2018成都市一诊考试数学试题与答案word(理科)

理科数学

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设全集U =R ，集合{}2=≤-A x x

{}

1

,,

=

≥

-B x x 则()=U A B

A.

[]21,-

B.21(,)--

C.

(][)21,,-∞--+∞

D.21(,)-

2.复数

2

1i z =

+在复平面内对应的点位于

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

3.空气质量指数AQI 是检测空气质量的重要参数，其数值越大说明空气污染状况越严重，空气质量越差.某地环保部门统计了该地区12月1日至12月24日连续24天空气质量指数AQI ，根据得到的数据绘制出如图所示的折线图.则下列说法错误的是

A.该地区在12月2日空气质量最好

B.该地区在12月24日空气质量最差

C.该地区从12月7日到12月12日AQI 持续增大

D.该地区的空气质量指数AQI 与日期成负相关

4.已知锐角ABC ?的三个内角分别为,,,A B C 则“sin >sin A B ”是“tan >tan A B ”的

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

5. “更相减损术”是我国古代数学名著《九章算术》中的算法案例，其对应的程序框图如图所示.若输入的x,y,k 的值分别为4，6，1，则输出的k 的值为

A.2

B.3

C.4

D.5

6.若关于x 的不等式2

210x ax ++≥在[)0+∞，上恒成立，则实数a 的取值范

围为

A.0+∞(,)

B.[)1-+∞,

C.

[]

11-,

D.

[)0+∞,

[)[)[][)

26210001110.,()(,)(),(),(),x a A B C D ++≥+∞+∞ -+∞ - +∞若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为x ax

7．如图，已知双曲线22

22100x y E a b a b -=:(,)>>，长方形ABCD 的顶点A ，

B 分别为双曲线E 的左，右焦点，且点

C ，

D 在双曲线

E 上．若6AB =，5

2BC =

，

则此双曲线的离心率为

A.2

B. 3

2

C.52

D.5

22

2281005

62

.:(,),,,,,,,ABCD A B E C D E AB BC -===如图已知双曲线长方形的顶点分别为双曲线的左、右焦点且

点在双曲线上若则双曲线的离心率为

x y E a b a b

>>

8.已知

3sin 0652ααππ

-=∈(),(,)

，则cos α的值为 A.

433- B.433+ C.433-

D.334

-

9．在三棱锥P ABC -中，已知PA ⊥底面ABC ，

1202BAC PA AB AC ?

∠====,.若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为

A.103π

B.18π

C.20π

D.93π

10.已知定义在R 上的奇函数f x ()满足20f x f x ++=()()，且当[]

01x ∈,时，2log 1f x x =+()()

.则下列不等式

正确的是

A. ()()()2log 756f f f <-<

B. ()()()2log 765f f f <<-

C.

()()()

25log 76f f f -<< D.

()()()

256log 7f f f -<<

11.设函数

sin 23f x x π

=+()()

，若12x x 0,<且120f x f x +=()()，则21x x -的取值范围为

A.6

π

∞(,+)

B.3π∞(,+)

C.23

π+∞(,)

D.43π

+∞(

,) 12.已知关于x 的方程e

0e e x

x x ++-x m =x 有三个不相等的实数根123x x x ,,,且1230x x

e 271828=???.为自然对数的底数.则123

2312

111e e e x x x ---(

)()()

x x x 的值为

A.e

B. 1

C. 1m +

D. 1m -

第II 卷（非选择题，共90分）

二、填空题：本大题共4道小题，每小题5分，共20分.

13.5

2()y x+的展开式中的第三项系数为

.

14.若实数x y ,满足线性约束条件124

+≥??

≤??-≤?x y y x x y ，则2+x y 的最大值为

.

15.如图，在直角梯形ABDE 中，已知

90ABD EDB ?

∠=∠=,C 是BD 上一点，

315,AB ACB ?=-∠=60,ECD ?∠=45EAC ?∠=，则线段DE 的长度为

.

16.在长方体

1111

ABCD A B C D -中，已知底面ABCD 为正方形，P 为

11

A D

的中点，

12AD AA ==,Q 是

正方形ABCD

所在平面内的一个动点，且

=QC ，则线段BQ 的长度的最大值为.

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）

已知等差数列{}n a 的前n 项和为S

n ，

24316a S ==,,*

n ∈N .

（1）求数列

{}n a 的通项公式；

（2）设2n n n b a =,

求数列

{}n b 的前n 项和n

T

.

18. （本小题满分12分）

某部门为了解一企业在生产过程中的用水量情况，对每天的用水量作了记录，得到了大量的该企业的日用水量的统计数据.从这些统计数据中随机抽取12天的数据作为样本，得到如图所示的茎叶图（单位:吨）. 若用水量不低于95（吨），则称这一天的用水量超标.

