5.在高考试题中，三角题多以低档或中档题目为主，一般不会出现较难题，更不会出现难题，因而三角题是高考中的得分点． 【考点透视】

1．理解任意角的概念、弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算．

2．掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义，了解余切、正割、余割的定义，掌握同解三角

函数的基本关系式，掌握正弦、余弦的诱导公式，理解周期函数与最小正周期的意义． 3．掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式． 4．能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明．

5．了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦函

数和函数y=Asin(ωx+ψ)的简图，理解A 、ω、ψ的物理意义．

6．会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsin x, arcos x,arctan x 表示．

7．掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形，能利用计算器解决解三角形

的计算问题．

8．掌握向量与三角函数综合题的解法． 常用解题思想方法

1．三角函数恒等变形的基本策略。 （1）常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos 2θ+sin 2θ=tanx ·cotx=tan45°等。 （2）项的分拆与角的配凑。如分拆项：sin 2x+2cos 2x=(sin 2x+cos 2x)+cos 2x=1+cos 2x ；配

凑角：α=（α+β）－β，β=2βα+－2βα-等。

（3）降次与升次。即倍角公式降次与半角公式升次。

（4）化弦（切）法。将三角函数利用同角三角函数基本关系化成弦（切）。

（5）引入辅助角。asin θ+bcos θ=2

2

b a +sin(θ+?)，这里辅助角?所在象限由a 、b 的符号确定，?角的值由tan ?=

a

b

确定。

（6）万能代换法。巧用万能公式可将三角函数化成tan

2

θ

的有理式。 2．证明三角等式的思路和方法。 （1）思路：利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。 （2）证明方法：综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。

3．证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单调性，利用

正、余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等。 4．解答三角高考题的策略。 （1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。 （2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。 （3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。 【例题解析】

考点1．三角函数的求值与化简 此类题目主要有以下几种题型：

⑴考查运用诱导公式和逆用两角和的正弦、余弦公式化简三角函数式能力，以及求三角函数的值的基本方法.

⑵考查运用诱导公式、倍角公式，两角和的正弦公式，以及利用三角函数的有界性来求的值的问题.

⑶考查已知三角恒等式的值求角的三角函数值的基本转化方法，考查三角恒等变形及求角的基本知识.

例1. （2007年重庆卷文）已知函数f (x )=

)

2

sin(42cos 2π

π+

?

?? ?

?

-x x .

（Ⅰ）求f (x )的定义域； （Ⅱ）若角a 在第一象限且3

cos ,5

a f a =

求（）. 命题目的：本小题主要考查三角函数的定义域和两角差的公式，同角三角函数的关系等基本知识，考查运算和推理能力，以及求角的基本知识..

解：（Ⅰ）由Z),(2,202sin ∈-≠≠-≠??? ?

?

+k k x k x x πππππ即得

故f (x )的定义域为.Z ,2|R ?

??

???∈-≠∈k k x x ππ

（Ⅱ）由已知条件得.54531cos 1sin 2

2

-??

?

??-=-=a a

从而)

2

sin()

42cos(21)(ππ

+-+=

a a a f ＝a

a a cos 4sin 2sin 4cos cos 21??? ??

++ππ ＝a a a a a a a cos cos sin 2cos 2cos sin 2cos 12+=++ ＝.5

14

)sin (cos 2=+a a

例2.（2006年安徽卷）310.4

3

a a a ππ<< =-已知，tan +cos

（Ⅰ）求tan a 的值；

（Ⅱ）求

2

25sin 8sin cos 11cos 82222)

a a a a a π

++-的值－4

.

命题目的：本小题主要考查同角三角函数的关系式、两角差的公式，倍角公式等基本知识，考查运算和推理能力.

解答过程：（Ⅰ）10tan cos 3

a a +=-，

23tan 10tan 30a a ∴++=，解得 1

tan 3

a =-或tan 3a =-.

3,1tan 04a a ππ<<∴-<

<.1tan .3

a ∴=- （II ）

1

tan 3

a =-，

225sin 8sin cos 11cos 8

2222

()

4

a a a a a a π

++-∴

- ＝

2

21cos 5(sin cos )4sin 68222sin cos a a a a a a

++++?--

＝4tan 35tan 1

4

a a +=--.

例3（2007年四川卷理） 已知0,1413)cos(,71cos 且=β-α=

α<β<α<2

π, (Ⅰ)求α2tan 的值.（Ⅱ）求β.

命题目的：本题考三角函数的基本公式以及三角函数式的恒等变形等基础知识和基本运算技

能.

解：（Ⅰ）由

1cos ,072π

αα=<<

，得sin α=

∴sin 7tan cos 1ααα

==

=

22tan tan 21tan 1ααα===--（Ⅱ）由02

π

αβ<<<

，得02

π

αβ<-<

又∵()

13

cos 14αβ-=

，∴()

sin αβ-==由()βααβ=--得：

()cos cos βααβ=--????()()cos cos sin sin ααβααβ=-+-1131

7147142

=

?+= 所以3

π

β=

例4.（2006年湖南卷）已知),,0(,1cos )

cos()

22sin(sin 3πθθθπθπ

θ∈=?+--求θ的值.

命题目的：本小题主要考查诱导公式、同角三角函数的关系式、两角差的公式，倍角公式等基本知识，考查运算和推理能力，以及求角的基本知识.. 解：由已知条件得

1cos cos 2cos sin 3=?--

θθ

θ

θ. 即

0sin 2sin 32=-θθ.解得0sin 2

3

sin ==

θθ或. 由0＜θ＜π知2

3sin =θ，从而3

23π

θπθ==或.

考点2．解三角形

此类题目以考查正弦定理，余弦定理，两角差的正弦公式，同角三角函数间的关系式和诱导公式等基本知识，以及考查基本的运算为主要特征.解此类题目要注意综合应用上述知识.

典型例题

例5．（2007年浙江卷理）已知ABC △1，且sin sin A B C +． （I ）求边AB 的长；（II ）若ABC △的面积为

1

sin 6

C ，求角C 的度数． 命题目的：本小题考查正弦定理、余弦定理和三角函数等基础知识，考查基本运算能力及分析解决问题的能力.

解：（I ）由题意及正弦定理，得1AB BC AC ++=，

BC AC +=，两式相减，得1AB =．

（II ）由ABC △的面积

11sin sin 26BC AC C C =，得1

3

BC AC =， 由余弦定理，得222

cos 2AC BC AB C AC BC

+-=

22()2122

AC BC AC BC AB AC BC +--==，所以60C =．

例6.（2006年天津卷））

如图，在ABC ?中，2AC =，1BC =，4

3cos =C ．

（1）求AB 的值；

（2）求()C A +2sin 的值.

命题目的：本小题考查同角三角函数关系、两角和公式、倍角公式、正弦定理、余弦定理等基础知识，考查基本运算能力及分析解决问题的能力. 解答过程：（Ⅰ） 由余弦定理，得

2222..cos AB AC BC AC BC C =+- 341221 2.4

=+-???=

那么，AB =（Ⅱ）由3cos 4

C =，且0,C π<<

得sin C =由正弦定理，得

,sin sin AB BC C A

=

解得sin sin BC C A AB

==

所以，cos A =.由倍角公式

sin 2sin 2cos A A A =?=

， 且29cos 212sin 16

A A =-=，故

(

)sin 2sin 2cos cos 2sin A C A C A C +=+. 例7．（2007年福建卷文17）．在ABC △中，1tan 4A =

，3

tan 5

B =． （Ⅰ）求角

C 的大小；（Ⅱ）若AB

，求BC 边的长．

命题目的：本题主要考查三角函数的诱导公式、正弦定理及两角和公式等基础知识，考查运

算能力.

解：（Ⅰ）π()C A B =-+，1345tan tan()113145

C A B +∴=-+=-

=--． 又0πC <<，3

π4

C ∴=．

（Ⅱ）由22sin 1tan cos 4sin cos 1A A A A A ?

==???+=?

，，

且π

02A ??

∈ ???，，

得sin A =

sin sin AB BC C A =，sin 2sin A BC AB C ∴==． 考点3．求三角函数的定义域、值域或最值

此类题目主要有以下几种题型：

⑴考查运用两角和的正弦公式化简三角函数式，以及利用三角函数的有界性来求值域的能力.

⑵考查利用三角函数的性质, 诱导公式、同角三角函数的关系式、两角差的公式，倍角公式等基本知识，考查运算和推理能力.

⑶考查利用三角函数的有界性来求最大值与最小值的能力. 典型例题

例8.（2006年辽宁卷）已知函数11()(sin cos )sin cos 2

2

f x x x x x =+--,则()f x 的值域是（ ）

A.[]1,1-

B.

??????

C.

?-??

?

D.

1,?-??

?