（1）从这12天的数据中随机抽取3个，求至多有1天是用水量超标的概率； （2）以这12天的样本数据中用水量超标的频率作为概率，估计该企业未来3天中用水量超标的天数.记随机变量X 为未来这3天中用水量超标的天数，求X 的分布列和数学期望.

19.（本小题满分12分）

如图①，在边长为5的菱形ABCD 中，6AC =.现沿对角线AC 把ADC ?翻折到APC ?的位置得到四面体

P ABC -，如图②所示.

已知PB =（1）求证：平面PAC ⊥平面ABC ；

（2）若Q 是线段AP 上的点，且13AQ =AP

，求二面角Q BC A --的余弦值.

图① 图②

20.（本小题满分12分）

已知椭圆22

2210x y C a b a b +=:()

>>

的右焦点

0F )，长半轴与短半轴之比等于2. （1）求椭圆C 的标准方程；

（2）设不经过点01(,)B 的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点M N ,.若线段MN 的中点H 满足2MN =BH

，

证明直线l 过定点，并求出该定点的坐标.

A

A

21.（本小题满分12分）

已知函数e x

f x =()，其中e 271828=???.为自然对数的底数.

（1）若曲线()=y f x 在点00e x

P x (,)处的切线方程为y kx b =+，求k b -的最小值；

（2）当常数

()

2,+m ∈∞时，已知函数

2

12g x x f x mx =--+()()()在0(,)+∞上有两个零点()1212x x x x ,<.证明：214

ln e <-

请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．

22.（本小题满分10分）选修4-4：极坐标与参数方程

在平面直角坐标系xOy 中，直线l

的参数方程为12222x t t y ?=+??

?

?=+??(为参数）.在以坐标原点O 为极点，x 轴的正

半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为

2sin 4sin ρθθρ+=. （1）写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；

（2）已知点M 的直角坐标为22(,).若直线l 与曲线C 相交于不同的两点A B ,，求

MA MB

?的值.

23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数

21f x x k x k =-++∈(),R

.

（1）当1k

=时，若不等式4f x ()<的解集为{}12x x x x |<<，求12x x +的值；

（2）若关于x 的不等式f x k ≥()当x ∈R 时恒成立，求k 的最大值.

数学（理科）参考答案及评分意见

第I 卷（选择题，共60分）

一．选择题：(每小题5分，共60分)

1.B ；

2.D ；

3.D ；

4.C ；

5.C ；

6.B ；

7.B ；

8.A ；

9.C ；10.C ；11.B ；12.B.

第II 卷（非选择题，共90分）

二．填空题：(每小题5分，共20分)

13.40；14.12；15.6；16.6.

三．解答题：(共70分)

17.解：（1）设数列{}n a

的公差为d .

24316a S ==,，

1134616a d a d ∴+=+=,.

解得

121d a ==,. ………4分

21n a n ∴=-.

………6分

（2）由题意，

212n n b n =-?().

1211232232212n n n T n n -∴=?+?+???+-?+-?()(). ①

21212232212n n n T n n +=?+???+-?+-?()(). ②

由①-②，可得

1231122222212n n n T n +-=?+?++???+--?()().

………9分

311122212126232n n n n T n n -++∴-=+---?=-+-+?()()().

………11分

16232n n T n +∴=+-?().

………12分

18.解：（1）记“从这12天的数据中随机抽取3个,至多有1天是用水量超标” 为 事件A .

则

123488331212C C C 16842

C C 22055P A =+==().

………4分 （2）以这12天的样本数据中用水量超标的频率作为概率，易知其概率为1

3. 随机变量X 表示未来三天用水量超标的天数，∴X 的取值分别为：0123,,,.

易知

33112

30123333k k k X

B P X k

C k -===(,),()()(),,,,.

则

84210123279927P X P X P X P X ==

======()(),(),().， ………8分

∴随机变量X 的分布列为

………10分

数学期望

1

313E X =?=().

………12分 19.解：（1）取AC 的中点O ,连接,PO BO 得到?

PBO .

ABCD 是菱形，∴=PA PC ，PO AC ⊥.

5634DC AC OC PO OB ==∴===,,，,

4PB =

222PO OB PB ∴+=.

PO OB ∴⊥.

BO AC O =，∴⊥PO 平面ABC .

?PO 平面PAC ， ∴平面ABC ⊥平面PAC . ………4分

X 0

1 2 3

P

827 4

9 29 127

（2）

AB BC BO AC =∴⊥.

，

易知,,OB OC OP 两两相互垂直.

以O 为坐标原点，OB OC OP ,,分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方

向建立空间直角坐标系Oxyz ，如图所示.

则400030004030B C P A -(,,),(,,),(,,),(,,). 设点(,,)Q x y z .

由13AQ AP =， 得4023Q -(,,).

………6分

4

430423BC BQ ∴=-=--(,,),(,,).

设

1111x y z =(,,)

n 为平面BCQ 的一个法向量.