命题目的：本小题考查运用两角和的正弦公式化简三角函数式，以及利用三角函数的有界性

来求值域的能力

.

)),,444, 1.,,,24f x x x x f x x f x A C D x f x ππππ

π+-∴==

--=-=解法1:(当时(故选C.11解法2:当时()=知不可能.又由时(知选C.22

例9．（2007年陕西卷文17）

设函数b a x f 、=)(.其中向量2)2

π

(R,),1,sin 1(),cos ,(=∈+==f x x b x m a 且. （Ⅰ）求实数m 的值; （Ⅱ）求函数)(x f 的最小值.

命题目的：本小题考查运用两角和的正弦公式化简三角函数式，以及利用三角函数的有界性

来求最值的能力.

解：（Ⅰ）()(1sin )cos f x m x x ==++a b ，πππ1sin cos 2222f m ???

?=++=

? ?

????

，得1m =．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得π()sin cos 114f x x x x ??=++=

++ ???，∴当πsin 14x ?

?+=- ??

?时，

()f x

的最小值为1

例10.（2006年北京卷）

已知函数1)4()cos x f x x

π

-=

， （Ⅰ）求()f x 的定义域；

（Ⅱ）设α是第四象限的角，且4tan 3

α=-，求()f α的值.

命题目的：本题考查利用三角函数的性质, 诱导公式、同角三角函数的关系式、两角差的公式，倍角公式等基本知识，考查运算和推理能力. 解答过程：（Ⅰ） 由cos 0x ≠得()2

x k k Z ππ≠+∈.

故()f x 的定义域为,2

x x k k Z ππ??≠+∈???

?

，

（Ⅱ） 因为43tan ,cos ,5

5

αα=-=且第四象限的角，

所以43sin ,cos ,5

5

αα=-=

故(

)()2

1)

4cos 122)

22

cos 1sin 2cos 2cos 2cos 2sin cos cos 2cos sin 14.5

f π

αααααα

ααααααα

αα-=

=-+=

-=

=-=

例11设)0(cos sin )(>+=ωωωx b x a x f 的周期π=T ，最大值4)12

(=πf ，

（1）求ω、a 、b 的值；

（2）的值终边不共线，求、、的两根，为方程、、若)tan(0)(βαβαβα+=x f .

命题目的：方程组的思想是解题时常用的基本思想方法；在解题时不要忘记三角函数的周期性. 解答过程：(1) )x sin(b a )x (f 22?+ω+=， π=∴T ， 2=ω∴， 又 )x (f 的最大值 4)12(

f =π ， 2

2b a 4+=∴ ① ， 且 12

2cos b 122sin a 4π+π= ②， 由 ①、②解出 a=2 , b=3.

(2) )3

x 2sin(4x 2cos 32x 2sin 2)x (f π+=+=， 0)(f )(f =β=α∴，

)32sin(4)32sin(4π

+β=π+α∴，

3

2k 232π

+β+π=π+

α∴， 或 )32(k 232π+β-π+π=π+α，

即 β+π=αk (βα、 共线，故舍去) ， 或 6

k π+π=β+α，

3

3)6k tan()tan(=

π+π=β+α∴ )Z k (∈.

例12.（2006年重庆卷）

设函数2()sin cos f x x x x a ωωω++（其中0,a R ω>∈），且()f x 的图象在y 轴右侧的第一个最高点的横坐标为6

π.

（I ）求ω的值；

（II ）如果()f x 在区间5,3

6ππ??-????

a 的值.

命题目的：本题考查利用三角函数的性质逆用两角和的正弦公式等基本知识，考查运算和推

理能力.

解答过程：

（Ⅰ）1()2sin 22

f x x x a ωω+

sin(2)3

x a πω=+,

依题意得 26

3

2

πππω?+=， 解得 12

ω=.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()sin()3

f x x a π=+,

又当5,36x ππ??∈-????时，70,36x ππ??+∈????，故11sin()123x -≤+≤，

从而()f x 在5[,]36ππ-上取得最小值12a -.

因此，由题设知1

2

a -故a 例13.（2006年广东卷）已知函数R x x x x f ∈++=),2

sin(sin )(π

（Ⅰ）求)(x f 的最小正周期；

（Ⅱ）求)(x f 的最大值和最小值； （Ⅲ）若4

3)(=αf ，求α2sin 的值.

命题目的：本题考查利用三角函数的性质, 诱导公式、同角三角函数的关系式、两角和的公式，倍角公式等基本知识，考查运算和推理能力.

解答过程：)4

sin(2cos sin )2

sin(sin )(ππ+=+=++=x x x x x x f

（Ⅰ）)(x f 的最小正周期为ππ21

2==T ;

（Ⅱ）)(x f 的最大值为2和最小值2-；

（Ⅲ）因为4

3)(=αf ，即37sin cos 2sin cos .4

16

αααα+=?=-

即 16

72sin -=α.

考点4．三角函数的图象和性质

考查三角函数的图象和性质的题目，是高考的重点题型.此类题目要求考生在熟练掌握三角函数图象的基础上要对三角函数的性质灵活运用.会用数形结合的思想来解题. 典型例题

例14.（2006年辽宁卷）已知函数22()sin 2sin cos 3cos ,f x x x x x x R =++∈.求： （Ⅰ）求函数()f x 的最大值及取得最大值的自变量x 的集合； （Ⅱ）函数()f x 的单调增区间.

命题目的：本题考查三角公式、三角函数的性质及已知三角函数值求角等基础知识，考查综合运用三角函数有关知识的能力. 解答过程：（I ）解法一：

()1cos 23(1cos 2)sin 222

x f x x θ-+=

++

2sin 2cos 2x x =++

2)

4

x π=+

. ∴当

224

2

x k π

ππ+=+

，即()8

x k k Z π

π=+∈时，()f x 取得最大值2因此，()f x 取得最大值的自变量x 的集合是,8

x x k k Z ππ?

?=+∈??

?

?

.

解法二：222()(sin cos )sin 22cos f x x x x x =+++ 1sin 21cos 2x x =+++

2)4

x π=+.

∴当

224

2

x k π

ππ+=+

，即()8

x k k Z π

π=+∈时，()f x 取得最大值2因此，()f x 取得最大值的自变量x 的集合是,8

x x k k Z ππ?

?=+∈??

?

?

. （Ⅱ）解： ()

2)4

f x x π=+

由题意得222()2

4

2

k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，即3()8

8

k x k k Z ππππ-≤≤+∈.

因此， ()f x 的单调增区间是()3,8

8k k k Z ππππ??-+∈??

?

?

.

例15．（2007年湖南卷理16）．（本小题满分12分） 已知函数2π()cos 12f x x ??

=+

??

?

，1()1sin 22g x x =+． （I ）设0x x =是函数()y f x =图象的一条对称轴，求0()g x 的值． （II ）求函数()()()h x f x g x =+的单调递增区间．

命题目的：本小题主要考查三角函数的图象和单调性、奇偶性等基本知识，以及分析问题和

推理计算能力.

解：（I ）由题设知1π

()[1cos(2)]26

f x x =

++． 因为0x x =是函数()y f x =图象的一条对称轴，所以0π

26

x +

πk =， 即0 π

2π6x k =-

（k ∈Z ）． 所以0011π

()1sin 21sin(π)226

g x x k =+=+-．

当k 为偶数时，01π13()1sin 12644g x ??

=+-=-= ???， 当k 为奇数时，01π15()1sin 12644

g x =+=+=． （II ）1π1()()()1cos 21sin 2262h x f x g x x x ????=+=

++++ ????

???

1π311

3cos 2sin 2sin 2262222

x x x x ?????=

+++=++? ?????????? 1π3sin 2232

x ??=++ ???．

当πππ2π22π232k x k -

++≤≤，即5ππππ1212

k x k -+≤≤（k ∈Z ）时， 函数1π3

()sin 2232

h x x ??=

++ ???是增函数， 故函数()h x 的单调递增区间是5ππππ1212k k ?

?

-

+???

?

，（k ∈Z ） 例16.（2006

年福建卷）已知函数22()sin cos 2cos ,.f x x x x x x R =+∈

（I ）求函数()f x 的最小正周期和单调增区间；

（II ）函数()f x 的图象可以由函数sin 2()y x x R =∈的图象经过怎样的变换得到？

命题目的：本小题主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换、三角函数的图象和性质等基本知识，以及推理和运算能力.

解答过程：（I

）1cos 2()2(1cos 2)2

x f x x x -=++

13

2cos 2223

sin(2).

62

x x x π=

++

=++

()f x ∴的最小正周期2.2

T π

π=

= 由题意得222,,2

6

2

k x k k Z πππππ-≤+≤+∈

即 ,.36

k x k k Z ππππ-≤≤+∈

()f x ∴的单调增区间为,,.3

6k k k Z ππππ??-+∈???

?

（II ）方法一：

先把s i n 2y x =图象上所有点向左平移

12

π个单位长度，得到sin(2)6y x π=+的图象，再把所得图象上所有的点向上平移3

2个单位长度，就得到

3s i n (2)62

y x π

=+

+的图象. 方法二： 把sin 2y x =图象上所有的点按向量3(,)122

a π=-平移，就得到3

sin(2)6

2

y x π=++的图象.

例17.（2006

年西卷）已知函数2())2sin ()().6

12

f x x x x R ππ=-+-∈

（I ）求函数()f x 的最小正周期；

（II ）求使函数()f x 取得最大值的x 集合.

命题目的：本题考查三角公式、三角函数的周期性及已知三角函数值求角等基础知识，考查综合运用三角函数有关知识的能力. 解答过程：(Ⅰ) f(x)=3sin(2x －

π6)+1－cos2(x －π12

)

= 2[

32sin2(x －π12)－1

2 cos2(x －π12

)]+1 =2sin[2(x －π12)－π

6]+1

= 2sin(2x －π

3) +1 .

∴ T=2π

2

=π．

(Ⅱ)当f(x)取最大值时, sin(2x －π3)=1,有 2x －π3 =2k π+π

2 ，

即x=k π+

5π12 (k ∈Z) ∴所求x 的集合为{x ∈R|x= k π+ 5π

12

, k ∈Z}. 考点5．平面向量、三角函数的图象和性质

考查平面向量和三角函数的图象和性质相结合的题目，是高考的热点题型.此类题目要求考生在熟练掌握平面向量和三角函数图象的基础上要对平面向量和三角函数的性质灵活运用.会用数形结合的思想来解题. 典型例题

例18.（2006年安徽卷6）将函数sin (0)y x ωω=>的图象按向量

,06a π??=- ???

平移，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是（ ）

A ．sin()6

y x π=+ B ．sin()6

y x π=-

C ．sin(2)3

y x π=+ D ．sin(2)3

y x π=-

命题目的：本题考查了应用平面向量平移图象和应用数形 结合的思想解题的能力.

解答过程：将函数sin (0)y x ωω=>的图象按向量,06a π??=- ?

??

平移，

平移后的图象所对应的解析式为sin ()6

y x πω=+，由图象知，73()1262

πππω+=，所以2ω=，因

此选C.

例19.（2006年全国Ⅱ卷）已知向量(sin ,1),(1,cos ),.2

2

a b ππθθθ==-<<

（Ⅰ）若a b ⊥，求θ；

（Ⅱ）求a b +的最大值.

命题目的：本题主要考查应用平面向量、三角函数知识分析和计算能力. 解：（Ⅰ）,sin cos 0a b θθ⊥若则＋＝， 由此得 tan 1π

π

θθ=- (-

<<

),22

所以 ;4

πθ=-

（Ⅱ）

由

(sin ,1),(1,cos )(sin 1,1cos ),a b b b θθθθ== α+=++ α+得当sin()1,,, 1.4

4

a b a b ππθθ+=+=+时取得最大值即当时的最大值为

例20.（2006年四川卷）已知,,A B C 是三角形ABC ?三内角，向量()

()1,3,cos ,sin m n A A =-=，且1m n ?= （Ⅰ）求角A ； （Ⅱ）若

22

1sin 23cos sin B

B B

+=--，求tan B . 命题目的：本题考查了平面向量、三角函数概念、同角三角函数的关系、两角和与差的三角函数的公式以及倍角公式等知识.考查应用、分析和计算能力

.

解答过程：（Ⅰ）∵1m n ?=, ∴(()

cos ,sin 1A A -?= ,

cos 1A A -=.

12sin cos 12A A ???= ? ???

, 1sin 62

A π??-= ?

?

?

.

∵50,6

6

6

A A ππππ<<-<-<, ∴6

6

A ππ-= . ∴3

A π=.

（Ⅱ）由题知2212sin cos 3cos sin B B B B

+=--，整理得22sin sin cos 2cos 0B B B B --=

∴cos 0B ≠ ∴2tan tan 20B B --=.

∴tan 2B =或tan 1B =-.

而tan 1B =-使22cos sin 0B B -=，舍去. ∴tan 2B =.

∴()tan tan C A B π=-+????()tan A B =-+tan tan 1tan tan A B A

B

+=-

-=【专题训练与高考预测】

一.选择题

1．函数)(x f y =的图象如图所示，则)(x f 的解析式可能是 ( )

（A ）x x x f cos )(--= （B ）x x x f sin )(--=

（C ）x x x f sin )(= （D ）x x x f cos )(=

2．已知4sin 5

θ=，且sin cos 1θθ->，则sin 2θ= （ ）

(A) 2425- (B) 1225

- (C)

45- (D) 2425

3．如图，要测量河对岸A 、B 两点间的距离，今沿河岸选取相距40米的C 、D 两点，测得 ∠ACB=60°，∠BCD=45°，∠ADB=60°，∠ADC=30°，则AB 的距离是（ ）.

（A ）202

（B ）203

（C ）402

（D ）206

4．设)(t f y =是某港口水的深度y （米）关于时间t （时）的函数，其中240≤≤t .下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t 与水深y 的关系：

)(t f y =)sin(?ω++=t A k y 面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是

（ ）

（A ）]24,0[,6

sin 312∈+=t t y π

（B ）]24,0[),6

sin(312∈++=t t y ππ

（C ）]24,0[,12

sin 312∈+=t t y π

（D ）]24,0[),2

12

sin(312t t y ππ++=

5．已知2

2

ππθ-<<，且s i n c o s ,a θθ+=其中()0,1a ∈，则关于tan θ的值，在以下四个答案中，可能正确的是 （ ）

（A ）3- （B ）3 或13 （C ） 13- （D ）3-或13

-

二填空题.

6．如图，一个半径为10米的水轮按逆时针方向每分钟转4圈．记水轮上的点P 到水面的距离为d 米（P 在水面下则d 为负数），则d （米）与时间t （秒）之间满足关系式：

sin()(0, 0, )22

d A t k A ππ

=ω+?+>ω>-

<，且当P 点从水面上浮现时开始计算时间．有以下四个结论：

①A =10； ②215

π

ω=

； ③6π?=； ④k =5．

则其中所有正确结论的序号是

．

7．已知:sin 3α+cos 3α=1，则sin α+cos α; sin 4α+cos 4α;sin 6α+cos 6α的值是 ． 三.解答题

8． 求函数44sin cos cos y x x x x =+-的最小正周期和最小值；并写出该函数在[0,]π上的单

调递增区间．

9． 求函数x

x x x x x f 2sin 2cos sin cos sin )(2244-++=

的最小正周期、最大值和最小值．

10． 已知α为锐角,且,21tan =α求ααααα2cos 2sin sin cos 2sin -的值．

11． 已知0<α<

2π，tan 2α+cot 2α=25，求sin(3

π

α-)的值． 12．

2

1

tan(

)2,4

2sin cos cos π

αααα

+=+已知求

的值． 13．已知)3

2sin(],,2[,0cos 2cos sin sin 622παππααααα+∈=-+求的值．

14．如图，A 、B 是一矩 OEFG 边界上不同的两点，且∠AOB=45°,OE=1,EF=3，设∠AOE=

α. （1）写出△AOB 的面积关于α的函数关系式f(α);

（2）写出函数f(x)的取值范围． 15．已知函数y=21cos 2x+2

3sinx ·cosx+1 （x ∈R ）,

（1）当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合； （2）该函数的图像可由y=sinx(x ∈R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？

【参考答案】

一．１．C. 2．A. ３．D. ４．A. ５．C. 二．６．①②④．

7．解法一：令sin α+cos α=t ，则sin α·cos α=2

12

-t ，

∴sin 3α+cos 3α=(sin α+cos α)(sin 2α－sin α·cos α+cos 2α)

=t ·(1－2

12-t )=1，得： t 3－3t+2=0?(t －1)2·(t+2)=0，

∵t ≠－2 ∴t=sin α+cos α=1，且sin α·cos α=2

12

-t =0．

∴sin 4α+cos 4α=(sin 2α+cos 2α)2 – 2sin 2α·cos 2α=1－2·0=1 sin 6α+cos 6α=(sin 2α+cos 2α)(sin 4α－sin 2α·cos 2α+cos 4α)=1 解法二：∵sin 3α≤sin 2α,cos 3α≤cos 2α

∴sin 3α+cos 3α≤sin 2α+cos 2α=1

等号当且仅当?????==α

αααcos cos sin sin 33

时成立????==1cos 0sin αα或???==1sin 0cos αα． ∴sin α+cos α=sin 4α+cos 4α=sin 6α+cos 6α=1．

三．8．x x x x y 44cos cos sin 32sin -+=

22

22

(s i n c o s

)(s i n

c )

3s i n 2

s i n 2c o s 22s i n (2).