由11111114300442003x y BC x y z BQ -+=???=?????--+?=????.=n n 解得111134415x y y z ?=?????

?.= 取

115z =，则

13415=(,,).

n ………8分

取平面ABC 的一个法向量

2001=(,,)

n .

121222212310

cos ,103415

?=

==++n n n n n n ，

………11分

∴二面角--Q BC A 的余弦值为310

10

.

………12分

20.解：（1）

22232a

c a b c b ===+,

，，

∴21,==a b .

∴椭圆的标准方程为2

214

x y +=.

………4分

（2）易知当直线l 的斜率不存在时，不合题意. 设直线l 的方程为1)y kx m m =+≠(，点

1122M x y N x y (,),(,).

联立2244y kx m

x y =+??+=?，消去y 可得222

418440k x kmx m +++-=(). 2212221224108414441k m km x x k m x x k ?

??=+->?

-?

∴+=?+?

?-=

?+?.

由

2MN =BH

，可知点B 在以

MN

为直径的圆上.

BM BN ∴⊥. 0BM BN ∴?=. ………7分

112211(,)(,)?=+-?+-BM BN x kx m x kx m

2212121110k x x k m x x m =++-++-=()()()()，

22

22244811104141m km

k k m m k k --∴++-+-=++()()().

整理，得2

5230m m --=. 解得

3

5=-

m 或1=m （舍去）.

∴直线l 的方程为

3

5y kx =-.

故直线l 经过定点，且该定点的坐标为

3

05-(,).

………12分 21.解：（1）曲线在点

0e x P x (,)

处的切线为

000

0e e e x x x y x x =-+.

0000e e e x x x k b x ∴==-+,.

00e x k b x ∴-=.

………3分

设

e x

H x x =().

由1e 0x H x x '=+=()()，解得1x =-.

当x >-1时，0H x '()>，∴H x ()单调递增; 当x <-1时, 0H x '<()，∴H x ()单调递减.

H x ∴()的极小值（也是最小值）为1

1e H -=-().

∴-k b 的最小值为1

e

-.

………5分

（2）当0>x 时，由e 20x

g x x m '=-=()()，解得ln 2.x m =

当ln 2x m >时，()0g x '>，∴()g x 在(ln 2,)+∞m 上单调递增； 当0ln 2x m <<时，()0g x '<，∴()g x 在(0,ln 2)m 上单调递减.

∴()g x 的极小值为(ln 2).g m ………7分

∵(1)20g m =-<,ln 2ln 41x m =>>，(ln 2)0.g m ∴<

又

010120(),(),=>=-

2ln 2ln 4,x m >>214ln 41ln .e

x x ∴->-=

………9分

当x m =时，3

1e 22m g m m m m =--+()(),.>

2e 3e 3m m g m m m m m '∴=-=-()().

设

e 32m

G m m m =-(),.> e 30m G m '=-(),>()∴G m 在2(,)+∞上单调递增. 22e 60G m G ∴=-()().>>0()g m '∴>恒成立.

22e 60g m g ∴=-()().>>2(ln 2,),x m m ∴?∈使得20g x =(). 2m x ∴.>21m x x ∴-.

>

故214

ln e <-

22.解：（1）

由12222x t y t ?

=+??

?

?=+??，消去参数t

可得22y x =-+).

∴直线l

20y -+-=. ………2分

2222sin 4sin sin 4sin .ρθθρρθρθρ+=∴+=，

222sin ,y x y ρθρ==+，

故曲线C 的直角坐标方程为

2

4x y =. ………4分

（2

）将12222x t y ?=+???

?=+??代入抛物线方程2

4x y =，

可得

2124222t +=+()().

即

2

8160t t +--=(.

………8分

设点,A B 对应的参数分别为12

,t t .

则

12120,+8,16,?>==-t t t t

∴1216MA MB t t ==.

………10分

23.解：（1）由题意，得

214

x x -++<.

i ()当2x >时，原不等式即25x <.∴

5

22x <<

；

ii ()当x <-1时,原不等式即23x -<.∴3

12-<<-x ；

iii ()当2x -1≤≤时，原不等式即3<4.∴12x -≤≤. 综上，原不等式的解集为3522x |x ??-<

??

?，即1235

22x x =-=,.

121x x ∴+=.

………5分

（2）由题意，得21x k x k -++≥.

当2=x 时,即不等式k k ≥3成立.0.k ∴≥ i

()当2-≤x 或0≥x 时,

11x +≥，∴

不等式k x k x ≥++-|1||2|恒成立.

ii ()当12-≤<-x 时,

原不等式可化为2---≥x kx k k .可得

24

1.22

x k x x -≤

=-+++

3.k ∴≤

iii ()当01<<-x 时,

原不等式可化为2.x kx k k -++≥可得

21.

k x ≤- 3.k ∴≤

综上，可得03k ≤≤，即k 的最大值为3. ………10分