6

x x x x x x x x π

=+

--=-

故该函数的最小正周期是π；最小值是－2；单增区间是[π3

1,0]，],6

5[ππ．

9． x

x x x x x x f cos sin 22cos sin )cos (sin )(2

2222--+=

22

1sin cos 111(1sin cos )sin 2.2(1sin cos )2

42

x x x x x x x -==+=+-

所以函数f (x )的最小正周期是π，最大值是4

3，最小值是4

1.

10． 原式=

,2cos cos sin 22cos sin α

ααα

α

因为2

1tan =α时,,02cos ,0sin ≠≠αα

所以 原式=

.cos 21

α

因为α为锐角,由2

1tan =α得,5

2cos =α

所以 原式=.4

5

11．由已知5

4

sin ,25sin 22cot 2

tan ===

+αααα得. .5

3s i n 1c o s ,

202

=-=∴<<ααπα

从而 3s i n c o s 3

c o s s i n )3s i n (παπαπα?-?=-)334(10

123532

154-=?-?=.

12．由.3

1

tan ,

2tan 1tan 1)4tan(==-+=+αα

ααπ得

于是

.

3213

21

)31

(1

tan 21tan cos cos sin 2cos sin cos cos sin 2122

22

2

2=+?+=++=++=+ααααααααααα 13．由已知得：0)cos sin 2)(cos 2sin 3(=-+αααα

0cos sin 20cos 2sin 3=-=+?αααα或． 由已知条件可知).,2

(,2

,0cos ππαπαα∈≠≠即所以

从而 t a n 0

,α< 有 2tan .3

α=-

3

sin

2cos 3

cos

2sin )3

2sin(παπ

απ

α+=+

.

tan 1tan 123tan 1tan sin cos sin cos 23sin cos cos sin )sin (cos 2

3

cos sin 22222222222ααα

αααααα

ααααααα+-?++=+-?

++=-+

=

2

tan 3

α=-将代入上式，得

2

2222()1()33sin(2)2231()1()33613πα---+=-

+-+-=- 14．解：（1）∵OE=1，EF=3．∴∠EOF=60°． 当α∈[0，15°]时，△AOB 的两顶点A 、B 在E 、F 上，且AE=tan α,BE=tan(45°+α) ． ∴f(α)=S △AOB =2

1[tan(45°+α)－tan α]

=

)45cos(·cos 245sin α+??α=2

)452cos(22+?+α．

当a ∈（15°,45°）时，A 点在EF 上，B 点在FG 上，且OA=α

cos 1，OB=)

45cos(3α-?．

∴)(αf =S △AOB =2

1OA ·OB ·sin45°=

αcos 21·)

45cos(3α-?·sin45°=2

)24

cos(26

+-απ

综上得：f(α)= ??

??

???

??∈+-

∈++

]

4

,12(2

)4

2

cos(26]

12

,0[2

)4

2

cos(22π

παπ

π

απ

α α

（2）由（1）得：当α∈[0，12

π]时，

f(α)=

2

)4

2cos(22

++

π

α∈[2

1,3－1] ．

且当α=0时，f(α)min =2

1；α=12

π时，f(α)max =3－1；

当α∈]4

,12(ππ时,－12π≤2α－4π≤4

π，f （α）=

2

)4

2cos(26

+-

π

α∈[6－3,2

3]．

且当α=8π时，f(α) min =6－3；当α=4π时，f(α) max =2

3．

所以f(x) ∈[2

1,2

3]．

15．解：（1）y=2

1cos 2x+23sinx ·cosx+1=41 (2cos 2x －1)+ 41+4

3（2sinx ·cosx ）+1

=41cos2x+43sin2x+45=21 (cos2x ·sin 6π+sin2x ·cos 6π)+45

=21sin(2x+6

π)+45． 所以y 取最大值时，只需2x+6π=2π+2k π,（k ∈Z ），即 x=6π+k π,（k ∈Z ）．

所以当函数y 取最大值时，自变量x 的集合为{x|x=6

π+k π,k ∈Z}

（2）将函数y=sinx 依次进行如下变换：

（i ）把函数y=sinx 的图像向左平移6

π，得到函数y=sin(x+6

π)的图像；

（ii ）把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的2

1倍（纵坐标不变），得到函数

y=sin(2x+6

π)的图像；

（iii ）把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的2

1倍（横坐标不变），得到函数

y=2

1sin(2x+6

π)的图像；

（iv ）把得到的图像向上平移45个单位长度，得到函数y=21sin(2x+6π)+45的图像． 综上得到y=2

1cos 2x+2

3sinxcosx+1的图像．

三角函数与向量综合题练习

平面向量与三角函数综合练习 题型一三角函数平移与向量平移的综合 三角函数与平面向量中都涉及到平移问题，虽然平移在两个知识系统中讲法不尽相同，但它们实质是 一样的，它们都统一于同一坐标系的变化前后的两个图象中?解答平移问题主要注意两个方面的确定：(1)平移的方向；(2)平移的单位?这两个方面就是体现为在平移过程中对应的向量坐标 例1 把函数y = sin2x的图象按向量a = (- , —3)平移后，得到函数y = Asin( w x+ )(A > 0, w> 0 , 6 || = p的图象，贝U 和B的值依次为 题型二三角函数与平面向量平行(共线)的综合 此题型的解答一般是从向量平行(共线)条件入手，将向量问题转化为三角问题，然后再利用三角函数 的相关知识再对三角式进行化简，或结合三角函数的图象与民性质进行求解?此类试题综合性相对较强，有利于考查学生的基础掌握情况，因此在高考中常有考查 例2 已知A、B、C为三个锐角，且 A + B + C=n若向量8 = (2 —2sinA , cosA + si nA)与向量6 = (cosA —si nA , 1 + si nA)是共线向量. (I)求角A; 一 C —3B (n)求函数y = 2sin 2B + cos —；—的最大值? 题型三三角函数与平面向量垂直的综合 此题型在高考中是一个热点问题，解答时与题型二的解法差不多，也是首先利用向量垂直的充要条件 将向量问题转化为三角问题，再利用三角函数的相关知识进行求解.此类题型解答主要体现函数与方程的思想、转化的思想等.

已知向量 "a = (3sin a cos a ), "b = (2sin a, 5sin a — 4cos a , （I ）求tan a 的值； a （n ）求 cos （ +）的值. 2 3 题型四三角函数与平面向量的模的综合 此类题型主要是利用向量模的性质 |"|2 ="2,如果涉及到向量的坐标解答时可利用两种方法： （1） 先进行向量运算，再代入向量的坐标进行求解； （2）先将向量的坐标代入向量的坐标，再利用向量的坐标 运算进行求解? 5 v 3< 0 v av ，且 sin 3=— ，求 sin a 的值. 2 13 题型五 三角函数与平面向量数量积的综合 此类题型主要表现为两种综合方式： （1）三角函数与向量的积直接联系； （2）利用三角函数与向量的夹 角交汇，达到与数量积的综合 ?解答时也主要是利用向量首先进行转化，再利用三角函数知识求解 ? 例 5 设函数 f(x)=""其中向量"=(m , cosx) , " = (1 + sinx , 1), x € R ,且 f( ) = 2. (I)求 实数m 的值；（n ）求函数f （x ）的最小值. 六、解斜三角形与向量的综合 在三角形的正弦定理与余弦定理在教材中是利用向量知识来推导的，说明正弦定理、余弦定理与向量 有着密切的联系?解斜三角形与向量的综合主要体现为以三角形的角对应的三角函数值为向量的坐标， 要求 根据向量的关系解答相关的问题 ? b A A b 例6 已知角A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，其对边分别为 a 、 b 、 c ,若m = （— cos ；, sin'）, n = 妖（牛,2 n ，且b 已知向量 ""=(cos a ,sin a ), " = (cos B,sin 3, a — 3）的值；（n ）若一- l " —= .(I )求 cos(

高中数学三角函数公式大全全解

三角函数公式 1.正弦定理： A a sin = B b sin =C c sin = 2R （R 为三角形外接圆半径） 2.余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bc A cos b 2=a 2+c 2-2ac B cos c 2=a 2+b 2-2ab C cos bc a c b A 2cos 2 22-+= 3.S ⊿= 21a a h ?=21ab C sin =21bc A sin =21ac B sin =R abc 4=2R 2A sin B sin C sin =A C B a sin 2sin sin 2=B C A b sin 2sin sin 2=C B A c sin 2sin sin 2=pr=))()((c p b p a p p --- (其中)(2 1 c b a p ++=, r 为三角形内切圆半径) 4.诱导公试 注：奇变偶不变，符号看象限。 注：三角函数值等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时，原三角函数值的符号；即：函数名不变，符号看象限 注：三角函数值等于α的 异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时，原三角函数值的符号;即：

函数名改变，符号看象限 5.和差角公式 ①βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± ②βαβαβαsin sin cos cos )cos( =± ③β αβ αβαtg tg tg tg tg ?±= ± 1)( ④)1)((βαβαβαtg tg tg tg tg ?±=± 6.二倍角公式：(含万能公式) ①θ θ θθθ2 12cos sin 22sin tg tg += = ②θ θ θθθθθ2 22 2 2 2 11sin 211cos 2sin cos 2cos tg tg +-=-=-=-= ③θθθ2122tg tg tg -= ④22cos 11sin 222θθθθ-=+=tg tg ⑤22cos 1cos 2 θθ+= 7.半角公式：（符号的选择由 2 θ 所在的象限确定） ①2cos 12 sin θθ -± = ②2 cos 12sin 2θ θ-= ③2cos 12cos θθ+±= ④2cos 12 cos 2 θθ += ⑤2sin 2cos 12θθ=- ⑥2 cos 2cos 12θθ=+ ⑦2 sin 2 cos )2 sin 2 (cos sin 12θ θθθθ±=±=± ⑧θ θ θθθθθ sin cos 1cos 1sin cos 1cos 12 -=+=+-± =tg 8.积化和差公式： [])sin()sin(21cos sin βαβαβα-++=[] )sin()sin(21 sin cos βαβαβα--+=[])cos()cos(21cos cos βαβαβα-++= ()[]βαβαβα--+-=cos )cos(2 1 sin sin 9.和差化积公式：

专题二 三角函数与平面向量的综合应用

专题二 三角函数与平面向量的综合应用 （时间：45分钟 满分：100分） 一、选择题(每小题7分，共35分) 1．已知sin(2π－α)＝45，α∈????3π2，2π，则sin α＋cos αsin α－cos α 等于( ) A.17 B ．－17 C ．－7 D ．7 2．如图，D 、 E 、 F 分别是△ABC 的边AB 、BC 、CA 的中点，则( ) A ．＋BE →＋CF →＝0 B. －CF →＋DF → ＝0 C ．＋CE →－CF →＝0 D. －BE →－FC →＝0 3．已知向量a ＝(2，sin x )，b ＝(cos 2x,2cos x )，则函数f(x)＝a ·b 的最小正周期是( ) A.π2 B ．π C ．2π D ．4π 4．已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量m ＝(3，－1)，n ＝(cos A ， sin A )．若m ⊥n ，且a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，则角A ，B 的大小分别为( ) A.π6，π3 B.2π3，π6 C.π3，π6 D .π3，π3 5.已知向量OB →＝（2，0），向量=(2,2)，向量CA →＝(2cos α，2sin α)，则向量OA →与向 量OB →的夹角的取值范围是( ) A.????0，π4 B.??? ?π4，512π C.????512π，π2 D.??? ?π12，512π 二、填空题(每小题6分，共24分) 6．在直角坐标系xOy 中，已知点A (－1,2)，B (2cos x ，－2cos 2x )，C (cos x,1)，其中x ∈[0，π]，若⊥，则x 的值为______． 7.如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ,AD ⊥AB ,AD =1,BC =2,AB =3,P 是BC 上的一个动点，当?PD PA 取得最小值时，tan ∠DP A 的值为 ________．

(完整版)高中数学三角函数历年高考题汇编(附答案)

三角函数历年高考题汇编 一.选择题1、（2009）函数 22cos 14y x π? ?=-- ?? ?是 A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为 2π的奇函数 D ．最小正周期为2 π 的偶函数 2、（2008）已知函数 2()(1cos 2)sin ,f x x x x R =+∈，则()f x 是（ ） A 、最小正周期为π的奇函数 B 、最小正周期为2π 的奇函数 C 、最小正周期为π的偶函数 D 、最小正周期为2 π 的偶函数 3.（2009浙江文）已知a 是实数，则函数()1sin f x a ax =+的图象不可能．．． 是（ ） 4.(2009山东卷文)将函数 sin 2y x =的图象向左平移 4 π 个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是 A. 22cos y x = B. 2 2sin y x = C.)4 2sin(1π++=x y D. cos 2y x = 5.（2009江西卷文）函数()(13)cos f x x x =的最小正周期为 A ．2π B ． 32π C ．π D ． 2 π 6.（2009全国卷Ⅰ文）如果函数3cos(2)y x φ=+的图像关于点4( ,0)3 π 中心对称，那么φ的最小值为 A. 6π B.4π C. 3π D. 2π 7.（2008海南、宁夏文科卷）函数 ()cos 22sin f x x x =+的最小值和最大值分别为（ ） A. －3，1 B. －2，2 C. －3， 3 2 D. －2， 32 8.（2007海南、宁夏）函数 πsin 23y x ??=- ???在区间ππ2?? -???? ，的简图是（ ）

高考数学考试的答题技巧和方法_答题技巧

高考数学考试的答题技巧和方法_答题技巧 一、答题和时间的关系 整体而言，高考数学要想考好，必须要有扎实的基础知识和一定量的习题练习，在此基础上辅以一些做题方法和考试技巧。往年考试中总有许多考生抱怨考试时间不够用，导致自己会做的题最后没时间做，觉得很“亏”。 高考考的是个人能力，要求考生不但会做题还要准确快速地解答出来，只有这样才能在规定的时间内做完并能取得较高的分数。因此，对于大部分高考生来说，养成快速而准确的解题习惯并熟练掌握解题技巧是非常有必要的。 二、快与准的关系 在目前题量大、时间紧的情况下，“准”字则尤为重要。只有“准”才能得分，只有“准”你才可不必考虑再花时间检查，而“快”是平时训练的结果，不是考场上所能解决的问题，一味求快，只会落得错误百出。如去年第21题应用题，此题列出分段函数解析式并不难，但是相当多的考生在匆忙中把二次函数甚至一次函数都算错，尽管后继部分解题思路正确又花时间去算，也几乎得不到分，这与考生的实际水平是不相符的。适当地慢一点、准一点，可得多一点分;相反，快一点，错一片，花了时间还得不到分。 三、审题与解题的关系 有的考生对审题重视不够，匆匆一看急于下笔，以致题目的条件与要求都没有吃透，至于如何从题目中挖掘隐含条件、启发解题思路就更无从谈起，这样解题出错自然多。只有耐心仔细地审题，准确地把握题目中的关键词与量(如“至少”，“a0”，自变量的取值范围等等)，从中获取尽可能多的信息，才能迅速找准解题方向。 四、“会做”与“得分”的关系 要将你的解题策略转化为得分点，主要靠准确完整的数学语言表述，这一点往往被一些考生所忽视，因此卷面上大量出现“会而不对”“对而不全”的情况，考生自己的估分与实际得分差之甚远。如立体几何论证中的“跳步”，使很多人丢失1/3以上得分，代数论证中“以图代证”，尽管解题思路正确甚至很巧妙，但是由于不善于把“图形语言”准确地转译为“文字语言”，得分少得可怜;再如去年理17题三角函数图像变换，许多考生“心中有数”却说不清楚，扣分者也不在少数。只有重视解题过程的语言表述，“会做”的题才能“得分”,高中生物。 五、难题与容易题的关系 拿到试卷后，应将全卷通览一遍，一般来说应按先易后难、先简后繁的顺序作答。近年来考题的顺序并不完全是难易的顺序，如去年理19题就比理20、理21要难，因此在答题时要合理安排时间，不要在某个卡住的题上打“持久战”，那样既耗费时间又拿不到分，会做的题又被耽误了。这几年，数学试题已从“一题把关”转为“多题把关”，因此解答题都设置了层次分明的“台阶”，入口宽，入手易，但是深入难，解到底难，因此看似容易的题也会有“咬手”的关卡，看似难做的题也有可得分之处。所以考试中看到“容易”题不可掉以轻心，看到新面孔的“难”题不要胆怯，冷静思考、仔细分析，定能得到应有的分数。 选择题绝大部分是低中档题，所以必须争取多得分或得满分。选择题的答法审题要慢，答题要快。因此对选择题除直接求解外，还要做到不择手段，即小题要小做，小题要尽量巧做。答选择题常用的方法还有：数形结合法(根据题意做出草图，结合图象解决问题);特例检验法(利用特殊情况代替题设中的普遍条件，得出结论);筛选法(根据各选项的不同，从选项中选特殊情况检验是否符合题意);等价转化法(化陌生为熟悉);构造法(如立几中的“割补”思想)。另外，答选择题不要恋战，要学会暂时放弃。

向量和三角函数综合试题(卷)

向量与三角函数综合试题 1．已知向量a 、b 满足b ·(a-b)=0，且|a|=2|b|，则向量a +2b 与a 的夹角为 （ D ） A.3π B.3π2 C. 2π D.6π 2．已知向量),(n m =，)sin ,(cos θθ=，其中R n m ∈θ,,.若||4||=，则当2 λλ或2-<λ B ．2>λ或2-<λ C ．22< <-λ D ．22<<-λ 3．已知O 为原点，点P （x ，y ）在单位圆x 2 +y 2 =1上，点Q （2cos θ，2sin θ），且PQ =(3 4， －3 2)，则·的值是 （ A ） A ．18 25 B ．9 25 C ．2 D ．9 16 4．R t t ∈+===,),20cos ,20(sin ,)25sin ,25(cos 0 0，则||的最小值是B A. 2 B. 22 C. 1 D. 2 1 5．如图，△ABC 中，AB=4，AC=4，∠BAC=60°，延长CB 到D ，使||||BA BD =u u u r u u u r ，当E 点在线段AD 上移动时，若,AE AB AC λμλμ=+-u u u r u u u r u u u r 则的最大值是（ C ） A ．1 B 3 C ．3 D ．236．已知向量(2,0)OB =u u u v ,向量(2,2)OC =u u u v ,向量22)CA αα=u u u v ,则向量OA u u u v 与向量OB uuu v 的夹角的取值围是（ D ） A ．[0, ]4π B ．5[,]412ππ C ．5[,]122ππ D ．5[,]1212 ππ 7．已知向量(1,1),(1,1),(22)a b c θθ==-=r r r ,实数,m n 满足ma nb c +=r r r ,则 22(1)(1)m n -+-的最小值为（ D ） A 21 B ．1 C 2 D ．322- 8．如图，BC 是单位圆A 的一条直径, F 是线段AB 上的点，且2BF FA =u u u r u u u r ， 若DE 是圆A 中绕圆心A 运动的一条直径，则FD FE u u u r u u u r g 的值是（ B ） B ．）

2020高考数学专项复习《三角函数大题压轴题练习》

3 三角函数大题压轴题练习 1. 已知函数 f (x ) = cos(2x - ) + 2 s in(x - ) sin(x + ) 3 4 4 （Ⅰ）求函数 f (x ) 的最小正周期和图象的对称轴方程 （Ⅱ）求函数 f (x ) 在区间[- , ] 上的值域 12 2 解：（1）Q f (x ) = cos(2x - ) + 2 s in(x - ) sin(x + ) 3 4 4 = 1 cos 2x + 3 sin 2x + (sin x - cos x )(sin x + cos x ) 2 2 = 1 cos 2x + 3 sin 2x + sin 2 x - cos 2 x 2 2 = 1 cos 2x + 3 sin 2x - cos 2x 2 2 = sin(2x - ∴周 周 6 T = 2 = 2 k 由2x - = k + (k ∈ Z ), 周 x = + (k ∈ Z ) 6 2 2 3 ∴函数图象的对称轴方程为 x = k + ∈ Z ) 3 5 （2）Q x ∈[- , ],∴ 2x - ∈[- , ] 12 2 6 3 6 因为 f (x ) = sin(2x - ) 在区间[- , ] 上单调递增，在区间[ , ] 上单调 递减， 6 12 3 3 2 所以 当 x = 时， f (x ) 取最大值 1 3 1 又 Q f (- ) = - < f ( ) = ，当 x = - 时， f (x ) 取最小值- 12 2 2 2 12 2 所以 函数 f (x ) 在区间[- , ] 上的值域为[- 12 2 ,1] 2 2. 已知函数 f (x ) = sin 2 x + 3 sin x sin ?x + π ? （> 0 ）的最小正周期为π ． 2 ? ? ? （Ⅰ）求的值； 3 3 ) (k

高考数学三角函数公式

高考数学三角函数公式 同角三角函数的基本关系式 倒数关系: 商的关系：平方关系： tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 sinα/cosα=tanα=secα/cscα cosα/sinα=cotα=cscα/secα sin2α+cos2α=1 1+tan2α=sec2α 1+cot2α=csc2α (六边形记忆法：图形结构“上弦中切下割，左正右余中间1”;记忆方法“对角线上两个函数的积为1;阴影三角形上两顶点的三角函数值的平方和等于下顶点的三角函数值的平方;任意一顶点的三角函数值等于相邻两个顶点的三角函数值的乘积。”) 诱导公式(口诀:奇变偶不变，符号看象限。) sin(-α)=-sinα cos(-α)=cosα tan(-α)=-tanα cot(-α)=-cotα sin(π/2-α)=cosα cos(π/2-α)=sinα tan(π/2-α)=cotα cot(π/2-α)=tanα sin(π/2+α)=cosα cos(π/2+α)=-sinα tan(π/2+α)=-cotα cot(π/2+α)=-tanα sin(π-α)=sinα cos(π-α)=-cosα tan(π-α)=-tanα cot(π-α)=-cotα sin(π+α)=-sinα cos(π+α)=-cosα tan(π+α)=tanα cot(π+α)=cotα sin(3π/2-α)=-cosα cos(3π/2-α)=-sinα tan(3π/2-α)=cotα cot(3π/2-α)=tanα sin(3π/2+α)=-cosα cos(3π/2+α)=sinα tan(3π/2+α)=-cotα cot(3π/2+α)=-tanα sin(2π-α)=-sinα cos(2π-α)=cosα tan(2π-α)=-tanα cot(2π-α)=-cotα sin(2kπ+α)=sinα

高考全国卷三角函数大题训练

三角函数及数列大题训练 1.设数列{}n a 满足21112,32n n n a a a -+=-= （1） 求数列{}n a 的通项公式；令n n b na =，求数列的前n 项和n S 2.等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9.a a a a a +== (1)求数列{}n a 的通项公式.(2)设 31323log log ......log ,n n b a a a =+++ 求数列1n b ?? ???? 的前项和. 3.已知,,a b c 分别为ABC ?三个内角,,A B C 的对边，cos 3sin 0a C a C b c +--= （1）求A （2）若2a =，ABC ?的面积为3；求,b c 。 4.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝b cos C ＋c sin B . (1)求B ；(2)若b ＝2，求△ABC 面积的最大值． 5.已知数列{}n a 满足11a =，131n n a a +=+. ⑴证明1{}2 n a +是等比数列，并求{}n a 的通项公式；(2)证明：1231112 n a a a ++<…+. 6.ABC ?的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知cos()cos 1A C B -+=，2a c =，求C 。

7.ABC ?的内角A 、B 、C 的对边分别为,,a b c 。已知90,2A C a c b -=+= ，求C 8.如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB= 3 ，BC=1，P 为△ABC 内一点，∠BPC ＝90° (1)若PB=1 2，求PA ；(2)若∠APB ＝150°，求tan ∠PBA 9.在△ABC 中，a, b, c 分别为内角A, B, C 的对边， 且2sin (2)sin (2)sin .a A a c B c b C =+++ （Ⅰ）求A 的大小；（Ⅱ）求sin sin B C +的最大值. 10.已知等差数列{a n }满足a 2=0，a 6+a 8= -10 （I ）求数列{a n }的通项公式；（II ）求数列? ? ????-1 2 n n a 的前n 项和。 11. 在ABC ?中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c 。角A ，B ，C 成等差数列。 (Ⅰ)求cos B 的值；(Ⅱ)边a ，b ，c 成等比数列，求sin sin A C 的值。 12．设向量a ＝(3sin x ，sin x )，b ＝(cos x ，sin x )，x ∈π0,2 ?? ???? . (1)若|a |＝|b |，求x 的值；(2)设函数f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值． 13．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＞c ，已知? =2，cosB=， b=3，求：（Ⅰ）a 和c 的值；（Ⅱ）cos （B ﹣C ）的值． A B C P

三角函数与平面向量综合题的六种类型

第1讲 三角函数与平面向量综合题3.17 题型一：三角函数与平面向量平行(共线)的综合 【例1】 已知A 、B 、C 为三个锐角，且A ＋B ＋C ＝π.若向量→p ＝(2－2sinA ，cosA ＋sinA)与向量→q ＝(cosA －sinA ，1＋sinA)是共线向量. （Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）求函数y ＝2sin 2B ＋cos C －3B 2的最大值. 题型二. 三角函数与平面向量垂直的综合 【例2】 已知向量→a ＝(3sinα,cosα)，→b ＝(2sinα，5sinα－4cosα)，α∈(3π 2 ，2π)，且→a ⊥→b ． （Ⅰ）求tanα的值；（Ⅱ）求cos(α2＋π 3)的值． 题型三. 三角函数与平面向量的模的综合 【例3】 已知向量→a ＝(cosα,sinα)，→b ＝(cosβ,sinβ)，|→a －→b |＝2 5 5.(Ⅰ)求cos(α－β)的值；(Ⅱ) 若－π2＜β＜0＜α＜π 2，且sinβ＝－513，求sinα的值. 题型四 三角函数与平面向量数量积的综合 【例4】设函数f(x)＝→a ·→b .其中向量→a ＝(m ，cosx)，→b ＝(1＋sinx ，1)，x ∈R ，且f(π2)＝2.（Ⅰ） 求实数m 的值；（Ⅱ）求函数f(x)的最小值. 题型五：结合三角形中的向量知识考查三角形的边长或角的运算 【例5】（山东卷）在ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，tan C = （1）求cos C ；（2）若5 2 CB CA ?= ，且9a b +=，求c ． 题型六：结合三角函数的有界性，考查三角函数的最值与向量运算 【例6】()f x a b =? ，其中向量(,cos 2)a m x = ，(1sin 2,1)b x =+ ，x R ∈，且函数 ()y f x =的图象经过点(,2)4 π ． （Ⅰ）求实数m 的值； （Ⅱ）求函数()y f x =的最小值及此时x 值的集合。 题型七：结合向量的坐标运算，考查与三角不等式相关的问题 【例7】设向量(sin ,cos ),(cos ,cos ),a x x b x x x R ==∈ ，函数()()f x a a b =?+ . （Ⅰ）求函数()f x 的最大值与最小正周期；（Ⅱ）求使不等式3 ()2 f x ≥成立的x 的取值集. 【跟踪训练】 三角函数与平面向量训练反馈 1、已知向量=（x x x 3,52-），=（2，x ），且⊥，则由x 的值构成的集合是（ ） A 、｛0，2，3｝ B 、｛0，2｝ C 、｛2｝ D 、｛0，-1，6｝ 2、设02x π≤≤, sin cos x x =-,则 （ ） A ．0x π≤≤ B ． 74 4x π π≤≤ C ．544 x ππ ≤≤ D ． 32 2 x π π ≤≤ 3、函数1cos 4tan 2sin )(++?=x x x x f 的值域是 。 4、在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且cos cos 2B b C a c =-+. （1）求角B 的大小； （2）若 b a ＋ c ＝4，求a 的值. 5、已知向量 )1),3 (cos(π + =x ，)21),3(cos(-+ =π x ，)0),3 (sin(π+=x 函数 x f ?=)(， x g ?=)(， x h ?-?=)( （1）要得到)(x f y =的图象，只需把)(x g y =的图象经过怎样的平移或伸缩变换？ （2）求)()()(x g x f x h -=的最大值及相应的x ．

高中数学三角函数公式大全

高中数学三角函数公式大全 三角函数看似很多，很复杂，而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在，下面是三角函数公式大全：操作方法 01 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA)

02 倍角公式 tan2A = 2tanA/(1-tan^2 A) Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos^2 A--Sin^2 A =2Cos^2 A—1 =1—2sin^2 A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)^3; cos3A = 4(cosA)^3 -3cosA -a) tan3a = tan a ? tan(π/3+a)? tan(π/3 半角公式 --cosA)/2} sin(A/2) = √{(1 cos(A/2) = √{(1+cosA)/2} --cosA)/(1+cosA)} tan(A/2) = √{(1 cot(A/2) = √{(1+cosA)/(1 -cosA)} tan(A/2) = (1--cosA)/sinA=sinA/(1+cosA)

(完整)2019-2020年高考数学大题专题练习——三角函数(一)(含解析).doc

2019-2020 年高考数学大题专题练习 —— 三角函数（一） 1. 【山东肥城】 已知函数 f ( x) 2sin 2 x 2sin 2 ( x) ， x R . （ 1）求函数 y f ( x) 的对称中心； 6 （ 2）已知在 △ABC 中，角 A 、B 、C 所对的边分别为 a ， b ， c ，且 f ( B 6 ) b c ， ABC 的外接圆半径为 3 ，求 △ABC 周长的最大值 . 2 2a 【解析】 f ( x) 1 cos2 x 1 cos2( x ) cos(2 x ) cos2 x 6 3 1 3 sin 2x cos 2x cos2x 2 2 3 sin 2x 1 cos2x sin(2 x 6 ) . 2 2 （1）令 2x k （ k Z ），则 x k （ k Z ）， 6 2 12 所以函数 y f ( x) 的对称中心为 ( k ,0) k Z ； 2 12 （2）由 f ( B ) b c ，得 sin( B ) b c ，即 3 sin B 1 cos B b c ， 2 6 2a 6 2a 2 2 2a 整理得 3a sin B a cos B b c ， 由正弦定理得： 3 sin A sin B sin A cos B sin B sin C ， 化简得 3 sin A sin B sin B cos Asin B ， 又因为 sin B 0 ， 所以 3 sin A cos A 1 ，即 sin( A 1 ， 6 ) 2 由 0 A ，得 A 5 ， 6 6 6 所以 A ，即 A 3 ， 6 6 又 ABC 的外接圆的半径为 3 ， 所以 a 2 3 sin A 3 ，由余弦定理得

高中数学解题方法及解析大全

最全面的高考复习资料 目录 前言 (2) 一、配方法 (3) 二、换元法 (7) 三、待定系数法 (14) 四、定义法 (19) 五、数学归纳法 (23) 六、参数法 (28) 七、反证法 (32) 八、消去法……………………………………… 九、分析与综合法……………………………… 十、特殊与一般法……………………………… 十一、类比与归纳法………………………… 十二、观察与实验法………………………… 一、数形结合思想 (35) 二、分类讨论思想 (41) 三、函数与方程思想 (47) 四、转化（化归）思想 (54) 第一章高考热点问题和解题策略 (59) 一、应用问题 (59) 二、探索性问题 (65) 三、选择题解答策略 (71) 四、填空题解答策略 (77) 附录……………………………………………………… 一、高考数学试卷分析………………………… 二、两套高考模拟试卷………………………… 三、参考答案……………………………………

前言 美国著名数学教育家波利亚说过，掌握数学就意味着要善于解题。而当我们解题时遇到一个新问题，总想用熟悉的题型去“套”，这只是满足于解出来，只有对数学思想、数学方法理解透彻及融会贯通时，才能提出新看法、巧解法。高考试题十分重视对于数学思想方法的考查，特别是突出考查能力的试题，其解答过程都蕴含着重要的数学思想方法。我们要有意识地应用数学思想方法去分析问题解决问题，形成能力，提高数学素质，使自己具有数学头脑和眼光。 高考试题主要从以下几个方面对数学思想方法进行考查： ①常用数学方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法等； ②数学逻辑方法：分析法、综合法、反证法、归纳法、演绎法等； ③数学思维方法：观察与分析、概括与抽象、分析与综合、特殊与一般、类比、归纳和 演绎等； ④常用数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化归）思想 等。 数学思想方法与数学基础知识相比较，它有较高的地位和层次。数学知识是数学内容，可以用文字和符号来记录和描述，随着时间的推移，记忆力的减退，将来可能忘记。而数学思想方法则是一种数学意识，只能够领会和运用，属于思维的范畴，用以对数学问题的认识、处理和解决，掌握数学思想方法，不是受用一阵子，而是受用一辈子，即使数学知识忘记了，数学思想方法也还是对你起作用。 数学思想方法中，数学基本方法是数学思想的体现，是数学的行为，具有模式化与可操作性的特征，可以选用作为解题的具体手段。数学思想是数学的灵魂，它与数学基本方法常常在学习、掌握数学知识的同时获得。 可以说，“知识”是基础，“方法”是手段，“思想”是深化，提高数学素质的核心就是提高学生对数学思想方法的认识和运用，数学素质的综合体现就是“能力”。 为了帮助学生掌握解题的金钥匙，掌握解题的思想方法，本书先是介绍高考中常用的数学基本方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法、反证法、分析与综合法、特殊与一般法、类比与归纳法、观察与实验法，再介绍高考中常用的数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化归）思想。最后谈谈解题中的有关策略和高考中的几个热点问题，并在附录部分提供了近几年的高考试卷。 在每节的内容中，先是对方法或者问题进行综合性的叙述，再以三种题组的形式出现。再现性题组是一组简单的选择填空题进行方法的再现，示范性题组进行详细的解答和分析，对方法和问题进行示范。巩固性题组旨在检查学习的效果，起到巩固的作用。每个题组中习题的选取，又尽量综合到代数、三角、几何几个部分重要章节的数学知识。

高考数学-三角函数大题综合训练

三角函数大题综合训练 1．（2016?白山一模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知= （1）求角C的大小， （2）若c=2，求使△ABC面积最大时a，b的值． 2．（2016?广州模拟）在△ABC中，角A、B、C对应的边分别是a、b、c，已知3cosBcosC+2=3sinBsinC+2cos2A．（I）求角A的大小； （Ⅱ）若△ABC的面积S=5，b=5，求sinBsinC的值． 3．（2016?成都模拟）已知函数f（x）=cos2x﹣sinxcosx﹣sin2x． （Ⅰ）求函数f（x）取得最大值时x的集合； （Ⅱ）设A、B、C为锐角三角形ABC的三个内角，若cosB=，f（C）=﹣，求sinA的值． 4．（2016?台州模拟）已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，且c2=a2+b2﹣ab． （1）求角C的值； （2）若b=2，△ABC的面积，求a的值． 5．（2016?惠州模拟）如图所示，在四边形ABCD中，∠D=2∠B，且AD=1，CD=3，cosB=． （Ⅰ）求△ACD的面积； （Ⅱ）若BC=2，求AB的长． 6．（2015?山东）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosB=，sin （A+B）=，ac=2，求sinA和c的值． 7．（2015?新课标I）已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，sin2B=2sinAsinC． （Ⅰ）若a=b，求cosB； （Ⅱ）设B=90°，且a=，求△ABC的面积． 8．（2015?湖南）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=btanA． （Ⅰ）证明：sinB=cosA； （Ⅱ）若sinC﹣sinAcosB=，且B为钝角，求A，B，C． 10．（2015?湖南）设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=btanA，且B为钝角． （Ⅰ）证明：B﹣A=； （Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围． 11．（2015?四川）已知A、B、C为△ABC的内角，tanA，tanB是关于方程x2+px﹣p+1=0（p∈R）两个实根．（Ⅰ）求C的大小 （Ⅱ）若AB=3，AC=，求p的值．

2020高考数学专项复习《三角函数10道大题》(带答案)

4 2 ) 三角函数 1.已知函数 f (x ) = 4 c os x s in(x + （Ⅰ）求 f (x ) 的最小正周期； ) -1. 6 （Ⅱ）求 f (x ) 在区间[- , ] 上的最大值和最小值. 6 4 2、已知函数 f (x ) = sin(2x + ) 3 + sin(2x - 3 + 2 cos 2 x - 1, x ∈ R . （Ⅰ）求函数 f (x ) 的最小正周期； （Ⅱ）求函数 f (x ) 在区间[- , ] 上的最大值和最小值. 4 4 3、已知函数 f (x ) = tan(2x + ), 4 （Ⅰ）求 f (x ) 的定义域与最小正周期； ? ? （II ）设∈ 0, ? ，若 f ( ) = 2 cos 2, 求的大小 ? ? 4、已知函数 f (x ) = (sin x - cos x ) sin 2x . sin x （1） 求 f (x ) 的定义域及最小正周期； （2） 求 f (x ) 的单调递减区间. 5、 设函数 f (x ) = cos(2x + + sin 2 x . 2 4 （I ）求函数 f (x ) 的最小正周期； （ II ） 设 函 数 1 g (x ) 对 任 意 x ∈ R ， 有 g (x + 2 = g (x ) ， 且 当 x ∈[0, ] 时 ， 2 g (x ) = - f (x ) ，求函数 g (x ) 在[-, 0] 上的解析式. 2 2 ) )

3 + = 6、函数 f (x ) = A sin(x - 称轴之间的距离为 ， 2 ) +1（ A > 0,> 0 ）的最大值为 3， 其图像相邻两条对 6 （1）求函数 f (x ) 的解析式； （2）设∈(0, ) ，则 f ( ) = 2 ，求的值. 2 2 7、设 f ( x ) = 4cos( ωx - π )sin ωx + cos 2ωx ，其中> 0. 6 （Ⅰ）求函数 y = f ( x ) 的值域 （Ⅱ）若 y = f ( x ) 在区间?- 3π , π? 上为增函数，求 的最大值. ?? 2 2 ?? 8、函数 f (x ) = 6 cos 2 x + 2 3 cos x - 3(> 0) 在一个周期内的图象如图所示， A 为 图象的最高点， B 、C 为图象与 x 轴的交点，且?ABC 为正三角形. （Ⅰ）求的值及函数 f (x ) 的值域； 8 3 （Ⅱ）若 f (x 0 ) 5 ，且 x 0 ∈(- 10 2 , ) ，求 f (x 0 1) 的值. 3 3 9、已知 a , b , c 分别为?ABC 三个内角 A , B , C 的对边， a cos C + 3a sin C - b - c = 0 （1）求 A ； （2）若 a = 2 ， ?ABC 的面积为 ；求b , c . 10、在 ? ABC 中，内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ．已知 cos A cos C ． ＝ 2 ，sin B ＝ 5 3 (Ⅰ)求 tan C 的值； (Ⅱ)若 a ＝ 2 ，求? ABC 的面积．

高考数学答题规律和思路汇总

高考数学答题规律和思路汇总 1函数或方程或不等式的题目，先直接思考后建立三者的联系。首先考虑定义域，其次使用“三合一定理”。 2如果在方程或是不等式中出现超越式，优先选择数形结合的思想方法; 3面对含有参数的初等函数来说，在研究的时候应该抓住参数没有影响到的不变的性质。如所过的定点，二次函数的对称轴或是……; 4选择与填空中出现不等式的题目，优选特殊值法; 5求参数的取值范围，应该建立关于参数的等式或是不等式，用函数的定义域或是值域或是解不等式完成，在对式子变形的过程中，优先选择分离参数的方法; 6恒成立问题或是它的反面，可以转化为最值问题，注意二次函数的应用，灵活使用闭区间上的最值，分类讨论的思想，分类讨论应该不重复不遗漏; 7圆锥曲线的题目优先选择它们的定义完成，直线与圆锥曲线相交问题，若与弦的中点有关，选择设而不求点差法，与弦的中点无关，选择韦达定理公式法;使用韦达定理必 须先考虑是否为二次及根的判别式; 8求曲线方程的题目，如果知道曲线的形状，则可选择待定系数法，如果不知道曲线的形状，则所用的步骤为建系、设点、列式、化简注意去掉不符合条件的特殊点; 9求椭圆或是双曲线的离心率，建立关于a、b、c之间的关系等式即可; 10三角函数求周期、单调区间或是最值，优先考虑化为一次同角弦函数，然后使用辅助角公式解答;解三角形的题目，重视内角和定理的使用;与向量联系的题目，注意向量角的范围; 11数列的题目与和有关，优选和通公式，优选作差的方法;注意归纳、猜想之后证明;猜想的方向是两种特殊数列;解答的时候注意使用通项公式及前n项和公式，体会方程的 思想; 12立体几何第一问如果是为建系服务的，一定用传统做法完成，如果不是，可以从第一问开始就建系完成;注意向量角与线线角、线面角、面面角都不相同，熟练掌握它们之 间的三角函数值的转化;锥体体积的计算注意系数1/3，而三角形面积的计算注意系数1/2;与球有关的题目也不得不防，注意连接“心心距”创造直角三角形解题; 13导数的题目常规的一般不难，但要注意解题的层次与步骤，如果要用构造函数证明不等式，可从已知或是前问中找到突破口，必要时应该放弃;重视几何意义的应用，注意 点是否在曲线上;

2021届高考数学解答题核心素养题型3 三角函数与平面向量综合问题(答题指导解析版)

专题03 三角函数与平面向量综合问题 （答题指导） 【题型解读】 ??题型一：三角函数的图象和性质 1．注意对基本三角函数y ＝sin x ，y ＝cos x 的图象与性质的理解与记忆，有关三角函数的五点作图、图象的平移、由图象求解析式、周期、单调区间、最值和奇偶性等问题的求解，通常先将给出的函数转化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式，然后利用整体代换的方法求解． 2．解决三角函数图象与性质综合问题的步骤 (1)将f (x )化为a sin x ＋b cos x 的形式． (2)构造f (x )＝a 2 ＋b 2 ? ?? ?? a a 2＋ b 2 ·sin x ＋b a 2＋b 2·cos x . (3)和角公式逆用，得f (x )＝a 2＋b 2 sin(x ＋φ)(其中φ为辅助角)． (4)利用f (x )＝a 2 ＋b 2 sin(x ＋φ)研究三角函数的性质． (5)反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范． 【例1】 (2017·山东卷)设函数f (x )＝sin ? ????ωx －π6＋sin ? ????ωx －π2，其中0＜ω＜3.已知f ? ????π6＝0. (1)求ω； (2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移π 4 个 单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在??????－π4 ，3π4上的最小值． 【答案】见解析 【解析】(1)因为f (x )＝sin ? ????ωx －π6＋sin ? ????ωx －π2，所以f (x )＝32sin ωx －12cos ωx －cos ωx ＝32sin